Slovní úlohy | Matikárna

Ve stanici Lichá Lhota stojí na každé ze tří kolejí jeden vlak.
Vlak na druhé koleji má o 3 vagony více než vlak na první koleji a dvakrát méně vagonů než vlak na třetí koleji.
Všechny tři vlaky dohromady mají 41 vagonů.

O kolik vagonů více má vlak na třetí koleji než vlak na první koleji?

A) o 8 vagonů
D) o 13 vagonů
B) o 10 vagonů
E) o 14 vagonů
C) o 11 vagonů

Zobrazit odpověď

E

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vztahy mezi vlaky

Ze zadání víme, že:

Vlak na 2. koleji má o 3 vagony více než vlak na 1. koleji.
Vlak na 3. koleji má dvakrát více vagonů než vlak na 2. koleji (protože vlak na 2. koleji jich má dvakrát méně).

Výpočet počtu vagonů

Zkusíme si představit, kolik vagonů by vlaky měly, kdyby měly všechny stejně jako ten první:

2. vlak má o 3 vagony více než 1. vlak.
3. vlak má dvakrát více než 2. vlak. Tedy má dvakrát (1. vlak + 3 vagony), což je jako dva první vlaky a k tomu ještě 6 vagonů ($2 \cdot 3 = 6$).

Dohromady mají všechny tři vlaky: jeden 1. vlak + (druhý 1. vlak + 3) + (další dva 1. vlaky + 6). Celkem jsou to tedy čtyři stejné díly (odpovídající 1. vlaku) a 9 vagonů navíc ($3 + 6 = 9$).

Víme, že celkem je vagonů 41. Odečteme ty, které jsou navíc: $41 - 9 = 32$. Čtyři stejné díly (čtyřnásobek 1. vlaku) tvoří 32 vagonů. Jeden díl (1. vlak) má tedy: $32 : 4 = 8$ vagonů.

Počty vagonů na kolejích

Nyní můžeme určit počty vagonů pro každý vlak:

1. kolej: 8 vagonů
2. kolej: $8 + 3 = 11$ vagonů
3. kolej: $11 \cdot 2 = 22$ vagonů

Pro kontrolu sečteme: $8 + 11 + 22 = 41$ vagonů, což souhlasí se zadáním.

Závěrečné porovnání

Otázka zní, o kolik vagonů více má vlak na třetí koleji než na první koleji: $22 - 8 = 14$

Vlak na třetí koleji má o 14 vagonů více.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Hrnčíři Petr, Radim, Slávek a Tomáš vyrobili dohromady 240 hrnků.
Petr vyrobil o polovinu méně hrnků než Radim.
Slávek i Tomáš vyrobili každý o 25 % hrnků méně než Radim.

O kolik hrnků více vyrobil Tomáš než Petr?

A) 18 hrnků
D) 23 hrnků
B) 20 hrnků
E) 25 hrnků
C) 21 hrnků
F) více než 25 hrnků

Zobrazit odpověď

B

2 body

Jitka s maminkou a babičkou trhaly na zahradě rybíz do stejně velkých hrnků.
Maminka natrhala dvakrát více rybízu než Jitka.
Babička natrhala o polovinu více rybízu než Jitka.
Přitom babička natrhala o 2 hrnky rybízu méně než maminka.

Kolik hrnků rybízu natrhaly všechny tři dohromady?

A) 18 hrnků
D) 23 hrnků
B) 20 hrnků
E) 25 hrnků
C) 21 hrnků
F) více než 25 hrnků

Zobrazit odpověď

A

2 body

Na odvoz beden ze skladu se používají dva různí roboti A, B.
Ve skladu bylo 95 beden.
Bedny nejprve odvážel robot A, a to po 5 kusech. Jezdil v pravidelných intervalech a odvezl ze skladu za 2 hodiny celkem 50 beden.
Pak pokračoval robot B, který vozil bedny jen po 3 kusech, avšak v kratších pravidelných intervalech. Odvezl tak ze skladu za 1,5 hodiny zbývajících 45 beden.

Vypočtěte, kolik beden by ze skladu odvezli za 36 minut oba roboti dohromady při společném provozu.

Zobrazit odpověď

33 beden

2 body

Pan Zdeněk bydlí posledních pět osmin svého dosavadního života v Plzni, kam se přestěhoval, když mu bylo 27 let.

Kolik let bydlí pan Zdeněk v Plzni?

A) 22 let
D) 45 let
B) 27 let
E) 48 let
C) 32 let
F) více než 48 let

Zobrazit odpověď

D

2 body

Druhá mocnina neznámého prvočísla je o 3 menší než jiné prvočíslo.

Určete větší z obou prvočísel.

Zobrazit odpověď

7

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Ze zadání víme, že druhá mocnina neznámého prvočísla je o 3 menší než jiné prvočíslo. Pokud si neznámé prvočíslo označíme jako $p$, pak pro to druhé (větší) prvočíslo platí vztah: $p^2 + 3$.

Úvaha o sudosti a lichosti

Téměř všechna prvočísla jsou lichá čísla, jedinou výjimkou je číslo 2. Pokud by naše neznámé prvočíslo $p$ bylo liché, pak by i jeho druhá mocnina $p^2$ byla lichá. Přičtením čísla 3 k lichému číslu bychom ale dostali číslo sudé ($liché + liché = sudé$). Jediné sudé prvočíslo je však 2, což v našem případě není možné, protože $p^2 + 3$ bude vždy větší než 2.

Nalezení prvočísel

Jedinou možností tedy zůstává, že neznámé prvočíslo $p$ je sudé, tedy $p = 2$. Nyní vypočítáme druhé prvočíslo:
$2^2 + 3 = 4 + 3 = 7$
Číslo 7 je skutečně prvočíslo, takže podmínka ze zadání je splněna.

Závěr

Dvojice prvočísel, která vyhovuje zadání, je 2 a 7. Větší z obou prvočísel je 7.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Do ložnice jsme přikoupili postel, noční stolek a skříň.
Noční stolek byl o polovinu levnější než skříň, ale o třetinu dražší než postel.

Cenu nočního stolku označíme n.
Za všechny tři kusy nábytku do ložnice jsme zaplatili celkem 9 000 korun.

Vypočtěte, kolik korun stál noční stolek.

Zobrazit odpověď

2 400 korun

2 body

Cyklista jel část své trasy po rovině, část klesal a zbytek trasy stoupal.
Po rovině ujel třetinu délky celé trasy, a to průměrnou rychlostí 30 km/h. Klesání bylo pětkrát kratší než celá trasa a cyklista ho sjížděl průměrnou rychlostí o 40 % vyšší, než jel po rovině. Stoupání bylo na 14 km trasy a cyklista v něm měl průměrnou rychlost o polovinu nižší než při klesání.

Vypočtěte v km/h průměrnou rychlost cyklisty při klesání.

Zobrazit odpověď

42 km/h

1 bod

Cyklista jel část své trasy po rovině, část klesal a zbytek trasy stoupal.
Po rovině ujel třetinu délky celé trasy, a to průměrnou rychlostí 30 km/h. Klesání bylo pětkrát kratší než celá trasa a cyklista ho sjížděl průměrnou rychlostí o 40 % vyšší, než jel po rovině. Stoupání bylo na 14 km trasy a cyklista v něm měl průměrnou rychlost o polovinu nižší než při klesání.

Vypočtěte v km délku celé cyklistovy trasy.

Zobrazit odpověď

30 km

2 body

Cyklista jel část své trasy po rovině, část klesal a zbytek trasy stoupal.
Po rovině ujel třetinu délky celé trasy, a to průměrnou rychlostí 30 km/h. Klesání bylo pětkrát kratší než celá trasa a cyklista ho sjížděl průměrnou rychlostí o 40 % vyšší, než jel po rovině. Stoupání bylo na 14 km trasy a cyklista v něm měl průměrnou rychlost o polovinu nižší než při klesání.

Vypočtěte v minutách, jak dlouho cyklista na své trase stoupal.

Zobrazit odpověď

40 minut

1 bod