Geometrie v rovině

121 úloh

Doporučení: začněte cvičnými úlohami

S výběrem „Typ úloh: vše“ jsou smíchané úlohy z testů i úlohy k procvičení. Pro první průchod doporučujeme přepnout na cvičné úlohy a testové si nechat na celé cvičné testy nanečisto.

Roky testů:

2015

2025

Roky testů:

2015

2025

Hřiště má tvar obdélníku KLMN.
Po jeho obvodu vede soutěžní trasa se stanovišti A, B, C, D (viz obrázek).Úsečky AC a BD jsou rovnoběžné se stranami hřiště a vyznačený šedý obrazec je čtverec.
Úsek AKB soutěžní trasy (ze stanoviště A přes vrchol K na stanoviště B) měří 45 m.
Úsek BLC měří 39 m a poslední úsek CMD měří 30 m.

Vypočtěte v metrech rozdíl mezi délkami úseček BK a BL.

Zobrazit odpověď

6 m

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Úsečka $AC$ je v nákresu svislá a rovnoběžná se stranou $KL$ obdélníkového hřiště. To znamená, že vzdálenost bodu $A$ od vrcholu $K$ (na horní straně) je stejná jako vzdálenost bodu $C$ od vrcholu $L$ (na dolní straně). Můžeme tedy říct, že úsečky $AK$ a $LC$ jsou stejně dlouhé.

Vyjádření délek tras

Z textu známe délky dvou částí soutěžní trasy:

Trasa $AKB$ (z bodu $A$ přes vrchol $K$ do bodu $B$) měří $45\text{ m}$. To znamená, že $AK + BK = 45\text{ m}$.
Trasa $BLC$ (z bodu $B$ přes vrchol $L$ do bodu $C$) měří $39\text{ m}$. To znamená, že $BL + LC = 39\text{ m}$.

Výpočet rozdílu

Víme, že $AK$ je stejně dlouhá jako $LC$. Pokud bychom v druhé trase nahradili úsečku $LC$ úsečkou $AK$, celková délka by se nezměnila. Máme tedy:

$AK + BK = 45\text{ m}$
$AK + BL = 39\text{ m}$

První součet je o $6\text{ m}$ větší než druhý ($45 - 39 = 6$). Protože v obou součtech vystupuje stejná délka $AK$, musí být rozdíl způsoben délkami úseček $BK$ a $BL$. Úsečka $BK$ je tedy o $6\text{ m}$ delší než $BL$.

Závěr

Rozdíl mezi délkami úseček $BK$ a $BL$ je $6\text{ m}$.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Vypočtěte v metrech délku kratší strany hřiště.

Zobrazit odpověď

30 m

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor délek úseků

Soutěžní trasa vede po obvodu obdélníkového hřiště. Ze zadání víme, že úsečky AC a BD jsou rovnoběžné se stranami hřiště. Šedý obrazec je čtverec, což znamená, že jeho strany jsou stejně dlouhé: AN = ND.

Výpočet délky horní strany

Úsek AKB měří 45 m a skládá se z části horní strany (AK) a části levé strany (KB). Protože je úsečka BD rovnoběžná s vodorovnými stranami, je délka KB stejná jako délka ND. Vzhledem k tomu, že AK + AN tvoří celou horní stranu hřiště a AN = ND = KB, platí, že délka horní strany hřiště (KN) je rovna úseku AKB, tedy 45 m.

Výpočet délky svislé strany

Úsek CMD měří 30 m a skládá se z části dolní strany (CM) a části pravé strany (MD). Protože je úsečka AC rovnoběžná se svislými stranami, je délka CM stejná jako délka AN. Protože AN = ND, je délka CM rovna délce ND. Celá pravá strana hřiště (NM) se skládá z úseků ND + MD. Jelikož ND = CM, je délka strany NM rovna úseku CMD, tedy 30 m.

Určení kratší strany

Hřiště má jednu stranu dlouhou 45 m a druhou stranu dlouhou 30 m. Kratší strana hřiště má tedy délku 30 m.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Vypočtěte v metrech obvod hřiště.

Zobrazit odpověď

150 m

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Z obrázku a zadání víme, že úsečky $AC$ a $BD$ jsou rovnoběžné se stranami hřiště. To znamená, že protilehlé úseky na stranách jsou stejně dlouhé:

Úsek $AK$ je stejně dlouhý jako $LC$.
Úsek $CM$ je stejně dlouhý jako $AN$.
Úsek $KB$ je stejně dlouhý jako $ND$.
Úsek $BL$ je stejně dlouhý jako $MD$.

Navíc víme, že šedý obrazec u vrcholu $N$ je čtverec, takže jeho strany $AN$ a $ND$ jsou stejně dlouhé. Z toho vyplývá, že všechny čtyři úseky $AN$, $CM$, $ND$ a $KB$ mají stejnou délku.

Porovnání tras

Máme zadané délky tří úseků soutěžní trasy:

Úsek $AKB$: $AK + KB = 45\text{ m}$
Úsek $BLC$: $BL + LC = 39\text{ m}$ (protože $LC = AK$, můžeme psát $BL + AK = 39\text{ m}$)
Úsek $CMD$: $CM + MD = 30\text{ m}$ (protože $CM = KB$ a $MD = BL$, můžeme psát $KB + BL = 30\text{ m}$)

Výpočet délek úseků

Porovnáme první dvě trasy:
$AK + KB = 45\text{ m}$
$AK + BL = 39\text{ m}$

Rozdíl mezi nimi je $6\text{ metrů}$ ($45 - 39 = 6$). Protože v obou trasách je stejný úsek $AK$, musí být úsek $KB$ o $6\text{ metrů}$ delší než úsek $BL$.

Víme také, že $KB + BL = 30\text{ m}$ (ze třetí trasy). Hledáme tedy dvě čísla, jejichž součet je $30$ a rozdíl je $6$. Jsou to čísla $18$ a $12$.
Úsek $KB$ měří $18\text{ m}$ a úsek $BL$ měří $12\text{ m}$.
Dále dopočítáme $AK$: $45 - 18 = 27\text{ m}$.

Výpočet obvodu hřiště

Strany obdélníku (hřiště) jsou tvořeny součtem vypočítaných úseků:
Strana $KL$ (šířka) $= KB + BL = 18 + 12 = 30\text{ m}$
Strana $LM$ (délka) $= LC + CM = 27 + 18 = 45\text{ m}$ (protože $LC = AK$ a $CM = KB$)

Obvod hřiště vypočítáme jako součet všech jeho čtyř stran:
$2 \cdot (30 + 45) = 2 \cdot 75 = 150\text{ m}$

Závěr

Obvod hřiště je $150$ metrů.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Šestiúhelník na obrázku je rozdělen dvěma úhlopříčkami na dva bílé čtverce a dva shodné tmavé trojúhelníky.
Poměr délek stran velkého a malého čtverce je 4 : 3 a obvody obou čtverců se liší o 12 cm.
Obvod jednoho tmavého trojúhelníku je stejný jako obvod malého čtverce.

Vypočtěte v cm délku strany malého čtverce.

Zobrazit odpověď

9 cm a správný postup řešení

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza poměru a obvodů

Víme, že poměr délek stran velkého a malého čtverce je $4 : 3$. Protože obvod čtverce je čtyřnásobkem jeho strany, bude i poměr jejich obvodů stejný, tedy $4 : 3$. Rozdíl v poměru je $4 - 3 = 1$ dílek.

Výpočet hodnoty jednoho dílku

Zadání říká, že obvody obou čtverců se liší o $12$ cm. Protože tento rozdíl odpovídá $1$ dílku v našem poměru, víme, že $1$ dílek $= 12$ cm (rozdíl obvodů).

Určení obvodu malého čtverce

Malý čtverec má obvod odpovídající $3$ dílkům. Výpočet je tedy:
$3 \cdot 12 \text{ cm} = 36 \text{ cm}$.

Výpočet délky strany malého čtverce

Čtverec má čtyři stejně dlouhé strany. Délku jedné strany malého čtverce zjistíme tak, že jeho obvod vydělíme čtyřmi:
$36 \text{ cm} : 4 = 9 \text{ cm}$.

Závěr

Délka strany malého čtverce je $9$ cm.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Vypočtěte v cm² obsah šestiúhelníku.

Zobrazit odpověď

333 cm² a správný postup řešení

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet stran čtverců

Poměr délek stran velkého a malého čtverce je $4 : 3$. Označme si délku strany velkého čtverce jako $4x$ a malého jako $3x$. Jejich obvody jsou potom $16x$ a $12x$. Rozdíl obvodů je 12 cm, tedy:
$16x - 12x = 12$
$4x = 12$
$x = 3$
Strana velkého čtverce je $4 \cdot 3 = 12$ cm, strana malého čtverce je $3 \cdot 3 = 9$ cm.

Krok 2: Rozměry tmavých trojúhelníků

Tmavé trojúhelníky jsou shodné a pravoúhlé. Jejich odvěsny odpovídají stranám čtverců, tedy 12 cm a 9 cm. Přeponu $c$ vypočítáme pomocí Pythagorovy věty:
$c = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ cm.
Obvod jednoho tmavého trojúhelníku je $12 + 9 + 15 = 36$ cm. To souhlasí se zadáním, protože obvod malého čtverce je také $4 \cdot 9 = 36$ cm.

Krok 3: Výpočet obsahu šestiúhelníku

Šestiúhelník se skládá ze dvou bílých čtverců a dvou tmavých trojúhelníků. Vypočítáme obsahy jednotlivých částí:
Obsah velkého čtverce: $12 \cdot 12 = 144$ cm²
Obsah malého čtverce: $9 \cdot 9 = 81$ cm²
Obsah jednoho tmavého trojúhelníku: $\frac{12 \cdot 9}{2} = 54$ cm²

Krok 4: Celkový obsah

Celkový obsah šestiúhelníku získáme součtem všech částí:
$S = 144 + 81 + 2 \cdot 54 = 225 + 108 = 333$ cm²
Výsledný obsah šestiúhelníku je 333 cm².

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Určete, kolikrát větší je obvod šestiúhelníku než obvod malého čtverce.

Zobrazit odpověď

2 krát a správný postup řešení

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet délek stran čtverců

Ze zadání víme, že poměr délek stran velkého a malého čtverce je $4 : 3$. Označíme-li stranu velkého čtverce jako $a$ a stranu malého čtverce jako $b$, můžeme psát $a = 4x$ a $b = 3x$. Obvody čtverců se liší o 12 cm, tedy: $4a - 4b = 12$ $4 \cdot 4x - 4 \cdot 3x = 12$ $16x - 12x = 12$ $4x = 12$ $x = 3\text{ cm}$ Strana velkého čtverce má délku $a = 4 \cdot 3 = 12\text{ cm}$ a strana malého čtverce $b = 3 \cdot 3 = 9\text{ cm}$. Obvod malého čtverce je $O_b = 4 \cdot 9 = 36\text{ cm}$.

Krok 2: Výpočet délek stran trojúhelníků

Šestiúhelník je rozdělen na dva čtverce a dva shodné trojúhelníky. Každý trojúhelník má dvě strany společné se stranami čtverců (jednu délky $a = 12\text{ cm}$ a druhou délky $b = 9\text{ cm}$). Třetí strana $c$ je vnější stranou šestiúhelníku. Víme, že obvod trojúhelníku je stejný jako obvod malého čtverce (36 cm): $a + b + c = 36$ $12 + 9 + c = 36$ $21 + c = 36$ $c = 15\text{ cm}$

Krok 3: Výpočet obvodu šestiúhelníku

Obvod šestiúhelníku se skládá ze dvou vnějších stran velkého čtverce, dvou vnějších stran malého čtverce a dvou vnějších stran $c$, které patří trojúhelníkům: $O_{š} = 2 \cdot a + 2 \cdot b + 2 \cdot c$ $O_{š} = 2 \cdot 12 + 2 \cdot 9 + 2 \cdot 15 = 24 + 18 + 30 = 72\text{ cm}$

Krok 4: Porovnání obvodů

Nyní určíme, kolikrát větší je obvod šestiúhelníku ($O_{š} = 72\text{ cm}$) než obvod malého čtverce ($O_b = 36\text{ cm}$): $72 : 36 = 2$ Obvod šestiúhelníku je 2krát větší než obvod malého čtverce.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

V obdélníku ABCD leží na straně CD bod X.
Přímka o₁ je osa úhlu BAX a přímka o₂ je osa úhlu AXB.
Velikosti některých úhlů jsou vyznačeny v obrázku.

Jaká je velikost úhlu 𝛼?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní).

A) 22°
D) 40°
B) 28°
E) jiná velikost
C) 34°

Zobrazit odpověď

2 body

Osově souměrný pětiúhelník ve tvaru domečku se skládá ze dvou čtverců a rovnoramenného trojúhelníku.
Obvod pětiúhelníku je 46 cm.
V rovnoramenném trojúhelníku je rameno o 3 cm delší než základna a výška na základnu je o 1 cm kratší než rameno.

Vypočtěte v cm délku strany čtverce.

Zobrazit odpověď

5 cm a správný postup řešení

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrazce

Obrazec se skládá ze dvou čtverců a rovnoramenného trojúhelníku. Pokud si stranu jednoho čtverce označíme jako $a$, pak spodní část domečku tvoří obdélník o stranách $2a$ (šířka) a $a$ (výška). Základna trojúhelníku je shodná s horní stranou tohoto obdélníku, má tedy délku $2a$.

Vyjádření ramen trojúhelníku

V zadání se píše, že rameno trojúhelníku je o 3 cm delší než základna. Základna je $2a$, takže délka jednoho ramene je $(2a + 3)$ cm.

Sestavení rovnice pro obvod

Obvod celého pětiúhelníku tvoří:

spodní strana obdélníku: $2a$
dvě boční strany obdélníku: $a + a = 2a$
dvě ramena trojúhelníku: $2 \cdot (2a + 3)$

Dohromady je obvod: $2a + 2a + 2 \cdot (2a + 3) = 4a + 4a + 6 = 8a + 6$.

Výpočet strany čtverce

Víme, že celkový obvod je 46 cm. Sestavíme a vyřešíme rovnici:
$8a + 6 = 46$
$8a = 40$
$a = 5$
Strana čtverce tedy měří 5 cm.

Ověření

Pro kontrolu dopočítáme rozměry trojúhelníku: základna je $2 \cdot 5 = 10$ cm, rameno je $10 + 3 = 13$ cm a výška je o 1 cm kratší než rameno, tedy $13 - 1 = 12$ cm. Podle Pythagorovy věty v polovině trojúhelníku musí platit: $5^2 + 12^2 = 13^2$, což je $25 + 144 = 169$. Výpočet je správný.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Vypočtěte v cm² obsah pětiúhelníku.

Zobrazit odpověď

110 cm² a správný postup řešení

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Rozbor obrazce a označení stran

Pětiúhelník ve tvaru domečku se skládá ze dvou shodných čtverců umístěných vedle sebe a rovnoramenného trojúhelníku nad nimi. Označíme-li stranu čtverce jako $a$, pak základna trojúhelníku má délku $2a$ (odpovídá šířce obou čtverců dohromady). Rameno trojúhelníku označíme jako $b$.

Krok 2: Výpočet rozměrů z obvodu

Z textu víme, že rameno $b$ je o 3 cm delší než základna ($2a$), tedy $b = 2a + 3$. Obvod pětiúhelníku (46 cm) tvoří dvě ramena trojúhelníku ($2b$) a vnější strany čtverců (dvě svislé boční strany $a$ a jedna spodní vodorovná strana délky $2a$).
Sestavíme rovnici pro obvod:
$2b + a + 2a + a = 46$
$2b + 4a = 46$

Dosadíme za $b$ výraz $(2a + 3)$:
$2(2a + 3) + 4a = 46$
$4a + 6 + 4a = 46$
$8a = 40$
$a = 5$ cm.

Strana čtverce je tedy 5 cm. Základna trojúhelníku je $2 \cdot 5 = 10 cm$ a rameno $b = 10 + 3 = 13 cm$.

Krok 3: Výpočet obsahu jednotlivých částí

Výška trojúhelníku ($v$) je o 1 cm kratší než rameno, tedy $v = 13 - 1 = 12$ cm.
Nyní vypočítáme obsahy:
Obsah dvou čtverců: $S_1 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50$ cm².
Obsah trojúhelníku: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot \text{základna} \cdot \text{výška} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ cm².

Krok 4: Celkový obsah

Celkový obsah pětiúhelníku získáme sečtením obou částí:
$S = S_1 + S_2 = 50 + 60 = 110$ cm².

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Kružnice se středem S prochází body A, B, K, L. Úsečky AB a KL se protínají v bodě S.
V obrázku jsou vyznačeny velikosti některých úhlů.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

α > 64°

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní).

Zobrazit odpověď

4 body za skupinu