Geometrie v rovině

121 úloh

Roky testů:

2015

2025

Hřiště má tvar obdélníku KLMN.
Po jeho obvodu vede soutěžní trasa se stanovišti A, B, C, D (viz obrázek).Úsečky AC a BD jsou rovnoběžné se stranami hřiště a vyznačený šedý obrazec je čtverec.
Úsek AKB soutěžní trasy (ze stanoviště A přes vrchol K na stanoviště B) měří 45 m.
Úsek BLC měří 39 m a poslední úsek CMD měří 30 m.

Vypočtěte v metrech rozdíl mezi délkami úseček BK a BL.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Úsečka $AC$ je v nákresu svislá a rovnoběžná se stranou $KL$ obdélníkového hřiště. To znamená, že vzdálenost bodu $A$ od vrcholu $K$ (na horní straně) je stejná jako vzdálenost bodu $C$ od vrcholu $L$ (na dolní straně). Můžeme tedy říct, že úsečky $AK$ a $LC$ jsou stejně dlouhé.

Vyjádření délek tras

Z textu známe délky dvou částí soutěžní trasy:

Trasa $AKB$ (z bodu $A$ přes vrchol $K$ do bodu $B$) měří $45\text{ m}$. To znamená, že $AK + BK = 45\text{ m}$.
Trasa $BLC$ (z bodu $B$ přes vrchol $L$ do bodu $C$) měří $39\text{ m}$. To znamená, že $BL + LC = 39\text{ m}$.

Výpočet rozdílu

Víme, že $AK$ je stejně dlouhá jako $LC$. Pokud bychom v druhé trase nahradili úsečku $LC$ úsečkou $AK$, celková délka by se nezměnila. Máme tedy:

$AK + BK = 45\text{ m}$
$AK + BL = 39\text{ m}$

První součet je o $6\text{ m}$ větší než druhý ($45 - 39 = 6$). Protože v obou součtech vystupuje stejná délka $AK$, musí být rozdíl způsoben délkami úseček $BK$ a $BL$. Úsečka $BK$ je tedy o $6\text{ m}$ delší než $BL$.

Závěr

Rozdíl mezi délkami úseček $BK$ a $BL$ je $6\text{ m}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

6 m

Stav úlohy

1 bod

Vypočtěte v metrech délku kratší strany hřiště.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor délek úseků

Soutěžní trasa vede po obvodu obdélníkového hřiště. Ze zadání víme, že úsečky AC a BD jsou rovnoběžné se stranami hřiště. Šedý obrazec je čtverec, což znamená, že jeho strany jsou stejně dlouhé: AN = ND.

Výpočet délky horní strany

Úsek AKB měří 45 m a skládá se z části horní strany (AK) a části levé strany (KB). Protože je úsečka BD rovnoběžná s vodorovnými stranami, je délka KB stejná jako délka ND. Vzhledem k tomu, že AK + AN tvoří celou horní stranu hřiště a AN = ND = KB, platí, že délka horní strany hřiště (KN) je rovna úseku AKB, tedy 45 m.

Výpočet délky svislé strany

Úsek CMD měří 30 m a skládá se z části dolní strany (CM) a části pravé strany (MD). Protože je úsečka AC rovnoběžná se svislými stranami, je délka CM stejná jako délka AN. Protože AN = ND, je délka CM rovna délce ND. Celá pravá strana hřiště (NM) se skládá z úseků ND + MD. Jelikož ND = CM, je délka strany NM rovna úseku CMD, tedy 30 m.

Určení kratší strany

Hřiště má jednu stranu dlouhou 45 m a druhou stranu dlouhou 30 m. Kratší strana hřiště má tedy délku 30 m.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

30 m

Stav úlohy

1 bod

Vypočtěte v metrech obvod hřiště.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Z obrázku a zadání víme, že úsečky $AC$ a $BD$ jsou rovnoběžné se stranami hřiště. To znamená, že protilehlé úseky na stranách jsou stejně dlouhé:

Úsek $AK$ je stejně dlouhý jako $LC$.
Úsek $CM$ je stejně dlouhý jako $AN$.
Úsek $KB$ je stejně dlouhý jako $ND$.
Úsek $BL$ je stejně dlouhý jako $MD$.

Navíc víme, že šedý obrazec u vrcholu $N$ je čtverec, takže jeho strany $AN$ a $ND$ jsou stejně dlouhé. Z toho vyplývá, že všechny čtyři úseky $AN$, $CM$, $ND$ a $KB$ mají stejnou délku.

Porovnání tras

Máme zadané délky tří úseků soutěžní trasy:

Úsek $AKB$: $AK + KB = 45\text{ m}$
Úsek $BLC$: $BL + LC = 39\text{ m}$ (protože $LC = AK$, můžeme psát $BL + AK = 39\text{ m}$)
Úsek $CMD$: $CM + MD = 30\text{ m}$ (protože $CM = KB$ a $MD = BL$, můžeme psát $KB + BL = 30\text{ m}$)

Výpočet délek úseků

Porovnáme první dvě trasy:
$AK + KB = 45\text{ m}$
$AK + BL = 39\text{ m}$

Rozdíl mezi nimi je $6\text{ metrů}$ ($45 - 39 = 6$). Protože v obou trasách je stejný úsek $AK$, musí být úsek $KB$ o $6\text{ metrů}$ delší než úsek $BL$.

Víme také, že $KB + BL = 30\text{ m}$ (ze třetí trasy). Hledáme tedy dvě čísla, jejichž součet je $30$ a rozdíl je $6$. Od součtu odečteme rozdíl: $30 - 6 = 24$. To jsou dvě stejně dlouhé kratší části, takže $BL$ měří $24 : 2 = 12$ m. Delší $KB$ měří $12 + 6 = 18$ m.
Úsek $KB$ měří $18\text{ m}$ a úsek $BL$ měří $12\text{ m}$.
Dále dopočítáme $AK$: $45 - 18 = 27\text{ m}$.

Výpočet obvodu hřiště

Strany obdélníku (hřiště) jsou tvořeny součtem vypočítaných úseků:
Strana $KL$ (šířka) $= KB + BL = 18 + 12 = 30\text{ m}$
Strana $LM$ (délka) $= LC + CM = 27 + 18 = 45\text{ m}$ (protože $LC = AK$ a $CM = KB$)

Obvod hřiště vypočítáme jako součet všech jeho čtyř stran:
$2 \cdot (30 + 45) = 2 \cdot 75 = 150\text{ m}$

Závěr

Obvod hřiště je $150$ metrů.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

150 m

Stav úlohy

1 bod

Bezplatné procvičování v této kategorii je vyčerpané

Zdarma jsou dostupné 3 rozřazené cvičné otázky z každé kategorie. S předplatným od 49 Kč pokračujete bez omezení a získáte i řešení a pracovní listy k tisku.