Číslo a početní operace

197 úloh

Doporučení: začněte cvičnými úlohami

S výběrem „Typ úloh: vše“ jsou smíchané úlohy z testů i úlohy k procvičení. Pro první průchod doporučujeme přepnout na cvičné úlohy a testové si nechat na celé cvičné testy nanečisto.

Roky testů:

2015

2025

Roky testů:

2015

2025

Písmena S, T, U představují tři navzájem různé číslice.
V zápise součtu tří dvouciferných čísel se písmena nahradí číslicemi tak, aby byl výpočet správný.
$ \displaystyle \begin{array}{rrr} & S & T \\ & S & T \\ & T & U \\ \hline 2 & 1 & 1 \end{array} $

Určete číslice, kterými se nahradí písmena S, T, U, a zapište je v tomto pořadí.

Najděte všechna tři řešení.

Zobrazit odpověď

9, 2, 7; 8, 4, 3; 5, 9, 3

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor sloupečků

Sčítáme tři dvouciferná čísla pod sebou. Začneme levým sloupečkem (desítkami), abychom omezili možnosti. V levém sloupečku sčítáme dvě číslice $S$ a jednu číslici $T$. Nesmíme ale zapomenout na to, že z pravého sloupečku (z jednotek) se nám může převést nějaké číslo – takzvaný přenos. V pravém sloupečku sčítáme $T+T+U$, a protože největší jednociferné číslo je 9, maximální součet je $9+9+9=27$. Přenos do desítek tedy může být 0, 1 nebo 2. Součet v desítkách dává dohromady $21$. Tedy $S + S + T + \text{přenos} = 21$. Z toho poznáme, že číslice $S$ musí být dostatečně velká. Kdyby bylo např. $S=4$, tak $4+4 = 8$ a i s největším možným $T=9$ a přenosem $2$ bychom se dostali nejvýše na $19$. Číslice $S$ tedy musí být 5, 6, 7, 8 nebo 9.

Zkoušení možností pro S = 5 a S = 6

Budeme postupně zkoušet možnosti pro písmeno $S$.

Pokud $S = 5$: Součet desítek je $5 + 5 + T + \text{přenos} = 21$. Abychom se dostali na 21, musí chybět 11. To znamená, že musí být $T = 9$ a přenos přesně 2. V pravém sloupečku (jednotky) pak počítáme $T+T+U$, tedy $9+9+U = 18+U$. Výsledek má končit na jedničku a jít přes 20 (kvůli přenosu 2), musí to být tedy 21. Z rovnice $18+U = 21$ nám vychází $U = 3$. Zkontrolujeme číslice $5, 9, 3$ – jsou různé a výpočet $59 + 59 + 93 = 211$ platí. Máme první řešení.
Pokud $S = 6$: V desítkách máme $6+6+T+\text{přenos} = 21$, takže $12+T+\text{přenos} = 21$, chybí 9. Pokud by byl přenos $2$, muselo by být $T=7$. V jednotkách by pak bylo $7+7+U = 14+U$, což by se muselo rovnat 21 (protože přenos je 2). Pak by $U=7$, ale my hledáme různé číslice, $T$ a $U$ nesmí být stejné. Pokud by byl přenos $1$, tak $T=8$. V jednotkách $8+8+U = 16+U$. Aby výsledek končil na jedničku a přenos byl jen 1, musel by součet být 11, což nepůjde (protože $16+U$ je více než 11). Pro $S=6$ tedy řešení nenajdeme.

Zkoušení možností pro S = 7, 8 a 9

Pokud $S = 7$: V desítkách $7+7+T+\text{přenos} = 21$, z čehož $14+T+\text{přenos}=21$, takže $T+\text{přenos} = 7$. Pokud by byl přenos $1$, bylo by $T=6$. V jednotkách $6+6+U=12+U$, chtěli bychom součet 11, což nejde. Pokud by byl přenos 2, tak $T=5$. V jednotkách $5+5+U=10+U$, chtěli bychom součet 21. Pak by $U=11$, ale to není jednociferné číslo.
Pokud $S = 8$: V desítkách $8+8+T+\text{přenos} = 21$, z čehož $16+T+\text{přenos} = 21$, takže $T+\text{přenos} = 5$. Zkusme přenos $1$. Pak $T=4$. V jednotkách budeme počítat $4+4+U = 8+U$. Součet má končit na 1 s přenosem 1, má tedy být 11. $8+U = 11$, z toho plyne $U = 3$. Číslice $8, 4, 3$ jsou různé a zkouška $84+84+43 = 211$ vychází. Máme druhé řešení.
Pokud $S = 9$: V desítkách $9+9+T+\text{přenos} = 21$, z čehož $18+T+\text{přenos} = 21$, takže $T+\text{přenos} = 3$. Zkusíme opět přenos $1$. Pak by $T=2$. V jednotkách budeme počítat $2+2+U = 4+U$, součet má být 11 (aby končil na 1 s přenosem 1). Pak $U = 7$. Číslice $9, 2, 7$ jsou různé a zkouška $92+92+27 = 211$ vychází. Máme třetí řešení.

Závěr

Podařilo se nám najít všechny tři hledané trojice číslic. Písmena $S, T, U$ nahradíme číslicemi takto:

první možnost: $5, 9, 3$
druhá možnost: $8, 4, 3$
třetí možnost: $9, 2, 7$

Pomohlo vám toto řešení?

3 body

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{1}{4} + (\frac{9}{10} - \frac{3}{5}) - (1 - \frac{1}{6}) : \frac{5}{3} =$

Zobrazit odpověď

1/20 a správný postup řešení

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet závorek

Nejdříve vypočítáme hodnoty v obou závorkách. V první závorce převedeme zlomky na společného jmenovatele (10).
První závorka: $\frac{9}{10} - \frac{3}{5} = \frac{9}{10} - \frac{6}{10} = \frac{3}{10}$
Druhá závorka: $1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Dělení zlomků

Nyní vypočítáme podíl za druhou závorkou. Dělit zlomkem znamená násobit jeho převrácenou hodnotou. Před násobením můžeme krátit.
$\frac{5}{6} : \frac{5}{3} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$

Celkový výpočet

Dosadíme výsledky zpět do původního výrazu a sečteme/odečteme zlomky. Společným jmenovatelem pro čísla 4, 10 a 2 je číslo 20.
$\frac{1}{4} + \frac{3}{10} - \frac{1}{2} = \frac{5}{20} + \frac{6}{20} - \frac{10}{20} = \frac{5 + 6 - 10}{20} = \frac{1}{20}$

Závěr

Výsledný zlomek v základním tvaru je $\frac{1}{20}$.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}}{\frac{27}{34} \cdot \left(\frac{2}{3} - \frac{9}{5}\right)} =$

Zobrazit odpověď

-2/5 a správný postup řešení

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Vynásobíme zlomky v čitateli složeného zlomku: $\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$

Závorka ve jmenovateli

Ve jmenovateli má přednost závorka. Zlomky v závorce převedeme na společného jmenovatele $15$ a odečteme: $\frac{2}{3} - \frac{9}{5} = \frac{10}{15} - \frac{27}{15} = -\frac{17}{15}$

Výpočet jmenovatele

Výsledek závorky vynásobíme zlomkem $\frac{27}{34}$. Před násobením zlomky křížem zkrátíme – čísla $27$ a $15$ zkrátíme třemi, čísla $34$ a $17$ zkrátíme sedmnácti: $\frac{27}{34} \cdot \left(-\frac{17}{15}\right) = \frac{9}{2} \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = -\frac{9}{10}$

Dokončení výpočtu

Složený zlomek upravíme tak, že čitatel vydělíme jmenovatelem. Dělení zlomkem převedeme na násobení převráceným zlomkem: $\frac{\frac{9}{25}}{-\frac{9}{10}} = \frac{9}{25} : \left(-\frac{9}{10}\right) = \frac{9}{25} \cdot \left(-\frac{10}{9}\right)$

Zlomky opět křížem zkrátíme. Devítky se zkrátí navzájem, čísla $25$ a $10$ zkrátíme pěti: $\frac{1}{5} \cdot \left(-\frac{2}{1}\right) = -\frac{2}{5}$

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Písmena K, L představují dvě různé číslice.
V zápise součtu dvou trojciferných čísel se písmena nahradí číslicemi a místo hvězdiček se zapíšou chybějící číslice součtu tak, aby byl výpočet správný.
$ \displaystyle \begin{array}{rrrr} & K & L & L \\ & K & L & K \\ \hline \ast & \ast & 1 & 1 \end{array} $

Určete číslice, kterými se nahradí písmena K, L, a zapište je v tomto pořadí.

Zobrazit odpověď

6, 5

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Sloupeček úplně vpravo

Začneme sčítat zprava jako při běžném sčítání pod sebou. V prvním sloupečku sčítáme písmena $L$ a $K$. Výsledek pod čarou má na konci číslici $1$.

Součet dvou jednociferných čísel může končit jedničkou jen tehdy, když je výsledek buď $1$, nebo $11$.

Pokud by byl součet $1$, pak by číslice $K$ a $L$ musely být $0$ a $1$. Zkusíme to v dalším sloupečku: pokud by $L = 0$, pak $0 + 0 = 0$, ale pod čarou má být $1$. Pokud by $L = 1$, pak $1 + 1 = 2$, ale pod čarou má být zase $1$. Součet tedy nemůže být $1$.
Jediná možnost je, že součet $L + K = 11$. Dále si tedy pamatujeme $1$ do dalšího sloupečku.

Prostřední sloupeček

Přesuneme se k prostřednímu sloupečku. Zde sčítáme dvě stejná písmena $L + L$ a navíc musíme přičíst jedničku, kterou si pamatujeme z předchozího kroku.

Součet $L + L + 1$ má pod čarou také končit jedničkou. To znamená, že $L + L$ samotné musí končit nulou. Součet dvou stejných číslic končí nulou tehdy, když obě číslice jsou buď $0$, nebo $5$.

Kdyby bylo $L = 0$, pak by v prvním sloupečku muselo platit $0 + K = 11$. Číslice ale může být nejvýše $9$, proto $L$ nesmí být nula.
Musí tedy platit, že $L = 5$. V prostředním sloupečku tak sečteme $5 + 5 + 1 = 11$. Jedničku napíšeme pod čáru a jedničku si opět pamatujeme. Tím jsme si potvrdili, že vše sedí.

Určení číslice K a kontrola

Z prvního kroku víme, že $L + K = 11$. Nyní už víme, že $L = 5$.

Dosadíme a spočítáme: $5 + K = 11$. Z toho snadno určíme, že $K = 6$.

Pro kontrolu spočítáme celý příklad: $\displaystyle \begin{array}{rrrr} & 6 & 5 & 5 \\ & 6 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 3 & 1 & 1 \end{array}$

Výsledek $1311$ má na konci dvě jedničky, což přesně odpovídá zadání $**11$. Měli jsme zapsat číslice pro $K$ a $L$ v tomto pořadí, takže náš výsledek je $6, 5$.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle 1 - 1 \div \frac{3}{5} + \frac{5}{3} \div 10 =$

Zobrazit odpověď

-1/2 a správný postup řešení

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Dělení zlomků

Nejprve musíme vypočítat dělení, protože má přednost před sčítáním a odčítáním. Dělit zlomkem znamená násobit jeho převrácenou hodnotou. $1 : \frac{3}{5} = 1 \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{3}$ $\frac{5}{3} : 10 = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{10} = \frac{5}{30}$ Zlomek $\frac{5}{30}$ můžeme zkrátit pěti, dostaneme $\frac{1}{6}$.

Společný jmenovatel

Vypočítané hodnoty dosadíme zpět do příkladu: $1 - \frac{5}{3} + \frac{1}{6}$ Abychom mohli zlomky a celá čísla sčítat a odčítat, převedeme je na společného jmenovatele. Tím bude číslo 6. Číslo $1$ převedeme na $\frac{6}{6}$. Zlomek $\frac{5}{3}$ rozšíříme dvěma na $\frac{10}{6}$.

Výpočet a úprava na základní tvar

Vše zapíšeme se společným jmenovatelem a vypočítáme: $\frac{6}{6} - \frac{10}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6 - 10 + 1}{6} = \frac{-3}{6} = -\frac{3}{6}$ Zadání vyžaduje výsledek v základním tvaru. Zlomek tedy ještě zkrátíme třemi: $-\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{5 \cdot \frac{7}{100} + 0,01}{\frac{2}{5} + \frac{2}{25}} =$

Zobrazit odpověď

3/4 a správný postup řešení

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Nejdříve vypočítáme čitatel složeného zlomku. Desetinné číslo $0{,}01$ převedeme na zlomek $\frac{1}{100}$:

$5 \cdot \frac{7}{100} + 0{,}01 = \frac{35}{100} + \frac{1}{100} = \frac{36}{100}$

Výsledek můžeme zkrátit číslem $4$:

$\frac{36}{100} = \frac{9}{25}$

Výpočet jmenovatele

Nyní vypočítáme jmenovatel složeného zlomku. Převedeme oba zlomky na společného jmenovatele $25$:

$\frac{2}{5} + \frac{2}{25} = \frac{10}{25} + \frac{2}{25} = \frac{12}{25}$

Úprava složeného zlomku

Vypočítané části dosadíme zpět do zadání. Hlavní zlomková čára znamená dělení. Dělit zlomkem je stejné jako násobit jeho převrácenou hodnotou:

$\frac{\frac{9}{25}}{\frac{12}{25}} = \frac{9}{25} : \frac{12}{25} = \frac{9}{25} \cdot \frac{25}{12}$

Zlomky před vynásobením křížem zkrátíme (obě čísla $25$):

$\frac{9}{25} \cdot \frac{25}{12} = \frac{9}{12}$

Nakonec výsledek zkrátíme číslem $3$ na základní tvar:

$\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

2 podúlohy 3 body, 1 podúloha 2 body

V diagramu se do prázdných kroužků doplní taková čísla, aby byly všechny výpočty provedené ve směru šipek správné.

Určete číslo, které patří do silně ohraničeného kroužku.

Zobrazit odpověď

120

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor schématu

V diagramu máme dva kroužky a dvě operace. Horní šipka nám říká, že když k číslu v levém kroužku přičteme 80, dostaneme číslo v pravém (silně ohraničeném) kroužku. Dolní šipka nám říká, že když číslo v pravém kroužku vydělíme 3, dostaneme se zpět na číslo v levém kroužku.

Logická úvaha

Z dolní šipky vyplývá, že číslo v pravém kroužku je třikrát větší než číslo v levém kroužku. Pokud si číslo v levém kroužku představíme jako jeden „dílek“, pak číslo v pravém kroužku tvoří tři takové „dílky“.

Výpočet rozdílu

Rozdíl mezi číslem v pravém a levém kroužku je dán horní šipkou, tedy +80. Tento rozdíl (80) musí odpovídat dvěma „dílkům“ (protože $3 - 1 = 2$).
Pokud dva dílky jsou 80, pak jeden dílek musí být:
$80 : 2 = 40$

Určení hledaného čísla

Do silně ohraničeného (pravého) kroužku patří tři dílky:
$3 \cdot 40 = 120$

Ověření

V levém kroužku je 40. Pokud k němu přičteme 80, dostaneme 120. Pokud 120 vydělíme 3, dostaneme 40. Výpočty ve směru šipek tedy souhlasí.

Pomohlo vám toto řešení?

3 body za skupinu

2 podúlohy 3 body, 1 podúloha 2 body

V diagramu se do prázdných kroužků doplní taková čísla, aby byly všechny výpočty provedené ve směru šipek správné.

Určete číslo, které patří do silně ohraničeného kroužku.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor schématu

V diagramu jsou tři kroužky propojené šipkami, které tvoří uzavřený cyklus. Pokud si číslo v levém dolním kroužku označíme jako neznámou, můžeme vyjádřit ostatní čísla následovně:

V horním kroužku bude číslo o 10 větší než v levém dolním.
V pravém dolním kroužku (silně ohraničeném) bude dvojnásobek čísla z horního kroužku.
Odečtením 34 od čísla v pravém dolním kroužku se musíme dostat zpět na původní číslo v levém dolním kroužku.

Výpočet výchozího čísla

Hledáme takové číslo, které se po přičtení 10, vynásobení dvěma a odečtení 34 nezmění. Můžeme to zapsat pomocí rovnice:

$(x + 10) \cdot 2 - 34 = x$

Roznásobíme závorku: $2x + 20 - 34 = x$ $2x - 14 = x$ $x = 14$ V levém dolním kroužku je tedy číslo 14.

Určení čísla v silně ohraničeném kroužku

Nyní dopočítáme hodnotu v cílovém (silně ohraničeném) kroužku:

Horní kroužek: $14 + 10 = 24$
Pravý dolní kroužek: $24 \cdot 2 = 48$

Pro kontrolu ověříme zbytek cyklu: $48 - 34 = 14$, což sedí.

Závěr

Do silně ohraničeného kroužku patří číslo 48.

Pomohlo vám toto řešení?

3 body za skupinu

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

Uveďte postup řešení.

$\displaystyle (\frac{7}{5} - \frac{7}{4}) \div (2 - \frac{6}{5} \cdot \frac{4}{3}) =$

Zobrazit odpověď

-7/8 a správný postup řešení

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet první závorky

Nejprve vypočítáme hodnotu první závorky. Zlomky převedeme na společného jmenovatele, kterým je číslo $20$:

$\displaystyle \frac{7}{5} - \frac{7}{4} = \frac{7 \cdot 4 - 7 \cdot 5}{20} = \frac{28 - 35}{20} = -\frac{7}{20}$

Výpočet druhé závorky

V druhé závorce má násobení přednost před odčítáním. Zlomky můžeme před vynásobením vykrátit (čísla $6$ a $3$ dělíme třemi):

$\displaystyle 2 - \frac{6}{5} \cdot \frac{4}{3} = 2 - \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{1} = 2 - \frac{8}{5}$

Nyní obě čísla odečteme. Číslo $2$ si zapíšeme jako zlomek s jmenovatelem $5$ (tedy $\frac{10}{5}$):

$\displaystyle \frac{10}{5} - \frac{8}{5} = \frac{2}{5}$

Dokončení výpočtu

Nakonec výsledky z první a druhé závorky mezi sebou vydělíme. Dělení zlomkem nahradíme násobením jeho převrácenou hodnotou:

$\displaystyle \left(-\frac{7}{20}\right) \div \frac{2}{5} = -\frac{7}{20} \cdot \frac{5}{2}$

Před vynásobením křížem vykrátíme čísla $20$ a $5$ (dělíme je pěti):

$\displaystyle -\frac{7}{4} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{7}{8}$

Výsledek je v základním tvaru.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru. V záznamovém archu uveďte v obou částech úlohy postup řešení.

Uveďte postup řešení.

$\displaystyle \frac{\frac{8}{7} \cdot (1 + \frac{1}{7}) \cdot \frac{7}{4}}{5 - \frac{9}{5}} =$

Zobrazit odpověď

5/7 a správný postup řešení

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele složeného zlomku

Nejprve vypočítáme hodnotu závorky: $1 + \frac{1}{7} = \frac{7}{7} + \frac{1}{7} = \frac{8}{7}$

Následně vynásobíme zlomky v čitateli. Výpočet si můžeme ulehčit křížovým krácením (sedmičky vykrátíme sedmi, osmičku a čtyřku vykrátíme čtyřmi): $\frac{8}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{7}{4} = \frac{8}{7} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{1} = \frac{16}{7}$

Výpočet jmenovatele složeného zlomku

Ve jmenovateli odečteme zlomek od celého čísla. Pětku si převedeme na pětiny: $5 - \frac{9}{5} = \frac{25}{5} - \frac{9}{5} = \frac{16}{5}$

Dělení zlomků

Složený zlomek přepíšeme jako dělení dvou zlomků. Čitatele (horní část) vydělíme jmenovatelem (spodní částí). Dělení zlomkem převedeme na násobení jeho převrácenou hodnotou: $\frac{\frac{16}{7}}{\frac{16}{5}} = \frac{16}{7} : \frac{16}{5} = \frac{16}{7} \cdot \frac{5}{16}$

Zlomky před vynásobením opět vykrátíme (šestnáctky): $\frac{16}{7} \cdot \frac{5}{16} = \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{1} = \frac{5}{7}$

Pomohlo vám toto řešení?

2 body