Cena dětské vstupenky do muzea je rovna dvěma pětinám ceny vstupenky pro dospělého. Jeden dospělý se třemi dětmi zaplatil za vstupenky 330 korun.
Vypočtěte v korunách cenu jedné dětské vstupenky.
Zobrazit odpověď
60 korun
Vypočtěte druhou odmocninu ze součinu smíšených čísel 614 a 279. Výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.
Zobrazit odpověď
25/6
Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.
$\displaystyle (\frac{11}{5} - \frac{11}{6}) \div (-\frac{1}{3}) =$
Zobrazit odpověď
-11/10
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Výpočet v závorce
$\frac{11}{5} - \frac{11}{6} = \frac{11 \cdot 6}{30} - \frac{11 \cdot 5}{30} = \frac{66}{30} - \frac{55}{30} = \frac{11}{30}$
Dělení zlomků
$\frac{11}{30} \div (-\frac{1}{3}) = \frac{11}{30} \cdot (-\frac{3}{1}) = -\frac{11 \cdot 3}{30} = -\frac{33}{30}$
Základní tvar zlomku
$-\frac{33}{30} = -\frac{11}{10}$
Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.
$\displaystyle \frac{20 - \sqrt{4 \cdot 3^{2}}}{3 \cdot \sqrt{100 - 64}} \div \frac{4 + 3}{4 \cdot 3} =$
Zobrazit odpověď
4/3 a spravny postup reseni
Upravte na co nejjednodušší tvar bez závorek:
$\displaystyle x \cdot 3x - 2x \cdot 3 - (x - 3)^{2} =$
Zobrazit odpověď
2x² - 9
Upravte a výsledný výraz rozložte na součin vytknutím:
$\displaystyle (2k)^{2} - k \cdot (1 + 2k) =$
Zobrazit odpověď
k (2k - 1)
Upravte na co nejjednodušší tvar bez závorek:
$\displaystyle 7a \cdot (a + 3) + 2 \cdot (1 - 3a) \cdot (a + 5) =$
Zobrazit odpověď
a² - 7a + 10 a spravny postup reseni
Řešte rovnici:
$\displaystyle \frac{7}{12}x + 2 \cdot (\frac{3}{8}x - 1) = -3 \cdot (\frac{x}{9} + 1)$
Zobrazit odpověď
x = -3/5 a spravny postup reseni
Řešte soustavu rovnic:
$\displaystyle 6x + y = 14$
$\displaystyle 3x + 2y = 1$
Zobrazit odpověď
x = 3, y = -4 a správný postup řešení
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Vyjádření neznámé
Z první rovnice si vyjádříme neznámou $y$:
$y = 14 - 6x$
Dosazení do druhé rovnice
$3x + 2(14 - 6x) = 1$
Roznásobíme závorku:
$3x + 28 - 12x = 1$
Upravíme rovnici (sečteme členy s $x$):
$-9x + 28 = 1$
Odečteme 28 od obou stran:
$-9x = -27$
Vydělíme -9: $x = 3$
Dopočítání druhé neznámé
$y = 14 - 6 \cdot 3$
$y = 14 - 18$
$y = -4$
Zápis výsledku
Číslo 231 lze rozložit na součin tří prvočísel a * b * c.
Určete nejmenší z prvočísel a, b, c.
Zobrazit odpověď
3
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Rozklad čísla na součin prvočísel
231 : 3 = 77
Dokončení rozkladu
77 : 7 = 11
Číslo 11 je samo o sobě prvočíslo.
Určení prvočísel
231 = 3 7 11
Hledaná prvočísla jsou 3, 7 a 11.
Výsledek
Číslo 231 lze rozložit na součin tří prvočísel a * b * c.
Určete součet všech tří prvočísel a + b + c
Zobrazit odpověď
21
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Rozklad čísla 231 na součin prvočísel
$231 : 3 = 77$
Číslo 77 dále rozložíme na součin $7 × 11$. Obě tato čísla jsou prvočísla. Rozklad čísla 231 na součin tří prvočísel tedy je:
$231 = 3 × 7 × 11$
Výpočet součtu prvočísel
$3 + 7 + 11 = 21$
Závěr
Číslo 231 lze rozložit na součin tří prvočísel a * b * c.
Určete největší dvojciferné číslo, které je dělitelem čísla 231.
Zobrazit odpověď
77
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Rozklad na součin prvočísel
$231 : 3 = 77$
Číslo 77 dále rozložíme:
$77 = 7 \cdot 11$
Prvočíselný rozklad čísla 231 je tedy:
$231 = 3 \cdot 7 \cdot 11$
Nalezení všech dělitelů
- Jednotlivá prvočísla: 3, 7, 11
- Součiny dvou prvočísel:
- $3 \cdot 7 = 21$
- $3 \cdot 11 = 33$
- $7 \cdot 11 = 77$
- Součin všech tří prvočísel: $3 \cdot 7 \cdot 11 = 231$
- Číslo 1 (dělitel každého přirozeného čísla)
Výběr největšího dvojciferného dělitele
Největším z těchto čísel je 77.
Závěr
Farmář prodával saláty za jednotnou cenu za kus a v průběhu tří dnů všechny saláty prodal.
První den prodal třetinu všech salátů,
druhý den prodal o třetinu méně salátů než první den
a třetí den prodal zbytek salátů.
Za všechny prodané saláty utržil farmář celkem 5 400 korun.
Vypočtěte, kolik korun utržil farmář za saláty prodané druhý den.
Zobrazit odpověď
1 200 korun
Farmář prodával saláty za jednotnou cenu za kus a v průběhu tří dnů všechny saláty prodal.
První den prodal třetinu všech salátů,
druhý den prodal o třetinu méně salátů než první den
a třetí den prodal zbytek salátů.
Počet všech salátů, které farmář prodal, označíme x.
Vyjádřete výrazem s proměnnou x, kolik salátů prodal farmář druhý den.
Zobrazit odpověď
(2/9)x
Farmář prodával saláty za jednotnou cenu za kus a v průběhu tří dnů všechny saláty prodal.
První den prodal třetinu všech salátů,
druhý den prodal o třetinu méně salátů než první den
a třetí den prodal zbytek salátů.
Třetí den prodal farmář 120 salátů.
Určete počet všech salátů, které farmář prodal.
Zobrazit odpověď
270 salátů
Velký pravoúhlý lichoběžník, jehož rozměry jsou uvedeny na obrázku vlevo, jsme jednou úsečkou rozdělili na menší lichoběžník a rovnoběžník (obrázek vpravo).
Oba tyto nové útvary (menší lichoběžník a rovnoběžník) mají stejný obvod.
Vypočtěte v cm² obsah velkého pravoúhlého lichoběžníku.
Zobrazit odpověď
3 600 cm²
Velký pravoúhlý lichoběžník, jehož rozměry jsou uvedeny na obrázku vlevo, jsme jednou úsečkou rozdělili na menší lichoběžník a rovnoběžník (obrázek vpravo).
Oba tyto nové útvary (menší lichoběžník a rovnoběžník) mají stejný obvod.
Vypočtěte v cm obvod velkého pravoúhlého lichoběžníku.
Zobrazit odpověď
320 cm
Velký pravoúhlý lichoběžník, jehož rozměry jsou uvedeny na obrázku vlevo, jsme jednou úsečkou rozdělili na menší lichoběžník a rovnoběžník (obrázek vpravo).
Oba tyto nové útvary (menší lichoběžník a rovnoběžník) mají stejný obvod.
Vypočtěte v cm obvod rovnoběžníku.
Zobrazit odpověď
210 cm
V rovině leží body A, B, M.
Body A, B jsou vrcholy rovnoramenného trojúhelníku ABC.
Bod M je uvnitř tohoto trojúhelníku a leží na těžnici tc na stranu AB.
(Bod M není těžištěm trojúhelníku ABC.)
Sestrojte vrchol C trojúhelníku ABC, označte ho písmenem a trojúhelník narýsujte.
Najděte všechna řešení.
Zobrazit odpověď
Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT
Vzorové řešení výše.
Nastane prave jedna z nasledujicich situaci:
- Jsou sestrojeny oba pozadovane trojuhelniky, a to presne, a zaroven je sestrojen alespon jeden nevyhovujici trojuhelnik, jehoz teznice tc neprochazi bodem M.
- Jsou sestrojeny oba pozadovane trojuhelniky, ale s mirnou nepresnosti.
- Z pozadovanych trojuhelniku je sestrojen pouze jeden, a to presne.
Nastane prave jedna z nasledujicich situaci:
- Z pozadovanych trojuhelniku je sestrojen pouze jeden, a to s mirnou nepresnosti.
- Sestrojen je alespon jeden trojuhelnik, ktery neni rovnoramenny, jeho teznice tc vsak prochazi bodem M a konstrukce je presna.
- Jsou sestrojeny dva ruzne rovnoramenne trojuhelniky ABC₁ a ABC₂ s ramenem AB takove, ze primka C₁C₂ prochazi bodem M, ale nelezi na ni teznice tc techto trojuhelniku (tj. primka C₁C₂ neprochazi stredem strany AB). Konstrukce je presna a nejsou sestrojeny zadne dalsi nevyhovujici trojuhelniky.
Nastanou nektere z nasledujicich situaci:
- Spravne je sestrojena pouze primka, na niz ma lezet teznice tc, dalsi konstrukce chybi.
- Konstrukce je zcela chybna nebo velmi nepresna.
Zdroj: Matematika 9. ročník — 2. řádný termín 2025, úloha 9
Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.
V rovině leží body A, D, M.
Body A, D jsou vrcholy rovnoběžníku ABCD. Na polopřímce DM leží jedna z úhlopříček tohoto rovnoběžníku. Druhá úhlopříčka rovnoběžníku ABCD má stejnou délku jako úsečka DM.
Sestrojte vrcholy B, C rovnoběžníku ABCD, označte je písmeny a rovnoběžník narýsujte.
Zobrazit odpověď
Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT
Vzorové řešení výše.
Nastane prave jedna z nasledujicich situaci:
- Pozadovany rovnobeznik je sestrojen konstrukcne spravne s velmi mirnou nepresnosti.
- Spravne je sestrojen pouze stred S rovnobezniku ABCD, pripadne i vrchol C, dalsi konstrukce chybi.
Spravne je sestrojena pouze kruznice se stredem A a polomerem DM a nastane prave jedna z nasledujicich situaci:
- Dalsi konstrukce chybi.
- Je sestrojen rovnobeznik ABCD s vrcholem C na uvedene kruznici, avsak jeho vrchol B nelezi na poloprimce DM.
- Je sestrojen ctyrhelnik ABCD s vrcholem C na uvedene kruznici a vrcholem B na poloprimce DM, avsak sestrojeny ctyrhelnik neni rovnobeznik.
- Je sestrojen rovnobeznik ABCD, jehoz vrchol B je prusecikem uvedene kruznice s poloprimkou DM.
Nastane jedna z nasledujicich situaci:
- Sestrojeny jsou kruznice se stredem A a polomerem DM a ctyrhelnik ABCD, za ktery nelze udelit zadny bod dle vyse uvedenych kriterii.
- Konstrukce je zcela chybna nebo velmi nepresna (napr. je sestrojen rovnobeznik, jehoz jednim vrcholem je bod M).
Zdroj: Matematika 9. ročník — 2. řádný termín 2025, úloha 10
Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.
V zahradě se pěstuje 6 druhů rostlin. Diagram udává, jakou část osázené plochy zahrady zabírají jednotlivé druhy rostlin. V každé části zahrady se pěstuje pouze jeden druh rostlin. Magnolie zabírají plochu o rozloze 20 m². V některých výsečích diagramu je uvedena velikost úhlu, který příslušnou výseč vymezuje.
Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
Jabloně zabírají o 15 m² větší plochu, než zabírají magnolie.
Zobrazit odpověď
Ano
V zahradě se pěstuje 6 druhů rostlin. Diagram udává, jakou část osázené plochy zahrady zabírají jednotlivé druhy rostlin. V každé části zahrady se pěstuje pouze jeden druh rostlin. Magnolie zabírají plochu o rozloze 20 m². V některých výsečích diagramu je uvedena velikost úhlu, který příslušnou výseč vymezuje.
Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
Levandule a bazalka dohromady zabírají 1,5krát větší plochu než hortenzie.
Zobrazit odpověď
Ne
V zahradě se pěstuje 6 druhů rostlin. Diagram udává, jakou část osázené plochy zahrady zabírají jednotlivé druhy rostlin. V každé části zahrady se pěstuje pouze jeden druh rostlin. Magnolie zabírají plochu o rozloze 20 m². V některých výsečích diagramu je uvedena velikost úhlu, který příslušnou výseč vymezuje.
Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
Růže zabírají plochu menší než 30 m².
Zobrazit odpověď
Ne
V rovině leží dva shodné rovnoramenné trojúhelníky a přímka p rovnoběžná se základnou jednoho z nich.
Druhý trojúhelník má právě jedno rameno rovnoběžné s ramenem prvního trojúhelníku.
Jaká je velikost úhlu 𝛼?
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní).
- A) 160°
- D) 110°
- B) 140°
- E) jiná velikost
- C) 130°
Zobrazit odpověď
B
Ze shodných bílých a šedých krychliček byla sestavena krychle tak, že v každé řadě i v každém sloupci jsou 4 krychličky.
Šedé krychličky byly umístěny vždy podél jedné ze dvou úhlopříček každé stěny krychle (viz obrázek).
Všechny zbývající krychličky v krychli jsou bílé.
Jaký je počet všech bílých krychliček v krychli?
- A) méně než 36
- D) 54
- B) 36
- E) 72
- C) 48
Zobrazit odpověď
C
Na výrobu dortu byly použity dvě různé formy tvaru rotačního válce.
Poloměr podstavy první formy je 8 cm a poloměr podstavy druhé formy je o čtvrtinu menší. Výška obou forem je stejná, a to 5 cm.
Dvoupatrový dort je složen z většího a menšího korpusu. Každý korpus má stejný objem jako forma, v níž byl upečen.
Jaký je celkový objem obou korpusů dvoupatrového dortu?
- A) 350π cm³
- D) 500π cm³
- B) 400π cm³
- E) 550π cm³
- C) 450π cm³
Zobrazit odpověď
D
Na táboře bylo 80 dětí, 5 vedoucích a 4 instruktoři.
Vedoucí si všechny děti rozdělili do stejně početných oddílů.
Každý vedoucí pak měl na starost jeden oddíl.
Kolik procent všech dětí měl na starost jeden vedoucí?
- A) 20 %
- D) 40 %
- B) 25 %
- E) 45 %
- C) 33 %
- F) 50 %
Zobrazit odpověď
A
Na táboře bylo 80 dětí, 5 vedoucích a 4 instruktoři.
Na táboře bylo mladších dětí o jednu třetinu méně než starších dětí.
O kolik procent bylo starších dětí více než mladších?
- A) 20 %
- D) 40 %
- B) 25 %
- E) 45 %
- C) 33 %
- F) 50 %
Zobrazit odpověď
F
Na táboře bylo 80 dětí, 5 vedoucích a 4 instruktoři.
Děti z tábora se vydaly do lesa na borůvky. Šla čtvrtina všech chlapců a polovina všech dívek, tedy chlapců šlo do lesa o 4 méně než dívek.
Kolik procent všech dětí na táboře tvořily dívky?
- A) 20 %
- D) 40 %
- B) 25 %
- E) 45 %
- C) 33 %
- F) 50 %
Zobrazit odpověď
D
Mirek a Zuzka odříkávali čísla následujícím způsobem:
Mirek postupně odříkával všechna po sobě jdoucí přirozená čísla od 1 do 1000. Za každým druhým číslem udělal krátkou pauzu, během níž Zuzka řekla součet posledních dvou čísel, které vyslovil Mirek.
Na začátku tedy zazněla čísla:
1, 2, 3, 3, 4, 7, 5, 6, 11, …
(Tučně zapsaná čísla vyslovila Zuzka, ostatní čísla Mirek.)
Určete číslo, které zaznělo mezi čísly 24 a 25.
Zobrazit odpověď
47
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Pravidlo hry
Kdy Zuzka mluví
Výpočet
$23 + 24 = 47$
Výsledek
Mirek a Zuzka odříkávali čísla následujícím způsobem:
Mirek postupně odříkával všechna po sobě jdoucí přirozená čísla od 1 do 1000. Za každým druhým číslem udělal krátkou pauzu, během níž Zuzka řekla součet posledních dvou čísel, které vyslovil Mirek.
Na začátku tedy zazněla čísla:
1, 2, 3, 3, 4, 7, 5, 6, 11, …
(Tučně zapsaná čísla vyslovila Zuzka, ostatní čísla Mirek.)
Jako 90. v pořadí bylo vysloveno číslo C, které později zaznělo ještě jednou.
Určete číslo, které bylo vysloveno bezprostředně předtím, než podruhé zaznělo číslo C.
Zobrazit odpověď
235
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Skupinky čísel
1. skupinka: Mirek (1, 2), Zuzka (3)
2. skupinka: Mirek (3, 4), Zuzka (7)
3. skupinka: Mirek (5, 6), Zuzka (11)
Hledání čísla C
V každé skupince Mirek vysloví dvě nová čísla. Na konci 30. skupinky už Mirek vyslovil celkem 60 čísel ($30 \cdot 2 = 60$). Poslední dvě čísla, která Mirek ve 30. skupince řekl, jsou 59 a 60.
Zuzka vyslovila jejich součet: $59 + 60 = 119$. Číslo C je tedy 119.
Druhé zaznění čísla C
60. skupinka začíná číslem 119 (Mirek), následuje 120 (Mirek) a Zuzka nakonec řekne 239.
Číslo před druhým zazněním
V 59. skupince Mirek vyslovil čísla 117 a 118 ($59 \cdot 2 = 118$). Zuzka k nim řekla jejich součet: $117 + 118 = 235$.
Závěr
Mirek a Zuzka odříkávali čísla následujícím způsobem:
Mirek postupně odříkával všechna po sobě jdoucí přirozená čísla od 1 do 1000. Za každým druhým číslem udělal krátkou pauzu, během níž Zuzka řekla součet posledních dvou čísel, které vyslovil Mirek.
Na začátku tedy zazněla čísla:
1, 2, 3, 3, 4, 7, 5, 6, 11, …
(Tučně zapsaná čísla vyslovila Zuzka, ostatní čísla Mirek.)
Určete největší číslo, které mezi prvními 150 vyslovenými čísly zaznělo dvakrát.
Zobrazit odpověď
99
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Analýza posloupnosti
- 1. trojice: Mirek (1, 2), Zuzka (1 + 2 = 3)
- 2. trojice: Mirek (3, 4), Zuzka (3 + 4 = 7)
- 3. trojice: Mirek (5, 6), Zuzka (5 + 6 = 11)
Mirkova a Zuzčina čísla
Hledání duplicit
Výpočet největšího čísla
- Pro $k=25$ Zuzka řekne $4 \cdot 25 - 1 = 99$. Toto číslo zazní na 75. pozici ($3 \cdot 25$).
- Mirek řekne číslo 99 v 50. trojici na 148. pozici ($3 \cdot 50 - 2$).