Načítání…
Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 9. ročník

Podkategorie: Matematika 9. ročník — 2. řádný termín 2025

32 úloh

PDF+Klíč
Úloha 1

Cena dětské vstupenky do muzea je rovna dvěma pětinám ceny vstupenky pro dospělého. Jeden dospělý se třemi dětmi zaplatil za vstupenky 330 korun.

Vypočtěte v korunách cenu jedné dětské vstupenky.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení ceny na dílky

Cenu vstupenky pro dospělého rozdělíme na 5 stejných dílků. Dětská vstupenka stojí dvě pětiny této ceny, tedy 2 dílky. Jeden dospělý a tři děti zaplatili dohromady za $5 + 3 \cdot 2 = 11$ dílků.

Výpočet ceny dětské vstupenky

Celkem zaplatili 330 Kč za 11 dílků. Jeden dílek tedy stojí $330 : 11 = 30$ Kč. Dětská vstupenka stojí 2 dílky, tedy $2 \cdot 30 = 60$ Kč.

Ověření a výsledek

Vstupenka pro dospělého stojí $5 \cdot 30 = 150$ Kč. Ověříme celkovou cenu: $150 + 3 \cdot 60 = 330$ Kč, což souhlasí se zadáním. Jedna dětská vstupenka stojí 60 Kč.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

60 korun

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2

Vypočtěte druhou odmocninu ze součinu smíšených čísel 614 a 279. Výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod smíšených čísel

Nejdřív převedeme smíšená čísla na nepravé zlomky: $6\frac{1}{4}=\frac{6\cdot4+1}{4}=\frac{25}{4}$ a $2\frac{7}{9}=\frac{2\cdot9+7}{9}=\frac{25}{9}$.

Součin zlomků

Vynásobíme čitatele mezi sebou a jmenovatele mezi sebou: $\frac{25}{4}\cdot\frac{25}{9}=\frac{625}{36}$.

Odmocnina a výsledek

Protože $25^2=625$ a $6^2=36$, platí $\sqrt{\frac{625}{36}}=\frac{25}{6}$. Čísla 25 a 6 nemají společného dělitele většího než 1, takže zlomek je v základním tvaru. Výsledek je $\frac{25}{6}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

25/6

Stav úlohy
1 bod
Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle (\frac{11}{5} - \frac{11}{6}) \div (-\frac{1}{3}) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet v závorce

Nejdříve vypočítáme hodnotu v závorce. Pro odečtení zlomků $\frac{11}{5}$ a $\frac{11}{6}$ najdeme společného jmenovatele, kterým je číslo 30:
$\frac{11}{5} - \frac{11}{6} = \frac{11 \cdot 6}{30} - \frac{11 \cdot 5}{30} = \frac{66}{30} - \frac{55}{30} = \frac{11}{30}$

Dělení zlomků

Získaný výsledek vydělíme zlomkem $(-\frac{1}{3})$. Dělení zlomkem provedeme jako násobení jeho převrácenou hodnotou:
$\frac{11}{30} \div (-\frac{1}{3}) = \frac{11}{30} \cdot (-\frac{3}{1}) = -\frac{11 \cdot 3}{30} = -\frac{33}{30}$

Základní tvar zlomku

Zlomek $-\frac{33}{30}$ zkrátíme číslem 3, abychom dostali výsledek v základním tvaru:
$-\frac{33}{30} = -\frac{11}{10}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-11/10

Stav úlohy
1 bod
Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{20 - \sqrt{4 \cdot 3^{2}}}{3 \cdot \sqrt{100 - 64}} \div \frac{4 + 3}{4 \cdot 3} =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Mocniny a odmocniny

Nejdřív vypočítáme mocninu: $3^2 = 9$. Potom obě odmocniny: $\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6$ a $\sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$.

Zjednodušení zlomků

Dosadíme vypočítané hodnoty. První zlomek je $\frac{20 - 6}{3 \cdot 6} = \frac{14}{18} = \frac{7}{9}$. Druhý zlomek je $\frac{4 + 3}{4 \cdot 3} = \frac{7}{12}$.

Dělení a výsledek

Zlomkem dělíme tak, že násobíme jeho převrácenou hodnotou: $\frac{7}{9} \div \frac{7}{12} = \frac{7}{9} \cdot \frac{12}{7} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$. Čísla 4 a 3 nemají společného dělitele většího než 1, takže výsledek v základním tvaru je $\frac{4}{3}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

4/3 a spravny postup reseni

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.1

Upravte na co nejjednodušší tvar bez závorek:

$\displaystyle x \cdot 3x - 2x \cdot 3 - (x - 3)^{2} =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Násobení a rozvinutí druhé mocniny

Nejdřív vypočítáme součiny: $x \cdot 3x = 3x^2$ a $2x \cdot 3 = 6x$. Podle vzorce pro druhou mocninu rozdílu platí $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$. Dostaneme tedy $3x^2 - 6x - (x^2 - 6x + 9)$.

Odstranění závorky

Před závorkou je minus, proto při jejím odstranění změníme znaménko u každého členu uvnitř: $3x^2 - 6x - x^2 + 6x - 9$.

Sečtení stejných členů a výsledek

Členy s $x^2$ sečteme: $3x^2 - x^2 = 2x^2$. Členy $-6x$ a $+6x$ se navzájem zruší. Nejjednodušší tvar bez závorek je $2x^2 - 9$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

2x² - 9

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.2

Upravte a výsledný výraz rozložte na součin vytknutím:

$\displaystyle (2k)^{2} - k \cdot (1 + 2k) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Umocnění a roznásobení

Nejdřív umocníme: $(2k)^2 = 4k^2$. Potom roznásobíme závorku. Protože před součinem stojí minus, oba členy odečteme: $4k^2 - k - 2k^2$.

Sečtení podobných členů

Členy s $k^2$ spojíme: $4k^2 - 2k^2 = 2k^2$. Získáme výraz $2k^2 - k$.

Vytknutí a výsledek

Oba členy obsahují společný činitel $k$, který vytkneme: $2k^2 - k = k(2k - 1)$. Výsledný součin je $\boxed{k(2k - 1)}$. Roznásobením ověříme, že dostaneme zpět $2k^2 - k$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

k (2k - 1)

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.3

Upravte na co nejjednodušší tvar bez závorek:

$\displaystyle 7a \cdot (a + 3) + 2 \cdot (1 - 3a) \cdot (a + 5) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Roznásobení závorek

Nejdřív roznásobíme první závorku: $7a(a+3)=7a^2+21a$. Potom vynásobíme každý člen jedné závorky každým členem druhé: $(1-3a)(a+5)=a+5-3a^2-15a$.

Vynásobení dvěma

Všechny členy z druhého součinu ještě vynásobíme dvěma: $2(a+5-3a^2-15a)=2a+10-6a^2-30a$. Celý výraz je tedy $7a^2+21a+2a+10-6a^2-30a$.

Sečtení členů a výsledek

Sečteme členy se stejnou mocninou proměnné: $7a^2-6a^2=a^2$ a $21a+2a-30a=-7a$. Číslo $10$ zůstává. Nejjednodušší tvar bez závorek je $a^2-7a+10$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

a² - 7a + 10 a spravny postup reseni

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.1

Řešte rovnici:

$\displaystyle \frac{7}{12}x + 2 \cdot (\frac{3}{8}x - 1) = -3 \cdot (\frac{x}{9} + 1)$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozepsání závorek

Vynásobíme každý člen v závorkách číslem před závorkou. Dostaneme $\frac{7}{12}x + \frac{3}{4}x - 2 = -\frac{x}{3} - 3$. U pravé závorky dáme pozor na záporné znaménko.

Odstranění zlomků

Celou rovnici vynásobíme číslem 12, aby zmizely zlomky: $7x + 9x - 24 = -4x - 36$. Sečteme členy s neznámou na levé straně: $16x - 24 = -4x - 36$.

Osamostatnění neznámé

K oběma stranám přičteme $4x$: $20x - 24 = -36$. Potom k oběma stranám přičteme 24: $20x = -12$.

Výsledek a zkouška

Obě strany vydělíme číslem 20: $x = -\frac{12}{20} = -\frac{3}{5}$. Po dosazení do původní rovnice vyjde levá strana $-\frac{7}{20} - \frac{49}{20} = -\frac{14}{5}$ a pravá strana $-3 \cdot \frac{14}{15} = -\frac{14}{5}$. Obě strany jsou stejné, proto je řešením $x = -\frac{3}{5}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

x = -3/5 a spravny postup reseni

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.2

Řešte soustavu rovnic:

$\displaystyle 6x + y = 14$

$\displaystyle 3x + 2y = 1$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vyjádření neznámé

Máme soustavu rovnic: (1) $6x + y = 14$ (2) $3x + 2y = 1$

Z první rovnice si vyjádříme neznámou $y$:
$y = 14 - 6x$

Dosazení do druhé rovnice

Dosadíme výraz za $y$ do druhé rovnice:
$3x + 2(14 - 6x) = 1$

Roznásobíme závorku:
$3x + 28 - 12x = 1$

Upravíme rovnici (sečteme členy s $x$):
$-9x + 28 = 1$

Odečteme 28 od obou stran:
$-9x = -27$

Vydělíme -9: $x = 3$

Dopočítání druhé neznámé

Nyní dosadíme vypočtenou hodnotu $x = 3$ do výrazu pro $y$:
$y = 14 - 6 \cdot 3$
$y = 14 - 18$
$y = -4$

Zápis výsledku

Řešením soustavy rovnic je uspořádaná dvojice $[x; y] = [3; -4]$. Do záznamového archu zapíšeme obě hodnoty.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

x = 3, y = -4 a správný postup řešení

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.1

Číslo 231 lze rozložit na součin tří prvočísel a * b * c.

Určete nejmenší z prvočísel a, b, c.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozklad čísla na součin prvočísel

Číslo 231 postupně dělíme nejmenšími možnými prvočísly. Číslo není sudé, takže není dělitelné 2. Zkusíme dělitelnost 3 (ciferný součet je $2 + 3 + 1 = 6$, což je dělitelné 3):
231 : 3 = 77

Dokončení rozkladu

Nyní rozložíme výsledek 77. Číslo 77 je násobkem 7:
77 : 7 = 11
Číslo 11 je samo o sobě prvočíslo.

Určení prvočísel

Rozklad čísla 231 na součin tří prvočísel je tedy:
231 = 3 7 11
Hledaná prvočísla jsou 3, 7 a 11.

Výsledek

Nejmenší z těchto prvočísel je číslo 3.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

3

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.2

Číslo 231 lze rozložit na součin tří prvočísel a * b * c.

Určete součet všech tří prvočísel a + b + c

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozklad čísla 231 na součin prvočísel

Nejdříve rozložíme číslo 231 na součin prvočísel. Číslo 231 není sudé, takže není dělitelné 2. Ciferný součet je $2 + 3 + 1 = 6$, což je číslo dělitelné 3, takže i 231 je dělitelné 3.

$231 : 3 = 77$

Číslo 77 dále rozložíme na součin $7 × 11$. Obě tato čísla jsou prvočísla. Rozklad čísla 231 na součin tří prvočísel tedy je:
$231 = 3 × 7 × 11$

Výpočet součtu prvočísel

Nyní sečteme tato tři prvočísla $a, b, c$, tedy čísla 3, 7 a 11:
$3 + 7 + 11 = 21$

Závěr

Součet všech tří prvočísel je 21.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

21

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.3

Číslo 231 lze rozložit na součin tří prvočísel a * b * c.

Určete největší dvojciferné číslo, které je dělitelem čísla 231.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozklad na součin prvočísel

Nejdříve rozložíme číslo 231 na součin prvočísel. Číslo 231 je liché, není tedy dělitelné 2. Vyzkoušíme dělitelnost 3 (ciferný součet je $2 + 3 + 1 = 6$, což je dělitelné 3):
$231 : 3 = 77$

Číslo 77 dále rozložíme:
$77 = 7 \cdot 11$

Prvočíselný rozklad čísla 231 je tedy:
$231 = 3 \cdot 7 \cdot 11$

Nalezení všech dělitelů

Všechny dělitele čísla 231 získáme kombinací jeho prvočíselných činitelů (3, 7, 11):
  • Jednotlivá prvočísla: 3, 7, 11
  • Součiny dvou prvočísel:
    • $3 \cdot 7 = 21$
    • $3 \cdot 11 = 33$
    • $7 \cdot 11 = 77$
  • Součin všech tří prvočísel: $3 \cdot 7 \cdot 11 = 231$
  • Číslo 1 (dělitel každého přirozeného čísla)
Seznam všech dělitelů je: 1, 3, 7, 11, 21, 33, 77, 231.

Výběr největšího dvojciferného dělitele

Ze seznamu dělitelů (1, 3, 7, 11, 21, 33, 77, 231) vybereme ty, které jsou dvojciferné. Jsou to čísla: 11, 21, 33 a 77.

Největším z těchto čísel je 77.

Závěr

Největším dvojciferným dělitelem čísla 231 je číslo 77.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

77

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.1

Farmář prodával saláty za jednotnou cenu za kus a v průběhu tří dnů všechny saláty prodal.
První den prodal třetinu všech salátů,
druhý den prodal o třetinu méně salátů než první den
a třetí den prodal zbytek salátů.

Za všechny prodané saláty utržil farmář celkem 5 400 korun.

Vypočtěte, kolik korun utržil farmář za saláty prodané druhý den.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Tržba za první den

Každý salát stál stejně, proto třetině všech salátů odpovídá třetina celkové tržby. První den farmář utržil $5\,400 : 3 = 1\,800$ Kč.

Tržba za druhý den

Druhý den prodal o třetinu méně salátů než první den, takže i tržba byla o třetinu nižší. Třetina tržby za první den je $1\,800 : 3 = 600$ Kč. Druhý den tedy utržil $1\,800 - 600 = 1\,200$ Kč.

Výsledek

Farmář za saláty prodané druhý den utržil 1 200 Kč.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1 200 korun

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.2

Farmář prodával saláty za jednotnou cenu za kus a v průběhu tří dnů všechny saláty prodal.
První den prodal třetinu všech salátů,
druhý den prodal o třetinu méně salátů než první den
a třetí den prodal zbytek salátů.

Počet všech salátů, které farmář prodal, označíme x.

Vyjádřete výrazem s proměnnou x, kolik salátů prodal farmář druhý den.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

(2/9)x

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.3

Farmář prodával saláty za jednotnou cenu za kus a v průběhu tří dnů všechny saláty prodal.
První den prodal třetinu všech salátů,
druhý den prodal o třetinu méně salátů než první den
a třetí den prodal zbytek salátů.

Třetí den prodal farmář 120 salátů.

Určete počet všech salátů, které farmář prodal.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení salátů na stejné díly

Všechny saláty rozdělíme na 9 stejných dílů. První den farmář prodal třetinu všech salátů, tedy 3 díly. Druhý den prodal o třetinu méně než první den: ze 3 dílů odebereme 1 díl, takže prodal 2 díly. Na třetí den zbývají $9 - 3 - 2 = 4$ díly.

Výpočet celkového počtu

Čtyři díly představují 120 salátů. Jeden díl tedy obsahuje $120 : 4 = 30$ salátů. Všech 9 dílů obsahuje $9 \cdot 30 = 270$ salátů.

Ověření a výsledek

První den prodal $270 : 3 = 90$ salátů. Druhý den prodal $90 - 90 : 3 = 60$ salátů. Na třetí den zbylo $270 - 90 - 60 = 120$ salátů, což souhlasí se zadáním. Farmář prodal celkem 270 salátů.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

270 salátů

Stav úlohy
2 body
Úloha 8.1

Velký pravoúhlý lichoběžník, jehož rozměry jsou uvedeny na obrázku vlevo, jsme jednou úsečkou rozdělili na menší lichoběžník a rovnoběžník (obrázek vpravo).
Oba tyto nové útvary (menší lichoběžník a rovnoběžník) mají stejný obvod.

Vypočtěte v cm² obsah velkého pravoúhlého lichoběžníku.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry lichoběžníku

Z obrázku přečteme délky rovnoběžných základen: 100 cm a 140 cm. Kolmé levé rameno měří 30 cm, takže výška lichoběžníku je 30 cm.

Výpočet obsahu

Obsah lichoběžníku vypočítáme jako součet délek základen dělený dvěma a vynásobený výškou: $S = \frac{100 + 140}{2} \cdot 30 = 120 \cdot 30 = 3\,600\ \text{cm}^2$.

Výsledek

Obsah velkého pravoúhlého lichoběžníku je 3 600 cm².
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

3 600 cm²

Stav úlohy
1 bod
Úloha 8.2

Velký pravoúhlý lichoběžník, jehož rozměry jsou uvedeny na obrázku vlevo, jsme jednou úsečkou rozdělili na menší lichoběžník a rovnoběžník (obrázek vpravo).
Oba tyto nové útvary (menší lichoběžník a rovnoběžník) mají stejný obvod.

Vypočtěte v cm obvod velkého pravoúhlého lichoběžníku.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pravoúhlý trojúhelník u šikmého ramene

Z pravého horního vrcholu vedeme kolmici k dolní základně. U šikmého ramene vznikne pravoúhlý trojúhelník. Jeho svislá odvěsna měří 30 cm a vodorovná odvěsna měří tolik, kolik je rozdíl délek základen: $140 - 100 = 40$ cm.

Délka šikmého ramene

Šikmé rameno je přeponou tohoto trojúhelníku. Podle Pythagorovy věty je jeho délka $\sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50$ cm.

Obvod lichoběžníku

Sečteme délky všech čtyř stran: $100 + 140 + 30 + 50 = 320$ cm. Obvod velkého pravoúhlého lichoběžníku je 320 cm.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

320 cm

Stav úlohy
2 body
Úloha 8.3

Velký pravoúhlý lichoběžník, jehož rozměry jsou uvedeny na obrázku vlevo, jsme jednou úsečkou rozdělili na menší lichoběžník a rovnoběžník (obrázek vpravo).
Oba tyto nové útvary (menší lichoběžník a rovnoběžník) mají stejný obvod.

Vypočtěte v cm obvod rovnoběžníku.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Délka šikmého ramene

Rozdíl délek základen je $140-100=40$ cm. Šikmé rameno je přeponou pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami 40 cm a 30 cm. Podle Pythagorovy věty má délku $\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{2500}=50$ cm. Dělicí úsečka je protější stranou rovnoběžníku, proto také měří 50 cm.

Součet obvodů

Obvod původního lichoběžníku je $100+140+30+50=320$ cm. V součtu obvodů obou nových útvarů započítáme celý původní obvod a navíc dvakrát dělicí úsečku, protože patří do obvodu obou útvarů. Součet tedy je $320+2\cdot50=420$ cm.

Obvod rovnoběžníku

Menší lichoběžník a rovnoběžník mají stejný obvod, takže součet rozdělíme na dvě stejné části: $420:2=210$ cm. Obvod rovnoběžníku je 210 cm.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

210 cm

Stav úlohy
1 bod
Úloha 9

V rovině leží body A, B, M.

Body A, B jsou vrcholy rovnoramenného trojúhelníku ABC.
Bod M je uvnitř tohoto trojúhelníku a leží na těžnici tc na stranu AB.
(Bod M není těžištěm trojúhelníku ABC.)

Sestrojte vrchol C trojúhelníku ABC, označte ho písmenem a trojúhelník narýsujte.

Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Nastane prave jedna z nasledujicich situaci:

  • Jsou sestrojeny oba pozadovane trojuhelniky, a to presne, a zaroven je sestrojen alespon jeden nevyhovujici trojuhelnik, jehoz teznice tc neprochazi bodem M.
  • Jsou sestrojeny oba pozadovane trojuhelniky, ale s mirnou nepresnosti.
  • Z pozadovanych trojuhelniku je sestrojen pouze jeden, a to presne.

Nastane prave jedna z nasledujicich situaci:

  • Z pozadovanych trojuhelniku je sestrojen pouze jeden, a to s mirnou nepresnosti.
  • Sestrojen je alespon jeden trojuhelnik, ktery neni rovnoramenny, jeho teznice tc vsak prochazi bodem M a konstrukce je presna.
  • Jsou sestrojeny dva ruzne rovnoramenne trojuhelniky ABC₁ a ABC₂ s ramenem AB takove, ze primka C₁C₂ prochazi bodem M, ale nelezi na ni teznice tc techto trojuhelniku (tj. primka C₁C₂ neprochazi stredem strany AB). Konstrukce je presna a nejsou sestrojeny zadne dalsi nevyhovujici trojuhelniky.

Nastanou nektere z nasledujicich situaci:

  • Spravne je sestrojena pouze primka, na niz ma lezet teznice tc, dalsi konstrukce chybi.
  • Konstrukce je zcela chybna nebo velmi nepresna.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 2. řádný termín 2025, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 10

V rovině leží body A, D, M.

Body A, D jsou vrcholy rovnoběžníku ABCD. Na polopřímce DM leží jedna z úhlopříček tohoto rovnoběžníku. Druhá úhlopříčka rovnoběžníku ABCD má stejnou délku jako úsečka DM.

Sestrojte vrcholy B, C rovnoběžníku ABCD, označte je písmeny a rovnoběžník narýsujte.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Nastane prave jedna z nasledujicich situaci:

  • Pozadovany rovnobeznik je sestrojen konstrukcne spravne s velmi mirnou nepresnosti.
  • Spravne je sestrojen pouze stred S rovnobezniku ABCD, pripadne i vrchol C, dalsi konstrukce chybi.

Spravne je sestrojena pouze kruznice se stredem A a polomerem DM a nastane prave jedna z nasledujicich situaci:

  • Dalsi konstrukce chybi.
  • Je sestrojen rovnobeznik ABCD s vrcholem C na uvedene kruznici, avsak jeho vrchol B nelezi na poloprimce DM.
  • Je sestrojen ctyrhelnik ABCD s vrcholem C na uvedene kruznici a vrcholem B na poloprimce DM, avsak sestrojeny ctyrhelnik neni rovnobeznik.
  • Je sestrojen rovnobeznik ABCD, jehoz vrchol B je prusecikem uvedene kruznice s poloprimkou DM.

Nastane jedna z nasledujicich situaci:

  • Sestrojeny jsou kruznice se stredem A a polomerem DM a ctyrhelnik ABCD, za ktery nelze udelit zadny bod dle vyse uvedenych kriterii.
  • Konstrukce je zcela chybna nebo velmi nepresna (napr. je sestrojen rovnobeznik, jehoz jednim vrcholem je bod M).

Zdroj: Matematika 9. ročník — 2. řádný termín 2025, úloha 10

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 11.1
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

V zahradě se pěstuje 6 druhů rostlin. Diagram udává, jakou část osázené plochy zahrady zabírají jednotlivé druhy rostlin. V každé části zahrady se pěstuje pouze jeden druh rostlin. Magnolie zabírají plochu o rozloze 20 m². V některých výsečích diagramu je uvedena velikost úhlu, který příslušnou výseč vymezuje.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Jabloně zabírají o 15 m² větší plochu, než zabírají magnolie.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Údaje z diagramu

Magnoliím odpovídá úhel 60° a plocha 20 m². Jabloním odpovídá úhel 105°. Plochy jsou ve stejném poměru jako úhly výsečí.

Plocha jabloní

Nejdřív zjistíme plochu připadající na 15°: 60° rozdělíme na 4 stejné díly, takže 20 : 4 = 5 m². Úhel 105° obsahuje 7 takových dílů, proto jabloně zabírají 7 · 5 = 35 m².

Porovnání a výsledek

Jabloně zabírají o 35 − 20 = 15 m² více než magnolie. Tvrzení je tedy pravdivé. Odpověď: A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11.2
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

V zahradě se pěstuje 6 druhů rostlin. Diagram udává, jakou část osázené plochy zahrady zabírají jednotlivé druhy rostlin. V každé části zahrady se pěstuje pouze jeden druh rostlin. Magnolie zabírají plochu o rozloze 20 m². V některých výsečích diagramu je uvedena velikost úhlu, který příslušnou výseč vymezuje.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Levandule a bazalka dohromady zabírají 1,5krát větší plochu než hortenzie.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úhly příslušných výsečí

Levanduli odpovídá úhel 60°, bazalce 15° a hortenziím 30°. Levandule a bazalka dohromady mají výseč o úhlu 60° + 15° = 75°.

Porovnání ploch

Plochy v zahradě jsou ve stejném poměru jako úhly výsečí. Vypočítáme 75 : 30 = 2,5. Levandule a bazalka tedy dohromady zabírají 2,5násobek plochy hortenzií.

Výsledek

Tvrzení uvádí 1,5násobek, ale vyšel nám 2,5násobek. Tvrzení je nepravdivé, odpověď je N.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11.3
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

V zahradě se pěstuje 6 druhů rostlin. Diagram udává, jakou část osázené plochy zahrady zabírají jednotlivé druhy rostlin. V každé části zahrady se pěstuje pouze jeden druh rostlin. Magnolie zabírají plochu o rozloze 20 m². V některých výsečích diagramu je uvedena velikost úhlu, který příslušnou výseč vymezuje.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Růže zabírají plochu menší než 30 m².

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení úhlu výseče růží

Celý kruh má 360°. Sečteme úhly ostatních pěti výsečí: 60° + 105° + 30° + 60° + 15° = 270°. Pro růže zbývá 360° − 270° = 90°.

Výpočet plochy růží

Magnolie mají výseč 60° a zabírají 20 m². Výseč růží je 90 : 60 = 1,5krát větší, takže růže zabírají 20 · 1,5 = 30 m².

Posouzení tvrzení

Růže zabírají přesně 30 m², což není méně než 30 m². Tvrzení je nepravdivé, odpověď je N.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 12

V rovině leží dva shodné rovnoramenné trojúhelníky a přímka p rovnoběžná se základnou jednoho z nich.
Druhý trojúhelník má právě jedno rameno rovnoběžné s ramenem prvního trojúhelníku.

Jaká je velikost úhlu 𝛼?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní).

  • A) 160°
  • D) 110°
  • B) 140°
  • E) jiná velikost
  • C) 130°
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úhly prvního trojúhelníku

Vrcholový úhel levého rovnoramenného trojúhelníku má 40°. Oba úhly u základny jsou stejné, tedy každý má $(180° - 40°) : 2 = 70°$. Přímka p je rovnoběžná se základnou, takže každé rameno s ní svírá ostrý úhel 70°.

Vrchol druhého trojúhelníku

Levá strana druhého trojúhelníku je rovnoběžná s pravým ramenem prvního. Kdyby byl vrcholový úhel 40° dole, také pravé rameno druhého trojúhelníku by bylo rovnoběžné s levým ramenem prvního. To zadání vylučuje, protože rovnoběžné je právě jedno rameno. Rameny druhého trojúhelníku jsou tedy levá a horní strana. Vrcholový úhel 40° je vlevo nahoře a úhel u dolního vrcholu má 70°.

Ostrý úhel s přímkou p

Dolním vrcholem druhého trojúhelníku si představíme vodorovnou přímku rovnoběžnou s p. V horní polorovině rozdělují strany trojúhelníku přímý úhel na tři části: vlevo je 70° díky rovnoběžnosti ramen, uvnitř trojúhelníku je 70° a vpravo zbývá $180° - 70° - 70° = 40°$. Pravá šikmá strana proto svírá i s přímkou p ostrý úhel 40°.

Výsledek

Hledaný tupý úhel α a vypočtený ostrý úhel 40° jsou vedlejší úhly, takže dohromady mají 180°. Proto $\alpha = 180° - 40° = 140°$. Správná je možnost B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 13

Ze shodných bílých a šedých krychliček byla sestavena krychle tak, že v každé řadě i v každém sloupci jsou 4 krychličky.

Šedé krychličky byly umístěny vždy podél jedné ze dvou úhlopříček každé stěny krychle (viz obrázek).
Všechny zbývající krychličky v krychli jsou bílé.

Jaký je počet všech bílých krychliček v krychli?

  • A) méně než 36
  • D) 54
  • B) 36
  • E) 72
  • C) 48
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet krychliček

Krychle má v každém směru 4 krychličky. Dohromady je v ní $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ krychliček.

Šedé krychličky mimo rohy

Na úhlopříčce každé stěny jsou 4 šedé krychličky: 2 v rozích a 2 uvnitř stěny. Krychle má 6 stěn. Šedých krychliček uvnitř stěn je tedy $6 \cdot 2 = 12$. Každá z nich patří pouze k jedné stěně.

Šedé krychličky v rozích

Každá stěna má 2 šedé rohové krychličky, takže při počítání po stěnách dostaneme $6 \cdot 2 = 12$. Každá rohová krychlička ale patří ke 3 stěnám, a proto jsme ji započítali třikrát. Šedé rohové krychličky jsou tedy $12 : 3 = 4$.

Počet bílých krychliček

Šedých krychliček je celkem $12 + 4 = 16$. Všechny ostatní jsou bílé, takže bílých krychliček je $64 - 16 = 48$. Správná je možnost C: 48.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 14

Na výrobu dortu byly použity dvě různé formy tvaru rotačního válce.
Poloměr podstavy první formy je 8 cm a poloměr podstavy druhé formy je o čtvrtinu menší. Výška obou forem je stejná, a to 5 cm.
Dvoupatrový dort je složen z většího a menšího korpusu. Každý korpus má stejný objem jako forma, v níž byl upečen.

Jaký je celkový objem obou korpusů dvoupatrového dortu?

  • A) 350π cm³
  • D) 500π cm³
  • B) 400π cm³
  • E) 550π cm³
  • C) 450π cm³
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Poloměr menšího korpusu

Čtvrtina z 8 cm je $8 : 4 = 2$ cm. Poloměr menšího korpusu je tedy $8 - 2 = 6$ cm. Výška obou korpusů je 5 cm.

Objem většího korpusu

Objem válce vypočítáme jako obsah podstavy krát výška: $V = \pi r^2 v$. Větší korpus má objem $V_1 = \pi \cdot 8^2 \cdot 5 = 320\pi\ \text{cm}^3$.

Objem menšího korpusu

Pro menší korpus použijeme poloměr 6 cm a výšku 5 cm: $V_2 = \pi \cdot 6^2 \cdot 5 = 180\pi\ \text{cm}^3$.

Celkový objem

Objemy obou korpusů sečteme: $320\pi + 180\pi = 500\pi\ \text{cm}^3$. Celkový objem dortu je 500π cm³, tedy odpověď D.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.1

Na táboře bylo 80 dětí, 5 vedoucích a 4 instruktoři.

Vedoucí si všechny děti rozdělili do stejně početných oddílů.
Každý vedoucí pak měl na starost jeden oddíl.

Kolik procent všech dětí měl na starost jeden vedoucí?

  • A) 20 %
  • D) 40 %
  • B) 25 %
  • E) 45 %
  • C) 33 %
  • F) 50 %
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet dětí v oddílu

Všech 80 dětí si 5 vedoucích rozdělilo do stejně početných oddílů. Jeden vedoucí měl na starost 80 : 5 = 16 dětí.

Výpočet procent

Základem je všech 80 dětí. Podíl 16 dětí vyjádříme v procentech: 16 : 80 · 100 = 20 %.

Výsledek

Jeden vedoucí měl na starost 20 % všech dětí. Správná je možnost A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.2

Na táboře bylo 80 dětí, 5 vedoucích a 4 instruktoři.

Na táboře bylo mladších dětí o jednu třetinu méně než starších dětí.

O kolik procent bylo starších dětí více než mladších?

  • A) 20 %
  • D) 40 %
  • B) 25 %
  • E) 45 %
  • C) 33 %
  • F) 50 %
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počty mladších a starších dětí

Počet starších dětí rozdělíme na 3 stejné díly. Mladších dětí bylo o třetinu méně, tedy 2 takové díly. Všech 80 dětí tvoří dohromady 5 dílů. Jeden díl má 80 : 5 = 16 dětí. Starších bylo 3 · 16 = 48 a mladších 2 · 16 = 32.

Výpočet procent

Starších dětí bylo o 48 − 32 = 16 více. Procenta počítáme z počtu mladších dětí, tedy z 32. Zvýšení je 16 : 32 · 100 = 50 %.

Výsledek

Starších dětí bylo o 50 % více než mladších. Správná je možnost F.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

F

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.3

Na táboře bylo 80 dětí, 5 vedoucích a 4 instruktoři.

Děti z tábora se vydaly do lesa na borůvky. Šla čtvrtina všech chlapců a polovina všech dívek, tedy chlapců šlo do lesa o 4 méně než dívek.

Kolik procent všech dětí na táboře tvořily dívky?

  • A) 20 %
  • D) 40 %
  • B) 25 %
  • E) 45 %
  • C) 33 %
  • F) 50 %
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení na stejné díly

Počet chlapců, kteří šli do lesa, označíme jako jeden díl. Všichni chlapci pak tvoří 4 takové díly. Do lesa šel jeden díl dívek a ještě 4 dívky. To byla polovina všech dívek, takže všechny dívky tvoří 2 díly a ještě 8 dívek.

Výpočet počtu dívek

Všech 80 dětí tvoří dohromady 6 stejných dílů a ještě 8 dívek. Na 6 dílů tedy zbývá $80 - 8 = 72$ dětí. Jeden díl je $72 : 6 = 12$ dětí. Dívek je $2 \cdot 12 + 8 = 32$. Ověříme: chlapců je $80 - 32 = 48$, do lesa jich šlo $48 : 4 = 12$ a dívek $32 : 2 = 16$, tedy o 4 více.

Výpočet procent a odpověď

Dívek bylo 32 z celkových 80 dětí. Jejich podíl je $\frac{32}{80} \cdot 100 = 40$ procent. Dívky tvořily 40 % všech dětí, správná je možnost D.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.1

Mirek a Zuzka odříkávali čísla následujícím způsobem:
Mirek postupně odříkával všechna po sobě jdoucí přirozená čísla od 1 do 1000. Za každým druhým číslem udělal krátkou pauzu, během níž Zuzka řekla součet posledních dvou čísel, které vyslovil Mirek.

Na začátku tedy zazněla čísla:
1, 2, 3, 3, 4, 7, 5, 6, 11, …

(Tučně zapsaná čísla vyslovila Zuzka, ostatní čísla Mirek.)

Určete číslo, které zaznělo mezi čísly 24 a 25.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pravidlo hry

Mirek říká čísla po dvou (1 a 2, potom 3 a 4, pak 5 a 6 atd.). Zuzka po každé dvojici řekne jejich součet. Posloupnost tedy vypadá takto: 1, 2, 3 (1+2), 3, 4, 7 (3+4), 5, 6, 11 (5+6).

Kdy Zuzka mluví

Zuzka mluví vždy po každém sudém čísle, které Mirek vysloví (tedy po 2, 4, 6, ...). Mezi čísly 24 a 25 zazní číslo od Zuzky, protože 24 je sudé číslo a Mirek po něm udělal pauzu.

Výpočet

Zuzka v pauze po čísle 24 sečetla poslední dvě čísla, která Mirek řekl. To byla čísla 23 a 24. Pro výpočet použijeme sčítání:
$23 + 24 = 47$

Výsledek

Mezi čísly 24 a 25 zaznělo číslo 47.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

47

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.2

Mirek a Zuzka odříkávali čísla následujícím způsobem:
Mirek postupně odříkával všechna po sobě jdoucí přirozená čísla od 1 do 1000. Za každým druhým číslem udělal krátkou pauzu, během níž Zuzka řekla součet posledních dvou čísel, které vyslovil Mirek.

Na začátku tedy zazněla čísla:
1, 2, 3, 3, 4, 7, 5, 6, 11, …

(Tučně zapsaná čísla vyslovila Zuzka, ostatní čísla Mirek.)

Jako 90. v pořadí bylo vysloveno číslo C, které později zaznělo ještě jednou.

Určete číslo, které bylo vysloveno bezprostředně předtím, než podruhé zaznělo číslo C.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Skupinky čísel

Mirek a Zuzka tvoří svými čísly skupinky. Mirek řekne dvě čísla a Zuzka jedno (jejich součet). Každá skupinka má tedy 3 čísla.
1. skupinka: Mirek (1, 2), Zuzka (3)
2. skupinka: Mirek (3, 4), Zuzka (7)
3. skupinka: Mirek (5, 6), Zuzka (11)

Hledání čísla C

Číslo C je v pořadí 90. Protože je každá skupinka tříčlenná, číslo C musí být na konci 30. skupinky ($90 \div 3 = 30$).
V každé skupince Mirek vysloví dvě nová čísla. Na konci 30. skupinky už Mirek vyslovil celkem 60 čísel ($30 \cdot 2 = 60$). Poslední dvě čísla, která Mirek ve 30. skupince řekl, jsou 59 a 60.
Zuzka vyslovila jejich součet: $59 + 60 = 119$. Číslo C je tedy 119.

Druhé zaznění čísla C

Mirek postupně odříkává všechna čísla od 1 do 1000. Číslo 119 tedy Mirek sám také vysloví. V každé skupince Mirek řekne dvě čísla. Číslo 119 vysloví v 60. skupince, protože $60 \cdot 2 = 120$ (v 60. skupince Mirek říká 119. a 120. číslo v řadě).
60. skupinka začíná číslem 119 (Mirek), následuje 120 (Mirek) a Zuzka nakonec řekne 239.

Číslo před druhým zazněním

Hledáme číslo, které zaznělo těsně předtím, než Mirek podruhé řekl 119. To bylo poslední číslo v předchozí (59.) skupince.
V 59. skupince Mirek vyslovil čísla 117 a 118 ($59 \cdot 2 = 118$). Zuzka k nim řekla jejich součet: $117 + 118 = 235$.

Závěr

Bezprostředně předtím, než podruhé zaznělo číslo 119, bylo vysloveno číslo 235.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

235

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.3

Mirek a Zuzka odříkávali čísla následujícím způsobem:
Mirek postupně odříkával všechna po sobě jdoucí přirozená čísla od 1 do 1000. Za každým druhým číslem udělal krátkou pauzu, během níž Zuzka řekla součet posledních dvou čísel, které vyslovil Mirek.

Na začátku tedy zazněla čísla:
1, 2, 3, 3, 4, 7, 5, 6, 11, …

(Tučně zapsaná čísla vyslovila Zuzka, ostatní čísla Mirek.)

Určete největší číslo, které mezi prvními 150 vyslovenými čísly zaznělo dvakrát.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza posloupnosti

Mirek a Zuzka se střídají v pravidelných trojicích čísel. Mirek řekne dvě po sobě jdoucí přirozená čísla a Zuzka řekne jejich součet. Zápis prvních trojic vypadá takto:
  • 1. trojice: Mirek (1, 2), Zuzka (1 + 2 = 3)
  • 2. trojice: Mirek (3, 4), Zuzka (3 + 4 = 7)
  • 3. trojice: Mirek (5, 6), Zuzka (5 + 6 = 11)
Každá trojice obsahuje 3 vyslovená čísla. Prvních 150 čísel tedy odpovídá $150 \div 3 = 50$ trojicím.

Mirkova a Zuzčina čísla

V 50 trojicích řekne Mirek 50 · 2 = 100 čísel, tedy všechna čísla od 1 do 100. Zuzčiny součty jsou 3, 7, 11, … Každý další je o 4 větší, protože obě sčítaná čísla vzrostou o 2.

Které číslo může zaznít dvakrát

Každý z nich říká stále větší čísla, takže se číslo může opakovat pouze jednou u Mirka a jednou u Zuzky. Hledáme největší Zuzčino číslo nejvýše 100.

Přímý výpočet

Od prvního Zuzčina čísla 3 zbývá do 100 rozdíl 100 − 3 = 97. Do něj se vejde 24 celých přírůstků po 4, protože 97 : 4 = 24 se zbytkem 1. Největší vyhovující číslo je tedy 3 + 24 · 4 = 99. Zuzka je řekne ve 25. trojici a Mirek v 50. trojici, takže obě vyslovení patří mezi prvních 150 čísel.

Závěr

Největší číslo, které mezi prvními 150 vyslovenými čísly zaznělo dvakrát, je 99.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

99

Stav úlohy
2 body