Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 9. ročník

Podkategorie: Matematika 9. ročník — 2. řádný termín 2025

32 úloh

Úloha 1

Cena dětské vstupenky do muzea je rovna dvěma pětinám ceny vstupenky pro dospělého. Jeden dospělý se třemi dětmi zaplatil za vstupenky 330 korun.

Vypočtěte v korunách cenu jedné dětské vstupenky.

Zobrazit odpověď

60 korun

1 bod
Úloha 2

Vypočtěte druhou odmocninu ze součinu smíšených čísel 614 a 279. Výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

Zobrazit odpověď

25/6

1 bod
Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle (\frac{11}{5} - \frac{11}{6}) \div (-\frac{1}{3}) =$

Zobrazit odpověď

-11/10

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet v závorce

Nejdříve vypočítáme hodnotu v závorce. Pro odečtení zlomků $\frac{11}{5}$ a $\frac{11}{6}$ najdeme společného jmenovatele, kterým je číslo 30:
$\frac{11}{5} - \frac{11}{6} = \frac{11 \cdot 6}{30} - \frac{11 \cdot 5}{30} = \frac{66}{30} - \frac{55}{30} = \frac{11}{30}$

Dělení zlomků

Získaný výsledek vydělíme zlomkem $(-\frac{1}{3})$. Dělení zlomkem provedeme jako násobení jeho převrácenou hodnotou:
$\frac{11}{30} \div (-\frac{1}{3}) = \frac{11}{30} \cdot (-\frac{3}{1}) = -\frac{11 \cdot 3}{30} = -\frac{33}{30}$

Základní tvar zlomku

Zlomek $-\frac{33}{30}$ zkrátíme číslem 3, abychom dostali výsledek v základním tvaru:
$-\frac{33}{30} = -\frac{11}{10}$
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{20 - \sqrt{4 \cdot 3^{2}}}{3 \cdot \sqrt{100 - 64}} \div \frac{4 + 3}{4 \cdot 3} =$

Zobrazit odpověď

4/3 a spravny postup reseni

2 body
Úloha 4.1

Upravte na co nejjednodušší tvar bez závorek:

$\displaystyle x \cdot 3x - 2x \cdot 3 - (x - 3)^{2} =$

Zobrazit odpověď

2x² - 9

1 bod
Úloha 4.2

Upravte a výsledný výraz rozložte na součin vytknutím:

$\displaystyle (2k)^{2} - k \cdot (1 + 2k) =$

Zobrazit odpověď

k (2k - 1)

1 bod
Úloha 4.3

Upravte na co nejjednodušší tvar bez závorek:

$\displaystyle 7a \cdot (a + 3) + 2 \cdot (1 - 3a) \cdot (a + 5) =$

Zobrazit odpověď

a² - 7a + 10 a spravny postup reseni

2 body
Úloha 5.1

Řešte rovnici:

$\displaystyle \frac{7}{12}x + 2 \cdot (\frac{3}{8}x - 1) = -3 \cdot (\frac{x}{9} + 1)$

Zobrazit odpověď

x = -3/5 a spravny postup reseni

2 body
Úloha 5.2

Řešte soustavu rovnic:

$\displaystyle 6x + y = 14$

$\displaystyle 3x + 2y = 1$

Zobrazit odpověď

x = 3, y = -4 a správný postup řešení

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vyjádření neznámé

Máme soustavu rovnic: (1) $6x + y = 14$ (2) $3x + 2y = 1$

Z první rovnice si vyjádříme neznámou $y$: $y = 14 - 6x$

Dosazení do druhé rovnice

Dosadíme výraz za $y$ do druhé rovnice: $3x + 2(14 - 6x) = 1$

Roznásobíme závorku: $3x + 28 - 12x = 1$

Upravíme rovnici (sečteme členy s $x$): $-9x + 28 = 1$

Odečteme 28 od obou stran: $-9x = -27$

Vydělíme -9: $x = 3$

Dopočítání druhé neznámé

Nyní dosadíme vypočtenou hodnotu $x = 3$ do výrazu pro $y$: $y = 14 - 6 \cdot 3$ $y = 14 - 18$ $y = -4$

Zápis výsledku

Řešením soustavy rovnic je uspořádaná dvojice $[x; y] = [3; -4]$. Do záznamového archu zapíšeme obě hodnoty.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 6.1

Číslo 231 lze rozložit na součin tří prvočísel a * b * c.

Určete nejmenší z prvočísel a, b, c.

Zobrazit odpověď

3

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozklad čísla na součin prvočísel

Číslo 231 postupně dělíme nejmenšími možnými prvočísly. Číslo není sudé, takže není dělitelné 2. Zkusíme dělitelnost 3 (ciferný součet je $2 + 3 + 1 = 6$, což je dělitelné 3):
231 : 3 = 77

Dokončení rozkladu

Nyní rozložíme výsledek 77. Číslo 77 je násobkem 7:
77 : 7 = 11
Číslo 11 je samo o sobě prvočíslo.

Určení prvočísel

Rozklad čísla 231 na součin tří prvočísel je tedy:
231 = 3 7 11
Hledaná prvočísla jsou 3, 7 a 11.

Výsledek

Nejmenší z těchto prvočísel je číslo 3.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 6.2

Číslo 231 lze rozložit na součin tří prvočísel a * b * c.

Určete součet všech tří prvočísel a + b + c

Zobrazit odpověď

21

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozklad čísla 231 na součin prvočísel

Nejdříve rozložíme číslo 231 na součin prvočísel. Číslo 231 není sudé, takže není dělitelné 2. Ciferný součet je $2 + 3 + 1 = 6$, což je číslo dělitelné 3, takže i 231 je dělitelné 3.

$231 : 3 = 77$

Číslo 77 dále rozložíme na součin $7 × 11$. Obě tato čísla jsou prvočísla. Rozklad čísla 231 na součin tří prvočísel tedy je: $231 = 3 × 7 × 11$

Výpočet součtu prvočísel

Nyní sečteme tato tři prvočísla $a, b, c$, tedy čísla 3, 7 a 11: $3 + 7 + 11 = 21$

Závěr

Součet všech tří prvočísel je 21.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 6.3

Číslo 231 lze rozložit na součin tří prvočísel a * b * c.

Určete největší dvojciferné číslo, které je dělitelem čísla 231.

Zobrazit odpověď

77

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozklad na součin prvočísel

Nejdříve rozložíme číslo 231 na součin prvočísel. Číslo 231 je liché, není tedy dělitelné 2. Vyzkoušíme dělitelnost 3 (ciferný součet je $2 + 3 + 1 = 6$, což je dělitelné 3): $231 : 3 = 77$

Číslo 77 dále rozložíme: $77 = 7 \cdot 11$

Prvočíselný rozklad čísla 231 je tedy: $231 = 3 \cdot 7 \cdot 11$

Nalezení všech dělitelů

Všechny dělitele čísla 231 získáme kombinací jeho prvočíselných činitelů (3, 7, 11):
  • Jednotlivá prvočísla: 3, 7, 11
  • Součiny dvou prvočísel:
    • $3 \cdot 7 = 21$
    • $3 \cdot 11 = 33$
    • $7 \cdot 11 = 77$
  • Součin všech tří prvočísel: $3 \cdot 7 \cdot 11 = 231$
  • Číslo 1 (dělitel každého přirozeného čísla)
Seznam všech dělitelů je: 1, 3, 7, 11, 21, 33, 77, 231.

Výběr největšího dvojciferného dělitele

Ze seznamu dělitelů (1, 3, 7, 11, 21, 33, 77, 231) vybereme ty, které jsou dvojciferné. Jsou to čísla: 11, 21, 33 a 77.

Největším z těchto čísel je 77.

Závěr

Největším dvojciferným dělitelem čísla 231 je číslo 77.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 7.1

Farmář prodával saláty za jednotnou cenu za kus a v průběhu tří dnů všechny saláty prodal.
První den prodal třetinu všech salátů,
druhý den prodal o třetinu méně salátů než první den
a třetí den prodal zbytek salátů.

Za všechny prodané saláty utržil farmář celkem 5 400 korun.

Vypočtěte, kolik korun utržil farmář za saláty prodané druhý den.

Zobrazit odpověď

1 200 korun

1 bod
Úloha 7.2

Farmář prodával saláty za jednotnou cenu za kus a v průběhu tří dnů všechny saláty prodal.
První den prodal třetinu všech salátů,
druhý den prodal o třetinu méně salátů než první den
a třetí den prodal zbytek salátů.

Počet všech salátů, které farmář prodal, označíme x.

Vyjádřete výrazem s proměnnou x, kolik salátů prodal farmář druhý den.

Zobrazit odpověď

(2/9)x

1 bod
Úloha 7.3

Farmář prodával saláty za jednotnou cenu za kus a v průběhu tří dnů všechny saláty prodal.
První den prodal třetinu všech salátů,
druhý den prodal o třetinu méně salátů než první den
a třetí den prodal zbytek salátů.

Třetí den prodal farmář 120 salátů.

Určete počet všech salátů, které farmář prodal.

Zobrazit odpověď

270 salátů

2 body
Úloha 8.1

Velký pravoúhlý lichoběžník, jehož rozměry jsou uvedeny na obrázku vlevo, jsme jednou úsečkou rozdělili na menší lichoběžník a rovnoběžník (obrázek vpravo).
Oba tyto nové útvary (menší lichoběžník a rovnoběžník) mají stejný obvod.

Vypočtěte v cm² obsah velkého pravoúhlého lichoběžníku.

Zobrazit odpověď

3 600 cm²

1 bod
Úloha 8.2

Velký pravoúhlý lichoběžník, jehož rozměry jsou uvedeny na obrázku vlevo, jsme jednou úsečkou rozdělili na menší lichoběžník a rovnoběžník (obrázek vpravo).
Oba tyto nové útvary (menší lichoběžník a rovnoběžník) mají stejný obvod.

Vypočtěte v cm obvod velkého pravoúhlého lichoběžníku.

Zobrazit odpověď

320 cm

2 body
Úloha 8.3

Velký pravoúhlý lichoběžník, jehož rozměry jsou uvedeny na obrázku vlevo, jsme jednou úsečkou rozdělili na menší lichoběžník a rovnoběžník (obrázek vpravo).
Oba tyto nové útvary (menší lichoběžník a rovnoběžník) mají stejný obvod.

Vypočtěte v cm obvod rovnoběžníku.

Zobrazit odpověď

210 cm

1 bod
Úloha 9

V rovině leží body A, B, M.

Body A, B jsou vrcholy rovnoramenného trojúhelníku ABC.
Bod M je uvnitř tohoto trojúhelníku a leží na těžnici tc na stranu AB.
(Bod M není těžištěm trojúhelníku ABC.)

Sestrojte vrchol C trojúhelníku ABC, označte ho písmenem a trojúhelník narýsujte.

Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď
Odpověď
3 body
Úloha 10

V rovině leží body A, D, M.

Body A, D jsou vrcholy rovnoběžníku ABCD. Na polopřímce DM leží jedna z úhlopříček tohoto rovnoběžníku. Druhá úhlopříčka rovnoběžníku ABCD má stejnou délku jako úsečka DM.

Sestrojte vrcholy B, C rovnoběžníku ABCD, označte je písmeny a rovnoběžník narýsujte.

Zobrazit odpověď
Odpověď
3 body
Úloha 11.1
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

V zahradě se pěstuje 6 druhů rostlin. Diagram udává, jakou část osázené plochy zahrady zabírají jednotlivé druhy rostlin. V každé části zahrady se pěstuje pouze jeden druh rostlin. Magnolie zabírají plochu o rozloze 20 m². V některých výsečích diagramu je uvedena velikost úhlu, který příslušnou výseč vymezuje.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Jabloně zabírají o 15 m² větší plochu, než zabírají magnolie.

Zobrazit odpověď

Ano

4 body za skupinu
Úloha 11.2
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

V zahradě se pěstuje 6 druhů rostlin. Diagram udává, jakou část osázené plochy zahrady zabírají jednotlivé druhy rostlin. V každé části zahrady se pěstuje pouze jeden druh rostlin. Magnolie zabírají plochu o rozloze 20 m². V některých výsečích diagramu je uvedena velikost úhlu, který příslušnou výseč vymezuje.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Levandule a bazalka dohromady zabírají 1,5krát větší plochu než hortenzie.

Zobrazit odpověď

Ne

4 body za skupinu
Úloha 11.3
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

V zahradě se pěstuje 6 druhů rostlin. Diagram udává, jakou část osázené plochy zahrady zabírají jednotlivé druhy rostlin. V každé části zahrady se pěstuje pouze jeden druh rostlin. Magnolie zabírají plochu o rozloze 20 m². V některých výsečích diagramu je uvedena velikost úhlu, který příslušnou výseč vymezuje.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Růže zabírají plochu menší než 30 m².

Zobrazit odpověď

Ne

4 body za skupinu
Úloha 12

V rovině leží dva shodné rovnoramenné trojúhelníky a přímka p rovnoběžná se základnou jednoho z nich.
Druhý trojúhelník má právě jedno rameno rovnoběžné s ramenem prvního trojúhelníku.

Jaká je velikost úhlu 𝛼?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní).

  • A) 160°
  • D) 110°
  • B) 140°
  • E) jiná velikost
  • C) 130°
Zobrazit odpověď

B

2 body
Úloha 13

Ze shodných bílých a šedých krychliček byla sestavena krychle tak, že v každé řadě i v každém sloupci jsou 4 krychličky.

Šedé krychličky byly umístěny vždy podél jedné ze dvou úhlopříček každé stěny krychle (viz obrázek).
Všechny zbývající krychličky v krychli jsou bílé.

Jaký je počet všech bílých krychliček v krychli?

  • A) méně než 36
  • D) 54
  • B) 36
  • E) 72
  • C) 48
Zobrazit odpověď

C

2 body
Úloha 14

Na výrobu dortu byly použity dvě různé formy tvaru rotačního válce.
Poloměr podstavy první formy je 8 cm a poloměr podstavy druhé formy je o čtvrtinu menší. Výška obou forem je stejná, a to 5 cm.
Dvoupatrový dort je složen z většího a menšího korpusu. Každý korpus má stejný objem jako forma, v níž byl upečen.

Jaký je celkový objem obou korpusů dvoupatrového dortu?

  • A) 350π cm³
  • D) 500π cm³
  • B) 400π cm³
  • E) 550π cm³
  • C) 450π cm³
Zobrazit odpověď

D

2 body
Úloha 15.1

Na táboře bylo 80 dětí, 5 vedoucích a 4 instruktoři.

Vedoucí si všechny děti rozdělili do stejně početných oddílů.
Každý vedoucí pak měl na starost jeden oddíl.

Kolik procent všech dětí měl na starost jeden vedoucí?

  • A) 20 %
  • D) 40 %
  • B) 25 %
  • E) 45 %
  • C) 33 %
  • F) 50 %
Zobrazit odpověď

A

2 body
Úloha 15.2

Na táboře bylo 80 dětí, 5 vedoucích a 4 instruktoři.

Na táboře bylo mladších dětí o jednu třetinu méně než starších dětí.

O kolik procent bylo starších dětí více než mladších?

  • A) 20 %
  • D) 40 %
  • B) 25 %
  • E) 45 %
  • C) 33 %
  • F) 50 %
Zobrazit odpověď

F

2 body
Úloha 15.3

Na táboře bylo 80 dětí, 5 vedoucích a 4 instruktoři.

Děti z tábora se vydaly do lesa na borůvky. Šla čtvrtina všech chlapců a polovina všech dívek, tedy chlapců šlo do lesa o 4 méně než dívek.

Kolik procent všech dětí na táboře tvořily dívky?

  • A) 20 %
  • D) 40 %
  • B) 25 %
  • E) 45 %
  • C) 33 %
  • F) 50 %
Zobrazit odpověď

D

2 body
Úloha 16.1

Mirek a Zuzka odříkávali čísla následujícím způsobem:
Mirek postupně odříkával všechna po sobě jdoucí přirozená čísla od 1 do 1000. Za každým druhým číslem udělal krátkou pauzu, během níž Zuzka řekla součet posledních dvou čísel, které vyslovil Mirek.

Na začátku tedy zazněla čísla:
1, 2, 3, 3, 4, 7, 5, 6, 11, …

(Tučně zapsaná čísla vyslovila Zuzka, ostatní čísla Mirek.)

Určete číslo, které zaznělo mezi čísly 24 a 25.

Zobrazit odpověď

47

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pravidlo hry

Mirek říká čísla po dvou (1 a 2, potom 3 a 4, pak 5 a 6 atd.). Zuzka po každé dvojici řekne jejich součet. Posloupnost tedy vypadá takto: 1, 2, 3 (1+2), 3, 4, 7 (3+4), 5, 6, 11 (5+6).

Kdy Zuzka mluví

Zuzka mluví vždy po každém sudém čísle, které Mirek vysloví (tedy po 2, 4, 6, ...). Mezi čísly 24 a 25 zazní číslo od Zuzky, protože 24 je sudé číslo a Mirek po něm udělal pauzu.

Výpočet

Zuzka v pauze po čísle 24 sečetla poslední dvě čísla, která Mirek řekl. To byla čísla 23 a 24. Pro výpočet použijeme sčítání:
$23 + 24 = 47$

Výsledek

Mezi čísly 24 a 25 zaznělo číslo 47.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 16.2

Mirek a Zuzka odříkávali čísla následujícím způsobem:
Mirek postupně odříkával všechna po sobě jdoucí přirozená čísla od 1 do 1000. Za každým druhým číslem udělal krátkou pauzu, během níž Zuzka řekla součet posledních dvou čísel, které vyslovil Mirek.

Na začátku tedy zazněla čísla:
1, 2, 3, 3, 4, 7, 5, 6, 11, …

(Tučně zapsaná čísla vyslovila Zuzka, ostatní čísla Mirek.)

Jako 90. v pořadí bylo vysloveno číslo C, které později zaznělo ještě jednou.

Určete číslo, které bylo vysloveno bezprostředně předtím, než podruhé zaznělo číslo C.

Zobrazit odpověď

235

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Skupinky čísel

Mirek a Zuzka tvoří svými čísly skupinky. Mirek řekne dvě čísla a Zuzka jedno (jejich součet). Každá skupinka má tedy 3 čísla.
1. skupinka: Mirek (1, 2), Zuzka (3)
2. skupinka: Mirek (3, 4), Zuzka (7)
3. skupinka: Mirek (5, 6), Zuzka (11)

Hledání čísla C

Číslo C je v pořadí 90. Protože je každá skupinka tříčlenná, číslo C musí být na konci 30. skupinky ($90 \div 3 = 30$).
V každé skupince Mirek vysloví dvě nová čísla. Na konci 30. skupinky už Mirek vyslovil celkem 60 čísel ($30 \cdot 2 = 60$). Poslední dvě čísla, která Mirek ve 30. skupince řekl, jsou 59 a 60.
Zuzka vyslovila jejich součet: $59 + 60 = 119$. Číslo C je tedy 119.

Druhé zaznění čísla C

Mirek postupně odříkává všechna čísla od 1 do 1000. Číslo 119 tedy Mirek sám také vysloví. V každé skupince Mirek řekne dvě čísla. Číslo 119 vysloví v 60. skupince, protože $60 \cdot 2 = 120$ (v 60. skupince Mirek říká 119. a 120. číslo v řadě).
60. skupinka začíná číslem 119 (Mirek), následuje 120 (Mirek) a Zuzka nakonec řekne 239.

Číslo před druhým zazněním

Hledáme číslo, které zaznělo těsně předtím, než Mirek podruhé řekl 119. To bylo poslední číslo v předchozí (59.) skupince.
V 59. skupince Mirek vyslovil čísla 117 a 118 ($59 \cdot 2 = 118$). Zuzka k nim řekla jejich součet: $117 + 118 = 235$.

Závěr

Bezprostředně předtím, než podruhé zaznělo číslo 119, bylo vysloveno číslo 235.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 16.3

Mirek a Zuzka odříkávali čísla následujícím způsobem:
Mirek postupně odříkával všechna po sobě jdoucí přirozená čísla od 1 do 1000. Za každým druhým číslem udělal krátkou pauzu, během níž Zuzka řekla součet posledních dvou čísel, které vyslovil Mirek.

Na začátku tedy zazněla čísla:
1, 2, 3, 3, 4, 7, 5, 6, 11, …

(Tučně zapsaná čísla vyslovila Zuzka, ostatní čísla Mirek.)

Určete největší číslo, které mezi prvními 150 vyslovenými čísly zaznělo dvakrát.

Zobrazit odpověď

99

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza posloupnosti

Mirek a Zuzka se střídají v pravidelných trojicích čísel. Mirek řekne dvě po sobě jdoucí přirozená čísla a Zuzka řekne jejich součet. Zápis prvních trojic vypadá takto:
  • 1. trojice: Mirek (1, 2), Zuzka (1 + 2 = 3)
  • 2. trojice: Mirek (3, 4), Zuzka (3 + 4 = 7)
  • 3. trojice: Mirek (5, 6), Zuzka (5 + 6 = 11)
Každá trojice obsahuje 3 vyslovená čísla. Prvních 150 čísel tedy odpovídá $150 \div 3 = 50$ trojicím.

Mirkova a Zuzčina čísla

V každé trojici $k$ (kde $k = 1, 2, \dots, 50$) Mirek řekne čísla $2k-1$ a $2k$. Celkem tedy Mirek mezi prvními 150 čísly vyjmenuje všechna přirozená čísla od 1 do $50 \cdot 2 = 100$. Zuzka v každé trojici $k$ řekne součet $(2k-1) + 2k = 4k-1$. Její čísla tvoří řadu: 3, 7, 11, 15, … (každé další je o 4 větší).

Hledání duplicit

Číslo zazní dvakrát, pokud se vyskytuje jak v Mirkově seznamu, tak v Zuzčině seznamu (Mirek i Zuzka sami o sobě říkají vždy unikátní čísla). Hledáme tedy největší Zuzčino číslo $4k-1$, které je zároveň v Mirkově seznamu (do 100). Zároveň musí obě vyslovení nastat do 150. pozice. Zuzčino číslo $4k-1$ je na pozici $3k$. Mirkovo liché číslo $m$ je na pozici $3 \cdot \frac{m+1}{2} - 2$.

Výpočet největšího čísla

Zkusíme největší možná Zuzčina čísla do 100:
  • Pro $k=25$ Zuzka řekne $4 \cdot 25 - 1 = 99$. Toto číslo zazní na 75. pozici ($3 \cdot 25$).
  • Mirek řekne číslo 99 v 50. trojici na 148. pozici ($3 \cdot 50 - 2$).
Obě pozice (75 i 148) jsou menší nebo rovny 150. Pro $k=26$ by už Mirek řekl číslo 103 až na 154. pozici, což je mimo zadaný rozsah.

Závěr

Největší číslo, které mezi prvními 150 vyslovenými čísly zaznělo dvakrát, je 99.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body