Přijímací testy 9. ročník
Podkategorie: Matematika 9. ročník — 2. náhradní termín 2025
32 úloh
Třímetrovou dárkovou stuhu jsme dvěma střihy rozdělili na tři díly různých délek.
Nejprve jsme odstřihli čtvrtinu stuhy na první dárek, potom jsme odstřihli dvě pětiny zbytku stuhy na druhý dárek a poslední díl jsme použili na třetí dárek.
Vypočtěte, kolik cm stuhy jsme použili na třetí dárek.
Zobrazit odpověď
135 cm
Poměr dvou neznámých přirozených čísel je 4 : 5
a dvojnásobky těchto dvou čísel se liší o 6.
Určete menší z obou neznámých čísel.
Zobrazit odpověď
12
Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.
$\displaystyle (\frac{7}{5} - \frac{7}{4}) \div \frac{2}{5} =$
Zobrazit odpověď
-7/8
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Krok 1: Rozdíl v závorce
$\frac{7}{5} - \frac{7}{4} = \frac{28}{20} - \frac{35}{20} = -\frac{7}{20}$
Krok 2: Dělení zlomkem
$-\frac{7}{20} \div \frac{2}{5} = -\frac{7}{20} \cdot \frac{5}{2}$
Krok 3: Výpočet a základní tvar
$-\frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 2} = -\frac{35}{40} = \mathbf{-\frac{7}{8}}$
Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.
$\displaystyle \frac{(1 + \frac{1}{7})^{2} \cdot \frac{7}{4}}{\sqrt{25} - \frac{3^{2}}{5}} =$
Zobrazit odpověď
5/7 a správný postup řešení
Upravte na co nejjednodušší tvar bez závorek:
$\displaystyle (y + 1)^{2} + (y - 1) \cdot 2y =$
Zobrazit odpověď
3y² + 1
Upravte a výsledný výraz rozložte na součin pomocí vzorce:
$\displaystyle k \cdot (k - 9) + 9 \cdot (k - 16) =$
Zobrazit odpověď
(k + 12)(k - 12)
Upravte na co nejjednodušší tvar bez závorek:
$\displaystyle (x - 15) \cdot (2x - x) - (5x - 8) \cdot (-3 + 1) - 1 =$
Zobrazit odpověď
x² - 5x - 17 a správný postup řešení
Řešte rovnici:
$\displaystyle 0,1x + 5 \cdot (0,04x - 3,2) = 4 - 0,7x$
Zobrazit odpověď
x = 20 a správný postup řešení
Řešte soustavu rovnic:
$\displaystyle 3x - (y + 1) = 10$
$\displaystyle 2x - 9 = y$
Zobrazit odpověď
x = 2, y = -5 a správný postup řešení
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Analýza soustavy
Druhá rovnice nám přímo říká, čemu se rovná neznámá $y$ pomocí $x$. To je ideální pro použití dosazovací metody.
Dosazení a výpočet první neznámé
Nejdříve upravíme výraz v závorce: $3x - (2x - 8) = 10$
Nyní odstraníme závorku (pozor na znaménko mínus před závorkou): $3x - 2x + 8 = 10$ $x + 8 = 10$ $x = 10 - 8$ $x = 2$
Výpočet druhé neznámé
Ověření
Závěr
Na odvoz beden ze skladu se používají dva různí roboti A, B.
Ve skladu bylo 95 beden.
Bedny nejprve odvážel robot A, a to po 5 kusech. Jezdil v pravidelných intervalech a odvezl ze skladu za 2 hodiny celkem 50 beden.
Pak pokračoval robot B, který vozil bedny jen po 3 kusech, avšak v kratších pravidelných intervalech. Odvezl tak ze skladu za 1,5 hodiny zbývajících 45 beden.
Vyjádřete v základním tvaru poměr počtu beden odvezených ze skladu za 1 hodinu robotem A ku počtu beden odvezených za 1 hodinu robotem B.
Zobrazit odpověď
5 : 6
Na odvoz beden ze skladu se používají dva různí roboti A, B.
Ve skladu bylo 95 beden.
Bedny nejprve odvážel robot A, a to po 5 kusech. Jezdil v pravidelných intervalech a odvezl ze skladu za 2 hodiny celkem 50 beden.
Pak pokračoval robot B, který vozil bedny jen po 3 kusech, avšak v kratších pravidelných intervalech. Odvezl tak ze skladu za 1,5 hodiny zbývajících 45 beden.
Vyjádřete v základním tvaru poměr počtu jízd robota A za hodinu ku počtu jízd robota B za hodinu.
Zobrazit odpověď
1 : 2
Na odvoz beden ze skladu se používají dva různí roboti A, B.
Ve skladu bylo 95 beden.
Bedny nejprve odvážel robot A, a to po 5 kusech. Jezdil v pravidelných intervalech a odvezl ze skladu za 2 hodiny celkem 50 beden.
Pak pokračoval robot B, který vozil bedny jen po 3 kusech, avšak v kratších pravidelných intervalech. Odvezl tak ze skladu za 1,5 hodiny zbývajících 45 beden.
Vypočtěte, kolik beden by ze skladu odvezli za 36 minut oba roboti dohromady při společném provozu.
Zobrazit odpověď
33 beden
Do vědomostní soutěže se přihlásilo 10 soutěžících a všichni se zúčastnili 1. i 2. kola.
V každém kole získali jednotliví soutěžící 8, 9, nebo 10 bodů. Některé údaje jsou v tabulce.
V 1. kole bylo soutěžících, kteří získali 8 bodů, o jednoho méně než těch, kteří získali 10 bodů.
Určete průměrný bodový zisk všech soutěžících v 1. kole.
Zobrazit odpověď
9,1 bodu
Do vědomostní soutěže se přihlásilo 10 soutěžících a všichni se zúčastnili 1. i 2. kola.
V každém kole získali jednotliví soutěžící 8, 9, nebo 10 bodů. Některé údaje jsou v tabulce.
Určete, kolik soutěžících mohlo ve 2. kole získat 9 bodů.
Najděte všechna řešení.
Zobrazit odpověď
1 soutěžící; 3 soutěžící; 5 soutěžících
Ze čtverce o straně délky 12 cm odstřihneme dva shodné trojúhelníky (viz obrázek vlevo).
Vznikne tak rovnoramenný lichoběžník, jehož kratší základna má délku 2 cm.
Určete, o kolik cm² je obsah čtverce větší než obsah lichoběžníku.
Zobrazit odpověď
o 60 cm²
Ze čtverce o straně délky 12 cm odstřihneme dva shodné trojúhelníky (viz obrázek vlevo).
Vznikne tak rovnoramenný lichoběžník, jehož kratší základna má délku 2 cm.
Vypočtěte v cm obvod lichoběžníku.
Zobrazit odpověď
40 cm
V rovině leží body A, A' a M.
Bod A je vrchol rovnostranného trojúhelníku ABC.
Na přímce AM leží vrchol C tohoto trojúhelníku.
Bod A' je vrchol trojúhelníku A'B'C, který je obrazem trojúhelníku ABC v osové souměrnosti s osou o.
Oba trojúhelníky mají pouze jeden společný bod, a to vrchol C.
Sestrojte osu o a označte ji písmenem.
Zobrazit odpověď
V rovině leží body A, A' a M.
Bod A je vrchol rovnostranného trojúhelníku ABC.
Na přímce AM leží vrchol C tohoto trojúhelníku.
Bod A' je vrchol trojúhelníku A'B'C, který je obrazem trojúhelníku ABC v osové souměrnosti s osou o.
Oba trojúhelníky mají pouze jeden společný bod, a to vrchol C.
Sestrojte všechny chybějící vrcholy trojúhelníků ABC i A'B'C, označte je písmeny a oba trojúhelníky narýsujte.
Zobrazit odpověď
V rovině leží body L, M a přímka p procházející bodem M.
Body L, M jsou vrcholy rovnoběžníku KLMN.
Na přímce p leží střed S souměrnosti tohoto rovnoběžníku.
Délka strany LM je stejná jako délka úhlopříčky LN.
Sestrojte střed S a vrcholy K, N rovnoběžníku KLMN, označte je písmeny a rovnoběžník narýsujte. Najděte všechna řešení.
Zobrazit odpověď
Kružnice se středem S prochází body A, B, K, L. Úsečky AB a KL se protínají v bodě S.
V obrázku jsou vyznačeny velikosti některých úhlů.
Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
α > 64°
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní).
Zobrazit odpověď
Ne
Kružnice se středem S prochází body A, B, K, L. Úsečky AB a KL se protínají v bodě S.
V obrázku jsou vyznačeny velikosti některých úhlů.
Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
α + β > 90°
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní).
Zobrazit odpověď
Ne
Kružnice se středem S prochází body A, B, K, L. Úsečky AB a KL se protínají v bodě S.
V obrázku jsou vyznačeny velikosti některých úhlů.
Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
γ - α > δ
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní).
Zobrazit odpověď
Ano
Povrch malé krychle je o 42 cm² menší než povrch velké krychle.
Součet délek všech hran malé krychle je 36 cm.
O kolik cm³ se liší objem malé a velké krychle?
- A) o 14 cm³
- D) o 46 cm³
- B) o 27 cm³
- E) o jiný objem
- C) o 37 cm³
Zobrazit odpověď
C
Ve stanici Lichá Lhota stojí na každé ze tří kolejí jeden vlak.
Vlak na druhé koleji má o 3 vagony více než vlak na první koleji a dvakrát méně vagonů než vlak na třetí koleji.
Všechny tři vlaky dohromady mají 41 vagonů.
O kolik vagonů více má vlak na třetí koleji než vlak na první koleji?
- A) o 8 vagonů
- D) o 13 vagonů
- B) o 10 vagonů
- E) o 14 vagonů
- C) o 11 vagonů
Zobrazit odpověď
E
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Vztahy mezi vlaky
- Vlak na 2. koleji má o 3 vagony více než vlak na 1. koleji.
- Vlak na 3. koleji má dvakrát více vagonů než vlak na 2. koleji (protože vlak na 2. koleji jich má dvakrát méně).
Výpočet počtu vagonů
- 2. vlak má o 3 vagony více než 1. vlak.
- 3. vlak má dvakrát více než 2. vlak. Tedy má dvakrát (1. vlak + 3 vagony), což je jako dva první vlaky a k tomu ještě 6 vagonů ($2 \cdot 3 = 6$).
Víme, že celkem je vagonů 41. Odečteme ty, které jsou navíc: $41 - 9 = 32$. Čtyři stejné díly (čtyřnásobek 1. vlaku) tvoří 32 vagonů. Jeden díl (1. vlak) má tedy: $32 : 4 = 8$ vagonů.
Počty vagonů na kolejích
- 1. kolej: 8 vagonů
- 2. kolej: $8 + 3 = 11$ vagonů
- 3. kolej: $11 \cdot 2 = 22$ vagonů
Závěrečné porovnání
Vlak na třetí koleji má o 14 vagonů více.
Jonáš a Beáta se zapojili do programu Ptačí hodinka. Každý v okolí svého krmítka sledoval výskyt ptáků v průběhu jedné vybrané hodiny. U každého ptačího druhu zaznamenali do grafu vždy nejvyšší počet jedinců spatřených najednou.
Jonáš spatřil pět druhů ptáků, zatímco Beáta pouze čtyři z nich. Oba dohromady zaznamenali pěnkav o 6 méně než sýkor. Jonáš zaznamenal celkem o pětinu více ptačích jedinců než Beáta.
Kolik jedinců brhlíka lesního zaznamenala Beáta?
- A) 2 jedince
- D) 5 jedinců
- B) 3 jedince
- E) více než 5 jedinců
- C) 4 jedince
Zobrazit odpověď
A
Pan Zdeněk bydlí posledních pět osmin svého dosavadního života v Plzni, kam se přestěhoval, když mu bylo 27 let.
Kolik let bydlí pan Zdeněk v Plzni?
- A) 22 let
- D) 45 let
- B) 27 let
- E) 48 let
- C) 32 let
- F) více než 48 let
Zobrazit odpověď
D
Ze tří škol v obci je nejstarší základní škola, která je v provozu již 84 let.
Funguje tedy o 75 % delší dobu než gymnázium. Nejmladší školou je lyceum.
Poměr doby fungování lycea a gymnázia je 2 : 3.
Kolik let funguje v obci lyceum?
- A) 22 let
- D) 45 let
- B) 27 let
- E) 48 let
- C) 32 let
- F) více než 48 let
Zobrazit odpověď
C
Součet věků dvojčat a jejich staršího bratra je 99 let.
Každému z dvojčat je o 40 % méně let než jejich bratrovi.
Kolik let je každému z dvojčat?
- A) 22 let
- D) 45 let
- B) 27 let
- E) 48 let
- C) 32 let
- F) více než 48 let
Zobrazit odpověď
B
Hřiště má tvar obdélníku KLMN.
Po jeho obvodu vede soutěžní trasa se stanovišti A, B, C, D (viz obrázek).
Úsečky AC a BD jsou rovnoběžné se stranami hřiště a vyznačený šedý obrazec je čtverec.
Úsek AKB soutěžní trasy (ze stanoviště A přes vrchol K na stanoviště B) měří 45 m.
Úsek BLC měří 39 m a poslední úsek CMD měří 30 m.
Vypočtěte v metrech rozdíl mezi délkami úseček BK a BL.
Zobrazit odpověď
6 m
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Rozbor obrázku
Vyjádření délek tras
- Trasa $AKB$ (z bodu $A$ přes vrchol $K$ do bodu $B$) měří $45\text{ m}$. To znamená, že $AK + BK = 45\text{ m}$.
- Trasa $BLC$ (z bodu $B$ přes vrchol $L$ do bodu $C$) měří $39\text{ m}$. To znamená, že $BL + LC = 39\text{ m}$.
Výpočet rozdílu
- $AK + BK = 45\text{ m}$
- $AK + BL = 39\text{ m}$
Závěr
Hřiště má tvar obdélníku KLMN.
Po jeho obvodu vede soutěžní trasa se stanovišti A, B, C, D (viz obrázek).
Úsečky AC a BD jsou rovnoběžné se stranami hřiště a vyznačený šedý obrazec je čtverec.
Úsek AKB soutěžní trasy (ze stanoviště A přes vrchol K na stanoviště B) měří 45 m.
Úsek BLC měří 39 m a poslední úsek CMD měří 30 m.
Vypočtěte v metrech délku kratší strany hřiště.
Zobrazit odpověď
30 m
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Rozbor délek úseků
Výpočet délky horní strany
Výpočet délky svislé strany
Určení kratší strany
Hřiště má tvar obdélníku KLMN.
Po jeho obvodu vede soutěžní trasa se stanovišti A, B, C, D (viz obrázek).
Úsečky AC a BD jsou rovnoběžné se stranami hřiště a vyznačený šedý obrazec je čtverec.
Úsek AKB soutěžní trasy (ze stanoviště A přes vrchol K na stanoviště B) měří 45 m.
Úsek BLC měří 39 m a poslední úsek CMD měří 30 m.
Vypočtěte v metrech obvod hřiště.
Zobrazit odpověď
150 m
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Rozbor obrázku
- Úsek $AK$ je stejně dlouhý jako $LC$.
- Úsek $CM$ je stejně dlouhý jako $AN$.
- Úsek $KB$ je stejně dlouhý jako $ND$.
- Úsek $BL$ je stejně dlouhý jako $MD$.
Porovnání tras
- Úsek $AKB$: $AK + KB = 45\text{ m}$
- Úsek $BLC$: $BL + LC = 39\text{ m}$ (protože $LC = AK$, můžeme psát $BL + AK = 39\text{ m}$)
- Úsek $CMD$: $CM + MD = 30\text{ m}$ (protože $CM = KB$ a $MD = BL$, můžeme psát $KB + BL = 30\text{ m}$)
Výpočet délek úseků
$AK + KB = 45\text{ m}$
$AK + BL = 39\text{ m}$
Rozdíl mezi nimi je $6\text{ metrů}$ ($45 - 39 = 6$). Protože v obou trasách je stejný úsek $AK$, musí být úsek $KB$ o $6\text{ metrů}$ delší než úsek $BL$.
Víme také, že $KB + BL = 30\text{ m}$ (ze třetí trasy). Hledáme tedy dvě čísla, jejichž součet je $30$ a rozdíl je $6$. Jsou to čísla $18$ a $12$.
Úsek $KB$ měří $18\text{ m}$ a úsek $BL$ měří $12\text{ m}$.
Dále dopočítáme $AK$: $45 - 18 = 27\text{ m}$.
Výpočet obvodu hřiště
Strana $KL$ (šířka) $= KB + BL = 18 + 12 = 30\text{ m}$
Strana $LM$ (délka) $= LC + CM = 27 + 18 = 45\text{ m}$ (protože $LC = AK$ a $CM = KB$)
Obvod hřiště vypočítáme jako součet všech jeho čtyř stran:
$2 \cdot (30 + 45) = 2 \cdot 75 = 150\text{ m}$
Závěr
Hřiště má tvar obdélníku KLMN.
Po jeho obvodu vede soutěžní trasa se stanovišti A, B, C, D (viz obrázek).
Úsečky AC a BD jsou rovnoběžné se stranami hřiště a vyznačený šedý obrazec je čtverec.
Úsek AKB soutěžní trasy (ze stanoviště A přes vrchol K na stanoviště B) měří 45 m.
Úsek BLC měří 39 m a poslední úsek CMD měří 30 m.
Vypočtěte v metrech vzdálenost stanoviště D od vrcholu N.
Zobrazit odpověď
18 m