Načítání…
Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 9. ročník

Podkategorie: Matematika 9. ročník — 2. náhradní termín 2025

32 úloh

PDF+Klíč
Úloha 1

Třímetrovou dárkovou stuhu jsme dvěma střihy rozdělili na tři díly různých délek.
Nejprve jsme odstřihli čtvrtinu stuhy na první dárek, potom jsme odstřihli dvě pětiny zbytku stuhy na druhý dárek a poslední díl jsme použili na třetí dárek.

Vypočtěte, kolik cm stuhy jsme použili na třetí dárek.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První dárek

Tři metry stuhy jsou 300 cm. Na první dárek jsme odstřihli čtvrtinu: 300 : 4 = 75 cm. Zbývá 300 − 75 = 225 cm.

Druhý dárek

Na druhý dárek jsme použili dvě pětiny ze zbylých 225 cm. Jedna pětina je 225 : 5 = 45 cm, dvě pětiny jsou 2 · 45 = 90 cm.

Třetí dárek a kontrola

Na třetí dárek zbývá 225 − 90 = 135 cm. Ověříme součet všech dílů: 75 + 90 + 135 = 300 cm. Na třetí dárek jsme použili 135 cm stuhy.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

135 cm

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2

Poměr dvou neznámých přirozených čísel je 4 : 5
a dvojnásobky těchto dvou čísel se liší o 6.

Určete menší z obou neznámých čísel.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl původních čísel

Dvojnásobky čísel se liší o 6. Původní čísla se tedy liší o polovinu: $6 : 2 = 3$.

Rozdělení podle poměru

Poměr je $4 : 5$, takže menší číslo tvoří 4 stejné díly a větší 5 dílů. Rozdíl je jeden díl, proto má jeden díl hodnotu 3.

Výsledek a kontrola

Menší číslo je $4 \cdot 3 = 12$ a větší je $5 \cdot 3 = 15$. Jejich dvojnásobky jsou 24 a 30, které se liší o 6. Menší číslo je 12.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

12

Stav úlohy
1 bod
Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle (\frac{7}{5} - \frac{7}{4}) \div \frac{2}{5} =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Rozdíl v závorce

Nejprve vypočítáme výraz v závorce. Abychom mohli zlomky odečíst, převedeme je na společného jmenovatele, kterým je číslo 20:
$\frac{7}{5} - \frac{7}{4} = \frac{28}{20} - \frac{35}{20} = -\frac{7}{20}$

Krok 2: Dělení zlomkem

Výsledek ze závorky nyní vydělíme zlomkem $\frac{2}{5}$. Připomeňme si, že dělit zlomkem znamená násobit jeho převrácenou hodnotou:
$-\frac{7}{20} \div \frac{2}{5} = -\frac{7}{20} \cdot \frac{5}{2}$

Krok 3: Výpočet a základní tvar

Zlomky vynásobíme (čitatele s čitatelem, jmenovatele s jmenovatelem) a výsledek pokrátíme do základního tvaru:
$-\frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 2} = -\frac{35}{40} = \mathbf{-\frac{7}{8}}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-7/8

Stav úlohy
1 bod
Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{(1 + \frac{1}{7})^{2} \cdot \frac{7}{4}}{\sqrt{25} - \frac{3^{2}}{5}} =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Nejdřív sečteme čísla v závorce a výsledek umocníme: $(1 + \frac{1}{7})^2 = (\frac{8}{7})^2 = \frac{64}{49}$. Potom násobíme a krátíme: $\frac{64}{49} \cdot \frac{7}{4} = \frac{16}{7}$.

Výpočet jmenovatele

Vypočítáme odmocninu a mocninu: $\sqrt{25} = 5$ a $3^2 = 9$. Potom převedeme číslo 5 na zlomek se jmenovatelem 5 a odečteme: $5 - \frac{9}{5} = \frac{25}{5} - \frac{9}{5} = \frac{16}{5}$.

Dělení a výsledek

Zlomky vydělíme tak, že první násobíme převráceným druhým zlomkem: $\frac{16}{7} : \frac{16}{5} = \frac{16}{7} \cdot \frac{5}{16} = \frac{5}{7}$. Čísla 5 a 7 nemají společného dělitele většího než 1, takže výsledek $\frac{5}{7}$ je v základním tvaru.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

5/7 a správný postup řešení

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.1

Upravte na co nejjednodušší tvar bez závorek:

$\displaystyle (y + 1)^{2} + (y - 1) \cdot 2y =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění závorek

Nejdřív použijeme vzorec pro druhou mocninu součtu: $(y + 1)^2 = y^2 + 2y + 1$. Potom roznásobíme druhou závorku: $(y - 1) \cdot 2y = 2y^2 - 2y$. Celý výraz tedy je $y^2 + 2y + 1 + 2y^2 - 2y$.

Sečtení podobných členů

Sečteme členy s $y^2$: $y^2 + 2y^2 = 3y^2$. Členy $2y$ a $-2y$ se navzájem zruší a zbývá ještě číslo $1$. Výsledný tvar bez závorek je $3y^2 + 1$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

3y² + 1

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.2

Upravte a výsledný výraz rozložte na součin pomocí vzorce:

$\displaystyle k \cdot (k - 9) + 9 \cdot (k - 16) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Roznásobení závorek

Nejdřív roznásobíme obě závorky: $k(k-9)+9(k-16)=k^2-9k+9k-144$.

Sloučení členů

Členy $-9k$ a $+9k$ se navzájem zruší. Zbývá $k^2-144$. Protože $144=12^2$, máme rozdíl čtverců $k^2-12^2$.

Rozklad podle vzorce

Použijeme vzorec $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Výsledný rozklad na součin je $(k-12)(k+12)$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

(k + 12)(k - 12)

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.3

Upravte na co nejjednodušší tvar bez závorek:

$\displaystyle (x - 15) \cdot (2x - x) - (5x - 8) \cdot (-3 + 1) - 1 =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjednodušení závorek

Nejdřív vypočítáme $2x-x=x$ a $-3+1=-2$. Výraz tedy upravíme na $(x-15)\cdot x-(5x-8)\cdot(-2)-1$.

Roznásobení a odstranění závorek

Roznásobíme: $(x-15)\cdot x=x^2-15x$ a $(5x-8)\cdot(-2)=-10x+16$. Druhý součin odečítáme, proto při odstranění závorky změníme obě znaménka: $x^2-15x-(-10x+16)-1=x^2-15x+10x-16-1$.

Sečtení podobných členů a výsledek

Členy s $x$ spojíme: $-15x+10x=-5x$. Čísla sečteme: $-16-1=-17$. Nejjednodušší tvar bez závorek je $\boxed{x^2-5x-17}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

x² - 5x - 17 a správný postup řešení

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.1

Řešte rovnici:

$\displaystyle 0,1x + 5 \cdot (0,04x - 3,2) = 4 - 0,7x$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Roznásobení závorky

Nejdřív vynásobíme oba členy v závorce číslem 5: $0{,}1x + 0{,}2x - 16 = 4 - 0{,}7x$. Sečteme členy s neznámou na levé straně: $0{,}3x - 16 = 4 - 0{,}7x$.

Výpočet neznámé

K oběma stranám rovnice přičteme $0{,}7x$: $x - 16 = 4$. Potom k oběma stranám přičteme 16 a dostaneme $x = 20$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme $x = 20$ do původní rovnice. Levá strana: $0{,}1 \cdot 20 + 5 \cdot (0{,}04 \cdot 20 - 3{,}2) = 2 + 5 \cdot (-2{,}4) = -10$. Pravá strana: $4 - 0{,}7 \cdot 20 = -10$. Obě strany jsou stejné, takže řešením je $x = 20$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

x = 20 a správný postup řešení

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.2

Řešte soustavu rovnic:

$\displaystyle 3x - (y + 1) = 10$

$\displaystyle 2x - 9 = y$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza soustavy

Máme zadanou soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých $x$ a $y$: 1) $3x - (y + 1) = 10$ 2) $2x - 9 = y$

Druhá rovnice nám přímo říká, čemu se rovná neznámá $y$ pomocí $x$. To je ideální pro použití dosazovací metody.

Dosazení a výpočet první neznámé

Dosadíme výraz za $y$ z druhé rovnice do rovnice první:
$3x - ((2x - 9) + 1) = 10$

Nejdříve upravíme výraz v závorce:
$3x - (2x - 8) = 10$

Nyní odstraníme závorku (pozor na znaménko mínus před závorkou):
$3x - 2x + 8 = 10$
$x + 8 = 10$
$x = 10 - 8$
$x = 2$

Výpočet druhé neznámé

Vypočítanou hodnotu $x = 2$ dosadíme zpět do druhé rovnice pro výpočet $y$:
$y = 2 \cdot 2 - 9$
$y = 4 - 9$
$y = -5$

Ověření

Pro jistotu provedeme zkoušku dosazením do obou rovnic: 1) $3 \cdot 2 - (-5 + 1) = 6 - (-4) = 6 + 4 = 10$ (souhlasí) 2) $2 \cdot 2 - 9 = 4 - 9 = -5$ (souhlasí)

Závěr

Řešením soustavy rovnic je dvojice $x = 2, y = -5$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

x = 2, y = -5 a správný postup řešení

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.1

Na odvoz beden ze skladu se používají dva různí roboti A, B.
Ve skladu bylo 95 beden.
Bedny nejprve odvážel robot A, a to po 5 kusech. Jezdil v pravidelných intervalech a odvezl ze skladu za 2 hodiny celkem 50 beden.
Pak pokračoval robot B, který vozil bedny jen po 3 kusech, avšak v kratších pravidelných intervalech. Odvezl tak ze skladu za 1,5 hodiny zbývajících 45 beden.

Vyjádřete v základním tvaru poměr počtu beden odvezených ze skladu za 1 hodinu robotem A ku počtu beden odvezených za 1 hodinu robotem B.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Robot A

Robot A odvezl za 2 hodiny 50 beden. Za 1 hodinu tedy odvezl $50 : 2 = 25$ beden.

Robot B

Robot B odvezl za 1,5 hodiny 45 beden. Za 1 hodinu tedy odvezl $45 : 1{,}5 = 30$ beden.

Poměr v základním tvaru

Poměr počtu beden odvezených za hodinu robotem A ku robotu B je $25 : 30$. Obě čísla vydělíme pěti: $25 : 5 = 5$ a $30 : 5 = 6$. Výsledný poměr v základním tvaru je 5 : 6.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

5 : 6

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.2

Na odvoz beden ze skladu se používají dva různí roboti A, B.
Ve skladu bylo 95 beden.
Bedny nejprve odvážel robot A, a to po 5 kusech. Jezdil v pravidelných intervalech a odvezl ze skladu za 2 hodiny celkem 50 beden.
Pak pokračoval robot B, který vozil bedny jen po 3 kusech, avšak v kratších pravidelných intervalech. Odvezl tak ze skladu za 1,5 hodiny zbývajících 45 beden.

Vyjádřete v základním tvaru poměr počtu jízd robota A za hodinu ku počtu jízd robota B za hodinu.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Jízdy robota A

Robot A odvezl 50 beden po 5 kusech, takže za 2 hodiny vykonal $50 : 5 = 10$ jízd. Za hodinu tedy vykonal $10 : 2 = 5$ jízd.

Jízdy robota B

Robot B odvezl 45 beden po 3 kusech, takže za 1,5 hodiny vykonal $45 : 3 = 15$ jízd. Za hodinu tedy vykonal $15 : 1{,}5 = 10$ jízd.

Poměr v základním tvaru

Počty jízd za hodinu zapíšeme v pořadí robot A ku robotu B: $5 : 10$. Obě čísla vydělíme 5 a dostaneme poměr v základním tvaru $1 : 2$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1 : 2

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.3

Na odvoz beden ze skladu se používají dva různí roboti A, B.
Ve skladu bylo 95 beden.
Bedny nejprve odvážel robot A, a to po 5 kusech. Jezdil v pravidelných intervalech a odvezl ze skladu za 2 hodiny celkem 50 beden.
Pak pokračoval robot B, který vozil bedny jen po 3 kusech, avšak v kratších pravidelných intervalech. Odvezl tak ze skladu za 1,5 hodiny zbývajících 45 beden.

Vypočtěte, kolik beden by ze skladu odvezli za 36 minut oba roboti dohromady při společném provozu.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Interval jízd robota A

Robot A odvezl 50 beden po 5 kusech, tedy vykonal 50 : 5 = 10 jízd. Dvě hodiny jsou 120 minut, takže na jednu jízdu připadá 120 : 10 = 12 minut. Za 36 minut vykoná 36 : 12 = 3 jízdy a odveze 3 · 5 = 15 beden.

Interval jízd robota B

Robot B odvezl 45 beden po 3 kusech, tedy vykonal 45 : 3 = 15 jízd. Jedna a půl hodiny je 90 minut, takže na jednu jízdu připadá 90 : 15 = 6 minut. Za 36 minut vykoná 36 : 6 = 6 jízd a odveze 6 · 3 = 18 beden.

Celkový počet beden

Počty beden odvezených oběma roboty sečteme: 15 + 18 = 33. Za 36 minut by oba roboti dohromady odvezli 33 beden.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

33 beden

Stav úlohy
2 body
Úloha 7.1

Do vědomostní soutěže se přihlásilo 10 soutěžících a všichni se zúčastnili 1. i 2. kola.
V každém kole získali jednotliví soutěžící 8, 9, nebo 10 bodů. Některé údaje jsou v tabulce.

V 1. kole bylo soutěžících, kteří získali 8 bodů, o jednoho méně než těch, kteří získali 10 bodů.

Určete průměrný bodový zisk všech soutěžících v 1. kole.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počty soutěžících

Podle tabulky získalo v 1. kole 9 bodů celkem 5 soutěžících. Na 8 a 10 bodů tedy zbývá 10 − 5 = 5 soutěžících. Osm bodů získal o jednoho méně než deset bodů, takže 8 bodů získali 2 soutěžící a 10 bodů získali 3 soutěžící. Ověříme: 2 + 3 = 5 a 3 − 2 = 1.

Celkový počet bodů

Počet soutěžících v každé skupině vynásobíme jejich bodovým ziskem a výsledky sečteme: 2 · 8 + 5 · 9 + 3 · 10 = 16 + 45 + 30 = 91 bodů.

Průměrný bodový zisk

Celkových 91 bodů vydělíme počtem všech 10 soutěžících: 91 : 10 = 9,1. Průměrný bodový zisk v 1. kole byl 9,1 bodu.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

9,1 bodu

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.2

Do vědomostní soutěže se přihlásilo 10 soutěžících a všichni se zúčastnili 1. i 2. kola.
V každém kole získali jednotliví soutěžící 8, 9, nebo 10 bodů. Některé údaje jsou v tabulce.

Určete, kolik soutěžících mohlo ve 2. kole získat 9 bodů.

Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet bodů

Ve 2. kole byl průměr 9,5 bodu a soutěžilo 10 lidí. Dohromady tedy získali $10 \cdot 9{,}5 = 95$ bodů. Kdyby každý získal 10 bodů, měli by celkem 100 bodů. Do tohoto počtu chybí $100 - 95 = 5$ bodů.

Všechny možnosti

Každý soutěžící s 8 body má oproti 10 bodům o 2 body méně, každý s 9 body o 1 bod méně. Rozdíl musí být dohromady 5 bodů.
  • Pokud nikdo nezískal 8 bodů, muselo 9 bodů získat 5 soutěžících; zbývajících 5 získalo 10 bodů.
  • Pokud 8 bodů získal 1 soutěžící, zbývá rozdíl $5 - 2 = 3$ body. Proto 9 bodů získali 3 soutěžící a 10 bodů získalo 6 soutěžících.
  • Pokud 8 bodů získali 2 soutěžící, zbývá rozdíl $5 - 4 = 1$ bod. Proto 9 bodů získal 1 soutěžící a 10 bodů získalo 7 soutěžících.
Tři soutěžící s 8 body by už způsobili rozdíl 6 bodů, což je příliš. Další možnosti tedy nejsou.

Výsledek

Ve všech třech případech soutěží celkem 10 lidí a získají dohromady 95 bodů, takže průměr je 9,5 bodu. Ve 2. kole mohli 9 bodů získat 1, 3 nebo 5 soutěžících.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1 soutěžící; 3 soutěžící; 5 soutěžících

Stav úlohy
3 body
Úloha 8.1

Ze čtverce o straně délky 12 cm odstřihneme dva shodné trojúhelníky (viz obrázek vlevo).
Vznikne tak rovnoramenný lichoběžník, jehož kratší základna má délku 2 cm.

Určete, o kolik cm² je obsah čtverce větší než obsah lichoběžníku.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Délky odvěsen

Odstřižené trojúhelníky jsou pravoúhlé a shodné. Na dolní straně čtverce po odstřižení zbývají 2 cm, takže oba trojúhelníky dohromady zabírají 12 − 2 = 10 cm. Každý má tedy vodorovnou odvěsnu dlouhou 10 : 2 = 5 cm. Svislá odvěsna je stranou čtverce a měří 12 cm.

Obsah jednoho trojúhelníku

Obsah pravoúhlého trojúhelníku vypočítáme jako polovinu součinu délek jeho odvěsen: (5 · 12) : 2 = 30 cm².

Výsledek

Rozdíl obsahů čtverce a lichoběžníku je roven obsahu obou odstřižených trojúhelníků: 2 · 30 = 60 cm². Obsah čtverce je tedy větší o 60 cm².
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

o 60 cm²

Stav úlohy
1 bod
Úloha 8.2

Ze čtverce o straně délky 12 cm odstřihneme dva shodné trojúhelníky (viz obrázek vlevo).
Vznikne tak rovnoramenný lichoběžník, jehož kratší základna má délku 2 cm.

Vypočtěte v cm obvod lichoběžníku.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry odstřižených trojúhelníků

Delší základna lichoběžníku má délku 12 cm a kratší 2 cm. Na dolní straně čtverce tak zbývá pro dva shodné trojúhelníky dohromady 12 − 2 = 10 cm. Každý z nich má jednu odvěsnu dlouhou 10 : 2 = 5 cm a druhou odvěsnu dlouhou 12 cm, jako je strana čtverce.

Délka ramene

Rameno lichoběžníku je přeponou odstřiženého pravoúhlého trojúhelníku. Podle Pythagorovy věty má délku $\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ cm. Obě ramena jsou stejně dlouhá.

Obvod lichoběžníku

Sečteme délky obou základen a obou ramen: 12 + 2 + 13 + 13 = 40 cm. Obvod lichoběžníku je 40 cm.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

40 cm

Stav úlohy
2 body
Úloha 9.1

V rovině leží body A, A' a M.

Bod A je vrchol rovnostranného trojúhelníku ABC.
Na přímce AM leží vrchol C tohoto trojúhelníku.
Bod A' je vrchol trojúhelníku A'B'C, který je obrazem trojúhelníku ABC v osové souměrnosti s osou o.
Oba trojúhelníky mají pouze jeden společný bod, a to vrchol C.

Sestrojte osu o a označte ji písmenem.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Úlohy 9.1 a 9.2 se hodnotí společně. Celkové hodnocení se započítá pouze jednou, maximálně 3 body.

Dílčí body se sčítají, nejvýše do 3 bodů.

Správně sestrojená a písmenem označená osa o.

Poznámka: Ručně odvozené rozdělení bodů.

Dílčí bod se přidělí za splnění alespoň jedné z následujících podmínek:

  • Je správně sestrojen alespoň jeden z obou požadovaných rovnostranných trojúhelníků.
  • Je sestrojen libovolný trojúhelník, který nevyhovuje zadání, protože není rovnostranný, jeho vrchol C však leží v průsečíku přímky AM s přímkou o (i chybnou) a je k němu sestrojen obraz v osové souměrnosti s osou o, jehož konstrukce je přesná.

Poznámka: Ručně odvozené rozdělení bodů.

Doplnění částečně správné konstrukce na oba požadované rovnostranné trojúhelníky.

Poznámka: Ručně odvozené rozdělení bodů.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 2. náhradní termín 2025, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
1 bod
Úloha 9.2

V rovině leží body A, A' a M.

Bod A je vrchol rovnostranného trojúhelníku ABC.
Na přímce AM leží vrchol C tohoto trojúhelníku.
Bod A' je vrchol trojúhelníku A'B'C, který je obrazem trojúhelníku ABC v osové souměrnosti s osou o.
Oba trojúhelníky mají pouze jeden společný bod, a to vrchol C.

Sestrojte všechny chybějící vrcholy trojúhelníků ABC i A'B'C, označte je písmeny a oba trojúhelníky narýsujte.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Úlohy 9.1 a 9.2 se hodnotí společně. Celkové hodnocení se započítá pouze jednou, maximálně 3 body.

Dílčí body se sčítají, nejvýše do 3 bodů.

Správně sestrojená a písmenem označená osa o.

Poznámka: Ručně odvozené rozdělení bodů.

Dílčí bod se přidělí za splnění alespoň jedné z následujících podmínek:

  • Je správně sestrojen alespoň jeden z obou požadovaných rovnostranných trojúhelníků.
  • Je sestrojen libovolný trojúhelník, který nevyhovuje zadání, protože není rovnostranný, jeho vrchol C však leží v průsečíku přímky AM s přímkou o (i chybnou) a je k němu sestrojen obraz v osové souměrnosti s osou o, jehož konstrukce je přesná.

Poznámka: Ručně odvozené rozdělení bodů.

Doplnění částečně správné konstrukce na oba požadované rovnostranné trojúhelníky.

Poznámka: Ručně odvozené rozdělení bodů.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 2. náhradní termín 2025, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
2 body
Úloha 10

V rovině leží body L, M a přímka p procházející bodem M.

Body L, M jsou vrcholy rovnoběžníku KLMN.
Na přímce p leží střed S souměrnosti tohoto rovnoběžníku.
Délka strany LM je stejná jako délka úhlopříčky LN.

Sestrojte střed S a vrcholy K, N rovnoběžníku KLMN, označte je písmeny a rovnoběžník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Nastane právě jedna z následujících situací:

  • Jsou sestrojeny oba požadované rovnoběžníky, ale s mírnou nepřesností.
  • Z požadovaných rovnoběžníků je sestrojen pouze jeden, a to přesně.

Nastane právě jedna z následujících situací:

  • Z požadovaných rovnoběžníků je sestrojen pouze jeden, a to s mírnou nepřesností.
  • Správně sestrojeny jsou pouze oba středy S.

Pouze zcela chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 2. náhradní termín 2025, úloha 10

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 11.1
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Kružnice se středem S prochází body A, B, K, L.
Úsečky AB a KL se protínají v bodě S.
V obrázku jsou vyznačeny velikosti některých úhlů.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

α > 64°

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní).

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Stejné poloměry

Úsečky SA a SK jsou poloměry téže kružnice, proto jsou stejně dlouhé. Trojúhelník ASK je tedy rovnoramenný se základnou AK.

Velikost úhlu α

Úhly při základně AK mají stejnou velikost. Úhel AKS je 64°, proto je i úhel KAS roven 64°. Bod S leží na úsečce AB, takže α = 64°.

Posouzení tvrzení

64° není více než 64°. Tvrzení α > 64° je nepravdivé, odpověď je N.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11.2
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Kružnice se středem S prochází body A, B, K, L.
Úsečky AB a KL se protínají v bodě S.
V obrázku jsou vyznačeny velikosti některých úhlů.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

α + β > 90°

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní).

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úhel α

Úsečky SA a SK jsou poloměry téže kružnice, takže mají stejnou délku. Trojúhelník ASK je rovnoramenný a jeho úhly u A a K jsou shodné. U K je vyznačeno 64°, proto α = 64°.

Úhly u středu kružnice

Součet vnitřních úhlů trojúhelníku ASK je 180°, takže δ = 180° − 64° − 64° = 52°. Body A, S a B leží na jedné přímce, proto δ + γ = 180°. Odtud γ = 180° − 52° = 128°.

Úhel β

Také SK a SB jsou stejně dlouhé poloměry. Trojúhelník KSB je tedy rovnoramenný a jeho úhly u K a B jsou shodné. Dohromady mají 180° − 128° = 52°, takže β = 52° : 2 = 26°.

Posouzení tvrzení

α + β = 64° + 26° = 90°. Součet se rovná 90°, není větší než 90°. Tvrzení je nepravdivé (N).
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11.3
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Kružnice se středem S prochází body A, B, K, L.
Úsečky AB a KL se protínají v bodě S.
V obrázku jsou vyznačeny velikosti některých úhlů.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

γ - α > δ

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní).

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úhel α v rovnoramenném trojúhelníku

Úsečky SA a SK jsou poloměry stejné kružnice, proto mají stejnou délku. Trojúhelník ASK je rovnoramenný a úhly u A a K jsou stejné. U K je úhel 64°, takže α = 64°.

Výpočet úhlů δ a γ

Součet vnitřních úhlů trojúhelníku ASK je 180°, tedy δ = 180° − 64° − 64° = 52°. Body A, S a B leží na jedné přímce, takže δ + γ = 180°. Proto γ = 180° − 52° = 128°.

Ověření tvrzení

Vypočteme rozdíl: γ − α = 128° − 64° = 64°. Protože 64° > 52°, platí γ − α > δ. Tvrzení je pravdivé, odpověď je A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 12

Povrch malé krychle je o 42 cm² menší než povrch velké krychle.
Součet délek všech hran malé krychle je 36 cm.

O kolik cm³ se liší objem malé a velké krychle?

  • A) o 14 cm³
  • D) o 46 cm³
  • B) o 27 cm³
  • E) o jiný objem
  • C) o 37 cm³
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hrana malé krychle

Krychle má 12 stejně dlouhých hran. Součet jejich délek je 36 cm, takže jedna hrana malé krychle měří $36 : 12 = 3$ cm.

Povrchy obou krychlí

Povrch krychle tvoří 6 stejných čtverců. Malá krychle má povrch $6 \cdot 3^2 = 54$ cm². Povrch velké krychle je o 42 cm² větší, tedy $54 + 42 = 96$ cm².

Hrana velké krychle

Jedna stěna velké krychle má obsah $96 : 6 = 16$ cm². Protože $4 \cdot 4 = 16$, hrana velké krychle měří 4 cm.

Rozdíl objemů

Objem malé krychle je $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ cm³ a objem velké krychle je $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ cm³. Objemy se liší o $64 - 27 = 37$ cm³. Správná odpověď je C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 13

Ve stanici Lichá Lhota stojí na každé ze tří kolejí jeden vlak.
Vlak na druhé koleji má o 3 vagony více než vlak na první koleji a dvakrát méně vagonů než vlak na třetí koleji.
Všechny tři vlaky dohromady mají 41 vagonů.

O kolik vagonů více má vlak na třetí koleji než vlak na první koleji?

  • A) o 8 vagonů
  • D) o 13 vagonů
  • B) o 10 vagonů
  • E) o 14 vagonů
  • C) o 11 vagonů
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vztahy mezi vlaky

Ze zadání víme, že:
  • Vlak na 2. koleji má o 3 vagony více než vlak na 1. koleji.
  • Vlak na 3. koleji má dvakrát více vagonů než vlak na 2. koleji (protože vlak na 2. koleji jich má dvakrát méně).

Výpočet počtu vagonů

Zkusíme si představit, kolik vagonů by vlaky měly, kdyby měly všechny stejně jako ten první:
  • 2. vlak má o 3 vagony více než 1. vlak.
  • 3. vlak má dvakrát více než 2. vlak. Tedy má dvakrát (1. vlak + 3 vagony), což je jako dva první vlaky a k tomu ještě 6 vagonů ($2 \cdot 3 = 6$).
Dohromady mají všechny tři vlaky: jeden 1. vlak + (druhý 1. vlak + 3) + (další dva 1. vlaky + 6). Celkem jsou to tedy čtyři stejné díly (odpovídající 1. vlaku) a 9 vagonů navíc ($3 + 6 = 9$).

Víme, že celkem je vagonů 41. Odečteme ty, které jsou navíc: $41 - 9 = 32$. Čtyři stejné díly (čtyřnásobek 1. vlaku) tvoří 32 vagonů. Jeden díl (1. vlak) má tedy: $32 : 4 = 8$ vagonů.

Počty vagonů na kolejích

Nyní můžeme určit počty vagonů pro každý vlak:
  • 1. kolej: 8 vagonů
  • 2. kolej: $8 + 3 = 11$ vagonů
  • 3. kolej: $11 \cdot 2 = 22$ vagonů
Pro kontrolu sečteme: $8 + 11 + 22 = 41$ vagonů, což souhlasí se zadáním.

Závěrečné porovnání

Otázka zní, o kolik vagonů více má vlak na třetí koleji než na první koleji:
$22 - 8 = 14$

Vlak na třetí koleji má o 14 vagonů více.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy
2 body
Úloha 14

Jonáš a Beáta se zapojili do programu Ptačí hodinka. Každý v okolí svého krmítka sledoval výskyt ptáků v průběhu jedné vybrané hodiny. U každého ptačího druhu zaznamenali do grafu vždy nejvyšší počet jedinců spatřených najednou.Jonáš spatřil pět druhů ptáků, zatímco Beáta pouze čtyři z nich. Oba dohromady zaznamenali pěnkav o 6 méně než sýkor. Jonáš zaznamenal celkem o pětinu více ptačích jedinců než Beáta.

Kolik jedinců brhlíka lesního zaznamenala Beáta?

  • A) 2 jedince
  • D) 5 jedinců
  • B) 3 jedince
  • E) více než 5 jedinců
  • C) 4 jedince
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení měřítka grafu

U sýkor mají sloupce dohromady 4 + 4 = 8 dílků, u pěnkav 2 + 3 = 5 dílků. Rozdíl 8 − 5 = 3 dílky odpovídá 6 jedincům. Jeden dílek tedy znamená 6 : 3 = 2 jedince.

Jonášův celkový počet

Jonášovy sloupce mají dohromady 3 + 2 + 4 + 1 + 2 = 12 dílků. Jonáš tedy zaznamenal 12 · 2 = 24 jedinců.

Beátin celkový počet

Jonáš zaznamenal o pětinu více jedinců než Beáta. Jeho 24 jedinců tedy představuje šest pětin Beátina počtu. Jedna pětina je 24 : 6 = 4 jedinci, takže Beáta zaznamenala 5 · 4 = 20 jedinců.

Počet brhlíků a výsledek

Beáta zaznamenala 2 · 2 = 4 kosy, 4 · 2 = 8 sýkor a 3 · 2 = 6 pěnkav. Červenku neviděla, její sloupec má výšku 0. Bez brhlíků je to 4 + 8 + 6 = 18 jedinců. Na brhlíky zbývá 20 − 18 = 2. Beáta zaznamenala 2 jedince brhlíka lesního, správná je možnost A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.1

Pan Zdeněk bydlí posledních pět osmin svého dosavadního života v Plzni, kam se přestěhoval, když mu bylo 27 let.

Kolik let bydlí pan Zdeněk v Plzni?

  • A) 22 let
  • D) 45 let
  • B) 27 let
  • E) 48 let
  • C) 32 let
  • F) více než 48 let
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení života

Pan Zdeněk bydlí v Plzni posledních $\frac{5}{8}$ svého života. Před přestěhováním tedy uplynuly $\frac{3}{8}$ jeho života. Tyto tři osminy odpovídají 27 letům.

Jedna osmina

Když tři osminy odpovídají 27 letům, jedna osmina odpovídá $27 : 3 = 9$ letům.

Výsledek a ověření

Pět osmin odpovídá $5 \cdot 9 = 45$ letům. Ověříme: panu Zdeňkovi je $27 + 45 = 72$ let a pět osmin ze 72 je $72 : 8 \cdot 5 = 45$. V Plzni tedy bydlí 45 let, správná je možnost D.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.2

Ze tří škol v obci je nejstarší základní škola, která je v provozu již 84 let.
Funguje tedy o 75 % delší dobu než gymnázium. Nejmladší školou je lyceum.
Poměr doby fungování lycea a gymnázia je 2 : 3.

Kolik let funguje v obci lyceum?

  • A) 22 let
  • D) 45 let
  • B) 27 let
  • E) 48 let
  • C) 32 let
  • F) více než 48 let
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Doba fungování gymnázia

Dobu fungování gymnázia bereme jako 100 %. Základní škola funguje o 75 % déle, takže jejích 84 let odpovídá 175 %. To je 7 stejných dílů po 25 %. Jeden díl představuje 84 : 7 = 12 let. Gymnázium funguje 4 takové díly, tedy 4 · 12 = 48 let.

Použití poměru

Poměr doby fungování lycea a gymnázia je 2 : 3. Gymnáziu tedy patří 3 díly, které dohromady představují 48 let. Jeden díl je 48 : 3 = 16 let. Lyceu patří 2 díly: 2 · 16 = 32 let.

Výsledek

Lyceum funguje v obci 32 let. Správná je možnost C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.3

Součet věků dvojčat a jejich staršího bratra je 99 let.
Každému z dvojčat je o 40 % méně let než jejich bratrovi.

Kolik let je každému z dvojčat?

  • A) 22 let
  • D) 45 let
  • B) 27 let
  • E) 48 let
  • C) 32 let
  • F) více než 48 let
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vyjádření věků v procentech

Věk staršího bratra představuje 100 %. Každému z dvojčat je o 40 % méně, tedy 100 − 40 = 60 % bratrova věku. Dohromady jejich věky představují 100 + 60 + 60 = 220 % bratrova věku.

Výpočet věku dvojčat

Celkem 220 % odpovídá 99 letům. Nejdřív vypočítáme 1 %: 99 : 220 = 0,45 roku. Každé dvojče má 60 % bratrova věku, tedy 60 · 0,45 = 27 let.

Ověření a výsledek

Bratrovi je 100 · 0,45 = 45 let. Součet věků je 45 + 27 + 27 = 99 let. Rozdíl 45 − 27 = 18 let je opravdu 40 % z 45 let, protože 45 · 40 : 100 = 18. Každému z dvojčat je 27 let, správná je možnost B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.1

Hřiště má tvar obdélníku KLMN.
Po jeho obvodu vede soutěžní trasa se stanovišti A, B, C, D (viz obrázek).Úsečky AC a BD jsou rovnoběžné se stranami hřiště a vyznačený šedý obrazec je čtverec.
Úsek AKB soutěžní trasy (ze stanoviště A přes vrchol K na stanoviště B) měří 45 m.
Úsek BLC měří 39 m a poslední úsek CMD měří 30 m.

Vypočtěte v metrech rozdíl mezi délkami úseček BK a BL.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Úsečka $AC$ je v nákresu svislá a rovnoběžná se stranou $KL$ obdélníkového hřiště. To znamená, že vzdálenost bodu $A$ od vrcholu $K$ (na horní straně) je stejná jako vzdálenost bodu $C$ od vrcholu $L$ (na dolní straně). Můžeme tedy říct, že úsečky $AK$ a $LC$ jsou stejně dlouhé.

Vyjádření délek tras

Z textu známe délky dvou částí soutěžní trasy:
  • Trasa $AKB$ (z bodu $A$ přes vrchol $K$ do bodu $B$) měří $45\text{ m}$. To znamená, že $AK + BK = 45\text{ m}$.
  • Trasa $BLC$ (z bodu $B$ přes vrchol $L$ do bodu $C$) měří $39\text{ m}$. To znamená, že $BL + LC = 39\text{ m}$.

Výpočet rozdílu

Víme, že $AK$ je stejně dlouhá jako $LC$. Pokud bychom v druhé trase nahradili úsečku $LC$ úsečkou $AK$, celková délka by se nezměnila. Máme tedy:
  1. $AK + BK = 45\text{ m}$
  2. $AK + BL = 39\text{ m}$
První součet je o $6\text{ m}$ větší než druhý ($45 - 39 = 6$). Protože v obou součtech vystupuje stejná délka $AK$, musí být rozdíl způsoben délkami úseček $BK$ a $BL$. Úsečka $BK$ je tedy o $6\text{ m}$ delší než $BL$.

Závěr

Rozdíl mezi délkami úseček $BK$ a $BL$ je $6\text{ m}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

6 m

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.2

Hřiště má tvar obdélníku KLMN.
Po jeho obvodu vede soutěžní trasa se stanovišti A, B, C, D (viz obrázek).Úsečky AC a BD jsou rovnoběžné se stranami hřiště a vyznačený šedý obrazec je čtverec.
Úsek AKB soutěžní trasy (ze stanoviště A přes vrchol K na stanoviště B) měří 45 m.
Úsek BLC měří 39 m a poslední úsek CMD měří 30 m.

Vypočtěte v metrech délku kratší strany hřiště.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor délek úseků

Soutěžní trasa vede po obvodu obdélníkového hřiště. Ze zadání víme, že úsečky AC a BD jsou rovnoběžné se stranami hřiště. Šedý obrazec je čtverec, což znamená, že jeho strany jsou stejně dlouhé: AN = ND.

Výpočet délky horní strany

Úsek AKB měří 45 m a skládá se z části horní strany (AK) a části levé strany (KB). Protože je úsečka BD rovnoběžná s vodorovnými stranami, je délka KB stejná jako délka ND. Vzhledem k tomu, že AK + AN tvoří celou horní stranu hřiště a AN = ND = KB, platí, že délka horní strany hřiště (KN) je rovna úseku AKB, tedy 45 m.

Výpočet délky svislé strany

Úsek CMD měří 30 m a skládá se z části dolní strany (CM) a části pravé strany (MD). Protože je úsečka AC rovnoběžná se svislými stranami, je délka CM stejná jako délka AN. Protože AN = ND, je délka CM rovna délce ND. Celá pravá strana hřiště (NM) se skládá z úseků ND + MD. Jelikož ND = CM, je délka strany NM rovna úseku CMD, tedy 30 m.

Určení kratší strany

Hřiště má jednu stranu dlouhou 45 m a druhou stranu dlouhou 30 m. Kratší strana hřiště má tedy délku 30 m.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

30 m

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.3

Hřiště má tvar obdélníku KLMN.
Po jeho obvodu vede soutěžní trasa se stanovišti A, B, C, D (viz obrázek).Úsečky AC a BD jsou rovnoběžné se stranami hřiště a vyznačený šedý obrazec je čtverec.
Úsek AKB soutěžní trasy (ze stanoviště A přes vrchol K na stanoviště B) měří 45 m.
Úsek BLC měří 39 m a poslední úsek CMD měří 30 m.

Vypočtěte v metrech obvod hřiště.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Z obrázku a zadání víme, že úsečky $AC$ a $BD$ jsou rovnoběžné se stranami hřiště. To znamená, že protilehlé úseky na stranách jsou stejně dlouhé:
  • Úsek $AK$ je stejně dlouhý jako $LC$.
  • Úsek $CM$ je stejně dlouhý jako $AN$.
  • Úsek $KB$ je stejně dlouhý jako $ND$.
  • Úsek $BL$ je stejně dlouhý jako $MD$.
Navíc víme, že šedý obrazec u vrcholu $N$ je čtverec, takže jeho strany $AN$ a $ND$ jsou stejně dlouhé. Z toho vyplývá, že všechny čtyři úseky $AN$, $CM$, $ND$ a $KB$ mají stejnou délku.

Porovnání tras

Máme zadané délky tří úseků soutěžní trasy:
  1. Úsek $AKB$: $AK + KB = 45\text{ m}$
  2. Úsek $BLC$: $BL + LC = 39\text{ m}$ (protože $LC = AK$, můžeme psát $BL + AK = 39\text{ m}$)
  3. Úsek $CMD$: $CM + MD = 30\text{ m}$ (protože $CM = KB$ a $MD = BL$, můžeme psát $KB + BL = 30\text{ m}$)

Výpočet délek úseků

Porovnáme první dvě trasy:
$AK + KB = 45\text{ m}$
$AK + BL = 39\text{ m}$

Rozdíl mezi nimi je $6\text{ metrů}$ ($45 - 39 = 6$). Protože v obou trasách je stejný úsek $AK$, musí být úsek $KB$ o $6\text{ metrů}$ delší než úsek $BL$.

Víme také, že $KB + BL = 30\text{ m}$ (ze třetí trasy). Hledáme tedy dvě čísla, jejichž součet je $30$ a rozdíl je $6$. Od součtu odečteme rozdíl: $30 - 6 = 24$. To jsou dvě stejně dlouhé kratší části, takže $BL$ měří $24 : 2 = 12$ m. Delší $KB$ měří $12 + 6 = 18$ m.
Úsek $KB$ měří $18\text{ m}$ a úsek $BL$ měří $12\text{ m}$.
Dále dopočítáme $AK$: $45 - 18 = 27\text{ m}$.

Výpočet obvodu hřiště

Strany obdélníku (hřiště) jsou tvořeny součtem vypočítaných úseků:
Strana $KL$ (šířka) $= KB + BL = 18 + 12 = 30\text{ m}$
Strana $LM$ (délka) $= LC + CM = 27 + 18 = 45\text{ m}$ (protože $LC = AK$ a $CM = KB$)

Obvod hřiště vypočítáme jako součet všech jeho čtyř stran:
$2 \cdot (30 + 45) = 2 \cdot 75 = 150\text{ m}$

Závěr

Obvod hřiště je $150$ metrů.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

150 m

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.4

Hřiště má tvar obdélníku KLMN.
Po jeho obvodu vede soutěžní trasa se stanovišti A, B, C, D (viz obrázek).Úsečky AC a BD jsou rovnoběžné se stranami hřiště a vyznačený šedý obrazec je čtverec.
Úsek AKB soutěžní trasy (ze stanoviště A přes vrchol K na stanoviště B) měří 45 m.
Úsek BLC měří 39 m a poslední úsek CMD měří 30 m.

Vypočtěte v metrech vzdálenost stanoviště D od vrcholu N.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Protože AC a BD jsou rovnoběžné se stranami hřiště, platí AK = LC, KB = ND a BL = MD. Šedý čtverec má stejně dlouhé strany AN a ND; zároveň CM = AN. Proto CM = KB = ND.

Porovnání úseků trasy

Úsek AKB měří 45 m a úsek BLC měří 39 m. Délky AK a LC jsou stejné, takže rozdíl délek těchto úseků způsobují jen KB a BL. Úsečka KB je tedy o 45 − 39 = 6 m delší než BL.

Výpočet délek

Úsek CMD měří 30 m. Protože CM = KB a MD = BL, mají také KB a BL dohromady 30 m. Kdybychom delší úsečku KB zkrátili o 6 m, byly by obě stejně dlouhé. Proto BL = (30 − 6) : 2 = 12 m a KB = 12 + 6 = 18 m.

Výsledek

Platí ND = KB, takže stanoviště D je od vrcholu N vzdáleno 18 m. Ověříme: CM + MD = 18 + 12 = 30 m, jak požaduje zadání.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

18 m

Stav úlohy
1 bod