Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2025

Úloha 1

Vypočtěte, kolikrát je součet čísel 16 a 4 větší než druhá odmocnina ze součinu čísel 16 a 4.

Zobrazit odpověď

2,5 krát

1 bod

Úloha 2.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle (-3) \cdot (\frac{3}{4} - \frac{5}{6}) =$

Zobrazit odpověď

1/4

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet v závorce

Nejdříve vypočítáme rozdíl zlomků v závorce. Pro zlomky $\frac{3}{4}$ a $\frac{5}{6}$ najdeme nejmenší společný jmenovatel, kterým je číslo 12:
$\frac{3}{4} - \frac{5}{6} = \frac{9}{12} - \frac{10}{12} = -\frac{1}{12}$

Násobení

Výsledek ze závorky vynásobíme číslem $-3$. Součin dvou záporných čísel je číslo kladné:
$(-3) \cdot (-\frac{1}{12}) = \frac{3}{12}$

Úprava na základní tvar

Zlomek $\frac{3}{12}$ vykrátíme číslem 3, abychom získali základní tvar:
$\frac{3}{12} = \mathbf{\frac{1}{4}}$

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 2.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2 \cdot 2}}}{\frac{3 \cdot (3^{2} - 2 \cdot 2)}{\sqrt{5^{2} - 4^{2}}}} =$

Zobrazit odpověď

1/2 a správný postup řešení

2 body

Úloha 3.1

Do rámečků doplňte taková čísla, aby platila rovnost:

$\displaystyle (a + \square )^{2} = a^{2} + 18a + \square$

Zobrazit odpověď

9; 81

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Využití vzorce

Pro doplnění čísel do rámečků využijeme vzorec pro druhou mocninu součtu:
$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
V našem případě máme výraz $(a + \square)^2$, kde první člen $A$ odpovídá proměnné $a$.

Určení prvního chybějícího čísla

Porovnáme prostřední členy rovnosti. Ve vzorci je prostřední člen $2AB$, v zadání je to $18a$.
Platí tedy: $2 \cdot a \cdot B = 18a$
Z toho vyplývá: $2 \cdot B = 18$, tedy $B = 9$.
Do prvního rámečku v závorce doplníme číslo 9.

Určení druhého chybějícího čísla

Nyní dopočítáme poslední člen $B^2$ na pravé straně rovnosti. Protože jsme zjistili, že $B = 9$, bude platit:
$B^2 = 9^2 = 81$.
Do druhého rámečku na pravé straně doplníme číslo 81.

Závěrečná kontrola

Celá rovnost vypadá takto:
$(a + 9)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 9 + 9^2 = a^2 + 18a + 81$.
Doplněná čísla jsou 9 a 81.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 3.2

Upravte na co nejjednodušší tvar bez závorek:

$\displaystyle 2 - (n + 2) \cdot (-n) + (3 - n) \cdot (n + 1) =$

Zobrazit odpověď

4n + 5

1 bod

Úloha 3.3

Upravte a výsledný výraz rozložte na součin pomocí vzorce:

$\displaystyle x \cdot (18 - x) + 9 \cdot (16 - 2x) =$

Zobrazit odpověď

(12 - x) (12 + x) a správný postup řešení

2 body

Úloha 4.1

Řešte rovnici:

$\displaystyle 7 \cdot (\frac{4}{7} - \frac{x}{10}) - 5 \cdot (\frac{x}{25} - \frac{16}{5}) = \frac{1}{10} \cdot x$

Zobrazit odpověď

x = 20 a správný postup řešení

2 body

Úloha 4.2

Řešte rovnici:

$\displaystyle y - (y + 5) \cdot 0,1 = 0,9y + 0,5$

Zobrazit odpověď

rovnice nemá řešení a správný postup řešení

2 body

Úloha 5.1

Na obrázku je plánek pozemku, na kterém se nachází dům a rybníček.
Pozemek má tvar čtverce s délkou strany c = 30 m.
Světle šedý obdélník představuje půdorys domu a tmavší obrazec představuje rybníček.
Půdorys domu má pětkrát menší obsah, než je celková rozloha pozemku.

Délka domu a je rovna polovině délky strany pozemku c.

Určete šířku domu b.

Zobrazit odpověď

b = 12 m

2 body

Úloha 5.2

Na obrázku je plánek pozemku, na kterém se nachází dům a rybníček.
Pozemek má tvar čtverce s délkou strany c = 30 m.
Světle šedý obdélník představuje půdorys domu a tmavší obrazec představuje rybníček.
Půdorys domu má pětkrát menší obsah, než je celková rozloha pozemku.

Rozloha rybníčku představuje 18 % celkové rozlohy pozemku.

Vypočtěte v m² rozlohu volné části pozemku, na níž není ani dům, ani rybníček.

Zobrazit odpověď

558 m²

2 body

Úloha 6.1

Zahradní sud má tvar rotačního válce. Dno sudu má obsah 1500 cm².

Při dešti stoupla hladina vody v sudu o 10 mm.

Vypočtěte, kolik litrů vody přibylo v sudu během tohoto deště.

Zobrazit odpověď

1,5 l

1 bod

Úloha 6.2

Zahradní sud má tvar rotačního válce. Dno sudu má obsah 1500 cm².

Při silném lijáku v sudu přibyly 3 litry vody.

Vypočtěte, o kolik mm stoupla hladina vody v sudu během tohoto silného lijáku.

Zobrazit odpověď

20 mm

1 bod

Úloha 7.1

V rovině leží přímky p, q, r, které se protínají v bodě R, a přímky s, t, pro které platí: s || r, s ⊥ t.

Vypočtěte ve stupních velikost úhlu α.

Zobrazit odpověď

30 °

1 bod

Úloha 7.2

V rovině leží přímky p, q, r, které se protínají v bodě R, a přímky s, t, pro které platí: s || r, s ⊥ t.

Vypočtěte ve stupních velikost úhlu β.

Zobrazit odpověď

50 °

1 bod

Úloha 7.3

V rovině leží přímky p, q, r, které se protínají v bodě R, a přímky s, t, pro které platí: s || r, s ⊥ t.

Vypočtěte ve stupních velikost úhlu γ.

Zobrazit odpověď

140 °

1 bod

Úloha 8.1

Záhon v parku má tvar čtyřúhelníku, jehož tři strany jsou stejně dlouhé. Každá z těchto tří stran je o čtvrtinu kratší, než je čtvrtá strana čtyřúhelníku.
Po obvodu záhonu je ve stejných rozestupech vysázeno celkem 65 rostlin, z nichž je po jedné rostlině i v každém rohu záhonu. Rozestupy mezi rostlinami měří 40 cm.

Vypočtěte v metrech obvod záhonu.

Zobrazit odpověď

26 m

1 bod

Úloha 8.2

Záhon v parku má tvar čtyřúhelníku, jehož tři strany jsou stejně dlouhé. Každá z těchto tří stran je o čtvrtinu kratší, než je čtvrtá strana čtyřúhelníku.
Po obvodu záhonu je ve stejných rozestupech vysázeno celkem 65 rostlin, z nichž je po jedné rostlině i v každém rohu záhonu. Rozestupy mezi rostlinami měří 40 cm.

Určete, o kolik se liší počet rostlin na nejdelší straně záhonu od počtu rostlin na protější straně záhonu.

Zobrazit odpověď

o 5 rostlin

2 body

Úloha 8.3

Záhon v parku má tvar čtyřúhelníku, jehož tři strany jsou stejně dlouhé. Každá z těchto tří stran je o čtvrtinu kratší, než je čtvrtá strana čtyřúhelníku.
Po obvodu záhonu je ve stejných rozestupech vysázeno celkem 65 rostlin, z nichž je po jedné rostlině i v každém rohu záhonu. Rozestupy mezi rostlinami měří 40 cm.

Po obvodu záhonu se pravidelně střídají stejně početné skupinky červeně kvetoucích rostlin s dvojicemi bíle kvetoucích rostlin.

Určete nejmenší možný počet červeně kvetoucích rostlin po obvodu záhonu.

Zobrazit odpověď

39 červeně kvetoucích rostlin

1 bod

Úloha 9.1

Max. 3 body za skupinu

V rovině leží různoběžky p, q a bod R.

Sestrojte osu většího úhlu, který svírají přímky p, q, a označte ji písmenem o.

Zobrazit odpověď

3 body za skupinu

Úloha 9.2

Max. 3 body za skupinu

V rovině leží různoběžky p, q a bod R.

Na přímkách p, q leží všechny čtyři vrcholy obdélníku KLMN.
Bod R leží uvnitř strany MN tohoto obdélníku.

Sestrojte vrcholy obdélníku KLMN, označte je písmeny a obdélník narýsujte.

Zobrazit odpověď

3 body za skupinu

Úloha 10

V rovině leží bod B a přímky p, q, které se protínají v bodě C.

Body B, C jsou vrcholy trojúhelníku ABC.
Na přímce p leží výška v_c na stranu c a na přímce q leží těžnice t_c na stranu c tohoto trojúhelníku.
Sestrojte vrchol A trojúhelníku ABC, označte ho písmenem a trojúhelník narýsujte.

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 11.1

3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Základní kvádr má délky hran 1 cm, 2 cm a 3 cm.

Každé z následujících těles bylo slepeno ze dvou základních kvádrů.
Čtyřboké hranoly jsou označeny písmeny M, N a další tělesa písmeny P, Q, R.

Základní kvádr má délky hran 1 cm, 2 cm a 3 cm.Každé z následujících těles bylo slepeno ze dvou základních kvádrů.
Čtyřboké hranoly jsou označeny písmeny M, N a další tělesa písmeny P, Q, R.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Součet délek všech hran jednoho základního kvádru je 24 cm.

Zobrazit odpověď

Ano

4 body za skupinu

Úloha 11.2

3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Základní kvádr má délky hran 1 cm, 2 cm a 3 cm.

Každé z následujících těles bylo slepeno ze dvou základních kvádrů.
Čtyřboké hranoly jsou označeny písmeny M, N a další tělesa písmeny P, Q, R.

Základní kvádr má délky hran 1 cm, 2 cm a 3 cm.Každé z následujících těles bylo slepeno ze dvou základních kvádrů.
Čtyřboké hranoly jsou označeny písmeny M, N a další tělesa písmeny P, Q, R.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Povrchy hranolů M a N se liší o 6 cm².

Zobrazit odpověď

Ano

4 body za skupinu

Úloha 11.3

3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Základní kvádr má délky hran 1 cm, 2 cm a 3 cm.

Každé z následujících těles bylo slepeno ze dvou základních kvádrů.
Čtyřboké hranoly jsou označeny písmeny M, N a další tělesa písmeny P, Q, R.

Základní kvádr má délky hran 1 cm, 2 cm a 3 cm.Každé z následujících těles bylo slepeno ze dvou základních kvádrů.
Čtyřboké hranoly jsou označeny písmeny M, N a další tělesa písmeny P, Q, R.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Všechna tři tělesa P, Q, R mají stejný povrch.

Zobrazit odpověď

Ano

4 body za skupinu

Úloha 12

Bazén má délku 40 metrů a šířku 10 metrů. Hloubka bazénu není všude stejná (viz obrázek).
V celé zóně pro neplavce je hloubka 1 m. Zóna pro plavce má šikmé dno a hloubka bazénu se v ní postupně zvětší z 1 m na 2 m.

Jaký je objem bazénu?

A) 500 m³
D) 650 m³
B) 550 m³
E) jiný objem
C) 600 m³

Zobrazit odpověď

A

2 body

Úloha 13

U Pelhřimova se letos pořádaly dětské tábory ve dvou termínech. Počet nabízených míst byl v obou termínech stejný. Sešlo se celkem 375 přihlášek. V prvním termínu počet přihlášek překročil počet nabízených míst o pětinu, ve druhém termínu o 30 %.

Kolik přihlášek celkem muselo být kvůli nedostatku míst odmítnuto?

A) 65 přihlášek
D) 85 přihlášek
B) 75 přihlášek
E) jiný počet přihlášek
C) 80 přihlášek

Zobrazit odpověď

B

2 body

Úloha 14

Test z matematiky psalo 20 žáků. Nejhorší známka byla 3. Počet jedniček a dvojek byl stejný.
Aritmetický průměr známek všech žáků byl 1,8.

Kolik žáků dostalo z testu známku 1?

A) 5 žáků
D) 8 žáků
B) 6 žáků
E) 9 žáků
C) 7 žáků

Zobrazit odpověď

D

2 body

Úloha 15.1

3 podúlohy 6 bodů, 2 podúlohy 4 body, 1 podúloha 2 body

Při slavnostním zahájení soutěže nastoupilo na hřiště 10 družstev po 11 hráčích a všichni organizátoři soutěže. Dohromady tak nastoupilo 200 osob.

Kolik procent osob nastoupených na hřišti tvořili organizátoři?

A) 40 %
D) 55 %
B) 45 %
E) 60 %
C) 50 %
F) více než 60 %

Zobrazit odpověď

B

6 bodů za skupinu

Úloha 15.2

3 podúlohy 6 bodů, 2 podúlohy 4 body, 1 podúloha 2 body

Soutěže se účastnilo 20 tříčlenných družstev.
V každém z nich byl alespoň jeden muž a alespoň jedna žena.
Družstev s jedním mužem bylo čtyřikrát více než družstev s jednou ženou.

Kolik procent soutěžících tvořily ženy?

A) 40 %
D) 55 %
B) 45 %
E) 60 %
C) 50 %
F) více než 60 %

Zobrazit odpověď

E

6 bodů za skupinu

Úloha 15.3

3 podúlohy 6 bodů, 2 podúlohy 4 body, 1 podúloha 2 body

Na atletickém přeboru soutěžil každý atlet právě v jedné ze tří disciplín.
V hodu oštěpem soutěžilo 12 atletů.
Skokanů bylo o 40 % méně než běžců, ale o 50 % více než oštěpařů.

Kolik procent všech soutěžících atletů tvořili běžci?

A) 40 %
D) 55 %
B) 45 %
E) 60 %
C) 50 %
F) více než 60 %

Zobrazit odpověď

C

6 bodů za skupinu

Úloha 16.1

Vytváříme tmavé a světlé obrazce tvaru čtverce jako na obrázku.
Každý takový obrazec obsahuje jeden bílý čtverec obklopený pásem z několika shodných obdélníčků. Každý obdélníček má rozměry 2 cm a 3 cm.
Obdélníčky jsou buď tmavé (na obrázku vlevo), nebo světlé (na obrázku vpravo) a jsou natočeny tak, že pás z tmavých obdélníčků je vždy užší než pás ze světlých obdélníčků.Obrazec se popisuje třemi čísly. První číslo udává počet obdélníčků v obrazci, další dvě čísla udávají v cm délku strany bílého čtverce v obrazci a délku strany celého obrazce.

Délka strany tmavého obrazce je 20 cm.

Určete počet obdélníčků v obrazci.

Zobrazit odpověď

24 obdélníků

1 bod

Úloha 16.2

Vytváříme tmavé a světlé obrazce tvaru čtverce jako na obrázku.
Každý takový obrazec obsahuje jeden bílý čtverec obklopený pásem z několika shodných obdélníčků. Každý obdélníček má rozměry 2 cm a 3 cm.
Obdélníčky jsou buď tmavé (na obrázku vlevo), nebo světlé (na obrázku vpravo) a jsou natočeny tak, že pás z tmavých obdélníčků je vždy užší než pás ze světlých obdélníčků.Obrazec se popisuje třemi čísly. První číslo udává počet obdélníčků v obrazci, další dvě čísla udávají v cm délku strany bílého čtverce v obrazci a délku strany celého obrazce.

Délka strany tmavého i světlého obrazce je 23 cm.

Určete, o kolik se liší počet obdélníčků v těchto dvou obrazcích.

Zobrazit odpověď

o 12 obdélníků

1 bod

Úloha 16.3

Vytváříme tmavé a světlé obrazce tvaru čtverce jako na obrázku.
Každý takový obrazec obsahuje jeden bílý čtverec obklopený pásem z několika shodných obdélníčků. Každý obdélníček má rozměry 2 cm a 3 cm.
Obdélníčky jsou buď tmavé (na obrázku vlevo), nebo světlé (na obrázku vpravo) a jsou natočeny tak, že pás z tmavých obdélníčků je vždy užší než pás ze světlých obdélníčků.Obrazec se popisuje třemi čísly. První číslo udává počet obdélníčků v obrazci, další dvě čísla udávají v cm délku strany bílého čtverce v obrazci a délku strany celého obrazce.

Tmavý i světlý obrazec mají stejný počet obdélníčků, ale délky stran bílých čtverců v těchto obrazcích se liší o 10 cm.

Určete počet obdélníčků v tmavém obrazci.

Zobrazit odpověď

36 obdélníků

2 body

Přijímací testy 9. ročník

Výpočet v závorce

Násobení

Úprava na základní tvar

Využití vzorce

Určení prvního chybějícího čísla

Určení druhého chybějícího čísla

Závěrečná kontrola