Načítání…
Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 9. ročník

Podkategorie: Matematika 9. ročník — 1. náhradní termín 2025

31 úloh

PDF+Klíč
Úloha 1

Určete, kolikrát více je 5 kilogramů než 0,25 gramů.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na gramy

Nejdřív převedeme obě hmotnosti na stejné jednotky. Protože 1 kg = 1 000 g, je 5 kg = 5 · 1 000 = 5 000 g.

Porovnání hmotností

Zjistíme, kolikrát se 0,25 g vejde do 5 000 g. V jednom gramu jsou čtyři díly po 0,25 g, takže v 5 000 gramech jich je 5 000 · 4 = 20 000.

Výsledek

5 kilogramů je 20 000krát více než 0,25 gramu.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

20 000krát

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2

Druhá mocnina neznámého prvočísla je o 3 menší než jiné prvočíslo.

Určete větší z obou prvočísel.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Ze zadání víme, že druhá mocnina neznámého prvočísla je o 3 menší než jiné prvočíslo. Pokud si neznámé prvočíslo označíme jako $p$, pak pro to druhé (větší) prvočíslo platí vztah: $p^2 + 3$.

Úvaha o sudosti a lichosti

Téměř všechna prvočísla jsou lichá čísla, jedinou výjimkou je číslo 2. Pokud by naše neznámé prvočíslo $p$ bylo liché, pak by i jeho druhá mocnina $p^2$ byla lichá. Přičtením čísla 3 k lichému číslu bychom ale dostali číslo sudé ($liché + liché = sudé$). Jediné sudé prvočíslo je však 2, což v našem případě není možné, protože $p^2 + 3$ bude vždy větší než 2.

Nalezení prvočísel

Jedinou možností tedy zůstává, že neznámé prvočíslo $p$ je sudé, tedy $p = 2$. Nyní vypočítáme druhé prvočíslo:
$2^2 + 3 = 4 + 3 = 7$
Číslo 7 je skutečně prvočíslo, takže podmínka ze zadání je splněna.

Závěr

Dvojice prvočísel, která vyhovuje zadání, je 2 a 7. Větší z obou prvočísel je 7.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

7

Stav úlohy
1 bod
Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\sqrt{10^{2} - 19}}{\sqrt{10^{2}}} =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet pod odmocninami

Nejdřív vypočítáme $10^2 = 100$. V čitateli je tedy pod odmocninou $100 - 19 = 81$, ve jmenovateli je $100$.

Odmocnění

Platí $\sqrt{81} = 9$ a $\sqrt{100} = 10$, protože $9^2 = 81$ a $10^2 = 100$.

Výsledek v základním tvaru

Po dosazení dostaneme $\frac{9}{10}$. Čísla 9 a 10 nemají společného dělitele většího než 1, proto je výsledný zlomek $\frac{9}{10}$ v základním tvaru.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

9/10

Stav úlohy
1 bod
Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{(\frac{3}{5})^{2}}{\frac{27}{34} \cdot (\frac{2}{3} - \frac{3^2}{5})} =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet mocnin

Nejdřív vypočítáme druhé mocniny: $(\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$ a $3^2 = 9$.

Výpočet jmenovatele

V závorce převedeme zlomky na společného jmenovatele: $\frac{2}{3} - \frac{9}{5} = \frac{10}{15} - \frac{27}{15} = -\frac{17}{15}$. Potom násobíme a krátíme: $\frac{27}{34} \cdot (-\frac{17}{15}) = -\frac{9}{10}$.

Dělení zlomků

Dělení zlomkem nahradíme násobením jeho převrácenou hodnotou: $\frac{9}{25} : (-\frac{9}{10}) = \frac{9}{25} \cdot (-\frac{10}{9}) = -\frac{10}{25}$.

Výsledek v základním tvaru

Čitatele i jmenovatele zkrátíme pěti: $-\frac{10}{25} = -\frac{2}{5}$. Čísla 2 a 5 nemají společného dělitele většího než 1, takže výsledek v základním tvaru je $-\frac{2}{5}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-2/5 a správný postup řešení

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.1

Upravte a umocněte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle (4 + 8a - 8)^{2} =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úprava závorky

Nejdřív sečteme čísla v závorce: $4-8=-4$. Upravovaný výraz je tedy $(8a-4)^2$.

Umocnění dvojčlenu

Použijeme vzorec pro druhou mocninu rozdílu: umocníme první člen, odečteme dvojnásobek součinu obou členů a přičteme druhou mocninu druhého členu. Dostaneme $(8a-4)^2=(8a)^2-2\cdot8a\cdot4+4^2$.

Výsledek

Vypočítáme jednotlivé členy: $(8a)^2=64a^2$, $2\cdot8a\cdot4=64a$ a $4^2=16$. Výsledný výraz bez závorek je $64a^2-64a+16$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

64a² - 64a + 16

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.2

Upravte na co nejjednodušší tvar bez závorek:

$\displaystyle (2 - 3x) \cdot 2 + (2x)^{2} - x \cdot ( - 6) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Násobení a mocnina

Nejdřív vynásobíme oba členy v závorce číslem 2: $(2 - 3x) \cdot 2 = 4 - 6x$. Potom umocníme celý součin: $(2x)^2 = 4x^2$. Poslední člen je $-x \cdot (-6) = +6x$, protože součin dvou záporných čísel je kladný. Dostaneme $4 - 6x + 4x^2 + 6x$.

Sečtení podobných členů

Členy $-6x$ a $+6x$ se navzájem vyruší, protože $-6x + 6x = 0$. Zbývá $4 + 4x^2$.

Výsledek

Členy zapíšeme od nejvyšší mocniny. Nejjednodušší tvar bez závorek je $4x^2 + 4$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

4x² + 4

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.3

Upravte na co nejjednodušší tvar bez závorek:

$\displaystyle (1 - 2n) \cdot (1 - 2n + 4n) - 2n \cdot (1 - 3n) + (3n - 1) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úprava závorky

Nejdřív sečteme členy s $n$ ve druhé závorce: $1 - 2n + 4n = 1 + 2n$. Výraz tedy je $(1 - 2n)(1 + 2n) - 2n(1 - 3n) + (3n - 1)$.

Odstranění závorek

Vynásobíme každý člen první závorky každým členem druhé: $(1 - 2n)(1 + 2n) = 1 + 2n - 2n - 4n^2 = 1 - 4n^2$. Dále $-2n(1 - 3n) = -2n + 6n^2$. Před poslední závorkou je plus, takže znaménka jejích členů zůstávají stejná. Dostaneme $1 - 4n^2 - 2n + 6n^2 + 3n - 1$.

Sečtení stejných členů

Sečteme členy se stejnou mocninou: $-4n^2 + 6n^2 = 2n^2$ a $-2n + 3n = n$. Čísla se odečtou: $1 - 1 = 0$. Nejjednodušší tvar bez závorek je $2n^2 + n$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

2n² + n a správný postup řešení

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.1

Řešte rovnici:

$\displaystyle 5x + \frac{2}{15} + \frac{1}{15} \cdot x = \frac{2}{3} \cdot x - \frac{3}{5}$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění zlomků

Celou rovnici vynásobíme číslem 15, které je společným násobkem jmenovatelů 15, 3 a 5. Dostaneme $75x + 2 + x = 10x - 9$.

Úprava rovnice

Sečteme členy s neznámou na levé straně: $76x + 2 = 10x - 9$. Od obou stran odečteme $10x$ a potom 2. Vyjde $66x = -11$.

Výpočet neznámé

Obě strany vydělíme číslem 66: $x = -\frac{11}{66} = -\frac{1}{6}$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme do původní rovnice. Levá strana je $-\frac{5}{6} + \frac{2}{15} - \frac{1}{90} = -\frac{32}{45}$. Pravá strana je $-\frac{1}{9} - \frac{3}{5} = -\frac{32}{45}$. Obě strany se rovnají, řešením je tedy $x = -\frac{1}{6}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

x = -1/6 a správný postup řešení

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.2

Řešte rovnici:

$\displaystyle 4 - \frac{7 - 3y}{5} = 3 + \frac{7y - 4}{10}$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění zlomků

Obě strany rovnice vynásobíme číslem 10, společným násobkem jmenovatelů 5 a 10: $40 - 2(7 - 3y) = 30 + 7y - 4$.

Úprava rovnice

Roznásobíme závorku. Dáváme pozor na znaménka: $-2(7 - 3y) = -14 + 6y$. Dostaneme $40 - 14 + 6y = 30 + 7y - 4$, tedy $26 + 6y = 26 + 7y$.

Výpočet neznámé

Od obou stran odečteme 26 a potom 6y: $6y = 7y$, tedy $0 = y$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme $y = 0$ do původní rovnice. Levá strana je $4 - \frac{7}{5} = \frac{13}{5}$, pravá strana je $3 - \frac{4}{10} = \frac{13}{5}$. Obě strany se rovnají, proto je řešením $y = 0$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

y = 0 a správný postup řešení

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.1

Do ložnice jsme přikoupili postel, noční stolek a skříň.
Noční stolek byl o polovinu levnější než skříň, ale o třetinu dražší než postel.

Cenu nočního stolku označíme n.

Vyjádřete výrazem s proměnnou n cenu skříně.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

2n

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.2

Do ložnice jsme přikoupili postel, noční stolek a skříň.
Noční stolek byl o polovinu levnější než skříň, ale o třetinu dražší než postel.

Cenu nočního stolku označíme n.

Vyjádřete výrazem s proměnnou n cenu postele.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

(3/4)n

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.3

Do ložnice jsme přikoupili postel, noční stolek a skříň.
Noční stolek byl o polovinu levnější než skříň, ale o třetinu dražší než postel.

Cenu nočního stolku označíme n.
Za všechny tři kusy nábytku do ložnice jsme zaplatili celkem 9 000 korun.

Vypočtěte, kolik korun stál noční stolek.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Ceny jednotlivých kusů

Cenu nočního stolku označíme $n$. Stolek stojí polovinu ceny skříně, proto skříň stojí $2n$. Stolek je o třetinu dražší než postel: cena postele představuje 3 stejné díly a cena stolku 4 takové díly. Postel tedy stojí $\frac{3}{4}n$.

Sestavení a řešení rovnice

Za všechny tři kusy jsme zaplatili 9 000 Kč, proto $n + 2n + \frac{3}{4}n = 9\,000$. Sečtením dostaneme $\frac{15}{4}n = 9\,000$. Odtud $n = 9\,000 \cdot \frac{4}{15} = 2\,400$.

Výsledek a kontrola

Noční stolek stál 2 400 Kč. Skříň stála 4 800 Kč a postel 1 800 Kč. Součet je $2\,400 + 4\,800 + 1\,800 = 9\,000$ Kč. Stolek je oproti skříni o polovinu levnější a oproti posteli o 600 Kč dražší; 600 Kč je třetina z 1 800 Kč.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

2 400 korun

Stav úlohy
2 body
Úloha 7.1

Cyklista jel část své trasy po rovině, část klesal a zbytek trasy stoupal.
Po rovině ujel třetinu délky celé trasy, a to průměrnou rychlostí 30 km/h. Klesání bylo pětkrát kratší než celá trasa a cyklista ho sjížděl průměrnou rychlostí o 40 % vyšší, než jel po rovině. Stoupání bylo na 14 km trasy a cyklista v něm měl průměrnou rychlost o polovinu nižší než při klesání.

Vypočtěte v km/h průměrnou rychlost cyklisty při klesání.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zvýšení rychlosti o 40 %

Po rovině jel cyklista průměrnou rychlostí 30 km/h. Při klesání byla rychlost o 40 % vyšší. Nejdřív vypočítáme toto zvýšení: $30 \cdot 0{,}40 = 12$ km/h.

Výsledek

Zvýšení přičteme k rychlosti na rovině: $30 + 12 = 42$ km/h. Průměrná rychlost cyklisty při klesání byla 42 km/h.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

42 km/h

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.2

Cyklista jel část své trasy po rovině, část klesal a zbytek trasy stoupal.
Po rovině ujel třetinu délky celé trasy, a to průměrnou rychlostí 30 km/h. Klesání bylo pětkrát kratší než celá trasa a cyklista ho sjížděl průměrnou rychlostí o 40 % vyšší, než jel po rovině. Stoupání bylo na 14 km trasy a cyklista v něm měl průměrnou rychlost o polovinu nižší než při klesání.

Vypočtěte v km délku celé cyklistovy trasy.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Části trasy

Po rovině cyklista ujel třetinu celé trasy a při klesání pětinu celé trasy. Dohromady tedy ujel $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{5}{15}+\frac{3}{15}=\frac{8}{15}$ celé trasy.

Zbývající stoupání

Na stoupání zbývá $\frac{15}{15}-\frac{8}{15}=\frac{7}{15}$ celé trasy. Těchto sedm patnáctin měří 14 km, takže jedna patnáctina měří $14:7=2$ km.

Délka celé trasy

Celá trasa má patnáct stejných dílů, proto měří $15\cdot 2=30$ km. Ověříme: třetina z 30 km je 10 km, pětina je 6 km a na stoupání zbývá $30-10-6=14$ km. Celá cyklistova trasa měří 30 km.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

30 km

Stav úlohy
2 body
Úloha 7.3

Cyklista jel část své trasy po rovině, část klesal a zbytek trasy stoupal.
Po rovině ujel třetinu délky celé trasy, a to průměrnou rychlostí 30 km/h. Klesání bylo pětkrát kratší než celá trasa a cyklista ho sjížděl průměrnou rychlostí o 40 % vyšší, než jel po rovině. Stoupání bylo na 14 km trasy a cyklista v něm měl průměrnou rychlost o polovinu nižší než při klesání.

Vypočtěte v minutách, jak dlouho cyklista na své trase stoupal.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rychlost při klesání

Po rovině jel cyklista rychlostí 30 km/h. Při klesání byla jeho rychlost o 40 % vyšší. Vypočítáme 40 % z 30: $30 \cdot 0{,}4 = 12$. Při klesání tedy jel rychlostí $30 + 12 = 42$ km/h.

Rychlost při stoupání

Při stoupání byla rychlost o polovinu nižší než při klesání, tedy $42 : 2 = 21$ km/h.

Doba stoupání

Stoupání měřilo 14 km. Dobu jízdy získáme dělením vzdálenosti rychlostí: $14 : 21 = \frac{2}{3}$ hodiny. Převedeme na minuty: $\frac{2}{3} \cdot 60 = 40$. Cyklista stoupal 40 minut.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

40 minut

Stav úlohy
1 bod
Úloha 8.1

Celá podlaha chodby je vydlážděna stejnými dlaždicemi tvaru čtverce se stranou délky 20 cm.
Každá dlaždice je ozdobena čtvrtkruhem a malým kruhem jako na obrázku vlevo.
Dlaždice se pokládaly pravidelně ve čtveřicích jako na obrázku vpravo, přičemž se začalo v rohu chodby celou touto čtveřicí.

Vypočtěte v cm² obsah jednoho malého kruhu. Výsledek zaokrouhlete na celé cm².

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Průměr a poloměr malého kruhu

Tečkované čáry rozdělují dlaždici na čtyři čtverce se stranou 10 cm. Malý kruh se dotýká všech čtyř stran pravého dolního čtverce, takže jeho průměr je 10 cm. Poloměr je polovina průměru: $r = 10 : 2 = 5\,\text{cm}$.

Obsah kruhu

Obsah kruhu vypočítáme podle vzorce $S = \pi r^2$. Dosadíme poloměr 5 cm: $S = \pi \cdot 5^2 = 25\pi\,\text{cm}^2 \approx 78{,}54\,\text{cm}^2$.

Zaokrouhlení a výsledek

Hodnotu 78,54 zaokrouhlíme na celé číslo nahoru. Obsah jednoho malého kruhu je po zaokrouhlení 79 cm².
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

79 cm²

Stav úlohy
1 bod
Úloha 8.2

Celá podlaha chodby je vydlážděna stejnými dlaždicemi tvaru čtverce se stranou délky 20 cm.
Každá dlaždice je ozdobena čtvrtkruhem a malým kruhem jako na obrázku vlevo.
Dlaždice se pokládaly pravidelně ve čtveřicích jako na obrázku vpravo, přičemž se začalo v rohu chodby celou touto čtveřicí.

Podlaha chodby má tvar obdélníku s rozměry 2 m a 3,2 m.
(Dlaždice jsou položeny těsně vedle sebe, šířku spár zanedbáváme.)

Určete, o kolik se liší počet malých a velkých kruhů na podlaze chodby.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet dlaždic

Rozměry chodby převedeme na centimetry: 2 m = 200 cm a 3,2 m = 320 cm. Dlaždice má stranu 20 cm, takže podél stran chodby se vejde 200 : 20 = 10 a 320 : 20 = 16 dlaždic. Dohromady je na podlaze 10 · 16 = 160 dlaždic.

Počet malých kruhů

Na každé dlaždici je jeden celý malý kruh. Malých kruhů je tedy stejně jako dlaždic, celkem 160.

Počet velkých kruhů

Podle obrázku se čtyři čtvrtkruhy v jedné čtveřici dlaždic spojí v jeden velký kruh. Čtveřice tvoří čtverce ze 2 × 2 dlaždic. Podél stran chodby je 10 : 2 = 5 a 16 : 2 = 8 celých čtveřic, takže velkých kruhů je 5 · 8 = 40.

Rozdíl počtů kruhů

Počty se liší o 160 − 40 = 120. Malých kruhů je o 120 více než velkých.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

o 120

Stav úlohy
2 body
Úloha 9

V rovině leží body B, M a přímka q.

Bod B je vrchol rovnoramenného trojúhelníku ABC se základnou AB. Úsečka BM je jednou z výšek tohoto trojúhelníku a bod M leží na straně AC. Na přímce q leží vrchol A trojúhelníku ABC.

Sestrojte vrcholy A, C trojúhelníku ABC, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Požadovaný trojúhelník je sestrojen s mírnou nepřesností v konstrukci vrcholu C.

Nastane právě jedna z následujících situací:

  • Je sestrojen rovnoramenný trojúhelník, který nevyhovuje zadání, protože strana AB není jeho základnou, nýbrž ramenem, ostatní podmínky zadání jsou však splněny a konstrukce je přesná.
  • Je sestrojen rovnoramenný trojúhelník, který nevyhovuje zadání, protože jeho výška na stranu AC neleží na přímce BM, ostatní podmínky zadání jsou však splněny a konstrukce je přesná.

Pouze zcela chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. náhradní termín 2025, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 10

V rovině leží body A, S a přímka p.

Bod A je vrchol obdélníku ABCD, jehož vrchol D leží na přímce p. Bod S je střed strany CD obdélníku ABCD.

Sestrojte vrcholy B, C, D obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte.

Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Nastane právě jedna z následujících situací:

  • Jsou sestrojeny oba požadované obdélníky, ale s mírnou nepřesností.
  • Z požadovaných lichoběžníků je sestrojen pouze jeden, a to přesně.

Nastane právě jedna z následujících situací:

  • Z požadovaných lichoběžníků je sestrojen pouze jeden, a to s mírnou nepřesností.
  • Správně jsou sestrojeny pouze oba body D.

Pouze zcela chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. náhradní termín 2025, úloha 10

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 11.1
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Rodný dům slavného spisovatele je otevřen pouze v letní sezoně od května do září.
V pokladně zaznamenávají počet prodaných vstupenek dětským a dospělým návštěvníkům.
V grafu je uvedena návštěvnost v jedné sezoně.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V prvních třech měsících sezony bylo mezi návštěvníky rodného domu třikrát více dospělých než dětí.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení hodnot z grafu

První tři měsíce sezony jsou květen, červen a červenec. Z grafu vyčteme počty prodaných vstupenek pro děti (tmavě šedý sloupec) a dospělé (světle šedý sloupec) v těchto měsících:
  • Květen: 30 dětí a 80 dospělých
  • Červen: 10 dětí a 60 dospělých
  • Červenec: 30 dětí a 70 dospělých

Výpočet celkového počtu návštěvníků

Sečteme počty dětí a dospělých za toto období zvlášť:
  • Děti celkem: $30 + 10 + 30 = 70$
  • Dospělí celkem: $80 + 60 + 70 = 210$

Porovnání počtů

Nyní ověříme, zda je dospělých třikrát více než dětí. Vynásobíme počet dětí třemi:
$70 \cdot 3 = 210$
Počet dospělých (210) přesně odpovídá trojnásobku počtu dětí. Tvrzení je pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11.2
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Rodný dům slavného spisovatele je otevřen pouze v letní sezoně od května do září.
V pokladně zaznamenávají počet prodaných vstupenek dětským a dospělým návštěvníkům.
V grafu je uvedena návštěvnost v jedné sezoně.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Za celou sezonu bylo dospělých návštěvníků rodného domu průměrně 80 za měsíc.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Údaje z grafu

Světle šedé sloupce ukazují počty dospělých návštěvníků: v květnu 80, v červnu 60, v červenci 70, v srpnu 90 a v září 100. Sezona tedy trvala 5 měsíců.

Výpočet průměru

Nejdřív sečteme dospělé návštěvníky za celou sezonu: $80 + 60 + 70 + 90 + 100 = 400$. Potom součet vydělíme počtem měsíců: $400 : 5 = 80$.

Výsledek

Za celou sezonu bylo průměrně 80 dospělých návštěvníků za měsíc. Tvrzení je pravdivé (A).
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11.3
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Rodný dům slavného spisovatele je otevřen pouze v letní sezoně od května do září.
V pokladně zaznamenávají počet prodaných vstupenek dětským a dospělým návštěvníkům.
V grafu je uvedena návštěvnost v jedné sezoně.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Za celou sezonu tvořily děti 40 % všech návštěvníků rodného domu.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počty návštěvníků za sezonu

Sečteme počty z grafu za květen až září. Dětí bylo 30 + 10 + 30 + 50 + 40 = 160. Dospělých bylo 80 + 60 + 70 + 90 + 100 = 400. Dohromady tedy přišlo 160 + 400 = 560 návštěvníků.

Ověření 40 %

Nejdřív vypočítáme 10 % ze všech 560 návštěvníků: 560 : 10 = 56. Potom 40 % tvoří 4 · 56 = 224 návštěvníků. Aby tvrzení platilo, muselo by přijít 224 dětí.

Výsledek

Ve skutečnosti přišlo jen 160 dětí, což je méně než 224. Děti tedy netvořily 40 % všech návštěvníků. Tvrzení je nepravdivé, odpověď je N.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 12

Na hřišti je podle plánku vymezen uzavřený okruh, v němž na sebe navazuje 5 rovných úseků. Některé sousední úseky jsou na sebe kolmé (viz obrázek).
Jirka prošel celý okruh stejně dlouhými kroky a do plánku si zaznamenal jejich počet na prvních čtyřech úsecích.

Kolika kroky prošel Jirka poslední úsek okruhu?

  • A) méně než 85 kroky
  • D) 95 kroky
  • B) 85 kroky
  • E) 100 kroky
  • C) 90 kroky
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vodorovná vzdálenost

Oba vodorovné úseky vedou doprava, takže vzdálenost pravého krajního vrcholu od levé svislé strany je $30 + 50 = 80$ kroků. Z pravého krajního vrcholu vedeme vodorovnou pomocnou úsečku doleva k levé straně. Vznikne pravoúhlý trojúhelník s vodorovnou odvěsnou 80 kroků a šikmou přeponou 100 kroků.

Svislá odvěsna

Podle Pythagorovy věty je druhá mocnina svislé odvěsny $100^2 - 80^2 = 10000 - 6400 = 3600$. Protože $60^2 = 3600$, měří tato odvěsna 60 kroků.

Délka posledního úseku

Levá svislá strana zahrnuje pokles o 35 kroků i dalších 60 kroků k dolnímu vrcholu. Jirka tedy prošel poslední úsek $35 + 60 = 95$ kroky. Správná odpověď je D: 95 kroky.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 13

Na každé stěně krychle je vždy jedna úhlopříčka celá přelepena pěti shodnými šedými čtverci tak, že sousední čtverce mají právě jeden společný vrchol (viz obrázek).
Nepolepená část každé stěny je bílá.
Součet obsahů všech bílých nepolepených ploch na povrchu krychle je 480 cm².

Jakou délku má hrana krychle?

  • A) méně než 10 cm
  • D) 15 cm
  • B) 10 cm
  • E) 20 cm
  • C) 12 cm
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení stěny

Z popisu obrázku víme, že strana šedého čtverce je pětinou hrany krychle. Každou stěnu si proto rozdělíme na síť 5 × 5, tedy na 25 stejných malých čtverců. Pět z nich je šedých, takže bílá část odpovídá 25 − 5 = 20 malým čtvercům.

Obsah malého čtverce

Krychle má 6 stěn. Bílá plocha na celém povrchu tedy odpovídá 6 × 20 = 120 malým čtvercům. Dohromady mají obsah 480 cm², takže jeden malý čtverec má obsah 480 : 120 = 4 cm².

Délka hrany krychle

Malý čtverec má stranu 2 cm, protože 2 × 2 = 4. Podél hrany krychle se vejde pět těchto stran, takže hrana měří 5 × 2 = 10 cm. Ověříme: jedna stěna má obsah 100 cm², šedá část 5 × 4 = 20 cm² a bílá část 80 cm². Na šesti stěnách je 6 × 80 = 480 cm² bílé plochy. Správná je možnost B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 14

V obdélníku ABCD leží na straně CD bod X.
Přímka o1 je osa úhlu BAX a přímka o2 je osa úhlu AXB.
Velikosti některých úhlů jsou vyznačeny v obrázku.

Jaká je velikost úhlu α?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní).

  • A) 22°
  • D) 40°
  • B) 28°
  • E) jiná velikost
  • C) 34°
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úhel u vrcholu A

Přímka o₁ je osa úhlu BAX, takže ho dělí na dva stejné úhly. Mezi AX a o₁ je vyznačeno 22°, proto má celý úhel BAX velikost $2 \cdot 22° = 44°$.

Trojúhelník s průsečíkem os

Průsečík přímek o₁ a o₂ označíme P. Vyznačený úhel 62° a úhel APX jsou vedlejší, proto je úhel APX roven $180° - 62° = 118°$. V trojúhelníku AXP je u A úhel 22°, takže úhel AXP má velikost $180° - 22° - 118° = 40°$.

Úhly trojúhelníku ABX

Přímka o₂ je osa úhlu AXB. Úhel AXP je tedy jeho polovina a celý úhel AXB měří $2 \cdot 40° = 80°$. Součet úhlů v trojúhelníku ABX je 180°, proto úhel ABX měří $180° - 44° - 80° = 56°$.

Výsledek

V obdélníku je úhel ABC pravý. Úhel ABX a úhel α ho dohromady tvoří, takže $\alpha = 90° - 56° = 34°$. Správná odpověď je C: 34°.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.1

Prázdný kbelík se zcela naplní přesně 50 hrnky borůvek.
Z plného kbelíku jsme odsypali 46 % borůvek.

Kolik hrnků borůvek zbývá v kbelíku?

  • A) 18 hrnků
  • D) 23 hrnků
  • B) 20 hrnků
  • E) 25 hrnků
  • C) 21 hrnků
  • F) více než 25 hrnků
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zbývající procenta

Plný kbelík představuje 100 % borůvek. Odsypali jsme 46 %, takže v kbelíku zbývá 100 − 46 = 54 % borůvek.

Počet hrnků

Celých 100 % je 50 hrnků. Jedno procento je tedy 50 : 100 = 0,5 hrnku. Zbývajících 54 % je 54 · 0,5 = 27 hrnků.

Výsledek

V kbelíku zbývá 27 hrnků borůvek, tedy více než 25 hrnků. Správná je možnost F.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

F

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.2

Hrnčíři Petr, Radim, Slávek a Tomáš vyrobili dohromady 240 hrnků.
Petr vyrobil o polovinu méně hrnků než Radim.
Slávek i Tomáš vyrobili každý o 25 % hrnků méně než Radim.

O kolik hrnků více vyrobil Tomáš než Petr?

  • A) 18 hrnků
  • D) 23 hrnků
  • B) 20 hrnků
  • E) 25 hrnků
  • C) 21 hrnků
  • F) více než 25 hrnků
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení na stejné díly

Radimův počet hrnků si rozdělíme na 4 stejné díly. Petr vyrobil polovinu Radimova počtu, tedy 2 díly. Slávek i Tomáš vyrobili každý o 25 % méně než Radim, tedy každý 3 díly. Dohromady vyrobili 4 + 2 + 3 + 3 = 12 dílů.

Počet hrnků v jednom dílu

Všech 12 dílů představuje 240 hrnků, takže jeden díl je 240 : 12 = 20 hrnků. Petr vyrobil 2 · 20 = 40 hrnků a Tomáš 3 · 20 = 60 hrnků. Pro kontrolu: Radim vyrobil 80 hrnků a Slávek 60 hrnků; 80 + 40 + 60 + 60 = 240.

Výsledek

Tomáš vyrobil o 60 − 40 = 20 hrnků více než Petr. Správná je možnost B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.3

Jitka s maminkou a babičkou trhaly na zahradě rybíz do stejně velkých hrnků.
Maminka natrhala dvakrát více rybízu než Jitka.
Babička natrhala o polovinu více rybízu než Jitka.
Přitom babička natrhala o 2 hrnky rybízu méně než maminka.

Kolik hrnků rybízu natrhaly všechny tři dohromady?

  • A) 18 hrnků
  • D) 23 hrnků
  • B) 20 hrnků
  • E) 25 hrnků
  • C) 21 hrnků
  • F) více než 25 hrnků
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl mezi maminkou a babičkou

Maminka natrhala dvakrát tolik co Jitka. Babička natrhala tolik co Jitka a ještě polovinu navíc. Rozdíl mezi maminkou a babičkou tedy odpovídá polovině Jitčina množství. Tato polovina jsou 2 hrnky.

Počet hrnků každé z nich

Jitka natrhala 2 · 2 = 4 hrnky. Maminka natrhala 2 · 4 = 8 hrnků a babička 4 + 2 = 6 hrnků. Ověříme: babička má opravdu o 2 hrnky méně než maminka, protože 8 − 6 = 2.

Celkový počet hrnků

Dohromady natrhaly 4 + 8 + 6 = 18 hrnků rybízu. Správná je možnost A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.1

Vytváříme obrazce tvaru pravidelného šestiúhelníku složené z bílých a šedých shodných rovnostranných trojúhelníků.
První obrazec se skládá ze 3 bílých a 3 šedých trojúhelníků a každý další obrazec vznikne přidáním jednoho pásu trojúhelníků okolo předchozího obrazce (viz obrázek).

Vypočtěte, kolik trojúhelníků (bílých i šedých dohromady) obsahuje poslední přidaný pás 4. obrazce.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení obrazce

Spojením středu šestiúhelníku s jeho vrcholy rozdělíme obrazec na 6 shodných velkých trojúhelníků. Každý přidaný pás prodlouží jejich strany o jednu stranu malého trojúhelníku. Ve 3. obrazci tedy má každý velký trojúhelník stranu dlouhou 3 malé strany, ve 4. obrazci 4 malé strany.

Počet přidaných trojúhelníků v jedné části

Malé trojúhelníky počítáme po řadách od vrcholu velkého trojúhelníku. Ve 3. obrazci jsou v jedné části 1 + 3 + 5 = 9 malých trojúhelníků, ve 4. obrazci 1 + 3 + 5 + 7 = 16. V jedné části tedy přibylo 16 − 9 = 7 trojúhelníků. Počítáme bílé i šedé dohromady.

Výsledek

Stejný přírůstek je ve všech 6 částech šestiúhelníku: 6 · 7 = 42. Poslední přidaný pás 4. obrazce obsahuje 42 trojúhelníků.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

42 trojúhelníků

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.2

Vytváříme obrazce tvaru pravidelného šestiúhelníku složené z bílých a šedých shodných rovnostranných trojúhelníků.
První obrazec se skládá ze 3 bílých a 3 šedých trojúhelníků a každý další obrazec vznikne přidáním jednoho pásu trojúhelníků okolo předchozího obrazce (viz obrázek).

Vypočtěte, kolik šedých trojúhelníků obsahuje celý 6. obrazec.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení obrazce

Každý další pás prodlouží stranu šestiúhelníku o jednu stranu malého trojúhelníku. Strana 6. obrazce tedy měří 6 těchto délek. Spojením středu se všemi vrcholy rozdělíme obrazec na 6 shodných velkých rovnostranných trojúhelníků.

Počet všech trojúhelníků

V jednom velkém trojúhelníku počítáme malé trojúhelníky po řadách od vrcholu: 1, 3, 5, 7, 9 a 11. Dohromady je to 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36. Celý šestiúhelník proto obsahuje 6 · 36 = 216 malých trojúhelníků.

Počet šedých trojúhelníků

Šedé trojúhelníky mají vrchol nahoru a bílé dolů. Ke každému šedému trojúhelníku patří stejně velký bílý na protější straně středu: otočení o půl otáčky převede jeho polohu na polohu bílého trojúhelníku. Obou barev je tedy stejně a šedé tvoří polovinu celku. Vypočítáme 216 : 2 = 108. Celý 6. obrazec obsahuje 108 šedých trojúhelníků.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

108 šedých trojúhelníků

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.3

Vytváříme obrazce tvaru pravidelného šestiúhelníku složené z bílých a šedých shodných rovnostranných trojúhelníků.
První obrazec se skládá ze 3 bílých a 3 šedých trojúhelníků a každý další obrazec vznikne přidáním jednoho pásu trojúhelníků okolo předchozího obrazce (viz obrázek).

Určete, kolikátý obrazec má v posledním přidaném pásu 225 šedých trojúhelníků.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet šedých trojúhelníků v pásu

Pás přidaný ve druhém obrazci obsahuje 9 šedých trojúhelníků, pás ve třetím obrazci 15. Každý další pás má o 6 šedých trojúhelníků více, protože na každé ze šesti stran přibude oproti předchozímu pásu jeden šedý trojúhelník.

Určení pořadí obrazce

Od 9 do 225 zbývá 225 − 9 = 216 šedých trojúhelníků. Počet se pokaždé zvětší o 6, takže potřebujeme 216 : 6 = 36 dalších pásů. Začínáme u druhého obrazce, proto hledané pořadí je 2 + 36 = 38.

Ověření a výsledek

Ověříme počet v posledním pásu: 9 + 36 · 6 = 225. Poslední přidaný pás s 225 šedými trojúhelníky má 38. obrazec.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

ve 38. obrazci

Stav úlohy
2 body