Načítání…
Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 9. ročník

Podkategorie: Matematika 9. ročník — 2. náhradní termín 2024

27 úloh

PDF+Klíč
Úloha 1

Adam a Naďa šli spolu z Heraltic do Hvězdoňovic trasou dlouhou 2,7 km. Adam má délku každého kroku 75 cm, Naďa má každý krok dlouhý 60 cm.

O kolik kroků udělala Naďa více?

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod jednotek

Délky kroků jsou uvedené v centimetrech, proto i délku trasy převedeme na centimetry: $2{,}7\ \text{km} = 2\,700\ \text{m} = 270\,000\ \text{cm}$.

Počet kroků

Počet kroků zjistíme dělením délky trasy délkou jednoho kroku. Adam udělal $270\,000 : 75 = 3\,600$ kroků. Naďa udělala $270\,000 : 60 = 4\,500$ kroků.

Porovnání a výsledek

Počty kroků odečteme: $4\,500 - 3\,600 = 900$. Naďa udělala o 900 kroků více než Adam.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

900

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2

Reproduktory byly před Vánocemi zlevněny z původní ceny o 150 korun, což bylo 15 % původní ceny. Po Vánocích je prodejce zlevnil ještě o 200 korun z nové ceny.

O kolik procent byla konečná cena nižší než cena původní?

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Původní cena

Sleva 150 Kč představovala 15 % původní ceny. Jedno procento tedy bylo 150 : 15 = 10 Kč. Původní cena byla 100 · 10 = 1 000 Kč.

Celková sleva

Obě slevy dohromady činily 150 + 200 = 350 Kč. Konečná cena byla 1 000 − 350 = 650 Kč.

Výsledek

Jedno procento původní ceny odpovídá 10 Kč, takže celková sleva 350 Kč představuje 350 : 10 = 35 %. Konečná cena byla oproti původní ceně nižší o 35 %.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

35

Stav úlohy
2 body
Úloha 3.1

Vypočítejte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{3} \right) \div \left( - \frac{5}{3} \right) }{0,3} =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet závorky

Nejdříve vypočítáme výraz v závorce v čitateli. Zlomky převedeme na společného jmenovatele:

$\frac{1}{6} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} - \frac{2}{6} = -\frac{1}{6}$

Dělení v čitateli

Výsledek ze závorky vydělíme zlomkem $-\frac{5}{3}$. Dělit zlomkem znamená násobit jeho převrácenou hodnotou:

$-\frac{1}{6} \div \left( -\frac{5}{3} \right) = -\frac{1}{6} \cdot \left( -\frac{3}{5} \right) = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$

Celkový výsledek

Nyní celý čitatel ($\frac{1}{10}$) vydělíme jmenovatelem ($0,3$). Desetinné číslo $0,3$ si zapíšeme jako zlomek $\frac{3}{10}$:

$\frac{\frac{1}{10}}{0,3} = \frac{1}{10} \div \frac{3}{10} = \frac{1}{10} \cdot \frac{10}{3} = \frac{1}{3}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1/3

Stav úlohy
2 body
Úloha 3.2

Vypočítejte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2}{5} - 1 \right) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet v závorce

Nejdříve vypočítáme hodnotu v závorce. Jedničku si převedeme na zlomek se jmenovatelem 5:
$\frac{2}{5} - 1 = \frac{2}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{3}{5}$

Krok 2: Násobení

Nyní výsledek ze závorky vynásobíme zlomkem $\frac{1}{3}$. Při násobení můžeme krátit trojky v čitateli a jmenovateli:
$\frac{1}{3} \cdot \left( -\frac{3}{5} \right) = -\frac{3}{15} = -\frac{1}{5}$

Krok 3: Sčítání a konečný výsledek

K prvnímu zlomku přičteme vypočítaný výsledek. Zlomky převedeme na společného jmenovatele, kterým je číslo 30:
$\frac{1}{6} + \left( -\frac{1}{5} \right) = \frac{1}{6} - \frac{1}{5} = \frac{5 - 6}{30} = -\frac{1}{30}$
Zlomek $-\frac{1}{30}$ je již v základním tvaru.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-1/30

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.1

Upravte a rozložte na součin vytknutím:

$\displaystyle a \cdot \left( -a \right) -2 ^2 \cdot 3a+6a ^2 =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úprava součinů

Nejdřív vypočítáme jednotlivé součiny: $a\cdot(-a)=-a^2$. Protože $2^2=4$, platí $-2^2\cdot 3a=-4\cdot 3a=-12a$. Výraz tedy upravíme na $-a^2-12a+6a^2$.

Sečtení podobných členů

Sečteme členy s $a^2$: $-a^2+6a^2=5a^2$. Dostaneme $5a^2-12a$.

Vytknutí a výsledek

Oba členy obsahují činitel $a$, který vytkneme před závorku: $5a^2-12a=a(5a-12)$. Výsledný součin je $\boxed{a(5a-12)}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

a(5a-12)

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.2

Umocněte a zjednodušte:

$\displaystyle \left( \frac{1}{3}-4b \right) ^2 =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Umocnění rozdílu

Použijeme vzorec $(a-c)^2=a^2-2ac+c^2$. První člen je $\frac{1}{3}$ a druhý $4b$, tedy $\left(\frac{1}{3}-4b\right)^2=\left(\frac{1}{3}\right)^2-2\cdot\frac{1}{3}\cdot4b+(4b)^2$.

Výpočet jednotlivých členů

Vypočítáme $\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}$, $2\cdot\frac{1}{3}\cdot4b=\frac{8}{3}b$ a $(4b)^2=16b^2$. Dostaneme $\frac{1}{9}-\frac{8}{3}b+16b^2$.

Výsledek

Seřadíme členy podle mocnin $b$. Zjednodušený výraz je $16b^2-\frac{8}{3}b+\frac{1}{9}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1/9-(8/3)b+16b²

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.3

Upravte výraz tak, aby neobsahoval závorky, a zjednodušte:

$\displaystyle \left( 2 {\rm x} +3 \right) ^2 - {\rm x} \cdot 6 - 4 \cdot \left( {\rm x} -1 \right) ^2 =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Umocnění závorek

Použijeme vzorce pro druhou mocninu součtu a rozdílu: $(2x+3)^2=4x^2+12x+9$ a $(x-1)^2=x^2-2x+1$.

Odstranění závorek

Dosadíme a každý člen druhé závorky vynásobíme číslem $-4$: $4x^2+12x+9-6x-4(x^2-2x+1)=4x^2+12x+9-6x-4x^2+8x-4$.

Zjednodušení a výsledek

Sečteme členy stejného druhu. Členy $4x^2-4x^2$ se odečtou, $12x-6x+8x=14x$ a $9-4=5$. Výsledkem je $\boxed{14x+5}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

14x+5

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.1

Řešte rovnice.

$\displaystyle {\rm x} - \frac{ {\rm x} -2}{2}= \frac{2 {\rm x} }{3} -2$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění zlomků

Celou rovnici vynásobíme číslem 6, které je společným násobkem jmenovatelů 2 a 3. Dostaneme $6x - 3(x - 2) = 4x - 12$.

Úprava rovnice

Roznásobíme závorku: $6x - 3x + 6 = 4x - 12$, tedy $3x + 6 = 4x - 12$. Od obou stran odečteme $3x$: $6 = x - 12$. Potom k oběma stranám přičteme 12 a vyjde $18 = x$.

Zkouška

Dosadíme $x = 18$ do původní rovnice. Levá strana: $18 - \frac{18 - 2}{2} = 18 - 8 = 10$. Pravá strana: $\frac{2 \cdot 18}{3} - 2 = 12 - 2 = 10$. Obě strany jsou stejné.

Výsledek

Řešením rovnice je $x = 18$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

18

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.2

Řešte rovnice.

$\displaystyle 2 \cdot \left(3 {\rm x} -2,5 \right) =-5+3 \cdot \left(3 {\rm x} -2 \right)$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění závorek

Každý člen v závorce vynásobíme číslem před závorkou: $6x - 5 = -5 + 9x - 6$. Na pravé straně sečteme čísla a dostaneme $6x - 5 = 9x - 11$.

Úprava rovnice

Od obou stran odečteme $6x$: $-5 = 3x - 11$. Potom k oběma stranám přičteme $11$: $6 = 3x$. Obě strany vydělíme třemi, takže $x = 2$.

Výsledek a zkouška

Dosadíme $x = 2$ do původní rovnice. Levá strana: $2 \cdot (3 \cdot 2 - 2{,}5) = 2 \cdot 3{,}5 = 7$. Pravá strana: $-5 + 3 \cdot (3 \cdot 2 - 2) = -5 + 12 = 7$. Obě strany jsou stejné, proto je řešením $x = 2$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

2

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.1

Ve vnitrostátním rychlíku jsou řazeny vagóny 1. a 2. třídy. Vagónů 2. třídy je dvakrát více než vagónů 1. třídy. V každém vagónu je 10 kupé (oddílů pro cestující). Ve vagónech 1. třídy je v každém kupé šest míst k sezení, ve vagónech 2. třídy osm míst k sezení. Ve všech kupé rychlíku je dohromady 440 míst k sezení.

Kolik vagónů 2. třídy je součástí rychlíku?

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet míst v jednom vagónu

V každém vagónu je 10 kupé. Jeden vagón 1. třídy má $10 \cdot 6 = 60$ míst, jeden vagón 2. třídy má $10 \cdot 8 = 80$ míst.

Sestavení rovnice

Počet vagónů 1. třídy označíme $x$. Vagónů 2. třídy je dvakrát více, tedy $2x$. Dohromady je 440 míst, proto platí $60x + 80 \cdot 2x = 440$.

Řešení rovnice

Sečteme místa obou tříd: $60x + 160x = 440$, tedy $220x = 440$. Vydělíme 220 a dostaneme $x = 2$. Vagóny 1. třídy jsou tedy dva a vagóny 2. třídy jsou $2 \cdot 2 = 4$.

Výsledek a kontrola

Ověříme počet míst: $2 \cdot 60 + 4 \cdot 80 = 120 + 320 = 440$. Vagónů 2. třídy je zároveň dvakrát více než vagónů 1. třídy. Součástí rychlíku jsou 4 vagóny 2. třídy.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

4

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.2

Ve vnitrostátním rychlíku jsou řazeny vagóny 1. a 2. třídy. Vagónů 2. třídy je dvakrát více než vagónů 1. třídy. V každém vagónu je 10 kupé (oddílů pro cestující). Ve vagónech 1. třídy je v každém kupé šest míst k sezení, ve vagónech 2. třídy osm míst k sezení. Ve všech kupé rychlíku je dohromady 440 míst k sezení.

Kolik míst k sezení je dohromady ve vagónech 1. třídy?

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Místa v jednom vagónu

V každém vagónu je 10 kupé. Vagón 1. třídy má $10 \cdot 6 = 60$ míst a vagón 2. třídy má $10 \cdot 8 = 80$ míst.

Počet vagónů 1. třídy

Počet vagónů 1. třídy označíme $x$. Vagónů 2. třídy je $2x$. Celkem je 440 míst, proto platí $60x + 80 \cdot 2x = 440$. Po sečtení dostaneme $220x = 440$, tedy $x = 2$.

Výsledek

Ve dvou vagónech 1. třídy je dohromady $2 \cdot 60 = 120$ míst k sezení. Ověříme: čtyři vagóny 2. třídy mají $4 \cdot 80 = 320$ míst a celkem je $120 + 320 = 440$ míst. Ve vagónech 1. třídy je 120 míst k sezení.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

120

Stav úlohy
2 body
Úloha 7.1

V restauraci nabízejí tři různá obědová menu (polévku, hlavní jídlo a nápoj) označená písmeny A, B a C. Do restaurace přijely tři skupiny turistů po dvaceti lidech. V tabulce jsou uvedeny obědy, které si jednotlivé skupiny objednaly, a kolik za ně zaplatily.

Jaká byla cena oběda B?

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cena oběda A

První skupina si objednala 20 obědů A a zaplatila 4 000 Kč. Jeden oběd A tedy stál 4 000 : 20 = 200 Kč.

Cena deseti obědů B

Druhá skupina si objednala 10 obědů A a 10 obědů B za celkem 4 800 Kč. Za obědy A zaplatila 10 · 200 = 2 000 Kč. Na deset obědů B zbývá 4 800 − 2 000 = 2 800 Kč.

Výsledek a ověření

Jeden oběd B stál 2 800 : 10 = 280 Kč. Ověříme cenu pro druhou skupinu: 10 · 200 + 10 · 280 = 2 000 + 2 800 = 4 800 Kč, což souhlasí s tabulkou.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

280

Stav úlohy
2 body
Úloha 7.2

V restauraci nabízejí tři různá obědová menu (polévku, hlavní jídlo a nápoj) označená písmeny A, B a C. Do restaurace přijely tři skupiny turistů po dvaceti lidech. V tabulce jsou uvedeny obědy, které si jednotlivé skupiny objednaly, a kolik za ně zaplatily.

Jaká byla cena oběda C?

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cena pěti obědů A a pěti obědů B

Druhá skupina zaplatila za 10 obědů A a 10 obědů B celkem 4 800 Kč. Za polovinu těchto obědů, tedy za 5 obědů A a 5 obědů B, zaplatíme $4\,800 : 2 = 2\,400$ Kč.

Cena deseti obědů C

Třetí skupina si objednala 5 obědů A, 5 obědů B a 10 obědů C za 5 400 Kč. Odečteme cenu obědů A a B: $5\,400 - 2\,400 = 3\,000$ Kč. Tolik stojí 10 obědů C.

Výsledek

Cena jednoho oběda C je $3\,000 : 10 = 300$ Kč. Ověříme cenu pro třetí skupinu: $2\,400 + 10 \cdot 300 = 5\,400$ Kč. Oběd C stál 300 Kč.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

300

Stav úlohy
2 body
Úloha 8.1

V prvním grafu je uvedeno průměrné časové rozložení všech denních činností paní Kratochvílové v pracovní den. Ve druhém grafu je zaznamenáno rozložení jejího volného času v pracovní den.

Kolik hodin denně paní Kratochvílová tráví v zaměstnání?

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Údaje z grafu

První graf znázorňuje celý den, tedy 24 hodin. Zaměstnání tvoří 25 % tohoto času.

Výpočet a výsledek

25 % je čtvrtina celku. Proto 24 hodin rozdělíme na čtyři stejné části: $24 : 4 = 6$. Paní Kratochvílová tráví v zaměstnání 6 hodin denně.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

6

Stav úlohy
2 body
Úloha 8.2

V prvním grafu je uvedeno průměrné časové rozložení všech denních činností paní Kratochvílové v pracovní den. Ve druhém grafu je zaznamenáno rozložení jejího volného času v pracovní den.

Kolik minut denně paní Kratochvílová sportuje?

Výsledek zaokrouhlete na celé minuty.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Údaje z grafů

Volný čas tvoří 10 % z celého dne. Sportu paní Kratochvílová věnuje 40 % svého volného času.

Délka volného času

Den má 24 hodin, tedy 24 · 60 = 1 440 minut. Volný čas trvá 10 % z 1 440 minut: 1 440 : 10 = 144 minut.

Čas věnovaný sportu

Ze 144 minut vypočítáme 40 %: 144 · 0,40 = 57,6 minuty.

Výsledek

57,6 minuty zaokrouhlíme na celé minuty nahoru. Paní Kratochvílová sportuje přibližně 58 minut denně.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

58

Stav úlohy
2 body
Úloha 9

V rovině je dána přímka p a body A a S, které neleží na přímce p. Bod A je vrchol obdélníku ABCD, bod S je střed obdélníku (průsečík úhlopříček). Vrchol D obdélníku leží na přímce p.

Sestrojte obdélník ABCD.

Nalezněte všechna řešení.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

  • 1. ↦ AS
  • 2. k; k(S; |SA|)
  • 3. C; ↦ AS ∩ k = {C}
  • 4. D₁; p ∩ k = {D₁}
  • 5. ↦ D₁S
  • 6. B₁; B₁ in ↦ D₁S ∧ |B₁S| = |D₁S|
  • 7. obdelnik AB₁CD₁
  • 8. D₂; p ∩ k = {D₂}
  • 9. ↦ D₂S
  • 10. B₂; B₂ in ↦ D₂S ∧ |B₂S| = |D₂S|
  • 11. obdelnik AB₂CD₂
  • Sestrojení obou řešení.

Sestrojeni prvniho ze dvou reseni.

Sestrojeni poloprimky AS. Poloprimka musi prochazet bodem S s presnosti ±1 mm. Sestrojeni bodu C s presnosti ±1 mm. Sestrojeni Thaletovy kruznice a nasledne nalezeni bodu D s presnosti ±1 mm.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 2. náhradní termín 2024, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 10

V rovině leží body C, S a přímka p. Bod C je vrchol pravoúhlého trojúhelníku ABC. Bod S je střed strany BC tohoto trojúhelníku. Strana AB tohoto trojúhelníku je rovnoběžná s přímkou p.

Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC.

Najděte všechna řešení

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

  • 1. ↦ CS
  • 2. k; k(S; |CS|)
  • 3. B; ↦ CS ∩ k = {B}
  • 4. p'; p' ∥ p ∧ B in p'
  • 5. r; r ⊥ p' ∧ C in r
  • 6. A₁; r ∩ p' = {A₁}
  • 7. trojuhelnik AB₁C
  • 8. m; m ⊥ ↦ CS ∧ C in m
  • 9. A₂; m ∩ p' = {A₂}
  • 10. trojuhelnik AB₂C
  • Sestrojeni druheho ze dvou pravouhych trojuhelniku.

Sestrojeni prvniho ze dvou pravouhych trojuhelniku.

Sestrojeni poloprimky CS. Poloprimka musi prochazet bodem S s presnosti ±1 mm. Sestrojeni bodu B s presnosti ±1 mm. Sestrojeni rovnobezky v bode B s primkou p. Tolerance uhlu narysovane rovnobezky je ±3°.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 2. náhradní termín 2024, úloha 10

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 11

V obchodě prodávají dámská a pánská trička. Ráno před začátkem otevírací doby tvořila dámská trička 60 % z celkového naskladněného množství triček, zbytek byla trička pánská. Přes den se prodalo 45 dámských triček, což je čtvrtina všech dámských triček, která byla v obchodě naskladněna ten den ráno. Pánských triček se ze všech naskladněných pánských triček prodala polovina.

Kolik zůstalo na konci dne v obchodě triček (dámských i pánských dohromady)?

  • A) méně než 200
  • D) 220
  • B) 200
  • E) více než 220
  • C) 210
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet dámských triček ráno

Prodalo se 45 dámských triček, což byla čtvrtina jejich ranního počtu. Ráno tedy bylo v obchodě $45 \cdot 4 = 180$ dámských triček.

Počet pánských triček ráno

Dámská trička tvořila 60 % všech triček. Na 10 % tedy připadalo $180 : 6 = 30$ triček. Pánská trička tvořila zbývajících $100 - 60 = 40$ %, takže jich ráno bylo $30 \cdot 4 = 120$.

Počet zbývajících triček

Dámských triček zůstalo $180 - 45 = 135$. Z pánských triček se prodala polovina, takže druhá polovina zůstala: $120 : 2 = 60$. Dohromady zůstalo $135 + 60 = 195$ triček. To je méně než 200, proto je správně možnost A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 12

Petr přečetl již 1 050 stran knižní série, do konce mu zbývá přečíst ještě 450 stran.

Kolik procent stran knižní série Petrovi zbývá dočíst?

  • A) 27 %
  • D) 40 %
  • B) 30 %
  • E) 43 %
  • C) 33 %
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet stran

Nejdřív sečteme přečtené a zbývající strany: 1 050 + 450 = 1 500. Celá knižní série má 1 500 stran, což je 100 %.

Výpočet procent

Jedno procento odpovídá 1 500 : 100 = 15 stranám. Petrovi zbývá přečíst 450 stran, tedy 450 : 15 = 30 %.

Výsledek

Petrovi zbývá dočíst 30 % stran knižní série. Správná je možnost B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 13

Maminka oškrabe 6 kg brambor za 2 hodiny a 24 minut. Babička oškrabe 2 kg brambor za 1 hodinu a 20 minut. Maminka i babička škrabou brambory stálým tempem.

Za kolik minut oškrabou maminka a babička 1 kg brambor, pokud škrabou obě dohromady?

  • A) za 64 minut
  • D) za 12 minut
  • B) za 32 minut
  • E) jiný výsledek
  • C) za 15 minut
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čas na 1 kg

Maminka oškrabe 6 kg za 2 hodiny a 24 minut, tedy za 144 minut. Na 1 kg potřebuje 144 : 6 = 24 minut. Babička oškrabe 2 kg za 1 hodinu a 20 minut, tedy za 80 minut. Na 1 kg potřebuje 80 : 2 = 40 minut.

Společná práce

Zvolíme 120 minut, což je násobek 24 i 40. Za tuto dobu maminka oškrabe 120 : 24 = 5 kg a babička 120 : 40 = 3 kg. Dohromady tedy za 120 minut oškrabou 5 + 3 = 8 kg brambor.

Výsledek

Obě škrabou stálým tempem, takže čas na 1 kg získáme dělením: 120 : 8 = 15 minut. Společně oškrabou 1 kg brambor za 15 minut, správná je možnost C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 14

Přímky p, r a s se protínají v jednom bodě.

Jaký je součet úhlů α + β + γ?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočítejte (obrázek je ilustrační).

  • A) 126° 30´
  • D) 180°
  • B) 133° 30´
  • E) jiný výsledek
  • C) 143° 30´
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úhly α a γ

Úhel γ a zadaný úhel 126°30′ tvoří dohromady přímý úhel. Proto γ = 180° − 126°30′ = 53°30′. Úhly α a γ jsou vrcholové, takže také α = 53°30′.

Výpočet úhlu β

Pod přímkou p tvoří úhly α, β a vyznačený pravý úhel dohromady 180°. Proto β = 180° − 90° − 53°30′ = 36°30′.

Součet úhlů

Sečteme vypočtené úhly: α + β + γ = 53°30′ + 36°30′ + 53°30′ = 143°30′. Správná je možnost C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.1

V obchodě mají dva druhy jablek. Kilogram jednoho druhu (dražších) jablek stojí 30 Kč, kilogram druhého druhu (levnějších) jablek stojí 25 Kč. Paní Vitamínová koupila x kilogramů jablek, kde x je celé číslo, a zaplatila 330 Kč.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Pokud paní Vitamínová koupila 12 kg jablek, koupila stejná množství obou druhů jablek.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cena levnějších jablek

Kdyby všech 12 kg jablek bylo levnějších, stála by 12 · 25 = 300 Kč. Paní Vitamínová zaplatila o 330 − 300 = 30 Kč více.

Množství obou druhů

Každý kilogram dražších jablek zvýší cenu oproti levnějším o 30 − 25 = 5 Kč. Dražších jablek tedy koupila 30 : 5 = 6 kg. Levnějších jablek zbývá 12 − 6 = 6 kg.

Ověření a rozhodnutí

Za 6 kg od každého druhu zaplatí 6 · 30 + 6 · 25 = 180 + 150 = 330 Kč. Obou druhů tedy koupila stejné množství. Tvrzení je pravdivé, odpověď je A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
1 bod
Úloha 15.2

V obchodě mají dva druhy jablek. Kilogram jednoho druhu (dražších) jablek stojí 30 Kč, kilogram druhého druhu (levnějších) jablek stojí 25 Kč. Paní Vitamínová koupila x kilogramů jablek, kde x je celé číslo, a zaplatila 330 Kč.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Paní Vitamínová mohla koupit jen levnější druh jablek.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hmotnost levnějších jablek

Kdyby paní Vitamínová koupila jen levnější jablka za 25 Kč za kilogram, za 330 Kč by koupila 330 : 25 = 13,2 kg jablek.

Rozhodnutí

Podle zadání je celková hmotnost jablek v kilogramech celé číslo. Číslo 13,2 ale celé není, takže paní Vitamínová nemohla koupit jen levnější jablka. Tvrzení je nepravdivé (N).
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
1 bod
Úloha 15.3

V obchodě mají dva druhy jablek. Kilogram jednoho druhu (dražších) jablek stojí 30 Kč, kilogram druhého druhu (levnějších) jablek stojí 25 Kč. Paní Vitamínová koupila x kilogramů jablek, kde x je celé číslo, a zaplatila 330 Kč.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Pokud chce paní Vitamínová koupit co nejvíce kilogramů jablek, musí koupit právě jeden kilogram drahých jablek.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Největší počet kilogramů

Nejlevnější jablka stojí 25 Kč za kilogram. Za 14 kg by paní Vitamínová zaplatila nejméně 14 · 25 = 350 Kč, což je více než 330 Kč. Proto může koupit nejvýše 13 kg jablek.

Kolik musí být dražších jablek

Pokud by všech 13 kg bylo levnějších, stálo by 13 · 25 = 325 Kč. Do zaplacených 330 Kč zbývá 5 Kč. Nahrazení 1 kg levnějších jablek dražšími zvýší cenu právě o 30 − 25 = 5 Kč. Musí tedy koupit 1 kg dražších a 12 kg levnějších jablek.

Ověření a výsledek

Ověříme cenu: 1 · 30 + 12 · 25 = 330 Kč. Celkem je to 13 kg, tedy největší možný celý počet kilogramů. Tvrzení je pravdivé (A).
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.1

Zvětšíme-li neznámé číslo o 4 %, dostaneme číslo 780.

Jaké je toto neznámé číslo?

  • A) 300
  • D) 750
  • B) 400
  • E) 875
  • C) 720
  • F) jiný výsledek
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení procent

Původní číslo představuje 100 %. Po zvětšení o 4 % dostaneme 104 %. Číslo 780 tedy odpovídá 104 % původního čísla.

Výpočet původního čísla

Nejdřív vypočítáme 1 %: 780 : 104 = 7,5. Potom vypočítáme 100 %: 7,5 · 100 = 750.

Ověření a výsledek

4 % z čísla 750 jsou 7,5 · 4 = 30. Po zvětšení dostaneme 750 + 30 = 780, což souhlasí se zadáním. Neznámé číslo je 750, správná je možnost D.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.2

O kolik procent musíme zvětšit $\displaystyle \frac{1}{8}$ , abychom dostali $\displaystyle \frac{1}{2}$ ?

  • A) 300
  • D) 750
  • B) 400
  • E) 875
  • C) 720
  • F) jiný výsledek
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Porovnání zlomků

Nejdřív převedeme polovinu na osminy: $\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$. Z původní $\frac{1}{8}$ tedy musíme přidat $\frac{4}{8} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$.

Procentní zvětšení

Původní $\frac{1}{8}$ představuje 100 %. Přidané $\frac{3}{8}$ jsou třikrát tolik, proto zvětšení odpovídá $3 \cdot 100\,\% = 300\,\%$.

Výsledek a kontrola

Zlomek musíme zvětšit o 300 %, tedy možnost A. Ověříme: $\frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.3

Máme dvě čerpadla. Jejich výkony jsou v poměru 3:7. Méně výkonné čerpadlo vyčerpá 150 litrů vody za dvě hodiny.

Kolik litrů vody vyčerpá výkonnější čerpadlo za 5 hodin?

  • A) 300
  • D) 750
  • B) 400
  • E) 875
  • C) 720
  • F) jiný výsledek
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výkon méně výkonného čerpadla

Méně výkonné čerpadlo vyčerpá za 2 hodiny 150 litrů. Za 1 hodinu tedy vyčerpá $150 : 2 = 75$ litrů.

Výkon výkonnějšího čerpadla

Výkony jsou v poměru $3 : 7$. Méně výkonnému čerpadlu odpovídají 3 díly, takže 1 díl je $75 : 3 = 25$ litrů za hodinu. Výkonnějšímu čerpadlu odpovídá 7 dílů: $7 \cdot 25 = 175$ litrů za hodinu.

Výsledek za 5 hodin

Za 5 hodin výkonnější čerpadlo vyčerpá $5 \cdot 175 = 875$ litrů vody. Správná odpověď je E: 875 litrů.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy
2 body