Přijímací testy 9. ročník

Podkategorie: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2024

27 úloh

PDF+Klíč

Úloha 1

Pět švadlen, které šijí oblečení, pracují stejným tempem. Tyto švadleny splní danou zakázku za 24 hodin.

Za jakou dobu splní o polovinu větší zakázku čtyři švadleny?

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Práce na původní zakázce

Pět švadlen splní původní zakázku za 24 hodin. Jedna švadlena by při stejném tempu potřebovala pětkrát více času: $5 \cdot 24 = 120$ hodin.

O polovinu větší zakázka

Polovina původní zakázky by jedné švadleně zabrala $120 : 2 = 60$ hodin. Na o polovinu větší zakázku by tedy potřebovala $120 + 60 = 180$ hodin.

Doba pro čtyři švadleny

Čtyři švadleny si práci rozdělí rovnoměrně, takže zakázku splní za $180 : 4 = 45$ hodin. Ověříme: čtyři švadleny za 45 hodin udělají stejnou práci jako jedna za $4 \cdot 45 = 180$ hodin. Zakázku splní za 45 hodin.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2

Skleněné těžítko má tvar rotačního válce s poloměrem podstavy 10 cm a výškou12 cm. Vnější část těžítka je z čirého skla, uvnitř je část z modrého skla, která má také tvar rotačního válce, a to s poloměrem podstavy 5 cm a výškou 8 cm.

Vypočítejte objem čirého skla v těžítku.

Výsledek zaokrouhlete na desítky cm³.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Objem celého těžítka

Objem válce vypočítáme podle vzorce $V = \pi r^2 v$, kde $r$ je poloměr podstavy a $v$ výška. Celé těžítko má objem $V_1 = \pi \cdot 10^2 \cdot 12 = 1200\pi\,\text{cm}^3$.

Objem modrého skla

Vnitřní válec z modrého skla má poloměr 5 cm a výšku 8 cm. Jeho objem je $V_2 = \pi \cdot 5^2 \cdot 8 = 200\pi\,\text{cm}^3$.

Objem čirého skla

Od objemu celého těžítka odečteme objem modrého skla: $V = 1200\pi - 200\pi = 1000\pi\,\text{cm}^3$. To je přibližně $3141{,}59\,\text{cm}^3$. Po zaokrouhlení na desítky je objem čirého skla 3 140 cm³.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

3140

Stav úlohy

2 body

Úloha 3.1

Vypočítejte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \left( 2 \div \frac{3}{2} \right) \div \frac{1}{2} + \left( \frac{5}{6} \div \frac{3}{4} \right) \div \frac{2}{3} =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet první části výrazu

Nejprve vypočítáme první část výrazu před znaménkem plus. Postupujeme podle pravidel pro pořadí operací (nejprve závorka) a dělení zlomkem nahradíme násobením jeho převrácenou hodnotou:

$2 \div \frac{3}{2} = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$
$\frac{4}{3} \div \frac{1}{2} = \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{1} = \frac{8}{3}$

Výpočet druhé části výrazu

Podobně vypočítáme druhou část výrazu za znaménkem plus:

$\frac{5}{6} \div \frac{3}{4} = \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{3} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 3} = \frac{20}{18} = \frac{10}{9}$
$\frac{10}{9} \div \frac{2}{3} = \frac{10}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{10 \cdot 3}{9 \cdot 2} = \frac{30}{18} = \frac{5}{3}$

Sečtení obou částí

Nyní oba výsledky sečteme. Protože mají oba zlomky stejného jmenovatele, stačí sečíst jejich čitatele:
$\frac{8}{3} + \frac{5}{3} = \frac{13}{3}$
Zlomek $\frac{13}{3}$ je již v základním tvaru.

Závěrečný výsledek

Výsledkem je zlomek $\frac{13}{3}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

13/3

Stav úlohy

2 body

Úloha 3.2

Vypočítejte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{13}{10} - 1,4}{\displaystyle \frac{2}{15} + \frac{1}{6} } =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úprava čitatele

Nejdříve vypočítáme hodnotu v čitateli složeného zlomku. Můžeme si zlomek $\frac{13}{10}$ převést na desetinné číslo $1,3$. Potom odečteme:
1,3 - 1,4 = -0,1
Výsledek zapíšeme jako zlomek: $-\frac{1}{10}$

Úprava jmenovatele

Dále vypočítáme hodnotu ve jmenovateli složeného zlomku. Najdeme nejmenší společný násobek čísel 15 a 6, což je 30. Zlomky rozšíříme tak, aby měly společného jmenovatele:
$\frac{2}{15} = \frac{4}{30}$
$\frac{1}{6} = \frac{5}{30}$
Nyní zlomky sečteme:
$\frac{4}{30} + \frac{5}{30} = \frac{9}{30}$
Zlomek $\frac{9}{30}$ zkrátíme třemi na základní tvar: $\frac{3}{10}$

Výpočet složeného zlomku

Složený zlomek vypočítáme tak, že čitatel vydělíme jmenovatelem. Dělení zlomkem nahradíme násobením jeho převrácenou hodnotou:
$-\frac{1}{10} : \frac{3}{10} = -\frac{1}{10} \cdot \frac{10}{3} = -\frac{1}{3}$

Závěr

Výsledný zlomek v základním tvaru je $-\frac{1}{3}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-1/3

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.1

Proveďte úpravu výrazu.

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):
$\displaystyle \left( a - \frac{a}{4} \right) ^2 =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úprava závorky

Nejdřív odečteme členy v závorce. Celé $a$ zapíšeme jako $\frac{4a}{4}$, takže $a - \frac{a}{4} = \frac{4a}{4} - \frac{a}{4} = \frac{3a}{4}$.

Umocnění a výsledek

Potom umocníme čitatele i jmenovatele: $\left(\frac{3a}{4}\right)^2 = \frac{(3a)^2}{4^2} = \frac{9a^2}{16}$. Výsledný výraz bez závorek je

$\frac{9a^2}{16}$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

(9/16)a²

Stav úlohy

1 bod

Úloha 4.2

Proveďte úpravu výrazu.

Rozložte na součin podle vzorce:
$\displaystyle 9a ^2 -16=$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl čtverců

Nejdřív zapíšeme oba členy jako druhé mocniny: $9a^2=(3a)^2$ a $16=4^2$. Výraz tedy má tvar $(3a)^2-4^2$.

Použití vzorce

Použijeme vzorec $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$. Za $x$ dosadíme $3a$ a za $y$ dosadíme $4$. Dostaneme $(3a-4)(3a+4)$.

Ověření a výsledek

Roznásobením ověříme: $(3a-4)(3a+4)=9a^2+12a-12a-16=9a^2-16$. Výsledek je tedy $\boxed{(3a-4)(3a+4)}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

(3a-4)·(3a+4)

Stav úlohy

1 bod

Úloha 4.3

Proveďte úpravu výrazu.

Zjednodušte a výsledek rozložte na součin vytýkáním:
$\displaystyle \left( c -5 \right) \cdot \left( 2-3c \right) - \left( c-2c \right) \cdot 3c-c \cdot 7=$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Roznásobení závorek

Nejdřív upravíme $c-2c=-c$. Roznásobíme první závorky a dáme pozor na znaménko před druhým součinem: $-(c-2c)\cdot 3c=-(-c)\cdot 3c=3c^2$. Celý výraz tedy je $2c-3c^2-10+15c+3c^2-7c$.

Sloučení stejných členů

Členy $-3c^2$ a $+3c^2$ se navzájem vyruší. Členy s $c$ sečteme: $2c+15c-7c=10c$. Zjednodušený výraz je $10c-10$.

Vytknutí a výsledek

Oba členy mají společný činitel $10$, který vytkneme před závorku: $10c-10=10(c-1)$. Výsledkem je $10(c-1)$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

10(c-1)

Stav úlohy

2 body

Úloha 5.1

Řešte rovnici.

$\displaystyle -2 \cdot \left( {\rm x} +4 \right) - 3 \cdot \left( {\rm x} + 1 \right) ^2 = {\rm x} \cdot \left( 2-3 {\rm x} \right)$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Roznásobení závorek

Nejdřív použijeme vzorec $(x+1)^2=x^2+2x+1$ a roznásobíme závorky. Záporným číslem násobíme každý člen v závorce:
$-2x-8-3x^2-6x-3=2x-3x^2$.

Úprava rovnice

Na levé straně sečteme členy s $x$ a čísla:
$-3x^2-8x-11=2x-3x^2$.
K oběma stranám přičteme $3x^2$, takže zbývá $-8x-11=2x$.

Výpočet neznámé

K oběma stranám přičteme $8x$ a dostaneme $-11=10x$. Potom obě strany vydělíme deseti:
$x=-\frac{11}{10}=-1{,}1$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme $x=-1{,}1$ do původní rovnice. Levá strana je $-2\cdot2{,}9-3\cdot(-0{,}1)^2=-5{,}8-0{,}03=-5{,}83$. Pravá strana je $(-1{,}1)\cdot(2+3{,}3)=-5{,}83$. Obě strany jsou stejné, proto je řešením $x=-1{,}1$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-1,1

Stav úlohy

2 body

Úloha 5.2

Řešte rovnici.

$\displaystyle 6- \frac{3-2 {\rm y} }{5} \cdot 2=4 {\rm y}$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění zlomku

Celou rovnici vynásobíme pěti, abychom odstranili jmenovatel: $30-2(3-2y)=20y$.

Odstranění závorky

Závorku roznásobíme číslem $-2$. Dostaneme $30-6+4y=20y$, tedy $24+4y=20y$.

Výpočet neznámé

Od obou stran odečteme $4y$: $24=16y$. Potom obě strany vydělíme šestnácti: $y=\frac{24}{16}=\frac{3}{2}=1{,}5$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme $y=1{,}5$. Levá strana je $6-\frac{3-2\cdot1{,}5}{5}\cdot2=6$, pravá strana je $4\cdot1{,}5=6$. Obě strany jsou stejné, takže řešením je $y=1{,}5$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

3/2

Stav úlohy

2 body

Úloha 6.1

Pravoúhlý lichoběžník ABCD se základnami AB a CD má pravý úhel při vrcholu B. Základna AB má délku 40 cm, základna CD délku 28 cm a úhlopříčka AC délku 41 cm.

Vypočítejte obsah lichoběžníku ABCD.

Výsledek uveďte v cm².

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výška lichoběžníku

Trojúhelník ABC je pravoúhlý při vrcholu B. Úhlopříčka AC je jeho přepona a rameno BC je výškou lichoběžníku. Podle Pythagorovy věty: $BC^2 = AC^2 - AB^2 = 41^2 - 40^2 = 1681 - 1600 = 81$. Proto je výška $v = BC = 9$ cm.

Obsah lichoběžníku

Obsah vypočítáme jako součet délek základen krát výška, děleno dvěma: $S = \frac{(AB + CD) \cdot v}{2} = \frac{(40 + 28) \cdot 9}{2} = \frac{612}{2} = 306$ cm².

Výsledek

Obsah lichoběžníku ABCD je 306 cm².

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

306 cm²

Stav úlohy

2 body

Úloha 6.2

Pravoúhlý lichoběžník ABCD se základnami AB a CD má pravý úhel při vrcholu B. Základna AB má délku 40 cm, základna CD délku 28 cm a úhlopříčka AC délku 41 cm.

Vypočítejte délku ramene AD.

Výsledek uveďte v cm.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výška lichoběžníku

Trojúhelník ABC je pravoúhlý při vrcholu B. Úhlopříčka AC je jeho přepona. Podle Pythagorovy věty platí $BC^2 = 41^2 - 40^2 = 1681 - 1600 = 81$, tedy $BC = 9\,\text{cm}$. To je také výška lichoběžníku.

Rozdíl délek základen

Z vrcholu D vedeme kolmici k základně AB a její patu označíme E. Čtyřúhelník EBCD je obdélník, proto $EB = CD = 28\,\text{cm}$ a $DE = BC = 9\,\text{cm}$. Zbývající část základny má délku $AE = 40 - 28 = 12\,\text{cm}$.

Délka ramene AD

V pravoúhlém trojúhelníku AED je rameno AD přeponou. Podle Pythagorovy věty $AD^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$, tedy $AD = 15\,\text{cm}$. Rameno AD má délku 15 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

15 cm

Stav úlohy

2 body

Úloha 7.1

Žáci třídy 8. B se dělí na dvě skupiny podle toho, zda chodí na němčinu nebo na angličtinu. V obou skupinách je stejný počet žáků. Ve třídě je 14 chlapců a 5 z nich chodí na angličtinu. Na němčinu chodí 4 dívky.

Kolik dívek celkem chodí na angličtinu?

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet žáků na němčině

Z celkem 14 chlapců chodí 5 na angličtinu, takže na němčinu chodí $14 - 5 = 9$ chlapců. Spolu se 4 dívkami je na němčině $9 + 4 = 13$ žáků.

Počet žáků na angličtině

V obou skupinách je stejný počet žáků. Na angličtinu tedy také chodí 13 žáků.

Počet dívek na angličtině

Z 13 žáků na angličtině je 5 chlapců. Dívek je tedy $13 - 5 = 8$. Na angličtinu chodí celkem 8 dívek.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 7.2

Kolik má třída 8. B celkem žáků?

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Chlapci na němčině

Ve třídě je 14 chlapců a 5 z nich chodí na angličtinu. Na němčinu tedy chodí zbývajících $14 - 5 = 9$ chlapců.

Počet žáků ve skupině

Na němčinu chodí také 4 dívky. V německé skupině je dohromady $9 + 4 = 13$ žáků. Stejný počet žáků je i v anglické skupině.

Celkový počet žáků

Obě skupiny dohromady mají $13 + 13 = 26$ žáků. Třída 8. B má celkem 26 žáků.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 8.1

Šedý obrazec je ohraničen úsečkou délky 20 cm a dvěma shodnými čtvrtkružnicemi.

Vypočítejte obsah šedého obrazce.

Výsledek uveďte v cm² a zaokrouhlete ho na celé cm².

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Poloměr čtvrtkružnic

Středy čtvrtkružnic leží v dolních rozích pomocného obdélníku. Oblouky se setkávají uprostřed jeho dolní strany, takže poloměr každé čtvrtkružnice je $r = 20 : 2 = 10\,\text{cm}$. Výška obdélníku je také 10 cm.

Obsah šedého obrazce

Od obsahu obdélníku odečteme obsahy dvou bílých čtvrtkruhů. Obdélník má obsah $20 \cdot 10 = 200\,\text{cm}^2$. Dva čtvrtkruhy mají dohromady obsah $2 \cdot \frac{\pi \cdot 10^2}{4} = 50\pi\,\text{cm}^2$. Šedý obrazec má tedy obsah $S = 200 - 50\pi\,\text{cm}^2$.

Zaokrouhlení a výsledek

Vypočítáme $200 - 50\pi \doteq 42{,}92$. Po zaokrouhlení na celé cm² je obsah šedého obrazce 43 cm².

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

43 cm²

Stav úlohy

2 body

Úloha 8.2

Šedý obrazec je ohraničen úsečkou délky 20 cm a dvěma shodnými čtvrtkružnicemi.

Vypočítejte obvod šedého obrazce.

Výsledek uveďte v cm a zaokrouhlete ho na celé cm.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení poloměru

Středy čtvrtkružnic leží v dolních rozích pomocného obdélníku. Oblouky se setkávají uprostřed jeho dolní strany, která má stejně jako horní strana délku 20 cm. Poloměr každé čtvrtkružnice je tedy $r = 20 : 2 = 10\ \text{cm}$.

Délka oblouků

Dvě shodné čtvrtkružnice mají dohromady délku poloviny obvodu kružnice. Jejich celková délka je $\frac{2\pi r}{2} = \pi r = 10\pi\ \text{cm}$.

Obvod a zaokrouhlení

K délce oblouků přičteme délku rovné úsečky: $o = 20 + 10\pi \doteq 51{,}4\ \text{cm}$. Po zaokrouhlení na celé centimetry je obvod šedého obrazce 51 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

51 cm

Stav úlohy

2 body

Úloha 9

V rovině leží body C a S. Bod C je vrchol rovnostranného trojúhelníku ABC. Bod S je středem strany AB.

Sestrojte vrcholy A, B rovnostranného trojúhelníku ABC a trojúhelník narýsujte.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

3 body: Sestrojení kolmice AB dle pokynů výše. Oba vrcholy A a B jsou v oblastech tolerance.
2 body: Sestrojení kolmice AB dle pokynů výše. Právě jeden vrchol A nebo B je v oblasti tolerance.
1 bod: Sestrojení kolmice AB k úsečce CS. Kolmice musí procházet bodem S s přesností ±1 mm. Tolerance úhlu kolmice v bodě S jsou ±3°.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2024, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 10

V rovině leží přímka AE a přímka p procházející bodem E. Bod A je vrchol obdélníku ABCD. Vrchol B leží na přímce AE a vrchol C na přímce p. Úhlopříčka BD obdélníku ABCD má stejnou délku jako úsečka AE.

Sestrojte vrcholy B, C, D obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Dílčí body se sčítají, nejvýše do 3 bodů.

+1 bod: Sestrojení bodu C.
+1 bod: Sestrojení bodu B nebo D.
+1 bod: Sestrojení obdélníku ABCD.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2024, úloha 10

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 11

V rovině leží přímky p, q a r, jejichž průsečíky tvoří vrcholy trojúhelníku ABC. Jsou dány úhly β = 23o a δ = 107o.

Jaká je velikost rozdílu úhlů γ – α?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočítejte (obrázek je ilustrační).

A) 10°
D) 13°
B) 11°
E) jiná velikost
C) 12°

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vedlejší úhly u vrcholu A

Úhly α a δ jsou vedlejší, proto je jejich součet 180°. Nejdřív vypočítáme α = 180° − 107° = 73°.

Součet úhlů v trojúhelníku

Vnitřní úhly trojúhelníku ABC mají dohromady 180°. Známe α = 73° a β = 23°, takže γ = 180° − 73° − 23° = 84°. Ověříme: 73° + 23° + 84° = 180°.

Výsledný rozdíl

Požadovaný rozdíl je γ − α = 84° − 73° = 11°. Správná je možnost B.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 12

Obrazec je možné rozstříhat na 7 shodných rovnoramenných trojúhelníků. Obvod jednoho takového trojúhelníku je 30 cm.

Jaký je obvod obrazce?

A) 55 cm
D) 72 cm
B) 60 cm
E) 90 cm
C) 66 cm

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vztah délek stran

Prostřední trojúhelník má vrchol uprostřed dolní strany obrazce. Každá jeho šikmá strana je rozdělena na dvě úsečky, které jsou také stranami některých ze shodných trojúhelníků. Obě úsečky jsou kratší než celá šikmá strana. Shodné rovnoramenné trojúhelníky mají jen dvě různé délky stran, takže oba díly mají stejnou kratší délku. Dvě šikmé strany prostředního trojúhelníku jsou tedy ramena a každé rameno je dvakrát delší než základna.

Délky stran trojúhelníku

Obvod jednoho trojúhelníku tvoří pět stejných dílů: základna jeden díl a každé rameno dva díly. Základna proto měří $30 : 5 = 6$ cm. Každé rameno měří $2 \cdot 6 = 12$ cm.

Strany na obvodu obrazce

Horní vodorovná strana je základnou prostředního trojúhelníku. Dvě horní šikmé strany jsou rameny horních krajních trojúhelníků a každá polovina dolní strany je ramenem dolního krajního trojúhelníku. U každého bočního trojúhelníku tak obě vnitřní strany tvoří ramena, takže jeho vnější krátká strana je základnou. Na obvodu obrazce tedy počítáme tři základny a čtyři ramena. Vnitřní přerušované čáry do obvodu nepatří.

Výsledek

Obvod obrazce je $3 \cdot 6 + 4 \cdot 12 = 18 + 48 = 66$ cm. Správná odpověď je C: 66 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 13

Máme shodné čtverce A a B. Čtverec A je rozdělen na dva shodné obdélníky, čtverec B na pět shodných obdélníků. Obvod jednoho ze dvou obdélníků ve čtverci A je o 6 cm větší než obvod jednoho z pěti obdélníků ve čtverci B.

Jaký je obvod jednoho ze čtverců A nebo B?

A) 40 cm
D) 96 cm
B) 72 cm
E) 128 cm
C) 80 cm

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry obdélníků

Stranu obou shodných čtverců označíme $a$. Podle obrázku má každý obdélník ve čtverci A strany $a$ a $\frac{a}{2}$, ve čtverci B strany $a$ a $\frac{a}{5}$. Obvod obdélníku v A je tedy $2\cdot(a+\frac{a}{2})=3a$, v B je $2\cdot(a+\frac{a}{5})=\frac{12a}{5}$.

Výpočet strany čtverce

Obvody obdélníků se liší o 6 cm, proto platí $3a-\frac{12a}{5}=6$. Po převedení na společného jmenovatele dostaneme $\frac{15a-12a}{5}=6$, tedy $\frac{3a}{5}=6$. Vynásobíme pěti a vydělíme třemi: $a=10$ cm.

Obvod čtverce a ověření

Obvod jednoho čtverce je $4\cdot10=40$ cm. Ověříme rozdíl: obdélník v A má obvod $2\cdot(10+5)=30$ cm a obdélník v B má obvod $2\cdot(10+2)=24$ cm. Rozdíl je opravdu 6 cm. Obvod čtverce je 40 cm, správně je možnost A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 14

Vynásobíme-li neznámé číslo dvěma a odečteme-li od výsledku 135, získáme polovinu hodnoty neznámého čísla.

Jaká je hodnota neznámého čísla?

A) 270
D) 90
B) 170
E) jiný výsledek
C) 135

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Sestavení rovnice

Neznámé číslo označíme $x$. Jeho dvojnásobek je $2x$ a jeho polovina je $\frac{x}{2}$. Podle zadání platí $2x - 135 = \frac{x}{2}$.

Vyřešení rovnice

Celou rovnici vynásobíme dvěma: $4x - 270 = x$. Od obou stran odečteme $x$ a přičteme 270: $3x = 270$. Vydělíme třemi a dostaneme $x = 90$.

Ověření a výsledek

Ověříme: $2 \cdot 90 - 135 = 180 - 135 = 45$. Polovina čísla 90 je také 45, takže zadání platí. Neznámé číslo je 90, správná odpověď je D.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.1

Půdorys domu má tvar obdélníku. Šířka domu je 10 metrů. V plánu je tato šířka vyznačena úsečkou o délce 10 cm. Délka domu je v plánu zakreslena jako úsečka o délce 2 dm.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Měřítko plánu je 1 : 1 000.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na stejné jednotky

Šířka domu je ve skutečnosti 10 m = 1 000 cm. V plánu má stejná šířka délku 10 cm.

Určení měřítka

Měřítko je poměr délky v plánu ke skutečné délce. Obě délky máme v centimetrech, takže poměr je 10 : 1 000. Obě čísla vydělíme 10 a dostaneme měřítko 1 : 100.

Výsledek

Měřítko plánu je 1 : 100. Tvrzení, že měřítko je 1 : 1 000, je nepravdivé. Odpověď je N.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 15.2

Půdorys domu má tvar obdélníku. Šířka domu je 10 metrů. V plánu je tato šířka vyznačena úsečkou o délce 10 cm. Délka domu je v plánu zakreslena jako úsečka o délce 2 dm.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Skutečná délka domu je 20 m.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Měřítko plánu

Šířka 10 cm v plánu odpovídá skutečné šířce 10 m. Každému 1 cm v plánu tedy odpovídá 1 m ve skutečnosti.

Převod délky v plánu

Délka domu je v plánu 2 dm. Převedeme ji na centimetry: 2 dm = 20 cm.

Skutečná délka domu

Protože 1 cm v plánu odpovídá 1 m ve skutečnosti, 20 cm odpovídá 20 m. Skutečná délka domu je tedy 20 m a tvrzení je pravdivé (A).

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

1 bod

Úloha 15.3

Půdorys domu má tvar obdélníku. Šířka domu je 10 metrů. V plánu je tato šířka vyznačena úsečkou o délce 10 cm. Délka domu je v plánu zakreslena jako úsečka o délce 2 dm.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah obdélníku na plánu a obsah půdorysu domu jsou v poměru 1 : 100.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry domu a plánu

Šířka domu je 10 m = 1 000 cm, v plánu má 10 cm. Skutečné rozměry jsou tedy 100krát větší než rozměry v plánu. Délka v plánu je 2 dm = 20 cm, takže skutečná délka domu je 20 × 100 = 2 000 cm.

Porovnání obsahů

Obsah obdélníku v plánu je 10 × 20 = 200 cm². Obsah půdorysu domu je 1 000 × 2 000 = 2 000 000 cm². Oba obsahy máme ve stejných jednotkách, a proto je můžeme porovnat: 200 : 2 000 000 = 1 : 10 000.

Výsledek

Poměr obsahů je 1 : 10 000. Tvrzení, že je tento poměr 1 : 100, je nepravdivé. Odpověď je N.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.1

Pan Novák si vypůjčil 20 000 Kč na jeden rok. Po roce vrátí věřiteli vypůjčenou částku, a navíc mu zaplatí úrok ve výši 13,5 % z vypůjčené částky.

Kolik korun celkem věřiteli vrátí?

A) 22 700 Kč
D) 20 000 Kč
B) 21 350 Kč
E) 19 800 Kč
C) 21 250 Kč
F) jiný výsledek

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet jednoho procenta

Vypůjčených 20 000 Kč představuje 100 %. Nejdřív vypočítáme 1 %: 20 000 : 100 = 200 Kč.

Výpočet úroku

Úrok je 13,5 % z vypůjčené částky. Vypočítáme ho jako 13,5 · 200 = 2 700 Kč.

Celková vrácená částka

K vypůjčené částce přičteme úrok: 20 000 + 2 700 = 22 700 Kč. Pan Novák celkem vrátí 22 700 Kč, tedy odpověď A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 16.2

Paní Dlouhá na začátku roku vložila do banky 1 000 000 Kč s roční úrokovou sazbou 2,5 %. Výnosy z úroků jsou zdaněny srážkovou daní.

Kolik korun získá paní Dlouhá navíc ke svému vkladu za jeden rok, bude-li jí odečtena daň z úroků 15 %?

A) 22 700 Kč
D) 20 000 Kč
B) 21 350 Kč
E) 19 800 Kč
C) 21 250 Kč
F) jiný výsledek

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Roční úrok

Nejdřív vypočítáme úrok za jeden rok: 1 000 000 · 0,025 = 25 000 Kč.

Daň z úroku

Daň se počítá pouze z úroku. Z částky 25 000 Kč odečteme 15 %: 25 000 · 0,15 = 3 750 Kč.

Výsledek

Po odečtení daně zbývá 25 000 − 3 750 = 21 250 Kč. Tolik paní Dlouhá získá navíc ke svému vkladu za jeden rok. Správná odpověď je C.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 16.3

Kolo v obchodě stálo 20 000 Kč. Nejdříve bylo zlevněno o 10 % z původní ceny, po měsíci bylo zdraženo o 10 % z nové ceny.

Jaká byla výsledná cena kola po zlevnění i zdražení?

A) 22 700 Kč
D) 20 000 Kč
B) 21 350 Kč
E) 19 800 Kč
C) 21 250 Kč
F) jiný výsledek

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zlevnění kola

Nejdřív vypočítáme 10 % z původní ceny: 20 000 : 10 = 2 000 Kč. Po zlevnění kolo stálo 20 000 − 2 000 = 18 000 Kč.

Zdražení z nové ceny

Zdražení o 10 % počítáme z nové ceny 18 000 Kč. Zvýšení ceny je tedy 18 000 : 10 = 1 800 Kč. Potom tuto částku přičteme: 18 000 + 1 800 = 19 800 Kč.

Výsledná cena

Výsledná cena kola je 19 800 Kč, tedy odpověď E. Sleva byla 2 000 Kč, ale zdražení jen 1 800 Kč, protože se počítalo z nižší ceny.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body