Načítání…
Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 9. ročník

Podkategorie: Matematika 9. ročník — 1. náhradní termín 2024

27 úloh

PDF+Klíč
Úloha 1

Města Jihlava a Třebíč mají dohromady 86 200 obyvatel. Jihlava má o 16 000 obyvatel více.

Kolik obyvatel má Třebíč?

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odečtení rozdílu

Jihlava má o 16 000 obyvatel více než Třebíč. Když tento rozdíl odečteme od celkového počtu, zbude dvojnásobek počtu obyvatel Třebíče: 86 200 − 16 000 = 70 200.

Rozdělení na dvě stejné části

Počet obyvatel Třebíče tedy získáme dělením dvěma: 70 200 : 2 = 35 100.

Ověření a výsledek

Jihlava má 35 100 + 16 000 = 51 100 obyvatel. Dohromady mají obě města 35 100 + 51 100 = 86 200 obyvatel, což souhlasí se zadáním. Třebíč má 35 100 obyvatel.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

35 100

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2

Dvě válcové nádoby A a B mají stejnou výšku v = 20 cm. Nádoba A má průměr podstavy d₁ = 10 cm, nádoba B má průměr podstavy d₂ = 20 cm. Nádoba A je naplněna až po okraj vodou, nádoba B je prázdná.

Do jaké výšky bude sahat voda v nádobě B, pokud všechnu vodu z nádoby A přelijeme do nádoby B?

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Poloměry podstav

Poloměr je polovina průměru. Nádoba A má poloměr podstavy $r_1 = 10 : 2 = 5$ cm a nádoba B má poloměr podstavy $r_2 = 20 : 2 = 10$ cm.

Objem přelévané vody

Nádoba A je plná, proto objem vody vypočítáme jako objem válce: $V = \pi r_1^2 v = \pi \cdot 5^2 \cdot 20 = 500\pi$ cm³. Obsah podstavy nádoby B je $S_B = \pi r_2^2 = \pi \cdot 10^2 = 100\pi$ cm².

Výška vody v nádobě B

Při přelití zůstane objem vody stejný. Výšku vody získáme vydělením objemu obsahem podstavy: $h = V : S_B = 500\pi : 100\pi = 5$ cm. Podstava nádoby B je čtyřikrát větší než podstava nádoby A, takže výška vody je čtvrtinová: $20 : 4 = 5$ cm. Voda v nádobě B bude sahat do výšky 5 cm.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

5

Stav úlohy
2 body
Úloha 3.1

Vypočítejte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{7}{5} +3,3- \frac{1}{2} }{\displaystyle \frac{1}{15} + \frac{1}{3} } =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Nejdříve vypočítáme výraz v čitateli. Převedeme vše na zlomky se společným jmenovatelem 10:
$\frac{7}{5} + 3,3 - \frac{1}{2} = \frac{14}{10} + \frac{33}{10} - \frac{5}{10} = \frac{14 + 33 - 5}{10} = \frac{42}{10}$
Zlomek můžeme vykrátit dvěma na základní tvar: $\frac{21}{5}$.

Výpočet jmenovatele

Poté vypočítáme výraz ve jmenovateli. Společným jmenovatelem pro 15 a 3 je číslo 15:
$\frac{1}{15} + \frac{1}{3} = \frac{1}{15} + \frac{5}{15} = \frac{6}{15}$
Zlomek vykrátíme třemi na základní tvar: $\frac{2}{5}$.

Celkový výpočet

Nyní vydělíme čitatel jmenovatelem (složený zlomek):
$\frac{\frac{21}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{21}{5} \cdot \frac{5}{2}$
Po vykrácení čísla 5 dostáváme konečný výsledek: $\frac{21}{2}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

21/2

Stav úlohy
2 body
Úloha 3.2

Vypočítejte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \div \frac{5}{6} \right) - \frac{7}{2} + \frac{3}{5} \div \frac{3}{2} -1 =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet závorky a dělení

Nejdříve vypočítáme výraz v závorce. Přednost má dělení zlomků, které převedeme na násobení převrácenou hodnotou:
$\frac{1}{3} \div \frac{5}{6} = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$
Poté v závorce sečteme:
$\frac{1}{2} + \frac{2}{5} = \frac{5 + 4}{10} = \frac{9}{10}$

Výpočet druhého dělení

Dále vypočítáme druhé dělení v celém výrazu:
$\frac{3}{5} \div \frac{3}{2} = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

Konečný výpočet

Dosadíme dílčí výsledky zpět do příkladu a vše převedeme na společného jmenovatele 10:
$\frac{9}{10} - \frac{7}{2} + \frac{2}{5} - 1 = \frac{9 - 35 + 4 - 10}{10} = -\frac{32}{10}$

Základní tvar

Zlomek $-\frac{32}{10}$ vykrátíme dvěma, abychom dostali výsledek v základním tvaru:
$-\frac{32}{10} = -\frac{16}{5}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-16/5

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.1

Umocněte a zjednodušte.

Výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.
$\displaystyle \left( \frac{b}{3}-3b \right) ^2$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úprava závorky

Nejdřív převedeme oba členy na společného jmenovatele 3: $\frac{b}{3}-3b=\frac{b}{3}-\frac{9b}{3}=\frac{-8b}{3}$.

Umocnění zlomku

Potom umocníme čitatele i jmenovatele. Druhá mocnina záporného výrazu je kladná: $\left(\frac{-8b}{3}\right)^2=\frac{(-8b)^2}{3^2}=\frac{64b^2}{9}$.

Výsledek

Čísla 64 a 9 nemají společného dělitele většího než 1, takže zlomek už nelze krátit. Výsledek v základním tvaru je $\boxed{\frac{64b^2}{9}}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

(64/9)b²

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.2

Upravte a výsledný výraz rozložte na součin pomocí vzorců:

$\displaystyle 5- \left( 1- {\rm x} ^2 \right) - {\rm x} \cdot 2 {\rm x} =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění závorky a násobení

Nejdřív odstraníme závorku. Minus před závorkou změní znaménka obou členů: $-(1-x^2)=-1+x^2$. Potom vynásobíme $x\cdot 2x=2x^2$. Dostaneme $5-1+x^2-2x^2$.

Sečtení podobných členů

Sečteme čísla a členy s $x^2$: $5-1=4$ a $x^2-2x^2=-x^2$. Upravený výraz je tedy $4-x^2$.

Rozklad na součin

Protože $4=2^2$, použijeme vzorec $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Výsledek je $4-x^2=\boxed{(2-x)(2+x)}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

(2+x).(2-x)

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.3

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle \left( c-7 \right) \cdot \left( c-7 \right) - \left(c-5 \right) \cdot 3c+c \cdot \left( c+c \right)=$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Roznásobení závorek

Nejdřív roznásobíme jednotlivé součiny: $(c-7)(c-7)=c^2-7c-7c+49=c^2-14c+49$, $(c-5)\cdot 3c=3c^2-15c$ a $c(c+c)=2c^2$. Druhý součin odčítáme, proto u obou jeho členů změníme znaménka. Celý výraz pak má tvar $c^2-14c+49-3c^2+15c+2c^2$.

Sečtení stejných členů

Sečteme členy se stejnou mocninou proměnné: $c^2-3c^2+2c^2=0$ a $-14c+15c=c$. Číslo $49$ zůstává.

Výsledek

Výsledný výraz bez závorek je $c+49$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

c+49

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.1

Řešte rovnice.

$\displaystyle \left( {\rm x} + \frac{1}{2} {\rm x} \right) \cdot 2= \left( {\rm x} + \frac{1}{6} {\rm x} \right) \cdot 2+6$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění závorek

Vynásobíme každý člen v závorkách dvěma: $2x+x=2x+\frac{x}{3}+6$.

Odstranění zlomku

Od obou stran odečteme $2x$: $x=\frac{x}{3}+6$. Potom celou rovnici vynásobíme třemi: $3x=x+18$.

Výpočet neznámé

Od obou stran odečteme $x$: $2x=18$. Obě strany vydělíme dvěma a dostaneme $x=9$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme $x=9$ do původní rovnice. Levá strana: $(9+4{,}5)\cdot2=27$. Pravá strana: $(9+1{,}5)\cdot2+6=27$. Obě strany jsou stejné, takže řešením je $x=9$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

9

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.2

Řešte rovnice.

$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( {\rm x} +2 \right) - \left( {\rm x} -2 \right) ^2 =6- {\rm x} ^2$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Roznásobení závorek

Nejdřív roznásobíme závorky. Platí $(x-2)^2=x^2-4x+4$. Před druhou závorkou je minus, proto při jejím odstranění změníme všechna znaménka: $\frac{x}{2}+1-x^2+4x-4=6-x^2$.

Zjednodušení rovnice

K oběma stranám přičteme $x^2$, čímž se členy $-x^2$ zruší. Sečteme členy s neznámou a čísla: $\frac{9x}{2}-3=6$.

Výpočet neznámé

K oběma stranám přičteme 3: $\frac{9x}{2}=9$. Potom obě strany vynásobíme 2 a vydělíme 9: $9x=18$, tedy $x=2$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme $x=2$ do původní rovnice. Levá strana je $\frac{1}{2}\cdot(2+2)-(2-2)^2=2$, pravá strana je $6-2^2=2$. Obě strany se rovnají, takže řešením je $x=2$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

2

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.1

Pravoúhlý lichoběžník ABCD se základnami AB a CD a s pravým úhlem při vrcholu D je úhlopříčkou AC rozdělen na dva trojúhelníky ABC a ACD. Pro délky stran platí: |AB| = 16 cm, |CD| = 6 cm. Obsah trojúhelníku ABC je 64 cm².

Vypočítejte výšku lichoběžníku ABCD.

Výsledek uveďte v cm.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení výšky

Základny AB a CD jsou rovnoběžné. Kolmá vzdálenost vrcholu C od základny AB je proto zároveň výškou lichoběžníku i výškou trojúhelníku ABC k jeho straně AB.

Výpočet výšky

Obsah trojúhelníku je polovina součinu délky strany a příslušné výšky: $S = \frac{a \cdot v}{2}$. Pro stranu AB dlouhou 16 cm a obsah 64 cm² tedy výšku vypočítáme: $v = \frac{2 \cdot 64}{16} = 8\,\text{cm}$.

Výsledek

Výška lichoběžníku ABCD je 8 cm. Ověříme obsah trojúhelníku ABC: $16 \cdot 8 : 2 = 64\,\text{cm}^2$, což odpovídá zadání.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

8 cm

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.2

Pravoúhlý lichoběžník ABCD se základnami AB a CD a s pravým úhlem při vrcholu D je úhlopříčkou AC rozdělen na dva trojúhelníky ABC a ACD. Pro délky stran platí: |AB| = 16 cm, |CD| = 6 cm. Obsah trojúhelníku ABC je 64 cm².

Vypočítejte obsah lichoběžníku ABCD.

Výsledek uveďte v cm².

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výška lichoběžníku

Trojúhelník ABC má základnu AB dlouhou 16 cm a stejnou výšku jako lichoběžník, protože základny AB a CD jsou rovnoběžné. Obsah trojúhelníku je polovina součinu základny a výšky, proto výšku vypočítáme: $v = 2 \cdot 64 : 16 = 8\,\text{cm}$.

Obsah lichoběžníku

Sečteme délky obou základen, součet vynásobíme výškou a vydělíme dvěma: $S = \frac{(16 + 6) \cdot 8}{2} = \frac{176}{2} = 88\,\text{cm}^2$. Obsah lichoběžníku ABCD je 88 cm².
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

88 cm²

Stav úlohy
2 body
Úloha 7.1

V parku jsou 3 okrasné záhony. První a třetí záhon o stejné velikosti mají tvar čtvrtkruhu, druhý záhon má tvar kruhu. Každý ze tří záhonů má obsah 314 dm².

Vypočítejte obvod druhého (kruhového) záhonu.

Výsledek uveďte v celých metrech.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Poloměr kruhového záhonu

Druhý záhon má obsah 314 dm². Použijeme vzorec pro obsah kruhu $S = \pi r^2$ a $\pi \approx 3{,}14$. Vypočítáme $r^2 = 314 : 3{,}14 = 100$, takže poloměr je 10 dm.

Výpočet obvodu

Obvod kruhu vypočítáme podle vzorce $o = 2\pi r$. Dosadíme: $o \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 10 = 62{,}8$ dm. Protože 10 dm = 1 m, je obvod 6,28 m.

Výsledek v celých metrech

Obvod 6,28 m zaokrouhlíme na celé metry. Desetinná část je menší než 0,5, proto zaokrouhlíme dolů. Obvod druhého záhonu je přibližně 6 m.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

6

Stav úlohy
2 body
Úloha 7.2

V parku jsou 3 okrasné záhony. První a třetí záhon o stejné velikosti mají tvar čtvrtkruhu, druhý záhon má tvar kruhu. Každý ze tří záhonů má obsah 314 dm².

Vypočítejte poloměr r jednoho z čtvrtkruhových záhonů.

Výsledek uveďte v celých metrech.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah celého kruhu

Čtvrtkruhový záhon má obsah 314 dm². Celý kruh se stejným poloměrem má čtyřikrát větší obsah: $S = 4 \cdot 314 = 1256\,\mathrm{dm}^2$.

Výpočet poloměru

Pro obsah kruhu platí $S = \pi r^2$. Použijeme $\pi \approx 3{,}14$: $r^2 = 1256 : 3{,}14 = 400\,\mathrm{dm}^2$. Protože $20 \cdot 20 = 400$, poloměr je $r = 20\,\mathrm{dm}$.

Převod a výsledek

Jeden metr má 10 decimetrů, takže $20\,\mathrm{dm} = 2\,\mathrm{m}$. Poloměr jednoho čtvrtkruhového záhonu je 2 m.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

2

Stav úlohy
2 body
Úloha 8.1

Trojúhelník ABC je vymezen třemi různoběžkami a, b, c. Přímky a a c svírají úhel 130° a velikosti úhlů α a γ jsou v poměru 2:3.

Vypočítejte velikost vnitřního úhlu γ při vrcholu C.

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočítejte (obrázek je ilustrační).

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vedlejší úhly u vrcholu B

Vnější úhel 130° a vnitřní úhel β jsou vedlejší úhly, proto mají dohromady 180°. Vypočítáme β = 180° − 130° = 50°.

Součet úhlů v trojúhelníku

Vnitřní úhly trojúhelníku mají součet 180°. Na úhly α a γ tedy zbývá 180° − 50° = 130°.

Rozdělení podle poměru

Poměr α : γ = 2 : 3 znamená, že α tvoří 2 stejné díly a γ tvoří 3 stejné díly. Dohromady je to 5 dílů, takže jeden díl má 130° : 5 = 26°. Úhel γ má 3 · 26° = 78°.

Výsledek a ověření

Úhel α má 2 · 26° = 52°. Ověříme součet: 52° + 50° + 78° = 180°. Vnitřní úhel γ při vrcholu C má velikost 78°.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

78 °

Stav úlohy
2 body
Úloha 8.2

Trojúhelník ABC je vymezen třemi různoběžkami a, b, c. Přímky a a c svírají úhel 130° a velikosti úhlů α a γ jsou v poměru 2:3.

Vypočítejte rozdíl α – β vnitřních úhlů α a β.

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočítejte (obrázek je ilustrační).

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vedlejší úhly

Úhel β a vyznačený úhel 130° jsou vedlejší úhly, takže jejich součet je 180°. Proto β = 180° − 130° = 50°.

Součet vnitřních úhlů

Vnitřní úhly trojúhelníku mají dohromady 180°. Na úhly α a γ tedy zbývá 180° − 50° = 130°.

Rozdělení v poměru 2 : 3

Úhlu α odpovídají 2 stejné díly a úhlu γ odpovídají 3 díly. Dohromady je to 5 dílů, takže jeden díl má 130° : 5 = 26°. Úhel α je 2 · 26° = 52° a úhel γ je 3 · 26° = 78°. Ověříme: 52° + 50° + 78° = 180°.

Výsledek

Požadovaný rozdíl je α − β = 52° − 50° = 2°.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

2 °

Stav úlohy
2 body
Úloha 9

V rovině leží bod E a kružnice k se středem S, která prochází bodem A. Bod A je vrchol pravoúhlého lichoběžníku ABCD se základnami AB a CD a pravým úhlem při vrcholu A. Vrcholy C a D tohoto lichoběžníku leží na kružnici k, bod E je střed ramene BC.

Sestrojte zbývající vrcholy B, C a D lichoběžníku ABCD, označte je písmeny a lichoběžník narýsujte.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

  • 1. ↦ AS
  • 2. C; ↦ AS ∩ k = {C}
  • 3. ↦ CE
  • 4. m; m(E;|EC|)
  • 5. B; ↦ CE ∩ m = {B}
  • 6. AB
  • 7. ∢ BAX;|∢ BAX|= 90°
  • 8. D; ↦ AX ∩ k = {D}
  • 9. DC
  • 10. lichoběžník ABCD
  • Sestrojení lichoběžníku ABCD.

Sestrojení úsečky AB a sestrojení kolmice k úsečce AB v bodě A. Kolmice musí procházet bodem A s přesností ±1 mm. Tolerance úhlu kolmice v bodě A jsou ±3°. Sestrojení bodu D.

Sestrojení kolmice bodů C a B. Polopřímka p musí procházet bodem S a polopřímka r musí procházet bodem E s přesností ±1 mm. Bod B musí být také sestrojen s přesností ±1 mm.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. náhradní termín 2024, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 10

V rovině je dána přímka o a body A a S, které neleží na přímce o. Bod A je vrchol rovnoramenného lichoběžníku ABCD, bod S je střed strany BC. Přímka o je osa souměrnosti lichoběžníku.

Sestrojte lichoběžník ABCD.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

  • 1. O(o): A ↦ B
  • 2. ↦ BS
  • 3. C; C ∈ ↦ BS ∧|BS|=|CS|
  • 4. O(o): C ↦ D
  • 5. lichoběžník ABCD
  • Sestrojení bodu D a sestrojení lichoběžníku ABCD.

Sestrojení bodu C. Bod C musí být sestrojen s přesností ±1 mm. Sestrojení kolmice k ose o v bodě C. Kolmice musí procházet bodem C s přesností ±1 mm. Tolerance úhlu kolmice v bodě C jsou ±3°.

Sestrojení obrazu bodu A v osové souměrnosti. Tolerance úhlu kolmice v bodě A jsou ±3°. Sestrojení bodu B.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. náhradní termín 2024, úloha 10

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 11

Krychle má délku hrany 3 dm. Krychli rozdělíme vodorovným řezem na dva shodné hranoly a vytvoříme nové těleso.

O kolik dm² se zvětší povrch nového tělesa?

  • A) o 4,5 dm²
  • D) oba povrchy jsou stejné
  • B) o 9 dm²
  • E) jiný výsledek
  • C) o 18 dm²
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry hranolů

Řez vede v polovině výšky krychle, takže vzniknou dva kvádry s rozměry 3 dm, 3 dm a 1,5 dm. V novém tělese ve tvaru L je levý kvádr postavený na výšku 3 dm, pravý má výšku 1,5 dm. Oba mají hloubku 3 dm.

Povrchy před spojením

Původní krychle má povrch 6 · 3 · 3 = 54 dm². Jeden samostatný kvádr má povrch 2 · (3 · 3 + 3 · 1,5 + 3 · 1,5) = 36 dm². Oba kvádry mají dohromady 2 · 36 = 72 dm².

Odečtení styčných ploch

Kvádry se podle obrázku dotýkají obdélníkem o výšce 1,5 dm a hloubce 3 dm. Jeho obsah je 1,5 · 3 = 4,5 dm². Styčná plocha každého kvádru je uvnitř tělesa, proto ji odečteme dvakrát: 72 − 2 · 4,5 = 63 dm².

Výsledek

Povrch se zvětší o 63 − 54 = 9 dm². Správná je možnost B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 12

Dva sourozenci Eva a Michal šetří společně na dárek pro rodiče. Eva našetřila 40 % potřebné částky, Michal o 24 korun více než Eva. Sourozencům zbývá našetřit 72 korun.

Kolik korun stojí dárek?

  • A) 96 Kč
  • D) 1 920 Kč
  • B) 120 Kč
  • E) jiný výsledek
  • C) 480 Kč
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Sestavení rovnice

Cenu dárku v korunách označíme $x$. Eva našetřila $0{,}4x$ a Michal o 24 Kč více, tedy $0{,}4x + 24$. Když k jejich úsporám přičteme chybějících 72 Kč, dostaneme celou cenu dárku: $0{,}4x + 0{,}4x + 24 + 72 = x$.

Vyřešení rovnice

Sečteme členy na levé straně: $0{,}8x + 96 = x$. Od obou stran odečteme $0{,}8x$, takže $96 = 0{,}2x$. Obě strany vydělíme číslem $0{,}2$ a dostaneme $x = 480$.

Ověření a výsledek

Eva našetřila $0{,}4 \cdot 480 = 192$ Kč a Michal $192 + 24 = 216$ Kč. Dohromady mají $192 + 216 = 408$ Kč a do ceny dárku zbývá $480 - 408 = 72$ Kč, což souhlasí se zadáním. Dárek stojí 480 Kč, správná je možnost C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 13

V divadle bylo těsně před začátkem představení v sále obsazeno 70 % sedadel. Po začátku představení přišlo se zpožděním ještě 11 lidí a obsazenost sálu se tím zvýšila na 75 %.

Jaká je kapacita sálu?

  • A) méně než 200
  • D) 220
  • B) 200
  • E) více než 220
  • C) 210
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Změna obsazenosti

Obsazenost se zvýšila ze 70 % na 75 %, tedy o 5 procentních bodů. Příchozích 11 lidí proto obsadilo 5 % všech sedadel.

Celkový počet sedadel

Celých 100 % tvoří 100 : 5 = 20 takových dílů. Jestliže jeden díl představuje 11 sedadel, kapacita sálu je 11 · 20 = 220 sedadel.

Kontrola a výsledek

Původně bylo obsazeno 70 % z 220, tedy 154 sedadel. Po příchodu 11 lidí bylo obsazeno 165 sedadel, což je 75 % z 220. Kapacita sálu je 220 sedadel, správná je možnost D.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 14

Tři kamarádi Petr, Cyril a Honza čtou komiksy. Petr přečetl o 3 komiksy více než Cyril, Honza přečetl o osminu komiksů více než Cyril. Petr a Honza přečetli stejný počet komiksů.

Kolik komiksů přečetl Petr?

  • A) 22
  • D) 26
  • B) 24
  • E) 27
  • C) 25
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Porovnání počtů komiksů

Petr přečetl o 3 komiksy více než Cyril. Honza přečetl o osminu Cyrilova počtu více než Cyril. Protože Petr a Honza přečetli stejně, musí být tato osmina rovna 3 komiksům.

Cyrilův počet komiksů

Jedna osmina Cyrilova počtu je 3, celý počet tedy získáme vynásobením osmi: $3 \cdot 8 = 24$. Cyril přečetl 24 komiksů.

Petrův počet komiksů

Petr přečetl $24 + 3 = 27$ komiksů. Ověříme Honzu: $24 + 24 : 8 = 24 + 3 = 27$, takže oba přečetli stejně. Petr přečetl 27 komiksů, správná je možnost E.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.1

Všichni žáci 9. A a 9. B odpověděli v průzkumu, jakou střední školu chtějí studovat. Žáci chtějí na gymnázia (GYM), střední odborné školy (SOŠ) nebo střední odborná učiliště (SOU). Ti, kteří chtějí na střední odbornou školu, uvedli také obor zaměření – humanitní, technický či umělecký. Výsledky průzkumu jsou zaznamenány v grafech. Na gymnázia chce jít studovat 12 žáků. Nejmenší zájem je o odborná učiliště, kam chce jít 16 % žáků. Největší zájem je o střední odborné školy, na kterých chtějí studovat všichni, kteří nechtějí jít na gymnázia ani na odborná učiliště. Na uměleckou střední školu chtějí 3 žáci, 15 žáků na technicky zaměřenou střední školu, ostatní, kteří chtějí na střední odborné školy, by si vybrali humanitní obor.

Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Na uměleckou střední školu chce jít 6 % všech žáků.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Podíl žáků na gymnáziích

Z levého grafu víme, že na SOŠ chce jít 60 % žáků a na SOU 16 %. Na gymnázia tedy zbývá $100 - 60 - 16 = 24$ % všech žáků.

Celkový počet žáků

Na gymnázia chce jít 12 žáků, což je 24 % všech žáků. Jedno procento tedy odpovídá $12 : 24 = 0{,}5$ žáka. V obou třídách je dohromady $0{,}5 \cdot 100 = 50$ žáků.

Ověření tvrzení

Na uměleckou SOŠ chtějí jít 3 žáci z celkových 50. Jejich podíl je $\frac{3}{50} \cdot 100 = 6$ %. Tvrzení je pravdivé, odpověď je A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
1 bod
Úloha 15.2

Všichni žáci 9. A a 9. B odpověděli v průzkumu, jakou střední školu chtějí studovat. Žáci chtějí na gymnázia (GYM), střední odborné školy (SOŠ) nebo střední odborná učiliště (SOU). Ti, kteří chtějí na střední odbornou školu, uvedli také obor zaměření – humanitní, technický či umělecký. Výsledky průzkumu jsou zaznamenány v grafech. Na gymnázia chce jít studovat 12 žáků. Nejmenší zájem je o odborná učiliště, kam chce jít 16 % žáků. Největší zájem je o střední odborné školy, na kterých chtějí studovat všichni, kteří nechtějí jít na gymnázia ani na odborná učiliště. Na uměleckou střední školu chtějí 3 žáci, 15 žáků na technicky zaměřenou střední školu, ostatní, kteří chtějí na střední odborné školy, by si vybrali humanitní obor.

Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V 9. A a 9. B je celkem více než 50 žáků.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Podíl zájemců o gymnázia

Podle levého grafu chce na SOŠ 60 % žáků a na SOU 16 % žáků. Na gymnázia tedy zbývá 100 − 60 − 16 = 24 % žáků.

Celkový počet žáků

Na gymnázia chce 12 žáků, což je 24 % všech žáků. Jedno procento odpovídá 12 : 24 = 0,5 žáka. V obou třídách je dohromady 100 · 0,5 = 50 žáků.

Posouzení tvrzení

V 9. A a 9. B je celkem přesně 50 žáků. Tvrzení, že je jich více než 50, je nepravdivé (N).
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
1 bod
Úloha 15.3

Všichni žáci 9. A a 9. B odpověděli v průzkumu, jakou střední školu chtějí studovat. Žáci chtějí na gymnázia (GYM), střední odborné školy (SOŠ) nebo střední odborná učiliště (SOU). Ti, kteří chtějí na střední odbornou školu, uvedli také obor zaměření – humanitní, technický či umělecký. Výsledky průzkumu jsou zaznamenány v grafech. Na gymnázia chce jít studovat 12 žáků. Nejmenší zájem je o odborná učiliště, kam chce jít 16 % žáků. Největší zájem je o střední odborné školy, na kterých chtějí studovat všichni, kteří nechtějí jít na gymnázia ani na odborná učiliště. Na uměleckou střední školu chtějí 3 žáci, 15 žáků na technicky zaměřenou střední školu, ostatní, kteří chtějí na střední odborné školy, by si vybrali humanitní obor.

Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Na gymnázia a na humanitní střední školy se chce hlásit stejný počet žáků.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet zájemců o SOŠ

V pravém grafu tvoří technické SOŠ polovinu všech zájemců o SOŠ. Tato polovina představuje 15 žáků, takže na SOŠ chce celkem 15 · 2 = 30 žáků.

Počet zájemců o humanitní obor

Od všech 30 zájemců o SOŠ odečteme 15 zájemců o technický obor a 3 zájemce o umělecký obor. Na humanitní SOŠ chce 30 − 15 − 3 = 12 žáků.

Porovnání a odpověď

Na gymnázia chce také 12 žáků. Oba počty jsou stejné, takže tvrzení je pravdivé. Odpověď je A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.1

Deset zedníků dokončí stavbu budovy za 20 dní. Všichni zedníci jsou stejně výkonní a pracují rovnoměrným tempem.

Za kolik dní dokončí stavbu budovy 4 zedníci?

  • A) 10
  • D) 40
  • B) 12,5
  • E) 50
  • C) 22,5
  • F) 52,5
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celková práce

Deset zedníků staví budovu 20 dní. Jeden zedník by na stejnou práci potřeboval desetkrát více času: $10 \cdot 20 = 200$ dní.

Doba pro čtyři zedníky

Čtyři stejně výkonní zedníci si práci rozdělí rovnoměrně, takže oproti jednomu zedníkovi potřebují čtvrtinu času: $200 : 4 = 50$ dní.

Výsledek

Čtyři zedníci dokončí stavbu za 50 dní. Správná je možnost E.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.2

Deset zedníků dokončí stavbu budovy za 20 dní. Všichni zedníci jsou stejně výkonní a pracují rovnoměrným tempem.

Kolik zedníků dokončí stavbu budovy za 5 dní?

  • A) 10
  • D) 40
  • B) 12,5
  • E) 50
  • C) 22,5
  • F) 52,5
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Nepřímá úměrnost

Na stejnou stavbu potřebuje více stejně výkonných zedníků méně dní. Počet zedníků a doba stavby jsou nepřímo úměrné.

Výpočet počtu zedníků

5 dní je čtyřikrát kratší doba než 20 dní, protože 20 : 5 = 4. Zedníků proto musí být čtyřikrát více: 10 · 4 = 40.

Ověření a výsledek

Ověříme součin počtu zedníků a počtu dní: 10 · 20 = 200 a 40 · 5 = 200. Stavbu za 5 dní dokončí 40 zedníků. Správná je možnost D.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.3

Deset zedníků dokončí stavbu budovy za 20 dní. Všichni zedníci jsou stejně výkonní a pracují rovnoměrným tempem.

Kolik dní bude trvat dokončení stavby budovy, jestliže na první polovině stavby pracuje 8 zedníků a současně na druhé polovině stavby pracuje 10 zedníků?

  • A) 10
  • D) 40
  • B) 12,5
  • E) 50
  • C) 22,5
  • F) 52,5
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Práce na polovině stavby

Deset zedníků dokončí celou stavbu za 20 dní, takže její polovinu dokončí za 20 : 2 = 10 dní. Jeden zedník by na polovinu stavby potřeboval 10 · 10 = 100 dní.

Doba práce obou skupin

Osm zedníků dokončí první polovinu za 100 : 8 = 12,5 dne. Deset zedníků dokončí druhou polovinu za 100 : 10 = 10 dní.

Dokončení celé stavby

Obě skupiny pracují současně, proto jejich doby nesčítáme. Celá budova bude hotová, až bude dokončena i první polovina, která trvá déle. Stavba tedy bude dokončena za 12,5 dne, správně je B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body