Přijímací testy 9. ročník

Podkategorie: Matematika 9. ročník — 2. řádný termín 2023

33 úloh

PDF+Klíč

Úloha 1

Vypočtěte:

$\displaystyle \sqrt{ \left( - 5 \right) ^2 } - 3 ^2 =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet mocnin

Nejdřív vypočítáme obě mocniny: $(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25$ a $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.

Výpočet odmocniny

Potom vypočítáme $\sqrt{25} = 5$. Druhá odmocnina je nezáporná, proto zde dostaneme 5.

Výsledek

Nakonec odečteme: $5 - 9 = -4$. Výsledek je −4.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-4

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2.1

Třídenní lyžařská permanentka je o 150 % dražší než jednodenní permanentka.
Jednodenní permanentka stojí 600 korun.

Vypočtěte, kolikrát více se zaplatí za třídenní permanentku než za jednodenní permanentku.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Navýšení ceny

Jednodenní permanentka stojí 600 Kč. Zdražení o 150 % znamená, že k této ceně přičteme ještě 150 % z 600 Kč: $600 \cdot 1{,}5 = 900$ Kč.

Cena třídenní permanentky

Třídenní permanentka stojí $600 + 900 = 1\,500$ Kč. Její cena tedy odpovídá $100\,\% + 150\,\% = 250\,\%$ ceny jednodenní permanentky.

Porovnání cen

Cenu třídenní permanentky vydělíme cenou jednodenní: $1\,500 : 600 = 2{,}5$. Za třídenní permanentku se zaplatí 2,5krát tolik co za jednodenní.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

2,5krát

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2.2

Třídenní lyžařská permanentka je o 150 % dražší než jednodenní permanentka.
Jednodenní permanentka stojí 600 korun.

Vypočtěte, o kolik korun jsou 3 jednodenní permanentky dražší než 1 třídenní permanentka.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cena třídenní permanentky

Třídenní permanentka je o 150 % dražší než jednodenní. Nejdřív vypočítáme zdražení: 100 % z 600 Kč je 600 Kč a 50 % je 300 Kč. Zdražení je tedy 600 + 300 = 900 Kč. Třídenní permanentka stojí 600 + 900 = 1 500 Kč.

Cena tří jednodenních permanentek

Tři jednodenní permanentky stojí dohromady 3 · 600 = 1 800 Kč.

Výsledek

Rozdíl cen je 1 800 − 1 500 = 300 Kč. Tři jednodenní permanentky jsou tedy o 300 Kč dražší než jedna třídenní permanentka.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

o 300 korun

Stav úlohy

1 bod

Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{8}{9} =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Násobení zlomků

Podle pravidel přednosti operací nejdříve provedeme násobení. Zlomky násobíme tak, že vynásobíme čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem:

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}$

Společný jmenovatel

Nyní od výsledku násobení odečteme zbývající zlomek:

$\frac{1}{6} - \frac{8}{9}$

Abychom mohli zlomky odečíst, musíme je převést na společného jmenovatele. Nejmenší společný násobek čísel 6 a 9 je 18.

První zlomek rozšíříme třemi: $\frac{1}{6} = \frac{3}{18}$
Druhý zlomek rozšíříme dvěma: $\frac{8}{9} = \frac{16}{18}$

Odečtení a výsledek

Dosadíme upravené zlomky a odečteme čitatele:

$\frac{3}{18} - \frac{16}{18} = \frac{3 - 16}{18} = -\frac{13}{18}$

Zlomek $-\frac{13}{18}$ je již v základním tvaru, protože čísla 13 a 18 jsou nesoudělná.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-13/18

Stav úlohy

1 bod

Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \left( 2- \frac{5}{6} \right) \div \frac{5}{3} =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet v závorce

Nejdříve vypočítáme hodnotu v závorce. Číslo 2 převedeme na zlomek se jmenovatelem 6:
$2 - \frac{5}{6} = \frac{12}{6} - \frac{5}{6} = \mathbf{\frac{7}{6}}$

Dělení zlomkem

Získaný výsledek vydělíme zlomkem $\frac{5}{3}$. Dělení zlomkem provedeme jako násobení jeho převrácenou hodnotou. Před samotným vynásobením můžeme krátit:
$\frac{7}{6} \div \frac{5}{3} = \frac{7}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{7 \cdot 1}{2 \cdot 5} = \mathbf{\frac{7}{10}}$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

7/10

Stav úlohy

1 bod

Úloha 3.3

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3} + \frac{2}{7} }{\displaystyle \left( \frac{9}{14} + \frac{3}{2} \right) \cdot 2} =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Nejdříve sečteme zlomky v čitateli. Společným jmenovatelem čísel 3 a 7 je číslo 21:
$\frac{2}{3} + \frac{2}{7} = \frac{14 + 6}{21} = \frac{20}{21}$

Výpočet jmenovatele

Nyní vypočítáme výraz ve jmenovateli. Nejprve sečteme zlomky v závorce (společný jmenovatel je 14) a poté výsledek vynásobíme dvěma:
$\left( \frac{9}{14} + \frac{3}{2} \right) \cdot 2 = \left( \frac{9 + 21}{14} \right) \cdot 2 = \frac{30}{14} \cdot 2 = \frac{30}{7}$

Celkový výpočet

Nakonec vydělíme čitatel jmenovatelem. Dělení zlomkem nahradíme násobením jeho převrácenou hodnotou a výsledek zkrátíme na základní tvar:
$\frac{\frac{20}{21}}{\frac{30}{7}} = \frac{20}{21} \cdot \frac{7}{30} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 3} = \frac{2}{9}$

Závěr

Výsledný zlomek v základním tvaru je $\frac{2}{9}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

2/9

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.1

Upravte a rozložte na součin vytknutím:

$\displaystyle {\rm x} \cdot \left( {\rm y} -3 \right) + 3 \cdot \left( {\rm x} -2 {\rm y} \right) =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Roznásobení závorek

Nejdřív roznásobíme obě závorky: $x(y-3)+3(x-2y)=xy-3x+3x-6y$.

Sečtení podobných členů

Členy $-3x$ a $+3x$ se navzájem zruší. Zbývá $xy-6y$.

Vytknutí a výsledek

Oba zbývající členy obsahují společný činitel $y$, který vytkneme: $xy-6y=y(x-6)$. Výsledný součin je tedy $y(x-6)$. Roznásobením ověříme, že dostaneme zpět $xy-6y$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

y (x - 6)

Stav úlohy

1 bod

Úloha 4.2

Určete pomocí vzorce nejjednodušší výraz, kterým je třeba vynásobit výraz 3a−2², abychom získali výraz 9a²−16.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza výrazů

Máme najít výraz, kterým musíme vynásobit výraz 3a − 2², abychom získali výraz 9a² − 16. Nejdříve si upravíme první výraz: 2² = 4, takže násobíme výraz (3a − 4).

Použití vzorce

Cílový výraz 9a² − 16 připomíná vzorec x² − y² = (x − y) ⋅ (x + y). Výraz si tedy rozložíme:

9a² = (3a)²
16 = 4²

Tedy: 9a² − 16 = (3a − 4) ⋅ (3a + 4).

Určení výsledku

Vidíme, že abychom z výrazu (3a − 4) získali součin (3a − 4) ⋅ (3a + 4), musíme jej vynásobit výrazem 3a + 4.

Závěr

Hledaným výrazem je 3a + 4.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

3a + 4

Stav úlohy

1 bod

Úloha 4.3

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle \left( 3 {\rm n} + 2 \right) ^2 - {\rm n} \cdot \left( 3 {\rm n} + 4 \right) + \left( 2 {\rm n} - {\rm n} \right) \cdot {\rm n} =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Druhá mocnina dvojčlenu

Nejdřív použijeme vzorec $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$: $(3n+2)^2=9n^2+12n+4$.

Odstranění dalších závorek

Záporným členem $-n$ vynásobíme oba členy v závorce: $-n(3n+4)=-3n^2-4n$. V poslední závorce nejdřív odečteme: $(2n-n)\cdot n=n\cdot n=n^2$.

Sečtení stejných členů a výsledek

Dostaneme $9n^2+12n+4-3n^2-4n+n^2$. Sečteme členy s $n^2$: $(9-3+1)n^2=7n^2$, a členy s $n$: $(12-4)n=8n$. Výsledný výraz bez závorek je

$7n^2+8n+4$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

7n² + 8n + 4

Stav úlohy

2 body

Úloha 5.1

Řešte rovnici:

$\displaystyle 2 + 0,5 \cdot \left( {\rm x} - 3 \right) =0,4 \cdot \left( 1,5 {\rm x} + 2 \right)$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Roznásobení závorek

Nejdřív vynásobíme každý člen v závorce číslem před závorkou: $2 + 0{,}5x - 1{,}5 = 0{,}6x + 0{,}8$.

Sloučení členů

Na levé straně sečteme číselné členy: $2 - 1{,}5 = 0{,}5$. Dostaneme rovnici $0{,}5 + 0{,}5x = 0{,}6x + 0{,}8$.

Výpočet neznámé

Od obou stran odečteme $0{,}5x$ a potom $0{,}8$. Vyjde $-0{,}3 = 0{,}1x$. Obě strany vydělíme číslem $0{,}1$: $x = -3$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme $x = -3$ do původní rovnice. Levá strana: $2 + 0{,}5 \cdot (-3 - 3) = 2 - 3 = -1$. Pravá strana: $0{,}4 \cdot (1{,}5 \cdot (-3) + 2) = 0{,}4 \cdot (-2{,}5) = -1$. Obě strany jsou stejné, takže řešením je $x = -3$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

x = -3

Stav úlohy

2 body

Úloha 5.2

Řešte rovnici:

$\displaystyle 3 \cdot \frac{2 {\rm y} -1 }{6} = \frac{3 {\rm y} + 2 }{8} + \frac{3}{4} \cdot \frac{ {\rm y} -1 }{6}$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úprava zlomků

Nejdřív zkrátíme součiny: $3 \cdot \frac{2y-1}{6} = \frac{2y-1}{2}$ a $\frac{3}{4} \cdot \frac{y-1}{6} = \frac{y-1}{8}$. Rovnice tedy má tvar $\frac{2y-1}{2} = \frac{3y+2}{8} + \frac{y-1}{8}$.

Odstranění zlomků

Obě strany rovnice vynásobíme číslem 8. Dostaneme $4(2y-1) = 3y+2+y-1$. Po roznásobení závorky a sečtení členů na pravé straně vyjde $8y-4 = 4y+1$.

Výpočet neznámé

Od obou stran odečteme $4y$: $4y-4 = 1$. Potom k oběma stranám přičteme 4: $4y = 5$. Nakonec obě strany vydělíme čtyřmi: $y = \frac{5}{4}$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme $y = \frac{5}{4}$ do původní rovnice. Levá strana vyjde $3 \cdot \frac{2 \cdot \frac{5}{4}-1}{6} = \frac{3}{4}$. Pravá strana vyjde $\frac{23}{32} + \frac{1}{32} = \frac{3}{4}$. Obě strany jsou stejné, takže řešením je $y = \frac{5}{4} = 1{,}25$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

y = 5/4

Stav úlohy

2 body

Úloha 6.1

V chatě za polárním kruhem jsou připraveny zásoby masa pro 12člennou expedici přesně na 30 dní.
Každý člen expedice spotřebuje za den z připravených zásob stejné množství masa.

Vypočtěte, za kolik dní by 12členná expedice spotřebovala pět šestin připravených zásob masa.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Jedna šestina zásob

Počet členů expedice i jejich denní spotřeba zůstávají stejné. Celé zásoby vystačí na 30 dní, proto se jedna šestina zásob spotřebuje za $30 : 6 = 5$ dní.

Pět šestin zásob a výsledek

Pět šestin zásob se spotřebuje za pětkrát tolik dní: $5 \cdot 5 = 25$. Expedice by tedy spotřebovala pět šestin připravených zásob masa za 25 dní.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

za 25 dní

Stav úlohy

1 bod

Úloha 6.2

V chatě za polárním kruhem jsou připraveny zásoby masa pro 12člennou expedici přesně na 30 dní.
Každý člen expedice spotřebuje za den z připravených zásob stejné množství masa.

Vypočtěte, kolikačlenná expedice by všechny připravené zásoby masa spotřebovala za 45 dní.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zásoby pro jednoho člena

Pro 12 členů vystačí maso na 30 dní. Jeden člen by stejné zásoby spotřeboval za $12 \cdot 30 = 360$ dní.

Počet členů expedice

Pokud mají zásoby vystačit na 45 dní, rozdělíme 360 denních porcí po 45 porcích pro každého člena: $360 : 45 = 8$.

Výsledek a ověření

Zásoby by za 45 dní spotřebovala 8členná expedice. Ověříme: $8 \cdot 45 = 360$ denních porcí, stejně jako $12 \cdot 30 = 360$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

8členná expedice

Stav úlohy

1 bod

Úloha 6.3

V chatě za polárním kruhem jsou připraveny zásoby masa pro 12člennou expedici přesně na 30 dní.
Každý člen expedice spotřebuje za den z připravených zásob stejné množství masa.

Dvě expedice společně spotřebovaly všechny připravené zásoby masa.
První expedice pobývala na chatě 4 dny.
Druhá expedice měla dvakrát více členů než první a pobývala na chatě 8 dní.

Vypočtěte, kolik členů měla první expedice.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkové zásoby masa

Jedna denní porce je množství masa pro jednoho člověka na jeden den. Pro 12 lidí na 30 dní je připraveno celkem $12 \cdot 30 = 360$ denních porcí.

Spotřeba obou expedic

Na každého člena první expedice připadají dva členové druhé expedice. Jeden člen první expedice spotřeboval za 4 dny 4 porce a dva členové druhé za 8 dní $2 \cdot 8 = 16$ porcí. Dohromady tedy na každého člena první expedice připadá $4 + 16 = 20$ porcí z celkových zásob.

Počet členů první expedice

Celkové zásoby rozdělíme po 20 porcích: $360 : 20 = 18$. První expedice tedy měla 18 členů.

Ověření výsledku

První expedice spotřebovala $18 \cdot 4 = 72$ porcí. Druhá měla $2 \cdot 18 = 36$ členů a spotřebovala $36 \cdot 8 = 288$ porcí. Dohromady je to $72 + 288 = 360$ porcí, tedy všechny zásoby. Výsledek je 18 členů první expedice.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

18 členů

Stav úlohy

2 body

Úloha 7.1

Ondrovi trvá cesta do práce autobusem dvakrát déle než rychlíkem. Osobním vlakem mu trvá cesta do práce o čtvrtinu déle než autobusem.

Dobu Ondrovy cesty do práce autobusem označíme x

Vyjádřete výrazem s proměnnou x, jak dlouho trvá Ondrovi cesta do práce rychlíkem.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit odpověď

(1/2)x

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.2

Ondrovi trvá cesta do práce autobusem dvakrát déle než rychlíkem. Osobním vlakem mu trvá cesta do práce o čtvrtinu déle než autobusem.

Dobu Ondrovy cesty do práce autobusem označíme x

Vyjádřete výrazem s proměnnou x, jak dlouho trvá Ondrovi cesta do práce osobním vlakem.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit odpověď

(5/4)x

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.3

Ondrovi trvá cesta do práce autobusem dvakrát déle než rychlíkem. Osobním vlakem mu trvá cesta do práce o čtvrtinu déle než autobusem.

Dobu Ondrovy cesty do práce autobusem označíme x

Cesta do práce trvá Ondrovi rychlíkem o 15 minut méně než osobním vlakem. Vypočtěte, kolik minut trvá Ondrovi cesta do práce autobusem.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vyjádření doby cesty

Cesta autobusem trvá $x$ minut. Rychlíkem trvá polovinu této doby, tedy $0{,}5x$ minut. Osobním vlakem trvá o čtvrtinu déle než autobusem, tedy $x + 0{,}25x = 1{,}25x$ minut.

Sestavení a řešení rovnice

Osobním vlakem trvá cesta o 15 minut déle než rychlíkem, proto platí $1{,}25x - 0{,}5x = 15$. Po odečtení dostaneme $0{,}75x = 15$. Vydělíme obě strany číslem $0{,}75$: $x = 15 : 0{,}75 = 20$.

Výsledek a ověření

Autobusem trvá Ondrovi cesta do práce 20 minut. Rychlíkem trvá $20 : 2 = 10$ minut. Osobním vlakem trvá $20 + 20 : 4 = 25$ minut. Rozdíl je $25 - 10 = 15$ minut, což odpovídá zadání.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

20 minut

Stav úlohy

1 bod

Úloha 8.1

Dort tvaru rotačního válce leží na kruhovém tácu. (Průměr podstavy dortu je větší než výška dortu, ale menší než průměr tácu.)
Dort jsme rozdělili svislým řezem na dvě stejné poloviny.

Tác má tvar kruhu o průměru d a obsahu π ⋅ 144 cm².

Vypočtěte v cm průměr d tácu.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Poloměr tácu

Obsah kruhu vypočítáme podle vzorce $S = \pi r^2$. Tác má obsah $144\pi$ cm², takže $r^2 = 144$. Protože $12 \cdot 12 = 144$, je poloměr tácu $r = 12$ cm.

Průměr tácu

Průměr je dvojnásobkem poloměru: $d = 2 \cdot 12 = 24$ cm. Průměr tácu je 24 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

24 cm

Stav úlohy

1 bod

Úloha 8.2

Plocha řezu dortu má obsah 200 cm² a tvoří ji obdélník, který lze rozdělit na dva čtverce.

Vypočtěte v cm³ objem celého dortu.

Výsledek zaokrouhlete na desítky cm³.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry řezu

Svislý řez procházející osou dortu má šířku rovnou průměru podstavy a výšku rovnou výšce dortu. Obdélník tvoří dva stejné čtverce, takže každý má obsah $200 : 2 = 100\ \mathrm{cm}^2$. Strana čtverce je $10\ \mathrm{cm}$, protože $10 \cdot 10 = 100$. Průměr dortu je větší než jeho výška, proto je výška $10\ \mathrm{cm}$ a průměr $2 \cdot 10 = 20\ \mathrm{cm}$.

Výpočet objemu

Poloměr podstavy je $r = 20 : 2 = 10\ \mathrm{cm}$. Objem válce vypočítáme jako obsah podstavy krát výška: $V = \pi r^2 v = \pi \cdot 10^2 \cdot 10 = 1000\pi\ \mathrm{cm}^3 \doteq 3141{,}59\ \mathrm{cm}^3$.

Zaokrouhlení výsledku

Objem zaokrouhlíme na desítky krychlových centimetrů. Číslo $3141{,}59$ je blíže k $3140$ než k $3150$, takže objem celého dortu je přibližně 3140 cm³.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

3 140 cm³

Stav úlohy

2 body

Úloha 9

V rovině leží úsečka AB a bod S.

Úsečka AB je základna rovnoramenného lichoběžníku ABCD.
Bod S je střed ramene AD tohoto lichoběžníku.

Sestrojte vrcholy C, D lichoběžníku ABCD, označte je písmeny a lichoběžník narýsujte.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

2 body: Vzorové řešení výše.
1 bod: Nastane jedna z následujících situací:
Požadovaný lichoběžník je sestrojen s mírnou nepřesností.
Správně je sestrojen pouze vrchol D a sestrojený útvar je lichoběžník se základnami AB a CD, resp. rovnoběžník.
Sestrojený útvar je rovnoramenný lichoběžník se základnami AB a CD, bod S leží na rameni AD, není však středem tohoto ramene.
0 bodů: Pouze zcela chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 2. řádný termín 2023, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

2 body

Úloha 10

V rovině leží body C, Q a kružnice k se středem S, která prochází bodem C.

Bod C je vrchol trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C.
Na kružnici k leží také zbývající dva vrcholy A, B tohoto trojúhelníku a bodem Q prochází jedna jeho strana.

Sestrojte vrcholy A, B trojúhelníku ABC, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

3 body: Vzorové řešení výše.
2 body: Nastane jedna z následujících situací:
Jsou sestrojeny oba požadované trojúhelníky, ale s mírnou nepřesností.
Z požadovaných trojúhelníků je sestrojen pouze jeden, a to přesně.
1 bod: Nastane jedna z následujících situací:
Z požadovaných trojúhelníků je sestrojen pouze jeden, a to s mírnou nepřesností.
Jsou sestrojeny dva pravoúhlé trojúhelníky, které nevyhovují zadání kvůli nesprávnému umístění pravého úhlu (tj. při vrcholu A, resp. B, nikoli při vrcholu C), ostatní podmínky zadání jsou však splněny a konstrukce je přesná.
0 bodů: Pouze zcela chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 2. řádný termín 2023, úloha 10

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 11.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Obdélník se stranami délek 8 cm a 3 cm se skládá ze čtyř shodných trojúhelníků (viz obrázek). Přemístěním trojúhelníků vznikl kosočtverec.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (ano), či nikoli (ne).

Obsah kosočtverce je větší než obsah obdélníku.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah obdélníku

Obsah obdélníku vypočítáme jako součin délek jeho stran: $S = 8 \cdot 3 = 24\ \text{cm}^2$.

Přemístění trojúhelníků

Kosočtverec je složen ze stejných čtyř trojúhelníků jako obdélník. Přemístěním se obsah jednotlivých trojúhelníků nemění, takže i jejich celkový obsah zůstává stejný. Obsah kosočtverce je tedy také $24\ \text{cm}^2$.

Výsledek

Oba obrazce mají stejný obsah. Tvrzení, že obsah kosočtverce je větší než obsah obdélníku, je nepravdivé. Odpověď je ne.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 11.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Obdélník se stranami délek 8 cm a 3 cm se skládá ze čtyř shodných trojúhelníků (viz obrázek). Přemístěním trojúhelníků vznikl kosočtverec.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (ano), či nikoli (ne).

Strana kosočtverce měří 5 cm.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry trojúhelníku

Obdélník je rozdělen na čtyři shodné pravoúhlé trojúhelníky. Každý má jednu odvěsnu dlouhou polovinu delší strany obdélníku, tedy $8 : 2 = 4$ cm. Druhá odvěsna měří 3 cm.

Délka strany kosočtverce

V kosočtverci tvoří odvěsny trojúhelníků části úhlopříček a přepony tvoří jeho strany. Délku přepony vypočítáme pomocí Pythagorovy věty: $a^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$, tedy $a = 5$ cm.

Odpověď

Strana kosočtverce měří 5 cm. Tvrzení je pravdivé, odpovíme ano.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 11.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Obdélník se stranami délek 8 cm a 3 cm se skládá ze čtyř shodných trojúhelníků (viz obrázek). Přemístěním trojúhelníků vznikl kosočtverec.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (ano), či nikoli (ne).

Výška kosočtverce měří 4,8 cm.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Strana kosočtverce

Každý ze čtyř shodných pravoúhlých trojúhelníků má odvěsny 8 : 2 = 4 cm a 3 cm. Jeho přepona tvoří stranu kosočtverce. Podle Pythagorovy věty platí a² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25, tedy a = 5 cm.

Obsah kosočtverce

Přemístěním trojúhelníků se obsah nezmění. Kosočtverec má proto stejný obsah jako původní obdélník: S = 8 · 3 = 24 cm².

Výška a rozhodnutí

Obsah kosočtverce vypočítáme jako stranu krát příslušnou výšku. Výška tedy měří v = S : a = 24 : 5 = 4,8 cm. Tvrzení je pravdivé – ano.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 12

V rovině leží rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou AB.
Bod S je střed základny AB a prochází jím rovnoběžka s přímkou AC.

Jaký je součet φ + ω?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

A) 150°
D) 165°
B) 155°
E) 170°
C) 160°

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úhly v rovnoramenném trojúhelníku

Úhly při základně AB jsou stejně velké. Úhel u vrcholu B je 80°, proto je i úhel u vrcholu A roven 80°. U vrcholu C zbývá 180° − 80° − 80° = 20°.

Rozdělení úhlu u vrcholu C

Bod S je střed základny AB. V rovnoramenném trojúhelníku úsečka CS půlí úhel při vrcholu C. Úhel mezi CA a CS je tedy 20° : 2 = 10°.

Úhly u rovnoběžek

Přímka vedená bodem S je rovnoběžná s AC. Úhel φ a úhel mezi CA a CS jsou střídavé, proto φ = 10°. U průsečíku této rovnoběžky se stranou BC je úhel mezi směrem doprava a směrem k B souhlasný s úhlem ACB, má tedy 20°. Úhel ω je k němu vedlejší, takže ω = 180° − 20° = 160°.

Výsledek

Součet je φ + ω = 10° + 160° = 170°. Správná je možnost E.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 13

Trojboký hranol je položen na jedné boční stěně. Podstavu hranolu tvoří rovnoramenný trojúhelník, který má základnu délky 24 cm a obsah 60 cm². Velikost v výšky na základnu tohoto trojúhelníku je stejná jako délka nejkratší hrany hranolu.

Jaký je objem trojbokého hranolu?

A) 150 cm³
D) 370 cm³
B) 200 cm³
E) jiný objem
C) 300 cm³

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výška trojúhelníkové podstavy

Obsah trojúhelníku vypočítáme jako základnu krát výšku děleno dvěma. Proto výšku získáme tak, že obsah zdvojnásobíme a vydělíme délkou základny: $v = 2 \cdot 60 : 24 = 5$ cm.

Výška hranolu

Výška rovnoramenného trojúhelníku půlí základnu na dvě části po 12 cm. Každé rameno je delší než 12 cm, takže žádná hrana podstavy neměří 5 cm. Nejkratší hranou hranolu je tedy boční hrana, která podle zadání měří stejně jako $v$, tedy 5 cm. V náčrtu spojuje obě podstavy a udává výšku hranolu.

Objem a výsledek

Objem hranolu je obsah podstavy krát výška hranolu: $V = 60 \cdot 5 = 300$ cm³. Objem je 300 cm³, tedy správně je C.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 14

Košíkář prodal během prvních dvou dnů velikonočních trhů všechny upletené pomlázky.
První den prodal pětinu všech upletených pomlázek.
Druhý den prodal o 180 pomlázek více než první den.

Kolik pomlázek prodal košíkář první den velikonočních trhů?

A) 60 pomlázek
D) 30 pomlázek
B) 45 pomlázek
E) jiný počet pomlázek
C) 36 pomlázek

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení pomlázek

První den košíkář prodal jednu pětinu všech pomlázek. Protože během dvou dnů prodal všechny, druhý den prodal zbývající čtyři pětiny.

Výpočet

Druhý den prodal o tři pětiny všech pomlázek více než první den. Tyto tři stejné díly odpovídají 180 pomlázkám. Jeden díl, tedy počet prodaný první den, je 180 : 3 = 60 pomlázek.

Výsledek a kontrola

První den prodal 60 pomlázek, druhý den 4 · 60 = 240 pomlázek. Ověříme rozdíl: 240 − 60 = 180. Správná je možnost A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.1

Letos má skautský oddíl 60 členů, což je o 20 členů více než loni.

O kolik procent má letos skautský oddíl více členů než loni?

A) méně než 40 %
D) 50 %
B) 40 %
E) 55 %
C) 45 %
F) více než 55 %

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Loňský počet členů

Loni měl oddíl $60 - 20 = 40$ členů. Loňský počet je základem, tedy 100 %.

Výpočet procentního nárůstu

Přibylo 20 členů, což je polovina z loňských 40 členů. Polovina základu odpovídá 50 %.

Výsledek

Letos má oddíl o 50 % více členů než loni. Ověříme: polovina ze 40 je 20 a $40 + 20 = 60$. Správná odpověď je D.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.2

Během výletu Jakub utratil tři pětiny kapesného. Tři čtvrtiny z této utracené částky použil k nákupu turistické známky.

Kolik procent z kapesného utratil Jakub za turistickou známku?

A) méně než 40 %
D) 50 %
B) 40 %
E) 55 %
C) 45 %
F) více než 55 %

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Utracená část kapesného

Jakub utratil tři pětiny kapesného. Jedna pětina je 20 % celku, takže tři pětiny jsou $3 \cdot 20 = 60$ % kapesného.

Částka za turistickou známku

Za známku zaplatil tři čtvrtiny z utracených 60 % kapesného. Jedna čtvrtina této části je $60 : 4 = 15$ % původního kapesného. Tři čtvrtiny tedy představují $3 \cdot 15 = 45$ % kapesného.

Výsledek

Jakub za turistickou známku utratil 45 % kapesného. Správná je možnost C.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.3

Na třídenním festivalu se první a druhý den prodal stejný počet vstupenek. Třetí den se prodalo o třetinu více vstupenek než druhý den.

Kolik procent všech vstupenek prodaných během festivalu se prodalo třetí den?

A) méně než 40 %
D) 50 %
B) 40 %
E) 55 %
C) 45 %
F) více než 55 %

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení vstupenek

Počet vstupenek prodaných druhý den rozdělíme na 3 stejné dílky. První den se prodal stejný počet, tedy také 3 dílky. Třetí den se prodalo o třetinu více, takže 3 + 1 = 4 dílky.

Celkový počet dílků

Za všechny tři dny se prodalo dohromady 3 + 3 + 4 = 10 dílků vstupenek. Třetí den tedy tvoří 4 z těchto 10 dílků.

Výsledek

Jeden z 10 stejných dílků představuje 100 : 10 = 10 %. Čtyři dílky představují 4 · 10 = 40 %. Třetí den se prodalo 40 % všech vstupenek, správná je možnost B.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 16.1

Vybarvováním některých prázdných polí čtvercové sítě postupně vytváříme obrazce.
Prvním obrazcem je jedno světle vybarvené pole čtvercové sítě.
Každý další obrazec vytvoříme z předchozího obrazce tak, že vybarvíme všechna prázdná pole, která mají s předchozím obrazcem společné pouze vrcholy. Tato nově vybarvená pole jsou u sudých obrazců tmavá a u lichých obrazců světlá.Druhý obrazec jsme vytvořili z prvního obrazce vybarvením 4 dalších polí tmavou barvou. Třetí obrazec má celkem 13 polí (9 světlých a 4 tmavé) a vytvořili jsme jej z druhého obrazce vybarvením 8 dalších polí světlou barvou.

Určete, vybarvením kolika dalších polí jsme z 8. obrazce vytvořili 9. obrazec.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pravidlo přidávání polí

Nová pole tvoří vnější vrstvu kolem předchozího obrazce. Do druhého obrazce přidáme 4 pole a do třetího 8 polí. Při každém dalším rozšíření přibude na každé ze čtyř stran vrstvy jedno pole navíc. Počet nově vybarvených polí se tedy pokaždé zvětší o 4.

Přechod z 8. na 9. obrazec

Při přechodech od prvního až k devátému obrazci postupně přidáváme 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 a 32 polí. Přechod z 8. na 9. obrazec je osmé rozšíření, proto přidáme $4 \cdot 8 = 32$ polí.

Výsledek

Z 8. obrazce jsme vytvořili 9. obrazec vybarvením 32 dalších polí.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

32 polí

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.2

Určete, o kolik se liší počet tmavých a světlých polí v 10. obrazci.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet nových polí

Nově vybarvená pole tvoří vnější okraj obrazce. Na každé ze čtyř stran okraje je při dalším zvětšení o jedno vybarvené pole více. Počet přidaných polí proto roste vždy o 4. Při vytváření 2. až 10. obrazce postupně přibude 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 a 36 polí.

Tmavá pole

Tmavá pole přidáváme při vytváření sudých obrazců, tedy 2., 4., 6., 8. a 10. obrazce. V 10. obrazci je proto dohromady $4 + 12 + 20 + 28 + 36 = 100$ tmavých polí.

Světlá pole

První obrazec má jedno světlé pole. Další světlá pole přidáváme při vytváření 3., 5., 7. a 9. obrazce. Celkem je tedy $1 + 8 + 16 + 24 + 32 = 81$ světlých polí.

Výsledek

Počty porovnáme odečtením: $100 - 81 = 19$. V 10. obrazci je o 19 tmavých polí více než světlých.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

o 19

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.3

Určete, kolik světlých polí může mít obrazec, který má 400 tmavých polí.

Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Růst obrazců

Počítáme-li jen řady a sloupce s příslušnou barvou, tvoří pole každé barvy čtverec. Světlých polí je postupně $1\cdot1$, $3\cdot3$, $5\cdot5$ atd. Tmavých polí je postupně $2\cdot2$, $4\cdot4$, $6\cdot6$ atd. Každá nová vrstva dané barvy přidá její čtverci jednu řadu nahoře i dole a jeden sloupec vlevo i vpravo. Počet řad i sloupců se tedy zvětší o 2. Mezi přidáváním těchto vrstev počet polí dané barvy zůstává stejný.

Počet tmavých polí

$400=20\cdot20$, takže tmavá pole tvoří 20 řad po 20 polích. Takový čtverec vznikne ve 20. obrazci. Ve 21. obrazci přibudou pouze světlá pole, proto i tento obrazec má 400 tmavých polí.

Všechna řešení

Ve 20. obrazci mají světlá pole o jednu řadu i sloupec méně než tmavá: $19\cdot19=361$. Ve 21. obrazci přibude světlá vrstva a světlá pole mají o jednu řadu i sloupec více než tmavá: $21\cdot21=441$. Ve 22. obrazci už je $22\cdot22=484$ tmavých polí a jejich počet dále neklesá. Obrazec se 400 tmavými poli tedy může mít 361 nebo 441 světlých polí.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

361 nebo 441 světlých polí

Stav úlohy

2 body