Načítání…
Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 9. ročník

Podkategorie: Matematika 9. ročník — 2. náhradní termín 2023

32 úloh

PDF+Klíč
Úloha 1

Hmotnosti dvou závaží jsou v poměru 3∶5 a liší se o 600 g.

Vypočtěte v gramech hmotnost lehčího závaží.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl počtu dílů

Lehčí závaží má 3 stejné díly a těžší 5 takových dílů. Rozdíl je 5 − 3 = 2 díly, které dohromady váží 600 g.

Hmotnost jednoho dílu

Hmotnost jednoho dílu vypočítáme: 600 : 2 = 300 g.

Hmotnost lehčího závaží

Lehčí závaží má 3 díly, proto váží 3 · 300 = 900 g. Ověříme: těžší závaží váží 5 · 300 = 1 500 g a rozdíl je 1 500 − 900 = 600 g.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

900 g

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.1

Na číselné ose je vyznačeno 13 bodů, které oddělují 12 stejných dílků. V jednom z těchto bodů je číslo 20 a body A, B, C představují tři kladná čísla.
Číslo v bodě C je součtem čísla v bodě A a čísla v bodě B.

Určete číslo v bodě C.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor číselné osy

Vzdálenost mezi sousedními body na číselné ose je všude stejná. Označme si tuto vzdálenost (jeden dílek) jako $d$.
Z obrázku vidíme pozice bodů vzhledem k číslu 20:
  • Bod A leží o 2 dílky vlevo od čísla 20: $A = 20 - 2d$
  • Bod B leží o 2 dílky vpravo od čísla 20: $B = 20 + 2d$
  • Bod C leží o 5 dílků vpravo od čísla 20: $C = 20 + 5d$

Sestavení rovnice

Zadání říká, že číslo v bodě C je součtem čísel v bodech A a B:
$C = A + B$
Dosadíme naše vyjádření s neznámou $d$:
$20 + 5d = (20 - 2d) + (20 + 2d)$

Výpočet velikosti dílku

Pravou stranu rovnice zjednodušíme:
$20 + 5d = 40$
Nyní vypočítáme $d$:
$5d = 20$
$d = 4$
Jeden dílek na číselné ose má tedy hodnotu 4.

Určení čísla v bodě C

Bod C leží o 5 dílků vpravo od čísla 20:
$C = 20 + 5 \cdot 4$
$C = 20 + 20$
$C = 40$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

40

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.2

Na číselné ose je vyznačeno 13 bodů, které oddělují 12 stejných dílků. V jednom z těchto bodů je číslo 20 a body A, B, C představují tři kladná čísla.
Číslo v bodě C je součtem čísla v bodě A a čísla v bodě B.

Určete číslo v bodě B.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor číselné osy

Vzdálenost mezi sousedními body na číselné ose je všude stejná. Označme si tuto vzdálenost (jeden dílek) jako $d$.
Z obrázku vidíme pozice bodů vzhledem k číslu 20:
  • Bod A leží o 2 dílky vlevo od čísla 20: $A = 20 - 2d$
  • Bod B leží o 2 dílky vpravo od čísla 20: $B = 20 + 2d$
  • Bod C leží o 5 dílků vpravo od čísla 20: $C = 20 + 5d$

Sestavení rovnice

Zadání říká, že číslo v bodě C je součtem čísel v bodech A a B:
$C = A + B$
Dosadíme naše vyjádření s neznámou $d$:
$20 + 5d = (20 - 2d) + (20 + 2d)$

Výpočet velikosti dílku

Pravou stranu rovnice zjednodušíme:
$20 + 5d = 40$
Nyní vypočítáme $d$:
$5d = 20$
$d = 4$
Jeden dílek na číselné ose má tedy hodnotu 4.

Určení čísla v bodě B

Bod B leží o 2 dílky vpravo od čísla 20:
$B = 20 + 2 \cdot 4$
$B = 20 + 8$
$B = 28$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

28

Stav úlohy
1 bod
Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}-1 }{\displaystyle \frac{8}{9} } =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet v čitateli

Nejdříve vypočítáme hodnotu v čitateli složeného zlomku:
$\frac{2}{3} - 1 = \frac{2}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{1}{3}$

Dělení zlomků

Nyní vydělíme výsledek z čitatele jmenovatelem. Dělení zlomkem odpovídá násobení jeho převrácenou hodnotou:
$-\frac{1}{3} : \frac{8}{9} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{8} = -\frac{9}{24}$

Zlomek následně vykrátíme číslem 3, abychom ho dostali do základního tvaru:
$-\frac{9}{24} = -\frac{3}{8}$

Závěr

Výsledkem je zlomek -3/8.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-3/8

Stav úlohy
1 bod
Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle 2 \cdot \frac{1}{6} - \frac{3}{8} \cdot 4 =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Násobení zlomků

Nejdříve vypočítáme oba součiny v zadání. Zlomky můžeme před násobením nebo po něm krátit:
  • $2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
  • $\frac{3}{8} \cdot 4 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Odečtení a společný jmenovatel

Nyní od prvního výsledku odečteme druhý. Abychom mohli zlomky odečíst, převedeme je na společného jmenovatele, kterým je nejmenší společný násobek čísel 3 a 2, tedy číslo 6:
$\frac{1}{3} - \frac{3}{2} = \frac{1 \cdot 2}{6} - \frac{3 \cdot 3}{6} = \frac{2}{6} - \frac{9}{6}$

Výsledek

Odečteme čitatele a jmenovatele ponecháme:
$\frac{2 - 9}{6} = -\frac{7}{6}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-7/6

Stav úlohy
1 bod
Úloha 3.3

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{6}{7} - \frac{9}{14} }{\displaystyle \frac{8}{7} + \frac{6}{7} \div \frac{3}{2} } =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Nejdříve vypočítáme hodnotu v čitateli složeného zlomku. Převedeme zlomky na společného jmenovatele $14$ a odečteme je:
$\frac{6}{7} - \frac{9}{14} = \frac{12}{14} - \frac{9}{14} = \frac{3}{14}$

Výpočet jmenovatele

Nyní vypočítáme hodnotu ve jmenovateli. Podle pravidel přednosti operací nejdříve provedeme dělení a poté sčítání:
$\frac{8}{7} + \frac{6}{7} \div \frac{3}{2} = \frac{8}{7} + \frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{7} + \frac{2}{7} \cdot 2 = \frac{8}{7} + \frac{4}{7} = \frac{12}{7}$

Úprava složeného zlomku

Dosadíme vypočítané hodnoty zpět do složeného zlomku a upravíme jej na jeden zlomek v základním tvaru:
$\frac{\frac{3}{14}}{\frac{12}{7}} = \frac{3}{14} \div \frac{12}{7} = \frac{3}{14} \cdot \frac{7}{12}$
Zlomky si můžeme zkrátit ($3$ proti $12$ a $7$ proti $14$):
$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \mathbf{\frac{1}{8}}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1/8

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.1

Umocněte a zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle \left( 0,3 {\rm x} + 0,5 \right) ^2 =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Umocnění součtu

Použijeme vzorec $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Dostaneme $(0{,}3x+0{,}5)^2=(0{,}3x)^2+2\cdot 0{,}3x\cdot 0{,}5+0{,}5^2$.

Výpočet jednotlivých členů

Nejdřív vypočítáme $(0{,}3x)^2=0{,}09x^2$. Potom prostřední člen: $2\cdot 0{,}3x\cdot 0{,}5=0{,}3x$. Nakonec $0{,}5^2=0{,}25$.

Výsledek

Členy s $x^2$, s $x$ a bez $x$ už nelze sloučit. Výsledný výraz bez závorek je $0{,}09x^2+0{,}3x+0{,}25$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

0,09x² + 0,3x + 0,25

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.2

Rozložte na součin podle vzorce:

$\displaystyle 49- \left( -4 {\rm a} \right) ^2 =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úprava druhé mocniny

Nejdřív umocníme výraz v závorce: $(-4a)^2 = 16a^2$. Součin dvou záporných čísel je kladný. Dostaneme $49 - 16a^2$.

Rozdíl čtverců

Oba členy zapíšeme jako druhé mocniny: $49 - 16a^2 = 7^2 - (4a)^2$. Použijeme vzorec $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, kde $x = 7$ a $y = 4a$.

Výsledek a ověření

Výsledný součin je $(7 - 4a)(7 + 4a)$. Ověříme roznásobením: $(7 - 4a)(7 + 4a) = 49 + 28a - 28a - 16a^2 = 49 - 16a^2$, což odpovídá původnímu výrazu.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

(7 + 4a) (7 - 4a)

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.3

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle {\rm n} \cdot \left( 2{\rm n}-1 \right) - \left( -2{\rm n} - {\rm n} \right) \cdot \left( 3{\rm n}+2 \right) + \left( 1-2{\rm n} \right) \cdot \left( 1+2{\rm n} \right) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Sečtení členů v závorce

Nejdřív sečteme $-2n-n=-3n$. Výraz má tedy tvar $n(2n-1)-(-3n)(3n+2)+(1-2n)(1+2n)$.

Odstranění závorek

Roznásobíme: $n(2n-1)=2n^2-n$ a $(-3n)(3n+2)=-9n^2-6n$. Před druhým součinem je minus, proto po jeho odečtení dostaneme $+9n^2+6n$. Poslední součin je $1+2n-2n-4n^2=1-4n^2$. Dohromady tedy máme $2n^2-n+9n^2+6n+1-4n^2$.

Sečtení stejných členů a výsledek

Členy s $n^2$ sečteme: $(2+9-4)n^2=7n^2$. Členy s $n$ dávají $-n+6n=5n$ a zbývá číslo $1$. Výsledný výraz bez závorek je $7n^2+5n+1$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

7n² + 5n + 1

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.1

Řešte rovnici:

$\displaystyle \frac{2- {\rm x} }{2} + 2 {\rm x} =2,5 {\rm x} -3$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění zlomku

Obě strany rovnice vynásobíme číslem 2. Dostaneme $2-x+4x=5x-6$.

Úprava rovnice

Na levé straně sečteme členy s $x$: $2+3x=5x-6$. Od obou stran odečteme $3x$ a potom k oběma stranám přičteme 6. Vyjde $8=2x$. Obě strany vydělíme číslem 2, tedy $x=4$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme $x=4$ do původní rovnice. Levá strana je $\frac{2-4}{2}+2\cdot4=-1+8=7$. Pravá strana je $2{,}5\cdot4-3=10-3=7$. Obě strany jsou stejné, takže řešením je $x=4$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

x = 4

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.2

Řešte rovnici:

$\displaystyle 3 \cdot \frac{y + 1}{2} - \frac{y}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2y - 3}{3} + \frac{3}{2}$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění zlomků

Celou rovnici vynásobíme číslem 6, které je společným násobkem jmenovatelů 2 a 3. Dostaneme $9(y+1)-2y=3(2y-3)+9$.

Úprava rovnice

Roznásobíme závorky: $9y+9-2y=6y-9+9$. Sečteme členy s neznámou a čísla na každé straně: $7y+9=6y$.

Výpočet neznámé

Od obou stran odečteme $6y$, takže $y+9=0$. Potom odečteme 9 a vyjde $y=-9$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme $y=-9$ do původní rovnice. Levá strana je $3\cdot\frac{-8}{2}-\frac{-9}{3}=-12+3=-9$. Pravá strana je $\frac{3}{2}\cdot\frac{-21}{3}+\frac{3}{2}=-\frac{21}{2}+\frac{3}{2}=-9$. Obě strany jsou stejné, řešením je tedy $y=-9$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

y = -9

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.1

V pátek, v sobotu a v neděli se na mýtině vysazovaly stromy.
V sobotu bylo vysázeno o třetinu více stromů než v pátek.
V neděli bylo vysázeno dokonce o 60 % více stromů než v pátek.

Počet stromů vysázených v pátek označíme p.

Vyjádřete výrazem s proměnnou p počet stromů vysázených v sobotu.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

(4/3)p

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.2

V pátek, v sobotu a v neděli se na mýtině vysazovaly stromy.
V sobotu bylo vysázeno o třetinu více stromů než v pátek.
V neděli bylo vysázeno dokonce o 60 % více stromů než v pátek.

Počet stromů vysázených v pátek označíme p.

Vyjádřete výrazem s proměnnou p počet stromů vysázených v neděli.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

(8/5)p

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.3

V pátek, v sobotu a v neděli se na mýtině vysazovaly stromy.
V sobotu bylo vysázeno o třetinu více stromů než v pátek.
V neděli bylo vysázeno dokonce o 60 % více stromů než v pátek.

Počet stromů vysázených v pátek označíme p.

V pátek bylo vysázeno o 290 stromů méně než v obou zbývajících dnech dohromady. Vypočtěte, kolik stromů bylo vysázeno v pátek.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počty stromů v jednotlivých dnech

V pátek bylo vysázeno $p$ stromů. V sobotu jich bylo o třetinu více, tedy $p + \frac{p}{3} = \frac{4p}{3}$. V neděli jich bylo o 60 % více než v pátek, tedy $1{,}6p = \frac{8p}{5}$.

Sestavení rovnice

V sobotu a v neděli dohromady bylo vysázeno o 290 stromů více než v pátek. Proto platí $\frac{4p}{3} + \frac{8p}{5} = p + 290$.

Výpočet

Rovnici vynásobíme 15, abychom odstranili zlomky: $20p + 24p = 15p + 4350$. Sečteme levou stranu a odečteme $15p$: $29p = 4350$. Vydělíme 29 a dostaneme $p = 150$.

Ověření a výsledek

V sobotu bylo vysázeno $150 + 150 : 3 = 200$ stromů a v neděli $150 + 0{,}6 \cdot 150 = 240$ stromů. Rozdíl mezi jejich součtem a pátečním počtem je $200 + 240 - 150 = 290$, což odpovídá zadání. V pátek bylo vysázeno 150 stromů.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

150 stromů

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.1

Na parkovišti je přesně 105 parkovacích míst pro osobní auta. Zaparkuje-li na parkovišti autobus, obsadí vždy 4 parkovací místa pro osobní auta. (Parkoviště tedy zcela zaplní např. 101 osobních aut a jeden autobus.)

Na zcela zaplněném parkovišti je počet osobních aut stejný jako počet autobusů.

Vypočtěte, kolik je na parkovišti osobních aut.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet míst pro dvojici

Osobních aut je stejně jako autobusů, proto je můžeme rozdělit do dvojic: jedno osobní auto a jeden autobus. Každá dvojice obsadí $1 + 4 = 5$ parkovacích míst.

Počet dvojic

Parkoviště je zcela zaplněné a má 105 míst. Počet dvojic tedy vypočítáme: $105 : 5 = 21$. V každé dvojici je jedno osobní auto.

Ověření a výsledek

21 osobních aut a 21 autobusů obsadí $21 + 21 \cdot 4 = 21 + 84 = 105$ míst. Na parkovišti je 21 osobních aut.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

21 osobních aut

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.2

Na parkovišti je přesně 105 parkovacích míst pro osobní auta. Zaparkuje-li na parkovišti autobus, obsadí vždy 4 parkovací místa pro osobní auta. (Parkoviště tedy zcela zaplní např. 101 osobních aut a jeden autobus.)

Na zcela zaplněném parkovišti je osobních aut o čtvrtinu více než autobusů.

Vypočtěte, kolik je na parkovišti autobusů.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Skupina autobusů a aut

Osobních aut je o čtvrtinu více než autobusů. Ke každým 4 autobusům tedy patří 5 osobních aut. Taková skupina zabere $4 \cdot 4 + 5 = 21$ parkovacích míst.

Počet skupin

Parkoviště má 105 míst a je zcela zaplněné. Počet těchto skupin je $105 : 21 = 5$. V každé skupině jsou 4 autobusy.

Výsledek a kontrola

Na parkovišti je $5 \cdot 4 = 20$ autobusů a $5 \cdot 5 = 25$ osobních aut. Ověříme: $20 \cdot 4 + 25 = 105$ míst a 25 aut je o 5, tedy o čtvrtinu, více než 20 autobusů. Na parkovišti je 20 autobusů.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

20 autobusů

Stav úlohy
2 body
Úloha 8.1

Ve čtvercové síti jsou z tmavých čtverců složeny tři útvary A, B, C. Z každého útvaru vytvoříme odebráním jediného tmavého čtverce nový útvar, který je osově souměrný podle některé osy (svislé, vodorovné nebo šikmé).V jednotlivých útvarech jsme každý tmavý čtverec označili číslem. Z útvaru A lze vytvořit osově souměrný útvar buď odebráním čtverce 2, nebo odebráním čtverce 8.

Určete číslo čtverce, jehož odebráním vytvoříme osově souměrný útvar z útvaru B.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

6, 10

Stav úlohy
2 body
Úloha 8.2

Ve čtvercové síti jsou z tmavých čtverců složeny tři útvary A, B, C. Z každého útvaru vytvoříme odebráním jediného tmavého čtverce nový útvar, který je osově souměrný podle některé osy (svislé, vodorovné nebo šikmé).V jednotlivých útvarech jsme každý tmavý čtverec označili číslem. Z útvaru A lze vytvořit osově souměrný útvar buď odebráním čtverce 2, nebo odebráním čtverce 8.

Určete číslo čtverce, jehož odebráním vytvoříme osově souměrný útvar z útvaru C.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

1, 9

Stav úlohy
2 body
Úloha 9

V rovině leží body P, Q, R a přímka a.

Na přímce a leží strana AB čtverce ABCD.
Dva ze tří bodů P, Q, R leží uvnitř dvou různých stran tohoto čtverce a třetí bod leží vně čtverce ABCD.

Sestrojte všechny vrcholy čtverce ABCD, označte je písmeny a čtverec narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Z požadovaných čtverců je sestrojen pouze jeden, a to přesně.

Z požadovaných čtverců je sestrojen pouze jeden, a to s mírnou nepřesností.

Pouze chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 2. náhradní termín 2023, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 10

V rovině leží přímky b, c a na přímce b leží bod A.

Bod A je vrchol trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu A.
Na přímce b leží vrchol B a na přímce c leží vrchol C tohoto trojúhelníku.
Velikost vnitřního úhlu trojúhelníku ABC při vrcholu C je 40°.

Sestrojte vrcholy B, C trojúhelníku ABC, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Nastane právě jedna z následujících situací:

  • Z požadovaných trojúhelníků je sestrojen pouze jeden, a to přesně.
  • Namísto požadovaných trojúhelníků jsou sestrojeny dva pravoúhlé trojúhelníky, které nevyhovují zadání kvůli záměně velikostí úhlů (|∢ABC| = 40° namísto |∢ACB| = 40°), ostatní podmínky zadání jsou však splněny a konstrukce je přesná.

Pouze zcela chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 2. náhradní termín 2023, úloha 10

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
2 body
Úloha 11.1
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Každý rok pracují v parku jednak brigádníci, kteří tam pracovali v předchozím roce, jednak nově přijatí brigádníci. Na konci každého roku někteří ze všech těchto brigádníků z parku odcházejí a další rok v něm nepracují. V grafu jsou znázorněny počty brigádníků v letech 2018 až 2022, tři údaje však chybí.Např. v roce 2022 pracovalo v parku 9 brigádníků, kteří tam pracovali i v roce 2021, a 6 nově přijatých brigádníků. Z těchto 15 brigádníků jich 8 na konci roku 2022 odešlo.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V roce 2019 pracovalo v parku 16 brigádníků, kteří tam pracovali i v roce 2018.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza roku 2018

Z grafu vyčteme údaje pro rok 2018. V parku pracovalo 14 brigádníků z předchozího roku (šedý sloupec) a 10 nově přijatých brigádníků (světle šedý sloupec). Celkem tedy v roce 2018 v parku pracovalo:
14 + 10 = 24 brigádníků.
Na konci roku 2018 jich z parku 8 odešlo (černý sloupec).

Výpočet pro rok 2019

Brigádníci, kteří v roce 2019 v parku pokračují z roku 2018, jsou právě ti, kteří v roce 2018 v parku byli a na jeho konci neodešli. Jejich počet vypočítáme tak, že od celkového počtu brigádníků v roce 2018 odečteme ty, kteří na konci roku odešli:
24 − 8 = 16

Závěr

V roce 2019 tedy v parku skutečně pracovalo 16 brigádníků, kteří tam pracovali i v roce 2018. Tvrzení je pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11.2
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Každý rok pracují v parku jednak brigádníci, kteří tam pracovali v předchozím roce, jednak nově přijatí brigádníci. Na konci každého roku někteří ze všech těchto brigádníků z parku odcházejí a další rok v něm nepracují. V grafu jsou znázorněny počty brigádníků v letech 2018 až 2022, tři údaje však chybí.Např. v roce 2022 pracovalo v parku 9 brigádníků, kteří tam pracovali i v roce 2021, a 6 nově přijatých brigádníků. Z těchto 15 brigádníků jich 8 na konci roku 2022 odešlo.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V roce 2020 pracovalo v parku méně než 7 nově přijatých brigádníků.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Princip výpočtu

Počet brigádníků, kteří v parku zůstanou do dalšího roku, vypočítáme tak, že od celkového počtu brigádníků v daném roce odečteme ty, kteří na konci roku odešli. Celkový počet brigádníků v daném roce je součtem brigádníků z předchozího roku a nově přijatých brigádníků.

Výpočet pro rok 2019

Nejdříve si ověříme údaje z grafu. V roce 2019 pracovalo 16 brigádníků z předchozího roku (24 z roku 2018 minus 8, kteří odešli) a 4 nově přijatí. Celkem jich tedy bylo 20. Na konci roku 2019 jich 7 odešlo, takže pro rok 2020 jich zbylo $20 - 7 = 13$, což odpovídá šedému sloupci v roce 2020.

Výpočet nově přijatých v roce 2020

Z grafu vidíme, že v roce 2021 pracovalo 16 brigádníků z předchozího roku. Tito lidé museli v parku zůstat na konci roku 2020. Víme, že na konci roku 2020 odešli 3 brigádníci. Celkový počet brigádníků v roce 2020 tedy musel být $16 + 3 = 19$. Víme, že 13 z nich tam pracovalo už v předchozím roce, takže nově přijatých muselo být $19 - 13 = 6$.

Závěr

V roce 2020 pracovalo v parku 6 nově přijatých brigádníků. Protože 6 je méně než 7, je tvrzení v úloze pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11.3
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Každý rok pracují v parku jednak brigádníci, kteří tam pracovali v předchozím roce, jednak nově přijatí brigádníci. Na konci každého roku někteří ze všech těchto brigádníků z parku odcházejí a další rok v něm nepracují. V grafu jsou znázorněny počty brigádníků v letech 2018 až 2022, tři údaje však chybí.Např. v roce 2022 pracovalo v parku 9 brigádníků, kteří tam pracovali i v roce 2021, a 6 nově přijatých brigádníků. Z těchto 15 brigádníků jich 8 na konci roku 2022 odešlo.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Na konci roku 2021 z parku odešlo více než 12 brigádníků.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pochopení grafu

Z textu a grafu vyplývá, že počet brigádníků, kteří v parku pracují v daném roce, je součtem těch, kteří tam pracovali už loni (tmavě šedý sloupec), a nově přijatých (světle šedý sloupec). Na konci roku někteří odejdou (černý sloupec směrem dolů) a zbytek pokračuje v dalším roce.

Výpočet pro konec roku 2021

V roce 2021 v parku pracovalo celkem $16 + 5 = 21$ brigádníků. Víme, že v následujícím roce (2022) v parku pokračovalo 9 brigádníků (tmavě šedý sloupec v roce 2022).
Počet těch, kteří na konci roku 2021 odešli, tedy vypočítáme jako rozdíl celkového počtu v roce 2021 a počtu těch, kteří pokračovali v roce 2022:
$21 - 9 = 12$

Porovnání s tvrzením

Zjistili jsme, že na konci roku 2021 odešlo přesně 12 brigádníků. Tvrzení v zadání říká, že odešlo více než 12 brigádníků. Protože 12 není více než 12, je toto tvrzení nepravdivé.

Závěr

Tvrzení je nepravdivé (N).
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 12

Velký obdélník lze rozdělit na dva shodné menší obdélníky nebo na dva čtverce.
Obvod jednoho z menších obdélníků je 30 cm.

Jaký je obvod velkého obdélníku?

  • A) menší než 36 cm
  • D) 60 cm
  • B) 36 cm
  • E) větší než 60 cm
  • C) 40 cm
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Zadání říká, že velký obdélník lze rozdělit na dva čtverce. To nám prozradí důležitý vztah: delší strana velkého obdélníku musí být dvakrát delší než jeho kratší strana.

Metoda dílků

Představme si, že kratší stranu velkého obdélníku tvoří 2 stejné dílky. Potom delší strana musí mít 4 tyto dílky (protože $2 \cdot 2 = 4$).

Obvod menšího obdélníku

Když velký obdélník rozdělíme vodorovně na poloviny, vzniknou dva menší obdélníky. Každý z nich bude mít délku 4 dílky, ale jeho šířka bude tvořena jen 1 dílkem (polovina ze 2).
Obvod tohoto menšího obdélníku se skládá z: $4 + 1 + 4 + 1 = 10$ dílků.
Víme, že obvod je 30 cm, takže jeden dílek měří:
$30 : 10 = 3 \text{ cm}$

Obvod velkého obdélníku

Velký obdélník má strany o délce 4 dílky a 2 dílky.
Jeho obvod se skládá z: $4 + 2 + 4 + 2 = 12$ dílků.
Protože jeden dílek měří 3 cm, celkový obvod je:
$12 \cdot 3 = 36 \text{ cm}$

Závěr

Obvod velkého obdélníku je 36 cm. Správná je tedy možnost B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 13

Přímka p prochází vrcholy A, B trojúhelníku ABC, jehož vnitřní úhly mají velikosti α, β, γ. Bodem B prochází rovnoběžka se stranou AC.

Jaká je velikost úhlu γ?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

  • A) 115°
  • D) 140°
  • B) 120°
  • E) 150°
  • C) 135°
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úhel α

Strana AC je rovnoběžná s vodorovnou polopřímkou z bodu B. Úhel α a vyznačený úhel 30° jsou střídavé úhly, proto $\alpha = 30^\circ$.

Úhel β

Vnější úhel u vrcholu B je roven součtu vnitřních úhlů u zbývajících vrcholů, tedy $\alpha + \gamma$. V obrázku je označen $2\beta + \gamma$, takže $2\beta + \gamma = 30^\circ + \gamma$. Odečteme γ: $2\beta = 30^\circ$, a proto $\beta = 15^\circ$.

Výsledek

Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180°. Proto $\gamma = 180^\circ - 30^\circ - 15^\circ = 135^\circ$. Úhel γ má velikost 135°, správná je možnost C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 14

Kvádr s podstavou o rozměrech 6 cm a 8 cm a výškou 10 cm lze dvěma svislými úhlopříčnými řezy rozdělit na čtyři trojboké hranoly s výškou 10 cm. Odebráním jednoho z trojbokých hranolů vznikne z kvádru pětiboký hranol jako na obrázku vpravo.

O kolik cm² se liší povrch pětibokého hranolu a povrch původního kvádru?

  • A) o 4 cm²
  • D) o 30 cm²
  • B) o 16 cm²
  • E) o jiný počet cm²
  • C) o 24 cm²
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry zářezu

Podle popisu obrázku odebíráme hranol u přední hrany dlouhé 8 cm. Úhlopříčky obdélníkové podstavy se navzájem půlí. Celá úhlopříčka měří podle Pythagorovy věty $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$ cm. Každá ze dvou hran vedoucích od předního rohu do středu podstavy tedy měří 5 cm.

Změna pláště

Původní přední stěna s obsahem $8 \cdot 10 = 80$ cm² zmizí. Místo ní vzniknou dvě obdélníkové stěny zářezu, každá s obsahem $5 \cdot 10 = 50$ cm². Obsah pláště se proto zvětší o $2 \cdot 50 - 80 = 20$ cm².

Změna podstav

Z horní i dolní podstavy ubude trojúhelník se základnou 8 cm a výškou $6 : 2 = 3$ cm. Jeho obsah je $8 \cdot 3 : 2 = 12$ cm². Obsah obou podstav se dohromady zmenší o $2 \cdot 12 = 24$ cm².

Porovnání povrchů

Na plášti přibylo 20 cm², ale na podstavách ubylo 24 cm². Povrch pětibokého hranolu je tedy o $24 - 20 = 4$ cm² menší než povrch původního kvádru. Správná odpověď je A: o 4 cm².
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.1

Letos se na gymnázium přihlásilo 420 uchazečů, což je o 40 % více, než se jich přihlásilo loni.

Kolik uchazečů se na gymnázium přihlásilo loni?

  • A) méně než 240
  • D) 280
  • B) 240
  • E) 300
  • C) 260
  • F) více než 300
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení procent

Loňský počet uchazečů představuje 100 %. Letos se přihlásilo o 40 % více, takže letošních 420 uchazečů představuje 100 % + 40 % = 140 % loňského počtu.

Výpočet loňského počtu

Nejdřív vypočítáme 1 %: 420 : 140 = 3 uchazeči. Potom vypočítáme 100 %: 3 · 100 = 300 uchazečů.

Ověření a výsledek

40 % z 300 je 3 · 40 = 120. Po přičtení dostaneme 300 + 120 = 420, což souhlasí se zadáním. Loni se přihlásilo 300 uchazečů, správná je možnost E.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.2

On-line kurzu českého jazyka se zúčastnilo 180 žáků, což je o 25 % méně, než se jich zúčastnilo on-line kurzu matematiky.

Kolik žáků se zúčastnilo on-line kurzu matematiky?

  • A) méně než 240
  • D) 280
  • B) 240
  • E) 300
  • C) 260
  • F) více než 300
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení základu

Počet žáků v kurzu matematiky představuje 100 %. Kurzu českého jazyka se zúčastnilo o 25 % méně žáků, takže 180 žáků odpovídá 100 − 25 = 75 %.

Výpočet počtu žáků

Nejdřív vypočítáme 1 %: 180 : 75 = 2,4. Potom vypočítáme celý počet, tedy 100 %: 2,4 · 100 = 240 žáků.

Výsledek a kontrola

Čtvrtina z 240 je 60, takže o 25 % méně je 240 − 60 = 180. Výpočet souhlasí se zadáním. Kurzu matematiky se zúčastnilo 240 žáků, správně je možnost B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.3

Včera navštívilo plavecký bazén celkem 680 dospělých, mezi nimiž bylo mužů o 30 % méně než žen.

Kolik mužů včera navštívilo plavecký bazén?

  • A) méně než 240
  • D) 280
  • B) 240
  • E) 300
  • C) 260
  • F) více než 300
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Porovnání počtu žen a mužů

Počet žen bereme jako 100 %. Mužů bylo o 30 % méně než žen, tedy 100 − 30 = 70 % počtu žen. Ženy a muži dohromady představují 100 + 70 = 170 % počtu žen.

Výpočet počtu mužů

Celkem 680 dospělých odpovídá 170 %. Jedno procento počtu žen je tedy 680 : 170 = 4 osoby. Mužů bylo 70 %, takže jejich počet je 70 · 4 = 280.

Ověření a výsledek

Žen bylo 680 − 280 = 400. Z počtu 400 je 30 % rovno 120 a 400 − 120 = 280, což souhlasí se zadáním. Bazén navštívilo 280 mužů. Správná je možnost D.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.1

Obrazce tvaru trojúhelníku se sestavují skládáním šedých trojúhelníků do pater (viz obrázek). Šedé trojúhelníky mají ve vrcholech puntíky a na stranách stejně dlouhé úsečky. V prvním obrazci je pouze jeden šedý trojúhelník a každý další obrazec má o jedno patro šedých trojúhelníků více než předchozí obrazec.

Určete počet úseček v obrazci, který má 5 pater.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza zadání a obrázku

Z obrázku a přiložené tabulky vyčteme počty úseček pro první tři obrazce:
  • 1 patro: 3 úsečky
  • 2 patra: 9 úseček
  • 3 patra: 18 úseček
Naším úkolem je zjistit, kolik úseček bude mít obrazec s 5 patry.

Hledání pravidla pro nárůst počtu úseček

V každém dalším patře je o jeden šedý trojúhelník více: ve čtvrtém jsou 4 a v pátém 5. Každý šedý trojúhelník přidá 3 úsečky. Šedé trojúhelníky se dotýkají pouze vrcholy, takže žádnou úsečku nezapočítáme dvakrát. Čtvrté patro tedy přidá $4 \cdot 3 = 12$ úseček a páté patro $5 \cdot 3 = 15$ úseček.

Výpočet pro 5 pater

Nyní můžeme postupně dopočítat celkový počet úseček až k pátému obrazci:
  • 3 patra: 18 úseček
  • 4 patra: $18 + 12 = 30$ úseček
  • 5 pater: $30 + 15 = 45$ úseček

Závěr

Obrazec, který má 5 pater, obsahuje celkem 45 úseček.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

45 úseček

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.2

Obrazce tvaru trojúhelníku se sestavují skládáním šedých trojúhelníků do pater (viz obrázek). Šedé trojúhelníky mají ve vrcholech puntíky a na stranách stejně dlouhé úsečky. V prvním obrazci je pouze jeden šedý trojúhelník a každý další obrazec má o jedno patro šedých trojúhelníků více než předchozí obrazec.

Počet úseček v posledním a v předposledním obrazci se liší o 96.

Určete, o kolik se liší počet puntíků v posledním a předposledním obrazci.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrazců

V novém spodním patře je tolik šedých trojúhelníků, kolikáté patro přidáváme. Každý má 3 úsečky a šedé trojúhelníky se dotýkají jen vrcholy. Počet nových úseček je proto trojnásobkem počtu těchto trojúhelníků. Jejich horní vrcholy už patřily předchozímu obrazci. Nové puntíky vzniknou jen dole: podél řady spodních stran je o jeden puntík více než trojúhelníků.

Určení počtu pater

Víme, že v posledním obrazci je o 96 úseček více než v předposledním. To znamená, že v posledním (přidaném) patře je 96 úseček. Počet pater zjistíme tak, že tento rozdíl vydělíme třemi:
$96 : 3 = 32$
Poslední obrazec má tedy 32 pater.

Výpočet rozdílu puntíků

V posledním obrazci přibylo oproti předposlednímu 32. patro. Podle našeho pozorování víme, že počet přidaných puntíků je o 1 vyšší než číslo patra:
$32 + 1 = 33$
Počet puntíků se tedy liší o 33.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

o 33 puntíků

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.3

Obrazce tvaru trojúhelníku se sestavují skládáním šedých trojúhelníků do pater (viz obrázek). Šedé trojúhelníky mají ve vrcholech puntíky a na stranách stejně dlouhé úsečky. V prvním obrazci je pouze jeden šedý trojúhelník a každý další obrazec má o jedno patro šedých trojúhelníků více než předchozí obrazec.

V jednom obrazci je 300 puntíků.

Určete počet úseček v následujícím obrazci.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Puntíky po řadách

V obrazci tvoří puntíky vodorovné řady: nahoře je 1 puntík, pod ním 2, dále 3 a tak dále až ke spodní řadě. Dohromady je těchto puntíků 300.

Trojúhelníky v následujícím obrazci

Šedé trojúhelníky jsou také uspořádány po patrech: v prvním je 1, v druhém 2, v třetím 3 a tak dále. Obrazec s jedním patrem navíc má právě tolik pater trojúhelníků, kolik měl předchozí obrazec řad puntíků. Počty šedých trojúhelníků v jeho patrech jsou tedy stejné jako počty puntíků v řadách předchozího obrazce. V následujícím obrazci je proto 300 šedých trojúhelníků.

Počet úseček

Každý šedý trojúhelník má 3 strany. Šedé trojúhelníky se dotýkají jen vrcholy, takže žádná úsečka nepatří dvěma z nich. Celkový počet úseček je $300 \cdot 3 = 900$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

900 úseček

Stav úlohy
2 body