Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 9. ročník

Podkategorie: Matematika 9. ročník — 2. náhradní termín 2023

32 úloh

Úloha 1

Hmotnosti dvou závaží jsou v poměru 3∶5 a liší se o 600 g.

Vypočtěte v gramech hmotnost lehčího závaží.

Zobrazit odpověď

900 g

1 bod
Úloha 2.1

Na číselné ose je vyznačeno 13 bodů, které oddělují 12 stejných dílků. V jednom z těchto bodů je číslo 20 a body A, B, C představují tři kladná čísla.
Číslo v bodě C je součtem čísla v bodě A a čísla v bodě B.

Určete číslo v bodě C.

Zobrazit odpověď

40

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor číselné osy

Vzdálenost mezi sousedními body na číselné ose je všude stejná. Označme si tuto vzdálenost (jeden dílek) jako $d$.
Z obrázku vidíme pozice bodů vzhledem k číslu 20:
  • Bod A leží o 2 dílky vlevo od čísla 20: $A = 20 - 2d$
  • Bod B leží o 2 dílky vpravo od čísla 20: $B = 20 + 2d$
  • Bod C leží o 5 dílků vpravo od čísla 20: $C = 20 + 5d$

Sestavení rovnice

Zadání říká, že číslo v bodě C je součtem čísel v bodech A a B:
$C = A + B$
Dosadíme naše vyjádření s neznámou $d$:
$20 + 5d = (20 - 2d) + (20 + 2d)$

Výpočet velikosti dílku

Pravou stranu rovnice zjednodušíme:
$20 + 5d = 40$
Nyní vypočítáme $d$:
$5d = 20$
$d = 4$
Jeden dílek na číselné ose má tedy hodnotu 4.

Určení čísla v bodě C

Bod C leží o 5 dílků vpravo od čísla 20:
$C = 20 + 5 \cdot 4$
$C = 20 + 20$
$C = 40$
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 2.2

Na číselné ose je vyznačeno 13 bodů, které oddělují 12 stejných dílků. V jednom z těchto bodů je číslo 20 a body A, B, C představují tři kladná čísla.
Číslo v bodě C je součtem čísla v bodě A a čísla v bodě B.

Určete číslo v bodě B.

Zobrazit odpověď

28

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor číselné osy

Vzdálenost mezi sousedními body na číselné ose je všude stejná. Označme si tuto vzdálenost (jeden dílek) jako $d$.
Z obrázku vidíme pozice bodů vzhledem k číslu 20:
  • Bod A leží o 2 dílky vlevo od čísla 20: $A = 20 - 2d$
  • Bod B leží o 2 dílky vpravo od čísla 20: $B = 20 + 2d$
  • Bod C leží o 5 dílků vpravo od čísla 20: $C = 20 + 5d$

Sestavení rovnice

Zadání říká, že číslo v bodě C je součtem čísel v bodech A a B:
$C = A + B$
Dosadíme naše vyjádření s neznámou $d$:
$20 + 5d = (20 - 2d) + (20 + 2d)$

Výpočet velikosti dílku

Pravou stranu rovnice zjednodušíme:
$20 + 5d = 40$
Nyní vypočítáme $d$:
$5d = 20$
$d = 4$
Jeden dílek na číselné ose má tedy hodnotu 4.

Určení čísla v bodě B

Bod B leží o 2 dílky vpravo od čísla 20:
$B = 20 + 2 \cdot 4$
$B = 20 + 8$
$B = 28$
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}-1 }{\displaystyle \frac{8}{9} } =$

Zobrazit odpověď

-3/8

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet v čitateli

Nejdříve vypočítáme hodnotu v čitateli složeného zlomku: $\frac{2}{3} - 1 = \frac{2}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{1}{3}$

Dělení zlomků

Nyní vydělíme výsledek z čitatele jmenovatelem. Dělení zlomkem odpovídá násobení jeho převrácenou hodnotou: $-\frac{1}{3} : \frac{8}{9} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{8} = -\frac{9}{24}$

Zlomek následně vykrátíme číslem 3, abychom ho dostali do základního tvaru: $-\frac{9}{24} = -\frac{3}{8}$

Závěr

Výsledkem je zlomek -3/8.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle 2 \cdot \frac{1}{6} - \frac{3}{8} \cdot 4 =$

Zobrazit odpověď

-7/6

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Násobení zlomků

Nejdříve vypočítáme oba součiny v zadání. Zlomky můžeme před násobením nebo po něm krátit:
  • $2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
  • $\frac{3}{8} \cdot 4 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Odečtení a společný jmenovatel

Nyní od prvního výsledku odečteme druhý. Abychom mohli zlomky odečíst, převedeme je na společného jmenovatele, kterým je nejmenší společný násobek čísel 3 a 2, tedy číslo 6: $\frac{1}{3} - \frac{3}{2} = \frac{1 \cdot 2}{6} - \frac{3 \cdot 3}{6} = \frac{2}{6} - \frac{9}{6}$

Výsledek

Odečteme čitatele a jmenovatele ponecháme: $\frac{2 - 9}{6} = -\frac{7}{6}$
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 3.3

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{6}{7} - \frac{9}{14} }{\displaystyle \frac{8}{7} + \frac{6}{7} \div \frac{3}{2} } =$

Zobrazit odpověď

1/8

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Nejdříve vypočítáme hodnotu v čitateli složeného zlomku. Převedeme zlomky na společného jmenovatele $14$ a odečteme je: $\frac{6}{7} - \frac{9}{14} = \frac{12}{14} - \frac{9}{14} = \frac{3}{14}$

Výpočet jmenovatele

Nyní vypočítáme hodnotu ve jmenovateli. Podle pravidel přednosti operací nejdříve provedeme dělení a poté sčítání: $\frac{8}{7} + \frac{6}{7} \div \frac{3}{2} = \frac{8}{7} + \frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{7} + \frac{2}{7} \cdot 2 = \frac{8}{7} + \frac{4}{7} = \frac{12}{7}$

Úprava složeného zlomku

Dosadíme vypočítané hodnoty zpět do složeného zlomku a upravíme jej na jeden zlomek v základním tvaru: $\frac{\frac{3}{14}}{\frac{12}{7}} = \frac{3}{14} \div \frac{12}{7} = \frac{3}{14} \cdot \frac{7}{12}$ Zlomky si můžeme zkrátit ($3$ proti $12$ a $7$ proti $14$): $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \mathbf{\frac{1}{8}}$
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 4.1

Umocněte a zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle \left( 0,3 {\rm x} + 0,5 \right) ^2 =$

Zobrazit odpověď

0,09x² + 0,3x + 0,25

1 bod
Úloha 4.2

Rozložte na součin podle vzorce:

$\displaystyle 49- \left( -4 {\rm a} \right) ^2 =$

Zobrazit odpověď

(7 + 4a) (7 - 4a)

1 bod
Úloha 4.3

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle {\rm n} \cdot \left( 2{\rm n}-1 \right) - \left( -2{\rm n} - {\rm n} \right) \cdot \left( 3{\rm n}+2 \right) + \left( 1-2{\rm n} \right) \cdot \left( 1+2{\rm n} \right) =$

Zobrazit odpověď

7n² + 5n + 1

2 body
Úloha 5.1

Řešte rovnici:

$\displaystyle \frac{2- {\rm x} }{2} + 2 {\rm x} =2,5 {\rm x} -3$

Zobrazit odpověď

x = 4

2 body
Úloha 5.2

Řešte rovnici:

$\displaystyle 3 \cdot \frac{y + 1}{2} - \frac{y}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2y - 3}{3} + \frac{3}{2}$

Zobrazit odpověď

y = -9

2 body
Úloha 6.1

V pátek, v sobotu a v neděli se na mýtině vysazovaly stromy.
V sobotu bylo vysázeno o třetinu více stromů než v pátek.
V neděli bylo vysázeno dokonce o 60 % více stromů než v pátek.

Počet stromů vysázených v pátek označíme p.

Vyjádřete výrazem s proměnnou p počet stromů vysázených v sobotu.

Zobrazit odpověď

(4/3)p

1 bod
Úloha 6.2

V pátek, v sobotu a v neděli se na mýtině vysazovaly stromy.
V sobotu bylo vysázeno o třetinu více stromů než v pátek.
V neděli bylo vysázeno dokonce o 60 % více stromů než v pátek.

Počet stromů vysázených v pátek označíme p.

Vyjádřete výrazem s proměnnou p počet stromů vysázených v neděli.

Zobrazit odpověď

(8/5)p

1 bod
Úloha 6.3

V pátek, v sobotu a v neděli se na mýtině vysazovaly stromy.
V sobotu bylo vysázeno o třetinu více stromů než v pátek.
V neděli bylo vysázeno dokonce o 60 % více stromů než v pátek.

Počet stromů vysázených v pátek označíme p.

V pátek bylo vysázeno o 290 stromů méně než v obou zbývajících dnech dohromady. Vypočtěte, kolik stromů bylo vysázeno v pátek.

Zobrazit odpověď

150 stromů

1 bod
Úloha 7.1

Na parkovišti je přesně 105 parkovacích míst pro osobní auta. Zaparkuje-li na parkovišti autobus, obsadí vždy 4 parkovací místa pro osobní auta. (Parkoviště tedy zcela zaplní např. 101 osobních aut a jeden autobus.)

Na zcela zaplněném parkovišti je počet osobních aut stejný jako počet autobusů.

Vypočtěte, kolik je na parkovišti osobních aut.

Zobrazit odpověď

21 osobních aut

1 bod
Úloha 7.2

Na parkovišti je přesně 105 parkovacích míst pro osobní auta. Zaparkuje-li na parkovišti autobus, obsadí vždy 4 parkovací místa pro osobní auta. (Parkoviště tedy zcela zaplní např. 101 osobních aut a jeden autobus.)

Na zcela zaplněném parkovišti je osobních aut o čtvrtinu více než autobusů.

Vypočtěte, kolik je na parkovišti autobusů.

Zobrazit odpověď

20 autobusů

2 body
Úloha 8.1

Ve čtvercové síti jsou z tmavých čtverců složeny tři útvary A, B, C. Z každého útvaru vytvoříme odebráním jediného tmavého čtverce nový útvar, který je osově souměrný podle některé osy (svislé, vodorovné nebo šikmé).V jednotlivých útvarech jsme každý tmavý čtverec označili číslem. Z útvaru A lze vytvořit osově souměrný útvar buď odebráním čtverce 2, nebo odebráním čtverce 8.

Určete číslo čtverce, jehož odebráním vytvoříme osově souměrný útvar z útvaru B.

Zobrazit odpověď

6, 10

2 body
Úloha 8.2

Ve čtvercové síti jsou z tmavých čtverců složeny tři útvary A, B, C. Z každého útvaru vytvoříme odebráním jediného tmavého čtverce nový útvar, který je osově souměrný podle některé osy (svislé, vodorovné nebo šikmé).V jednotlivých útvarech jsme každý tmavý čtverec označili číslem. Z útvaru A lze vytvořit osově souměrný útvar buď odebráním čtverce 2, nebo odebráním čtverce 8.

Určete číslo čtverce, jehož odebráním vytvoříme osově souměrný útvar z útvaru C.

Zobrazit odpověď

1, 9

2 body
Úloha 9

V rovině leží body P, Q, R a přímka a.

Na přímce a leží strana AB čtverce ABCD.
Dva ze tří bodů P, Q, R leží uvnitř dvou různých stran tohoto čtverce a třetí bod leží vně čtverce ABCD.

Sestrojte všechny vrcholy čtverce ABCD, označte je písmeny a čtverec narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď
Odpověď
3 body
Úloha 10

V rovině leží přímky b, c a na přímce b leží bod A.

Bod A je vrchol trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu A.
Na přímce b leží vrchol B a na přímce c leží vrchol C tohoto trojúhelníku.
Velikost vnitřního úhlu trojúhelníku ABC při vrcholu C je 40°.

Sestrojte vrcholy B, C trojúhelníku ABC, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď
Odpověď
2 body
Úloha 11.1
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Každý rok pracují v parku jednak brigádníci, kteří tam pracovali v předchozím roce, jednak nově přijatí brigádníci. Na konci každého roku někteří ze všech těchto brigádníků z parku odcházejí a další rok v něm nepracují. V grafu jsou znázorněny počty brigádníků v letech 2018 až 2022, tři údaje však chybí.Např. v roce 2022 pracovalo v parku 9 brigádníků, kteří tam pracovali i v roce 2021, a 6 nově přijatých brigádníků. Z těchto 15 brigádníků jich 8 na konci roku 2022 odešlo.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V roce 2019 pracovalo v parku 16 brigádníků, kteří tam pracovali i v roce 2018.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza roku 2018

Z grafu vyčteme údaje pro rok 2018. V parku pracovalo 14 brigádníků z předchozího roku (šedý sloupec) a 10 nově přijatých brigádníků (světle šedý sloupec). Celkem tedy v roce 2018 v parku pracovalo:
14 + 10 = 24 brigádníků.
Na konci roku 2018 jich z parku 8 odešlo (černý sloupec).

Výpočet pro rok 2019

Brigádníci, kteří v roce 2019 v parku pokračují z roku 2018, jsou právě ti, kteří v roce 2018 v parku byli a na jeho konci neodešli. Jejich počet vypočítáme tak, že od celkového počtu brigádníků v roce 2018 odečteme ty, kteří na konci roku odešli:
24 − 8 = 16

Závěr

V roce 2019 tedy v parku skutečně pracovalo 16 brigádníků, kteří tam pracovali i v roce 2018. Tvrzení je pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 11.2
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Každý rok pracují v parku jednak brigádníci, kteří tam pracovali v předchozím roce, jednak nově přijatí brigádníci. Na konci každého roku někteří ze všech těchto brigádníků z parku odcházejí a další rok v něm nepracují. V grafu jsou znázorněny počty brigádníků v letech 2018 až 2022, tři údaje však chybí.Např. v roce 2022 pracovalo v parku 9 brigádníků, kteří tam pracovali i v roce 2021, a 6 nově přijatých brigádníků. Z těchto 15 brigádníků jich 8 na konci roku 2022 odešlo.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V roce 2020 pracovalo v parku méně než 7 nově přijatých brigádníků.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Princip výpočtu

Počet brigádníků, kteří v parku zůstanou do dalšího roku, vypočítáme tak, že od celkového počtu brigádníků v daném roce odečteme ty, kteří na konci roku odešli. Celkový počet brigádníků v daném roce je součtem brigádníků z předchozího roku a nově přijatých brigádníků.

Výpočet pro rok 2019

Nejdříve si ověříme údaje z grafu. V roce 2019 pracovalo 16 brigádníků z předchozího roku (24 z roku 2018 minus 8, kteří odešli) a 4 nově přijatí. Celkem jich tedy bylo 20. Na konci roku 2019 jich 7 odešlo, takže pro rok 2020 jich zbylo $20 - 7 = 13$, což odpovídá šedému sloupci v roce 2020.

Výpočet nově přijatých v roce 2020

Z grafu vidíme, že v roce 2021 pracovalo 16 brigádníků z předchozího roku. Tito lidé museli v parku zůstat na konci roku 2020. Víme, že na konci roku 2020 odešli 3 brigádníci. Celkový počet brigádníků v roce 2020 tedy musel být $16 + 3 = 19$. Víme, že 13 z nich tam pracovalo už v předchozím roce, takže nově přijatých muselo být $19 - 13 = 6$.

Závěr

V roce 2020 pracovalo v parku 6 nově přijatých brigádníků. Protože 6 je méně než 7, je tvrzení v úloze pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 11.3
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Každý rok pracují v parku jednak brigádníci, kteří tam pracovali v předchozím roce, jednak nově přijatí brigádníci. Na konci každého roku někteří ze všech těchto brigádníků z parku odcházejí a další rok v něm nepracují. V grafu jsou znázorněny počty brigádníků v letech 2018 až 2022, tři údaje však chybí.Např. v roce 2022 pracovalo v parku 9 brigádníků, kteří tam pracovali i v roce 2021, a 6 nově přijatých brigádníků. Z těchto 15 brigádníků jich 8 na konci roku 2022 odešlo.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Na konci roku 2021 z parku odešlo více než 12 brigádníků.

Zobrazit odpověď

Ne

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pochopení grafu

Z textu a grafu vyplývá, že počet brigádníků, kteří v parku pracují v daném roce, je součtem těch, kteří tam pracovali už loni (tmavě šedý sloupec), a nově přijatých (světle šedý sloupec). Na konci roku někteří odejdou (černý sloupec směrem dolů) a zbytek pokračuje v dalším roce.

Výpočet pro konec roku 2021

V roce 2021 v parku pracovalo celkem $16 + 5 = 21$ brigádníků. Víme, že v následujícím roce (2022) v parku pokračovalo 9 brigádníků (tmavě šedý sloupec v roce 2022).
Počet těch, kteří na konci roku 2021 odešli, tedy vypočítáme jako rozdíl celkového počtu v roce 2021 a počtu těch, kteří pokračovali v roce 2022:
$21 - 9 = 12$

Porovnání s tvrzením

Zjistili jsme, že na konci roku 2021 odešlo přesně 12 brigádníků. Tvrzení v zadání říká, že odešlo více než 12 brigádníků. Protože 12 není více než 12, je toto tvrzení nepravdivé.

Závěr

Tvrzení je nepravdivé (N).
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 12

Velký obdélník lze rozdělit na dva shodné menší obdélníky nebo na dva čtverce.
Obvod jednoho z menších obdélníků je 30 cm.

Jaký je obvod velkého obdélníku?

  • A) menší než 36 cm
  • D) 60 cm
  • B) 36 cm
  • E) větší než 60 cm
  • C) 40 cm
Zobrazit odpověď

B

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Zadání říká, že velký obdélník lze rozdělit na dva čtverce. To nám prozradí důležitý vztah: delší strana velkého obdélníku musí být dvakrát delší než jeho kratší strana.

Metoda dílků

Představme si, že kratší stranu velkého obdélníku tvoří 2 stejné dílky. Potom delší strana musí mít 4 tyto dílky (protože $2 \cdot 2 = 4$).

Obvod menšího obdélníku

Když velký obdélník rozdělíme vodorovně na poloviny, vzniknou dva menší obdélníky. Každý z nich bude mít délku 4 dílky, ale jeho šířka bude tvořena jen 1 dílkem (polovina ze 2).
Obvod tohoto menšího obdélníku se skládá z: $4 + 1 + 4 + 1 = 10$ dílků.
Víme, že obvod je 30 cm, takže jeden dílek měří:
$30 : 10 = 3 \text{ cm}$

Obvod velkého obdélníku

Velký obdélník má strany o délce 4 dílky a 2 dílky.
Jeho obvod se skládá z: $4 + 2 + 4 + 2 = 12$ dílků.
Protože jeden dílek měří 3 cm, celkový obvod je:
$12 \cdot 3 = 36 \text{ cm}$

Závěr

Obvod velkého obdélníku je 36 cm. Správná je tedy možnost B.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 13

Přímka p prochází vrcholy A, B trojúhelníku ABC, jehož vnitřní úhly mají velikosti α, β, γ. Bodem B prochází rovnoběžka se stranou AC.

Jaká je velikost úhlu γ?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

  • A) 115°
  • D) 140°
  • B) 120°
  • E) 150°
  • C) 135°
Zobrazit odpověď

C

2 body
Úloha 14

Kvádr s podstavou o rozměrech 6 cm a 8 cm a výškou 10 cm lze dvěma svislými úhlopříčnými řezy rozdělit na čtyři trojboké hranoly s výškou 10 cm. Odebráním jednoho z trojbokých hranolů vznikne z kvádru pětiboký hranol jako na obrázku vpravo.

O kolik cm² se liší povrch pětibokého hranolu a povrch původního kvádru?

  • A) o 4 cm²
  • D) o 30 cm²
  • B) o 16 cm²
  • E) o jiný počet cm²
  • C) o 24 cm²
Zobrazit odpověď

A

2 body
Úloha 15.1

Letos se na gymnázium přihlásilo 420 uchazečů, což je o 40 % více, než se jich přihlásilo loni.

Kolik uchazečů se na gymnázium přihlásilo loni?

  • A) méně než 240
  • D) 280
  • B) 240
  • E) 300
  • C) 260
  • F) více než 300
Zobrazit odpověď

E

2 body
Úloha 15.2

On-line kurzu českého jazyka se zúčastnilo 180 žáků, což je o 25 % méně, než se jich zúčastnilo on-line kurzu matematiky.

Kolik žáků se zúčastnilo on-line kurzu matematiky?

  • A) méně než 240
  • D) 280
  • B) 240
  • E) 300
  • C) 260
  • F) více než 300
Zobrazit odpověď

B

2 body
Úloha 15.3

Včera navštívilo plavecký bazén celkem 680 dospělých, mezi nimiž bylo mužů o 30 % méně než žen.

Kolik mužů včera navštívilo plavecký bazén?

  • A) méně než 240
  • D) 280
  • B) 240
  • E) 300
  • C) 260
  • F) více než 300
Zobrazit odpověď

D

2 body
Úloha 16.1

Obrazce tvaru trojúhelníku se sestavují skládáním šedých trojúhelníků do pater (viz obrázek). Šedé trojúhelníky mají ve vrcholech puntíky a na stranách stejně dlouhé úsečky. V prvním obrazci je pouze jeden šedý trojúhelník a každý další obrazec má o jedno patro šedých trojúhelníků více než předchozí obrazec.

Určete počet úseček v obrazci, který má 5 pater.

Zobrazit odpověď

45 úseček

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza zadání a obrázku

Z obrázku a přiložené tabulky vyčteme počty úseček pro první tři obrazce:
  • 1 patro: 3 úsečky
  • 2 patra: 9 úseček
  • 3 patra: 18 úseček
Naším úkolem je zjistit, kolik úseček bude mít obrazec s 5 patry.

Hledání pravidla pro nárůst počtu úseček

Podíváme se, o kolik úseček se obrazec zvětší s každým dalším patrem:
  • Při přechodu z 1 na 2 patra přibylo 6 úseček ($9 - 3 = 6$).
  • Při přechodu ze 2 na 3 patra přibylo 9 úseček ($18 - 9 = 9$).
Vidíme, že počet přidaných úseček tvoří násobky tří ($3 \times 2$, $3 \times 3$). Můžeme tedy očekávat, že u dalších pater bude nárůst následovně:
  • Pro 4. patro přibude $3 \times 4 = 12$ úseček.
  • Pro 5. patro přibude $3 \times 5 = 15$ úseček.

Výpočet pro 5 pater

Nyní můžeme postupně dopočítat celkový počet úseček až k pátému obrazci:
  • 3 patra: 18 úseček
  • 4 patra: $18 + 12 = 30$ úseček
  • 5 pater: $30 + 15 = 45$ úseček

Závěr

Obrazec, který má 5 pater, obsahuje celkem 45 úseček.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 16.2

Obrazce tvaru trojúhelníku se sestavují skládáním šedých trojúhelníků do pater (viz obrázek). Šedé trojúhelníky mají ve vrcholech puntíky a na stranách stejně dlouhé úsečky. V prvním obrazci je pouze jeden šedý trojúhelník a každý další obrazec má o jedno patro šedých trojúhelníků více než předchozí obrazec.

Počet úseček v posledním a v předposledním obrazci se liší o 96.

Určete, o kolik se liší počet puntíků v posledním a předposledním obrazci.

Zobrazit odpověď

o 33 puntíků

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrazců

Nejdříve si všimneme, jak v obrazcích přibývají úsečky a puntíky s každým dalším přidaným patrem:
  • Při přidání 2. patra (2. obrazec) přibude 6 úseček ($9 - 3 = 6$) a 3 puntíky ($6 - 3 = 3$).
  • Při přidání 3. patra (3. obrazec) přibude 9 úseček ($18 - 9 = 9$) a 4 puntíky ($10 - 6 = 4$).
Vidíme, že počet úseček, které přibudou, je vždy trojnásobek čísla přidaného patra. Počet puntíků, které přibudou, je o 1 vyšší než číslo přidaného patra.

Určení počtu pater

Víme, že v posledním obrazci je o 96 úseček více než v předposledním. To znamená, že v posledním (přidaném) patře je 96 úseček. Počet pater zjistíme tak, že tento rozdíl vydělíme třemi: $96 : 3 = 32$ Poslední obrazec má tedy 32 pater.

Výpočet rozdílu puntíků

V posledním obrazci přibylo oproti předposlednímu 32. patro. Podle našeho pozorování víme, že počet přidaných puntíků je o 1 vyšší než číslo patra: $32 + 1 = 33$ Počet puntíků se tedy liší o 33.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 16.3

Obrazce tvaru trojúhelníku se sestavují skládáním šedých trojúhelníků do pater (viz obrázek). Šedé trojúhelníky mají ve vrcholech puntíky a na stranách stejně dlouhé úsečky. V prvním obrazci je pouze jeden šedý trojúhelník a každý další obrazec má o jedno patro šedých trojúhelníků více než předchozí obrazec.

V jednom obrazci je 300 puntíků.

Určete počet úseček v následujícím obrazci.

Zobrazit odpověď

900 úseček

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vypozorování pravidelnosti

Podle obrázku a popisu vidíme, jak se mění počty puntíků a úseček s přibývajícími patry:
  • 1 patro: 3 puntíky ($1+2$), 3 úsečky ($3 \cdot 1$)
  • 2 patra: 6 puntíků ($1+2+3$), 9 úseček ($3+6$)
  • 3 patra: 10 puntíků ($1+2+3+4$), 18 úseček ($3+6+9$)
Počet puntíků je vždy součet řady čísel od 1 až do čísla o jedna vyššího, než je počet pater. Počet úseček je vždy součet násobků trojky ($3, 6, 9, \dots$) až po $n$-té patro.

Určení počtu pater obrazce s 300 puntíky

Hledáme, kolik čísel musíme sečíst ($1+2+3+4+\dots$), aby součet byl 300. Součet řady čísel od 1 do $k$ vypočítáme jako $\frac{k \cdot (k+1)}{2}$.
$\frac{k \cdot (k+1)}{2} = 300 \implies k \cdot (k+1) = 600$
Hledáme dvě po sobě jdoucí čísla, jejichž součin je 600. Protože $24 \cdot 25 = 600$, je $k = 24$. Jelikož $k$ je o jedna vyšší než počet pater, má tento obrazec 23 pater.

Výpočet počtu úseček v následujícím obrazci

Následující obrazec má o jedno patro více, tedy 24 pater. Počet úseček pro 24 pater vypočítáme jako součet: $3 + 6 + 9 + \dots + (3 \cdot 24) = 3 \cdot (1 + 2 + 3 + \dots + 24)$ Součet čísel od 1 do 24 je $\frac{24 \cdot 25}{2} = 300$. Počet úseček je tedy:
$3 \cdot 300 = 900$
Pomohlo vám toto řešení?
2 body