Načítání…
Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 9. ročník

Podkategorie: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2023

33 úloh

PDF+Klíč
Úloha 1

Celý film trvá 1 hodinu. Doba, která ještě zbývá do konce filmu, je polovinou doby, která již uplynula od začátku filmu.

Vypočtěte, kolik minut zbývá do konce filmu.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení doby filmu

Celý film trvá 60 minut. Zbývající doba je polovinou uplynulé doby, takže uplynulá doba je dvakrát delší než zbývající. Celou hodinu tedy rozdělíme na tři stejné díly: dva už uplynuly a jeden zbývá.

Výpočet zbývající doby

Jeden díl trvá $60 : 3 = 20$ minut. Do konce filmu zbývá jeden díl, tedy 20 minut.

Ověření a výsledek

Už uplynulo $60 - 20 = 40$ minut. Polovina ze 40 minut je 20 minut, což souhlasí se zadáním. Do konce filmu zbývá 20 minut.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

20 minut

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.1

Vnitřní objem sudu je 15krát větší než objem kbelíku.
Objem kbelíku je 5krát větší než objem konvičky.
Ze sudu plného vody jsme třetinu vody odebrali, takže v něm zbylo 60 litrů vody.

Vypočtěte v litrech objem konvičky.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Objem sudu

Po odebrání třetiny vody zbyly v sudu dvě třetiny, tedy 60 litrů. Jedna třetina je 60 : 2 = 30 litrů. Objem celého sudu je 3 · 30 = 90 litrů.

Objem kbelíku

Sud má 15krát větší objem než kbelík. Objem kbelíku proto vypočítáme dělením: 90 : 15 = 6 litrů.

Objem konvičky

Kbelík má 5krát větší objem než konvička, takže objem konvičky je 6 : 5 = 1,2 litru. Ověříme: 1,2 · 5 · 15 = 90 litrů a dvě třetiny z 90 litrů jsou 60 litrů. Objem konvičky je 1,2 litru.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1,2 litru l

Stav úlohy
2 body
Úloha 2.2

Kvádr je možné beze zbytku rozřezat na 200 krychlí, z nichž každá má objem 8 dm³.

Vypočtěte, na kolik krychliček o objemu 1 cm³ lze tento kvádr beze zbytku rozřezat.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Objem kvádru

Kvádr se skládá z 200 krychlí, každá má objem 8 dm³. Objem celého kvádru je tedy 200 · 8 = 1 600 dm³.

Převod na krychlové centimetry

Protože 1 dm = 10 cm, platí 1 dm³ = 10 · 10 · 10 = 1 000 cm³. Objem kvádru je 1 600 · 1 000 = 1 600 000 cm³.

Počet krychliček

Každá krychlička má objem 1 cm³, takže jejich počet je 1 600 000 : 1 = 1 600 000. Kvádr lze beze zbytku rozřezat na 1 600 000 krychliček.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1 600 000 krychliček

Stav úlohy
1 bod
Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{5}{9} - \frac{5}{9} \div 5=$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Přednost operací

V zadaném výrazu $\frac{5}{9} - \frac{5}{9} \div 5$ musíme nejdříve provést dělení a teprve potom odčítání.

Dělení zlomku

Dělit číslo 5 je totéž jako násobit jej převrácenou hodnotou, tedy $\frac{1}{5}$. Výpočet tedy vypadá takto:
$\frac{5}{9} \div 5 = \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{9}$

Odčítání zlomků

Nyní od prvního zlomku odečteme výsledek dělení:
$\frac{5}{9} - \frac{1}{9} = \frac{4}{9}$

Závěr

Výsledek v základním tvaru je $\frac{4}{9}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

4/9

Stav úlohy
1 bod
Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{4 - 7}{8} \cdot \frac{16}{21} =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odečtení v čitateli

Nejdříve vypočítáme rozdíl v čitateli prvního zlomku:
$4 - 7 = -3$
První zlomek má tedy tvar $\frac{-3}{8}$.

Násobení a krácení

Nyní vynásobíme oba zlomky. Před samotným násobením je výhodné zlomky pokrátit:
$\frac{-3}{8} \cdot \frac{16}{21} = \frac{-3 \cdot 16}{8 \cdot 21}$
Můžeme krátit číslo $16$ s číslem $8$ (zbyde $2$ a $1$) a číslo $3$ s číslem $21$ (zbyde $1$ a $7$):
$\frac{-1 \cdot 2}{1 \cdot 7} = -\frac{2}{7}$

Závěrečný výsledek

Výsledný zlomek v základním tvaru je $-\frac{2}{7}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-2/7

Stav úlohy
1 bod
Úloha 3.3

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{5} \div \left( \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \right) }{\displaystyle \frac{7}{6} + \frac{7}{10} } =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet čitatele

Nejdříve vypočítáme výraz v závorce v čitateli: $\frac{2}{5} + \frac{1}{2} = \frac{4 + 5}{10} = \frac{9}{10}$ Následně provedeme dělení v čitateli: $\frac{3}{5} \div \frac{9}{10} = \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{9} = \frac{30}{45} = \frac{2}{3}$

Krok 2: Výpočet jmenovatele

Vypočítáme součet ve jmenovateli hlavního zlomku: $\frac{7}{6} + \frac{7}{10} = \frac{35 + 21}{30} = \frac{56}{30} = \frac{28}{15}$

Krok 3: Výpočet složeného zlomku

Nyní vydělíme vypočítaný čitatel jmenovatelem (vynásobíme čitatel převrácenou hodnotou jmenovatele): $\frac{\frac{2}{3}}{\frac{28}{15}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{15}{28} = \frac{1}{1} \cdot \frac{5}{14} = \frac{5}{14}$

Závěrečný výsledek

Výsledný zlomek v základním tvaru je $\frac{5}{14}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

5/14

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.1

Upravte a rozložte na součin vytknutím:

$\displaystyle 2 \cdot \left( {\rm x} ^2 - {\rm x} \right) + {\rm x} =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Roznásobení závorky

Nejdřív vynásobíme oba členy v závorce číslem 2: $2(x^2-x)+x=2x^2-2x+x$.

Sloučení podobných členů

Potom sečteme členy s $x$: $-2x+x=-x$. Dostaneme $2x^2-x$.

Vytknutí a výsledek

Oba členy obsahují společný činitel $x$, který vytkneme: $2x^2-x=x(2x-1)$. Výsledný součin je $x(2x-1)$. Roznásobením závorky znovu dostaneme $2x^2-x$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

x(2x-1)

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.2

Umocněte a zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle \left( \frac{2}{3} {\rm a} - 3 \right) ^2 =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Umocnění rozdílu

Použijeme vzorec $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$. První člen je $\frac{2}{3}a$ a druhý je $3$, tedy $\left(\frac{2}{3}a-3\right)^2=\left(\frac{2}{3}a\right)^2-2\cdot\frac{2}{3}a\cdot3+3^2$.

Výpočet členů

Nejdřív umocníme první člen: $\left(\frac{2}{3}a\right)^2=\frac{4}{9}a^2$. Potom vypočítáme prostřední člen: $-2\cdot\frac{2}{3}a\cdot3=-4a$. Poslední člen je $3^2=9$.

Výsledek

Výsledný výraz bez závorek je $\boxed{\frac{4}{9}a^2-4a+9}$. Členy už nelze sloučit, protože obsahují různé mocniny proměnné $a$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

(4/9)a²-4a+9

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.3

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle 3 {\rm n} \cdot \left( 2 - {\rm n} + 2{\rm n} \right) + \left( 2{\rm n} + 1 \right) \cdot \left( 7-{\rm n} \right) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úprava první závorky

Nejdřív sečteme členy s $n$ v první závorce: $-n+2n=n$. První součin je tedy $3n(2+n)$.

Roznásobení závorek

Roznásobíme první součin: $3n(2+n)=6n+3n^2$. Ve druhém součinu vynásobíme každý člen první závorky každým členem druhé: $(2n+1)(7-n)=14n-2n^2+7-n$.

Sečtení podobných členů

Dohromady máme $6n+3n^2+14n-2n^2+7-n$. Členy s $n^2$ dávají $3n^2-2n^2=n^2$ a členy s $n$ dávají $6n+14n-n=19n$. Výsledný výraz bez závorek je $\boxed{n^2+19n+7}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

n²+19n+7

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.1

Řešte rovnici:

$\displaystyle 0,5 {\rm x} + 2 \cdot \left( {\rm x} +2,5 \right) =2,5 \cdot \left( {\rm x} + 3 \right)$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Roznásobení závorek

Roznásobíme závorky na obou stranách rovnice: $0{,}5x + 2x + 5 = 2{,}5x + 7{,}5$.

Úprava rovnice

Na levé straně sečteme členy s neznámou: $2{,}5x + 5 = 2{,}5x + 7{,}5$. Od obou stran odečteme $2{,}5x$ a dostaneme $5 = 7{,}5$.

Výsledek

Rovnost $5 = 7{,}5$ neplatí. Po úpravě nezůstala v rovnici žádná neznámá, takže tuto nepravdivou rovnost nemůže splnit žádná hodnota $x$. Rovnice nemá řešení.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

rovnice nemá řešení

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.2

Řešte rovnici:

$\displaystyle \frac{ {\rm y} + 10}{15} + \frac{2 {\rm y} }{5} =1- \frac{5 - {\rm y} }{3}$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění zlomků

Celou rovnici vynásobíme číslem 15, které je společným násobkem všech jmenovatelů. Dostaneme $y + 10 + 6y = 15 - 5(5 - y)$.

Úprava rovnice

Roznásobíme závorku: $-5(5 - y) = -25 + 5y$. Sečteme stejné členy a získáme $7y + 10 = -10 + 5y$.

Výpočet neznámé

Od obou stran odečteme $5y$ a potom 10: $2y = -20$. Obě strany vydělíme dvěma: $y = -10$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme do původní rovnice. Levá strana: $\frac{-10 + 10}{15} + \frac{2 \cdot (-10)}{5} = 0 - 4 = -4$. Pravá strana: $1 - \frac{5 - (-10)}{3} = 1 - 5 = -4$. Obě strany se rovnají, takže řešením je $y = -10$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

y = -10

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.1

Pravoúhlý lichoběžník ABCD se základnami AB, CD má pravý úhel při vrcholu C. Některé rozměry lichoběžníku jsou uvedeny v obrázku.

Vypočtěte v cm² obsah trojúhelníku ABD.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Základna a výška

Za základnu trojúhelníku ABD zvolíme stranu AB dlouhou 6 cm. Základny AB a CD jsou rovnoběžné a strana BC je na ně kolmá. Bod D leží na CD, proto je jeho kolmá vzdálenost od přímky AB stejná jako délka BC, tedy 8 cm. To je výška trojúhelníku k základně AB.

Výpočet obsahu

Obsah trojúhelníku vypočítáme jako polovinu součinu základny a příslušné výšky: $S = \frac{6 \cdot 8}{2} = \frac{48}{2} = 24\,\text{cm}^2$.

Výsledek

Trojúhelník ABD má obsah 24 cm².
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

24 cm²

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.2

Pravoúhlý lichoběžník ABCD se základnami AB, CD má pravý úhel při vrcholu C. Některé rozměry lichoběžníku jsou uvedeny v obrázku.

Vypočtěte v cm² obsah lichoběžníku ABCD.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Základny a výška

Základny AB a CD mají délky 6 cm a 10 cm. Strana BC je kolmá na základny, proto je výškou lichoběžníku: v = 8 cm.

Výpočet obsahu

Sečteme délky základen, součet vynásobíme výškou a vydělíme dvěma: $S = \frac{(6 + 10) \cdot 8}{2} = \frac{128}{2} = 64\,\text{cm}^2$.

Výsledek

Obsah lichoběžníku ABCD je 64 cm².
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

64 cm²

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.1

Pouze pro žáky 8. a 9. tříd byly otevřeny tři kroužky – hudební, šachový a robotický. Každý žák může být jen v jednom z těchto tří kroužků. Graf znázorňuje počty žáků v jednotlivých kroužcích, jeden údaj a čísla na svislé ose chybí.V hudebním kroužku je celkem o 6 žáků méně než v šachovém. Ve všech třech kroužcích dohromady je poměr počtu žáků 8. tříd ku počtu žáků 9. tříd 2∶3.

Určete, o kolik procent více je v hudebním kroužku žáků 8. tříd než žáků 9. tříd.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu

V hudebním kroužku sahá sloupec žáků 8. tříd do výšky 5 dílků a sloupec žáků 9. tříd do výšky 4 dílků. Žáků 8. tříd je tedy o 1 dílek více. Pro výpočet procent nemusíme znát počet žáků v jednom dílku.

Výpočet procent

Porovnáváme s počtem žáků 9. tříd, takže základem jsou jejich 4 dílky. Rozdíl 1 dílek tvoří čtvrtinu tohoto základu: $\frac{1}{4} \cdot 100 = 25\,\%$.

Výsledek

V hudebním kroužku je žáků 8. tříd o 25 % více než žáků 9. tříd.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

o 25 %

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.2

Pouze pro žáky 8. a 9. tříd byly otevřeny tři kroužky – hudební, šachový a robotický. Každý žák může být jen v jednom z těchto tří kroužků. Graf znázorňuje počty žáků v jednotlivých kroužcích, jeden údaj a čísla na svislé ose chybí.V hudebním kroužku je celkem o 6 žáků méně než v šachovém. Ve všech třech kroužcích dohromady je poměr počtu žáků 8. tříd ku počtu žáků 9. tříd 2∶3.

Určete, kolik žáků 9. tříd je v šachovém kroužku.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Porovnání sloupců

V hudebním kroužku odpovídá počet žáků dohromady $5 + 4 = 9$ dílkům mřížky. V šachovém kroužku je to $4 + 7 = 11$ dílků. Rozdíl je tedy $11 - 9 = 2$ dílky.

Hodnota jednoho dílku

V šachovém kroužku je podle zadání o 6 žáků více než v hudebním. Dva dílky proto představují 6 žáků a jeden dílek představuje $6 : 2 = 3$ žáky.

Počet žáků 9. tříd

Světlý sloupec pro 9. třídy v šachovém kroužku má výšku 7 dílků. Počet žáků je tedy $7 \cdot 3 = 21$. V šachovém kroužku je 21 žáků 9. tříd.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

21 žáků

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.3

Pouze pro žáky 8. a 9. tříd byly otevřeny tři kroužky – hudební, šachový a robotický. Každý žák může být jen v jednom z těchto tří kroužků. Graf znázorňuje počty žáků v jednotlivých kroužcích, jeden údaj a čísla na svislé ose chybí.V hudebním kroužku je celkem o 6 žáků méně než v šachovém. Ve všech třech kroužcích dohromady je poměr počtu žáků 8. tříd ku počtu žáků 9. tříd 2∶3.

Určete, jaký je v robotickém kroužku poměr počtu žáků 8. tříd ku počtu žáků 9. tříd.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hodnota jednoho dílku

V hudebním kroužku mají sloupce dohromady 5 + 4 = 9 dílků, v šachovém 4 + 7 = 11 dílků. Rozdíl 2 dílků odpovídá 6 žákům, takže jeden dílek představuje 6 : 2 = 3 žáky.

Celkové počty žáků

Sloupce pro 8. třídy mají dohromady 5 + 4 + 3 = 12 dílků, tedy 12 · 3 = 36 žáků. Celkový poměr počtu žáků 8. a 9. tříd je 2 : 3. Na jednu část tohoto poměru připadá 36 : 2 = 18 žáků, a proto je žáků 9. tříd dohromady 18 · 3 = 54.

Žáci 9. tříd v robotickém kroužku

V hudebním kroužku je 4 · 3 = 12 žáků 9. tříd a v šachovém 7 · 3 = 21. V robotickém kroužku tedy zbývá 54 − 12 − 21 = 21 žáků 9. tříd.

Výsledný poměr

V robotickém kroužku je 3 · 3 = 9 žáků 8. tříd a 21 žáků 9. tříd. Hledaný poměr je 9 : 21. Obě čísla vydělíme třemi a dostaneme 3 : 7.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

3 : 7

Stav úlohy
1 bod
Úloha 8.1

Čtvercový pozemek má stejný obvod jako obdélníkový pozemek.
Obdélníkový pozemek má jednu stranu o 25 % kratší než čtvercový pozemek a druhou stranu o 10 m delší než čtvercový pozemek.

Délku strany čtvercového pozemku označíme a.

Vyjádřete výrazem s proměnnou a délku kratší strany obdélníkového pozemku.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

0,75𝑎, resp. 𝑎 − 10 m

Stav úlohy
1 bod
Úloha 8.2

Čtvercový pozemek má stejný obvod jako obdélníkový pozemek.
Obdélníkový pozemek má jednu stranu o 25 % kratší než čtvercový pozemek a druhou stranu o 10 m delší než čtvercový pozemek.

Délku strany čtvercového pozemku označíme a.

Vypočtěte v metrech délku a strany čtvercového pozemku.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry pozemků

Strana čtverce má délku $a$. Kratší strana obdélníku měří 75 % délky $a$, tedy $0{,}75a$. Delší strana měří $a + 10$ metrů.

Rovnost obvodů

Obvod čtverce je $4a$ a obvod obdélníku je $2 \cdot (0{,}75a + a + 10)$. Obvody jsou stejné, proto platí $4a = 3{,}5a + 20$. Odečteme $3{,}5a$ a dostaneme $0{,}5a = 20$. Polovina strany měří 20 m, takže celá strana měří $a = 40$ m.

Ověření a výsledek

Obdélník má strany $0{,}75 \cdot 40 = 30$ m a $40 + 10 = 50$ m. Jeho obvod je $2 \cdot (30 + 50) = 160$ m. Čtverec má také obvod $4 \cdot 40 = 160$ m. Délka strany čtvercového pozemku je 40 m.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

a = 40 m

Stav úlohy
2 body
Úloha 8.3

Čtvercový pozemek má stejný obvod jako obdélníkový pozemek.
Obdélníkový pozemek má jednu stranu o 25 % kratší než čtvercový pozemek a druhou stranu o 10 m delší než čtvercový pozemek.

Délku strany čtvercového pozemku označíme a.

Vypočtěte, o kolik m² se liší obsahy obdélníkového a čtvercového pozemku.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry pozemků

Stranu čtverce označíme $a$. Kratší strana obdélníku měří 75 % této délky, tedy $0{,}75a$, a delší strana měří $a + 10$ metrů.

Stejné obvody

Obvod čtverce je $4a$ a obvod obdélníku je $2(0{,}75a + a + 10)$. Proto platí $4a = 3{,}5a + 20$. Odečteme $3{,}5a$ a dostaneme $0{,}5a = 20$, tedy $a = 40$ m. Obdélník má strany $0{,}75 \cdot 40 = 30$ m a $40 + 10 = 50$ m. Ověříme obvody: $4 \cdot 40 = 160$ m a $2 \cdot (30 + 50) = 160$ m.

Výpočet obsahů

Obsah čtverce je $40 \cdot 40 = 1600$ m². Obsah obdélníku je $30 \cdot 50 = 1500$ m².

Rozdíl obsahů

Rozdíl je $1600 - 1500 = 100$ m². Obdélníkový pozemek má o 100 m² menší obsah než čtvercový pozemek.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

o 100 m²

Stav úlohy
1 bod
Úloha 9

V rovině leží body A, C, M.

Body A, C jsou vrcholy obdélníku ABCD.
Bod M leží na úhlopříčce BD tohoto obdélníku.

Sestrojte vrcholy B, D obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Nastane jedna z následujících situací:

  • Požadovaný obdélník je sestrojen s mírnou nepřesností.
  • Správně je sestrojen pouze střed S úsečky AC a přímka SM, další konstrukce chybí, nebo je sestrojen čtyřúhelník, jehož úhlopříčka BD však musí ležet na přímce SM.

Pouze velmi nepřesné nebo zcela chybné konstrukce (např. úhlopříčka BD sestrojeného útvaru neprochází bodem M).

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2023, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
2 body
Úloha 10

V rovině leží body A, P a kružnice k se středem S.

Bod A je vrchol rovnoramenného trojúhelníku ABC, jehož základna leží na přímce AP.
Vrcholy B, C tohoto trojúhelníku leží na kružnici k.

Sestrojte vrcholy B, C trojúhelníku ABC, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Nastane jedna z následujících situací:

  • Jsou sestrojeny oba požadované trojúhelníky, ale s mírnou nepřesností.
  • Z požadovaných trojúhelníků je sestrojen pouze jeden, a to přesně.

Nastane jedna z následujících situací:

  • Z požadovaných trojúhelníků je sestrojen pouze jeden, a to s mírnou nepřesností.
  • Správně sestrojeny jsou pouze bod B a osa úsečky AB, další konstrukce chybí nebo je chybná.

Namísto požadovaných trojúhelníků jsou sestrojeny dva rovnoramenné trojúhelníky, pro které platí právě jedna z následujících odchylek od zadání (a to pro oba tatáž):

  • na přímce AP leží rameno, nikoli základna trojúhelníků ABC,
  • základna trojúhelníků ABC leží na přímce AS, nikoli AP,
  • krajní bod základny trojúhelníků ABC je umístěn do bodu P, nikoli na kružnici k,
  • krajní bod základny trojúhelníků ABC je umístěn na kružnici k, nikoli v bodě A.

Poznámka: Ostatní podmínky zadání jsou však splněny a konstrukce je přesná.

Pouze zcela chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2023, úloha 10

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 11.1
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Každých 3,5 cm na turistické mapě rovinaté oblasti je ve skutečnosti 700 m.
Délka vycházkové trasy je přesně 6 km, což je trojnásobek délky přímé trasy.
(Uvažované trasy nemají žádné převýšení.)

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (ano), či nikoli (ne).

Trasa, která na mapě měří 49 mm, je ve skutečnosti delší než 1 km.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod délky na mapě

Nejdřív převedeme 3,5 cm na milimetry: 3,5 cm = 35 mm. Na mapě tedy 35 mm odpovídá 700 m ve skutečnosti. Jeden milimetr odpovídá 700 : 35 = 20 m.

Skutečná délka trasy

Trasa na mapě měří 49 mm. Její skutečná délka je 49 · 20 = 980 m.

Posouzení tvrzení

Jeden kilometr je 1 000 m. Protože 980 m je méně než 1 000 m, trasa je kratší než 1 km. Tvrzení je nepravdivé, odpověď je ne.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11.2
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Každých 3,5 cm na turistické mapě rovinaté oblasti je ve skutečnosti 700 m.
Délka vycházkové trasy je přesně 6 km, což je trojnásobek délky přímé trasy.
(Uvažované trasy nemají žádné převýšení.)

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (ano), či nikoli (ne).

Na mapě je vycházková trasa o 20 cm delší než přímá trasa.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod vzdáleností

Na mapě odpovídá 3,5 cm vzdálenosti 700 m. Jeden centimetr na mapě tedy představuje 700 : 3,5 = 200 m ve skutečnosti.

Skutečné délky tras

Vycházková trasa měří 6 km = 6 000 m. Je třikrát delší než přímá trasa, takže přímá trasa měří 6 000 : 3 = 2 000 m.

Délky tras na mapě

Vycházková trasa na mapě měří 6 000 : 200 = 30 cm. Přímá trasa na mapě měří 2 000 : 200 = 10 cm.

Výsledek

Rozdíl délek na mapě je 30 − 10 = 20 cm. Vycházková trasa je tedy na mapě o 20 cm delší než přímá trasa. Tvrzení je pravdivé, odpověď je ano.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11.3
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Každých 3,5 cm na turistické mapě rovinaté oblasti je ve skutečnosti 700 m.
Délka vycházkové trasy je přesně 6 km, což je trojnásobek délky přímé trasy.
(Uvažované trasy nemají žádné převýšení.)

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (ano), či nikoli (ne).

Měřítko turistické mapy je 1∶200 000.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod jednotek

Měřítko porovnává vzdálenosti ve stejných jednotkách. Proto převedeme skutečnou vzdálenost na centimetry: $700\ \text{m} = 70\,000\ \text{cm}$.

Výpočet měřítka

Na mapě odpovídá 3,5 cm skutečným 70 000 cm. Obě vzdálenosti vydělíme 3,5: $70\,000 : 3{,}5 = 20\,000$. Jeden centimetr na mapě tedy představuje 20 000 cm ve skutečnosti, takže měřítko je $1 : 20\,000$.

Výsledek

Vypočítané měřítko je $1 : 20\,000$. Tvrzení, že měřítko mapy je $1 : 200\,000$, je tedy nepravdivé (ne).
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 12

Vnitřní prostor haly má tvar kvádru ABCDEFGH, jehož výška je 6 m a délka 15 m. Uvnitř haly je na podlaze, stropě a dvou stěnách vyznačena uzavřená lomená čára ACFHA. Úhlopříčka vyznačená na podlaze haly měří 17 m a tvoří úsek AC této lomené čáry.

Jaká je délka lomené čáry ACFHA?

  • A) 46 m
  • D) 68 m
  • B) 50 m
  • E) jiná délka
  • C) 54 m
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Šířka haly

Podlaha je obdélník s délkou AB = 15 m a úhlopříčkou AC = 17 m. V pravoúhlém trojúhelníku ABC použijeme Pythagorovu větu: $BC^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$. Šířka haly BC je tedy 8 m.

Úhlopříčky bočních stěn

Úsečky CF a HA jsou úhlopříčky dvou shodných bočních stěn. Každá z těchto stěn má rozměry 8 m a 6 m. Podle Pythagorovy věty je délka její úhlopříčky $\sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = 10$ m. Proto CF = HA = 10 m.

Délka lomené čáry

Strop má stejné rozměry jako podlaha, takže FH = AC = 17 m. Sečteme všechny čtyři úseky: $17 + 10 + 17 + 10 = 54$ m. Lomená čára ACFHA měří 54 m, správná je možnost C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 13

Obsah pláště rotačního válce je třikrát větší než obsah jedné podstavy tohoto válce. Poloměr podstavy válce je 10 cm.

Jaký je povrch válce?

Výsledek je zaokrouhlen na desítky cm².

  • A) menší než 930 cm²
  • D) 1 570 cm²
  • B) 940 cm²
  • E) větší než 1 580 cm²
  • C) 1 260 cm²
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah jedné podstavy

Podstava je kruh o poloměru 10 cm. Její obsah je π · 10² = 100π cm².

Povrch válce

Obsah pláště je třikrát větší než obsah jedné podstavy, tedy 3 · 100π = 300π cm². Povrch tvoří plášť a dvě podstavy: 300π + 2 · 100π = 500π cm².

Zaokrouhlení a výsledek

Povrch je přibližně 1 570,8 cm². Po zaokrouhlení na desítky cm² dostaneme 1 570 cm². Správná je možnost D.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 14

V rovině leží čtyři přímky, z nichž dvě jsou rovnoběžné.

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

Jaká je velikost úhlu β?

  • A) 100°
  • D) 120°
  • B) 108°
  • E) jiná velikost
  • C) 116°
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úhly v trojúhelníku

Šikmé přímky a horní rovnoběžka tvoří trojúhelník. U jeho horního vrcholu je úhel $2\alpha$, protože je vrcholový k vyznačenému úhlu $2\alpha$. Levý vnitřní úhel je $4\alpha$: je souhlasný s úhlem $4\alpha$ u dolní rovnoběžky. Pravý vnitřní úhel má také velikost $4\alpha$.

Výpočet úhlu α

Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je $180^\circ$, tedy $2\alpha + 4\alpha + 4\alpha = 180^\circ$. Dostáváme $10\alpha = 180^\circ$, a proto $\alpha = 18^\circ$. Úhel $4\alpha$ má velikost $4 \cdot 18^\circ = 72^\circ$.

Výpočet úhlu β a výsledek

Úhel $\beta$ a levý vnitřní úhel trojúhelníku jsou vedlejší úhly, takže jejich součet je $180^\circ$. Proto $\beta = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$. Správná je možnost B: 108°.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.1

V roce 2020 firma vyrobila 250 výrobků.
Jak v roce 2021, tak v roce 2022 vyrobila firma vždy o 20 % výrobků více než v předchozím roce.

Kolik výrobků vyrobila firma v roce 2022?

  • A) 280
  • D) 350
  • B) 300
  • E) 360
  • C) 320
  • F) jiný počet
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výroba v roce 2021

Nejdřív vypočítáme 20 % z 250 výrobků: $250 : 100 \cdot 20 = 50$. V roce 2021 firma vyrobila $250 + 50 = 300$ výrobků.

Výroba v roce 2022

Další zvýšení o 20 % počítáme z 300 výrobků vyrobených v roce 2021: $300 : 100 \cdot 20 = 60$. V roce 2022 tedy firma vyrobila $300 + 60 = 360$ výrobků.

Výsledek

Firma v roce 2022 vyrobila 360 výrobků. Správná je možnost E.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.2

Roman i Jana jezdili během dovolené na kole.
Roman ujel 400 km, což bylo o čtvrtinu více, než ujela Jana.

Kolik km ujela na kole během dovolené Jana?

  • A) 280
  • D) 350
  • B) 300
  • E) 360
  • C) 320
  • F) jiný počet
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení na díly

Roman ujel o čtvrtinu více než Jana. Janinu vzdálenost rozdělíme na 4 stejné díly. Romanových 400 km tedy odpovídá 5 takovým dílům.

Výpočet Janiny vzdálenosti

Jeden díl měří $400 : 5 = 80$ km. Jana ujela 4 díly, tedy $4 \cdot 80 = 320$ km.

Výsledek a kontrola

Čtvrtina z 320 km je 80 km a $320 + 80 = 400$ km, což odpovídá Romanově vzdálenosti. Jana ujela 320 km. Správná je možnost C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.3

Firma během krize propouštěla zaměstnance, takže jich měla na konci krize o 40 % méně než před krizí.
Když firma po odeznění krize přijala 42 nových zaměstnanců, měla jich o 25 % více než na konci krize.

Kolik zaměstnanců měla firma před krizí?

  • A) 280
  • D) 350
  • B) 300
  • E) 360
  • C) 320
  • F) jiný počet
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet zaměstnanců na konci krize

Přijetím 42 zaměstnanců se počet zvýšil o 25 % počtu na konci krize. Těchto 42 zaměstnanců tedy představuje jednu čtvrtinu tohoto počtu. Na konci krize měla firma $42 \cdot 4 = 168$ zaměstnanců.

Počet zaměstnanců před krizí

Během krize ubylo 40 % zaměstnanců, takže zůstalo $100 - 40 = 60$ % původního počtu. Těchto 60 % je 168 zaměstnanců. Původní počet vypočítáme: $168 : 60 \cdot 100 = 280$.

Ověření a výsledek

Z 280 zaměstnanců zůstalo po propuštění 40 % celkem $280 \cdot 0{,}6 = 168$. Čtvrtina ze 168 je 42, takže i druhý údaj souhlasí. Firma měla před krizí 280 zaměstnanců, správná je možnost A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.1

Prvním obrazcem je bílý rovnostranný trojúhelník.
Každý další obrazec vznikne z předchozího obrazce dle následujících pravidel:
1. Nejprve každý bílý trojúhelník v obrazci rozdělíme na 4 shodné rovnostranné trojúhelníky.
2. Poté v každé takto vzniklé čtveřici bílých trojúhelníků obarvíme vnitřní trojúhelník na šedo.

Určete, kolik bílých trojúhelníků obsahuje pátý obrazec.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pravidlo pro bílé trojúhelníky

Každý bílý trojúhelník rozdělíme na čtyři menší. Prostřední obarvíme na šedo, takže z původního bílého trojúhelníku zůstanou tři bílé. Počet bílých trojúhelníků se tedy v každém dalším obrazci násobí třemi.

Počty v jednotlivých obrazcích

První obrazec obsahuje 1 bílý trojúhelník. Druhý obsahuje $1 \cdot 3 = 3$, třetí $3 \cdot 3 = 9$ a čtvrtý $9 \cdot 3 = 27$ bílých trojúhelníků.

Výsledek

V pátém obrazci je $27 \cdot 3 = 81$ bílých trojúhelníků. Pátý obrazec obsahuje 81 bílých trojúhelníků.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

81 bílých trojúhelníků

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.2

Prvním obrazcem je bílý rovnostranný trojúhelník.
Každý další obrazec vznikne z předchozího obrazce dle následujících pravidel:
1. Nejprve každý bílý trojúhelník v obrazci rozdělíme na 4 shodné rovnostranné trojúhelníky.
2. Poté v každé takto vzniklé čtveřici bílých trojúhelníků obarvíme vnitřní trojúhelník na šedo.

Šestý obrazec obsahuje 121 šedých trojúhelníků.

Určete, kolik šedých trojúhelníků obsahuje sedmý obrazec.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pravidlo tvorby obrazců

Z každého bílého trojúhelníku vzniknou v dalším obrazci tři bílé trojúhelníky a jeden nový šedý. Dosavadní šedé trojúhelníky zůstávají beze změny.

Počet bílých trojúhelníků

První obrazec má jeden bílý trojúhelník. V každém dalším obrazci je bílých trojúhelníků třikrát více. V prvních šesti obrazcích je jich postupně 1, 3, 9, 27, 81 a 243.

Počet šedých trojúhelníků v sedmém obrazci

Při tvorbě sedmého obrazce přibude z každého z 243 bílých trojúhelníků šestého obrazce jeden šedý. K dosavadním 121 šedým trojúhelníkům tedy přičteme 243: $121 + 243 = 364$. Sedmý obrazec obsahuje 364 šedých trojúhelníků.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

364 šedých trojúhelníků

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.3

Prvním obrazcem je bílý rovnostranný trojúhelník.
Každý další obrazec vznikne z předchozího obrazce dle následujících pravidel:
1. Nejprve každý bílý trojúhelník v obrazci rozdělíme na 4 shodné rovnostranné trojúhelníky.
2. Poté v každé takto vzniklé čtveřici bílých trojúhelníků obarvíme vnitřní trojúhelník na šedo.

Počet šedých trojúhelníků v posledním a v předposledním obrazci se liší o 6 561.

Určete, kolik bílých trojúhelníků obsahuje poslední obrazec.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Přírůstek šedých trojúhelníků

Z každého bílého trojúhelníku předposledního obrazce vznikne právě jeden nový šedý trojúhelník. Dosavadní šedé trojúhelníky se nemění. Přírůstek 6 561 šedých trojúhelníků tedy znamená, že předposlední obrazec obsahoval 6 561 bílých trojúhelníků.

Počet bílých trojúhelníků

Každý bílý trojúhelník rozdělíme na čtyři menší a jeden z nich obarvíme na šedo. Zůstanou tedy tři bílé trojúhelníky. V posledním obrazci jich bude $6\,561 \cdot 3 = 19\,683$.

Výsledek

Poslední obrazec obsahuje 19 683 bílých trojúhelníků.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

19 683 bílých trojúhelníků

Stav úlohy
2 body