Přijímací testy 9. ročník

Podkategorie: Matematika 9. ročník — 1. náhradní termín 2023

31 úloh

PDF+Klíč

Úloha 1

Vypočtěte, kolikrát je součet čísel 0,2 a 0,5 větší než jejich součin.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Součet čísel

Nejdřív sečteme obě čísla: 0,2 + 0,5 = 0,7.

Součin čísel

Potom obě čísla vynásobíme: 0,2 · 0,5 = 0,1.

Porovnání a výsledek

Kolikrát je součet větší než součin, zjistíme dělením: 0,7 : 0,1 = 7. Součet je tedy 7krát větší než součin.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

7krát

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2.1

Vypočtěte:

$\displaystyle 4+6 \div 2 - 5 \cdot \left( -3 + 5 \right) =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet závorky

Podle pravidel o přednosti operací nejdříve vypočítáme hodnotu v závorce:
$-3 + 5 = 2$

Násobení a dělení

Nyní v celém výrazu provedeme dělení a násobení, které mají přednost před sčítáním a odčítáním:
$6 \div 2 = 3$
$5 \cdot 2 = 10$

Sčítání a odčítání

Dosadíme výsledky zpět do výrazu a provedeme zbývající operace:
$4 + 3 - 10 = 7 - 10 = -3$

Výsledek

Výsledná hodnota výrazu je $-3$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-3

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2.2

Vypočtěte:

$\displaystyle \sqrt{1,3 ^2 - 1,2 ^2 } =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Umocnění

Nejdřív vypočítáme obě druhé mocniny: $1{,}3^2 = 1{,}69$ a $1{,}2^2 = 1{,}44$.

Výpočet pod odmocninou

Potom čísla pod odmocninou odečteme: $1{,}69 - 1{,}44 = 0{,}25$. Zbývá vypočítat $\sqrt{0{,}25}$.

Výsledek

Protože $0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$, je $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$. Výsledek je 0,5.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

0,5

Stav úlohy

1 bod

Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle 3 \cdot \frac{2}{7} - \frac{2}{7} =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Násobení

Podle pravidel přednosti operací nejdříve vypočítáme násobení. Celé číslo 3 vynásobíme čitatelem zlomku, jmenovatel zůstává stejný:
$3 \cdot \frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 2}{7} = \frac{6}{7}$

Krok 2: Odčítání

Od získaného výsledku odečteme druhý zlomek. Protože mají oba zlomky stejného jmenovatele (číslo 7), stačí odečíst jejich čitatele:
$\frac{6}{7} - \frac{2}{7} = \frac{6 - 2}{7} = \frac{4}{7}$

Krok 3: Výsledek

Získaný zlomek $\frac{4}{7}$ je již v základním tvaru, protože čísla 4 a 7 jsou nesoudělná (nemají žádného společného dělitele kromě jedničky).
Výsledek: $\frac{4}{7}$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

4/7

Stav úlohy

1 bod

Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle 1- \frac{14}{5} \div 2$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Přednost operací

V zadaném výrazu $1- \frac{14}{5} \div 2$ musíme nejdříve provést dělení, protože má přednost před odčítáním.

Výpočet dělení

Dělení číslem 2 je stejné jako násobení převrácenou hodnotou $\frac{1}{2}$:
$\frac{14}{5} \div 2 = \frac{14}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{14}{10}$
Zlomek vykrátíme dvěma: $\frac{14}{10} = \frac{7}{5}$.

Odčítání

Nyní odečteme získaný zlomek od jedničky. Jedničku si vyjádříme jako zlomek se jmenovatelem 5:
$1 - \frac{7}{5} = \frac{5}{5} - \frac{7}{5} = -\frac{2}{5}$

Závěr

Výsledný zlomek $-\frac{2}{5}$ je v základním tvaru, jak požaduje zadání.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-2/5

Stav úlohy

1 bod

Úloha 3.3

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{4} + \frac{4}{3} }{\displaystyle \frac{5}{7} \cdot \frac{14}{3} } =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Nejdříve vypočítáme součet zlomků v čitateli velkého zlomku. Pro sčítání zlomků $\frac{3}{4}$ a $\frac{4}{3}$ musíme najít společného jmenovatele, kterým je číslo $12$:
$\frac{3}{4} + \frac{4}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 4 \cdot 4}{12} = \frac{9 + 16}{12} = \frac{25}{12}$

Výpočet jmenovatele

Dále vypočítáme součin zlomků ve jmenovateli. Při násobení zlomků $\frac{5}{7}$ a $\frac{14}{3}$ můžeme krátit číslo $14$ a $7$ sedmičkou:
$\frac{5}{7} \cdot \frac{14}{3} = \frac{5 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{10}{3}$

Dělení zlomků a výsledný tvar

Nyní vydělíme výsledek z čitatele výsledkem ze jmenovatele. Dělení zlomkem nahradíme násobením jeho převrácenou hodnotou:
$\frac{\frac{25}{12}}{\frac{10}{3}} = \frac{25}{12} : \frac{10}{3} = \frac{25}{12} \cdot \frac{3}{10}$
Zlomky před vynásobením vykrátíme (25 a 10 pětkou, 3 a 12 trojkou):
$\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{8}$
Zlomek $\frac{5}{8}$ je již v základním tvaru.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

5/8

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.1

Rozložte na součin podle vzorce:

$\displaystyle 4 {\rm a} ^2 - 9=$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozpoznání vzorce

Výraz je rozdílem dvou druhých mocnin: $4a^2=(2a)^2$ a $9=3^2$. Použijeme vzorec $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.

Rozklad na součin a výsledek

Ve vzorci dosadíme za $x$ výraz $2a$ a za $y$ číslo $3$. Dostaneme $4a^2-9=(2a-3)(2a+3)$. Výsledný součin je $(2a-3)(2a+3)$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

(2a + 3) (2a - 3)

Stav úlohy

1 bod

Úloha 4.2

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle \left( 2 {\rm x} - 1 \right) \cdot \frac{1}{2} - {\rm x} =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Roznásobení závorky

Každý člen v závorce vynásobíme jednou polovinou: $2x \cdot \frac{1}{2} = x$ a $(-1) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$. Celý výraz je tedy $x - \frac{1}{2} - x$.

Sloučení členů

Členy s proměnnou se odečtou: $x - x = 0$. Zbývá pouze $-\frac{1}{2}$.

Výsledek

Zjednodušený výraz bez závorek je $-\frac{1}{2}$, tedy $-0{,}5$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-1/2

Stav úlohy

1 bod

Úloha 4.3

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle \left( 4 {\rm n} - 3 \right) ^2 - 4{\rm n} \cdot \left( 4{\rm n} - 3 \right) =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozvinutí druhé mocniny

Použijeme vzorec $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$: $(4n-3)^2=16n^2-24n+9$.

Odstranění zbývající závorky

Nejdřív vynásobíme: $4n\cdot(4n-3)=16n^2-12n$. Tento výraz odečítáme, proto u obou jeho členů změníme znaménko. Dostaneme $16n^2-24n+9-16n^2+12n$.

Sečtení podobných členů a výsledek

Členy $16n^2$ a $-16n^2$ se vyruší. Dále $-24n+12n=-12n$, takže výsledný výraz bez závorek je $\boxed{-12n+9}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-12n + 9

Stav úlohy

2 body

Úloha 5.1

Řešte rovnici:

$\displaystyle 0,3 \cdot \left( 2 {\rm x} + 1 \right) =0,2 {\rm x} -0,7$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Roznásobení závorky

Číslem $0{,}3$ vynásobíme oba členy v závorce. Dostaneme $0{,}6x + 0{,}3 = 0{,}2x - 0{,}7$.

Úprava rovnice

Od obou stran odečteme $0{,}2x$: $0{,}4x + 0{,}3 = -0{,}7$. Potom od obou stran odečteme $0{,}3$: $0{,}4x = -1$.

Výpočet neznámé

Obě strany vydělíme číslem $0{,}4$: $x = -1 : 0{,}4 = -2{,}5$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme do původní rovnice. Levá strana je $0{,}3 \cdot (2 \cdot (-2{,}5) + 1) = 0{,}3 \cdot (-4) = -1{,}2$. Pravá strana je $0{,}2 \cdot (-2{,}5) - 0{,}7 = -0{,}5 - 0{,}7 = -1{,}2$. Obě strany se rovnají, takže řešením je $x = -2{,}5$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

x = -2,5

Stav úlohy

2 body

Úloha 5.2

Řešte rovnici:

$\displaystyle {\rm y} + \frac{5{\rm y}}{6} = \frac{2{\rm y} - 1}{4} + \frac{{\rm y} + 1}{2}$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění zlomků

Společný násobek jmenovatelů 6, 4 a 2 je 12. Celou rovnici vynásobíme 12, aby zmizely zlomky: $12y + 10y = 3(2y - 1) + 6(y + 1)$.

Úprava rovnice

Roznásobíme závorky a sečteme členy s $y$ i samotná čísla: $22y = 6y - 3 + 6y + 6$, tedy $22y = 12y + 3$. Od obou stran odečteme $12y$ a dostaneme $10y = 3$.

Výpočet neznámé

Obě strany vydělíme 10: $y = \frac{3}{10} = 0{,}3$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme do původní rovnice. Levá strana je $0{,}3 + \frac{5 \cdot 0{,}3}{6} = 0{,}3 + 0{,}25 = 0{,}55$. Pravá strana je $\frac{2 \cdot 0{,}3 - 1}{4} + \frac{0{,}3 + 1}{2} = -0{,}1 + 0{,}65 = 0{,}55$. Obě strany se rovnají, takže řešením je $y = 0{,}3$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

y = 0,3

Stav úlohy

2 body

Úloha 6.1

Vítek, Rudolf a Ondra jeli společně autem k moři. Každý z nich odřídil část trasy.
Vítek odřídil třetinu celé trasy, Rudolf odřídil o 60 km méně než Vítek a Ondra odřídil zbývající dvě pětiny celé trasy.

Celá trasa měřila x km.

Vyjádřete výrazem s proměnnou x, kolik km trasy odřídil Rudolf.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit odpověď

x/3 - 60, resp. (4/15)x

Stav úlohy

1 bod

Úloha 6.2

Celá trasa měřila x km.

Vypočtěte, kolik km měřila celá trasa.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Sestavení rovnice

Celá trasa měřila $x$ km. Vítek odřídil $\frac{x}{3}$ km, Rudolf $\frac{x}{3}-60$ km a Ondra $\frac{2x}{5}$ km. Dohromady odřídili celou trasu, proto platí $\frac{x}{3}+\left(\frac{x}{3}-60\right)+\frac{2x}{5}=x$.

Výpočet délky trasy

Rovnici vynásobíme 15, abychom odstranili zlomky: $5x+5x-900+6x=15x$. Sečteme členy s $x$: $16x-900=15x$. Od obou stran odečteme $15x$ a přičteme 900. Vyjde $x=900$.

Ověření a výsledek

Vítek odřídil $900:3=300$ km, Rudolf $300-60=240$ km a Ondra $900:5\cdot2=360$ km. Součet je $300+240+360=900$ km, takže podmínky souhlasí. Celá trasa měřila 900 km.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

900 km

Stav úlohy

2 body

Úloha 7.1

Rotační válec má výšku 12 cm. Odstraněním čtyř částí vytvoříme z tohoto válce kvádr s rozměry 8 cm, 6 cm a 12 cm. Všechny hrany kvádru leží na povrchu válce.

Vypočtěte v cm poloměr podstavy válce.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor podstavy

V kruhové podstavě válce je vepsaný obdélník se stranami 8 cm a 6 cm. Všechny jeho vrcholy leží na kružnici. Úhlopříčka obdélníku prochází středem kruhu, takže její délka je průměrem podstavy válce.

Výpočet úhlopříčky

Strany obdélníku a jeho úhlopříčka tvoří pravoúhlý trojúhelník. Podle Pythagorovy věty je délka úhlopříčky $u = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ cm.

Poloměr válce

Poloměr je polovina průměru: $r = 10 : 2 = 5$ cm. Poloměr podstavy válce je 5 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

r = 5 cm

Stav úlohy

2 body

Úloha 7.2

Rotační válec má výšku 12 cm. Odstraněním čtyř částí vytvoříme z tohoto válce kvádr s rozměry 8 cm, 6 cm a 12 cm. Všechny hrany kvádru leží na povrchu válce.

Vypočtěte v cm³ objem válce.

Výsledek zaokrouhlete na desítky cm³.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Průměr a poloměr podstavy

Obdélník se stranami 8 cm a 6 cm je vepsaný do kruhové podstavy válce. Jeho úhlopříčka je průměrem této kružnice. Podle Pythagorovy věty platí $d^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$, takže průměr je 10 cm. Poloměr je polovina průměru, tedy 5 cm.

Objem válce

Výška válce je 12 cm. Objem vypočítáme jako obsah podstavy krát výška: $V = π r^2 v = π · 5^2 · 12 = 300π$ cm³. To je přibližně 942,48 cm³.

Zaokrouhlení a výsledek

Objem zaokrouhlíme na desítky cm³. Číslo 942,48 je blíže k 940 než k 950, takže objem válce po zaokrouhlení je 940 cm³.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

940 cm³

Stav úlohy

1 bod

Úloha 8.1

V obchodě s oříšky prodávají různé směsi. Jejich cena závisí pouze na hmotnosti a ceně použitých surovin. Tabulka udává ceny za 1 kg jednotlivých surovin.(Např. 200gramové balení směsi obsahující 50 gramů kešu a 150 gramů mandlí stojí 44 korun, tedy 1 kg této směsi stojí 220 korun.)

Dvoukilogramové balení směsi arašídů a mandlí obsahuje 800 gramů arašídů a 1 200 gramů mandlí.

Vypočtěte, kolik korun stojí jeden kilogram této směsi.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod hmotností

Balení obsahuje 800 g = 0,8 kg arašídů a 1 200 g = 1,2 kg mandlí. Dohromady má směs 2 kg.

Cena celého balení

Kilogram arašídů stojí 80 korun, takže arašídy v balení stojí 0,8 × 80 = 64 korun. Kilogram mandlí stojí 200 korun, takže mandle v balení stojí 1,2 × 200 = 240 korun. Celé balení stojí 64 + 240 = 304 korun.

Cena jednoho kilogramu

Cena 304 korun je za 2 kg směsi. Pro jeden kilogram ji vydělíme dvěma: 304 : 2 = 152. Jeden kilogram této směsi stojí 152 korun.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

152 korun

Stav úlohy

1 bod

Úloha 8.2

Jiná směs obsahuje pouze arašídy a kešu, přičemž 1 kg této směsi stojí 200 korun. Velké balení této směsi obsahuje 500 gramů arašídů.

Vypočtěte, kolik gramů kešu obsahuje velké balení této směsi.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cena surovin v balení

Podle tabulky stojí 1 kg arašídů 80 Kč a 1 kg kešu 280 Kč. V balení je 500 g, tedy 0,5 kg arašídů. Jejich cena je 0,5 · 80 = 40 Kč. Hmotnost kešu v kilogramech označíme x, jejich cena je tedy 280x Kč.

Sestavení rovnice

Celé balení váží (0,5 + x) kg. Protože 1 kg směsi stojí 200 Kč, cena balení je 200 · (0,5 + x) Kč. Zároveň se rovná součtu cen arašídů a kešu. Dostáváme rovnici: 40 + 280x = 200 · (0,5 + x).

Vyřešení rovnice

Nejdřív roznásobíme závorku: 40 + 280x = 100 + 200x. Od obou stran odečteme 200x a potom 40: 80x = 60. Vydělíme 80 a dostaneme x = 0,75 kg.

Výsledek a ověření

Převedeme kilogramy na gramy: 0,75 kg = 750 g kešu. Ověříme: balení váží 0,5 + 0,75 = 1,25 kg a stojí 40 + 0,75 · 280 = 250 Kč. Cena za 1 kg je 250 : 1,25 = 200 Kč, což odpovídá zadání.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

750 gramů

Stav úlohy

2 body

Úloha 9

V rovině leží přímka AB a přímka p procházející bodem B.

Úsečka AB je strana pravoúhlého lichoběžníku ABCD.
Vrchol C tohoto lichoběžníku leží na přímce p,
úhlopříčka AC má stejnou délku jako strana AB lichoběžníku ABCD.

Sestrojte vrcholy C, D lichoběžníku ABCD, označte je písmeny a lichoběžník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

3 body: Vzorové řešení výše.
2 body: Nastane jedna z následujících situací:
Jsou sestrojeny oba požadované lichoběžníky, ale s mírnou nepřesností.
Z požadovaných lichoběžníků je sestrojen pouze jeden, a to přesně.
1 bod: Nastane jedna z následujících situací:
Z požadovaných lichoběžníků je sestrojen pouze jeden, a to s mírnou nepřesností.
Správně je sestrojen pouze vrchol C, sestrojený útvar je lichoběžník, avšak chybný.
Správně je sestrojena pouze kolmice na přímku AB v bodě A, sestrojený útvar je lichoběžník, avšak chybný.
Správně je sestrojena pouze rovnoběžka s přímkou p vedená bodem A, sestrojený útvar je lichoběžník, avšak chybný.
0 bodů: Pouze zcela chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. náhradní termín 2023, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 10

V rovině leží body A, C a přímka p procházející bodem C.

Úsečka AC je základna rovnoramenného trojúhelníku ABC. Na přímce p leží jedna ze tří výšek tohoto trojúhelníku.

1. Sestrojte osu souměrnosti trojúhelníku ABC a označte ji písmenem o.
2. Sestrojte vrchol B trojúhelníku ABC, označte ho písmenem a trojúhelník narýsujte.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

3 body: Vzorové řešení výše.
2 body: Požadovaný trojúhelník je sestrojen s mírnou nepřesností.
1 bod: Sestrojený trojúhelník neodpovídá zadání a nastane jedna z následujících situací:
Správně je sestrojena pouze osa o úsečky AC.
Správně je sestrojena pouze kolmice z bodu A na přímku p.
0 bodů: Pouze zcela chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. náhradní termín 2023, úloha 10

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 11.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Na táboře je každé dítě zařazeno do jednoho ze tří oddílů A, B a C. V oddíle A je dvakrát více dětí než v oddíle C. Poměr počtu dětí v oddíle A ku počtu dětí v oddíle B je 4∶3. Graf udává počty chlapců a dívek v jednotlivých oddílech, dva údaje však chybí.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (ano), či nikoli (ne).

V oddíle C je 5 dívek.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet dětí v oddíle A

Z grafu přečteme, že v oddíle A je 9 chlapců a 7 dívek. Dohromady je v něm $9 + 7 = 16$ dětí.

Počet dětí v oddíle C

V oddíle A je dvakrát více dětí než v oddíle C, takže v oddíle C je polovina dětí: $16 : 2 = 8$.

Počet dívek a výsledek

V oddíle C jsou podle grafu 3 chlapci. Dívek je tedy $8 - 3 = 5$. Tvrzení je pravdivé, odpověď je ano.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 11.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Na táboře je každé dítě zařazeno do jednoho ze tří oddílů A, B a C.
V oddíle A je dvakrát více dětí než v oddíle C. Poměr počtu dětí v oddíle A ku počtu dětí v oddíle B je 4∶3.
Graf udává počty chlapců a dívek v jednotlivých oddílech, dva údaje však chybí.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V oddíle B je chlapců o polovinu více než dívek.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet dětí v oddíle B

V oddíle A je 9 chlapců a 7 dívek, dohromady 9 + 7 = 16 dětí. Poměr počtu dětí v oddílech A a B je 4 : 3. Jeden díl tedy představuje 16 : 4 = 4 děti a v oddíle B je 3 · 4 = 12 dětí.

Počet chlapců

Z grafu víme, že v oddíle B jsou 4 dívky. Chlapců je tedy 12 − 4 = 8.

Ověření tvrzení

Polovina ze 4 dívek jsou 2. Kdyby bylo chlapců o polovinu více než dívek, bylo by jich 4 + 2 = 6. Ve skutečnosti je jich 8, proto je tvrzení nepravdivé (N).

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 11.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Na táboře je každé dítě zařazeno do jednoho ze tří oddílů A, B a C.
V oddíle A je dvakrát více dětí než v oddíle C. Poměr počtu dětí v oddíle A ku počtu dětí v oddíle B je 4∶3.
Graf udává počty chlapců a dívek v jednotlivých oddílech, dva údaje však chybí.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Na táboře je dívek o pětinu méně než chlapců.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počty dětí v oddílech

V oddíle A je 9 + 7 = 16 dětí. V oddíle C je polovina tohoto počtu, tedy 16 : 2 = 8 dětí. Poměr A ku B je 4 : 3, takže v oddíle B je 16 : 4 · 3 = 12 dětí.

Počty chlapců a dívek

V oddíle B je 12 − 4 = 8 chlapců. V oddíle C je 8 − 3 = 5 dívek. Dohromady je na táboře 9 + 8 + 3 = 20 chlapců a 7 + 4 + 5 = 16 dívek.

Ověření tvrzení

Dívek je o 20 − 16 = 4 méně než chlapců. Pětina počtu chlapců je 20 : 5 = 4, takže dívek je opravdu o pětinu méně než chlapců. Tvrzení je pravdivé, odpověď je A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 12

Ve vlakové soupravě jsou pouze stejně dlouhé vagony a jedna lokomotiva. Lokomotiva je o čtvrtinu kratší než jeden vagon a její délka tvoří jednu sedmnáctinu délky celé vlakové soupravy.

Kolik vagonů je celkem ve vlakové soupravě?

A) 10 vagonů
D) 13 vagonů
B) 11 vagonů
E) jiný počet vagonů
C) 12 vagonů

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Porovnání délek

Délku jednoho vagonu rozdělíme na 4 stejné díly. Lokomotiva je o čtvrtinu kratší než vagon, takže její délka odpovídá 3 takovým dílům.

Délka všech vagonů

Lokomotiva tvoří jednu sedmnáctinu délky celé soupravy. Celá souprava tedy měří $17 \cdot 3 = 51$ dílů. Odečteme délku lokomotivy: na všechny vagony zbývá $51 - 3 = 48$ dílů.

Počet vagonů

Jeden vagon měří 4 díly, proto je počet vagonů $48 : 4 = 12$. Ověříme: 12 vagonů a lokomotiva měří dohromady $12 \cdot 4 + 3 = 51$ dílů a lokomotiva tvoří $\frac{3}{51} = \frac{1}{17}$ celé délky. Ve vlakové soupravě je 12 vagonů, správná je možnost C.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 13

Pětiúhelník ABCDE se skládá z rovnoramenného, rovnostranného a pravoúhlého trojúhelníku. Základnou rovnoramenného trojúhelníku je strana AB. Strany BC a AE pětiúhelníku jsou rovnoběžné.

Jaká je velikost úhlu ω?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

A) 65°
D) 80°
B) 70°
E) jiná velikost
C) 75°

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rovnoramenný trojúhelník

Trojúhelník ABE je rovnoramenný se základnou AB. Úhly při základně jsou stejné. Protože úhel BAE má 55°, má také úhel ABE velikost 55°.

Rovnoběžné strany

Strany AE a BC jsou rovnoběžné a přímka AB je protíná. Vnitřní úhly BAE a ABC na stejné straně této přímky mají dohromady 180°. Úhel ABC tedy měří 180° − 55° = 125°.

Úhel u vrcholu B

Trojúhelník BCD je pravoúhlý u vrcholu C, takže rovnostranný je trojúhelník EBD. Jeho úhel EBD má 60°. Úhel ABC se skládá z úhlů ABE, EBD a DBC. Zbývající úhel DBC proto měří 125° − 55° − 60° = 10°.

Výsledek

V trojúhelníku BCD mají všechny tři úhly dohromady 180°. U vrcholu C je pravý úhel 90° a u vrcholu B úhel 10°. Proto ω = 180° − 90° − 10° = 80°. Správná je možnost D.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 14

Povrch pravidelného čtyřbokého hranolu je 144 cm². Obsah pláště tohoto hranolu je dvakrát větší než obsah jedné jeho čtvercové podstavy. (Plášť tohoto hranolu tvoří čtyři shodné boční stěny.)

Jaký je objem hranolu?

A) 72 cm³
D) 216 cm³
B) 108 cm³
E) jiný objem
C) 144 cm³

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah podstavy

Povrch tvoří dvě podstavy a plášť. Plášť má obsah jako dvě podstavy, takže celý povrch odpovídá čtyřem podstavám. Obsah jedné podstavy je tedy $144 : 4 = 36\ \text{cm}^2$.

Strana čtvercové podstavy

Podstava je čtverec s obsahem $36\ \text{cm}^2$. Protože $6 \cdot 6 = 36$, jeho strana měří $6\ \text{cm}$ a obvod je $4 \cdot 6 = 24\ \text{cm}$.

Výška hranolu

Obsah pláště je $2 \cdot 36 = 72\ \text{cm}^2$. Vypočítáme ho jako obvod podstavy krát výška hranolu. Výška tedy měří $72 : 24 = 3\ \text{cm}$.

Objem a odpověď

Objem získáme vynásobením obsahu podstavy výškou: $V = 36 \cdot 3 = 108\ \text{cm}^3$. Objem hranolu je 108 cm³, správná odpověď je B.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.1

Encyklopedie má o 25 % více stran než atlas, který má 200 stran.

Kolik stran má encyklopedie?

A) méně než 210
D) 240
B) 210
E) 250
C) 220
F) jiný počet

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení základu

Atlas má 200 stran. Tento počet je základ, tedy 100 %. Encyklopedie má o 25 % stran více než atlas.

Výpočet navýšení

25 % je čtvrtina celku. Čtvrtina z 200 stran je 200 : 4 = 50 stran. Encyklopedie má tedy o 50 stran více.

Výsledek

K počtu stran atlasu přičteme 50: 200 + 50 = 250. Encyklopedie má 250 stran, správná je možnost E.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.2

Róza čte knihu, která má 500 stran. Počet stran, které Róza již přečetla, je o 50 % větší než počet stran, které dosud nepřečetla.

Kolik stran knihy Róza dosud nepřečetla?

A) méně než 210
D) 240
B) 210
E) 250
C) 220
F) jiný počet

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení procentního základu

Počet nepřečtených stran bereme jako 100 %. Róza přečetla o 50 % více, tedy 150 % tohoto počtu. Celá kniha proto odpovídá 100 % + 150 % = 250 %.

Výpočet nepřečtených stran

250 % odpovídá 500 stranám. Nejdřív vypočítáme 1 %: 500 : 250 = 2 strany. Nepřečtených je 100 %, tedy 100 · 2 = 200 stran.

Výsledek a kontrola

Róza dosud nepřečetla 200 stran. Přečetla 500 − 200 = 300 stran, což je o 100 stran více než 200. Protože 50 % z 200 je 100, výsledek splňuje zadání. Správná možnost je A: méně než 210.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.3

V knihovně jsou některé knihy psané německy, jiné anglicky a ostatní česky. Německy psaných je 30 knih, což je 10 % všech knih v knihovně. Anglicky psané knihy tvoří pětinu všech knih v knihovně.

Kolik je v knihovně česky psaných knih?

A) méně než 210
D) 240
B) 210
E) 250
C) 220
F) jiný počet

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet knih

Německy psaných je 30 knih, což je 10 % všech knih. Celých 100 % je desetkrát více, takže v knihovně je dohromady $30 \cdot 10 = 300$ knih.

Anglicky psané knihy

Anglicky psané knihy tvoří pětinu všech knih. Je jich tedy $300 : 5 = 60$.

Česky psané knihy

Od celkového počtu odečteme německy a anglicky psané knihy: $300 - 30 - 60 = 210$. V knihovně je 210 česky psaných knih. Správná je možnost B.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 16.1

Každý obrazec tvaru obdélníku je složen z malých šedých čtverečků a větších bílých čtverečků. Všechny šedé čtverečky jsou stejné a jsou poskládány do spodní řady a do levého sloupce. Zbytek obrazce tvoří bílé čtverečky. Každý bílý čtvereček má dvakrát delší stranu než šedý. První obrazec má ve spodní řadě 5 šedých čtverečků a v levém sloupci 3 šedé čtverečky. Skládá se celkem z 9 čtverečků (bílých i šedých dohromady). Každý další obrazec má oproti předchozímu vždy o 2 šedé čtverečky více jak ve spodní řadě, tak i v levém sloupci.

Obrazec má ve spodní řadě 41 šedých čtverečků.

Určete počet bílých čtverečků v obrazci.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor prvního obrazce

Ze zadání víme, že první obrazec má ve spodní řadě 5 šedých čtverečků a v levém sloupci 3 šedé čtverečky. Jeden šedý čtvereček v levém dolním rohu je společný pro obě tyto strany.

Bílé čtverečky vyplňují zbytek obdélníku. Protože strana bílého čtverečku je dvakrát delší než strana šedého, jeden bílý čtvereček zabere stejné místo jako 2×2 malé šedé čtverečky.

Šířka prostoru pro bílé čtverečky je 4 malé čtverečky (5 ve spodní řadě minus 1 rohový), vejdou se sem tedy vedle sebe $4 : 2 = 2$ bílé čtverečky. Výška prostoru pro bílé čtverečky jsou 2 malé čtverečky (3 v levém sloupci minus 1 rohový), vejde se sem tedy nad sebe $2 : 2 = 1$ bílý čtvereček. První obrazec má celkem $2 \cdot 1 = 2$ bílé čtverečky.

Vztah mezi šedými a bílými čtverečky

Každý další obrazec se zvětší o 2 šedé čtverečky ve spodní řadě i v levém sloupci. Protože se obě strany zvětšují vždy stejně, levý sloupec bude mít pro každý obrazec vždy o 2 šedé čtverečky méně než spodní řada ($5 - 3 = 2$).

Výpočet pro obrazec se 41 šedými čtverečky ve spodní řadě

Máme zadaný obrazec, který má ve spodní řadě 41 šedých čtverečků. Jeho levý sloupec musí mít o 2 šedé čtverečky méně, tedy $41 - 2 = 39$ šedých čtverečků.

Spočítáme rozměry prostoru pro bílé čtverečky: Šířka: odečteme rohový šedý čtvereček a vydělíme dvěma. $(41 - 1) : 2 = 40 : 2 = 20$ bílých čtverečků vedle sebe. Výška: odečteme rohový šedý čtvereček a vydělíme dvěma. $(39 - 1) : 2 = 38 : 2 = 19$ bílých čtverečků nad sebou.

Celkový počet bílých čtverečků zjistíme tak, že tyto rozměry vynásobíme: $20 \cdot 19 = 380$.

Závěr

Hledaný počet bílých čtverečků v tomto obrazci je 380.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

380 bílých čtverečků

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.2

V obrazci je 90 bílých čtverečků.

Určete počet šedých čtverečků v obrazci.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor bílé části

Zkusíme si představit, jak vypadá bílá část obrazců. V 1. obrazci tvoří bílé čtverečky obdélník o šířce 2 a výšce 1 čtverečku. (Celkem jsou to $2 \cdot 1 = 2$ bílé čtverečky.) Každý další obrazec se podle zadání prodlouží dole i vlevo o 2 šedé čtverečky. Protože strana bílého čtverečku je dlouhá jako 2 šedé, znamená to, že do bílé části přibyde vždy 1 sloupec a 1 řada. Bílá část tedy vždy tvoří obdélník, ve kterém je počet sloupců o 1 větší než počet řad.

Rozměry hledaného obrazce

Bílá část má 90 čtverečků a o jeden sloupec více než řad. Z malé násobilky rozložíme $90 = 9 \cdot 10$. Činitelé 9 a 10 jsou po sobě jdoucí čísla, proto jde o 9 řad a 10 sloupců. Menší počet řad by znamenal i méně sloupců a menší celkový počet čtverečků; větší počet řad by naopak dal větší počet čtverečků. Rozměry jsou tedy určeny jednoznačně.

Výpočet šedých čtverečků

Nyní spočítáme šedé čtverečky, které tvoří levý sloupec a spodní řadu. Pod bílou částí (širokou 10 bílých čtverečků) leží spodní řada šedých čtverečků. Protože na 1 bílý vycházejí 2 šedé, je pod bílou částí $10 \cdot 2 = 20$ šedých čtverečků. Vlevo od bílé části (vysoké 9 bílých čtverečků) leží levý sloupec šedých čtverečků. Tam jich bude $9 \cdot 2 = 18$. Nesmíme zapomenout na 1 šedý čtvereček, který leží v levém dolním rohu (pod levým sloupcem a vlevo od spodní řady). Celkový počet šedých čtverečků je $20 + 18 + 1 = 39$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

39 šedých čtverečků

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.3

Počet všech čtverečků (bílých i šedých dohromady) v posledním a v předposledním obrazci se liší o 106.

Určete počet šedých čtverečků v posledním obrazci.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet čtverečků v 1. obrazci

Ze zadání víme, že v 1. obrazci je ve spodní řadě 5 šedých čtverečků a v levém sloupci 3. Levý dolní čtvereček patří do řady i do sloupce, proto je šedých čtverečků celkem $5 + 3 - 1 = 7$. Celý obrazec se skládá z 9 čtverečků (šedých i bílých dohromady). Bílých čtverečků je tedy $9 - 7 = 2$. Jsou to 2 velké čtverečky uspořádané vedle sebe (tvoří obdélník o šířce 2 a výšce 1).

Jak se obrazce zvětšují

Každý další obrazec má o 2 šedé čtverečky více dole a o 2 více vlevo. Šedých čtverečků tak přibyde vždy 4. Protože každý velký bílý čtvereček zabere prostor 2×2 malých čtverečků, přidáním 2 malých čtverečků do šířky i výšky se prostor pro bílé čtverečky zvětší vždy o 1 bílý čtvereček na šířku a o 1 na výšku. Podívejme se, jak roste počet bílých čtverečků:

2. obrazec: Bílých čtverečků je $3 \times 2 = 6$. Oproti 1. obrazci jich přibyly 4.
3. obrazec: Bílých čtverečků je $4 \times 3 = 12$. Oproti 2. obrazci jich přibylo 6.
4. obrazec: Bílých čtverečků je $5 \times 4 = 20$. Oproti 3. obrazci jich přibylo 8.

Který obrazec je poslední?

Můžeme si všimnout pravidla pro počet nově přidaných bílých čtverečků: pro 2. obrazec to jsou 4 (což je $2 \times 2$), pro 3. obrazec je to 6 (což je $2 \times 3$) atd. Počet nových bílých čtverečků je vždy přesně dvojnásobkem pořadí obrazce. Zadání říká, že celkový počet čtverečků (bílých i šedých) v posledním obrazci je o 106 větší než v předposledním. Tento nárůst 106 se skládá z pevných 4 šedých čtverečků a zbytku bílých. Počet nových bílých čtverečků musí být $106 - 4 = 102$. Protože počet nových bílých čtverečků je dvojnásobkem pořadí obrazce, hledáme číslo obrazce, pro které platí:
$2 \times \text{číslo obrazce} = 102$
$\text{číslo obrazce} = 102 : 2 = 51$
Poslední obrazec je tedy v pořadí padesátý první (51.).

Výpočet šedých čtverečků v 51. obrazci

Víme, že v 1. obrazci je 7 šedých čtverečků a v každém dalším jich přibudou 4. Od 1. do 51. obrazce musíme udělat 50 kroků. Během těchto 50 kroků přibude celkem $50 \times 4 = 200$ šedých čtverečků. Dohromady jich v 51. obrazci bude $7 + 200 = 207$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

207 šedých čtverečků

Stav úlohy

2 body