Přijímací testy 9. ročník

Podkategorie: Matematika 9. ročník — 2. řádný termín 2022

30 úloh

PDF+Klíč

Úloha 1

Vypočtěte:

$\displaystyle \left( -6 \right) ^2 -3 \cdot \left( -3 \right) =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Umocnění

Nejdřív vypočítáme druhou mocninu. Závorka znamená, že umocňujeme celé záporné číslo: $(-6)^2 = (-6) \cdot (-6) = 36$.

Násobení

Potom vypočítáme součin: $3 \cdot (-3) = -9$. Výraz tedy má hodnotu $36 - (-9)$.

Výsledek

Odečíst záporné číslo znamená přičíst jeho opačné číslo: $36 - (-9) = 36 + 9 = 45$. Výsledek je 45.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2.1

Body A, B, C a D představují čtyři čísla na číselné ose.
Bod B dělí (zleva) úsečku AC v poměru 7∶3.

Určete, v jakém poměru dělí bod C (zleva) úsečku BD. Poměr zapište v základním tvaru.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor číselné osy

Z obrázku vidíme, že bod $A$ leží na hodnotě $-10$ a bod $C$ na hodnotě $10$. Vzdálenost mezi nimi je tedy $|AC| = 10 - (-10) = 20$ jednotek.

Výpočet vzdálenosti $|BC|$

Bod $B$ dělí úsečku $AC$ v poměru $7 : 3$. Celou úsečku si tedy můžeme představit jako rozdělenou na $7 + 3 = 10$ stejných dílků. Jeden takový dílek odpovídá $20 : 10 = 2$ jednotkám na ose. Vzdálenost $|BC|$ odpovídá $3$ dílkům, tedy $|BC| = 3 \cdot 2 = 6$.

Určení vzdálenosti $|CD|$

Z obrázku odečteme, že bod $D$ leží na hodnotě $25$. Vzdálenost mezi body $C$ a $D$ je tedy $|CD| = 25 - 10 = 15$ jednotek.

Výpočet výsledného poměru

Bod $C$ dělí úsečku $BD$ na části $BC$ a $CD$. Poměr těchto částí zleva je $|BC| : |CD| = 6 : 15$. Abychom získali základní tvar, vykrátíme obě čísla jejich největším společným dělitelem, což je číslo $3$. Dostaneme tak poměr $2 : 5$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

2 : 5

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2.2

Body A, B, C a D představují čtyři čísla na číselné ose.
Bod B dělí (zleva) úsečku AC v poměru 7∶3.

Určete číslo, které na číselné ose představuje bod A.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor číselné osy

Z obrázku odečteme hodnoty bodů, které jsou na číselné ose přímo zadané. Vidíme, že bod $B$ odpovídá číslu $10$ a bod $C$ odpovídá číslu $22$.

Výpočet délky úsečky BC

Vzdálenost mezi body $B$ a $C$ vypočítáme jako rozdíl jejich hodnot na číselné ose: $|BC| = 22 - 10 = 12$.

Výpočet délky úsečky AB

Podle zadání bod $B$ dělí úsečku $AC$ v poměru $7 : 3$ (zleva). To znamená, že délka úsečky $AB$ odpovídá $7$ stejným dílkům a délka úsečky $BC$ odpovídá $3$ těmto dílkům. Pokud $3$ dílky mají celkovou délku $12$, pak jeden dílek má délku $12 : 3 = 4$. Délka úsečky $AB$ je tedy $7 \cdot 4 = 28$.

Určení hodnoty bodu A

Bod $A$ leží na číselné ose vlevo od bodu $B$. Jeho hodnotu tedy získáme tak, že od hodnoty bodu $B$ odečteme délku úsečky $AB$: $A = 10 - 28 = -18$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-18

Stav úlohy

1 bod

Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{7}{5} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{10}{21} + \frac{3}{10} =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Násobení zlomků

Nejdříve vypočítáme součin tří zlomků v první části výrazu:
$\frac{7}{5} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{10}{21}$
Pro snazší výpočet můžeme zlomky nejdříve vykrátit:

Číslo 21 ve jmenovateli vykrátíme čísly 7 a 3 v čitateli ($7 \cdot 3 = 21$).
Číslo 10 v čitateli vykrátíme číslem 5 ve jmenovateli ($10 : 5 = 2$).

Po krácení nám zůstane zlomek:
$\frac{2}{8} = \mathbf{\frac{1}{4}}$

Sčítání zlomků

K výsledku z prvního kroku přičteme zbývající zlomek:
$\frac{1}{4} + \frac{3}{10}$
Abychom mohli zlomky sečíst, musíme je převést na společného jmenovatele. Nejmenším společným násobkem čísel 4 a 10 je číslo 20.
$\frac{1}{4} + \frac{3}{10} = \frac{5}{20} + \frac{6}{20} = \mathbf{\frac{11}{20}}$

Závěr

Zlomek $\frac{11}{20}$ je již v základním tvaru, protože čísla 11 a 20 nemají žádného společného dělitele většího než 1. Výsledek je tedy $\mathbf{\frac{11}{20}}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

11/20

Stav úlohy

2 body

Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4} - \frac{5}{8} }{\displaystyle 3 \cdot \frac{5}{12} } =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Nejdříve vypočítáme rozdíl v čitateli složeného zlomku. Zlomky převedeme na společného jmenovatele (8):
$\frac{1}{4} - \frac{5}{8} = \frac{2}{8} - \frac{5}{8} = -\frac{3}{8}$

Výpočet jmenovatele

Poté vypočítáme součin ve jmenovateli. Číslo 3 a jmenovatel 12 můžeme zkrátit číslem 3:
$3 \cdot \frac{5}{12} = 1 \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{4}$

Úprava složeného zlomku

Nyní vydělíme výsledek z čitatele výsledkem ze jmenovatele. Dělení zlomkem odpovídá násobení jeho převrácenou hodnotou. Před vynásobením zkrátíme čísla 4 a 8:
$\frac{-\frac{3}{8}}{\frac{5}{4}} = -\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{5} = -\frac{3}{10}$

Závěr

Výsledný zlomek v základním tvaru je $-\frac{3}{10}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-3/10

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.1

Upravte a rozložte na součin vytknutím:

$\displaystyle {\rm x} \cdot {\rm x} - {\rm x} + 2 {\rm x} ^2 =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úprava výrazu

Nejdřív vypočítáme $x \cdot x = x^2$. Potom sečteme členy s $x^2$: $x^2 - x + 2x^2 = 3x^2 - x$.

Vytknutí společného činitele

Oba členy obsahují společný činitel $x$, který vytkneme před závorku. Z členu $3x^2$ zůstane v závorce $3x$ a z členu $-x$ zůstane $-1$. Dostaneme $3x^2 - x = x(3x - 1)$.

Výsledek a kontrola

Výsledný součin je $x(3x - 1)$. Ověříme roznásobením: $x(3x - 1) = 3x^2 - x$, což odpovídá upravenému výrazu.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

x(3x−1)

Stav úlohy

1 bod

Úloha 4.2

Umocněte a zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle \left( 5 {\rm b} - 0,4{\rm a} \right) ^2$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Umocnění rozdílu

Použijeme vzorec $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$. První člen je $5b$ a druhý $0{,}4a$. Prostřední člen bude mít znaménko minus.

Výpočet jednotlivých členů

Vypočítáme $(5b)^2=25b^2$, $2\cdot 5b\cdot 0{,}4a=4ab$ a $(0{,}4a)^2=0{,}16a^2$.

Výsledek

Členy spojíme podle vzorce. Výsledný výraz bez závorek je $25b^2-4ab+0{,}16a^2$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

25b²−4ab+0,16a²

Stav úlohy

1 bod

Úloha 4.3

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle \left( 2 {\rm n} - 3 \right) \cdot \left( 4 {\rm n} - 2 \right) + \left( {\rm n} - 3 \right) \cdot \left( {\rm n} + 3 \right) =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Roznásobení prvních závorek

Každý člen první závorky vynásobíme každým členem druhé závorky: $(2n - 3)(4n - 2) = 8n^2 - 4n - 12n + 6 = 8n^2 - 16n + 6$.

Roznásobení dalších závorek

Stejně roznásobíme druhý součin: $(n - 3)(n + 3) = n^2 + 3n - 3n - 9 = n^2 - 9$. Členy $+3n$ a $-3n$ se navzájem zruší.

Sečtení členů a výsledek

Oba výsledky sečteme a spojíme členy se stejnou mocninou proměnné: $8n^2 - 16n + 6 + n^2 - 9 = 9n^2 - 16n - 3$. Výsledný výraz bez závorek je $9n^2 - 16n - 3$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

9n²−16n−3

Stav úlohy

2 body

Úloha 5.1

Řešte rovnici:

$\displaystyle 5 \cdot \left( 0,2 {\rm x} + 1 \right) = \left( 8-6 {\rm x} \right) \div 2$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úprava obou stran

Na levé straně roznásobíme závorku, na pravé straně vydělíme oba členy dvěma: $5 \cdot 0{,}2x + 5 = 4 - 3x$. Protože $5 \cdot 0{,}2 = 1$, dostaneme $x + 5 = 4 - 3x$.

Seskupení členů

K oběma stranám přičteme $3x$: $4x + 5 = 4$. Potom od obou stran odečteme $5$: $4x = -1$.

Výpočet neznámé

Obě strany vydělíme čtyřmi: $x = -\frac{1}{4} = -0{,}25$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme do původní rovnice. Levá strana: $5 \cdot (0{,}2 \cdot (-0{,}25) + 1) = 5 \cdot 0{,}95 = 4{,}75$. Pravá strana: $(8 - 6 \cdot (-0{,}25)) \div 2 = 9{,}5 \div 2 = 4{,}75$. Obě strany se rovnají, řešením je tedy $x = -0{,}25$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-1/4

Stav úlohy

2 body

Úloha 5.2

Řešte rovnici:

$\displaystyle \frac{ {\rm y} - 5 }{2} + \frac{3 - {\rm y} }{6} =1- \frac{2 {\rm y} }{3}$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění zlomků

Všechny členy rovnice vynásobíme číslem 6, které je společným násobkem jmenovatelů 2, 6 a 3. Dostaneme $3(y-5)+(3-y)=6-4y$.

Úprava rovnice

Roznásobíme závorky a sečteme podobné členy: $3y-15+3-y=6-4y$, tedy $2y-12=6-4y$.

Výpočet neznámé

K oběma stranám přičteme $4y$ a potom 12: $6y-12=6$, tedy $6y=18$. Obě strany vydělíme číslem 6 a vyjde $y=3$.

Ověření a výsledek

Dosadíme $y=3$ do původní rovnice. Levá strana je $\frac{3-5}{2}+\frac{3-3}{6}=-1+0=-1$. Pravá strana je $1-\frac{2\cdot3}{3}=1-2=-1$. Obě strany se rovnají, proto je řešením $y=3$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 6.1

V krabici jsou pouze jednobarevné kuličky, a to zelené, červené a modré.
Čtvrtina všech kuliček je zelených, šestina všech kuliček je červených, modrých kuliček je o 20 více než červených.

Vypočtěte, kolik kuliček je v krabici.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počty kuliček podle barev

Označíme celkový počet kuliček $x$. Zelených je $\frac{x}{4}$ a červených $\frac{x}{6}$. Modré tvoří zbytek, tedy $x-\frac{x}{4}-\frac{x}{6}=\frac{7x}{12}$.

Sestavení a řešení rovnice

Modrých kuliček je o 20 více než červených, proto $\frac{7x}{12}=\frac{x}{6}+20$. Odečteme $\frac{x}{6}$ a dostaneme $\frac{5x}{12}=20$. Vynásobíme rovnici 12: $5x=240$. Vydělíme 5: $x=48$.

Ověření a výsledek

Zelených je $48:4=12$, červených $48:6=8$ a modrých $48-12-8=28$. Modrých je opravdu o $28-8=20$ více než červených. V krabici je 48 kuliček.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 6.2

Vypočtěte, o kolik se liší počty zelených a červených kuliček v krabici.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení na stejné díly

Všechny kuličky rozdělíme na 12 stejných dílů. Zelené tvoří čtvrtinu, tedy 3 díly, a červené šestinu, tedy 2 díly. Modré tvoří zbývajících 12 − 3 − 2 = 7 dílů.

Počet kuliček v jednom dílu

Modrých je o 7 − 2 = 5 dílů více než červených. Podle zadání je tento rozdíl 20 kuliček. Jeden díl tedy obsahuje 20 : 5 = 4 kuličky.

Rozdíl zelených a červených kuliček

Zelené a červené kuličky se liší o 3 − 2 = 1 díl, tedy o 4 kuličky. Ověříme počty: zelených je 3 · 4 = 12, červených 2 · 4 = 8 a modrých 7 · 4 = 28. Modrých je opravdu o 20 více než červených. Zelených je o 4 kuličky více než červených.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.1

Soutěže se zúčastnilo 5 škol A, B, C, D, E.
Každou školu reprezentovaly dva týmy – jeden dívčí a jeden chlapecký.
Výsledky týmů jsou uvedeny v grafu. Dva údaje chybí.

Výsledek dívčího týmu školy C byl stejný jako aritmetický průměr výsledků dívčích týmů škol A a B.

Vypočtěte aritmetický průměr výsledků všech pěti dívčích týmů.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odečtení údajů z grafu

Dívčí týmy získaly: škola A 12 bodů, škola B 6 bodů, škola D 4 body a škola E 4 body. Výsledek dívčího týmu školy C v grafu chybí.

Výsledek dívčího týmu školy C

Podle zadání je výsledek školy C aritmetickým průměrem výsledků škol A a B. Sečteme jejich body a vydělíme dvěma: $(12 + 6) : 2 = 9$. Dívčí tým školy C získal 9 bodů.

Průměr všech dívčích týmů

Sečteme výsledky všech pěti dívčích týmů a součet vydělíme pěti: $(12 + 6 + 9 + 4 + 4) : 5 = 35 : 5 = 7$. Aritmetický průměr výsledků všech pěti dívčích týmů je 7 bodů.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 7.2

Soutěže se zúčastnilo 5 škol A, B, C, D, E.
Každou školu reprezentovaly dva týmy – jeden dívčí a jeden chlapecký.
Výsledky týmů jsou uvedeny v grafu. Dva údaje chybí.

Aritmetický průměr výsledků všech pěti chlapeckých týmů je 8 bodů.

Určete, kolik bodů získal chlapecký tým školy D.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Údaje z grafu

Chlapecké týmy získaly: škola A 6 bodů, B 14 bodů, C 2 body a E 6 bodů. Tyto čtyři týmy mají dohromady $6 + 14 + 2 + 6 = 28$ bodů.

Součet bodů všech chlapeckých týmů

Průměr pěti chlapeckých týmů je 8 bodů. Celkem tedy získaly $5 \cdot 8 = 40$ bodů.

Výsledek a ověření

Pro chlapecký tým školy D zbývá $40 - 28 = 12$ bodů. Ověříme průměr: $(6 + 14 + 2 + 12 + 6) : 5 = 8$. Chlapecký tým školy D získal 12 bodů.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 8.1

Bílý čtverec má obsah 9 cm², černá plocha uvnitř čtverce KLMN má obsah 16 cm² a šedá plocha uvnitř čtverce ABCD má obsah 56 cm².

Vypočtěte v cm délku strany KL.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah čtverce KLMN

Čtverec KLMN tvoří černá plocha a bílý čtverec uvnitř ní. Jeho obsah proto získáme sečtením jejich obsahů: $S = 16 + 9 = 25\,\text{cm}^2$.

Délka strany

Obsah čtverce vypočítáme jako délku strany krát délku strany. Hledáme tedy číslo, jehož druhá mocnina je 25. Protože $5 \cdot 5 = 25$, je délka strany $\sqrt{25} = 5\,\text{cm}$.

Výsledek

Strana KL měří 5 cm. Ověříme: celý čtverec má obsah $5 \cdot 5 = 25\,\text{cm}^2$ a po odečtení bílého čtverce zbývá černá plocha $25 - 9 = 16\,\text{cm}^2$, což odpovídá zadání.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

5 cm

Stav úlohy

1 bod

Úloha 8.2

Bílý čtverec má obsah 9 cm², černá plocha uvnitř čtverce KLMN má obsah 16 cm² a šedá plocha uvnitř čtverce ABCD má obsah 56 cm².

Vypočtěte v cm obvod čtverce ABCD.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah čtverce KLMN

Čtverec KLMN tvoří bílý čtverec a černá plocha kolem něj. Jeho obsah je tedy $9 + 16 = 25\ \text{cm}^2$.

Obsah čtverce ABCD

Ke čtverci KLMN přičteme šedou plochu kolem něj. Obsah čtverce ABCD je $25 + 56 = 81\ \text{cm}^2$.

Strana a obvod

Protože $9 \cdot 9 = 81$, má čtverec ABCD stranu dlouhou 9 cm. Jeho obvod je $4 \cdot 9 = 36\ \text{cm}$. Obvod čtverce ABCD je 36 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

36 cm

Stav úlohy

2 body

Úloha 9

V rovině leží bod C a přímka q.

Bod C je vrchol rovnoramenného trojúhelníku ABC se základnou AB. Základna AB leží na přímce q a má délku 6 cm.

Sestrojte vrcholy A, B trojúhelníku ABC, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

2 body

Vzorové řešení výše.

Správná konstrukce

1 bod

Je sestrojen pouze nevyhovující trojúhelník (resp. trojúhelníky), v němž je strana AB ramenem, nikoli základnou, ale ostatní podmínky zadání jsou splněny a konstrukce je přesná.

0 bodů

Pouze zcela chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 2. řádný termín 2022, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

2 body

Úloha 10

V rovině leží body A, C a přímka p.

Body A, C jsou vrcholy rovnoběžníku ABCD, jehož dvě strany jsou rovnoběžné s přímkou p. Jedna z úhlopříček rovnoběžníku ABCD je k přímce p kolmá.

1) Sestrojte střed S rovnoběžníku ABCD a označte ho písmenem.
2) Sestrojte vrcholy B, D rovnoběžníku ABCD, označte je písmeny a rovnoběžník narýsujte.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

3 body: Vzorové řešení výše.
2 body: Konstrukce obsahuje právě jeden z následujících nedostatků:
mírné nepřesnosti v konstrukci (nikoli chybná konstrukce),
není sestrojen střed S rovnoběžníku ABCD.
1 bod: Nastane jedna z následujících situací:
Správně je sestrojen střed S a požadovaný rovnoběžník je chybně, nebo chybí.
Je sestrojen střed S i požadovaný rovnoběžník, ale v konstrukci jsou větší nepřesnosti.
0 bodů: Pouze chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 2. řádný termín 2022, úloha 10

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 11.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ze tří stejných dřevěných krychlí byl slepen čtyřboký hranol, jehož síť má obsah 126 cm².

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Povrch hranolu je 14krát větší než obsah stěny jedné krychle.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Stěny hranolu

Tři stejné krychle jsou slepené do řady. Hranol má dvě čtvercové podstavy a čtyři obdélníkové boční stěny. Každá boční stěna má obsah tří stěn jedné krychle.

Porovnání obsahů

Povrch hranolu tedy odpovídá 4 · 3 + 2 = 14 stěnám jedné krychle. Obsah jedné stěny krychle je 126 : 14 = 9 cm².

Výsledek

Povrch hranolu je 14krát větší než obsah stěny jedné krychle. Tvrzení je pravdivé – A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 11.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ze tří stejných dřevěných krychlí byl slepen čtyřboký hranol, jehož síť má obsah 126 cm².

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Síť krychle má obsah 42 cm².

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor sítě hranolu

Hranol vznikl slepením tří stejných krychlí do řady. Každý ze čtyř obdélníků v jeho síti tvoří tři čtvercové stěny původních krychlí. Se dvěma čtvercovými podstavami tedy síť obsahuje celkem $4 \cdot 3 + 2 = 14$ stejně velkých čtverců.

Obsah jedné stěny krychle

Síť hranolu má obsah 126 cm². Na jeden z těchto čtverců připadá $126 : 14 = 9$ cm². To je obsah jedné stěny původní krychle.

Obsah sítě krychle a výsledek

Síť jedné krychle tvoří šest čtvercových stěn, takže její obsah je $6 \cdot 9 = 54$ cm². Tvrzení, že má obsah 42 cm², je nepravdivé (N).

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 11.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ze tří stejných dřevěných krychlí byl slepen čtyřboký hranol, jehož síť má obsah 126 cm².

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Nejkratší hrana hranolu měří 3 cm.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah sítě

Tři krychle jsou slepené do řady. Každý ze čtyř obdélníků v síti tvoří tři čtvercové stěny krychle, dvě podstavy jsou další dva čtverce. Síť tedy obsahuje celkem $4 \cdot 3 + 2 = 14$ stejných čtverců.

Délka hrany krychle

Obsah jednoho čtverce je $126 : 14 = 9\,\text{cm}^2$. Protože $3 \cdot 3 = 9$, hrana každé krychle měří 3 cm.

Posouzení tvrzení

Hranol má rozměry 3 cm, 3 cm a $3 \cdot 3 = 9$ cm. Jeho nejkratší hrana tedy měří 3 cm. Tvrzení je pravdivé: A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 12

Reklamní plochu pro vylepování plakátů tvoří plášť rotačního válce. Podstava válce má poloměr 50 cm. Plakát, který přesně pokryje celou reklamní plochu, má tvar čtverce.

Jaká je výška válce?

Výsledek je zaokrouhlen na celé cm.

A) 157 cm
D) 390 cm
B) 236 cm
E) větší než 390 cm
C) 314 cm

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozvinutí pláště

Když plášť válce rozvineme, dostaneme obdélník. Jedna jeho strana má délku obvodu podstavy, druhá odpovídá výšce válce. Plakát je čtverec a přesně pokrývá celý plášť, proto musí být výška válce stejná jako obvod podstavy.

Obvod podstavy

Poloměr podstavy je 50 cm. Obvod kruhu vypočítáme: $o = 2\pi r = 2 \cdot \pi \cdot 50 = 100\pi \approx 314{,}16\ \text{cm}$. Stejnou délku má i výška válce.

Výsledek

Výšku zaokrouhlíme na celé centimetry: 314 cm. Správná je možnost C.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 13

V rovině leží čtyři přímky, z nichž dvě jsou rovnoběžné.

Jaká je velikost úhlu α?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

A) menší než 120°
D) 150°
B) 120°
E) větší než 150°
C) 130°

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pomocná rovnoběžka

Průsečíkem obou příček si představíme pomocnou přímku rovnoběžnou s vyznačenými rovnoběžkami. Její rameno směřující vlevo nahoru rozdělí úhel α na dvě části.

Výpočet obou částí

Souhlasné úhly u rovnoběžek jsou stejně velké a vedlejší úhly mají dohromady 180°. Část úhlu α u mírně klesající příčky proto měří 180° − 110° = 70°. Část u stoupající příčky měří 180° − 100° = 80°.

Výsledek

Obě části sečteme: α = 70° + 80° = 150°. Správná je možnost D.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 14

V knihovně je k polic. V každé polici je o 8 knih více, než je v knihovně polic. (k může nabývat různých kladných celých hodnot.)

Který výraz vyjadřuje celkový počet knih v knihovně?

A) k²+8k
D) 2k + 8
B) k²+16k+64
E) 8k
C) k²+64

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.1

Včera stála sekačka 20 000 korun a dnes je její cena pouze 8 000 korun.

O kolik procent byla snížena cena sekačky?

A) méně než 30 %
D) 50 %
B) 30 %
E) 60 %
C) 40 %
F) jiný počet procent

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Snížení ceny

Cena klesla z 20 000 Kč na 8 000 Kč. Nejdřív vypočítáme, o kolik korun se snížila: $20\,000 - 8\,000 = 12\,000$ Kč.

Výpočet procent

Původní cena 20 000 Kč představuje 100 %. Jedno procento je $20\,000 : 100 = 200$ Kč. Snížení o 12 000 Kč tedy odpovídá $12\,000 : 200 = 60$ %.

Výsledek

Cena sekačky byla snížena o 60 %. Správná je možnost E.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.2

První skupina poseče čtvrtinu louky a druhá skupina 60 % zbývající části louky.
Poslední část louky zůstane neposečená.

Kolik procent louky zůstane neposečeno?

A) méně než 30 %
D) 50 %
B) 30 %
E) 60 %
C) 40 %
F) jiný počet procent

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Po první skupině

První skupina poseče čtvrtinu louky, tedy 25 %. Zbývá posekat $100 - 25 = 75\,\%$ celé louky.

Po druhé skupině

Druhá skupina poseče 60 % zbývající části. Neposečeno tedy zůstane $100 - 60 = 40\,\%$ z této části. Vypočítáme 40 % ze 75 % celé louky: $0{,}40 \cdot 75 = 30\,\%$.

Výsledek

Neposečeno zůstane 30 % celé louky. Správná je možnost B.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.3

Nedávno byly zdraženy hřebíky.
Částka, za kterou jsme dříve koupili 120 hřebíků, nyní vystačí jen na 80 hřebíků.

O kolik procent byly hřebíky zdraženy?

A) méně než 30 %
D) 50 %
B) 30 %
E) 60 %
C) 40 %
F) jiný počet procent

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Porovnání ceny jednoho hřebíku

Stejnou částku nyní dělíme mezi 80 hřebíků místo původních 120. Cena jednoho hřebíku je proto nyní $120 : 80 = 1{,}5$ násobkem původní ceny.

Výpočet zdražení

Původní cena představuje 100 %. Nová cena je $1{,}5 \cdot 100 = 150$ % původní ceny. Zdražení tedy činí $150 - 100 = 50$ %.

Výsledek

Hřebíky byly zdraženy o 50 %. Správná odpověď je D.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 16.1

Ve čtvercové síti vytváříme různé obdélníky s vrcholy v mřížových bodech, obdobně jako na obrázku.
(Na obrázku je jeden z možných obdélníků, a to s rozměry 8 cm a 4 cm.)
Uvnitř obdélníku zakreslíme v každém mřížovém bodě hvězdičku.
Hvězdičky nejblíže hranici obdélníku budou tmavé a ostatní bílé.

Určete počet všech hvězdiček v obdélníku s rozměry 81 cm a 20 cm.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet hvězdiček v jedné řadě

Z popisu obrázku víme, že strana jednoho čtverce sítě měří 1 cm. Podél strany dlouhé 81 cm je tedy 81 čtverců. Hvězdičky kreslíme jen do vnitřních mřížových bodů, na hranici žádné nejsou. V jedné vodorovné řadě je proto 81 − 1 = 80 hvězdiček.

Počet řad

Podél strany dlouhé 20 cm je 20 čtverců. Uvnitř obdélníku je tedy 20 − 1 = 19 vodorovných řad hvězdiček.

Celkový počet hvězdiček

Každá z 19 řad obsahuje 80 hvězdiček. Dohromady je jich 80 · 19 = 1 520. Počítáme tmavé i bílé hvězdičky, takže v obdélníku je celkem 1 520 hvězdiček.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

1 520

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.2

Obdélník, jehož jeden rozměr je 50 cm, obsahuje celkem 9 800 hvězdiček.

Určete v cm druhý rozměr tohoto obdélníku.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet hvězdiček v jedné řadě

Z obrázku vidíme, že sousední mřížové body jsou od sebe vzdálené 1 cm. Hvězdičky jsou pouze uvnitř obdélníku, na jeho hranici žádné nejsou. Podél rozměru 50 cm je tedy v každé řadě $50 - 1 = 49$ hvězdiček. Počítáme tmavé i bílé dohromady.

Počet řad

Celkem je v obdélníku 9 800 hvězdiček. Počet řad proto zjistíme dělením: $9\,800 : 49 = 200$.

Druhý rozměr a ověření

Mezi 200 řadami hvězdiček je 199 mezer po 1 cm. K tomu přidáme 1 cm od první řady k jedné hranici a 1 cm od poslední řady k druhé hranici. Druhý rozměr je tedy $199 + 1 + 1 = 201$ cm. Ověříme: $(50 - 1) \cdot (201 - 1) = 49 \cdot 200 = 9\,800$. Druhý rozměr obdélníku je 201 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

201 cm

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.3

Vypočtěte, o kolik se liší počty bílých a tmavých hvězdiček v obdélníku s rozměry 41 cm a 23 cm.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet všech hvězdiček

Čtverce sítě mají stranu 1 cm. Hvězdičky leží pouze uvnitř obdélníku, proto je v každé řadě 41 − 1 = 40 hvězdiček a řad je 23 − 1 = 22. Dohromady je tedy 40 · 22 = 880 hvězdiček.

Počet bílých hvězdiček

Tmavé hvězdičky tvoří krajní řady a krajní sloupce. Bílé hvězdičky zbývají po vynechání první a poslední řady i prvního a posledního sloupce. Je jich (40 − 2) · (22 − 2) = 38 · 20 = 760.

Počet tmavých hvězdiček

Od všech hvězdiček odečteme bílé: 880 − 760 = 120. Tmavých hvězdiček je tedy 120.

Rozdíl počtů

Počty se liší o 760 − 120 = 640. Bílých hvězdiček je o 640 více než tmavých.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

640

Stav úlohy

2 body