Matematika 9. ročník — 2. náhradní termín 2022

Úloha 1

Vypište všechny dělitele čísla 95, které jsou větší než 1 a menší než 95.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozklad čísla 95

Číslo 95 končí číslicí 5, což znamená, že je dělitelné pěti. Zkusíme tedy číslo 95 vydělit pěti: $95 \div 5 = 19$.

Kontrola dalších dělitelů

Číslo 19 je prvočíslo (má pouze dva dělitele: 1 a 19). To znamená, že dělitele čísla 95 jsou pouze 1, 5, 19 a 95.

Výběr správných dělitelů

Zadání požaduje dělitele, kteří jsou větší než 1 a menší než 95. Z našeho seznamu (1, 5, 19, 95) tedy vybereme pouze čísla 5 a 19.

Závěr

Dělitelé čísla 95, kteří splňují podmínku, jsou 5 a 19.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

5; 19

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2.1

Vypočtěte:

$\displaystyle \left( -3 \right) ^2 - 5 ^2 - 4 \cdot \left( -4 \right) =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Mocniny a násobení

Nejdřív vypočítáme mocniny a součin: $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$, $5^2 = 25$ a $4 \cdot (-4) = -16$.

Odčítání záporného čísla

Dosadíme vypočítané hodnoty: $9 - 25 - (-16)$. Odčítání záporného čísla změníme na přičítání, takže dostaneme $9 - 25 + 16$.

Výsledek

Počítáme zleva doprava: $9 - 25 + 16 = -16 + 16 = 0$. Výsledek je 0.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

0

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2.2

Vypočtěte:

$\displaystyle \left( 0,08 - 1 \right) \div 0,2=$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet v závorce

Nejdříve vypočítáme výraz v závorce. Od čísla 0,08 odečteme číslo 1.
$0,08 - 1 = -0,92$

Dělení

Výsledek ze závorky vydělíme číslem 0,2.
$-0,92 \div 0,2 = -4,6$

Pomoci si můžeme posunutím desetinné čárky u obou čísel o jedno místo doprava, což nám dá stejný výsledek jako $-9,2 \div 2 = -4,6$.

Závěr

Výsledkem celého výrazu je tedy $-4,6$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-4,6

Stav úlohy

1 bod

Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \left( \frac{12}{5} \cdot \frac{3}{20} - \frac{3}{20} \right) \div \frac{7}{25}=$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet v závorce

Nejdříve vypočítáme výraz v závorce. Můžeme si všimnout, že zlomek $\frac{3}{20}$ se v závorce vyskytuje dvakrát, můžeme ho tedy vytknout pro snazší výpočet:
$\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{20} - \frac{3}{20} = \frac{3}{20} \cdot \left( \frac{12}{5} - 1 \right) = \frac{3}{20} \cdot \frac{7}{5} = \frac{21}{100}$
(Stejný výsledek dostaneme i postupným násobením: $\frac{36}{100} - \frac{15}{100} = \frac{21}{100}$).

Dělení zlomků

Výsledek ze závorky nyní vydělíme zlomkem $\frac{7}{25}$. Dělení zlomkem je totéž jako násobení jeho převrácenou hodnotou:
$\frac{21}{100} \div \frac{7}{25} = \frac{21}{100} \cdot \frac{25}{7}$

Krácení a výsledek

Před násobením zlomky vykrátíme (číslo $21$ s $7$ a číslo $25$ se $100$):
$\frac{21}{100} \cdot \frac{25}{7} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{1} = \mathbf{\frac{3}{4}}$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

3/4

Stav úlohy

2 body

Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{12}{\displaystyle 2 + \frac{2}{3} } \cdot \frac{\displaystyle 2 \cdot \frac{2}{3} }{18} =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úprava prvního zlomku

Nejdříve vypočítáme jmenovatel prvního zlomku:

$2 + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$

Nyní upravíme celý první zlomek (rozdělíme čitatele jmenovatelem):

$\frac{12}{\frac{8}{3}} = 12 \cdot \frac{3}{8} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}$

Úprava druhého zlomku

Vypočítáme čitatel druhého zlomku:

$2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

Nyní upravíme celý druhý zlomek:

$\frac{\frac{4}{3}}{18} = \frac{4}{3 \cdot 18} = \frac{4}{54} = \frac{2}{27}$

Vynásobení výsledků

Nakonec vynásobíme upravené hodnoty obou zlomků. Při násobení můžeme krátit dvojky:

$\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{27} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$

Závěr

Výsledný zlomek v základním tvaru je $\mathbf{\frac{1}{3}}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

1/3

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.1

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky ani znak pro odmocninu):

$\displaystyle \left( 10 {\rm x} -8 \right) - {\rm x} \cdot \sqrt{100 - 64} =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet odmocniny

Nejdřív vypočítáme výraz pod odmocninou: $100 - 64 = 36$. Protože $6 \cdot 6 = 36$, platí $\sqrt{36} = 6$.

Odstranění závorky a násobení

Před závorkou není záporné znaménko, takže ji odstraníme beze změny znamének. Součin $x \cdot 6$ zapíšeme jako $6x$. Dostaneme $10x - 8 - 6x$.

Výsledek

Sečteme členy s $x$: $10x - 6x = 4x$. Výsledný výraz je $4x - 8$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

4x−8

Stav úlohy

1 bod

Úloha 4.2

Do rámečků doplňte chybějící čísla tak, aby platila rovnost.

$\displaystyle \left( {\rm y} + \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}} \right) ^2 = y^2 + 10 {\rm y} + \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výběr vhodného vzorce

Zadaný výraz má tvar druhé mocniny součtu dvou členů: $(a + b)^2$. Pro jeho umocnění použijeme vzorec:
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Určení prvního chybějícího čísla

Srovnáme levou stranu zadané rovnosti se vzorcem. Vidíme, že první člen je $y$, tedy $a = y$.
Prostřední člen na pravé straně vzorce je $2ab$. V našem příkladu je tento člen roven $10y$. Můžeme tedy sestavit rovnici:
$2 \cdot y \cdot b = 10y$
$2b = 10$
$b = 5$
Do prvního rámečku v závorce tedy patří číslo 5.

Určení druhého chybějícího čísla

Poslední člen na pravé straně vzorce je $b^2$. Protože jsme zjistili, že $b = 5$, stačí toto číslo umocnit:
$b^2 = 5^2 = 25$
Do druhého rámečku na pravé straně rovnosti tedy patří číslo 25.

Doplněná rovnost

Po doplnění obou zjištěných čísel dostáváme platnou rovnost:
$(y + 5)^2 = y^2 + 10y + 25$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

5, 25

Stav úlohy

1 bod

Úloha 4.3

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle \left( 6 {\rm n} + 1 \right) \cdot \left( 1-2{\rm n} -4{\rm n} \right) + \left( 1-2{\rm n} \right) \cdot \left( -4{\rm n} \right) =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úprava závorky

Nejdřív v první části výrazu sečteme členy s $n$: $1-2n-4n=1-6n$. Dostaneme tedy $(6n+1)(1-6n)+(1-2n)(-4n)$.

Roznásobení

V prvním součinu násobíme každý člen první závorky každým členem druhé: $(6n+1)(1-6n)=6n-36n^2+1-6n=1-36n^2$. Druhý součin je $(1-2n)(-4n)=-4n+8n^2$, protože součin dvou záporných členů je kladný.

Sečtení členů a výsledek

Sečteme členy s $n^2$: $-36n^2+8n^2=-28n^2$. Zbývá ještě $-4n$ a $1$. Výsledný výraz bez závorek je $-28n^2-4n+1$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

−28n²−4n+1

Stav úlohy

2 body

Úloha 5.1

Řešte rovnici:

$\displaystyle {\rm x} + 0,2 \cdot \left( 5 {\rm x} + 0,9 \right) = {\rm x} \div 5$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Roznásobení závorky

Nejdřív roznásobíme závorku: $0{,}2 \cdot 5x = x$ a $0{,}2 \cdot 0{,}9 = 0{,}18$. Dělení pěti na pravé straně zapíšeme jako $0{,}2x$. Dostaneme $x + x + 0{,}18 = 0{,}2x$, tedy $2x + 0{,}18 = 0{,}2x$.

Úprava rovnice

Od obou stran odečteme $0{,}2x$: $1{,}8x + 0{,}18 = 0$. Potom od obou stran odečteme $0{,}18$: $1{,}8x = -0{,}18$. Obě strany vydělíme číslem $1{,}8$ a získáme $x = -0{,}1$.

Výsledek a zkouška

Dosadíme do původní rovnice. Levá strana: $-0{,}1 + 0{,}2 \cdot (5 \cdot (-0{,}1) + 0{,}9) = -0{,}1 + 0{,}2 \cdot 0{,}4 = -0{,}02$. Pravá strana: $-0{,}1 \div 5 = -0{,}02$. Obě strany jsou stejné, takže řešením je $x = -0{,}1$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

−0,1

Stav úlohy

2 body

Úloha 5.2

Řešte rovnici:

$\displaystyle 7 \cdot \frac{ {\rm y} -3}{6} - \frac{6 {\rm y}+6 }{9} = \frac{1}{3}$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění zlomků

Celou rovnici vynásobíme číslem 18, které je společným násobkem jmenovatelů 6, 9 a 3. Dostaneme $21(y-3)-2(6y+6)=6$.

Úprava rovnice

Roznásobíme závorky. Před druhou závorkou je záporné číslo, proto dostaneme $21y-63-12y-12=6$. Sečteme členy s neznámou a číselné členy: $9y-75=6$.

Výpočet neznámé

K oběma stranám přičteme 75: $9y=81$. Potom obě strany vydělíme 9: $y=9$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme do původní rovnice: $7\cdot\frac{9-3}{6}-\frac{6\cdot9+6}{9}=7-\frac{20}{3}=\frac{1}{3}$. Levá strana se rovná pravé, takže řešením je $y=9$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

9

Stav úlohy

2 body

Úloha 6.1

Stejné činky jsou baleny po 6 kusech do stejných krabic.
V obchodě se sportovními potřebami mají čtyři krabice s činkami, dvě z těchto krabic jsou plné, dvě poloprázdné a vše dohromady váží 47 kg.
V každé poloprázdné krabici zůstaly jen 3 činky.
Obě poloprázdné krabice s činkami váží celkem 16 kg.

Vypočtěte, kolik kilogramů váží jedna plná krabice s činkami.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hmotnost dvou plných krabic

Ze zadání víme, že čtyři krabice (dvě plné a dvě poloprázdné) váží dohromady 47 kg. Také víme, že obě poloprázdné krabice váží celkem 16 kg. Když od celkové hmotnosti všech krabic odečteme hmotnost těch poloprázdných, zbude nám hmotnost dvou plných krabic:

47 - 16 = 31\text{ kg}

Výpočet pro jednu krabici

Pokud dvě stejné plné krabice váží dohromady 31 kg, hmotnost jedné z nich zjistíme tak, že 31 kg rozdělíme na dvě stejné poloviny (vydělíme dvěma):

31 : 2 = 15,5\text{ kg}

Závěr

Jedna plná krabice s činkami váží 15,5 kg.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

15,5

Stav úlohy

1 bod

Úloha 6.2

Stejné činky jsou baleny po 6 kusech do stejných krabic.
V obchodě se sportovními potřebami mají čtyři krabice s činkami, dvě z těchto krabic jsou plné, dvě poloprázdné a vše dohromady váží 47 kg.
V každé poloprázdné krabici zůstaly jen 3 činky.
Obě poloprázdné krabice s činkami váží celkem 16 kg.

Vypočtěte, kolik kilogramů váží jedna činka.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (6 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Váha jedné poloprázdné krabice

Ze zadání víme, že obě poloprázdné krabice s činkami váží celkem 16 kg. Protože jsou obě krabice stejné, jedna poloprázdná krabice váží přesně polovinu:
$16 \div 2 = 8$ kg.
V této krabici jsou 3 činky.

Váha dvou plných krabic

Máme celkem čtyři krabice (dvě plné a dvě poloprázdné), které dohromady váží 47 kg. Když od této váhy odečteme váhu dvou poloprázdných krabic (16 kg), zbyde nám váha dvou plných krabic:
$47 - 16 = 31$ kg.

Váha jedné plné krabice

Jedna plná krabice váží polovinu z 31 kg:
$31 \div 2 = 15,5$ kg.
V plné krabici je 6 činek.

Rozdíl v počtu činek

Rozdíl mezi plnou krabicí (6 činek) a poloprázdnou krabicí (3 činky) jsou právě 3 činky. Rozdíl v jejich váze je:
$15,5 - 8 = 7,5$ kg.
Tři činky tedy váží 7,5 kg.

Váha jedné činky

Jednu činku vypočítáme tak, že váhu tří činek vydělíme třemi:
$7,5 \div 3 = 2,5$ kg.

Výsledek

Jedna činka váží 2,5 kg.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

2,5

Stav úlohy

1 bod

Úloha 6.3

Stejné činky jsou baleny po 6 kusech do stejných krabic.
V obchodě se sportovními potřebami mají čtyři krabice s činkami, dvě z těchto krabic jsou plné, dvě poloprázdné a vše dohromady váží 47 kg.
V každé poloprázdné krabici zůstaly jen 3 činky.
Obě poloprázdné krabice s činkami váží celkem 16 kg.

Vypočtěte, kolik kilogramů váží jedna prázdná krabice.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (6 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hmotnost jedné poloprázdné krabice

Ze zadání víme, že dvě poloprázdné krabice váží celkem $16\text{ kg}$. Jedna poloprázdná krabice tedy váží polovinu:
$16 : 2 = 8\text{ kg}$

Hmotnost dvou plných krabic

Všechny čtyři krabice (dvě plné a dvě poloprázdné) váží dohromady $47\text{ kg}$. Od této celkové hmotnosti odečteme hmotnost obou poloprázdných krabic:
$47 - 16 = 31\text{ kg}$
Dvě plné krabice tedy váží dohromady $31\text{ kg}$.

Hmotnost jedné plné krabice

Jedna plná krabice váží polovinu z $31\text{ kg}$:
$31 : 2 = 15,5\text{ kg}$

Hmotnost tří činek

Plná krabice obsahuje $6$ činek, zatímco poloprázdná krabice obsahuje jen $3$ činky. Rozdíl v jejich hmotnosti tvoří právě ty $3$ činky, o které je plná krabice těžší:
$15,5 - 8 = 7,5\text{ kg}$
Zjistili jsme, že $3$ činky váží $7,5\text{ kg}$.

Hmotnost prázdné krabice

Poloprázdná krabice se skládá z prázdné krabice a $3$ činek. Pokud od její celkové hmotnosti ($8\text{ kg}$) odečteme hmotnost těchto $3$ činek ($7,5\text{ kg}$), získáme hmotnost samotné krabice:
$8 - 7,5 = 0,5\text{ kg}$

Závěr

Jedna prázdná krabice váží $0,5\text{ kg}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

0,5

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.1

Z nádvoří se chodí nahoru na ochoz věže po 80 stejných vyšších schodech, zatímco zpět na nádvoří se chodí dolů jiným schodištěm po 96 stejných nižších schodech.
Obě schodiště jsou ve dvou místech propojena odpočívadly.
Václav šel z nádvoří nahoru a po 60 schodech potkal na 2. odpočívadle Danu, která šla dolů.
Když Dana sešla ještě o 30 schodů níže, potkala na 1. odpočívadle Evu, která šla nahoru.

Vypočtěte, kolik schodů sešla Dana dolů z ochozu, než potkala Václava.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Schody od odpočívadla k ochozu

Václav vystoupal na 2. odpočívadlo po 60 z celkem 80 vyšších schodů. Od tohoto odpočívadla k ochozu tedy zbývá 80 − 60 = 20 vyšších schodů.

Část celkové výšky

20 schodů je čtvrtina z 80 schodů. Mezi 2. odpočívadlem a ochozem je tedy čtvrtina celkové výšky mezi nádvořím a ochozem. Právě tuto výšku Dana sestoupila, než potkala Václava.

Výsledek

Na schodišti dolů je celkem 96 stejných nižších schodů. Čtvrtině celkové výšky odpovídá 96 : 4 = 24 schodů. Dana tedy sešla 24 schodů.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

24

Stav úlohy

2 body

Úloha 7.2

Z nádvoří se chodí nahoru na ochoz věže po 80 stejných vyšších schodech, zatímco zpět na nádvoří se chodí dolů jiným schodištěm po 96 stejných nižších schodech.
Obě schodiště jsou ve dvou místech propojena odpočívadly.
Václav šel z nádvoří nahoru a po 60 schodech potkal na 2. odpočívadle Danu, která šla dolů.
Když Dana sešla ještě o 30 schodů níže, potkala na 1. odpočívadle Evu, která šla nahoru.

Vypočtěte, kolik schodů vyšla Eva nahoru z nádvoří, než potkala Danu.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Poměr počtu schodů

Obě schodiště vedou z nádvoří na stejný ochoz. Poměr počtu vyšších a nižších schodů je $80 : 96 = 5 : 6$. Stejnou výšku tedy překonáme po 5 vyšších nebo po 6 nižších schodech.

Schody mezi odpočívadly

Dana mezi 2. a 1. odpočívadlem sešla 30 nižších schodů. Je to $30 : 6 = 5$ skupin po 6 schodech. Na schodišti nahoru tomu odpovídá $5 \cdot 5 = 25$ vyšších schodů.

Výsledek a ověření

Na 2. odpočívadlo vede z nádvoří 60 vyšších schodů. Na 1. odpočívadlo jich proto vede $60 - 25 = 35$. Ověříme: $35 + 25 = 60$. Eva tedy před setkáním s Danou vyšla 35 schodů.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

35

Stav úlohy

2 body

Úloha 8.1

Obrazec se skládá z tmavého čtverce, dvou shodných bílých rovnoramenných trojúhelníků a dvou shodných bílých lichoběžníků.
(S každou stranou čtverce splývá základna jednoho bílého útvaru.)
Tmavý čtverec má obsah 144 cm², což je polovina obsahu celého obrazce.
Jeden trojúhelník má obsah 30 cm².
Délka kratší základny lichoběžníku je 9 cm.

Vypočtěte v cm výšku na základnu rovnoramenného trojúhelníku.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Základna trojúhelníku

Čtverec má obsah $144\ \mathrm{cm}^2$. Protože $12 \cdot 12 = 144$, jeho strana měří $12\ \mathrm{cm}$. Základna trojúhelníku splývá se stranou čtverce, takže také měří $12\ \mathrm{cm}$.

Výpočet výšky

Obsah trojúhelníku vypočítáme jako základnu krát příslušnou výšku děleno dvěma. Z obsahu $30\ \mathrm{cm}^2$ proto získáme výšku výpočtem $v = 2 \cdot 30 : 12 = 5\ \mathrm{cm}$.

Výsledek a kontrola

Ověříme obsah: $12 \cdot 5 : 2 = 30\ \mathrm{cm}^2$, což souhlasí se zadáním. Výška na základnu rovnoramenného trojúhelníku je 5 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

5 cm

Stav úlohy

1 bod

Úloha 8.2

Obrazec se skládá z tmavého čtverce, dvou shodných bílých rovnoramenných trojúhelníků a dvou shodných bílých lichoběžníků.
(S každou stranou čtverce splývá základna jednoho bílého útvaru.)
Tmavý čtverec má obsah 144 cm², což je polovina obsahu celého obrazce.
Jeden trojúhelník má obsah 30 cm².
Délka kratší základny lichoběžníku je 9 cm.

Vypočtěte v cm výšku lichoběžníku.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Strana čtverce a základny lichoběžníku

Čtverec má obsah 144 cm². Protože $12 \cdot 12 = 144$, jeho strana měří 12 cm. Podle obrázku je tato strana delší základnou lichoběžníku. Kratší základna měří 9 cm.

Obsah bílých útvarů

Tmavý čtverec tvoří polovinu obsahu celého obrazce, takže bílé útvary mají dohromady také 144 cm². Dva trojúhelníky mají dohromady $2 \cdot 30 = 60$ cm². Na oba lichoběžníky zbývá $144 - 60 = 84$ cm².

Obsah jednoho lichoběžníku

Lichoběžníky jsou shodné, proto má každý z nich obsah $84 : 2 = 42$ cm².

Výška lichoběžníku

Obsah lichoběžníku vypočítáme jako součet délek základen krát výška, děleno dvěma: $S = \frac{(a+b) \cdot v}{2}$. Výšku tedy získáme výpočtem $v = \frac{2 \cdot 42}{12 + 9} = \frac{84}{21} = 4$ cm. Ověříme: $(12 + 9) \cdot 4 : 2 = 42$ cm². Výška lichoběžníku je 4 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

4 cm

Stav úlohy

2 body

Úloha 9

V rovině leží body A, S a přímka p procházející bodem A.

Bod A je vrchol rovnoběžníku ABCD. Bod S je střed tohoto rovnoběžníku.
Na přímce p leží vrchol B rovnoběžníku ABCD. Úhel ASB má velikost 120°.

Sestrojte vrcholy B, C, D rovnoběžníku ABCD, označte je písmeny a rovnoběžník narýsujte.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

2 body: Vzorové řešení výše.
1 bod: Nastane jedna z následujících situací:
Správně je sestrojen pouze vrchol B.
Je sestrojen nevyhovující rovnoběžník, v němž platí |∢ASD| = 120°, nikoli |∢ASB| = 120°, ale ostatní podmínky zadání jsou splněny a konstrukce je přesná.
0 bodů: Pouze zcela chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 2. náhradní termín 2022, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

2 body

Úloha 10

V rovině leží body C, Q a přímka p.

Bod C je vrchol rovnoramenného trojúhelníku ABC se základnou AB.
Ramena mají délku 5 cm. Na přímce p leží jeden vrchol trojúhelníku ABC.
Bodem Q prochází osa souměrnosti trojúhelníku ABC.

Sestrojte vrcholy A, B trojúhelníku ABC, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

3 body: Vzorové řešení výše.
2 body: Z požadovaných trojúhelníků je pouze jeden sestrojen přesně, druhý je sestrojen nepřesně, nebo chybí.
1 bod: Z požadovaných trojúhelníků je sestrojen pouze jeden, a to s mírnou nepřesností.
0 bodů: Pouze chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 2. náhradní termín 2022, úloha 10

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 11.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou z tmavých čtverců složeny tři útvary A, B, C. Každý z nich má pouze jednu osu souměrnosti.
V každém útvaru přemístíme jediný tmavý čtverec tak, aby měl upravený útvar co nejvíce různých os souměrnosti (sestrojených svisle, vodorovně nebo šikmo).

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Správně upravený útvar A má pouze 2 osy souměrnosti.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 11.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou z tmavých čtverců složeny tři útvary A, B, C. Každý z nich má pouze jednu osu souměrnosti.
V každém útvaru přemístíme jediný tmavý čtverec tak, aby měl upravený útvar co nejvíce různých os souměrnosti (sestrojených svisle, vodorovně nebo šikmo).

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Správně upravený útvar B má pouze 2 osy souměrnosti.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 11.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou z tmavých čtverců složeny tři útvary A, B, C. Každý z nich má pouze jednu osu souměrnosti.
V každém útvaru přemístíme jediný tmavý čtverec tak, aby měl upravený útvar co nejvíce různých os souměrnosti (sestrojených svisle, vodorovně nebo šikmo).

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Správně upravený útvar C má pouze 1 osu souměrnosti.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 12

Čtyřúhelník je rozdělen na dva tmavé rovnostranné trojúhelníky, jeden bílý čtyřúhelník a jeden bílý trojúhelník.

Jaká je velikost úhlu φ?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

A) 105°
D) 120°
B) 110°
E) větší než 120°
C) 115°

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úhel v rovnostranném trojúhelníku

Každý úhel rovnostranného trojúhelníku má 60°. Menší tmavý trojúhelník má tedy u vnitřního bodu dolní strany úhel 60°.

Úhel u dolní strany

Nad přímou dolní stranou tvoří tři sousední úhly dohromady 180°. Úhel bílého trojúhelníku u vnitřního bodu dolní strany je proto 180° − 60° − 36° = 84°.

Třetí úhel bílého trojúhelníku

Bílý trojúhelník vlevo má dva úhly 41° a 84°. Jeho třetí úhel, u levé šikmé strany, je 180° − 41° − 84° = 55°.

Výsledek

Úhel φ a vypočtený úhel 55° jsou vedlejší úhly na levé šikmé straně. Proto φ = 180° − 55° = 125°. Je větší než 120°, takže správně je E.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy

2 body

Úloha 13

Podstavou trojbokého kolmého hranolu je pravoúhlý trojúhelník, jehož dvě delší strany měří 17 cm a 15 cm. Výška hranolu je 5 cm. Obě podstavy hranolu jsou tmavé, ostatní stěny jsou bílé.Ze čtyř těchto trojbokých hranolů je slepeno těleso (viz obrázek), které má dvě shodné stěny tmavé a zbývající čtyři stěny bílé.

Jaký obsah mají dohromady všechny bílé stěny slepeného tělesa?

A) menší než 300 cm²
D) 470 cm²
B) 300 cm²
E) větší než 470 cm²
C) 330 cm²

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy

2 body

Úloha 14

Podstavou trojbokého kolmého hranolu je pravoúhlý trojúhelník, jehož dvě delší strany měří 17 cm a 15 cm. Výška hranolu je 5 cm. Obě podstavy hranolu jsou tmavé, ostatní stěny jsou bílé.Ze čtyř těchto trojbokých hranolů je slepeno těleso (viz obrázek), které má dvě shodné stěny tmavé a zbývající čtyři stěny bílé.

Jaký je objem slepeného tělesa?

A) 960 cm³
D) 1360 cm³
B) 1200 cm³
E) jiný objem
C) 1280 cm³

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Délka kratší odvěsny

Nejdelší strana pravoúhlého trojúhelníku je přepona, tedy 17 cm. Delší odvěsna měří 15 cm. Podle Pythagorovy věty je čtverec délky kratší odvěsny $17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$. Kratší odvěsna proto měří $\sqrt{64} = 8$ cm.

Obsah podstavy

Odvěsny jsou na sebe kolmé, takže je použijeme jako základnu a výšku trojúhelníku. Obsah podstavy je $S = \frac{15 \cdot 8}{2} = 60$ cm².

Objem jednoho hranolu

Objem hranolu vypočítáme jako obsah podstavy krát výška hranolu. Jeden hranol má objem $V = 60 \cdot 5 = 300$ cm³.

Objem slepeného tělesa

Těleso je slepeno ze čtyř shodných hranolů, proto jejich objemy sečteme: $4 \cdot 300 = 1200$ cm³. Objem slepeného tělesa je 1200 cm³, tedy možnost B.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.1

Do prosince roku 2020 prodělal covid-19 každý dvacátý Čech.

Kolik procent Čechů prodělalo covid-19 do prosince roku 2020?

A) 4 %
D) 7 %
B) 5 %
E) 8 %
C) 6 %
F) jiný počet procent

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Každý dvacátý Čech znamená, že z každých 20 Čechů prodělal covid-19 jeden.

Převod na procenta

Procenta udávají počet ze sta. Ve 100 Češích je 100 : 20 = 5 skupin po dvaceti. V každé skupině prodělal nemoc jeden člověk, tedy dohromady 5 ze 100. To je 5 %.

Výsledek

Do prosince roku 2020 prodělalo covid-19 5 % Čechů. Správná je možnost B.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.2

Počet novorozenců tvořil v dubnu $\displaystyle \frac{26}{25}$ počtu novorozenců v březnu.

O kolik procent byl počet novorozenců v dubnu vyšší než v březnu?

A) 4 %
D) 7 %
B) 5 %
E) 8 %
C) 6 %
F) jiný počet procent

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Základ pro porovnání

Počet novorozenců v březnu je základ, tedy 100 %. Dubnový počet tvoří $\frac{26}{25}$ tohoto základu.

Výpočet nárůstu

Březnový počet představuje $\frac{25}{25}$, takže v dubnu přibylo $\frac{26}{25}-\frac{25}{25}=\frac{1}{25}$ březnového počtu. Jeden z 25 stejných dílů základu je $100 : 25 = 4$ %.

Výsledek

Počet novorozenců byl v dubnu vyšší o 4 %. Správná je možnost A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.3

Teplá kapalina v nádobě po vychladnutí zmenšila svůj objem o $\displaystyle \frac{2}{27}$ .

O kolik procent byl objem teplé kapaliny větší než objem vychladlé kapaliny?

A) 4 %
D) 7 %
B) 5 %
E) 8 %
C) 6 %
F) jiný počet procent

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení objemu na dílky

Objem teplé kapaliny si rozdělíme na 27 stejných dílků. Při chladnutí se objem zmenší o 2 dílky, takže vychladlá kapalina má $27 - 2 = 25$ dílků.

Základ pro procenta

Teplá kapalina má o 2 dílky větší objem. Porovnáváme jej s objemem vychladlé kapaliny, proto 100 % představuje 25 dílků.

Výpočet a výsledek

Jeden dílek představuje $100 : 25 = 4$ procenta. Dva dílky tedy představují $2 \cdot 4 = 8$ procent. Objem teplé kapaliny byl větší o 8 % (možnost E).

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy

2 body

Úloha 16.1

Řada je vytvořena z celých čísel. První trojice čísel je 0, 1, 2.
Každou další trojici vytvoříme tak, že jednotlivá čísla z předchozí trojice zvětšíme o 1.

V řadě je na 1. až 18. místě následujících 18 čísel:
0, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 5, 6, 7, …

Určete, na kolikátém místě řady je poprvé číslo 12.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Složení řady

Řada se skládá z trojic čísel. První trojice je 0, 1, 2. Každá další trojice začíná číslem o 1 vyšším než ta předchozí.

Hledání první dvanáctky

V každé trojici jsou čísla uspořádána od nejmenšího po největší. Číslo 12 se tedy poprvé objeví jako největší (poslední) číslo v nějaké trojici.
Pokud má být v trojici největší číslo 12, musí tato trojice vypadat takto: 10, 11, 12.

Pořadí trojice

Musíme zjistit, o kolikátou trojici se jedná:

1. trojice začíná číslem 0.
2. trojice začíná číslem 1.
3. trojice začíná číslem 2.

Vidíme, že pořadí trojice je vždy o 1 větší než číslo, kterým začíná. Trojice začínající číslem 10 je tedy 11. trojice v pořadí.

Výpočet místa

Každá trojice zabírá 3 místa v řadě. Jedenáctá trojice končí na místě:
$11 \cdot 3 = 33$.

Výsledek

Číslo 12 je v jedenácté trojici na posledním místě, nachází se tedy poprvé na 33. místě.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

33

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.2

Řada je vytvořena z celých čísel. První trojice čísel je 0, 1, 2.
Každou další trojici vytvoříme tak, že jednotlivá čísla z předchozí trojice zvětšíme o 1.

V řadě je na 1. až 18. místě následujících 18 čísel:
0, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 5, 6, 7, …

Určete, na kolika místech řady je mezi prvními 125 čísly uvedeno liché číslo.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení na trojice

Celou řadu tvoří trojice čísel. Prvních 125 čísel si můžeme rozdělit na 41 celých trojic a zbylá 2 čísla (protože $125 = 41 \cdot 3 + 2$).

Lichá čísla v trojicích

Podíváme se, kolik lichých čísel je v každé trojici:

1. trojice (0, 1, 2) má 1 liché číslo.
2. trojice (1, 2, 3) má 2 lichá čísla.
3. trojice (2, 3, 4) má opět 1 liché číslo.
4. trojice (3, 4, 5) má opět 2 lichá čísla.

Vzor se pravidelně střídá: liché trojice (1., 3., 5., ...) mají 1 liché číslo, sudé trojice (2., 4., 6., ...) mají 2 lichá čísla.

Počet v 41 trojicích

Mezi prvními 41 trojicemi je:

21 lichých trojic (1., 3., ..., 41.), každá má jedno liché číslo: $21 \cdot 1 = 21$.
20 sudých trojic (2., 4., ..., 40.), každá má dvě lichá čísla: $20 \cdot 2 = 40$.

Dohromady je v celých trojicích $21 + 40 = 61$ lichých čísel.

Poslední dvě čísla

Zbývá určit 124. a 125. číslo. Tato čísla patří do 42. trojice. Ta vznikne zvětšením čísel ze 41. trojice (40, 41, 42) o jedna, tedy je to (41, 42, 43).

124. číslo je 41 (liché).
125. číslo je 42 (sudé).

Tím získáme ještě 1 liché číslo.

Celkový součet

Mezi prvními 125 čísly je celkem $61 + 1 = 62$ lichých čísel.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

62

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.3

Řada je vytvořena z celých čísel. První trojice čísel je 0, 1, 2.
Každou další trojici vytvoříme tak, že jednotlivá čísla z předchozí trojice zvětšíme o 1.

V řadě je na 1. až 18. místě následujících 18 čísel:
0, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 5, 6, 7, …

Určete, které číslo je na 152. místě řady.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení na trojice

Čísla v řadě jsou rozdělena do trojic: (0, 1, 2), (1, 2, 3), (2, 3, 4) a tak dále. Každá další trojice začíná o 1 větším číslem než ta předchozí.

Která trojice to je?

Potřebujeme najít číslo na 152. místě. Protože jsou čísla po trojicích, vydělíme 152 číslem 3:
$152 : 3 = 50$ (zbytek 2)
To znamená, že před námi je 50 celých trojic a hledané číslo je druhé v pořadí v 51. trojici.

Čím začíná 51. trojice?

Podíváme se, jak trojice začínají:
1. trojice začíná 0.
2. trojice začíná 1.
3. trojice začíná 2.
Vidíme, že trojice vždy začíná číslem, které je o 1 menší než její pořadové číslo. 51. trojice tedy musí začínat číslem $51 - 1 = 50$.

Výsledek

51. trojice vypadá takto: (50, 51, 52). Hledané 152. místo je druhé v této trojici, což je číslo 51.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

51

Stav úlohy

2 body

Přijímací testy 9. ročník

Rozklad čísla 95

Kontrola dalších dělitelů

Výběr správných dělitelů

Závěr

Mocniny a násobení

Odčítání záporného čísla

Výsledek

Výpočet v závorce

Dělení

Závěr

Výpočet v závorce

Dělení zlomků

Krácení a výsledek

Úprava prvního zlomku

Úprava druhého zlomku

Vynásobení výsledků

Závěr

Výpočet odmocniny

Odstranění závorky a násobení

Výsledek

Výběr vhodného vzorce

Určení prvního chybějícího čísla

Určení druhého chybějícího čísla

Doplněná rovnost

Úprava závorky

Roznásobení

Sečtení členů a výsledek

Roznásobení závorky

Úprava rovnice

Výsledek a zkouška

Odstranění zlomků

Úprava rovnice

Výpočet neznámé

Zkouška a výsledek

Hmotnost dvou plných krabic

Výpočet pro jednu krabici

Závěr

Váha jedné poloprázdné krabice

Váha dvou plných krabic

Váha jedné plné krabice

Rozdíl v počtu činek

Váha jedné činky

Výsledek

Hmotnost jedné poloprázdné krabice

Hmotnost dvou plných krabic

Hmotnost jedné plné krabice

Hmotnost tří činek

Hmotnost prázdné krabice

Závěr

Schody od odpočívadla k ochozu

Část celkové výšky

Výsledek

Poměr počtu schodů

Schody mezi odpočívadly

Výsledek a ověření

Základna trojúhelníku

Výpočet výšky

Výsledek a kontrola

Strana čtverce a základny lichoběžníku

Obsah bílých útvarů

Obsah jednoho lichoběžníku

Výška lichoběžníku

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Úhel v rovnostranném trojúhelníku

Úhel u dolní strany

Třetí úhel bílého trojúhelníku

Výsledek

Délka kratší odvěsny

Obsah podstavy

Objem jednoho hranolu

Objem slepeného tělesa

Rozbor zadání

Převod na procenta

Výsledek

Základ pro porovnání

Výpočet nárůstu

Výsledek

Rozdělení objemu na dílky