Načítání…
Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 9. ročník

Podkategorie: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2022

32 úloh

PDF+Klíč
Úloha 1

Vypočtěte:

$\displaystyle \frac{ 7 ^2 - \sqrt{7 ^2 } }{ \sqrt{49} } =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Mocnina a odmocniny

Nejdřív vypočítáme $7^2 = 49$. Proto $\sqrt{7^2} = \sqrt{49} = 7$. Také odmocnina ve jmenovateli je $\sqrt{49} = 7$.

Čitatel zlomku

V čitateli odečteme vypočítané hodnoty: $49 - 7 = 42$.

Výsledek

Nakonec vydělíme čitatele jmenovatelem: $\frac{42}{7} = 6$. Výsledek je 6.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

6

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.1

Obdélník má šířku 8 cm a obsah 4 dm².

Vypočtěte, o kolik cm se liší délka a šířka obdélníku.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod jednotek

Nejdřív převedeme obsah na cm². Protože 1 dm² = 100 cm², obsah obdélníku je 4 · 100 = 400 cm².

Výpočet délky

Obsah obdélníku je délka krát šířka. Délku tedy vypočítáme: 400 : 8 = 50 cm.

Rozdíl délky a šířky

Délka a šířka se liší o 50 − 8 = 42 cm.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

42

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.2

Vypočtěte, kolikrát větší je objem 1,2 dm³ než objem 300 mm³.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod jednotek

Nejdřív převedeme oba objemy na stejné jednotky. Protože 1 dm = 100 mm, platí 1 dm³ = 100 · 100 · 100 = 1 000 000 mm³. Tedy 1,2 dm³ = 1 200 000 mm³.

Porovnání objemů

Abychom zjistili, kolikrát je první objem větší, vydělíme jej druhým objemem: 1 200 000 : 300 = 4 000. Ověříme: 4 000 · 300 = 1 200 000.

Výsledek

Objem 1,2 dm³ je 4 000krát větší než objem 300 mm³.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

4 000

Stav úlohy
1 bod
Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{8}{5} \cdot \left( \frac{5}{6} \cdot \frac{7}{10} - \frac{5}{6} \right) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet násobení v závorce

Nejdříve vypočítáme násobení uvnitř závorky. Před samotným násobením zlomky $\frac{5}{6}$ a $\frac{7}{10}$ zkrátíme pěti (5 v čitateli a 10 ve jmenovateli):
$\frac{5}{6} \cdot \frac{7}{10} = \frac{1}{6} \cdot \frac{7}{2} = \frac{7}{12}$

Výpočet rozdílu v závorce

Od výsledku násobení odečteme druhý zlomek v závorce. Zlomky převedeme na společného jmenovatele 12:
$\frac{7}{12} - \frac{5}{6} = \frac{7}{12} - \frac{10}{12} = -\frac{3}{12}$
Zlomek ještě zkrátíme třemi na $-\frac{1}{4}$.

Celkové vynásobení

Výsledek závorky vynásobíme zlomkem $\frac{8}{5}$ stojícím před závorkou. Čísla 8 v čitateli a 4 ve jmenovateli zkrátíme čtyřmi:
$\frac{8}{5} \cdot \left( -\frac{1}{4} \right) = \frac{2}{5} \cdot (-1) = -\frac{2}{5}$

Finální výsledek

Výsledný zlomek je již v základním tvaru:
$-\frac{2}{5}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-2/5

Stav úlohy
2 body
Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \left(\frac{4}{5} - \frac{2}{3}\right) \cdot \frac{5}{8}}{\displaystyle \frac{2}{3}} =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet v závorce

Nejdříve vypočítáme rozdíl zlomků v závorce v čitateli složeného zlomku. Společným jmenovatelem čísel 5 a 3 je číslo 15:
$\left(\frac{4}{5} - \frac{2}{3}\right) = \frac{12 - 10}{15} = \frac{2}{15}$

Násobení v čitateli

Výsledek ze závorky vynásobíme zlomkem $\frac{5}{8}$. Před samotným násobením můžeme krátit (číslo 5 s číslem 15 a číslo 2 s číslem 8):
$\frac{2}{15} \cdot \frac{5}{8} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$

Celkový výpočet

Nyní vydělíme výsledek z čitatele zlomkem $\frac{2}{3}$ ve jmenovateli. Dělení zlomkem převedeme na násobení zlomkem převráceným:
$\frac{\frac{1}{12}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{12} : \frac{2}{3} = \frac{1}{12} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

Závěr

Výsledný zlomek v základním tvaru je $\frac{1}{8}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1/8

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.1

Z daného výrazu vytkněte 3y.

$\displaystyle 3 {\rm y} ^2 - 9 {\rm y} + 6 {\rm x} {\rm y} =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení členů v závorce

Zjistíme, čím musíme vynásobit $3y$, abychom dostali jednotlivé členy: $3y^2 = 3y \cdot y$, $-9y = 3y \cdot (-3)$ a $6xy = 3y \cdot 2x$. V závorce tedy budou členy $y$, $-3$ a $2x$.

Výsledek a kontrola

Vytkneme $3y$ před závorku: $3y^2 - 9y + 6xy = 3y(y - 3 + 2x)$. Roznásobením závorky dostaneme původní tři členy. Výsledek je $3y(y - 3 + 2x)$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

3y(y−3+2x)

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.2

Umocněte a zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle \left( {\rm x} + \frac{3}{2} \right)^2 =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Umocnění součtu

Použijeme vzorec $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Za $a$ dosadíme $x$ a za $b$ zlomek $\frac{3}{2}$: $\left(x+\frac{3}{2}\right)^2=x^2+2\cdot x\cdot\frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2$.

Výpočet členů

Prostřední člen zjednodušíme: $2\cdot x\cdot\frac{3}{2}=3x$. Při umocnění zlomku umocníme čitatele i jmenovatele: $\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{3^2}{2^2}=\frac{9}{4}$.

Výsledek

Výsledný výraz bez závorek je $x^2+3x+\frac{9}{4}$. Členy už nelze dále sečíst, protože obsahují různé mocniny proměnné nebo žádnou proměnnou.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

x²+3x+9/4

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.3

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle \left( 4 + 3 {\rm n} \right) \cdot \left( 3 {\rm n} - 2 {\rm n} \right) - \left( {\rm n} - 1 \right) \cdot 5 {\rm n} =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjednodušení závorky

Nejdřív odečteme stejné členy ve druhé závorce: $3n - 2n = n$. Výraz tedy upravíme na $(4 + 3n) \cdot n - (n - 1) \cdot 5n$.

Odstranění závorek

Vynásobíme každý člen v závorce: $(4 + 3n) \cdot n = 4n + 3n^2$ a $(n - 1) \cdot 5n = 5n^2 - 5n$. Druhý součin odečítáme, proto u obou jeho členů změníme znaménko. Dostaneme $4n + 3n^2 - 5n^2 + 5n$.

Sečtení stejných členů a výsledek

Sečteme členy s $n^2$: $3n^2 - 5n^2 = -2n^2$. Potom sečteme členy s $n$: $4n + 5n = 9n$. Výsledný výraz bez závorek je $-2n^2 + 9n$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

−2n²+9n

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.1

Řešte rovnici:

$\displaystyle 5 \cdot 0,4 - 3 {\rm x} \div 2=0,5 {\rm x} +7$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjednodušení rovnice

Nejdřív vypočítáme $5 \cdot 0{,}4 = 2$. Rovnice má tvar $2 - \frac{3x}{2} = 0{,}5x + 7$. Potom obě strany vynásobíme dvěma, abychom odstranili dělení: $4 - 3x = x + 14$.

Výpočet neznámé

Od obou stran odečteme $x$ a potom $4$: $-4x = 10$. Obě strany vydělíme číslem $-4$ a dostaneme $x = -2{,}5$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme do původní rovnice. Levá strana: $5 \cdot 0{,}4 - 3 \cdot (-2{,}5) \div 2 = 2 + 3{,}75 = 5{,}75$. Pravá strana: $0{,}5 \cdot (-2{,}5) + 7 = -1{,}25 + 7 = 5{,}75$. Obě strany jsou stejné, takže řešením je $x = -2{,}5$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-2,5

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.2

Řešte rovnici:

$\displaystyle \frac{3- {\rm y} }{3}+ \frac{3}{5} \cdot \left( {\rm y} + 1 \right) + \frac{ {\rm y} }{3} = {\rm y}$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Sečtení zlomků

Nejdřív sečteme zlomky se stejným jmenovatelem: $\frac{3-y}{3}+\frac{y}{3}=\frac{3-y+y}{3}=1$. Rovnice tedy má tvar $1+\frac{3}{5}(y+1)=y$.

Úprava rovnice

Obě strany vynásobíme pěti: $5+3(y+1)=5y$. Roznásobíme závorku a sečteme čísla: $5+3y+3=5y$, tedy $8+3y=5y$.

Výpočet neznámé

Od obou stran odečteme $3y$: $8=2y$. Potom obě strany vydělíme dvěma a dostaneme $y=4$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme $y=4$ do původní rovnice. Levá strana je $\frac{3-4}{3}+\frac{3}{5}(4+1)+\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}+3+\frac{4}{3}=4$. Pravá strana je také $4$, takže řešením je $y=4$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

4

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.1

Domeček je vytvořen z pravidelného čtyřbokého hranolu a kolmého trojbokého hranolu. Oba hranoly mají jednu stěnu společnou. Rozměry čtyřbokého hranolu jsou x, x a 20 cm. Podstavou trojbokého hranolu je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami délek 6 cm a 8 cm.

Vypočtěte v cm³ objem trojbokého hranolu.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry trojbokého hranolu

Podstavou střešní části domečku je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami 6 cm a 8 cm. Z nákresu vidíme, že délka trojbokého hranolu, tedy vzdálenost jeho trojúhelníkových podstav, je 20 cm.

Obsah podstavy

Obsah pravoúhlého trojúhelníku vypočítáme jako polovinu součinu odvěsen: $S = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24\,\text{cm}^2$.

Objem a výsledek

Objem hranolu je obsah podstavy krát vzdálenost podstav: $V = 24 \cdot 20 = 480\,\text{cm}^3$. Objem trojbokého hranolu je 480 cm³.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

480 cm³

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.2

Domeček je vytvořen z pravidelného čtyřbokého hranolu a kolmého trojbokého hranolu. Oba hranoly mají jednu stěnu společnou. Rozměry čtyřbokého hranolu jsou x, x a 20 cm. Podstavou trojbokého hranolu je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami délek 6 cm a 8 cm.

Vypočtěte v cm³ objem pravidelného čtyřbokého hranolu.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení délky x

Strana čtverce délky $x$ je zároveň přeponou pravoúhlého trojúhelníku střechy. Podle Pythagorovy věty platí $x^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$, tedy $x = 10\,\text{cm}$.

Obsah čtvercové podstavy

Pravidelný čtyřboký hranol má čtvercovou podstavu se stranou 10 cm. Její obsah je $S = 10 \cdot 10 = 100\,\text{cm}^2$.

Objem hranolu

Obsah podstavy vynásobíme délkou hranolu 20 cm: $V = 100 \cdot 20 = 2000\,\text{cm}^3$. Objem pravidelného čtyřbokého hranolu je 2000 cm³.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

2 000 cm³

Stav úlohy
2 body
Úloha 7.1

Děti i dospělí užívají doporučené dávky vitaminů denně po celý rok.
Dle příbalového letáku je doporučená denní dávka vitaminů pro dítě poloviční než pro dospělého. Dva dospělí spotřebují dohromady jedno balení vitaminů za 30 dní.

Vypočtěte, kolik balení vitaminů spotřebuje jeden dospělý za 360 dní.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Spotřeba jednoho dospělého

Dva dospělí spotřebují jedno balení za 30 dní. Jeden dospělý spotřebuje za stejnou dobu polovinu balení, takže celé balení mu vydrží 2 · 30 = 60 dní.

Počet balení za 360 dní

Počet spotřebovaných balení vypočítáme: 360 : 60 = 6.

Výsledek

Jeden dospělý spotřebuje za 360 dní 6 balení vitaminů.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

6

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.2

Děti i dospělí užívají doporučené dávky vitaminů denně po celý rok.
Dle příbalového letáku je doporučená denní dávka vitaminů pro dítě poloviční než pro dospělého. Dva dospělí spotřebují dohromady jedno balení vitaminů za 30 dní.

Vypočtěte, za kolik dní spotřebuje jedno balení vitaminů jedno dítě.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Spotřeba jednoho dospělého

Dva dospělí spotřebují jedno balení za 30 dní. Jeden dospělý spotřebuje denně polovinu jejich společné dávky, takže mu stejné balení vydrží dvakrát déle: $30 \cdot 2 = 60$ dní.

Spotřeba jednoho dítěte

Dítě užívá denně polovinu dávky jednoho dospělého. Balení mu proto vydrží ještě dvakrát déle: $60 \cdot 2 = 120$ dní.

Výsledek

Jedno dítě spotřebuje jedno balení vitaminů za 120 dní.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

120

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.3

Děti i dospělí užívají doporučené dávky vitaminů denně po celý rok.
Dle příbalového letáku je doporučená denní dávka vitaminů pro dítě poloviční než pro dospělého. Dva dospělí spotřebují dohromady jedno balení vitaminů za 30 dní.

Vypočtěte, za kolik dní spotřebují jedno balení vitaminů dohromady dva dospělí a jedno dítě.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet denních dávek v balení

Dva dospělí spotřebují balení za 30 dní. Každý užije jednu dospělou denní dávku, takže balení obsahuje $2 \cdot 30 = 60$ dospělých denních dávek.

Denní spotřeba skupiny

Dítě užívá polovinu dospělé dávky. Dva dospělí a jedno dítě tedy dohromady spotřebují za den $2 + 0{,}5 = 2{,}5$ dospělé denní dávky.

Výsledek

Počet dní zjistíme dělením: $60 : 2{,}5 = 24$. Ověříme: za 24 dní skupina spotřebuje $24 \cdot 2{,}5 = 60$ dávek, tedy celé balení. Jedno balení spotřebují za 24 dní.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

24

Stav úlohy
1 bod
Úloha 8.1

Za 4 dortíky zaplatíme v cukrárně celkem x korun, stejně jako za 5 koláčů.

Vyjádřete výrazem s proměnnou x, kolik korun zaplatíme v cukrárně za 1 dortík.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

1/4x

Stav úlohy
1 bod
Úloha 8.2

Za 4 dortíky zaplatíme v cukrárně celkem x korun, stejně jako za 5 koláčů.

Vyjádřete výrazem s proměnnou x, kolik korun zaplatíme v cukrárně za 4 koláče.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

(4/5)x

Stav úlohy
1 bod
Úloha 8.3

Za 4 dortíky zaplatíme v cukrárně celkem x korun, stejně jako za 5 koláčů.

V cukrárně jsme za 5 dortíků a 4 koláče zaplatili celkem 246 korun.
Vypočtěte, kolik korun jsme zaplatili za jeden dortík.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vyjádření cen

Za 4 dortíky i za 5 koláčů zaplatíme stejnou částku $x$ korun. Jeden dortík proto stojí $\frac{x}{4}$ korun a jeden koláč $\frac{x}{5}$ korun.

Sestavení a řešení rovnice

Za 5 dortíků a 4 koláče zaplatíme 246 korun, tedy $5 \cdot \frac{x}{4} + 4 \cdot \frac{x}{5} = 246$. Rovnici vynásobíme 20, abychom odstranili zlomky: $25x + 16x = 4920$. Sečteme členy s $x$: $41x = 4920$, takže $x = 120$.

Výsledek a kontrola

Jeden dortík stojí $120 : 4 = 30$ korun. Jeden koláč stojí $120 : 5 = 24$ korun. Ověříme obě podmínky: $4 \cdot 30 = 5 \cdot 24 = 120$ a $5 \cdot 30 + 4 \cdot 24 = 150 + 96 = 246$. Za jeden dortík jsme zaplatili 30 korun.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

30

Stav úlohy
2 body
Úloha 9

V rovině leží body C, S a přímka q.

Bod C je vrchol rovnoramenného trojúhelníku ABC se základnou AB.
Bod S je střed jednoho ramene tohoto trojúhelníku a na přímce q leží jeden z vrcholů A, B.

Sestrojte vrcholy A, B trojúhelníku ABC, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Z požadovaných trojúhelníků je sestrojen pouze jeden, a to přesně.

Žádný z požadovaných trojúhelníků není sestrojen správně a nastanou některé z následujících situací:

  • Správně je sestrojen obraz bodu C ve středové souměrnosti se středem S.
  • Je sestrojen nevyhovující trojúhelník, v němž je bod S středem základny, nikoli ramene, ale ostatní podmínky zadání jsou splněny a konstrukce je přesná.

Pouze zcela chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2022, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 10

V rovině leží bod O a přímka p.

Bod O je střed čtverce ABCD, jehož strana BC leží na přímce p.

Sestrojte všechny vrcholy čtverce ABCD, označte je písmeny a čtverec narýsujte.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Konstrukce obsahuje právě jeden z následujících nedostatků:

  • střed strany BC je sestrojen s mírnou nepřesností,
  • délka strany čtverce se mírně liší od dvojnásobku vzdálenosti Op.

Nastanou některé z následujících situací:

  • Konstrukce obsahuje větší počet nedostatků.
  • Konstrukce je zcela chybná nebo velmi nepřesná.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2022, úloha 10

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
2 body
Úloha 11.1
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Tři čtvrtiny z 200 minut je totéž jako polovina ze 3 hodin.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Tři čtvrtiny z 200 minut

Nejdříve vypočítáme tři čtvrtiny ze 200 minut. Jedna čtvrtina ze 200 minut je $200 \div 4 = 50$ minut. Tři čtvrtiny tedy jsou $3 \cdot 50 = 150$ minut.

Polovina ze 3 hodin

Nyní vypočítáme polovinu ze 3 hodin. Jedna hodina má 60 minut, takže 3 hodiny mají $3 \cdot 60 = 180$ minut. Polovina ze 180 minut je $180 \div 2 = 90$ minut.

Porovnání výsledků

Porovnáme oba vypočítané časy: 150 minut není totéž jako 90 minut.

Závěr

Tvrzení v zadání je nepravdivé, proto je správná odpověď Ne (N).
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11.2
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Dvě třetiny z 2,4 hodiny je více než 1 hodina a 40 minut.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na minuty

Nejdřív převedeme 2,4 hodiny na minuty. Jedna hodina má 60 minut, takže $2{,}4 \cdot 60 = 144$ minut.

Výpočet dvou třetin

Jedna třetina ze 144 minut je $144 : 3 = 48$ minut. Dvě třetiny jsou $48 \cdot 2 = 96$ minut.

Porovnání a výsledek

1 hodina a 40 minut je $60 + 40 = 100$ minut. Protože $96 < 100$, jsou dvě třetiny z 2,4 hodiny méně než 1 hodina a 40 minut. Tvrzení je nepravdivé, odpověď N.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11.3
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Tři osminy z 5 dnů je totéž jako pět osmin ze 3 dnů.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Tři osminy z 5 dnů

Převedeme si dny na hodiny. Víme, že jeden den má 24 hodin, takže 5 dnů má $5 \cdot 24 = 120$ hodin.
Jednu osminu ze 120 hodin vypočítáme jako $120 \div 8 = 15$ hodin.
Tři osminy pak budou $3 \cdot 15 = 45$ hodin.

Pět osmin ze 3 dnů

Podobně převedeme 3 dny na hodiny: $3 \cdot 24 = 72$ hodin.
Jednu osminu ze 72 hodin vypočítáme jako $72 \div 8 = 9$ hodin.
Pět osmin pak bude $5 \cdot 9 = 45$ hodin.

Porovnání

V obou případech jsme dospěli ke stejnému výsledku, tedy 45 hodinám. Hodnoty jsou si rovny.

Závěr

Tvrzení je pravdivé, správná odpověď je tedy Ano.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 12

V rovině leží čtyři vzájemně různoběžné přímky. Tři z nich procházejí bodem A.

Jaká je velikost úhlu α?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

  • A) 24°
  • D) 36°
  • B) 27°
  • E) jiná velikost
  • C) 32°
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úhly v trojúhelníku

Tři přímky tvoří trojúhelník s jedním vrcholem v bodě A. U horního levého vrcholu je vnitřní úhel 60°, protože je vrcholový k vyznačenému úhlu 60°. U pravého vrcholu je vnitřní úhel vedlejší k úhlu 132°, takže měří 180° − 132° = 48°.

Vnitřní úhel u bodu A

Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180°. Vnitřní úhel u bodu A proto měří 180° − 60° − 48° = 72°.

Výpočet úhlu α

Úhly α a 3α dohromady tvoří vedlejší úhel k vypočtenému úhlu 72°. Jejich součet je tedy 180° − 72° = 108°. Protože α + 3α = 4α, vydělíme 108° čtyřmi: α = 27°. Správná odpověď je B: 27°.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 13

Papír tvaru kruhu se středem S a poloměrem 10 cm byl rozstříhán na 5 shodných výsečí dle obrázku.

Jaký je obvod jedné výseče?

Výsledek je zaokrouhlen na celé cm.

  • A) menší než 25 cm
  • D) 33 cm
  • B) 25 cm
  • E) větší než 33 cm
  • C) 30 cm
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor výseče

Obvod jedné výseče tvoří dvě rovné strany a oblouk. Každá rovná strana je poloměrem kruhu, takže obě dohromady měří $2 \cdot 10 = 20$ cm. Protože je kruh rozdělen na 5 shodných výsečí, oblouk tvoří pětinu obvodu kruhu.

Délka oblouku

Obvod celého kruhu je $2 \cdot \pi \cdot 10 \approx 62{,}8$ cm. Na jednu výseč připadá oblouk dlouhý přibližně $62{,}8 : 5 = 12{,}56$ cm.

Obvod a výsledek

Sečteme délky obou rovných stran a oblouku: $20 + 12{,}56 = 32{,}56$ cm. Po zaokrouhlení na celé centimetry je obvod jedné výseče 33 cm. Správná je možnost D.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 14

V soutěži mohli jednotliví soutěžící dosáhnout výsledků: 0 bodů, 1 bod, nebo 2 body.
Graf znázorňuje rozdělení soutěžících podle výsledků. Po jednom bodu získalo 30 soutěžících, po dvou bodech 10 % všech soutěžících.
Soutěžících, kteří získali po 1 bodu, bylo dvakrát více než soutěžících bez bodu.

Jaký je aritmetický průměr výsledků všech soutěžících?

  • A) 0,8 bodu
  • D) 0,6 bodu
  • B) 0,75 bodu
  • E) jiný průměr
  • C) 0,66666... bodu
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet soutěžících bez bodu

Jeden bod získalo 30 soutěžících. Bylo jich dvakrát více než soutěžících bez bodu, takže bez bodu bylo $30 : 2 = 15$ soutěžících.

Celkový počet soutěžících

Nula nebo jeden bod získalo dohromady $15 + 30 = 45$ soutěžících. Protože dva body získalo 10 % všech soutěžících, těchto 45 soutěžících tvoří 90 % celku. Na 10 % tedy připadá $45 : 9 = 5$ soutěžících. Celkem soutěžilo $45 + 5 = 50$ lidí.

Součet získaných bodů

Soutěžící bez bodu do součtu nic nepřidají. Třicet soutěžících s jedním bodem získalo dohromady 30 bodů a pět soutěžících se dvěma body získalo $5 \cdot 2 = 10$ bodů. Celkem tedy získali $30 + 10 = 40$ bodů.

Výpočet průměru a výsledek

Aritmetický průměr vypočítáme tak, že součet bodů vydělíme počtem všech soutěžících: $40 : 50 = 0{,}8$. Průměrný výsledek je 0,8 bodu, správná je možnost A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.1

Ve škole, která má v každém ročníku dvě třídy (A, B), proběhla soutěž ve sběru papíru. V tabulkách jsou uvedeny některé údaje z této soutěže.

Třída 2. A nasbírala o 25 % méně papíru než třída 1. A.

Kolik kg papíru nasbírala třída 2. A?

  • A) 800 kg
  • D) 480 kg
  • B) 720 kg
  • E) 450 kg
  • C) 500 kg
  • F) jiný počet kg
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Údaj z tabulky

Třída 1. A nasbírala 600 kg papíru. Třída 2. A nasbírala o 25 % méně, takže od 600 kg odečteme čtvrtinu.

Výpočet

25 % je jedna čtvrtina. Čtvrtina z 600 kg je 600 : 4 = 150 kg. Třída 2. A tedy nasbírala 600 − 150 = 450 kg.

Výsledek

Třída 2. A nasbírala 450 kg papíru. Správná je možnost E.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.2

Ve škole, která má v každém ročníku dvě třídy (A, B), proběhla soutěž ve sběru papíru. V tabulkách jsou uvedeny některé údaje z této soutěže.

Třída 1. B nasbírala o 20 % více papíru než třída 2. B.

Kolik kg papíru nasbírala třída 2. B?

  • A) 800 kg
  • D) 480 kg
  • B) 720 kg
  • E) 450 kg
  • C) 500 kg
  • F) jiný počet kg
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Údaje z tabulky

Třída 1. B nasbírala 600 kg papíru. Podle zadání je to o 20 % více než množství, které nasbírala třída 2. B.

Výpočet pomocí procent

Množství třídy 2. B představuje 100 %, takže 600 kg odpovídá 120 %. Nejdřív vypočítáme 1 %: 600 : 120 = 5 kg. Potom vypočítáme 100 %: 5 · 100 = 500 kg.

Ověření a výsledek

20 % z 500 kg je 100 kg. Po přičtení dostaneme 500 + 100 = 600 kg, což souhlasí s údajem pro třídu 1. B. Třída 2. B nasbírala 500 kg papíru. Správná je možnost C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.3

Ve škole, která má v každém ročníku dvě třídy (A, B), proběhla soutěž ve sběru papíru. V tabulkách jsou uvedeny některé údaje z této soutěže.

Ze všech žáků prvního ročníku nasbíraly dívky o 50 % více papíru než chlapci.

Kolik kg papíru nasbírali dohromady chlapci z prvního ročníku?

  • A) 800 kg
  • D) 480 kg
  • B) 720 kg
  • E) 450 kg
  • C) 500 kg
  • F) jiný počet kg
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkové množství papíru

Třída 1. A nasbírala 600 kg a třída 1. B také 600 kg. Dohromady tedy žáci prvního ročníku nasbírali 600 + 600 = 1 200 kg papíru.

Poměr chlapců a dívek

Množství papíru od chlapců představuje 100 %. Dívky nasbíraly o 50 % více, tedy 150 % tohoto množství. Poměr množství od chlapců a od dívek je 100 : 150 = 2 : 3. Celkové množství proto rozdělíme na 2 + 3 = 5 stejných dílů.

Výpočet a ověření

Jeden díl je 1 200 : 5 = 240 kg. Chlapcům patří dva díly: 2 · 240 = 480 kg. Dívky nasbíraly 3 · 240 = 720 kg, což je o polovinu více než 480 kg, a 480 + 720 = 1 200 kg. Správná odpověď je D.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.1

Tři děti v jednotlivých kolech hry přidávaly mince do klobouku, který byl na počátku prázdný.
Julie přidávala v každém kole 1 minci.
Čeněk přidával mince pouze v každém 4. kole, a to vždy 4 najednou.
Pavla přidávala mince pouze v každém 5. kole, a to vždy 5 najednou.
Např. po prvních 9 kolech bylo v klobouku celkem 22 mincí (9 od Julie, 8 od Čeňka a 5 od Pavly).

Určete celkový počet mincí v klobouku po prvních 35 kolech.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Mince od Julie

Julie přidává v každém kole 1 minci. Po 35 kolech tedy do klobouku vhodila celkem 35 mincí ($35 \cdot 1 = 35$).

Mince od Čeňka

Čeněk přidává 4 mince v každém 4. kole. Do 35. kola proběhlo celkem 8 takových kol ($35 \div 4 = 8$, zbytek 3). Jsou to kola číslo 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 a 32. Celkem tedy Čeněk přidal $8 \cdot 4 = 32$ mincí.

Mince od Pavly

Pavla přidává 5 mincí v každém 5. kole. Do 35. kola proběhlo celkem 7 takových kol ($35 \div 5 = 7$). Jsou to kola číslo 5, 10, 15, 20, 25, 30 a 35. Celkem tedy Pavla přidala $7 \cdot 5 = 35$ mincí.

Celkový počet mincí

Nyní sečteme mince od všech tří dětí: $35 + 32 + 35 = 102$. Po 35 kolech je v klobouku celkem 102 mincí.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

102

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.2

Tři děti v jednotlivých kolech hry přidávaly mince do klobouku, který byl na počátku prázdný.
Julie přidávala v každém kole 1 minci.
Čeněk přidával mince pouze v každém 4. kole, a to vždy 4 najednou.
Pavla přidávala mince pouze v každém 5. kole, a to vždy 5 najednou.
Např. po prvních 9 kolech bylo v klobouku celkem 22 mincí (9 od Julie, 8 od Čeňka a 5 od Pavly).

Čeněk přidal své 4 mince do klobouku zatím 14krát.

Určete, kolikrát již přidala do klobouku svou pětici mincí Pavla.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Kola hry Čeňka

Čeněk přidává mince v každém 4. kole. Pokud své mince přidal již 14krát, muselo proběhnout alespoň $14 \cdot 4 = 56$ kol hry. Zároveň víme, že jich proběhlo méně než 60, protože v 60. kole by Čeněk přidával mince po patnácté.

Kola hry Pavly

Pavla přidává mince v každém 5. kole. Potřebujeme zjistit, kolikrát do klobouku přihodila mince v rozmezí 1. až 59. kola.

Počet přidání

Pavla přidává mince v kolech, která jsou násobky pěti: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 a 55. Další přidání by následovalo až v 60. kole, ke kterému jsme se ale ještě nedostali.

Závěr

Pavla do klobouku přidala svou pětici mincí celkem 11krát.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

11

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.3

Tři děti v jednotlivých kolech hry přidávaly mince do klobouku, který byl na počátku prázdný.
Julie přidávala v každém kole 1 minci.
Čeněk přidával mince pouze v každém 4. kole, a to vždy 4 najednou.
Pavla přidávala mince pouze v každém 5. kole, a to vždy 5 najednou.
Např. po prvních 9 kolech bylo v klobouku celkem 22 mincí (9 od Julie, 8 od Čeňka a 5 od Pavly).

Určete, po kolika kolech od počátku bylo v klobouku přesně 183 mincí.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Opakující se úsek hry

Za 20 kol se zopakuje celý rozvrh přidávání: Julie přidá 20 mincí, Čeněk pětkrát 4 a Pavla čtyřikrát 5. Celkem tedy přibude $20 + 20 + 20 = 60$ mincí.

Celé úseky a zbytek

Rozdělíme 183 mincí na skupiny po 60: $183 = 3 \times 60 + 3$. Po třech celých úsecích, tedy po $3 \times 20 = 60$ kolech, je v klobouku 180 mincí.

Zbývající mince

Další Čeňkovo přidání je až ve 64. kole a Pavlino v 65. kole. Chybějící 3 mince proto přidá jen Julie za 3 kola. Výsledek je $60 + 3 = 63$ kol.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

63

Stav úlohy
2 body