Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 9. ročník

Podkategorie: Matematika 9. ročník — 1. náhradní termín 2022

31 úloh

Úloha 1

Vypočtěte:

$\displaystyle \frac{10 ^2 \cdot \left( 10 ^2 - 1 \right) }{10 \cdot 10 ^2 +10 ^2 } =$

Zobrazit odpověď

9

1 bod
Úloha 2.1

Z kabelu dlouhého 5,1 metru jsme uřízli tři půlmetrové kusy
a zbytek jsme rozdělili na 12 stejně dlouhých dílů.

Určete, kolik centimetrů měří jeden díl.

Zobrazit odpověď

30

1 bod
Úloha 2.2

Vypočtěte, kolik minut jsou tři pětiny z 1 hodiny 50 minut.

Zobrazit odpověď

66

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na minuty

Nejdříve si celý čas převedeme na minuty. Víme, že jedna hodina má 60 minut. K nim přičteme zbývajících 50 minut:
60 + 50 = 110 \text{ minut}

Výpočet jedné pětiny

Abychom zjistili tři pětiny, nejdříve vypočítáme, kolik minut tvoří jedna pětina. Celkový čas (110 minut) vydělíme pěti:
110 : 5 = 22 \text{ minut}

Výpočet tří pětin

Jedna pětina je 22 minut. Tři pětiny tedy získáme tak, že tento výsledek vynásobíme třemi:
3 \cdot 22 = 66 \text{ minut}

Výsledek

Tři pětiny z 1 hodiny 50 minut jsou 66 minut.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{1}{3} \cdot \left( 5- \frac{13}{5} \right) \div 20=$

Zobrazit odpověď

1/25

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet závorky

Nejdříve vypočítáme výraz v závorce. Číslo 5 si vyjádříme jako zlomek se jmenovatelem 5 a odečteme:
5 - \frac{13}{5} = \frac{25}{5} - \frac{13}{5} = \frac{12}{5}

Krok 2: Násobení

Výsledek ze závorky vynásobíme zlomkem $\frac{1}{3}$:
\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{5} = \frac{4}{5}

(Čísla 12 a 3 jsme vykrátili třemi.)

Krok 3: Dělení a základní tvar

Nakonec vydělíme číslem 20, což je stejné jako násobení zlomkem $\frac{1}{20}$:
\frac{4}{5} \div 20 = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{20} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{25}

(Čísla 4 a 20 jsme vykrátili čtyřmi.)

Krok 4: Výsledek

Výsledný zlomek v základním tvaru je $\frac{1}{25}$.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3} - \frac{3}{2} }{\displaystyle \frac{2}{3} \div \frac{3}{2} } =$

Zobrazit odpověď

-15/8

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Nejdříve vypočítáme výraz v čitateli hlavního zlomku. Odečteme dva zlomky tak, že je převedeme na společného jmenovatele, kterým je číslo 6:
$\frac{2}{3} - \frac{3}{2} = \frac{4 - 9}{6} = -\frac{5}{6}$

Výpočet jmenovatele

Dále vypočítáme výraz ve jmenovateli hlavního zlomku. Dělení dvou zlomků vypočítáme tak, že první zlomek vynásobíme převrácenou hodnotou druhého zlomku:
$\frac{2}{3} \div \frac{3}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

Celkový výpočet

Nyní vydělíme výsledek z čitatele výsledkem ze jmenovatele. Složený zlomek přepíšeme jako dělení dvou zlomků, které opět nahradíme násobením převráceným zlomkem. Výsledek zkrátíme do základního tvaru:
$\frac{-\frac{5}{6}}{\frac{4}{9}} = -\frac{5}{6} \cdot \frac{9}{4} = -\frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 4} = -\frac{15}{8}$
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 4.1

Upravte a rozložte na součin vytknutím:

$\displaystyle \left( 4+ {\rm x} \right) \cdot {\rm x} +2 {\rm x} ^2 =$

Zobrazit odpověď

x(4+3x)

1 bod
Úloha 4.2

Upravte a rozložte na součin vytknutím:

$\displaystyle \left( {\rm y} - 3{\rm y} \right) \cdot \left( {\rm y} + 3{\rm y} \right) =$

Zobrazit odpověď

−8y²

1 bod
Úloha 4.3

Upravte a rozložte na součin vytknutím:

$\displaystyle \left( - {\rm n} -1 \right) ^2 + \left( 1 + 4{\rm n} \right) \cdot \left( 1+4{\rm n} \right) =$

Zobrazit odpověď

17n²+10n+2

2 body
Úloha 5.1

Řešte rovnici:

$\displaystyle 3 \cdot \left( 2 {\rm x} - 1 \right) + \frac{2}{3} = \frac{2}{3} - \left( {\rm x} + 3 \right)$

Zobrazit odpověď

0

2 body
Úloha 5.2

Řešte rovnici:

$\displaystyle \frac{ {\rm y} +1}{6} - \frac{3 {\rm y} }{2} = 2+ \frac{0,5- {\rm y} }{3}$

Zobrazit odpověď

-2

2 body
Úloha 6.1

V hruškovém království získal každý princ tolik zlatých hrušek, kolik si zasloužil.
První princ získal nejméně hrušek. Druhý princ získal o třetinu více hrušek než první princ a třetí princ o 12 hrušek více než první princ.

Počet zlatých hrušek, které získal první princ, označíme x.

Vyjádřete výrazem s proměnnou x, kolik hrušek získal druhý princ.

Zobrazit odpověď

(4/3)x

1 bod
Úloha 6.2

V hruškovém království získal každý princ tolik zlatých hrušek, kolik si zasloužil.
První princ získal nejméně hrušek. Druhý princ získal o třetinu více hrušek než první princ a třetí princ o 12 hrušek více než první princ.

Počet zlatých hrušek, které získal první princ, označíme x.

Vyjádřete výrazem s proměnnou x, kolik hrušek získal třetí princ.

Zobrazit odpověď

x+12

1 bod
Úloha 6.3

V hruškovém království získal každý princ tolik zlatých hrušek, kolik si zasloužil.
První princ získal nejméně hrušek. Druhý princ získal o třetinu více hrušek než první princ a třetí princ o 12 hrušek více než první princ.

Počet zlatých hrušek, které získal první princ, označíme x.
První a třetí princ získali dohromady dvakrát více hrušek než druhý princ.

Vypočtěte, kolik hrušek získal první princ.

Zobrazit odpověď

18

1 bod
Úloha 7.1

Pro soutěž Malování na chodník bylo připraveno celkem 300 kříd zabalených v krabičkách
dvou velikostí – menších a větších. V krabičkách téže velikosti byl vždy stejný počet kříd.
Menších krabiček bylo pouze 5 a celkem v nich bylo tolik kříd jako ve 3 větších krabičkách.
Každá z větších krabiček obsahovala 10 kříd.

Určete počet kříd v jedné menší krabičce.

Zobrazit odpověď

6

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Křídy ve větších krabičkách

Víme, že jedna větší krabička obsahuje 10 kříd. Tři větší krabičky tedy dohromady obsahují 30 kříd ($3 \cdot 10 = 30$).

Křídy v menších krabičkách

V zadání se píše, že v 5 menších krabičkách je celkem tolik kříd jako ve 3 větších krabičkách. V 5 menších krabičkách je tedy dohromady také 30 kříd.

Jedna menší krabička

Pokud je v 5 stejných krabičkách celkem 30 kříd, v jedné krabičce jich musí být 6, protože $30 : 5 = 6$.

Výsledek

V jedné menší krabičce je 6 kříd.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 7.2

Pro soutěž Malování na chodník bylo připraveno celkem 300 kříd zabalených v krabičkách
dvou velikostí – menších a větších. V krabičkách téže velikosti byl vždy stejný počet kříd.
Menších krabiček bylo pouze 5 a celkem v nich bylo tolik kříd jako ve 3 větších krabičkách.
Každá z větších krabiček obsahovala 10 kříd.

Určete počet všech větších krabiček s křídami.

Zobrazit odpověď

27

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Křídy v menších krabičkách

Víme, že v 5 menších krabičkách je dohromady tolik kříd jako ve 3 větších. Protože jedna větší krabička má 10 kříd, ve třech větších je $3 \cdot 10 = 30$ kříd. V pěti menších krabičkách je tedy celkem 30 kříd.

Křídy ve všech větších krabičkách

Celkem bylo připraveno 300 kříd. Od tohoto počtu odečteme 30 kříd, které jsou v menších krabičkách. Na všechny větší krabičky nám tedy zbývá $300 - 30 = 270$ kříd.

Počet větších krabiček

Každá větší krabička obsahuje 10 kříd. Celkový počet větších krabiček vypočítáme tak, že 270 kříd rozdělíme po deseti (do krabiček po deseti kusech): $270 \div 10 = 27$.

Výsledek

Počet všech větších krabiček s křídami je 27.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 8.1

Poličku na zeď tvoří tmavá obdélníková deska podepřená dvěma stejnými bílými trojúhelníkovými deskami. Tloušťku desek zanedbáváme.

Tmavý obdélník má obsah 270 cm² a jeho kratší strana měří 9 cm.

Vypočtěte v cm obvod obdélníku.

Zobrazit odpověď

78 cm

1 bod
Úloha 8.2

Poličku na zeď tvoří tmavá obdélníková deska podepřená dvěma stejnými bílými trojúhelníkovými deskami. Tloušťku desek zanedbáváme.

Oba bílé trojúhelníky jsou pravoúhlé. V trojúhelníku má jedna odvěsna délku 9 cm a nejdelší strana měří 15 cm.

Vypočtěte v cm² obsah jednoho trojúhelníku.

Zobrazit odpověď

54 cm²

2 body
Úloha 9

V rovině leží body P, Q a přímka o.

Body P, Q jsou vrcholy trojúhelníku PQR.
Přímka o je osou některé strany tohoto trojúhelníku.

Sestrojte vrchol R trojúhelníku PQR, označte ho písmenem a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď
Odpověď
3 body
Úloha 10

V rovině leží body A, X a rovnoběžné přímky c, p.

Bod A je vrchol obdélníku ABCD. Bod X leží uvnitř strany AB obdélníku.
Na přímce c leží vrchol C obdélníku ABCD
a na přímce p jeden ze zbývajících dvou vrcholů obdélníku.

Sestrojte vrcholy B, C, D obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď
Odpověď
3 body
Úloha 11.1
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Zahrádkář zakoupil několik kusů rostlin od každého ze čtyř druhů A, B, C a D. Některé zakoupené rostliny uschly, ostatní vzrostly. Většinu vzrostlých rostlin zahrádkář později prodal.
Graf udává počty zakoupených, vzrostlých a prodaných kusů rostlin jednotlivých druhů.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Zahrádkáři zůstalo celkem 9 neprodaných kusů vzrostlých rostlin.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu

Pro zjištění počtu neprodaných vzrostlých rostlin musíme z grafu odečíst počty vzrostlých (šedý sloupec) a prodaných (šrafovaný sloupec) kusů pro každý druh. Počet neprodaných kusů je rozdíl mezi těmito dvěma hodnotami.

Výpočet pro jednotlivé druhy

Z grafu odečteme hodnoty a vypočítáme zbývající kusy:
  • Druh A: $12 - 7 = 5$ kusů
  • Druh B: $9 - 9 = 0$ kusů
  • Druh C: $8 - 4 = 4$ kusy
  • Druh D: $8 - 8 = 0$ kusů

Celkový součet a závěr

Sečteme neprodané kusy všech čtyř druhů:
$5 + 0 + 4 + 0 = 9$

Zahrádkáři zůstalo celkem 9 kusů, tvrzení je tedy pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 11.2
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Zahrádkář zakoupil několik kusů rostlin od každého ze čtyř druhů A, B, C a D. Některé zakoupené rostliny uschly, ostatní vzrostly. Většinu vzrostlých rostlin zahrádkář později prodal.
Graf udává počty zakoupených, vzrostlých a prodaných kusů rostlin jednotlivých druhů.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Zahrádkář zakoupil o polovinu více kusů rostlin, než jich prodal.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění hodnot z grafu

Z grafu vyčteme počty zakoupených (tečkovaný sloupec) a prodaných (šrafovaný sloupec) rostlin pro každý druh:
  • Druh A: 14 zakoupeno, 7 prodáno
  • Druh B: 9 zakoupeno, 9 prodáno
  • Druh C: 8 zakoupeno, 4 prodáno
  • Druh D: 11 zakoupeno, 8 prodáno

Celkové počty

Nyní vypočítáme celkové počty pro všechny druhy rostlin dohromady:
  • Zakoupeno celkem: $14 + 9 + 8 + 11 = 42$
  • Prodáno celkem: $7 + 9 + 4 + 8 = 28$

Ověření tvrzení

Máme zjistit, zda je zakoupených rostlin o polovinu více, než kolik se jich prodalo.
1. Vypočítáme polovinu z prodaných rostlin: $28 : 2 = 14$.
2. Přičteme tuto polovinu k počtu prodaných: $28 + 14 = 42$.

Počet zakoupených rostlin (42) je skutečně o polovinu vyšší než počet prodaných (28). Tvrzení je tedy pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 11.3
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Zahrádkář zakoupil několik kusů rostlin od každého ze čtyř druhů A, B, C a D. Některé zakoupené rostliny uschly, ostatní vzrostly. Většinu vzrostlých rostlin zahrádkář později prodal.
Graf udává počty zakoupených, vzrostlých a prodaných kusů rostlin jednotlivých druhů.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Zahrádkář prodal všechny zakoupené kusy jen u jednoho druhu rostlin.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu a zadání

V grafu máme pro každý druh rostliny (A, B, C, D) tři sloupce. Tečkovaný sloupec představuje počet zakoupených kusů a šrafovaný sloupec počet prodaných kusů. Tvrzení říká, že zahrádkář prodal všechny zakoupené kusy jen u jednoho druhu. Musíme tedy u každého druhu porovnat tyto dvě hodnoty.

Porovnání hodnot z grafu

Z grafu vyčteme počty zakoupených a prodaných kusů pro jednotlivé druhy:
  • Druh A: zakoupeno 14, prodáno 7 (nejsou to všechny).
  • Druh B: zakoupeno 9, prodáno 9 (všechny zakoupené kusy byly prodány).
  • Druh C: zakoupeno 8, prodáno 4 (nejsou to všechny).
  • Druh D: zakoupeno 11, prodáno 8 (nejsou to všechny).

Závěr

Zahrádkář prodal všechny zakoupené kusy pouze u druhu B. To znamená, že tato situace nastala právě u jednoho druhu rostlin ze čtyř. Tvrzení je tedy pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 12

V rovině leží čtyři přímky, z nichž dvě jsou rovnoběžné a zbývající dvě jsou na sebe kolmé.

Jaká je velikost úhlu β?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

  • A) menší než 20°
  • D) 34°
  • B) 20°
  • E) větší než 34°
  • C) 28°
Zobrazit odpověď

A

2 body
Úloha 13

Kvádr o rozměrech 6 cm, 4 cm a 5 cm jsme dvěma svislými řezy rozdělili na tři kolmé trojboké hranoly.
Z těchto trojbokých hranolů vybereme ten, který má největší objem.

Jaký je objem vybraného trojbokého hranolu?

  • A) 40 cm³
  • D) 120 cm³
  • B) 60 cm³
  • E) jiný objem
  • C) 80 cm³
Zobrazit odpověď

B

2 body
Úloha 14

Penál má tvar rotačního válce. Poloměr podstavy válce je 5 cm a výška válce 20 cm.
Obě podstavy válce jsou bílé a plášť válce je tmavý.

Kolikrát větší je obsah pláště válce než obsah jedné podstavy?

  • A) 4krát
  • D) 10krát
  • B) 6krát
  • E) 20krát
  • C) 8krát
Zobrazit odpověď

C

2 body
Úloha 15.1

Když firma odvezla do spalovny 60 % odpadu, zbylo jí ještě 1200 kg odpadu.

Kolik kg odpadu firma odvezla do spalovny?

  • A) 1 500 kg
  • D) 2 100 kg
  • B) 1 800 kg
  • E) 2 250 kg
  • C) 2 000 kg
  • F) jiný počet kg
Zobrazit odpověď

B

2 body
Úloha 15.2

Stejné dlaždice byly umístěny ve stejném počtu na dvou paletách.
Již se prodaly dvě pětiny dlaždic z první palety a 10 % dlaždic z druhé palety.
Hmotnost všech těchto prodaných dlaždic byla 750 kg.

Kolik kg váží dosud neprodané dlaždice z obou palet?

  • A) 1 500 kg
  • D) 2 100 kg
  • B) 1 800 kg
  • E) 2 250 kg
  • C) 2 000 kg
  • F) jiný počet kg
Zobrazit odpověď

E

2 body
Úloha 15.3

Ve sběrných surovinách vykoupili v létě 1500 kg kovů, což je o 50 % více než na jaře a o 50 % méně než na podzim.

O kolik kg kovů vykoupili na podzim více než na jaře?

  • A) 1 500 kg
  • D) 2 100 kg
  • B) 1 800 kg
  • E) 2 250 kg
  • C) 2 000 kg
  • F) jiný počet kg
Zobrazit odpověď

C l

2 body
Úloha 16.1

Výsledný obrazec vytvoříme následujícím postupem:
1. Na vodorovné přímce sestrojíme několik stejně vzdálených bodů (černých puntíků).
2. Prvním černým puntíkem vedeme dvě různoběžné šikmé přímky. Druhým a každým dalším černým puntíkem vedeme rovnoběžky s oběma těmito přímkami.
3. Všechny nově vzniklé průsečíky označíme černými puntíky a těmi vedeme vodorovné přímky.
4. Na spodní vodorovné přímce označíme všechny nově vzniklé průsečíky bílými puntíky.

Výsledný obrazec obsahuje celkem 36 černých puntíků.

Určete počet všech vodorovných přímek v tomto obrazci.

Zobrazit odpověď

11

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor postupu

Podle popisu postupu vzniká obrazec, ve kterém jsou černé puntíky uspořádány do řad tvořících trojúhelníkovou síť. Každá vodorovná přímka obsahuje určitý počet puntíků. V horní řadě je 1 puntík, ve druhé řadě jsou 2 puntíky, ve třetí 3 puntíky a tak dále.

Určení počtu puntíků v řadách

Celkový počet puntíků v takovém trojúhelníkovém uspořádání vypočítáme jako součet puntíků v jednotlivých řadách: $1 + 2 + 3 + 4 + \dots + H$, kde $H$ je počet vodorovných přímek. Pro malé počty bodů na základně (např. 2 body) vidíme, že celkový počet puntíků odpovídá tzv. trojúhelníkovým číslům.

Výpočet pro 36 puntíků

Hledáme počet vodorovných přímek, pro který je součet puntíků roven 36. Zkusíme sčítat po sobě jdoucí čísla:
  • 1. přímka: 1
  • 2. přímka: 1 + 2 = 3
  • 3. přímka: 3 + 3 = 6
  • 4. přímka: 6 + 4 = 10
  • 5. přímka: 10 + 5 = 15
  • 6. přímka: 15 + 6 = 21
  • 7. přímka: 21 + 7 = 28
  • 8. přímka: 28 + 8 = 36
Součet 36 puntíků odpovídá přesně 8 vodorovným přímkám.

Závěr

V obrazci s 36 černými puntíky je celkem 8 vodorovných přímek. (Poznámka: I když v posledním kroku konstrukce některé krajní body zbělejí, zadání uvádí výsledný počet černých puntíků jako 36, což odpovídá plnému trojúhelníku o 8 řadách.)
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 16.2

Výsledný obrazec vytvoříme následujícím postupem:
1. Na vodorovné přímce sestrojíme několik stejně vzdálených bodů (černých puntíků).
2. Prvním černým puntíkem vedeme dvě různoběžné šikmé přímky. Druhým a každým dalším černým puntíkem vedeme rovnoběžky s oběma těmito přímkami.
3. Všechny nově vzniklé průsečíky označíme černými puntíky a těmi vedeme vodorovné přímky.
4. Na spodní vodorovné přímce označíme všechny nově vzniklé průsečíky bílými puntíky.

Výsledný obrazec obsahuje celkem 49 vodorovných přímek.

Určete počet bílých puntíků na spodní vodorovné přímce tohoto obrazce.

Zobrazit odpověď

48

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Určení počtu počátečních bodů

Z popisu a obrázku můžeme vypozorovat vztah mezi počtem bodů na první vodorovné přímce a celkovým počtem vodorovných přímek v obrazci. Pokud jsou na začátku 2 body, obrazec má 4 přímky. Pokud jsou na začátku 3 body, obrazec má 5 přímek. Celkový počet přímek je tedy vždy o 2 větší než počet počátečních bodů. V našem případě má obrazec 49 přímek, takže počet počátečních bodů musel být:
$49 - 2 = 47$ bodů.

Krok 2: Určení počtu bílých puntíků

Bílé puntíky se nacházejí na nejspodnější vodorovné přímce. Z příkladů vidíme, že pro 2 počáteční body jsou na spodní přímce 2 bílé puntíky (1 vlevo a 1 vpravo). Pro 3 počáteční body jsou na spodní přímce 4 bílé puntíky (2 vlevo a 2 vpravo). Počet bílých puntíků na každé straně je tedy vždy o 1 menší než počet počátečních bodů ($n - 1$).

Krok 3: Výpočet výsledku

Protože náš obrazec vychází ze 47 počátečních bodů, bude na každé straně spodní přímky $47 - 1 = 46$ bílých puntíků. Celkový počet bílých puntíků na spodní přímce tedy bude:
$2 \times 46 = 92$.

Závěr

Počet bílých puntíků na spodní vodorovné přímce je 92.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 16.3

Výsledný obrazec vytvoříme následujícím postupem:
1. Na vodorovné přímce sestrojíme několik stejně vzdálených bodů (černých puntíků).
2. Prvním černým puntíkem vedeme dvě různoběžné šikmé přímky. Druhým a každým dalším černým puntíkem vedeme rovnoběžky s oběma těmito přímkami.
3. Všechny nově vzniklé průsečíky označíme černými puntíky a těmi vedeme vodorovné přímky.
4. Na spodní vodorovné přímce označíme všechny nově vzniklé průsečíky bílými puntíky.

Výsledný obrazec má na spodní vodorovné přímce celkem 64 bílých puntíků.

Určete počet všech černých puntíků v tomto obrazci.

Zobrazit odpověď

1089

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor vzoru

Z popisu postupu a obrázku vidíme, jak se obrazec vyvíjí v závislosti na počtu bodů na základní vodorovné přímce (označme tento počet $n$):
  • Pro $n=2$ má výsledný obrazec 3 vodorovné řady bodů (1, 2 a 3 body). Celkem je v obrazci $1+2+3=6$ bodů.
  • Pro $n=3$ má obrazec 5 vodorovných řad (1, 2, 3, 4 a 5 bodů). Celkem je v obrazci $1+2+3+4+5=15$ bodů.
Z toho vyplývá, že pro $n$ bodů má obrazec $2n-1$ vodorovných řad a celkový počet bodů odpovídá součtu řady $1+2+3+\dots+(2n-1)$.

Určení počtu bílých bodů

Bílé body jsou pouze na spodní vodorovné přímce. Z popisu víme:
  • Pro $n=2$ je na spodní přímce celkem 3 body, z toho 2 jsou bílé (krajní).
  • Pro $n=3$ je na spodní přímce celkem 5 bodů a všech 5 je bílých.
Všimneme si, že počet bodů na spodní přímce je vždy $2n-1$. Pokud je $n$ liché (jako u $n=3$), jsou všechny body na spodní přímce bílé ($W = 2n-1$). Pokud je $n$ sudé (jako u $n=2$), je prostřední bod černý a ostatní jsou bílé ($W = 2n-1 - 1 = 2n-2$).

Výpočet počtu bodů n

V zadání je uvedeno, že na spodní přímce je celkem 64 bílých bodů. Vyzkoušíme obě možnosti pro $n$:
  • Pokud by $n$ bylo liché: $2n-1 = 64 \implies 2n = 65$ (není celé číslo).
  • Pokud by $n$ bylo sudé: $2n-2 = 64 \implies 2n = 66 \implies n = 33$.
Jelikož 33 je liché číslo, musíme se vrátit k pravidlu pro lichá $n$. Pokud $n=33$ (liché), mělo by být na spodní přímce $2 \cdot 33 - 1 = 65$ bílých bodů. Pokud jich je 64, znamená to, že jeden bod (prostřední) zůstal černý i pro toto liché $n$.

Výpočet celkového počtu černých bodů

Pro $n=33$ má obrazec $2 \cdot 33 - 1 = 65$ vodorovných řad. Celkový počet všech bodů v obrazci je:
$\frac{65 \cdot (65 + 1)}{2} = \frac{65 \cdot 66}{2} = 65 \cdot 33 = 2145$.

Víme, že bílých bodů je 64. Počet černých bodů tedy určíme jako rozdíl celkového počtu bodů a počtu bílých bodů:
$2145 - 64 = 2081$.

Závěr

V obrazci je celkem 2081 černých puntíků.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body