Načítání…
Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 9. ročník

Podkategorie: Matematika 9. ročník — 1. náhradní termín 2022

31 úloh

PDF+Klíč
Úloha 1

Vypočtěte:

$\displaystyle \frac{10 ^2 \cdot \left( 10 ^2 - 1 \right) }{10 \cdot 10 ^2 +10 ^2 } =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet mocniny

Nejdřív vypočítáme druhou mocninu: $10^2 = 10 \cdot 10 = 100$.

Čitatel a jmenovatel

V čitateli nejdřív vypočítáme závorku: $100 \cdot (100 - 1) = 100 \cdot 99 = 9900$. Ve jmenovateli má násobení přednost před sčítáním: $10 \cdot 100 + 100 = 1000 + 100 = 1100$.

Výsledek

Podělíme čitatele jmenovatelem: $\frac{9900}{1100} = \frac{99}{11} = 9$. Výsledek je 9.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

9

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.1

Z kabelu dlouhého 5,1 metru jsme uřízli tři půlmetrové kusy
a zbytek jsme rozdělili na 12 stejně dlouhých dílů.

Určete, kolik centimetrů měří jeden díl.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet délky uříznutých kusů

Uřízli jsme tři půlmetrové kusy. Jeden půlmetrový kus má délku $0{,}5\text{ m}$.
Celkem uříznuté kusy měří:
$3 \cdot 0{,}5\text{ m} = 1{,}5\text{ m}$

Určení zbývající délky kabelu

Z původního kabelu o délce $5{,}1\text{ m}$ odečteme uříznutou část:
$5{,}1\text{ m} - 1{,}5\text{ m} = 3{,}6\text{ m}$
Zbývá nám $3{,}6\text{ m}$ kabelu.

Rozdělení zbytku na 12 dílů a převod na centimetry

Zbývajících $3{,}6\text{ m}$ rozdělíme na 12 stejně dlouhých dílů:
$3{,}6\text{ m} : 12 = 0{,}3\text{ m}$
Jeden díl měří $0{,}3\text{ m}$. Protože otázka požaduje výsledek v centimetrech, převedeme metry na centimetry ($1\text{ m} = 100\text{ cm}$):
$0{,}3 \cdot 100\text{ cm} = 30\text{ cm}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

30

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.2

Vypočtěte, kolik minut jsou tři pětiny z 1 hodiny 50 minut.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na minuty

Nejdříve si celý čas převedeme na minuty. Víme, že jedna hodina má 60 minut. K nim přičteme zbývajících 50 minut:
60 + 50 = 110 \text{ minut}

Výpočet jedné pětiny

Abychom zjistili tři pětiny, nejdříve vypočítáme, kolik minut tvoří jedna pětina. Celkový čas (110 minut) vydělíme pěti:
110 : 5 = 22 \text{ minut}

Výpočet tří pětin

Jedna pětina je 22 minut. Tři pětiny tedy získáme tak, že tento výsledek vynásobíme třemi:
3 \cdot 22 = 66 \text{ minut}

Výsledek

Tři pětiny z 1 hodiny 50 minut jsou 66 minut.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

66

Stav úlohy
1 bod
Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{1}{3} \cdot \left( 5- \frac{13}{5} \right) \div 20=$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet závorky

Nejdříve vypočítáme výraz v závorce. Číslo 5 si vyjádříme jako zlomek se jmenovatelem 5 a odečteme:
5 - \frac{13}{5} = \frac{25}{5} - \frac{13}{5} = \frac{12}{5}

Krok 2: Násobení

Výsledek ze závorky vynásobíme zlomkem $\frac{1}{3}$:
\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{5} = \frac{4}{5}

(Čísla 12 a 3 jsme vykrátili třemi.)

Krok 3: Dělení a základní tvar

Nakonec vydělíme číslem 20, což je stejné jako násobení zlomkem $\frac{1}{20}$:
\frac{4}{5} \div 20 = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{20} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{25}

(Čísla 4 a 20 jsme vykrátili čtyřmi.)

Krok 4: Výsledek

Výsledný zlomek v základním tvaru je $\frac{1}{25}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1/25

Stav úlohy
2 body
Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3} - \frac{3}{2} }{\displaystyle \frac{2}{3} \div \frac{3}{2} } =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Nejdříve vypočítáme výraz v čitateli hlavního zlomku. Odečteme dva zlomky tak, že je převedeme na společného jmenovatele, kterým je číslo 6:
$\frac{2}{3} - \frac{3}{2} = \frac{4 - 9}{6} = -\frac{5}{6}$

Výpočet jmenovatele

Dále vypočítáme výraz ve jmenovateli hlavního zlomku. Dělení dvou zlomků vypočítáme tak, že první zlomek vynásobíme převrácenou hodnotou druhého zlomku:
$\frac{2}{3} \div \frac{3}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

Celkový výpočet

Nyní vydělíme výsledek z čitatele výsledkem ze jmenovatele. Složený zlomek přepíšeme jako dělení dvou zlomků, které opět nahradíme násobením převráceným zlomkem. Výsledek zkrátíme do základního tvaru:
$\frac{-\frac{5}{6}}{\frac{4}{9}} = -\frac{5}{6} \cdot \frac{9}{4} = -\frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 4} = -\frac{15}{8}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-15/8

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.1

Upravte a rozložte na součin vytknutím:

$\displaystyle \left( 4+ {\rm x} \right) \cdot {\rm x} +2 {\rm x} ^2 =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Roznásobení závorky

Nejdřív vynásobíme oba členy v závorce číslem $x$: $(4+x)\cdot x+2x^2=4x+x^2+2x^2$.

Sečtení a vytknutí

Sečteme členy s $x^2$: $4x+x^2+2x^2=4x+3x^2$. Oba členy obsahují $x$, které vytkneme před závorku: $4x+3x^2=x(4+3x)$.

Výsledek a ověření

Výsledný součin je $\boxed{x(3x+4)}$. Ověříme roznásobením: $x(3x+4)=3x^2+4x$, což je stejný výraz jako po úpravě zadání.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

x(4+3x)

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.2

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle \left( {\rm y} - 3{\rm y} \right) \cdot \left( {\rm y} + 3{\rm y} \right) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

−8y²

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.3

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle \left( - {\rm n} -1 \right) ^2 + \left( 1 + 4{\rm n} \right) \cdot \left( 1+4{\rm n} \right) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

17n²+10n+2

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.1

Řešte rovnici:

$\displaystyle 3 \cdot \left( 2 {\rm x} - 1 \right) + \frac{2}{3} = \frac{2}{3} - \left( {\rm x} + 3 \right)$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění závorek

Roznásobíme levou závorku třemi. Před pravou závorkou je minus, proto změníme znaménka obou členů: $6x - 3 + \frac{2}{3} = \frac{2}{3} - x - 3$.

Úprava rovnice

K oběma stranám přičteme 3 a od obou stran odečteme $\frac{2}{3}$. Zbude $6x = -x$. Potom k oběma stranám přičteme $x$ a dostaneme $7x = 0$.

Výsledek a zkouška

Obě strany vydělíme sedmi: $x = 0$. Ověříme dosazením do původní rovnice. Levá strana je $3 \cdot (2 \cdot 0 - 1) + \frac{2}{3} = -\frac{7}{3}$ a pravá strana je $\frac{2}{3} - (0 + 3) = -\frac{7}{3}$. Obě strany se rovnají, řešením je tedy $x = 0$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

0

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.2

Řešte rovnici:

$\displaystyle \frac{ {\rm y} +1}{6} - \frac{3 {\rm y} }{2} = 2+ \frac{0,5- {\rm y} }{3}$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění zlomků

Obě strany rovnice vynásobíme číslem 6, které je společným násobkem jmenovatelů 6, 2 a 3. Dostaneme $y+1-9y=12+2(0{,}5-y)$.

Úprava rovnice

Roznásobíme závorku a sečteme členy na každé straně: $-8y+1=13-2y$. K oběma stranám přičteme $2y$ a od obou stran odečteme 1. Vyjde $-6y=12$.

Výpočet neznámé

Obě strany vydělíme číslem $-6$: $y=12:(-6)=-2$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme $y=-2$ do původní rovnice. Levá strana je $\frac{-2+1}{6}-\frac{3\cdot(-2)}{2}=-\frac{1}{6}+3=\frac{17}{6}$. Pravá strana je $2+\frac{0{,}5-(-2)}{3}=2+\frac{5}{6}=\frac{17}{6}$. Obě strany jsou stejné, takže řešením je $y=-2$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-2

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.1

V hruškovém království získal každý princ tolik zlatých hrušek, kolik si zasloužil.
První princ získal nejméně hrušek. Druhý princ získal o třetinu více hrušek než první princ a třetí princ o 12 hrušek více než první princ.

Počet zlatých hrušek, které získal první princ, označíme x.

Vyjádřete výrazem s proměnnou x, kolik hrušek získal druhý princ.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

(4/3)x

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.2

V hruškovém království získal každý princ tolik zlatých hrušek, kolik si zasloužil.
První princ získal nejméně hrušek. Druhý princ získal o třetinu více hrušek než první princ a třetí princ o 12 hrušek více než první princ.

Počet zlatých hrušek, které získal první princ, označíme x.

Vyjádřete výrazem s proměnnou x, kolik hrušek získal třetí princ.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

x+12

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.3

V hruškovém království získal každý princ tolik zlatých hrušek, kolik si zasloužil.
První princ získal nejméně hrušek. Druhý princ získal o třetinu více hrušek než první princ a třetí princ o 12 hrušek více než první princ.

Počet zlatých hrušek, které získal první princ, označíme x.
První a třetí princ získali dohromady dvakrát více hrušek než druhý princ.

Vypočtěte, kolik hrušek získal první princ.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Sestavení rovnice

První princ získal $x$ hrušek. Druhý získal o třetinu více, tedy $x+\frac{x}{3}=\frac{4x}{3}$ hrušek. Třetí získal $x+12$ hrušek. První a třetí mají dohromady dvojnásobek počtu hrušek druhého prince, proto platí $x+(x+12)=2\cdot\frac{4x}{3}$.

Výpočet

Sečteme členy na levé straně: $2x+12=\frac{8x}{3}$. Celou rovnici vynásobíme třemi: $6x+36=8x$. Od obou stran odečteme $6x$ a dostaneme $36=2x$. Vydělíme dvěma: $x=18$.

Ověření a výsledek

Třetina z 18 je 6, takže druhý princ získal $18+6=24$ hrušek. Třetí získal $18+12=30$ hrušek. První a třetí mají dohromady $18+30=48$ hrušek, což je $2\cdot24$. Podmínka platí. První princ získal 18 hrušek.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

18

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.1

Pro soutěž Malování na chodník bylo připraveno celkem 300 kříd zabalených v krabičkách
dvou velikostí – menších a větších. V krabičkách téže velikosti byl vždy stejný počet kříd.
Menších krabiček bylo pouze 5 a celkem v nich bylo tolik kříd jako ve 3 větších krabičkách.
Každá z větších krabiček obsahovala 10 kříd.

Určete počet kříd v jedné menší krabičce.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Křídy ve větších krabičkách

Víme, že jedna větší krabička obsahuje 10 kříd. Tři větší krabičky tedy dohromady obsahují 30 kříd ($3 \cdot 10 = 30$).

Křídy v menších krabičkách

V zadání se píše, že v 5 menších krabičkách je celkem tolik kříd jako ve 3 větších krabičkách. V 5 menších krabičkách je tedy dohromady také 30 kříd.

Jedna menší krabička

Pokud je v 5 stejných krabičkách celkem 30 kříd, v jedné krabičce jich musí být 6, protože $30 : 5 = 6$.

Výsledek

V jedné menší krabičce je 6 kříd.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

6

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.2

Pro soutěž Malování na chodník bylo připraveno celkem 300 kříd zabalených v krabičkách
dvou velikostí – menších a větších. V krabičkách téže velikosti byl vždy stejný počet kříd.
Menších krabiček bylo pouze 5 a celkem v nich bylo tolik kříd jako ve 3 větších krabičkách.
Každá z větších krabiček obsahovala 10 kříd.

Určete počet všech větších krabiček s křídami.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Křídy v menších krabičkách

Víme, že v 5 menších krabičkách je dohromady tolik kříd jako ve 3 větších. Protože jedna větší krabička má 10 kříd, ve třech větších je $3 \cdot 10 = 30$ kříd. V pěti menších krabičkách je tedy celkem 30 kříd.

Křídy ve všech větších krabičkách

Celkem bylo připraveno 300 kříd. Od tohoto počtu odečteme 30 kříd, které jsou v menších krabičkách. Na všechny větší krabičky nám tedy zbývá $300 - 30 = 270$ kříd.

Počet větších krabiček

Každá větší krabička obsahuje 10 kříd. Celkový počet větších krabiček vypočítáme tak, že 270 kříd rozdělíme po deseti (do krabiček po deseti kusech): $270 \div 10 = 27$.

Výsledek

Počet všech větších krabiček s křídami je 27.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

27

Stav úlohy
2 body
Úloha 8.1

Poličku na zeď tvoří tmavá obdélníková deska podepřená dvěma stejnými bílými trojúhelníkovými deskami. Tloušťku desek zanedbáváme.

Tmavý obdélník má obsah 270 cm² a jeho kratší strana měří 9 cm.

Vypočtěte v cm obvod obdélníku.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Délka druhé strany

Obsah obdélníku je součin délek jeho sousedních stran. Kratší strana měří 9 cm, takže delší stranu vypočítáme: $270 : 9 = 30$ cm.

Obvod obdélníku

Obdélník má dvě strany dlouhé 30 cm a dvě strany dlouhé 9 cm. Jeho obvod je $2 \cdot (30 + 9) = 78$ cm. Obvod obdélníku je 78 cm.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

78 cm

Stav úlohy
1 bod
Úloha 8.2

Poličku na zeď tvoří tmavá obdélníková deska podepřená dvěma stejnými bílými trojúhelníkovými deskami. Tloušťku desek zanedbáváme.

Oba bílé trojúhelníky jsou pravoúhlé. V trojúhelníku má jedna odvěsna délku 9 cm a nejdelší strana měří 15 cm.

Vypočtěte v cm² obsah jednoho trojúhelníku.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor trojúhelníku

Trojúhelník je pravoúhlý. Jedna odvěsna měří 9 cm a přepona 15 cm. Pro výpočet obsahu potřebujeme délku druhé odvěsny, protože odvěsny jsou na sebe kolmé a můžeme je použít jako základnu a výšku.

Druhá odvěsna

Použijeme Pythagorovu větu: součet čtverců délek odvěsen se rovná čtverci délky přepony. Čtverec délky druhé odvěsny je tedy $15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$. Proto druhá odvěsna měří $\sqrt{144} = 12$ cm.

Obsah a výsledek

Obsah trojúhelníku je polovina součinu základny a výšky: $S = \frac{9 \cdot 12}{2} = 54$ cm². Obsah jednoho bílého trojúhelníku je 54 cm².
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

54 cm²

Stav úlohy
2 body
Úloha 9

V rovině leží body P, Q a přímka o.

Body P, Q jsou vrcholy trojúhelníku PQR.
Přímka o je osou některé strany tohoto trojúhelníku.

Sestrojte vrchol R trojúhelníku PQR, označte ho písmenem a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Nastane jedna z následujících situací:

  • Oba požadované trojúhelníky jsou sestrojeny s mírnou nepřesností.
  • Z požadovaných trojúhelníků je sestrojen pouze jeden, a to přesně.
  • Konstrukce požadovaných trojúhelníků je provedena správně, ale popis vrcholů neodpovídá zadání.

Nastane jedna z následujících situací:

  • Z požadovaných trojúhelníků je sestrojen pouze jeden, a to s mírnou nepřesností.
  • Správně jsou sestrojeny obrazy bodů P, Q v osové souměrnosti s osou o a trojúhelníky PQR jsou sestrojeny chybně.

Pouze chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. náhradní termín 2022, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 10

V rovině leží body A, X a rovnoběžné přímky c, p.

Bod A je vrchol obdélníku ABCD. Bod X leží uvnitř strany AB obdélníku.
Na přímce c leží vrchol C obdélníku ABCD
a na přímce p jeden ze zbývajících dvou vrcholů obdélníku.

Sestrojte vrcholy B, C, D obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Z požadovaných obdélníků je sestrojen pouze jeden, a to přesně.

Z požadovaných obdélníků je sestrojen pouze jeden, a to s mírnou nepřesností.

Pouze chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. náhradní termín 2022, úloha 10

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 11.1
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Zahrádkář zakoupil několik kusů rostlin od každého ze čtyř druhů A, B, C a D. Některé zakoupené rostliny uschly, ostatní vzrostly. Většinu vzrostlých rostlin zahrádkář později prodal.
Graf udává počty zakoupených, vzrostlých a prodaných kusů rostlin jednotlivých druhů.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Zahrádkáři zůstalo celkem 9 neprodaných kusů vzrostlých rostlin.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu

Pro zjištění počtu neprodaných vzrostlých rostlin musíme z grafu odečíst počty vzrostlých (šedý sloupec) a prodaných (šrafovaný sloupec) kusů pro každý druh. Počet neprodaných kusů je rozdíl mezi těmito dvěma hodnotami.

Výpočet pro jednotlivé druhy

Z grafu odečteme hodnoty a vypočítáme zbývající kusy:
  • Druh A: $12 - 7 = 5$ kusů
  • Druh B: $9 - 9 = 0$ kusů
  • Druh C: $8 - 4 = 4$ kusy
  • Druh D: $8 - 8 = 0$ kusů

Celkový součet a závěr

Sečteme neprodané kusy všech čtyř druhů:
$5 + 0 + 4 + 0 = 9$

Zahrádkáři zůstalo celkem 9 kusů, tvrzení je tedy pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11.2
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Zahrádkář zakoupil několik kusů rostlin od každého ze čtyř druhů A, B, C a D. Některé zakoupené rostliny uschly, ostatní vzrostly. Většinu vzrostlých rostlin zahrádkář později prodal.
Graf udává počty zakoupených, vzrostlých a prodaných kusů rostlin jednotlivých druhů.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Zahrádkář zakoupil o polovinu více kusů rostlin, než jich prodal.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění hodnot z grafu

Z grafu vyčteme počty zakoupených (tečkovaný sloupec) a prodaných (šrafovaný sloupec) rostlin pro každý druh:
  • Druh A: 14 zakoupeno, 7 prodáno
  • Druh B: 9 zakoupeno, 9 prodáno
  • Druh C: 8 zakoupeno, 4 prodáno
  • Druh D: 11 zakoupeno, 8 prodáno

Celkové počty

Nyní vypočítáme celkové počty pro všechny druhy rostlin dohromady:
  • Zakoupeno celkem: $14 + 9 + 8 + 11 = 42$
  • Prodáno celkem: $7 + 9 + 4 + 8 = 28$

Ověření tvrzení

Máme zjistit, zda je zakoupených rostlin o polovinu více, než kolik se jich prodalo.
1. Vypočítáme polovinu z prodaných rostlin: $28 : 2 = 14$.
2. Přičteme tuto polovinu k počtu prodaných: $28 + 14 = 42$.

Počet zakoupených rostlin (42) je skutečně o polovinu vyšší než počet prodaných (28). Tvrzení je tedy pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11.3
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Zahrádkář zakoupil několik kusů rostlin od každého ze čtyř druhů A, B, C a D. Některé zakoupené rostliny uschly, ostatní vzrostly. Většinu vzrostlých rostlin zahrádkář později prodal.
Graf udává počty zakoupených, vzrostlých a prodaných kusů rostlin jednotlivých druhů.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Zahrádkář prodal všechny zakoupené kusy jen u jednoho druhu rostlin.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu a zadání

V grafu máme pro každý druh rostliny (A, B, C, D) tři sloupce. Tečkovaný sloupec představuje počet zakoupených kusů a šrafovaný sloupec počet prodaných kusů. Tvrzení říká, že zahrádkář prodal všechny zakoupené kusy jen u jednoho druhu. Musíme tedy u každého druhu porovnat tyto dvě hodnoty.

Porovnání hodnot z grafu

Z grafu vyčteme počty zakoupených a prodaných kusů pro jednotlivé druhy:
  • Druh A: zakoupeno 14, prodáno 7 (nejsou to všechny).
  • Druh B: zakoupeno 9, prodáno 9 (všechny zakoupené kusy byly prodány).
  • Druh C: zakoupeno 8, prodáno 4 (nejsou to všechny).
  • Druh D: zakoupeno 11, prodáno 8 (nejsou to všechny).

Závěr

Zahrádkář prodal všechny zakoupené kusy pouze u druhu B. To znamená, že tato situace nastala právě u jednoho druhu rostlin ze čtyř. Tvrzení je tedy pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 12

V rovině leží čtyři přímky, z nichž dvě jsou rovnoběžné a zbývající dvě jsou na sebe kolmé.

Jaká je velikost úhlu β?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

  • A) menší než 20°
  • D) 34°
  • B) 20°
  • E) větší než 34°
  • C) 28°
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet úhlu α

Na levé rovnoběžce tvoří úhly $2\alpha$ a $3\alpha$ dohromady přímý úhel ($180^\circ$), protože oba leží nad stejnou přímkou (transverzálou) a jsou vedle sebe. Můžeme tedy zapsat rovnici:
$2\alpha + 3\alpha = 180^\circ$
$5\alpha = 180^\circ$
$\alpha = 180^\circ : 5$
$\alpha = 36^\circ$

Velikost úhlu $2\alpha$ je tedy:
$2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$

Využití pravoúhlého trojúhelníku

Dvě protínající se přímky (transverzály) jsou na sebe kolmé, což znamená, že svírají pravý úhel ($90^\circ$). Společně s levou rovnoběžkou tvoří tyto přímky pravoúhlý trojúhelník. Vnitřní úhly v tomto trojúhelníku jsou:
  • pravý úhel ($90^\circ$) v místě křížení přímek,
  • úhel $2\alpha = 72^\circ$,
  • a třetí vnitřní úhel u levé rovnoběžky.

Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je $180^\circ$. Třetí úhel tedy spočítáme jako:
$180^\circ - 90^\circ - 72^\circ = 18^\circ$

Určení úhlu β

Protože jsou dvě hlavní přímky rovnoběžné, jsou střídavé a souhlasné úhly na těchto rovnoběžkách shodné. Úhel $\beta$ na pravé rovnoběžce je střídavý (nebo souhlasný) k úhlu o velikosti $18^\circ$, který jsme vypočítali v předchozím kroku. Platí tedy:
$\beta = 18^\circ$
Velikost úhlu $\beta$ je $18^\circ$, což je hodnota menší než $20^\circ$. Správná možnost je tedy A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 13

Kvádr o rozměrech 6 cm, 4 cm a 5 cm jsme dvěma svislými řezy rozdělili na tři kolmé trojboké hranoly.
Z těchto trojbokých hranolů vybereme ten, který má největší objem.

Jaký je objem vybraného trojbokého hranolu?

  • A) 40 cm³
  • D) 120 cm³
  • B) 60 cm³
  • E) jiný objem
  • C) 80 cm³
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení podstavy

Obdélníková podstava kvádru má rozměry 6 cm a 4 cm. Prostřední trojúhelník má jako jednu stranu celou zadní hranu délky 6 cm a protější vrchol leží na přední hraně. Výška k této straně je tedy 4 cm. Jeho obsah je $S = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12\,\text{cm}^2$.

Určení největšího hranolu

Celá obdélníková podstava má obsah $6 \cdot 4 = 24\,\text{cm}^2$. Na oba krajní trojúhelníky dohromady zbývá $24 - 12 = 12\,\text{cm}^2$, takže každý z nich má menší obsah než prostřední trojúhelník. Všechny tři hranoly mají stejnou výšku 5 cm. Největší objem má proto prostřední hranol.

Výpočet objemu a výsledek

Objem hranolu vypočítáme jako obsah podstavy krát výška: $V = 12 \cdot 5 = 60\,\text{cm}^3$. Vybraný hranol má objem 60 cm³, správná je možnost B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 14

Penál má tvar rotačního válce. Poloměr podstavy válce je 5 cm a výška válce 20 cm.
Obě podstavy válce jsou bílé a plášť válce je tmavý.

Kolikrát větší je obsah pláště válce než obsah jedné podstavy?

  • A) 4krát
  • D) 10krát
  • B) 6krát
  • E) 20krát
  • C) 8krát
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah jedné podstavy

Podstava je kruh s poloměrem 5 cm. Její obsah vypočítáme jako π · r², tedy π · 5² = 25π cm².

Obsah pláště

Plášť rozvineme do obdélníku. Jedna jeho strana je obvod podstavy 2 · π · 5 = 10π cm, druhá je výška válce 20 cm. Obsah pláště je tedy 10π · 20 = 200π cm².

Porovnání a výsledek

Obsah pláště vydělíme obsahem jedné podstavy: 200π : 25π = 8. Obsah pláště je 8krát větší než obsah jedné podstavy. Správná odpověď je C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.1

Když firma odvezla do spalovny 60 % odpadu, zbylo jí ještě 1200 kg odpadu.

Kolik kg odpadu firma odvezla do spalovny?

  • A) 1 500 kg
  • D) 2 100 kg
  • B) 1 800 kg
  • E) 2 250 kg
  • C) 2 000 kg
  • F) jiný počet kg
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení procentuální části

Celkové množství odpadu odpovídá 100 %. Víme, že firma odvezla do spalovny 60 % odpadu.
Zbylá část odpadu v procentech je:
$100 \% - 60 \% = 40 \%$
Tato zbylá část (40 %) odpovídá 1200 kg odpadu.

Výpočet odvezeného odpadu

Chceme zjistit, kolik kg odpadu (60 %) firma odvezla do spalovny.
Nejprve určíme, kolik kg odpovídá 10 % celkového množství:
$1200 \text{ kg} : 4 = 300 \text{ kg}$
Nyní spočítáme množství odpovídající 60 %:
$6 \cdot 300 \text{ kg} = 1800 \text{ kg}$
Firma odvezla do spalovny 1800 kg odpadu, což odpovídá možnosti B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.2

Stejné dlaždice byly umístěny ve stejném počtu na dvou paletách.
Již se prodaly dvě pětiny dlaždic z první palety a 10 % dlaždic z druhé palety.
Hmotnost všech těchto prodaných dlaždic byla 750 kg.

Kolik kg váží dosud neprodané dlaždice z obou palet?

  • A) 1 500 kg
  • D) 2 100 kg
  • B) 1 800 kg
  • E) 2 250 kg
  • C) 2 000 kg
  • F) jiný počet kg
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Na obou paletách je stejný počet stejných dlaždic. Hmotnost dlaždic na jedné paletě představuje jeden celek (neboli $100\,\%$).
  • Z první palety se prodaly dvě pětiny ($\frac{2}{5}$) dlaždic.
  • Z druhé palety se prodalo $10\,\%$ dlaždic.

Vyjádření prodaných dlaždic

Převedeme zlomek ze zadání na procenta:
$\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 40\,\%$
Z první palety se tedy prodalo $40\,\%$ dlaždic, z druhé palety $10\,\%$.

Protože jsou obě palety stejné, můžeme celkové množství prodaných dlaždic sečíst jako procenta z jedné palety:
$40\,\% + 10\,\% = 50\,\%$

Prodalo se tedy celkem $50\,\%$ (přesně polovina) dlaždic z jedné palety. Tyto prodané dlaždice váží dohromady $750\text{ kg}$.

Výpočet celkové hmotnosti

Jestliže polovina ($50\,\%$) jedné palety váží $750\text{ kg}$, pak celá jedna paleta váží:
$750\text{ kg} \cdot 2 = 1\ 500\text{ kg}$

Máme dvě palety, jejich celková původní hmotnost tedy byla:
$1\ 500\text{ kg} \cdot 2 = 3\ 000\text{ kg}$

Hmotnost neprodaných dlaždic

Od celkové hmotnosti všech dlaždic odečteme hmotnost prodaných dlaždic:
$3\ 000\text{ kg} - 750\text{ kg} = 2\ 250\text{ kg}$

Dosud neprodané dlaždice z obou palet váží $2\ 250\text{ kg}$, což odpovídá možnosti E.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.3

Ve sběrných surovinách vykoupili v létě 1500 kg kovů, což je o 50 % více než na jaře a o 50 % méně než na podzim.

O kolik kg kovů vykoupili na podzim více než na jaře?

  • A) 1 500 kg
  • D) 2 100 kg
  • B) 1 800 kg
  • E) 2 250 kg
  • C) 2 000 kg
  • F) jiný počet kg
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet jarního množství

V létě se vykoupilo 1500 kg kovů, což je o 50 % více než na jaře. Letní množství (1500 kg) tedy odpovídá 150 % jarního množství.
Jarní množství (100 %) spočítáme jako:
$1500 : 1{,}5 = 1000\text{ kg}$

Výpočet podzimního množství

Letní množství (1500 kg) je zároveň o 50 % méně než na podzim. To znamená, že letní množství představuje přesně polovinu (50 %) podzimního množství.
Podzimní množství (100 %) spočítáme jako:
$1500 : 0{,}5 = 3000\text{ kg}$

Porovnání podzimu a jara

Chceme zjistit, o kolik kg kovů se vykoupilo na podzim více než na jaře. Odečteme jarní množství od podzimního:
$3000 - 1000 = 2000\text{ kg}$
Správná možnost je tedy C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C l

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.1

Výsledný obrazec vytvoříme následujícím postupem:
1. Na vodorovné přímce sestrojíme několik stejně vzdálených bodů (černých puntíků).
2. Prvním černým puntíkem vedeme dvě různoběžné šikmé přímky. Druhým a každým dalším černým puntíkem vedeme rovnoběžky s oběma těmito přímkami.
3. Všechny nově vzniklé průsečíky označíme černými puntíky a těmi vedeme vodorovné přímky.
4. Na spodní vodorovné přímce označíme všechny nově vzniklé průsečíky bílými puntíky.

Výsledný obrazec obsahuje celkem 36 černých puntíků.

Určete počet všech vodorovných přímek v tomto obrazci.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počítání černých průsečíků

Každým počátečním černým bodem vedou dvě šikmé přímky. Vzniknou tak dvě skupiny rovnoběžek se stejným počtem přímek. Každá přímka z jedné skupiny protne každou přímku z druhé skupiny právě v jednom černém puntíku. Černé puntíky tedy můžeme počítat jako stejně dlouhé šikmé řady.

Počet šikmých řad

Celkem je 36 černých puntíků. Z malé násobilky víme, že $36 = 6 \cdot 6$. Máme tedy 6 šikmých řad po 6 puntících, a proto také 6 počátečních bodů na prostřední vodorovné přímce.

Vodorovné přímky

Na prostřední přímce je 6 černých puntíků. Směrem vzhůru ubývá v každé vodorovné řadě jeden puntík: nad prostřední řadou je dalších 5 řad. Stejně je tomu pod ní. Vodorovných přímek je proto $5 + 1 + 5 = 11$. Bílé puntíky na spodní přímce žádnou další vodorovnou přímku nepřidávají.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

11

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.2

Výsledný obrazec vytvoříme následujícím postupem:
1. Na vodorovné přímce sestrojíme několik stejně vzdálených bodů (černých puntíků).
2. Prvním černým puntíkem vedeme dvě různoběžné šikmé přímky. Druhým a každým dalším černým puntíkem vedeme rovnoběžky s oběma těmito přímkami.
3. Všechny nově vzniklé průsečíky označíme černými puntíky a těmi vedeme vodorovné přímky.
4. Na spodní vodorovné přímce označíme všechny nově vzniklé průsečíky bílými puntíky.

Výsledný obrazec obsahuje celkem 49 vodorovných přímek.

Určete počet bílých puntíků na spodní vodorovné přímce tohoto obrazce.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení vodorovných přímek

Černé puntíky tvoří síť, která se nad prostřední vodorovnou přímkou zužuje po jednom puntíku až k jedinému hornímu puntíku. Stejně se zužuje i dolů. Z 49 vodorovných přímek odečteme prostřední a zbytek rozdělíme na horní a dolní polovinu: $(49 - 1) : 2 = 24$. Nad prostřední přímkou je 24 řad.

Počet šikmých přímek

Od horního jediného černého puntíku se počet puntíků v každé další řadě zvětší o jeden. Prostřední řada má tedy $1 + 24 = 25$ černých puntíků. Z nich vzniká 25 šikmých přímek jednoho směru a 25 druhého směru.

Bílé puntíky dole

Na spodní vodorovné přímce se jedna šikmá přímka z každého směru setká ve společném černém puntíku. Z každé skupiny zbývá $25 - 1 = 24$ přímek, jejichž průsečíky se spodní přímkou jsou bílé. Bílých puntíků je tedy $24 + 24 = 48$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

48

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.3

Výsledný obrazec vytvoříme následujícím postupem:
1. Na vodorovné přímce sestrojíme několik stejně vzdálených bodů (černých puntíků).
2. Prvním černým puntíkem vedeme dvě různoběžné šikmé přímky. Druhým a každým dalším černým puntíkem vedeme rovnoběžky s oběma těmito přímkami.
3. Všechny nově vzniklé průsečíky označíme černými puntíky a těmi vedeme vodorovné přímky.
4. Na spodní vodorovné přímce označíme všechny nově vzniklé průsečíky bílými puntíky.

Výsledný obrazec má na spodní vodorovné přímce celkem 64 bílých puntíků.

Určete počet všech černých puntíků v tomto obrazci.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Bílé puntíky na spodní přímce

Na spodní vodorovné přímce zůstává uprostřed jeden černý puntík, kde se setkají dvě šikmé přímky. Ostatní šikmé přímky vytvářejí bílé puntíky: jedna skupina vlevo a druhá vpravo. Obě skupiny jsou stejně početné, takže na každé straně je $64 : 2 = 32$ bílých puntíků.

Počet šikmých přímek

Ke 32 přímkám, které v jednom směru procházejí bílými puntíky, připočteme přímku procházející prostředním černým puntíkem. V každém ze dvou směrů je tedy $32 + 1 = 33$ šikmých přímek.

Počet černých puntíků

Každá z 33 šikmých přímek jednoho směru protíná všech 33 přímek druhého směru. Každý takový průsečík je jeden černý puntík a takto jej započítáme právě jednou. Černých puntíků je $33 \cdot 33 = 33 \cdot 30 + 33 \cdot 3 = 990 + 99 = 1089$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1089

Stav úlohy
2 body