Přijímací testy 9. ročník

Podkategorie: Matematika 9. ročník — 2. náhradní termín 2021

31 úloh

Úloha 1

Vypočtěte:

$\displaystyle \frac{0,25}{0,025} \div 0,2=$

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjednodušení zlomku

Nejdříve vypočítáme hodnotu zlomku $\frac{0,25}{0,025}$. Aby se nám lépe počítalo, vynásobíme čitatele i jmenovatele číslem $1000$ (posuneme desetinnou čárku o tři místa doprava). Tím se zbavíme desetinných čísel a získáme celá čísla:
$\frac{0,25}{0,025} = \frac{250}{25} = 10$

Dělení výsledku

Nyní musíme výsledek z prvního kroku ($10$) vydělit číslem $0,2$. Počítáme tedy:
$10 \div 0,2$
To je stejné jako počítat $100 \div 2$, protože si obě čísla můžeme vynásobit deseti:
$100 \div 2 = 50$

Závěr

Výsledkem celého příkladu je číslo $50$.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 2.1

Řeka Labe protéká pouze dvěma státy a délka celého jejího toku je 1094 km. V Německu je tok Labe o 352 km delší než v České republice.

Vypočtěte délku toku Labe v Německu.

Zobrazit odpověď

723

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění rozdílu

Celková délka toku je 1094 km. V Německu je řeka o 352 km delší. Pokud tento „přebytek“ od celkové délky odečteme, dostaneme délku, kterou by Labe mělo, kdyby v obou státech teklo stejnou vzdálenost (rovnou délce v ČR).
$1094 - 352 = 742$ km

Výpočet délky v ČR

Těchto 742 km nyní tvoří dvě stejné části. Jedna z nich je délka toku v České republice.
$742 : 2 = 371$ km

Výpočet délky v Německu

Víme, že v Německu je tok o 352 km delší než v ČR. K vypočítané délce v ČR tedy tento rozdíl přičteme.
$371 + 352 = 723$ km

Odpověď

Délka toku Labe v Německu je 723 km.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 2.2

Zahrada měla výměru 1799 m². Při stavbě nového plotu se posunutím sloupků výměra zahrady zvětšila o 250 dm².

Vypočtěte v m² novou výměru zahrady.

Zobrazit odpověď

1801,5 m²

1 bod

Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \left( \frac{5}{8} - \frac{5}{12} \right) \cdot 4 - 2 \cdot \left( \frac{3}{4} - \frac{2}{3} \right) =$

Zobrazit odpověď

2/3

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První část výrazu

Nejdříve vypočítáme hodnotu v první závorce. Společným jmenovatelem čísel 8 a 12 je číslo 24.
$\left( \frac{5}{8} - \frac{5}{12} \right) = \frac{15 - 10}{24} = \frac{5}{24}$
Tento výsledek nyní vynásobíme čtyřmi:
$\frac{5}{24} \cdot 4 = \frac{5}{6}$

Druhá část výrazu

Poté vypočítáme hodnotu ve druhé závorce. Společným jmenovatelem čísel 4 a 3 je číslo 12.
$\left( \frac{3}{4} - \frac{2}{3} \right) = \frac{9 - 8}{12} = \frac{1}{12}$
Tento výsledek vynásobíme dvěma:
$2 \cdot \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Odečtení a zjednodušení

Nakonec od prvního výsledku odečteme druhý:
$\frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6}$
Zlomek zkrátíme na základní tvar:
$\frac{4}{6} = \mathbf{\frac{2}{3}}$

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{27}{10} \cdot \frac{5}{9} - 4 \right) \div 3 }{5} =$

Zobrazit odpověď

-1/6

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Součin v závorce

Nejdříve vypočítáme součin zlomků v závorce. Zlomky můžeme před násobením křížově zkrátit (čísla 27 a 9 devítkou, čísla 10 a 5 pětkou):
$\frac{27}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{3}{2}$

Rozdíl v závorce

Od výsledku součinu odečteme číslo 4. Číslo 4 si převedeme na zlomek se jmenovatelem 2:
$\frac{3}{2} - 4 = \frac{3}{2} - \frac{8}{2} = \frac{3 - 8}{2} = -\frac{5}{2}$

Dělení třemi

Výsledek závorky vydělíme třemi. Dělit číslem 3 je stejné jako násobit převráceným číslem $\frac{1}{3}$:
$(-\frac{5}{2}) \div 3 = -\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{5}{6}$

Dělení pěti a konečný výsledek

Celý výraz v čitateli složeného zlomku vydělíme pěti (opět násobíme převráceným číslem $\frac{1}{5}$):
$\frac{-\frac{5}{6}}{5} = -\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{5} = -\frac{1}{6}$

Závěr

Výsledek v základním tvaru je $-\frac{1}{6}$.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.1

Z daného výrazu vytkněte $\displaystyle \left( -3 {\rm x} \right)$ .

$\displaystyle - 6 {\rm x} ^2 - 3 {\rm x} + 9 {\rm x} {\rm y}=$

Zobrazit odpověď

(−3x)(2x+1−3y)

1 bod

Úloha 4.2

Doplňte do rámečků chybějící čísla tak, aby platila rovnost.

$\displaystyle \left( \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}} \cdot {\rm a} - \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}} \cdot {\rm b} \right) ^2 = \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}} \cdot {\rm a} ^2 - 56 {\rm a} {\rm b} + \left( 4 \cdot {\rm b} \right) ^2$

Zobrazit odpověď

7, 4, 49

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza výrazu

Rovnost odpovídá vzorci pro druhou mocninu rozdílu: $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
V našem případě doplňujeme čísla do výrazu:
$( \boxed{?} \cdot a - \boxed{?} \cdot b )^2 = \boxed{?} \cdot a^2 - 56ab + (4 \cdot b)^2$

Určení členu B

Z pravé strany vidíme, že druhý člen umocněný na druhou je $(4 \cdot b)^2$. Tedy $B = 4 \cdot b$.
V levé závorce u proměnné $b$ tedy doplníme číslo 4.

Určení členu A

Prostřední člen vzorce je $-2AB$. V zadání je tento člen roven $-56ab$. Dosadíme za $B$:
$-2 \cdot A \cdot (4b) = -56ab$
$-8 \cdot A \cdot b = -56ab$
$A = 7 \cdot a$
V levé závorce u proměnné $a$ tedy doplníme číslo 7.

Doplnění zbývajícího čísla

První člen na pravé straně odpovídá $A^2$. Protože jsme zjistili, že $A = 7a$, vypočítáme:
$(7a)^2 = 49 \cdot a^2$
Vpravo u $a^2$ tedy doplníme číslo 49.

Závěr

Doplněná čísla jsou postupně 7, 4 a 49.
Celá rovnost vypadá takto:
$(7a - 4b)^2 = 49a^2 - 56ab + (4b)^2$

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 4.3

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky).

$\displaystyle \left( 5 - {\rm y} \right) \left( 5 + {\rm y} \right) + 3 \cdot \left( {\rm y} ^2 - 10 \right) - \left(2{\rm y}-3 \right) \cdot {\rm y}=$

Zobrazit odpověď

3y−5

2 body

Úloha 5.1

Řešte rovnici:

$\displaystyle 2,5 \cdot \left( 2-3 {\rm x} \right) = \frac{5 {\rm x} +10}{2}$

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 5.2

Řešte rovnici:

$\displaystyle \frac{5}{3} \cdot \left( {\rm y} - 1 \right) + \frac{5}{6} \cdot \left( 11-2{\rm y} \right) - \frac{3}{4} \cdot {\rm y}=0$

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 6.1

Na trati závodila 3 autíčka.
První autíčko ujelo závod za 1 minutu a 42 sekund.
Druhé autíčko ujelo závod za dobu o třetinu kratší než první autíčko.
První autíčko ujelo závod za dobu o třetinu kratší než třetí autíčko.

Vypočtěte v minutách a sekundách, za jakou dobu ujelo závod druhé autíčko.

Zobrazit odpověď

01:08 minut a sekund

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod času prvního autíčka

První autíčko ujelo závod za 1 minutu a 42 sekund. Aby se nám lépe počítalo, převedeme si tento čas na sekundy. Protože 1 minuta má 60 sekund, vypočítáme: $60 + 42 = 102$ sekund.

Výpočet třetiny času

Druhé autíčko ujelo závod za dobu o třetinu kratší než první autíčko. Nejprve tedy zjistíme, kolik sekund je jedna třetina z času prvního autíčka: $102 : 3 = 34$ sekund.

Čas druhého autíčka v sekundách

Čas druhého autíčka byl o tuto třetinu kratší, takže ji od času prvního autíčka odečteme: $102 - 34 = 68$ sekund.

Převod na minuty a sekundy

Nakonec čas 68 sekund převedeme zpět na minuty a sekundy. Víme, že 60 sekund je 1 minuta, takže nám zbude 8 sekund. Druhé autíčko ujelo závod za 1 minutu a 8 sekund.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6.2

Vypočtěte v minutách a sekundách, za jakou dobu ujelo závod třetí autíčko.

Zobrazit odpověď

02:33 minut a sekund

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na sekundy

Nejdříve si čas prvního autíčka převedeme na sekundy, aby se nám lépe počítalo. Jedna minuta má 60 sekund.
1 min 42 s = 60 s + 42 s = 102 s

Porovnání s třetím autíčkem

V zadání se píše, že první autíčko mělo čas o třetinu kratší než třetí autíčko. To znamená, že pokud čas třetího autíčka rozdělíme na 3 stejné díly (třetiny), čas prvního autíčka odpovídá dvěma těmto dílům (protože 3 díly − 1 díl = 2 díly).

Výpočet jednoho dílu

Víme, že 102 sekund jsou dva díly času třetího autíčka. Jeden díl (třetinu) vypočítáme tak, že 102 vydělíme dvěma:
102 s : 2 = 51 s

Čas třetího autíčka

Třetí autíčko mělo čas odpovídající třem těmto dílům:
3 · 51 s = 153 s

Výsledek

Nakonec výsledek převedeme zpět na minuty a sekundy. Víme, že 2 minuty jsou 120 sekund (2 · 60 = 120).
153 s = 120 s + 33 s = 2 min 33 s
Třetí autíčko ujelo závod za 2 minuty a 33 sekund.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 7.1

V bílé krabičce jsou jen bílé kuličky, v zelené krabičce jsou jen zelené kuličky a v modré krabičce jsou jen modré kuličky. Bílých kuliček je 12 a modrých 60.
Do bílé krabičky přendáme ze zelené a modré krabičky tolik kuliček, aby byl ve všech třech krabičkách stejný počet kuliček. Ze zelené krabičky tak musíme přendat o 9 kuliček více než z modré krabičky.

Určete počet všech zelených kuliček.

Zobrazit odpověď

1 bod

Úloha 7.2

Vypočtěte, kolik kuliček zůstane v modré krabičce.

Zobrazit odpověď

1 bod

Úloha 7.3

Vypočtěte, kolik zelených kuliček přendáme do bílé krabičky.

Zobrazit odpověď

1 bod

Úloha 8.1

V pravoúhlém lichoběžníku ABCD se základnou AB platí: |AB|=15 cm, |CD|=10 cm, |AD|=12 cm, |∢BAD|=90°

Vypočtěte v cm² obsah lichoběžníku ABCD.

Zobrazit odpověď

150 cm²

1 bod

Úloha 8.2

V pravoúhlém lichoběžníku ABCD se základnou AB platí: |AB|=15 cm, |CD|=10 cm, |AD|=12 cm, |∢BAD|=90°

Vypočtěte v cm obvod lichoběžníku ABCD.

Zobrazit odpověď

50 cm

2 body

Úloha 9

V rovině leží úsečka LM a bod U.

Úsečka LM je strana rovnoramenného trojúhelníku KLM.
V tomto trojúhelníku je každé z obou ramen dvakrát delší než základna.
Bod U leží uvnitř trojúhelníku KLM.

Sestrojte vrchol K trojúhelníku KLM, označte jej písmenem a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna 3 řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 10

V rovině leží body A, S.

Bod A je vrchol obdélníku ABCD a bod S je střed tohoto obdélníku.
Vrchol C má od vrcholu D i od středu S stejnou vzdálenost, tedy |CD|=|CS|.

Sestrojte vrcholy B, C, D obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 11.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Číslo A může být kterékoli celé číslo větší než 9.
Číslo B je o 3 větší než číslo A.
Číslo C je dvojnásobkem čísla B.

Rozhodněte o následujících tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Číslo, které je výsledkem výpočtu A $\displaystyle +$ B $\displaystyle +$ C, může být sudé.

Zobrazit odpověď

4 body za skupinu

Úloha 11.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Číslo A může být kterékoli celé číslo větší než 9.
Číslo B je o 3 větší než číslo A.
Číslo C je dvojnásobkem čísla B.

Rozhodněte o následujících tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Číslo, které je výsledkem výpočtu A $\displaystyle \cdot$ B $\displaystyle +$ C, musí být vždy sudé.

Zobrazit odpověď

Ano

4 body za skupinu

Úloha 11.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Číslo A může být kterékoli celé číslo větší než 9.
Číslo B je o 3 větší než číslo A.
Číslo C je dvojnásobkem čísla B.

Rozhodněte o následujících tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Číslo, které je výsledkem výpočtu A $\displaystyle +$ B $\displaystyle -$ C, musí být vždy záporné.

Zobrazit odpověď

Ano

4 body za skupinu

Úloha 12

Jaká je velikost úhlu φ?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

A) 128°
D) 114°
B) 126°
E) jiná velikost
C) 118°

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 13

Všechny díly stavebnice jsou pravidelné čtyřboké hranoly s rozměry 1 cm × 1 cm × 2 cm.
Ve stavbě, která má podobu tří spojených kvádrů, jsou jednotlivé díly naskládány bez mezer tak, aby stavba obsahovala co největší počet stojících dílů. Stojící díl má dole čtvercovou stěnu, ležící díl nikoli.

Kolik ležících dílů stavba obsahuje?

A) 0
D) 18
B) 6
E) 24
C) 12

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor dílků

Dílky stavebnice mají rozměry 1 cm × 1 cm × 2 cm.

Stojící dílek má výšku 2 cm a základnu 1 cm × 1 cm.
Ležící dílek má výšku 1 cm a základnu 1 cm × 2 cm (nebo 2 cm × 1 cm).

Abychom ve stavbě měli co nejvíce stojících dílků, musíme do každého sloupce o základně 1 cm × 1 cm umístit co nejvíce dílků o výšce 2 cm.

Analýza sloupců

Stavba se skládá ze tří kvádrů, které můžeme rozdělit na jednotlivé sloupce o základně 1 cm × 1 cm:

V každém sloupci s lichou výškou (např. 1 cm nebo 3 cm) zbude po zaplnění stojícími dílky volný prostor o výšce 1 cm (jedna krychlička 1 cm × 1 cm × 1 cm).
V každém sloupci se sudou výškou (např. 2 cm) nezbude žádné volné místo, protože ho celý vyplní stojící dílky.

Z obrázku vidíme, že stavba má celkem 12 sloupců s lichou výškou (dva krajní kvádry mají každý 4 sloupce o výšce 3 cm a prostřední kvádr má 4 sloupce o výšce 1 cm, dohromady tedy $4 + 4 + 4 = 12$ sloupců).

Výpočet ležících dílků

Každý ležící dílek má výšku 1 cm a půdorys 1 cm × 2 cm. To znamená, že jeden ležící dílek vyplní volné místo přesně ve dvou sousedních sloupcích s lichou výškou. Máme celkem 12 lichých sloupců, v každém z nich zbyla jedna volná „krychlička“ o výšce 1 cm. Pro jejich zaplnění tedy potřebujeme: $12 : 2 = 6$ Stavba obsahuje 6 ležících dílů.

Závěr

Stavba obsahuje celkem 6 ležících dílů.

Správná odpověď je B.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 14

Ve třídě je o polovinu více chlapců než děvčat.

Které z následujících tvrzení je pravdivé?

A) Chlapci tvoří tři pětiny žáků třídy.
D) Počet dívek ve třídě je o polovinu menší než počet chlapců.
B) Děvčata tvoří 33 % žáků třídy.
E) Žádné z výše uvedených tvrzení není pravdivé.
C) Počet žáků třídy je trojnásobkem počtu děvčat.

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 15.1

V lednu navštívilo výstavu 350 lidí, v únoru 420 lidí.

O kolik procent byla návštěvnost v únoru vyšší než v lednu?

A) o 0 %
D) o 30 %
B) o 20 %
E) o 35 %
C) o 25 %
F) o jiný počet procent

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 15.2

Obdélník i tmavý obrazec zakreslený v obdélníku mají všechny vrcholy v mřížových bodech čtvercové sítě.

O kolik procent je obsah tmavého obrazce menší než obsah obdélníku?

A) o 0 %
D) o 30 %
B) o 20 %
E) o 35 %
C) o 25 %
F) o jiný počet procent

Zobrazit odpověď

E m

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah obdélníku

Nejprve určíme obsah celého obdélníku, ve kterém je obrazec zakreslen. Obdélník má šířku 5 polí a výšku 4 pole.
Obsah obdélníku = $5 \cdot 4 = 20$ čtverečků.

Obsah bílých částí

Obsah tmavého obrazce zjistíme tak, že od obsahu obdélníku odečteme obsah bílých (nevybarvených) trojúhelníků v rozích:

Levý dolní roh: trojúhelník o stranách 1 a 1. Obsah = $(1 \cdot 1) : 2 = 0,5$.
Dolní část: trojúhelník se základnou 4 (od 1. do 5. bodu) a výškou 1. Obsah = $(4 \cdot 1) : 2 = 2$.
Pravý horní roh: trojúhelník o stranách 3 a 1. Obsah = $(3 \cdot 1) : 2 = 1,5$.
Levý horní roh: trojúhelník o stranách 2 a 3. Obsah = $(2 \cdot 3) : 2 = 3$.

Celkový obsah bílých částí = $0,5 + 2 + 1,5 + 3 = 7$ čtverečků.

Obsah tmavého obrazce

Nyní odečteme bílé části od celku:
Obsah tmavého obrazce = $20 - 7 = 13$ čtverečků.

Výpočet procent

Otázka zní, o kolik procent je obsah tmavého obrazce (13) menší než obsah obdélníku (20).
Rozdíl v obsahu je $20 - 13 = 7$ čtverečků.
Vyjádříme tento rozdíl v procentech vzhledem k celému obdélníku (20 čtverečků = $100 \%$):
$\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 35 \%$
Obsah tmavého obrazce je o $35 \%$ menší.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 15.3

Věra měla naspořeno 1000 korun. Nejprve si za 20 % úspor koupila tričko a potom 20 % ze zbývajících peněz utratila za knížku.

O kolik procent bylo tričko dražší než knížka?

A) o 0 %
D) o 30 %
B) o 20 %
E) o 35 %
C) o 25 %
F) o jiný počet procent

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 16.1

Do řady po sobě jdoucích kladných celých čísel přidáme za každé číslo dělitelné třemi toto číslo ještě jednou. Nová řada tak všechna čísla dělitelná třemi obsahuje dvakrát.
V nové řadě je na 1. až 17. místě následujících 17 čísel:
1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 12, 12, 13, …

Určete, na kolikátém místě nové řady je číslo 100.

Zobrazit odpověď

133

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Původní řada

V řadě po sobě jdoucích čísel (1, 2, 3, 4, 5, ...) odpovídá pořadové místo přímo danému číslu. Číslo 100 by tedy v běžné řadě bylo na 100. místě.

Počet přidaných čísel

V nové řadě ale přidáváme jedno číslo navíc za každé číslo dělitelné třemi. Musíme tedy zjistit, kolik takových čísel je v řadě od 1 do 100. Jsou to násobky tří: 3, 6, 9, 12, ... až 99.

Výpočet násobků tří

Počet těchto čísel zjistíme vydělením: $99 \div 3 = 33$. Mezi čísly 1 až 99 je tedy celkem 33 čísel dělitelných třemi. Každé z nich se v nové řadě objeví jednou navíc.

Určení výsledného místa

K původnímu 100. místu musíme přičíst všech 33 čísel, která byla do řady vložena navíc před číslo 100:
$100 + 33 = 133$
Číslo 100 se samo neopakuje, protože není dělitelné třemi.

Závěr

Číslo 100 se v nové řadě nachází na 133. místě.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 16.2

Určete, které číslo je na 100. místě nové řady.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vypozorování pravidla

Všimneme si, že čísla v nové řadě tvoří skupiny po čtyřech. Každá trojice původních čísel (například 1, 2, 3) vytvoří v nové řadě čtveřici, protože číslo dělitelné třemi se zopakuje: 1, 2, 3, 3.

Konec čtveřic

Každá tato čtveřice končí opakováním čísla dělitelného třemi. První čtveřice končí číslem 3 (na 4. místě), druhá čtveřice končí číslem 6 (na 8. místě), třetí číslem 9 (na 12. místě) a tak dále.

Výpočet počtu skupin

Hledáme číslo na 100. místě. Protože $100 : 4 = 25$, v nové řadě bude do 100. místa přesně 25 takových čtveřic.

Určení 100. místa

Poslední číslo 25. čtveřice bude právě na 100. místě. Toto číslo zjistíme tak, že vynásobíme $25 \cdot 3 = 75$. Celá 25. čtveřice tedy vypadá takto: 73, 74, 75, 75.

Výsledek

Na 100. místě nové řady je číslo 75.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 16.3

Určete, na kolika místech nové řady je mezi čísly 1 až 101 uvedeno sudé číslo.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pravidlo řady

V nové řadě se každé číslo dělitelné třemi (tedy 3, 6, 9, 12, ...) vyskytuje dvakrát. Všechna ostatní čísla, která nejsou dělitelná třemi, se v řadě vyskytují pouze jednou.

Sudá čísla do 101

Zajímají nás sudá čísla, která mají hodnotu od 1 do 101. Jsou to čísla 2, 4, 6, 8, ..., 100. Protože je to každé druhé číslo v řadě do 100, je jich celkem 50 (vypočítáme jako $100 : 2 = 50$).

Sudá čísla dělitelná třemi

Některá z těchto 50 sudých čísel jsou zároveň dělitelná třemi. Taková čísla jsou násobky šesti ($2 \cdot 3 = 6$). Jsou to čísla 6, 12, 18, ..., 96. Jejich počet zjistíme dělením: $96 : 6 = 16$. Máme tedy 16 sudých čísel, která se v nové řadě opakují.

Celkový počet výskytů

Každé z 50 sudých čísel se v řadě vyskytuje aspoň jednou. Těch 16 čísel, která jsou násobky šesti, je tam ale uvedeno ještě jednou navíc. Celkový počet míst se sudým číslem tedy vypočítáme jako $50 + 16 = 66$.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body