Načítání…
Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 9. ročník

Podkategorie: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2021

32 úloh

PDF+Klíč
Úloha 1

Určete, na kolik 16minutových intervalů lze rozdělit 1,6 hodiny.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na minuty

Jedna hodina má 60 minut. Nejdřív tedy převedeme 1,6 hodiny na minuty: $1{,}6 \cdot 60 = 96$ minut.

Počet intervalů

Každý interval trvá 16 minut. Počet intervalů zjistíme dělením: $96 : 16 = 6$.

Výsledek a ověření

1,6 hodiny lze rozdělit na 6 šestnáctiminutových intervalů. Ověříme: $6 \cdot 16 = 96$ minut, což je 1,6 hodiny.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

6

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.1

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost.

0,3 m² $\displaystyle -$ 52 cm² $\displaystyle =$ $\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ cm²

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na cm²

Nejdřív převedeme metry čtvereční na centimetry čtvereční. Protože 1 m = 100 cm, platí 1 m² = 100 · 100 = 10 000 cm². Proto 0,3 m² = 0,3 · 10 000 = 3000 cm².

Výpočet a výsledek

Potom odečteme 52 cm²: 3000 − 52 = 2948 cm². Do rámečku patří číslo 2948.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

2 948

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.2

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost.

$\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ dm³ $\displaystyle -$ 0,04 m³ $\displaystyle =$ 250 cm³

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na dm³

Nejdřív převedeme všechny objemy na dm³. Protože 1 m³ = 1 000 dm³, je 0,04 m³ = 40 dm³. Protože 1 dm³ = 1 000 cm³, je 250 cm³ = 0,25 dm³.

Doplnění čísla

Od hledaného čísla odečítáme 40 a musí zbýt 0,25. Hledané číslo proto získáme sečtením: 40 + 0,25 = 40,25.

Ověření a výsledek

Ověříme: 40,25 dm³ − 40 dm³ = 0,25 dm³ = 250 cm³. Do rámečku doplníme 40,25.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

40,25

Stav úlohy
1 bod
Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \left( \frac{5}{8} \cdot \frac{10}{9} - \frac{4}{9} \right) \div \left( 8 \cdot \frac{1}{6} \right) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet první závorky

Nejdříve vypočítáme součin zlomků v první závorce. Před násobením si můžeme zjednodušit výpočet krácením čísel $10$ a $8$ dvěma:
$\frac{5}{8} \cdot \frac{10}{9} = \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{9} = \frac{25}{36}$
Poté odečteme zlomek $\frac{4}{9}$. Převedeme oba zlomky na společného jmenovatele $36$:
$\frac{25}{36} - \frac{4}{9} = \frac{25 - 16}{36} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

Výpočet druhé závorky

Vypočítáme výraz v druhé závorce a zlomek zkrátíme dvěma:
$8 \cdot \frac{1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Dělení a konečný výsledek

Nakonec vydělíme výsledek první závorky výsledkem druhé závorky. Dělení zlomkem provedeme jako násobení jeho převrácenou hodnotou:
$\frac{1}{4} \div \frac{4}{3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \mathbf{\frac{3}{16}}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

3/16

Stav úlohy
2 body
Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle 2- \frac{13}{10} }{\displaystyle \frac{5}{3} - \frac{1}{2} } =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet čitatele

Nejdříve vypočítáme výraz v čitateli hlavního zlomku. Musíme odečíst zlomek od celého čísla:
$2 - \frac{13}{10} = \frac{20}{10} - \frac{13}{10} = \frac{7}{10}$

Krok 2: Výpočet jmenovatele

Poté vypočítáme výraz ve jmenovateli hlavního zlomku. Zlomky převedeme na společného jmenovatele, kterým je číslo 6:
$\frac{5}{3} - \frac{1}{2} = \frac{10}{6} - \frac{3}{6} = \frac{7}{6}$

Krok 3: Úprava složeného zlomku

Nyní upravíme složený zlomek tak, že čitatele vydělíme jmenovatelem. To provedeme vynásobením čitatele převrácenou hodnotou jmenovatele:
$\frac{\frac{7}{10}}{\frac{7}{6}} = \frac{7}{10} \cdot \frac{6}{7} = \frac{6}{10}$

Krok 4: Základní tvar

Zlomek $\frac{6}{10}$ ještě zkrátíme číslem 2, abychom dostali základní tvar:
$\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

3/5

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.1

Rozložte na součin podle vzorce.

$\displaystyle 9 {\rm a} ^2 - 30 {\rm a} +25=$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozpoznání vzorce

Použijeme vzorec $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$. První člen je $9a^2=(3a)^2$ a poslední člen je $25=5^2$.

Ověření prostředního členu

Ověříme, že prostřední člen odpovídá vzorci: $-2\cdot 3a\cdot 5=-30a$. Všechny tři členy tedy souhlasí.

Výsledek

Rozklad na součin je $9a^2-30a+25=(3a-5)(3a-5)=(3a-5)^2$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

(3a−5)² resp. (3a - 5)(3a - 5)

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.2

Vynásobte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky).

$\displaystyle \left( 3 {\rm x} + {\rm y} \right) \cdot \left( 3 {\rm x} - 2 \right) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Roznásobení závorek

Každý člen první závorky vynásobíme každým členem druhé závorky: $(3x+y)(3x-2)=3x\cdot 3x+3x\cdot(-2)+y\cdot 3x+y\cdot(-2)$.

Výpočet součinů

Vypočítáme jednotlivé součiny: $3x\cdot 3x=9x^2$, $3x\cdot(-2)=-6x$, $y\cdot 3x=3xy$ a $y\cdot(-2)=-2y$.

Výsledek

Členy nemají stejnou proměnnou část, takže je nelze dále sečíst. Výsledný výraz bez závorek je $\boxed{9x^2+3xy-6x-2y}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

9x²+3xy−6x−2y

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.3

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky).

$\displaystyle \left( 4 {\rm n} - 1 \right) \cdot \left( 4{\rm n} + 1 \right) - 8{\rm n} \cdot \left( {\rm n}-1 \right) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vynásobení prvních závorek

Použijeme vzorec $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$: $(4n-1)(4n+1)=(4n)^2-1^2=16n^2-1$.

Odstranění druhé závorky

Číslem $-8n$ vynásobíme oba členy v závorce: $-8n(n-1)=-8n^2+8n$. Celý výraz je tedy $16n^2-1-8n^2+8n$.

Sečtení podobných členů

Sečteme členy s $n^2$: $16n^2-8n^2=8n^2$. Výsledný výraz bez závorek je $\boxed{8n^2+8n-1}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

8n²+8n−1

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.1

Řešte rovnici:

$\displaystyle 0,3 \cdot 2 - 0,5 {\rm x} \cdot 2 + 0,4 {\rm x} = {\rm x} +3,8$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úprava levé strany

Nejdřív provedeme násobení: $0{,}3 \cdot 2 = 0{,}6$ a $0{,}5x \cdot 2 = x$. Rovnice je $0{,}6 - x + 0{,}4x = x + 3{,}8$. Sloučíme členy s neznámou: $0{,}6 - 0{,}6x = x + 3{,}8$.

Členy s neznámou na jednu stranu

Od obou stran odečteme $x$ a potom $0{,}6$. Dostaneme $-0{,}6x - x = 3{,}8 - 0{,}6$, tedy $-1{,}6x = 3{,}2$.

Výpočet neznámé

Obě strany vydělíme číslem $-1{,}6$: $x = 3{,}2 : (-1{,}6) = -2$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme $x = -2$ do původní rovnice. Levá strana je $0{,}6 + 2 - 0{,}8 = 1{,}8$, pravá strana je $-2 + 3{,}8 = 1{,}8$. Obě strany jsou stejné. Řešením rovnice je $x = -2$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

−2

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.2

Řešte rovnici:

$\displaystyle \frac{3}{4} \cdot \left( 4 - {\rm y} \right) + \frac{3}{2} \cdot \left( {\rm y} + 2 \right) =6+ \frac{3 {\rm y} }{2}$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění zlomků

Celou rovnici vynásobíme číslem 4, abychom odstranili zlomky: $3(4-y)+6(y+2)=24+6y$.

Roznásobení závorek

Roznásobíme závorky: $12-3y+6y+12=24+6y$. Sečteme čísla a členy s neznámou na levé straně: $24+3y=24+6y$.

Výpočet neznámé

Od obou stran odečteme 24 a potom $3y$: $0=3y$. Obě strany vydělíme číslem 3, takže $y=0$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme $y=0$ do původní rovnice. Levá strana je $\frac{3}{4}\cdot4+\frac{3}{2}\cdot2=3+3=6$, pravá strana je $6+\frac{3\cdot0}{2}=6$. Obě strany se rovnají, takže řešením je $y=0$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

0

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.1

Firma zaměstnává 200 osob. Během epidemie museli někteří pracovat z domova. Včera byla na pracovišti jedna třetina žen zaměstnaných ve firmě a dvě pětiny mužů zaměstnaných ve firmě, všichni ostatní pracovali z domova.

Počet všech žen zaměstnaných ve firmě označte x.

V závislosti na veličině x vyjádřete počet žen, které byly včera na pracovišti.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

x/3

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.2

Firma zaměstnává 200 osob. Během epidemie museli někteří pracovat z domova. Včera byla na pracovišti jedna třetina žen zaměstnaných ve firmě a dvě pětiny mužů zaměstnaných ve firmě, všichni ostatní pracovali z domova.

Počet všech žen zaměstnaných ve firmě označte x.

V závislosti na veličině x vyjádřete počet mužů, kteří byli včera na pracovišti.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

2/5(200−x)

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.3

Firma zaměstnává 200 osob. Během epidemie museli někteří pracovat z domova. Včera byla na pracovišti jedna třetina žen zaměstnaných ve firmě a dvě pětiny mužů zaměstnaných ve firmě, všichni ostatní pracovali z domova.

Počet všech žen zaměstnaných ve firmě označte x.

Včera bylo na pracovišti celkem 70 osob zaměstnaných ve firmě. Vypočtěte, kolik žen firma zaměstnává.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

150 žen

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.1

Farmářka chová 3 koně, ale nemá již pro ně žádné krmivo. Chovatel, který má pro svých 5 koní krmivo na 120 dní, farmářce dvě pětiny tohoto krmiva prodá. (Každý kůň spotřebuje za den stejné množství krmiva.)

Vypočtěte, za kolik dní by veškeré chovatelovo krmivo spotřebovalo všech 8 koní společně.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zásoba pro jednoho koně

Počítáme s celou původní zásobou krmiva, která vystačí 5 koním na 120 dní. Jeden kůň by stejnou zásobu spotřeboval za $5 \cdot 120 = 600$ dní.

Spotřeba osmi koní

Osm koní spotřebuje za den osmkrát více krmiva než jeden kůň. Stejná zásoba jim proto vystačí na osmkrát kratší dobu: $600 : 8 = 75$ dní.

Výsledek a ověření

Všech 8 koní by veškeré chovatelovo krmivo spotřebovalo za 75 dní. Ověříme: $8 \cdot 75 = 600$ a $5 \cdot 120 = 600$, takže obě skupiny spotřebují stejné množství krmiva.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

75

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.2

Farmářka chová 3 koně, ale nemá již pro ně žádné krmivo. Chovatel, který má pro svých 5 koní krmivo na 120 dní, farmářce dvě pětiny tohoto krmiva prodá. (Každý kůň spotřebuje za den stejné množství krmiva.)

Vypočtěte, za kolik dní spotřebují chovatelovi koně krmivo, které chovatel neprodá.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zbývající krmivo

Chovatel prodá dvě pětiny krmiva, takže mu zbývají tři pětiny původní zásoby. Krmivo budou dál spotřebovávat jeho 5 koní.

Výpočet počtu dní

Celá zásoba stačila chovatelovým koním na 120 dní. Jedna pětina zásoby jim stačí na $120 : 5 = 24$ dní. Tři pětiny tedy spotřebují za $3 \cdot 24 = 72$ dní.

Výsledek

Chovatelovi koně spotřebují krmivo, které chovatel neprodá, za 72 dní.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

72

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.3

Farmářka chová 3 koně, ale nemá již pro ně žádné krmivo. Chovatel, který má pro svých 5 koní krmivo na 120 dní, farmářce dvě pětiny tohoto krmiva prodá. (Každý kůň spotřebuje za den stejné množství krmiva.)

Vypočtěte, za kolik dní spotřebují farmářčini koně krmivo, které farmářka zakoupí od chovatele.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkové množství krmiva

Chovatel má krmivo pro 5 koní na 120 dní. Jednomu koni by stejné množství vydrželo 5 · 120 = 600 dní.

Zakoupené krmivo

Farmářka koupí dvě pětiny zásoby. Jednomu koni by zakoupené krmivo vystačilo na 600 : 5 · 2 = 240 dní.

Výsledek

Tři koně spotřebují krmivo třikrát rychleji než jeden kůň, takže zásoba vydrží 240 : 3 = 80 dní. Farmářčini koně spotřebují zakoupené krmivo za 80 dní.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

80

Stav úlohy
2 body
Úloha 8.1

Síť kolmého čtyřbokého hranolu se skládá ze dvou shodných čtverců a obdélníku s rozměry 40 cm a 8 cm (viz náčrt obrysu sítě).

Vypočtěte v cm² povrch hranolu.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry podstavy

Obdélník o rozměrech 40 cm a 8 cm tvoří plášť hranolu. Jeho délka 40 cm odpovídá obvodu čtvercové podstavy. Strana čtverce tedy měří $40 : 4 = 10\ \text{cm}$.

Obsah pláště a podstav

Obsah pláště je $40 \cdot 8 = 320\ \text{cm}^2$. Jedna čtvercová podstava má obsah $10 \cdot 10 = 100\ \text{cm}^2$, obě podstavy dohromady tedy $2 \cdot 100 = 200\ \text{cm}^2$.

Povrch hranolu

Sečteme obsah pláště a obou podstav: $320 + 200 = 520\ \text{cm}^2$. Povrch hranolu je 520 cm².
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

520 cm²

Stav úlohy
1 bod
Úloha 8.2

Síť kolmého čtyřbokého hranolu se skládá ze dvou shodných čtverců a obdélníku s rozměry 40 cm a 8 cm (viz náčrt obrysu sítě).

Vypočtěte v cm³ objem hranolu.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry hranolu

Obdélník tvoří plášť hranolu. Jeho délka 40 cm odpovídá obvodu čtvercové podstavy. Čtverec má čtyři stejně dlouhé strany, takže jedna strana měří 40 : 4 = 10 cm. Druhý rozměr obdélníku, 8 cm, je výška hranolu.

Výpočet objemu

Nejdřív vypočítáme obsah čtvercové podstavy: 10 · 10 = 100 cm². Objem hranolu získáme vynásobením obsahu podstavy výškou: 100 · 8 = 800 cm³.

Výsledek

Objem hranolu je 800 cm³.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

800 cm³

Stav úlohy
2 body
Úloha 9

V rovině leží polopřímka BX a přímka o.

Bod B je vrchol trojúhelníku ABC. Přímka o je osou strany AB.
Velikost vnitřního úhlu BAC je 60° a vrchol C leží na polopřímce BX.

Sestrojte vrcholy A, C trojúhelníku ABC, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Je-li konstrukce správná, toleruje se nepatrná nepřesnost.

Konstrukce obsahuje právě jeden z následujících nedostatků:

  • větší nepřesnost při konstrukci vrcholu A,
  • úhel BAC nemá požadovanou velikost,
  • vrchol C neleží na polopřímce BC.

Konstrukce obsahuje kterékoli z následujících nedostatků:

  • vrchol A je sestrojen chybně,
  • více než 1 chyba v konstrukci.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2021, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
2 body
Úloha 10

V rovině leží body B, P a přímka q procházející bodem B.

Bod B je vrchol rovnoramenného lichoběžníku ABCD se základnou AB, rameno BC leží na přímce q.
Úhlopříčky AC a BD se protínají v bodě P a jsou na sebe kolmé.

Sestrojte vrcholy A, C, D lichoběžníku ABCD, označte je písmeny a lichoběžník narýsujte.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Je-li konstrukce správná, toleruje se nepatrná nepřesnost.

Nastane jedna z následujících situací:

  • Úhlopříčky čtyřúhelníku ABCD jsou na sebe kolmé a protínají se v bodě P, ale právě jeden z vrcholů A, D je na úhlopříčce umístěn v nesprávném bodě.
  • Sestrojený čtyřúhelník ABCD je rovnoramenný lichoběžník, jehož úhlopříčky se protínají v bodě P, ale nejsou kolmé, tedy vrchol C je na přímce q umístěn chybně.

Správně je sestrojen pouze vrchol C.

Jiné chybné konstrukce.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2021, úloha 10

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 11.1
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Děti mají mapu s měřítkem 1 ∶ 50 000.
Alena ujela na koloběžce trasu délky 10 km a vypočetla, že na mapě je to 5 cm.
Beáta ušla trasu, která je na mapě zobrazena čarou délky 15 cm.
Čestmír ušel dvakrát delší trasu než Beáta.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Alenin výpočet je správný.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Význam měřítka

Měřítko 1 : 50 000 znamená, že 1 cm na mapě odpovídá 50 000 cm ve skutečnosti. To je 500 m, tedy 0,5 km.

Délka Aleniny trasy na mapě

Alena ujela 10 km. Každému půl kilometru odpovídá na mapě 1 cm, takže délka její trasy na mapě je 10 : 0,5 = 20 cm.

Rozhodnutí

Alenina trasa má na mapě měřit 20 cm, ale Alena vypočetla 5 cm. Její výpočet je chybný, takže tvrzení je nepravdivé. Odpověď je N.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11.2
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Děti mají mapu s měřítkem 1 ∶ 50 000.
Alena ujela na koloběžce trasu délky 10 km a vypočetla, že na mapě je to 5 cm.
Beáta ušla trasu, která je na mapě zobrazena čarou délky 15 cm.
Čestmír ušel dvakrát delší trasu než Beáta.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Beáta ušla trasu délky 7,5 km.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Měřítko mapy

Měřítko 1 : 50 000 znamená, že 1 cm na mapě představuje 50 000 cm ve skutečnosti. To je 500 m, tedy 0,5 km.

Výpočet délky trasy

Beátina trasa měří na mapě 15 cm. Ve skutečnosti je tedy dlouhá 15 · 0,5 = 7,5 km.

Rozhodnutí

Beáta ušla 7,5 km, takže tvrzení je pravdivé. Odpověď: A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11.3
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Děti mají mapu s měřítkem 1 ∶ 50 000.
Alena ujela na koloběžce trasu délky 10 km a vypočetla, že na mapě je to 5 cm.
Beáta ušla trasu, která je na mapě zobrazena čarou délky 15 cm.
Čestmír ušel dvakrát delší trasu než Beáta.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Na mapě je Beátina trasa o polovinu kratší než Čestmírova trasa.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Délky tras na mapě

Beátina trasa měří na mapě 15 cm. Čestmír ušel dvakrát delší trasu. Protože je měřítko pro obě trasy stejné, je i jeho trasa na mapě dvakrát delší: $2 \cdot 15 = 30$ cm.

Ověření tvrzení a výsledek

Polovina Čestmírovy trasy na mapě je $30 : 2 = 15$ cm, což je právě délka Beátiny trasy. Beátina trasa je tedy o polovinu kratší než Čestmírova. Tvrzení je pravdivé, odpověď je A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 12

V rovině leží přímka AB a rovnoběžník ABCD. Rovnoběžník má vnitřní úhly o velikostech α, δ.

Jaká je velikost úhlu δ?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

  • A) menší než 108°
  • D) 144°
  • B) 108°
  • E) větší než 144°
  • C) 135°
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úhly na přímce

Úhly α a 4α u vrcholu A jsou vedlejší, proto mají dohromady 180°. Platí tedy α + 4α = 180°.

Výpočet úhlu α

Pět stejných úhlů α má dohromady 180°, takže α = 180° : 5 = 36°.

Výsledek

Sousední vnitřní úhly rovnoběžníku mají součet 180°. Proto δ = 180° − 36° = 144°. Správná je možnost D.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 13

Pravoúhlý lichoběžník ABCD je úsečkou DP délky 12 cm rozdělen na čtverec PBCD a trojúhelník APD. Obsah trojúhelníku APD je 6krát menší než obsah čtverce PBCD.Z lichoběžníku ABCD oddělíme šedý trojúhelník ABC.

Jaký je obvod šedého trojúhelníku ABC?

  • A) menší než 48 cm
  • D) 52 cm
  • B) 48 cm
  • E) větší než 52 cm
  • C) 50 cm
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsahy čtverce a trojúhelníku

Úsečka DP je stranou čtverce PBCD, takže všechny jeho strany měří 12 cm. Obsah čtverce je $12 \cdot 12 = 144$ cm². Trojúhelník APD má šestkrát menší obsah, tedy $144 : 6 = 24$ cm².

Délka základny AB

Trojúhelník APD má základnu AP a výšku DP = 12 cm. Jeho obsah je polovina součinu základny a výšky, proto $AP = 2 \cdot 24 : 12 = 4$ cm. Bod P leží mezi A a B a PB = 12 cm, takže $AB = 4 + 12 = 16$ cm.

Délka přepony AC

Trojúhelník ABC je pravoúhlý u vrcholu B. Jeho odvěsny měří AB = 16 cm a BC = 12 cm. Podle Pythagorovy věty $AC^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$, tedy $AC = 20$ cm.

Obvod a výsledek

Sečteme délky všech tří stran: $o = 16 + 12 + 20 = 48$ cm. Obvod šedého trojúhelníku ABC je 48 cm, správná je možnost B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 14

Všechny rodiny z Jižní a Severní ulice uvedly, kolik chovají psů.
Výsledky šetření jsou uvedeny v tabulce. Některá pole tabulky nejsou vyplněna.

Právě 3 psy chová v Severní ulici dvakrát více rodin než v Jižní ulici.

Kolik rodin bydlí v Severní ulici?

  • A) 40
  • D) 46
  • B) 42
  • E) jiný počet
  • C) 44
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet psů a rodin v Jižní ulici

V Jižní ulici bydlí 48 rodin a průměrný počet psů na rodinu je 0,5. Dohromady tedy chovají $48 \cdot 0{,}5 = 24$ psů. Jednoho nebo tři psy chová $48 - 33 - 5 = 10$ rodin. Po odečtení psů pěti rodin se dvěma psy na těchto 10 rodin zbývá $24 - 5 \cdot 2 = 14$ psů.

Rodiny se třemi psy v Jižní ulici

Kdyby každá z těchto 10 rodin chovala jen jednoho psa, měly by dohromady 10 psů. Ve skutečnosti mají o $14 - 10 = 4$ psy více. Každá rodina se třemi psy má oproti rodině s jedním psem o 2 psy více. Tři psy tedy chovají $4 : 2 = 2$ rodiny.

Výsledek

V Severní ulici chová tři psy dvakrát více rodin, tedy $2 \cdot 2 = 4$ rodiny. Sečteme všechny rodiny z jejího řádku: $23 + 12 + 1 + 4 = 40$. V Severní ulici bydlí 40 rodin, správná je možnost A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.1

Při úklidové akci„Čisté břehy“ měl každý dobrovolník naplnit jeden odpadkový pytel, ale 20 % dobrovolníků naplnilo ještě druhý pytel. Dobrovolníci tak naplnili o 130 pytlů více, než se předpokládalo.

Kolik pytlů celkem dobrovolníci naplnili?

  • A) 650
  • D) 750
  • B) 675
  • E) 780
  • C) 720
  • F) jiný počet
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pytle navíc

Každý z 20 % dobrovolníků naplnil jeden pytel navíc. Těchto 130 pytlů tedy odpovídá 130 dobrovolníkům, kteří tvoří 20 % všech dobrovolníků.

Počet dobrovolníků

20 % je jedna pětina celku. Všech dobrovolníků proto bylo $130 \cdot 5 = 650$. Původně se počítalo s 650 pytli, po jednom od každého dobrovolníka.

Celkový počet pytlů

K původně plánovaným 650 pytlům přičteme 130 pytlů navíc: $650 + 130 = 780$. Dobrovolníci celkem naplnili 780 pytlů, správná je možnost E.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.2

Učitel matematiky obdržel peněžitý dar na nákup učebních pomůcek.
Za 24 % daru zakoupil 3 stejná kružítka na tabuli.
Model tělesa stál 180 korun, což představuje 2 % daru.

Kolik korun stálo jedno kružítko?

  • A) 650
  • D) 750
  • B) 675
  • E) 780
  • C) 720
  • F) jiný počet
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hodnota jednoho procenta

Model tělesa stál 180 Kč, což jsou 2 % daru. Nejdřív zjistíme, kolik korun představuje 1 %: 180 : 2 = 90 Kč.

Cena tří kružítek

Za tři stejná kružítka učitel zaplatil 24 % daru. Jejich celková cena tedy byla 24 · 90 = 2 160 Kč.

Cena jednoho kružítka

Kružítka byla stejná, proto celkovou cenu rozdělíme na tři stejné díly: 2 160 : 3 = 720 Kč. Jedno kružítko stálo 720 Kč, správná je možnost C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.3

Na 25 % rozlohy zemědělské půdy Jablonecka jsou pole, zbytek tvoří louky.
Pastviny pro dobytek zabírají 20 % rozlohy luk, zbývajících 1800 hektarů luk se využívá pro pěstování trávy na seno.

Kolik hektarů zabírají pole na Jablonecku?

  • A) 650
  • D) 750
  • B) 675
  • E) 780
  • C) 720
  • F) jiný počet
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozloha luk

Pastviny zabírají 20 % luk, takže na pěstování trávy na seno zbývá 80 % luk. Těchto 80 % má rozlohu 1800 ha. Jedno procento luk je 1800 : 80 = 22,5 ha a všechny louky mají 22,5 · 100 = 2250 ha.

Poměr polí a luk

Pole tvoří 25 % zemědělské půdy a louky zbývajících 75 %. Protože 75 : 25 = 3, rozloha polí je třetinou rozlohy luk. Vypočítáme 2250 : 3 = 750 ha.

Výsledek a ověření

Pole zabírají 750 hektarů, správná je možnost D. Ověříme: pole a louky dohromady mají 750 + 2250 = 3000 ha a čtvrtina z 3000 ha je 750 ha. Na seno připadá 80 % z 2250 ha, tedy 2250 · 0,8 = 1800 ha.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.1

Každý díl stavebnice se skládá ze tří stejných krychliček. Všechny díly jsou stejné. Z dílů stavíme stále větší pyramidy jako na obrázku.
Nejmenší pyramidu tvoří jediný díl.
Druhá pyramida sestavená ze 3 dílů má 1 otvor, 4 řady a ve spodní řadě 4 krychličky.
Každá další pyramida bude o dvě řady vyšší než předchozí pyramida.

Pyramida má ve spodní řadě 50 krychliček.

Určete počet otvorů ve druhé řadě zdola.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Díly ve spodní řadě

Každý díl má dvě krychličky dole a jednu nad nimi. Spodní řadu s 50 krychličkami tedy tvoří $50 : 2 = 25$ dílů.

Otvory ve druhé řadě

Ve druhé řadě zdola je horní krychlička každého z těchto 25 dílů. Podle obrázku je mezi každými dvěma sousedními krychličkami jeden otvor. Na obou krajích je krychlička, proto je otvorů o jeden méně než krychliček: $25 - 1 = 24$.

Výsledek

Ve druhé řadě zdola je 24 otvorů.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

24

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.2

Každý díl stavebnice se skládá ze tří stejných krychliček. Všechny díly jsou stejné. Z dílů stavíme stále větší pyramidy jako na obrázku.
Nejmenší pyramidu tvoří jediný díl.
Druhá pyramida sestavená ze 3 dílů má 1 otvor, 4 řady a ve spodní řadě 4 krychličky.
Každá další pyramida bude o dvě řady vyšší než předchozí pyramida.

Pyramida má celkem 10 otvorů.

Určete počet krychliček v celé pyramidě.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet otvorů

Ve druhé pyramidě je 1 otvor, ve třetí jsou nad sebou řady s 1 a 2 otvory. Při každém zvětšení přibude dole dvojice řad a nová řada s otvory má o jeden otvor více. Pro 10 otvorů potřebujeme čtyři takové řady, protože $1 + 2 + 3 + 4 = 10$.

Počet řad pyramidy

Nejmenší pyramida má 2 řady a žádný otvor. Pro čtyři řady s otvory ji čtyřikrát zvětšíme o 2 řady. Pyramida tedy má $2 + 4 \cdot 2 = 10$ řad. Od vrcholu dolů je v nich postupně 1 až 10 míst pro krychličky.

Počet krychliček

Kdyby byla všechna místa zaplněná, bylo by v pyramidě $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55$ krychliček. Každý z 10 otvorů zabírá jedno místo, takže je odečteme: $55 - 10 = 45$. V celé pyramidě je 45 krychliček.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

45

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.3

Každý díl stavebnice se skládá ze tří stejných krychliček. Všechny díly jsou stejné. Z dílů stavíme stále větší pyramidy jako na obrázku.
Nejmenší pyramidu tvoří jediný díl.
Druhá pyramida sestavená ze 3 dílů má 1 otvor, 4 řady a ve spodní řadě 4 krychličky.
Každá další pyramida bude o dvě řady vyšší než předchozí pyramida.

Pyramida je sestavena z 21 dílů.

Určete počet krychliček ve spodní řadě.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Jak pyramida roste

Nejmenší pyramida má 1 díl. Další pyramidu získáme přidáním dvou spodních řad. U druhé pyramidy v nich jsou 4 + 2 = 6 krychliček, tedy 2 díly. U třetí pyramidy je to 6 + 3 = 9 krychliček, tedy 3 díly. Stejným způsobem dále přidáváme postupně 4, 5, 6 dílů atd.; bílé otvory nepočítáme jako krychličky.

Pyramida z 21 dílů

Celkové počty dílů v postupně větších pyramidách jsou 1, 1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10, 10 + 5 = 15 a 15 + 6 = 21. Ze 21 dílů je tedy sestavena šestá pyramida.

Počet krychliček ve spodní řadě

První pyramida má dole 2 krychličky a každá další má o 2 více. Spodní řady tedy mají postupně 2, 4, 6, 8, 10 a 12 krychliček. Ve spodní řadě pyramidy z 21 dílů je 12 krychliček.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

12

Stav úlohy
2 body