Načítání…
Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 9. ročník

Podkategorie: Matematika 9. ročník — 1. náhradní termín 2021

32 úloh

PDF+Klíč
Úloha 1

Zapište zlomkem v základním tvaru, jakou část litru tvoří 30 % ze čtvrtlitru.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vyjádření čtvrtlitru

Čtvrtina litru se dá zapsat jako zlomek $\frac{1}{4}$ litru.

Vyjádření procent zlomkem

30 % je totéž jako 30 setin, tedy $\frac{30}{100}$. Po zkrácení číslem 10 dostaneme zlomek $\frac{3}{10}$.

Výpočet části ze základu

Vypočítáme 30 % ze čtvrtlitru vynásobením obou zlomků:
$\frac{3}{10} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 4} = \frac{3}{40}$

Základní tvar

Zlomek $\frac{3}{40}$ je v základním tvaru, protože čísla 3 a 40 nemají žádného společného dělitele většího než 1. Výsledkem je tedy část litru vyjádřená zlomkem $\frac{3}{40}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

3/40

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.1

Dvě rekreační plavkyně Jana s Květou byly společně plavat. Každá uplavala 25 bazénů. Obě začaly plavat současně a každá plavala svým stále stejným tempem. Jana uplavala 5 bazénů za 7 minut. Květa uplavala 10 bazénů za čtvrt hodiny.

Vypočtěte, o kolik sekund se lišily časy obou plavkyň na první obrátce (tj. po uplavání prvního bazénu).

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čas Jany na jeden bazén

Jana uplavala 5 bazénů za 7 minut. Abychom zjistili čas za jeden bazén v sekundách, nejprve převedeme 7 minut na sekundy:
7 · 60 = 420 sekund.
Nyní celkový čas vydělíme počtem bazénů:
420 : 5 = 84 sekund.
Jana tedy jeden bazén uplavala za 84 sekund.

Čas Květy na jeden bazén

Květa uplavala 10 bazénů za čtvrt hodiny, což je 15 minut. Opět převedeme čas na sekundy:
15 · 60 = 900 sekund.
Nyní vypočítáme čas za jeden bazén:
900 : 10 = 90 sekund.
Květě trval jeden bazén 90 sekund.

Rozdíl v časech

Na první obrátce (po prvním bazénu) se časy obou plavkyň lišily o rozdíl jejich časů na jeden bazén:
90 – 84 = 6 sekund.
Časy obou plavkyň se lišily o 6 sekund.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

6

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.2

Dvě rekreační plavkyně Jana s Květou byly společně plavat. Každá uplavala 25 bazénů. Obě začaly plavat současně a každá plavala svým stále stejným tempem. Jana uplavala 5 bazénů za 7 minut. Květa uplavala 10 bazénů za čtvrt hodiny.

Určete, za jak dlouho uplavala 25 bazénů Květa.

(Čas uveďte v minutách a sekundách)

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čas na jeden bazén

Čtvrt hodiny je 15 minut, tedy 15 · 60 = 900 sekund. Květa za tuto dobu uplave 10 bazénů. Jeden bazén jí proto trvá 900 : 10 = 90 sekund.

Čas na 25 bazénů

Květa plave stále stejným tempem, takže na 25 bazénů potřebuje 25 · 90 = 2 250 sekund.

Výsledek

37 minut je 37 · 60 = 2 220 sekund. Z celkových 2 250 sekund zbývá ještě 30 sekund. Květa uplavala 25 bazénů za 37 minut 30 sekund.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

37:30 minut

Stav úlohy
1 bod
Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \left( \frac{3}{4} + \frac{13}{6} \right) \cdot \left( \frac{2}{5} -1 \right) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet první závorky

Nejdříve vypočítáme součet zlomků v první závorce. Společným jmenovatelem čísel 4 a 6 je číslo 12:
$\frac{3}{4} + \frac{13}{6} = \frac{9 + 26}{12} = \frac{35}{12}$

Výpočet druhé závorky

Poté vypočítáme rozdíl ve druhé závorce. Jedničku si vyjádříme jako zlomek se jmenovatelem 5:
$\frac{2}{5} - 1 = \frac{2}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{3}{5}$

Součin a základní tvar

Nakonec oba výsledky vynásobíme. Před samotným násobením můžeme krátit (číslo 35 proti 5 a číslo 3 proti 12):
$\frac{35}{12} \cdot \left( -\frac{3}{5} \right) = \frac{7}{4} \cdot \left( -\frac{1}{1} \right) = -\frac{7}{4}$

Závěr

Výsledný zlomek $-\frac{7}{4}$ je již v základním tvaru.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-7/4

Stav úlohy
2 body
Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{5} \cdot 2-4 \cdot \frac{2}{7} }{2}=$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vypočítáme čitatele

Nejdříve vypočítáme výrazy v čitateli složeného zlomku. Každý zlomek vynásobíme celým číslem:
$\frac{3}{5} \cdot 2 = \frac{6}{5}$
$4 \cdot \frac{2}{7} = \frac{8}{7}$
Nyní tyto zlomky odečteme. Společným jmenovatelem čísel 5 a 7 je číslo 35:
$\frac{6}{5} - \frac{8}{7} = \frac{6 \cdot 7 - 8 \cdot 5}{35} = \frac{42 - 40}{35} = \mathbf{\frac{2}{35}}$

Vydělíme jmenovatelem

Celý výraz z čitatele nyní vydělíme číslem 2, které je v hlavním jmenovateli. Dělit číslem 2 je totéž jako násobit převrácenou hodnotou $\frac{1}{2}$:
$\frac{2}{35} : 2 = \frac{2}{35} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{70} = \mathbf{\frac{1}{35}}$

Závěr

Výsledek zapsaný zlomkem v základním tvaru je $\mathbf{\frac{1}{35}}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1/35

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.1

Rozložte podle vzorce (výsledný výraz uveďte ve tvaru součinu).

$\displaystyle \left( 4 \cdot {\rm a} \right) ^2 - 81=$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl čtverců

Číslo $81$ zapíšeme jako $9^2$. Výraz má tedy tvar $(4a)^2-9^2$ a použijeme vzorec pro rozdíl čtverců: $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$.

Rozklad na součin

Do vzorce dosadíme $u=4a$ a $v=9$. Výsledek je $\boxed{(4a-9)(4a+9)}$. Ověříme roznásobením: $16a^2+36a-36a-81=16a^2-81$, což je původní výraz.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

(4a−9)(4a+9)

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.2

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky).

$\displaystyle 2 \cdot \left( 3 {\rm y}- {\rm x} \right) \cdot \left( 5 - {\rm y} \right) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vynásobení závorek

Nejdřív vynásobíme každý člen první závorky každým členem druhé závorky: $(3y-x)(5-y)=15y-3y^2-5x+xy$. Součin $(-x)\cdot(-y)$ je kladný, proto dostaneme $+xy$.

Vynásobení dvěma

Potom vynásobíme všechny členy dvěma: $2\cdot(15y-3y^2-5x+xy)=30y-6y^2-10x+2xy$.

Výsledek

Žádné členy už nelze sloučit, protože mají různé proměnné nebo jejich mocniny. Výsledný výraz bez závorek je $\boxed{-6y^2+2xy+30y-10x}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

2xy−6y²−10x+30y

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.3

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky).

$\displaystyle \left( 4 {\rm n} +1 \right) ^2 + 3 \cdot \left( {\rm n}-1 \right) - \left( 3{\rm n}+{\rm n} \right) \cdot 2{\rm n}=$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Umocnění dvojčlenu

Použijeme vzorec $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$: $(4n+1)^2=16n^2+8n+1$.

Odstranění zbývajících závorek

V další závorce vynásobíme oba členy třemi: $3(n-1)=3n-3$. V posledním součinu nejdřív sečteme $3n+n=4n$, tedy $(3n+n)\cdot 2n=4n\cdot 2n=8n^2$. Tento člen ve výrazu odčítáme.

Sečtení stejných členů a výsledek

Po odstranění závorek dostaneme $16n^2+8n+1+3n-3-8n^2$. Členy s $n^2$ dají $8n^2$, členy s $n$ dají $11n$ a čísla dají $-2$. Výsledný výraz je $8n^2+11n-2$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

8n²+11n−2

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.1

Řešte rovnici:

$\displaystyle 0,4 \cdot 0,1 {\rm x} +0,32 \div 0,1 =0,2 {\rm x}$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úprava desetinných čísel

Nejdřív vypočítáme $0{,}4 \cdot 0{,}1x = 0{,}04x$ a $0{,}32 \div 0{,}1 = 3{,}2$. Rovnice tedy je $0{,}04x + 3{,}2 = 0{,}2x$.

Vyřešení rovnice

Od obou stran odečteme $0{,}04x$: $3{,}2 = 0{,}16x$. Potom obě strany vydělíme číslem $0{,}16$: $x = 3{,}2 \div 0{,}16 = 20$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme do původní rovnice. Levá strana je $0{,}4 \cdot 0{,}1 \cdot 20 + 0{,}32 \div 0{,}1 = 0{,}8 + 3{,}2 = 4$. Pravá strana je $0{,}2 \cdot 20 = 4$. Obě strany jsou stejné, proto je řešením $x = 20$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

20

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.2

Řešte rovnici:

$\displaystyle \frac{ {\rm y} - 4}{5}- \frac{ {\rm y} }{10}= \frac{3+ {\rm y} }{2} -2$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění zlomků

Celou rovnici vynásobíme číslem 10, které je společným násobkem jmenovatelů 5, 10 a 2. Dostaneme $2(y-4)-y=5(3+y)-20$.

Úprava rovnice

Roznásobíme závorky: $2y-8-y=15+5y-20$. Sečteme členy na každé straně: $y-8=5y-5$.

Výpočet neznámé

Od obou stran odečteme $y$ a potom k oběma stranám přičteme 5: $-3=4y$. Vydělíme obě strany číslem 4 a vyjde $y=-\frac{3}{4}$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme $y=-\frac{3}{4}$ do původní rovnice. Levá strana je $-\frac{19}{20}+\frac{3}{40}=-\frac{7}{8}$. Pravá strana je $\frac{9}{8}-2=-\frac{7}{8}$. Obě strany jsou stejné, proto je řešením $y=-\frac{3}{4}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-0,75

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.1

Do firmy, která si pronajala dvě prázdné dílny, přivezli stroje. Polovinu přivezených strojů umístili do první dílny a polovinu do druhé dílny.
První den zprovoznili tři pětiny strojů umístěných v první dílně (a žádný stroj v druhé dílně).
Druhý den zprovoznili tři čtvrtiny strojů umístěných v druhé dílně (a žádný další v první).
Třetí den zprovoznili veškeré zbývající stroje v obou dílnách.

Neznámá x představuje celkový počet strojů přivezených do firmy.

V závislosti na veličině x vyjádřete, kolik strojů zprovoznili první den.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

3x/10

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.2

Do firmy, která si pronajala dvě prázdné dílny, přivezli stroje. Polovinu přivezených strojů umístili do první dílny a polovinu do druhé dílny.
První den zprovoznili tři pětiny strojů umístěných v první dílně (a žádný stroj v druhé dílně).
Druhý den zprovoznili tři čtvrtiny strojů umístěných v druhé dílně (a žádný další v první).
Třetí den zprovoznili veškeré zbývající stroje v obou dílnách.

Neznámá x představuje celkový počet strojů přivezených do firmy.

V závislosti na veličině x vyjádřete, kolik strojů zprovoznili třetí den v první dílně.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

x/5

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.3

Do firmy, která si pronajala dvě prázdné dílny, přivezli stroje. Polovinu přivezených strojů umístili do první dílny a polovinu do druhé dílny.
První den zprovoznili tři pětiny strojů umístěných v první dílně (a žádný stroj v druhé dílně).
Druhý den zprovoznili tři čtvrtiny strojů umístěných v druhé dílně (a žádný další v první).
Třetí den zprovoznili veškeré zbývající stroje v obou dílnách.

Neznámá x představuje celkový počet strojů přivezených do firmy.
Třetí den zprovoznili v obou dílnách dohromady 52 strojů.

Vypočtěte celkový počet strojů přivezených do firmy.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet strojů v dílnách

Celkový počet přivezených strojů označíme $x$. Do každé dílny umístili polovinu, tedy $\frac{x}{2}$ strojů.

Kolik strojů zbývalo na třetí den

V první dílně zbývaly po prvním dni dvě pětiny strojů: $\frac{2}{5} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x}{5}$. V druhé dílně zbývala po druhém dni jedna čtvrtina strojů: $\frac{1}{4} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x}{8}$. Tyto zbývající stroje zprovoznili třetí den.

Sestavení a vyřešení rovnice

Třetí den zprovoznili dohromady 52 strojů, proto $\frac{x}{5} + \frac{x}{8} = 52$. Převedeme zlomky na čtyřicetiny: $\frac{8x}{40} + \frac{5x}{40} = 52$, tedy $\frac{13x}{40} = 52$. Třináct čtyřicetin celku je 52, jedna čtyřicetina je $52 : 13 = 4$ a celý počet je $x = 4 \cdot 40 = 160$.

Výsledek a ověření

Do firmy přivezli 160 strojů, do každé dílny tedy 80. V první dílně na třetí den zbývalo $80 \cdot \frac{2}{5} = 32$ strojů, v druhé $80 : 4 = 20$ strojů. Dohromady $32 + 20 = 52$, což souhlasí se zadáním.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

160

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.1

Brigádníci plní bedýnky ovocem. Za naplnění každé z prvních 10 bedýnek dostávají základní odměnu 40 korun za 1 bedýnku.
Za naplnění každé další bedýnky dostanou vyšší odměnu:
Odměna za 11. až 15. bedýnku je o 25 % vyšší než základní odměna.
Počínaje 16. bedýnkou je odměna za každou bedýnku o 50 % vyšší než základní odměna.

Vypočtěte, kolik korun si brigádník vydělá za naplnění 12 bedýnek.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Prvních 10 bedýnek

Za každou z prvních 10 bedýnek dostane brigádník 40 Kč. Za těchto 10 bedýnek tedy vydělá $10 \cdot 40 = 400$ Kč.

Další 2 bedýnky

Za 11. a 12. bedýnku je odměna o 25 % vyšší než 40 Kč. Zvýšení vypočítáme: $40 \cdot 0{,}25 = 10$ Kč. Za jednu z těchto bedýnek dostane $40 + 10 = 50$ Kč, za obě dohromady $2 \cdot 50 = 100$ Kč.

Celkový výdělek

Sečteme odměny: $400 + 100 = 500$ Kč. Brigádník si za naplnění 12 bedýnek vydělá 500 Kč.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

500

Stav úlohy
2 body
Úloha 7.2

Brigádníci plní bedýnky ovocem. Za naplnění každé z prvních 10 bedýnek dostávají základní odměnu 40 korun za 1 bedýnku.
Za naplnění každé další bedýnky dostanou vyšší odměnu:
Odměna za 11. až 15. bedýnku je o 25 % vyšší než základní odměna.
Počínaje 16. bedýnkou je odměna za každou bedýnku o 50 % vyšší než základní odměna.

Vypočtěte, kolik nejméně bedýnek musí brigádník naplnit, aby si vydělal alespoň 1000 korun.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odměna za jednu bedýnku

Základní odměna je 40 Kč. Z této částky je 25 % rovno 10 Kč, takže za každou z 11. až 15. bedýnky dostane brigádník 40 + 10 = 50 Kč. Z částky 40 Kč je 50 % rovno 20 Kč, takže od 16. bedýnky dostane za každou bedýnku 40 + 20 = 60 Kč.

Výdělek za prvních 15 bedýnek

Za prvních 10 bedýnek vydělá 10 · 40 = 400 Kč. Za dalších 5 bedýnek vydělá 5 · 50 = 250 Kč. Za prvních 15 bedýnek tedy dostane dohromady 400 + 250 = 650 Kč.

Kolik bedýnek ještě potřebuje

Do 1000 Kč zbývá 1000 − 650 = 350 Kč. Dalších 5 bedýnek přinese 5 · 60 = 300 Kč, což nestačí. Dalších 6 bedýnek přinese 6 · 60 = 360 Kč, což už stačí. Celkem tedy potřebuje 15 + 6 = 21 bedýnek.

Ověření a výsledek

Za 20 bedýnek vydělá 650 + 300 = 950 Kč, ale za 21 bedýnek už 650 + 360 = 1010 Kč. Aby si vydělal alespoň 1000 Kč, musí naplnit nejméně 21 bedýnek.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

21

Stav úlohy
2 body
Úloha 8.1

Z celých dlaždic tvaru obdélníku o rozměrech 18 cm a 8 cm je sestaven nejmenší možný čtverec. Z každého ze čtyř rohů tohoto čtverce odebereme po jedné dlaždici a dostaneme nový útvar.(Jedna strana čtverce je rovnoběžná s delšími stranami všech dlaždic.)

Vypočtěte v cm délku strany sestaveného čtverce.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor úlohy

Čtverec sestavujeme z dlaždic o rozměrech 18 cm a 8 cm. Všechny dlaždice jsou otočeny stejným směrem (jejich delší strany jsou rovnoběžné se stranou čtverce). To znamená, že délka strany čtverce musí být dělitelná jak číslem 18, tak číslem 8.

Hledání nejmenšího čtverce

Protože hledáme nejmenší možný čtverec, musí být délka jeho strany rovna nejmenšímu společnému násobku čísel 18 a 8.
Rozklad na součin prvočísel:
$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$
Nejmenší společný násobek:
$nsc(18, 8) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 8 \cdot 9 = 72$.

Závěr

Délka strany sestaveného čtverce je 72 cm.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

72 cm

Stav úlohy
1 bod
Úloha 8.2

Z celých dlaždic tvaru obdélníku o rozměrech 18 cm a 8 cm je sestaven nejmenší možný čtverec. Z každého ze čtyř rohů tohoto čtverce odebereme po jedné dlaždici a dostaneme nový útvar.(Jedna strana čtverce je rovnoběžná s delšími stranami všech dlaždic.)

Vypočtěte počet dlaždic v novém útvaru.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení strany čtverce

Nejdříve musíme najít délku strany nejmenšího možného čtverce, který lze sestavit z obdélníkových dlaždic o rozměrech 18 cm a 8 cm. Tato strana musí být společným násobkem obou rozměrů. Nejmenší společný násobek čísel 18 a 8 je 72. Strana čtverce tedy měří 72 cm.

Výpočet počtu dlaždic ve čtverci

Spočítáme, kolik dlaždic tvoří jednu stranu čtverce v obou směrech. V jednom směru (podél strany 18 cm) jsou to $72 : 18 = 4$ dlaždice. Ve druhém směru (podél strany 8 cm) je to $72 : 8 = 9$ dlaždic. Celkový počet dlaždic v celém čtverci je tedy $4 \cdot 9 = 36$.

Odebrání rohových dlaždic

Ze čtverce odebereme čtyři rohové dlaždice (z každého rohu jednu). Z původních 36 dlaždic jich tedy zbude $36 - 4 = 32$.

Závěr

V novém útvaru je celkem 32 dlaždic.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

32

Stav úlohy
1 bod
Úloha 8.3

Z celých dlaždic tvaru obdélníku o rozměrech 18 cm a 8 cm je sestaven nejmenší možný čtverec. Z každého ze čtyř rohů tohoto čtverce odebereme po jedné dlaždici a dostaneme nový útvar.(Jedna strana čtverce je rovnoběžná s delšími stranami všech dlaždic.)

Vypočtěte v cm obvod nového útvaru.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Strana nejmenšího čtverce

Všechny dlaždice mají stejnou orientaci, proto musí být strana čtverce násobkem 18 cm i 8 cm. Násobky 18 jsou 18, 36, 54, 72, … První z nich dělitelný 8 je 72. Nejmenší čtverec má tedy stranu 72 cm; podél jedné strany se vejdou 4 dlaždice a podél druhé 9.

Odebrání rohových dlaždic

Odebráním jedné rohové dlaždice z obvodu zmizí dva úseky dlouhé 18 cm a 8 cm. Místo nich vzniknou dvě nové hrany stejně dlouhé: 18 cm a 8 cm. Obvod se tedy nezmění. Totéž platí pro všechny čtyři rohy.

Obvod nového útvaru

Nový útvar má stejný obvod jako původní čtverec: $4 \cdot 72 = 288$ cm. Obvod nového útvaru je 288 cm.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

288 cm

Stav úlohy
1 bod
Úloha 9

V rovině leží body A, B, M.

Body A, B jsou vrcholy obdélníku ABCD. Bod M leží na téže kružnici k jako všechny vrcholy obdélníku ABCD.

1. Sestrojte střed kružnice k a označte ho písmenem S.
2. Sestrojte vrcholy C, D obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Je-li konstrukce správná, toleruje se nepatrná nepřesnost.

Konstrukce obsahuje právě jeden z následujících nedostatků:

  • není vyznačen střed S, obdélník je však sestrojen přesně,
  • mírné nepřesnosti v konstrukci obdélníku.

Nastane jedna z následujících situací:

  • Správně je sestrojen pouze střed S kružnice k, požadovaný obdélník není sestrojen vůbec, resp. je sestrojen chybně.
  • Jsou sestrojeny osy dvou (resp. všech tří) stran trojúhelníku ABM, ale konstrukce středu S je nepřesná, konstrukce obdélníku je nepřesná.

Chybná konstrukce.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. náhradní termín 2021, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 10

V rovině leží body A, B, L.

Body A, B jsou vrcholy trojúhelníku ABC. Osy vnitřních úhlů BAC a ABC tohoto trojúhelníku procházejí bodem L.

Sestrojte vrchol C trojúhelníku ABC, označte ho písmenem a trojúhelník narýsujte.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Je-li konstrukce správná, toleruje se nepatrná nepřesnost.

Správně je sestrojena pouze jedna z polopřímek AC, BC, druhá není sestrojena, resp. je sestrojena chybně.

Chybná konstrukce.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. náhradní termín 2021, úloha 10

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
2 body
Úloha 11.1
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Od startu S do cíle C vede jedna snadná cyklistická trasa údolími a druhá náročná přes kopce. Obě trasy se kříží v místě K.
Po snadné trase ujedeme v první části od startu S do místa K 45 km, což je o polovinu více, než ujedeme v druhé části od místa K do cíle C.
Náročná trasa je dlouhá 45 km a její první část od startu S do místa K je o pětinu kratší než její druhá část od místa K do cíle C.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

U snadné trasy je poměr délky první části ku délce druhé části 2 ∶ 1.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Délka druhé části

První část snadné trasy měří 45 km a je o polovinu delší než druhá část. Druhou část si rozdělíme na dva stejné dílky, první část pak tvoří tři takové dílky. Jeden dílek měří 45 : 3 = 15 km, takže druhá část měří 2 · 15 = 30 km.

Poměr délek

Poměr délky první části ku délce druhé části je 45 : 30. Obě čísla vydělíme 15 a dostaneme poměr 3 : 2. Ověříme: polovina z 30 km je 15 km a 30 + 15 = 45 km.

Výsledek

Poměr je 3 : 2, proto tvrzení o poměru 2 : 1 není pravdivé. Odpověď je N.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11.2
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Od startu S do cíle C vede jedna snadná cyklistická trasa údolími a druhá náročná přes kopce. Obě trasy se kříží v místě K.
Po snadné trase ujedeme v první části od startu S do místa K 45 km, což je o polovinu více, než ujedeme v druhé části od místa K do cíle C.
Náročná trasa je dlouhá 45 km a její první část od startu S do místa K je o pětinu kratší než její druhá část od místa K do cíle C.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Druhá část snadné trasy měří 30 km.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Porovnání částí trasy

První část snadné trasy měří 45 km a je o polovinu delší než druhá část. Rozdělíme-li druhou část na dva stejné díly, první část tvoří tři takové díly.

Výpočet a ověření

Jeden díl měří 45 : 3 = 15 km. Druhá část tedy měří 2 · 15 = 30 km. Ověříme: polovina z 30 km je 15 km a 30 + 15 = 45 km, což souhlasí se zadáním.

Výsledek

Druhá část snadné trasy měří 30 km. Tvrzení je pravdivé, proto odpovíme A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11.3
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Od startu S do cíle C vede jedna snadná cyklistická trasa údolími a druhá náročná přes kopce. Obě trasy se kříží v místě K.
Po snadné trase ujedeme v první části od startu S do místa K 45 km, což je o polovinu více, než ujedeme v druhé části od místa K do cíle C.
Náročná trasa je dlouhá 45 km a její první část od startu S do místa K je o pětinu kratší než její druhá část od místa K do cíle C.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Druhá část náročné trasy měří 25 km.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení náročné trasy

Náročná trasa měří dohromady 45 km. Její první část ze S do K je o pětinu kratší než druhá část z K do C. Když druhou část rozdělíme na 5 stejných dílků, první část má 4 takové dílky. Celá náročná trasa má tedy 4 + 5 = 9 dílků.

Délka druhé části

Jeden dílek měří 45 : 9 = 5 km. Druhá část má 5 dílků, takže měří 5 · 5 = 25 km.

Ověření a výsledek

První část měří 4 · 5 = 20 km. Dohromady je to 20 + 25 = 45 km a rozdíl 5 km je právě pětina z 25 km. Tvrzení, že druhá část náročné trasy měří 25 km, je tedy pravdivé. Odpověď: A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 12

V rovině leží čtyři přímky, z nichž dvě jsou rovnoběžné.

Jaká je velikost úhlu α?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

  • A) 18°
  • D) 48°
  • B) 36°
  • E) jiná velikost
  • C) 44°
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

V obrázku vidíme dvě rovnoběžné přímky a dvě různoběžky, které se protínají mezi nimi. Společně s horní rovnoběžkou tvoří tyto různoběžky trojúhelník. Abychom vypočítali úhel $\alpha$, určíme nejdříve vnitřní úhly tohoto trojúhelníku pomocí vlastností úhlů u rovnoběžek.

Určení vnitřních úhlů

  • Vnitřní úhel u levého horního vrcholu trojúhelníku je vrcholový k úhlu $\alpha$. Vrcholové úhly jsou shodné, takže tento úhel má velikost $\alpha$.
  • Vnitřní úhel u pravého horního vrcholu trojúhelníku je souhlasný k úhlu $36^\circ$ u dolní rovnoběžky. Souhlasné úhly u rovnoběžek jsou shodné, takže tento úhel má velikost $36^\circ$.
  • Třetí vnitřní úhel (u průsečíku různoběžek) je přímo zadán jako $2\alpha$.

Výpočet úhlu $\alpha$

Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku musí být dohromady $180^\circ$. Sestavíme tedy rovnici:
$\alpha + 36^\circ + 2\alpha = 180^\circ$


Nejdříve sečteme členy s $\alpha$:
$3\alpha + 36^\circ = 180^\circ$

Potom odečteme $36^\circ$ od celkového součtu:
$3\alpha = 144^\circ$

Nakonec zjistíme velikost jednoho $\alpha$ dělením třemi:
$\alpha = 144^\circ : 3 = 48^\circ$

Závěr

Velikost úhlu $\alpha$ je $48^\circ$. Správná je tedy možnost D.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 13

Kolmý šestiboký hranol byl vytvořen opracováním krychle o hraně délky 8 cm.
Podstava hranolu vznikne ze čtvercové stěny původní krychle oddělením 4 shodných pravoúhlých trojúhelníků s odvěsnami délek 3 cm a 4 cm.
Výška hranolu je 8 cm.

Jaký je objem šestibokého hranolu?

  • A) 128 cm³
  • D) 488 cm³
  • B) 320 cm³
  • E) jiný objem
  • C) 416 cm³
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah odříznutých částí

Podstava hranolu vznikne ze čtverce o straně 8 cm tak, že se v každém rohu odřízne jeden pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami délek 3 cm a 4 cm.
Obsah jednoho takového trojúhelníku vypočítáme jako polovinu součinu jeho odvěsen:
$S = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6 \text{ cm}^2$
Protože se odřezávají 4 shodné trojúhelníky, celkový odříznutý obsah je:
$4 \cdot 6 = 24 \text{ cm}^2$

Obsah podstavy hranolu

Původní čtvercová stěna krychle měla obsah:
$S_{čtverce} = 8 \cdot 8 = 64 \text{ cm}^2$
Obsah podstavy šestibokého hranolu získáme tak, že od obsahu čtverce odečteme celkový obsah odříznutých částí:
$S_p = 64 - 24 = 40 \text{ cm}^2$

Výpočet objemu

Objem kolmého hranolu vypočítáme jako součin obsahu jeho podstavy a výšky ($V = S_p \cdot v$). Výška hranolu je stejná jako hrana původní krychle, tedy 8 cm.
$V = 40 \cdot 8 = 320 \text{ cm}^3$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 14

Kolmý šestiboký hranol byl vytvořen opracováním krychle o hraně délky 8 cm.
Podstava hranolu vznikne ze čtvercové stěny původní krychle oddělením 4 shodných pravoúhlých trojúhelníků s odvěsnami délek 3 cm a 4 cm.
Výška hranolu je 8 cm.

Jaký je povrch šestibokého hranolu?

  • A) 160 cm²
  • D) 272 cm²
  • B) 192 cm²
  • E) 336 cm²
  • C) 240 cm²
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah podstavy

Podstava vznikla ze čtverce o obsahu 8 · 8 = 64 cm². Každý ze čtyř odříznutých pravoúhlých trojúhelníků má obsah (3 · 4) : 2 = 6 cm². Obsah jedné podstavy je tedy 64 − 4 · 6 = 40 cm².

Obvod podstavy

Čtyři šikmé strany podstavy jsou přepony odříznutých trojúhelníků. Podle Pythagorovy věty má každá délku √(3² + 4²) = √25 = 5 cm. Horní i dolní vodorovná strana měří 8 − 3 − 3 = 2 cm. Obvod podstavy je 4 · 5 + 2 · 2 = 24 cm.

Povrch hranolu

Plášť kolmého hranolu tvoří obdélníky s výškou 8 cm, jejichž šířky dohromady dávají obvod podstavy. Obsah pláště je 24 · 8 = 192 cm². Přičteme obě podstavy: 192 + 2 · 40 = 272 cm².

Výsledek

Povrch šestibokého hranolu je 272 cm². Správná je možnost D.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.1

V domově pro seniory je 120 klientů a 84 z nich bylo očkováno.

Kolik procent klientů domova pro seniory nebylo očkováno?

  • A) 20 %
  • D) 33 %
  • B) 25 %
  • E) 35 %
  • C) 30 %
  • F) jiný počet procent
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet počtu neočkovaných klientů

Víme, že v domově je celkem $120$ klientů a $84$ z nich bylo očkováno. Nejdříve zjistíme, kolik klientů očkováno nebylo:
$120 - 84 = 36$

Výpočet procentuálního podílu

Nyní musíme zjistit, kolik procent tvoří $36$ klientů z celkového počtu $120$. Celý domov ($120$ klientů) představuje $100\,\%$.
Vypočítáme hodnotu jednoho procenta ($1\,\%$):
$120 : 100 = 1,2$
Počet procent pro $36$ klientů pak získáme vydělením:
$36 : 1,2 = 30\,\%$

Závěr

Nebylo očkováno $30\,\%$ klientů, což odpovídá možnosti C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.2

Vláďa má 40 kartiček. Roman má o čtvrtinu kartiček více než Vláďa.

O kolik procent má Vláďa méně kartiček než Roman?

  • A) 20 %
  • D) 33 %
  • B) 25 %
  • E) 35 %
  • C) 30 %
  • F) jiný počet procent
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet počtu Romanových kartiček

Vláďa má 40 kartiček. Roman má o čtvrtinu více než Vláďa. Nejdříve zjistíme, kolik je jedna čtvrtina ze 40:
$40 : 4 = 10$
Roman má tedy o 10 kartiček více než Vláďa:
$40 + 10 = 50$
Roman má 50 kartiček.

Určení základu pro výpočet procent

Otázka zní: „O kolik procent má Vláďa méně kartiček než Roman?“ To znamená, že počet Romanových kartiček budeme brát jako základ (100 %). Základ (100 %) = 50 kartiček.

Výpočet rozdílu v procentech

Vláďa má o 10 kartiček méně než Roman ($50 - 40 = 10$). Musíme vypočítat, kolik procent z 50 tvoří těchto 10 kartiček. Můžeme použít výpočet přes 1 %: 100 % ... 50 kartiček 1 % ... $50 : 100 = 0,5$ kartičky Počet procent ... $10 : 0,5 = 20$ % Nebo úvahou: 10 kartiček z 50 je jedna pětina. Víme, že jedna pětina ze 100 % je 20 %.

Závěr

Vláďa má o 20 % méně kartiček než Roman. Správná odpověď je A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.3

Cena za víkendový pobyt činila 2 000 korun a zahrnovala pouze dopravu, ubytování a stravování. Cena dopravy tvořila čtvrtinu ceny pobytu, ubytování stálo 800 korun.

Kolik procent ceny pobytu tvořila cena stravování?

  • A) 20 %
  • D) 33 %
  • B) 25 %
  • E) 35 %
  • C) 30 %
  • F) jiný počet procent
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet ceny dopravy

Celková cena pobytu je 2 000 Kč. Doprava tvoří čtvrtinu této částky.
2 000 : 4 = 500 Kč
Cena dopravy je tedy 500 Kč.

Výpočet ceny stravování

Z celkové ceny odečteme náklady na dopravu (500 Kč) a ubytování (800 Kč).
2 000 − 500 − 800 = 700 Kč
Cena stravování činí 700 Kč.

Výpočet procentuálního podílu

Vypočítáme, kolik procent tvoří 700 Kč z celkových 2 000 Kč.
100 % = 2 000 Kč
1 % = 2 000 : 100 = 20 Kč
700 : 20 = 35 %

Správná odpověď je tedy 35 %.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.1

Trojúhelníkové obrazce se podle vzoru sestavují z tmavých šestiúhelníků a bílých trojúhelníků. Šestiúhelník se skládá ze 6 shodných tmavých trojúhelníků.
Na obrázku jsou tři nejmenší trojúhelníkové obrazce. Jednotlivé řady obrazce jsou očíslovány vždy od nejkratší po nejdelší.

Obrazec má 19 řad.

Určete počet bílých trojúhelníků v 9. řadě.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor struktury obrazce

Obrazce mají tvar velkého trojúhelníku obráceného špičkou dolů. Řady počítáme od spodní špičky. V první řadě je 1 malý trojúhelník. Každá vyšší řada má o 2 malé trojúhelníky více, po jednom na každém kraji. Od první do deváté řady se počet zvětší osmkrát o 2: $1 + 8 \cdot 2 = 17$ trojúhelníků.

Pravidlo pro tmavé šestiúhelníky

Tmavé šestiúhelníky se skládají ze 6 malých tmavých trojúhelníků, které se stýkají v jednom společném vrcholu. Tento středový vrchol vždy leží na rozhraní dvou sousedních řad. To znamená, že každý šestiúhelník zasahuje do dvou řad: 3 trojúhelníky má v jedné řadě a 3 trojúhelníky v řadě přímo nad ní.

Počet šestiúhelníků v řadách

Z nákresu vidíme, že šestiúhelníky jsou uspořádány do dvojic řad (vrstev), přičemž v každé vyšší vrstvě je o jeden šestiúhelník více:
  • 1. vrstva (2. a 3. řada): 1 šestiúhelník
  • 2. vrstva (4. a 5. řada): 2 šestiúhelníky
  • 3. vrstva (6. a 7. řada): 3 šestiúhelníky
  • 4. vrstva (8. a 9. řada): 4 šestiúhelníky

Výpočet pro 9. řadu

V 9. řadě se nacházejí části 4 šestiúhelníků z jejich příslušné vrstvy. Protože každý šestiúhelník v této řadě zabírá 3 trojúhelníky, je v 9. řadě celkem $4 \times 3 = 12$ tmavých trojúhelníků.
Počet bílých trojúhelníků v 9. řadě získáme odečtením tmavých od celkového počtu:
$17 - 12 = 5$

Závěr

V 9. řadě je 5 bílých trojúhelníků.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

5

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.2

Trojúhelníkové obrazce se podle vzoru sestavují z tmavých šestiúhelníků a bílých trojúhelníků. Šestiúhelník se skládá ze 6 shodných tmavých trojúhelníků.
Na obrázku jsou tři nejmenší trojúhelníkové obrazce. Jednotlivé řady obrazce jsou očíslovány vždy od nejkratší po nejdelší.

Obrazec má 19 řad.

Určete počet tmavých trojúhelníků v 16. řadě.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza obrazce a řad

Z popisu a obrázků vidíme, že obrazce se skládají z tmavých šestiúhelníků a bílých trojúhelníků. Každý šestiúhelník se skládá ze 6 tmavých trojúhelníků. Šestiúhelníky jsou uspořádány do „pater“ (úrovní), přičemž každé patro zabírá dvě sousední řady trojúhelníků:
  • 1. patro: 2. a 3. řada (obsahuje 1 šestiúhelník)
  • 2. patro: 4. a 5. řada (obsahuje 2 šestiúhelníky)
  • 3. patro: 6. a 7. řada (obsahuje 3 šestiúhelníky)
Obecně platí, že v $k$-tém patře, které tvoří řady $2k$ a $2k+1$, se nachází právě $k$ šestiúhelníků.

Počet trojúhelníků v šestiúhelníku

Každý šestiúhelník v tomto uspořádání zasahuje do dvou řad. V každé z těchto dvou řad je tvořen právě 3 tmavými trojúhelníky. To si můžeme ověřit u prvního obrazce v 3. řadě: řada má celkem 5 trojúhelníků, z toho 2 v rozích jsou bílé, takže zbývající $5 - 2 = 3$ jsou tmavé a patří šestiúhelníku.

Určení patra pro 16. řadu

Patra začínají ve 2., 4., 6. a dalších sudých řadách. Číslo první řady každého patra je tedy dvojnásobkem čísla patra. Pro 16. řadu vypočítáme $16 : 2 = 8$. Jde o 8. patro, ve kterém je 8 šestiúhelníků.

Výpočet celkového počtu

V 8. patře se nachází 8 šestiúhelníků. Protože každý z těchto šestiúhelníků má v 16. řadě 3 tmavé trojúhelníky, celkový počet spočítáme jako:
8 \times 3 = 24
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

24

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.3

Trojúhelníkové obrazce se podle vzoru sestavují z tmavých šestiúhelníků a bílých trojúhelníků. Šestiúhelník se skládá ze 6 shodných tmavých trojúhelníků.
Na obrázku jsou tři nejmenší trojúhelníkové obrazce. Jednotlivé řady obrazce jsou očíslovány vždy od nejkratší po nejdelší.

Obrazec má 19 řad.

Určete počet tmavých šestiúhelníků v celém obrazci.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor vzoru

Každý tmavý šestiúhelník zasahuje do dvou sousedních řad malých trojúhelníků. Šestiúhelníky proto počítáme po patrech: v řadách 2 a 3 je první patro s 1 šestiúhelníkem, v řadách 4 a 5 druhé patro se 2 šestiúhelníky a v řadách 6 a 7 třetí patro se 3 šestiúhelníky. Každé další patro má o jeden šestiúhelník více.

Určení řad v obrazci s 19 řadami

První řadu tvoří jediný bílý trojúhelník. Zbývá $19 - 1 = 18$ řad. Každé patro šestiúhelníků zabírá dvě řady, takže pater je $18 : 2 = 9$. Poslední patro leží v řadách 18 a 19.

Počet šestiúhelníků v posledním patře

V prvním patře je 1 šestiúhelník a v každém dalším o jeden více. V devátém patře je tedy 9 šestiúhelníků.

Výpočet celkového počtu

Sečteme počty šestiúhelníků v devíti patrech: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$. Pomůžeme si dvojicemi: $(1 + 9) + (2 + 8) + (3 + 7) + (4 + 6) + 5 = 10 + 10 + 10 + 10 + 5 = 45$. Každý šestiúhelník jsme započítali právě jednou.

Závěr

V celém obrazci, který má 19 řad, je celkem 45 tmavých šestiúhelníků.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

45

Stav úlohy
2 body