Přijímací testy 9. ročník

Podkategorie: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2020

31 úloh

PDF+Klíč

Úloha 1

Vypočtěte:

$\displaystyle \left( -0,4 \right) ^2 + 0,3 ^2 =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Druhé mocniny

Druhá mocnina je součin čísla se sebou samým. (−0,4) · (−0,4) = 0,16, protože součin dvou záporných čísel je kladný. Dále 0,3 · 0,3 = 0,09.

Součet a výsledek

Sečteme vypočtené mocniny: 0,16 + 0,09 = 0,25.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

0,25

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2.1

Z dvouhodinové přednášky již tři pětiny uplynuly.

Vypočtěte, kolik minut zbývá do konce přednášky.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Délka přednášky v minutách

Přednáška trvá dvě hodiny. Protože jedna hodina má 60 minut, celá přednáška trvá $2 \cdot 60 = 120$ minut.

Zbývající část přednášky

Víme, že tři pětiny ($\frac{3}{5}$) přednášky už uplynuly. Do konce tedy zbývají dvě pětiny ($\frac{2}{5}$), protože $\frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.

Výpočet zbývajících minut

Musíme vypočítat dvě pětiny ze 120 minut. Nejdříve zjistíme, kolik je jedna pětina: $120 \div 5 = 24$. Potom vypočítáme dvě pětiny: $2 \cdot 24 = 48$.

Odpověď

Do konce přednášky zbývá 48 minut.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2.2

Objemy dvou laboratorních nádob jsou $\displaystyle V _1 =$ 9 500 mm³, $\displaystyle V _2 =$ 0,001 m³.

Vypočtěte, o kolik cm³ se liší objemy $\displaystyle V _1$ , $\displaystyle V _2$ těchto laboratorních nádob.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod prvního objemu

Nejdřív převedeme oba objemy na cm³. Protože 1 cm³ = 1 000 mm³, objem první nádoby je 9 500 : 1 000 = 9,5 cm³.

Převod druhého objemu

Platí 1 m³ = 1 000 000 cm³. Objem druhé nádoby je tedy 0,001 · 1 000 000 = 1 000 cm³.

Rozdíl objemů

Od většího objemu odečteme menší: 1 000 − 9,5 = 990,5 cm³. Objemy laboratorních nádob se liší o 990,5 cm³.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

990,5

Stav úlohy

1 bod

Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \left( \frac{1}{4} + \frac{5}{6} \right) \cdot \left( \frac{5}{13} - \frac{1}{2} \right) =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Součet v první závorce

Nejdříve vypočítáme hodnotu v první závorce. Pro sečtení zlomků $\frac{1}{4}$ a $\frac{5}{6}$ musíme najít nejmenšího společného jmenovatele, kterým je číslo 12:
$\frac{1}{4} + \frac{5}{6} = \frac{3 + 10}{12} = \frac{13}{12}$

Krok 2: Rozdíl ve druhé závorce

Dále vypočítáme hodnotu ve druhé závorce. Společným jmenovatelem pro zlomky $\frac{5}{13}$ a $\frac{1}{2}$ je číslo 26:
$\frac{5}{13} - \frac{1}{2} = \frac{10 - 13}{26} = -\frac{3}{26}$

Krok 3: Násobení výsledků a krácení

Nyní vynásobíme výsledky z obou závorek. Před samotným násobením zlomky vykrátíme (číslo 13 proti 26 a číslo 3 proti 12):
$\frac{13}{12} \cdot \left( -\frac{3}{26} \right) = - \frac{13 \cdot 3}{12 \cdot 26} = - \frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 2} = -\frac{1}{8}$
Výsledek $-\frac{1}{8}$ je již v základním tvaru.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-1/8

Stav úlohy

2 body

Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{6}{5} }{\displaystyle \frac{7}{6} \cdot 4-4 \cdot \frac{5}{12} } =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet operací ve jmenovateli

Nejdříve vypočítáme oba součiny ve jmenovateli:
$\frac{7}{6} \cdot 4 = \frac{7 \cdot 4}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$
$4 \cdot \frac{5}{12} = \frac{4 \cdot 5}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

Krok 2: Odečtení ve jmenovateli

Nyní odečteme výsledky součinů:
$\frac{14}{3} - \frac{5}{3} = \frac{14 - 5}{3} = \frac{9}{3} = 3$

Krok 3: Výpočet složeného zlomku a základní tvar

Celý výraz nyní vypadá takto:
$\frac{\frac{6}{5}}{3} = \frac{6}{5} : 3 = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{6}{15}$
Zlomek vykrátíme číslem 3 a získáme základní tvar:
$\frac{6}{15} = \mathbf{\frac{2}{5}}$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

2/5

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.1

Rozložte na součin:

$\displaystyle {\rm p} ^2 - 16=$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozpoznání vzorce

Číslo 16 zapíšeme jako $4^2$. Výraz $p^2 - 16 = p^2 - 4^2$ je tedy rozdíl dvou druhých mocnin.

Rozklad podle vzorce

Použijeme vzorec $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Dosadíme $a = p$ a $b = 4$, takže $p^2 - 4^2 = (p - 4)(p + 4)$.

Výsledek a kontrola

Rozklad na součin je $(p - 4)(p + 4)$. Ověříme roznásobením: $(p - 4)(p + 4) = p^2 + 4p - 4p - 16 = p^2 - 16$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

(p−4)(p+4)

Stav úlohy

1 bod

Úloha 4.2

Umocněte a zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle \left( 2 {\rm x} + 5 \right) ^2 =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Umocnění dvojčlenu

Druhá mocnina znamená, že výraz vynásobíme sám sebou: $(2x+5)^2=(2x+5)(2x+5)$.

Roznásobení závorek

Každý člen první závorky vynásobíme každým členem druhé závorky: $(2x+5)(2x+5)=4x^2+10x+10x+25$.

Sečtení stejných členů

Sečteme členy s $x$: $10x+10x=20x$. Výsledný výraz bez závorek je $\boxed{4x^2+20x+25}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

4x²+20x+25

Stav úlohy

1 bod

Úloha 4.3

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle \left( 2 {\rm n} + 6 \right) \cdot \left( 4{\rm n}-5 \right) + \left( 3-5 \right) \cdot 2{\rm n}-5{\rm n} \cdot \left( {\rm n}-2{\rm n} \right) =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Roznásobení závorek

Každý člen první závorky vynásobíme každým členem druhé závorky: $(2n+6)(4n-5)=8n^2-10n+24n-30$.

Zjednodušení zbývajících členů

Nejdřív vypočítáme $3-5=-2$ a $n-2n=-n$. Potom $(3-5)\cdot 2n=-4n$ a $-5n\cdot(n-2n)=(-5n)\cdot(-n)=5n^2$.

Sečtení stejných členů a výsledek

Dohromady dostaneme $8n^2-10n+24n-30-4n+5n^2$. Sečteme členy s $n^2$: $8n^2+5n^2=13n^2$, a členy s $n$: $-10n+24n-4n=10n$. Výsledný výraz bez závorek je

$13n^2+10n-30$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

13n²+10n−30

Stav úlohy

2 body

Úloha 5.1

Řešte rovnici:

$\displaystyle 3,2 -0,5 {\rm x} - 1=0,6-1,3 {\rm x}$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úprava levé strany

Nejdřív odečteme čísla na levé straně: $3{,}2 - 1 = 2{,}2$. Rovnice má tedy tvar $2{,}2 - 0{,}5x = 0{,}6 - 1{,}3x$.

Úprava rovnice

K oběma stranám přičteme $1{,}3x$. Dostaneme $2{,}2 + 0{,}8x = 0{,}6$. Potom od obou stran odečteme $2{,}2$, takže $0{,}8x = -1{,}6$.

Výsledek a zkouška

Obě strany vydělíme číslem $0{,}8$: $x = -1{,}6 : 0{,}8 = -2$. Ověříme dosazením do původní rovnice: levá strana je $3{,}2 - 0{,}5 \cdot (-2) - 1 = 3{,}2$ a pravá strana je $0{,}6 - 1{,}3 \cdot (-2) = 3{,}2$. Obě strany jsou stejné, takže řešením je $x = -2$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

x = -2

Stav úlohy

2 body

Úloha 5.2

Řešte rovnici:

$\displaystyle \frac{5 {\rm y}+3 }{8}- \frac{{\rm y}}{2}= \frac{4-{\rm y}}{5} + \frac{2{\rm y}-1}{10}$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění zlomků

Společný násobek jmenovatelů 8, 2, 5 a 10 je 40. Vynásobíme obě strany rovnice číslem 40 a zkrátíme zlomky: $5(5y+3)-20y=8(4-y)+4(2y-1)$.

Úprava rovnice

Roznásobíme závorky: $25y+15-20y=32-8y+8y-4$. Sečteme členy s neznámou a čísla na každé straně. Členy $-8y$ a $8y$ se vyruší, takže dostaneme $5y+15=28$.

Výpočet neznámé

Od obou stran odečteme 15: $5y=13$. Potom obě strany vydělíme 5: $y=\frac{13}{5}=2{,}6$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme $y=2{,}6$ do původní rovnice. Levá strana je $\frac{16}{8}-\frac{2{,}6}{2}=2-1{,}3=0{,}7$. Pravá strana je $\frac{1{,}4}{5}+\frac{4{,}2}{10}=0{,}28+0{,}42=0{,}7$. Obě strany se rovnají. Řešením rovnice je $y=2{,}6$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

13/5

Stav úlohy

2 body

Úloha 6.1

Tři vázy mají různé velikosti.
Objem velké vázy je o polovinu větší než objem střední vázy.
Objem střední vázy je čtyřikrát větší než objem malé vázy.

Neznámý objem střední vázy označte x.

V závislosti na veličině x vyjádřete objem velké vázy.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit odpověď

3x/2

Stav úlohy

1 bod

Úloha 6.2

Tři vázy mají různé velikosti.
Objem velké vázy je o polovinu větší než objem střední vázy.
Objem střední vázy je čtyřikrát větší než objem malé vázy.

Neznámý objem střední vázy označte x.

V závislosti na veličině x vyjádřete objem malé vázy.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit odpověď

x/4

Stav úlohy

1 bod

Úloha 6.3

Tři vázy mají různé velikosti.
Objem velké vázy je o polovinu větší než objem střední vázy.
Objem střední vázy je čtyřikrát větší než objem malé vázy.

Neznámý objem střední vázy označte x.
Všechny tři vázy dohromady mají objem 5,5 litru.

Vypočtěte v litrech objem střední vázy.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vyjádření objemů

Objem střední vázy označíme $x$ litrů. Střední váza má čtyřikrát větší objem než malá, takže malá má objem $\frac{x}{4}$ litrů. Velká váza má o polovinu větší objem než střední, tedy $x + \frac{x}{2} = 1{,}5x$ litrů.

Sestavení a řešení rovnice

Dohromady mají vázy objem 5,5 litru, proto platí $\frac{x}{4} + x + 1{,}5x = 5{,}5$. Sečteme členy na levé straně: $2{,}75x = 5{,}5$. Vydělíme obě strany číslem 2,75 a dostaneme $x = 2$.

Výsledek a ověření

Střední váza má objem 2 litry. Malá váza má objem $2 : 4 = 0{,}5$ litru a velká $2 + 1 = 3$ litry. Ověříme součet: $0{,}5 + 2 + 3 = 5{,}5$ litru, což odpovídá zadání.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

2 l

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.1

Škrabací sloupek pro kočky má tvar rotačního válce.
Válec má výšku 50 cm a jeho podstava má průměr 14 cm.
Obě podstavy jsou bílé, plášť válce je šedý.
(Za $\displaystyle \pi$ dosazujte $\displaystyle \frac{22}{7}$ .)

Vypočtěte v cm² obsah jedné podstavy válce.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Poloměr podstavy

Podstava válce je kruh o průměru 14 cm. Poloměr je polovina průměru, tedy $r = 14 : 2 = 7$ cm.

Obsah kruhu

Obsah kruhu vypočítáme podle vzorce $S = \pi r^2$. Za $\pi$ dosadíme podle zadání $\frac{22}{7}$: $S = \frac{22}{7} \cdot 7^2 = \frac{22}{7} \cdot 49 = 22 \cdot 7 = 154$ cm².

Výsledek

Obsah jedné podstavy válce je 154 cm².

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

154 cm²

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.2

Vypočtěte v cm² obsah pláště válce.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozvinutí pláště

Plášť válce po rozvinutí tvoří obdélník. Jedna jeho strana má délku rovnou výšce válce, tedy 50 cm. Druhá strana má délku rovnou obvodu kruhové podstavy.

Obvod podstavy

Průměr podstavy je 14 cm. Obvod vypočítáme jako $o = \pi \cdot d = \frac{22}{7} \cdot 14 = 44$ cm.

Obsah pláště

Obsah obdélníku získáme vynásobením délek jeho stran: $S = 44 \cdot 50 = 2\,200$ cm². Obsah pláště válce je 2 200 cm².

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

2 200 cm²

Stav úlohy

2 body

Úloha 8.1

Obdélníkový záhon má rozměry 210 cm a 140 cm.
Záhon bude po obvodu osázen tulipány ve stejných rozestupech. Rozestupy mezi sousedními tulipány musí být co největší, přitom tulipán musí být v každém rohu záhonu a také uprostřed delší strany (obrázek 1).Rozměry rostlin zanedbáváme.

Vypočtěte v cm rozestup mezi sousedními tulipány.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení delší strany

Tulipán musí být v každém rohu a uprostřed delší strany. Polovina delší strany měří 210 : 2 = 105 cm. Stejný rozestup se proto musí vejít beze zbytku do délky 105 cm i do kratší strany dlouhé 140 cm.

Největší společný dělitel

Hledáme největší společný dělitel čísel 105 a 140. Rozložíme je na prvočinitele: 105 = 3 · 5 · 7 a 140 = 2 · 2 · 5 · 7. Společné prvočinitele jsou 5 a 7, takže největší možný rozestup je 5 · 7 = 35 cm.

Výsledek a kontrola

Ověříme: 105 : 35 = 3, 140 : 35 = 4 a 210 : 35 = 6. Tulipány tak vyjdou do všech rohů i do středu delší strany. Rozestup mezi sousedními tulipány bude 35 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

35 cm

Stav úlohy

2 body

Úloha 8.2

Obdélníkový záhon má rozměry 210 cm a 140 cm.
Uvnitř záhonu je vyznačen menší obdélník. V jeho rozích a po jeho obvodu budou v 10centimetrových rozestupech vysázeny narcisy. Každý narcis bude vzdálen 25 cm od nejbližšího okraje záhonu (obrázek 2).Rozměry rostlin zanedbáváme.

Vypočtěte, kolik narcisů bude vysázeno.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry menšího obdélníku

Menší obdélník je od každého okraje záhonu vzdálen 25 cm. Od každého rozměru záhonu proto odečteme dvakrát 25 cm. Délka je 210 − 2 · 25 = 160 cm a šířka je 140 − 2 · 25 = 90 cm.

Obvod menšího obdélníku

Narcisy budou po celém obvodu menšího obdélníku. Jeho obvod je 2 · (160 + 90) = 500 cm. Obě délky stran jsou násobky 10 cm, takže při rozestupech 10 cm vyjdou narcisy i do všech rohů.

Počet narcisů

Obvod rozdělíme na úseky dlouhé 10 cm: 500 : 10 = 50. Na uzavřeném obvodu je narcisů stejně jako těchto úseků. Po obejití obdélníku se vrátíme k prvnímu narcisu, který znovu nepočítáme. Bude vysázeno 50 narcisů.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 9

V rovině leží přímka AC a přímka b.

Body A, C jsou vrcholy trojúhelníku ABC. Na přímce b leží vrchol B.
Délka těžnice $\displaystyle t _b$ na stranu AC je 6 cm.

Sestrojte vrchol B trojúhelníku ABC, označte jej písmenem a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

2 body

Vzorové řešení výše.

Jsou-li konstrukčně správně sestrojena obě řešení, toleruje se nepatrná nepřesnost. Rozlišuje se nepatrná nepřesnost (tolerována) a chyba v konstrukci (tj. 0 bodů).

1 bod

Právě jedno ze obou řešení.

0 bodů

Chybná konstrukce řešení (těžnice na stranu AC je nahrazena jinou těžnicí nebo některou z výšek, střed S_AC není středem úsečky AC, ale je umístěn náhodně apod.).

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2020, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

2 body

Úloha 10

V rovině leží přímka o a body A, M.

Bod A je vrchol rovnoramenného lichoběžníku ABCD,
bod M je střed jeho ramene BC. Přímka o je osou lichoběžníku ABCD.

Sestrojte vrcholy B, C, D lichoběžníku ABCD, označte je písmeny a lichoběžník narýsujte.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

3 body

Vzorové řešení výše.

Je-li konstrukce správná, toleruje se nepatrná nepřesnost.

2 body

Nastane jedna z následujících možností:

Je správně sestrojena přímka BM a vrchol C, nepřesnost je v konstrukci vrcholu D (do 4 mm v libovolném směru).
Je správně sestrojen vrchol B, lichoběžník ABCD je rovnoramenný,|BC|= 2|BM|, ale rameno BC neprochází bodem M.

1 bod

Nastane jedna z následujících možností:

Jsou správně sestrojeny přímky BM a AD, avšak výška rovnoramenného lichoběžníku je chybná.
Jsou správně sestrojeny vrcholy B a C, avšak lichoběžník ABCD není rovnoramenný.

0 bodů

Nastane kterákoli z následujících možností:

nesprávně sestrojený vrchol D, útvar není lichoběžník,
nesprávně sestrojený vrchol B,
nesprávně sestrojený obraz bodu M v osové souměrnosti s osou o.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2020, úloha 10

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 11.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Všichni pracovníci natírají plot stejným tempem. Polovinu plotu by natřeli všichni pracovníci společně za 6 hodin.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Celý plot by natřeli všichni pracovníci společně za 9 hodin.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Doba na polovinu plotu

Všichni pracovníci společně natřou polovinu plotu za 6 hodin. Druhá polovina je stejně velká, takže jim při stejném tempu zabere také 6 hodin.

Doba na celý plot

Na celý plot potřebují dohromady $6 + 6 = 12$ hodin.

Posouzení tvrzení

Celý plot by natřeli za 12 hodin. Tvrzení, že by ho natřeli za 9 hodin, je nepravdivé (N).

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 11.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Všichni pracovníci natírají plot stejným tempem. Polovinu plotu by natřeli všichni pracovníci společně za 6 hodin.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Polovinu plotu by natřela třetina pracovníků společně za 18 hodin.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet pracovníků

Třetina pracovníků natírá třikrát pomaleji než všichni pracovníci dohromady. Na stejnou polovinu plotu proto potřebuje třikrát delší dobu.

Výpočet

Všichni pracovníci natřou polovinu plotu za 6 hodin. Třetina pracovníků ji tedy natře za $6 \cdot 3 = 18$ hodin.

Závěr

Vypočtená doba odpovídá tvrzení. Tvrzení je pravdivé, odpověď je A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 11.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Všichni pracovníci natírají plot stejným tempem. Polovinu plotu by natřeli všichni pracovníci společně za 6 hodin.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Čtvrtinu plotu by natřela čtvrtina pracovníků společně za 12 hodin.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čas na čtvrtinu plotu

Všichni pracovníci natřou polovinu plotu za 6 hodin. Čtvrtina plotu je polovina tohoto množství, takže ji všichni pracovníci natřou za $6 : 2 = 3$ hodiny.

Čtvrtina pracovníků

Čtvrtina pracovníků vykoná za stejný čas čtvrtinu práce. Na natření stejné části plotu proto potřebuje čtyřikrát více času: $3 \cdot 4 = 12$ hodin.

Výsledek

Čtvrtina pracovníků skutečně natře čtvrtinu plotu za 12 hodin. Tvrzení je pravdivé, odpověď je A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 12

Jaká je velikost úhlu α?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

A) menší než 98°
D) 102°
B) 98°
E) větší než 102°
C) 100°

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vedlejší úhel

U pravého dolního bodu tvoří úhel 128° s úhlem mezi poslední úsečkou a dolní přímkou směrem doleva přímý úhel. Tento druhý úhel má velikost $180° - 128° = 52°$.

Úhly u horní přímky

Střídavé úhly mezi rovnoběžkami jsou shodné. U prostředního horního bodu je proto úhel mezi poslední úsečkou a horní přímkou směrem doprava také 52°. Tři sousední úhly pod horní přímkou dávají dohromady 180°. Úhel mezi prostřední úsečkou a horní přímkou směrem doleva má tedy velikost $180° - 62° - 52° = 66°$.

Úhly u dolní přímky

Úhel mezi prostřední úsečkou a dolní přímkou směrem doprava je střídavý k vypočtenému úhlu 66°, a má tedy také 66°. Přičteme sousední úhel 32° mezi první a prostřední úsečkou. Úhel mezi první úsečkou směřující nahoru doleva a dolní přímkou směrem doprava je $66° + 32° = 98°$.

Výsledek

Hledaný úhel α je střídavý k právě vypočtenému úhlu 98°. Proto α = 98°. Správná je možnost B.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 13

Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCDEF je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami délek $\displaystyle a =$ 9 cm a $\displaystyle b =$ 12 cm. Obsah největší boční stěny ABED je 300 cm².

Jaký je povrch hranolu?

A) 828 cm²
D) 1 008 cm²
B) 888 cm²
E) 1 080 cm²
C) 936 cm²

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Přepona podstavy

Podstava ABC je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami 9 cm a 12 cm. Délku přepony AB vypočítáme Pythagorovou větou: $AB = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} = 15$ cm.

Výška hranolu

Největší boční stěna ABED je obdélník se stranami 15 cm a výškou hranolu. Jeho obsah je 300 cm², takže výška hranolu je $v = 300 : 15 = 20$ cm.

Obsahy podstav a bočních stěn

Obsah jedné trojúhelníkové podstavy je $9 \cdot 12 : 2 = 54$ cm². Obě podstavy mají dohromady $2 \cdot 54 = 108$ cm². Tři boční stěny jsou obdélníky se společnou výškou 20 cm a šířkami 9 cm, 12 cm a 15 cm. Dohromady mají obsah $(9 + 12 + 15) \cdot 20 = 720$ cm².

Povrch hranolu

Sečteme obsahy všech stěn: $S = 108 + 720 = 828$ cm². Povrch hranolu je 828 cm², správná je možnost A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 14

Pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami délek 12 cm a 6 cm je dvěma úsečkami rovnoběžnými s kratší odvěsnou rozdělen na tři rovinné útvary.
Úsečky rozdělily delší odvěsnu na tři úseky délek 6 cm, 4 cm a 2 cm.

Jaký je obsah tmavého útvaru?

A) 16 cm²
D) 21 cm²
B) 18 cm²
E) jiný obsah
C) 20 cm²

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Tmavý útvar je prostřední lichoběžník. Jeho rovnoběžné základny jsou dvě svislé úsečky. Vzdálenost mezi nimi, tedy výška lichoběžníku, je 4 cm.

Délky základen

Svislé úsečky vytvářejí s levým vrcholem menší trojúhelníky podobné celému trojúhelníku. V celém trojúhelníku je svislá odvěsna polovinou vodorovné: 6 : 12 = 1 : 2. Proto první svislá úsečka měří 6 : 2 = 3 cm. Ke druhé úsečce je od levého vrcholu 6 + 4 = 10 cm, a tak druhá úsečka měří 10 : 2 = 5 cm.

Obsah lichoběžníku

Obsah lichoběžníku vypočítáme jako součet délek základen krát výška děleno dvěma: $S = \frac{(3 + 5) \cdot 4}{2} = 16\,\text{cm}^2$.

Výsledek

Tmavý útvar má obsah 16 cm². Správná je možnost A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.1

Roční čtenářský poplatek již zaplatilo 40 % všech čtenářů knihovny, a poplatek tak musí zaplatit ještě zbývajících 264 čtenářů.

Kolik čtenářů má knihovna?

A) 400
D) 450
B) 420
E) 460
C) 440
F) jiný počet

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zbývající procenta

Poplatek zaplatilo 40 % čtenářů. Zbývá tedy 100 − 40 = 60 % čtenářů. Těchto 60 % představuje 264 čtenářů.

Výpočet celku

Nejdřív vypočítáme 1 %: 264 : 60 = 4,4. Potom vypočítáme všech 100 %: 4,4 · 100 = 440 čtenářů.

Výsledek a kontrola

Ze 440 čtenářů zaplatilo 40 %, tedy 0,4 · 440 = 176 čtenářů. Zbývá 440 − 176 = 264 čtenářů, což odpovídá zadání. Knihovna má 440 čtenářů, správná je možnost C.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.2

Do školní družiny se přihlásilo 540 žáků, což je o pětinu více, než činí kapacita družiny.

Kolik žáků činí kapacita družiny?

A) 400
D) 450
B) 420
E) 460
C) 440
F) jiný počet

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení na pětiny

Počet přihlášených je o pětinu kapacity větší než kapacita družiny. Kapacita tedy představuje 5 stejných dílů a 540 přihlášených představuje 6 takových dílů.

Výpočet kapacity

Nejdřív vypočítáme jeden díl: 540 : 6 = 90 žáků. Kapacita družiny je 5 dílů, tedy 5 · 90 = 450 žáků.

Ověření a výsledek

Pětina z 450 je 90 a 450 + 90 = 540, což souhlasí se zadáním. Kapacita družiny činí 450 žáků. Správná je možnost D.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.3

Do školního tanečního kroužku chodí 25 žáků, což je 5 % všech žáků školy. Kroužek juda navštěvuje 20 žáků školy, přičemž čtvrtina z nich chodí navíc do tanečního kroužku.

Kolik žáků školy nechodí ani do tanečního kroužku, ani do kroužku juda?

A) 400
D) 450
B) 420
E) 460
C) 440
F) jiný počet

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet žáků školy

Do tanečního kroužku chodí 25 žáků, což je 5 % všech žáků školy. Na 1 % tedy připadá 25 : 5 = 5 žáků. Celá škola má 5 · 100 = 500 žáků.

Žáci v obou kroužcích

Čtvrtina z 20 žáků juda chodí také do tanečního kroužku. Oba kroužky tedy navštěvuje 20 : 4 = 5 žáků.

Počet žáků alespoň v jednom kroužku

Při součtu 25 + 20 započítáme 5 žáků obou kroužků dvakrát. Proto je jednou odečteme: 25 + 20 − 5 = 40 žáků navštěvuje alespoň jeden z těchto kroužků.

Výsledek

Od celkového počtu žáků odečteme těch 40, kteří chodí alespoň do jednoho kroužku: 500 − 40 = 460. Ani do tanečního kroužku, ani do juda nechodí 460 žáků. Správná odpověď je E.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 16.1

V počítačové hře má každé čtvercové město následující vlastnosti:
– Čtverečky představují domy a ve všech řadách i sloupcích je jich stejný počet.
– Mezi každými dvěma sousedními domy prochází jedna ulice; je přímá a spojuje protější okraje města. Libovolné dvě ulice jsou buď rovnoběžné, nebo k sobě kolmé.
– Každé dvě navzájem kolmé ulice mají společnou křižovatku.
Na obrázku jsou dvě nejmenší čtvercová města.

Určete, kolik křižovatek je ve městě se 36 domy.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet domů v řadě

Město je čtvercové, takže má stejný počet řad a sloupců domů. Protože $6 \cdot 6 = 36$, je v každé řadě i sloupci 6 domů.

Počet ulic

Ulice vedou mezi sousedními domy. Mezi 6 řadami je $6 - 1 = 5$ vodorovných ulic a mezi 6 sloupci je také 5 svislých ulic.

Počet křižovatek

Každá z 5 vodorovných ulic se protíná se všemi 5 svislými ulicemi. Počet křižovatek je tedy $5 \cdot 5 = 25$. Ve městě se 36 domy je 25 křižovatek.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.2

Určete, kolik ulic je ve městě se 36 křižovatkami.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Ulice a křižovatky

Čtvercové město má stejný počet vodorovných a svislých ulic. Každá vodorovná ulice se protíná se všemi svislými ulicemi. Počet křižovatek tedy získáme vynásobením počtu vodorovných ulic počtem svislých ulic.

Počet ulic v jednom směru

Hledáme číslo, které po vynásobení samo sebou dává 36. Protože $6 \cdot 6 = 36$, ve městě je 6 vodorovných a 6 svislých ulic.

Celkový počet ulic

Oba směry sečteme: $6 + 6 = 12$. Ve městě je 12 ulic.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.3

Určete, kolik domů je ve městě se 36 ulicemi.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet ulic v každém směru

Město má stejný počet řad i sloupců domů, proto je vodorovných a svislých ulic stejně. Z celkových 36 ulic vede v každém směru $36 : 2 = 18$ ulic.

Počet domů v řadě

Ulice vedou mezi sousedními domy. V jedné řadě je tedy o jeden dům více než svislých ulic: $18 + 1 = 19$ domů. Stejně tak je ve městě 19 řad domů.

Celkový počet domů

V 19 řadách je vždy 19 domů, dohromady tedy $19 \cdot 19 = 361$. Ověříme počet ulic: mezi 19 řadami je 18 vodorovných ulic a mezi 19 sloupci 18 svislých ulic, celkem $18 + 18 = 36$. Ve městě je 361 domů.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

361

Stav úlohy

2 body