Načítání…
Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 9. ročník

Podkategorie: Matematika 9. ročník — 2. řádný termín 2019

31 úloh

PDF+Klíč
Úloha 1

Vypočtěte, kolik procent z 20 tun tvoří 500 kilogramů.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod jednotek

Nejdřív převedeme celý základ na kilogramy: 20 tun = 20 000 kg. Zjišťujeme, kolik procent z 20 000 kg tvoří 500 kg.

Výpočet procent

Jedno procento základu je 20 000 : 100 = 200 kg. Počet procent tedy vypočítáme jako 500 : 200 = 2,5.

Výsledek

500 kilogramů tvoří 2,5 % z 20 tun. Ověříme: 2,5 · 200 = 500 kg.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

2,5

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.1

Vypočtěte:

$\displaystyle \sqrt{ 10 ^2 \cdot 0,0025 } =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet mocniny

Nejdřív vypočítáme mocninu: $10^2 = 10 \cdot 10 = 100$.

Součin pod odmocninou

Potom vynásobíme čísla pod odmocninou: $100 \cdot 0{,}0025 = 0{,}25$.

Výsledek

Protože $0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$, platí $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$. Výsledek je 0,5.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

0,5

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.2

Vypočtěte:

$\displaystyle 5 \div 0,2- \left( -0,3 + 0,5 \right) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet prvního členu

Nejprve vypočítáme podíl $5 \div 0,2$. Dělení číslem $0,2$ je stejné jako násobení pěti (protože $0,2 = \frac{1}{5}$), nebo si můžeme obě čísla desetinně posunout: $50 \div 2 = 25$.

Výpočet výrazu v závorce

Dále vypočítáme hodnotu v závorce: $(-0,3 + 0,5) = 0,2$.

Dokončení výpočtu

Nakonec odečteme získané hodnoty: $25 - 0,2 = 24,8$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

24,8

Stav úlohy
1 bod
Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle 1- \frac{1}{3} }{-6 ^2 } =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Nejdřív vypočítáme čitatel: $1-\frac{1}{3}=\frac{3}{3}-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.

Výpočet jmenovatele

Umocňování má přednost před znaménkem minus. Proto $-6^2=-(6\cdot6)=-36$.

Výsledek v základním tvaru

Dělení číslem $-36$ nahradíme násobením jeho převrácenou hodnotou: $\frac{2}{3}:(-36)=\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{1}{36}\right)=-\frac{2}{108}=-\frac{1}{54}$. Výsledek je $-\frac{1}{54}$, zlomek už nelze krátit.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-1/54

Stav úlohy
2 body
Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle 12 \cdot \left( \frac{2}{3}- \frac{1}{2} \right) - \frac{5}{2} + \frac{2}{3} =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet v závorce

Nejdříve vypočítáme rozdíl zlomků v závorce. Najdeme společného jmenovatele, kterým je pro čísla 3 a 2 číslo 6.
$\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6}$

Krok 2: Násobení

Výsledek ze závorky vynásobíme číslem 12. Číslo 12 si můžeme představit jako zlomek $\frac{12}{1}$.
$12 \cdot \frac{1}{6} = \frac{12}{6} = 2$

Krok 3: Odečtení a přičtení zbývajících zlomků

K získanému číslu 2 odečteme zlomek $\frac{5}{2}$ a přičteme $\frac{2}{3}$. Všechny členy převedeme na společného jmenovatele 6.
$2 - \frac{5}{2} + \frac{2}{3} = \frac{12}{6} - \frac{15}{6} + \frac{4}{6} = \frac{12 - 15 + 4}{6} = \frac{1}{6}$

Závěr

Výsledný zlomek $\frac{1}{6}$ je již v základním tvaru, nelze jej dále krátit.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1/6

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.1

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle \left( 2 {\rm a} + 3 {\rm b} \right) ^2 =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Použití vzorce

Pro zjednodušení výrazu $\left(2a + 3b\right)^2$ využijeme vzorec pro druhou mocninu součtu:
$\left(A + B\right)^2 = A^2 + 2AB + B^2$

V našem případě dosadíme $A = 2a$ a $B = 3b$.

Výpočet jednotlivých členů

Podle vzorce spočítáme jednotlivé členy:
  • První člen ($A^2$): $(2a)^2 = 4a^2$
  • Prostřední člen ($2AB$): $2 \cdot 2a \cdot 3b = 12ab$
  • Třetí člen ($B^2$): $(3b)^2 = 9b^2$

Sestavení výsledku

Sečtením všech tří vypočtených členů získáme výsledný výraz bez závorek: $4a^2 + 12ab + 9b^2$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

4a²+12ab+9b²

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.2

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle 3 e \cdot \left( 2- f \right) -2 f \cdot \left( e - 3 f \right) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Roznásobení závorek

Nejprve roznásobíme obě závorky ve výrazu:
1) První závorku vynásobíme členem $3e$:
$3e \cdot (2 - f) = 6e - 3ef$
2) Druhou závorku vynásobíme členem $-2f$ (pozor na znaménka):
$-2f \cdot (e - 3f) = -2ef + 6f^2$

Sloučení členů

Nyní oba získané výrazy spojíme a sloučíme členy se stejnými proměnnými (tedy $-3ef$ a $-2ef$):
$6e - 3ef - 2ef + 6f^2 = 6e - 5ef + 6f^2$

Zápis výsledku

Výsledný upravený výraz bez závorek je:
$6e - 5ef + 6f^2$ (nebo ekvivalentně $6f^2 - 5ef + 6e$).
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

6e−5ef+6f²

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.3

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle \left( 1+3 {\rm n} \right) \cdot \left( 1+3{\rm n} \right) + \left( 1+3{\rm n} \right) \cdot \left( 1-3{\rm n} \right) -2=$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Roznásobení závorek

Výraz se skládá ze tří částí:

1. (1 + 3n) · (1 + 3n), což můžeme zapsat jako druhou mocninu dvojčlenu: $(1 + 3n)^2$. Podle vzorce $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ výraz roznásobíme:
$(1 + 3n)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 3n + (3n)^2 = 1 + 6n + 9n^2$

2. (1 + 3n) · (1 - 3n), což roznásobíme pomocí vzorce $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$(1 + 3n) \cdot (1 - 3n) = 1^2 - (3n)^2 = 1 - 9n^2$

3. Číslo -2.

Sloučení celého výrazu

Nyní dosadíme upravené části zpět do původního příkladu a odstraníme závorky:
$(1 + 6n + 9n^2) + (1 - 9n^2) - 2$

Protože před závorkami i mezi nimi je znaménko $+$, můžeme závorky jednoduše vynechat:
$1 + 6n + 9n^2 + 1 - 9n^2 - 2$

Zjednodušení a výsledek

Sečteme a odečteme členy, které k sobě patří (mocniny $n^2$, členy s $n$ a samostatná čísla):
  • Členy s $n^2$: $9n^2 - 9n^2 = 0$
  • Členy s $n$: $6n$
  • Samostatná čísla: $1 + 1 - 2 = 0$


Po sloučení dostáváme výsledný výraz: 6n
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

6n

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.1

Řešte rovnici:

$\displaystyle 2 \cdot \left( 3-0,75 {\rm x} \right) + {\rm x} = 7 - \frac{ {\rm x} }{2}$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění závorky

Vynásobíme oba členy v závorce číslem 2. Dostaneme $6 - 1{,}5x + x = 7 - 0{,}5x$.

Úprava rovnice

Sečteme členy s neznámou na levé straně: $-1{,}5x + x = -0{,}5x$. Rovnice tedy má tvar $6 - 0{,}5x = 7 - 0{,}5x$. K oběma stranám přičteme $0{,}5x$ a vyjde $6 = 7$.

Výsledek

Rovnost $6 = 7$ neplatí. Žádné číslo tedy původní rovnici nesplňuje: rovnice nemá řešení.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Rovnice nemá řešení

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.2

Řešte rovnici:

$\displaystyle \frac{5}{6} \cdot \left( {\rm y} -2 \right) - \frac{2}{3} \cdot {\rm y} = \frac{ {\rm y} }{2} - \frac{5}{4}$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění zlomků

Celou rovnici vynásobíme číslem 12, které je společným násobkem jmenovatelů 6, 3, 2 a 4. Dostaneme $10(y-2)-8y=6y-15$.

Úprava rovnice

Roznásobíme závorku: $10y-20-8y=6y-15$. Na levé straně sečteme členy s neznámou: $2y-20=6y-15$.

Výpočet neznámé

Od obou stran odečteme $2y$ a k oběma stranám přičteme 15. Vyjde $-5=4y$. Obě strany vydělíme číslem 4: $y=-\frac{5}{4}$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme $y=-\frac{5}{4}$ do původní rovnice. Levá strana je $\frac{5}{6}\cdot\left(-\frac{5}{4}-2\right)-\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{5}{4}\right)=-\frac{65}{24}+\frac{20}{24}=-\frac{15}{8}$. Pravá strana je $-\frac{5}{8}-\frac{5}{4}=-\frac{15}{8}$. Obě strany jsou stejné, takže řešením je $y=-\frac{5}{4}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-1,25

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.1

Zadaná práce byla rozdělena na dvě stejné části.
První polovinu práce vykonal minibagr za 10 hodin. Druhou polovinu práce pak vykonali společně 4 dělníci.
Přitom minibagr udělá za každých 5 hodin stejný díl práce jako 5 dělníků za 8hodinovou pracovní dobu. (Každý dělník vykoná za hodinu stejné množství práce.)
Za půjčení 1 minibagru se platí jednorázový poplatek 1 500 korun. Každá hodina práce minibagru (i s obsluhou) stojí 600 korun, hodina práce 1 dělníka 150 korun.

Vypočtěte, kolik korun se celkem zaplatilo za půjčení a práci minibagru (i s obsluhou).

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cena práce minibagru

Minibagr vykonal první polovinu práce za 10 hodin. Jedna hodina práce i s obsluhou stojí 600 Kč, takže za jeho práci zaplatíme $10 \cdot 600 = 6\,000$ Kč.

Celková cena

K ceně práce přičteme jednorázový poplatek za půjčení minibagru: $6\,000 + 1\,500 = 7\,500$ Kč. Za půjčení a práci minibagru i s obsluhou se celkem zaplatilo 7 500 Kč.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

7 500

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.2

Zadaná práce byla rozdělena na dvě stejné části.
První polovinu práce vykonal minibagr za 10 hodin. Druhou polovinu práce pak vykonali společně 4 dělníci.
Přitom minibagr udělá za každých 5 hodin stejný díl práce jako 5 dělníků za 8hodinovou pracovní dobu. (Každý dělník vykoná za hodinu stejné množství práce.)
Za půjčení 1 minibagru se platí jednorázový poplatek 1 500 korun. Každá hodina práce minibagru (i s obsluhou) stojí 600 korun, hodina práce 1 dělníka 150 korun.

Vypočtěte, kolik korun stála práce vykonaná dělníky.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Přepočet práce minibagru na práci dělníků

Za 5 hodin vykoná minibagr stejnou práci jako 5 dělníků za 8 hodin. První polovinu práce vykonal minibagr za 10 hodin, tedy za dvojnásobnou dobu. Stejnou polovinu práce by proto 5 dělníků vykonalo za $2 \cdot 8 = 16$ hodin.

Doba práce čtyř dělníků

Obě poloviny práce jsou stejné. Na druhou polovinu je tedy potřeba dohromady $5 \cdot 16 = 80$ hodin práce jednoho dělníka. Čtyři dělníci si tuto práci rozdělí rovnoměrně, takže každý pracuje $80 : 4 = 20$ hodin.

Cena práce dělníků

Hodina práce jednoho dělníka stojí 150 korun. Za práci všech čtyř dělníků zaplatíme $4 \cdot 20 \cdot 150 = 12\,000$ korun. Práce vykonaná dělníky stála 12 000 Kč.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

12 000

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.3

Zadaná práce byla rozdělena na dvě stejné části.
První polovinu práce vykonal minibagr za 10 hodin. Druhou polovinu práce pak vykonali společně 4 dělníci.
Přitom minibagr udělá za každých 5 hodin stejný díl práce jako 5 dělníků za 8hodinovou pracovní dobu. (Každý dělník vykoná za hodinu stejné množství práce.)
Za půjčení 1 minibagru se platí jednorázový poplatek 1 500 korun. Každá hodina práce minibagru (i s obsluhou) stojí 600 korun, hodina práce 1 dělníka 150 korun.

Vypočtěte, kolik hodin musel odpracovat každý ze 4 dělníků.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Přepočet práce

Za 5 hodin udělá minibagr tolik práce jako 5 dělníků za 8 hodin. Jeden dělník by na stejnou práci potřeboval 5 · 8 = 40 hodin.

Druhá polovina práce

První polovinu práce vykonal minibagr za 10 hodin, tedy za dvojnásobek 5 hodin. Jeden dělník by tuto polovinu vykonal za 2 · 40 = 80 hodin. Druhá polovina práce je stejně velká, takže i na ni je potřeba dohromady 80 hodin práce jednotlivých dělníků.

Výsledek

Práci si rovnoměrně rozdělí 4 dělníci: 80 : 4 = 20 hodin. Ověříme: 4 · 20 = 80 hodin práce jednotlivých dělníků. Každý ze 4 dělníků musel odpracovat 20 hodin.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

20

Stav úlohy
2 body
Úloha 7.1

Nájezdová rampa sestavená ze čtyř dřevotřískových desek je přistavena ke schodu. Nakloněnou čtvercovou desku rampy podpírají tři stejné trojúhelníkové desky. Hloubka rampy je 12 dm a výška rampy je 5 dm.

Vypočtěte, kolik dm² dřevotřísky je v hotové rampě použito na všechny tři trojúhelníkové desky dohromady.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry trojúhelníkové desky

Každá podpěrná deska má tvar pravoúhlého trojúhelníku. Jeho vodorovná základna měří 12 dm a kolmá výška 5 dm. Všechny tři desky jsou stejné.

Obsah jedné desky

Obsah trojúhelníku vypočítáme jako polovinu součinu základny a výšky: $S = \frac{12 \cdot 5}{2} = 30\,\text{dm}^2$.

Obsah všech tří desek

Obsah jedné desky vynásobíme třemi: $3 \cdot 30 = 90\,\text{dm}^2$. Na všechny tři trojúhelníkové desky je dohromady použito 90 dm² dřevotřísky.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

90

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.2

Nájezdová rampa sestavená ze čtyř dřevotřískových desek je přistavena ke schodu. Nakloněnou čtvercovou desku rampy podpírají tři stejné trojúhelníkové desky. Hloubka rampy je 12 dm a výška rampy je 5 dm.

Vypočtěte, kolik dm² dřevotřísky je v hotové rampě použito na čtvercovou desku.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor rampy

Trojúhelníková podpěra má dvě navzájem kolmé strany dlouhé 12 dm a 5 dm. Její šikmá strana je přeponou a zároveň stranou čtvercové desky.

Délka strany čtverce

Použijeme Pythagorovu větu: $a^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$. Protože $13 \cdot 13 = 169$, strana čtvercové desky měří 13 dm.

Obsah čtvercové desky

Obsah čtverce vypočítáme jako stranu krát stranu: $S = 13 \cdot 13 = 169\ \mathrm{dm}^2$. Na čtvercovou desku je použito 169 dm² dřevotřísky.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

169

Stav úlohy
2 body
Úloha 8.1

Čtverec je rozdělen čtyřmi svislými úsečkami a jednou vodorovnou úsečkou na 10 shodných malých obdélníků. Každý z malých obdélníků má obvod 42 cm.

Vyjádřete v základním tvaru poměr délek sousedních stran jednoho malého obdélníku.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení čtverce

Čtverec je rozdělen na 5 sloupců a 2 řady. Kratší strana malého obdélníku je tedy pětina strany čtverce a delší strana je polovina téže strany čtverce.

Porovnání délek

Obě délky vyjádříme v desetinách strany čtverce. Pětina jsou 2 desetiny, polovina je 5 desetin. Kratší a delší strana malého obdélníku proto mají poměr 2 : 5.

Výsledek

Čísla 2 a 5 nemají společného dělitele většího než 1, takže poměr je již v základním tvaru. Poměr kratší a delší strany je 2 : 5.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

2 ∶ 5, příp. 5 ∶ 2

Stav úlohy
1 bod
Úloha 8.2

Čtverec je rozdělen čtyřmi svislými úsečkami a jednou vodorovnou úsečkou na 10 shodných malých obdélníků. Každý z malých obdélníků má obvod 42 cm.

Vypočtěte v cm délku strany čtverce.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry malého obdélníku

Označíme délku strany čtverce $a$. Čtverec má pět stejně širokých sloupců a dvě stejně vysoké řady. Malý obdélník má tedy strany $\frac{a}{5}$ a $\frac{a}{2}$.

Výpočet strany čtverce

Obvod obdélníku je 42 cm, takže součet jeho dvou různých stran je $42 : 2 = 21$ cm. Platí $\frac{a}{5} + \frac{a}{2} = 21$. Zlomky převedeme na společného jmenovatele: $\frac{2a + 5a}{10} = 21$. Proto $7a = 210$ a $a = 30$.

Ověření a výsledek

Malý obdélník má strany $30 : 5 = 6$ cm a $30 : 2 = 15$ cm. Jeho obvod je $2 \cdot (6 + 15) = 42$ cm, což souhlasí se zadáním. Strana čtverce měří 30 cm.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

30 cm

Stav úlohy
2 body
Úloha 9

V rovině leží bod B a přímka p, která prochází bodem A.

Body A, B jsou vrcholy rovnoramenného trojúhelníku ABC se základnou AB. Rameno AC leží na přímce p.

Sestrojte a označte písmenem chybějící vrchol C trojúhelníku ABC a trojúhelník narýsujte.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Oficiální klíč neobsahuje textová kritéria pro dílčí body. Porovnejte svou konstrukci se vzorovým řešením a body určete sami.

Vzorové řešení výše.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 2. řádný termín 2019, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
2 body
Úloha 10

V rovině leží přímka p a kružnice k se středem S. Bod A je jedním ze dvou průsečíků přímky p a kružnice k.

Bod A je vrchol čtverce ABCD, bod S leží uvnitř tohoto čtverce a na přímce p leží strana AB.
Právě dva ze čtyř vrcholů čtverce ABCD leží na kružnici k.

Sestrojte a označte písmeny chybějící vrcholy čtverce ABCD a čtverec narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Oficiální klíč neobsahuje textová kritéria pro dílčí body. Porovnejte svou konstrukci se vzorovým řešením a body určete sami.

Vzorové řešení výše.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 2. řádný termín 2019, úloha 10

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 11.1
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Do tabulky se zapisují počty telefonních hovorů tří dětí v prvním čtvrtletí kalendářního roku. Některé údaje chybí.V lednu měly všechny tři děti stejný počet hovorů.
Aleš měl v březnu o třetinu hovorů méně než v únoru.
Běla měla v březnu o polovinu hovorů více než v únoru.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V prvním čtvrtletí byl aritmetický průměr počtu hovorů Aleše za měsíc menší než 14.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet hovorů v lednu

V lednu měly všechny tři děti stejný počet hovorů a dohromady uskutečnily 36 hovorů. Aleš tedy měl $36 : 3 = 12$ hovorů.

Počet hovorů v únoru

Aleš měl v březnu 12 hovorů, což bylo o třetinu méně než v únoru. Těchto 12 hovorů jsou tedy dvě třetiny únorového počtu. Jedna třetina je $12 : 2 = 6$ hovorů, takže v únoru měl $6 \cdot 3 = 18$ hovorů.

Aritmetický průměr a výsledek

Za první čtvrtletí měl Aleš celkem $12 + 18 + 12 = 42$ hovorů. Aritmetický průměr za měsíc je $42 : 3 = 14$ hovorů. Průměr se rovná 14, takže není menší než 14. Tvrzení je nepravdivé, odpověď je N.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11.2
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Do tabulky se zapisují počty telefonních hovorů tří dětí v prvním čtvrtletí kalendářního roku. Některé údaje chybí.V lednu měly všechny tři děti stejný počet hovorů.
Aleš měl v březnu o třetinu hovorů méně než v únoru.
Běla měla v březnu o polovinu hovorů více než v únoru.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Běla měla za první čtvrtletí celkem 42 hovorů.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet hovorů v lednu

V lednu měly všechny tři děti stejný počet hovorů. Z tabulky víme, že dohromady měly 36 hovorů. Běla tedy měla v lednu 36 : 3 = 12 hovorů.

Počet hovorů v březnu

V únoru měla Běla podle tabulky 12 hovorů. V březnu měla o polovinu více. Polovina z 12 je 6, takže v březnu měla 12 + 6 = 18 hovorů.

Ověření tvrzení

Za první čtvrtletí měla Běla celkem 12 + 12 + 18 = 42 hovorů. Tvrzení je pravdivé, proto volíme A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11.3
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Do tabulky se zapisují počty telefonních hovorů tří dětí v prvním čtvrtletí kalendářního roku. Některé údaje chybí.V lednu měly všechny tři děti stejný počet hovorů.
Aleš měl v březnu o třetinu hovorů méně než v únoru.
Běla měla v březnu o polovinu hovorů více než v únoru.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V březnu měl Cyril třikrát méně hovorů než Běla.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet hovorů v lednu

V lednu měly všechny tři děti stejný počet hovorů, dohromady 36. Každé dítě tedy mělo 36 : 3 = 12 hovorů.

Běliny hovory v březnu

Běla měla v únoru 12 hovorů. V březnu měla o polovinu více, tedy 12 + 12 : 2 = 18 hovorů.

Cyrilovy hovory v březnu

Cyrilův měsíční průměr byl 9 hovorů, takže za tři měsíce měl celkem 3 · 9 = 27 hovorů. V lednu měl 12 a v únoru 9 hovorů. Na březen zbývá 27 − 12 − 9 = 6 hovorů.

Ověření tvrzení

Třetina Běliných 18 hovorů je 18 : 3 = 6, což odpovídá Cyrilovu počtu. Tvrzení je pravdivé, odpověď je A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 12

Kolik je α $\displaystyle +$ β?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

  • A) 90°
  • D) 112°
  • B) 92°
  • E) jiný výsledek
  • C) 102°
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vedlejší úhly

U paty vnitřní šikmé úsečky tvoří vyznačený úhel 116° a úhel na jeho levé straně přímý úhel. Úhel vlevo tedy měří 180° − 116° = 64°.

Výpočet úhlu φ

Trojúhelník mezi kolmicí, vnitřní šikmou úsečkou a základnou má u základny úhly 90° a 64°. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180°, proto u horního vrcholu vychází φ = 180° − 90° − 64° = 26°.

Součet úhlů α a β

Horní úhel celého trojúhelníku se skládá ze tří stejných úhlů φ, takže měří 3 · 26° = 78°. Na zbývající dva úhly připadá α + β = 180° − 78° = 102°. Správná je možnost C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 13

Rotační válec s podstavou o poloměru 5 cm stojící na vodorovné podložce jsme svislými řezy rozdělili na čtyři shodná nová tělesa.
Povrch válce byl šedý (včetně podstav), ale všechny nové plochy vytvořené rozříznutím jsou bílé.
Součet obsahů obou bílých ploch na jednom z nových těles je 80 cm².

Jaký je objem jednoho z nových těles?

Výsledek je zaokrouhlen na celé cm³.

  • A) menší než 125 cm³
  • D) 157 cm³
  • B) 126 cm³
  • E) větší než 158 cm³
  • C) 141 cm³
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výška tělesa

Každé nové těleso je čtvrtinou válce. Jeho dvě bílé plochy jsou shodné obdélníky, jejichž šířka je rovna poloměru válce, tedy 5 cm. Jeden obdélník má obsah $80 : 2 = 40\ \text{cm}^2$. Výška válce je proto $40 : 5 = 8\ \text{cm}$.

Objem celého válce

Objem válce vypočítáme jako obsah podstavy krát výška: $V = \pi r^2 v = \pi \cdot 5^2 \cdot 8 = 200\pi\ \text{cm}^3$.

Objem jednoho dílu

Čtyři díly jsou shodné, takže objem jednoho dílu je $200\pi : 4 = 50\pi \doteq 157{,}08\ \text{cm}^3$. Po zaokrouhlení na celé cm³ dostaneme 157 cm³. Správná je možnost D.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 14

Kryštof, Lenka a Marek sbírali do čtvrtlitrových hrnků borůvky.
Kryštof naplnil borůvkami třikrát více hrnků než Marek.
Lenka naplnila borůvkami o 50 % méně hrnků než Kryštof.
Kryštof naplnil borůvkami o 2 hrnky více než Lenka s Markem dohromady.

Označme $\displaystyle m$ neznámý počet hrnků, které naplnil borůvkami Marek.

Ze které z následujících rovnic lze v souladu se zadáním vypočítat $\displaystyle m$ ?

  • A) $\displaystyle 3m=2,5m+2$
  • D) $\displaystyle 3m=2,5m+2,5$
  • B) $\displaystyle 3m+2=2,5m$
  • E) $\displaystyle 3m-2=2m+50$
  • C) $\displaystyle 3m-2=2m+0,5$
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet hrnků každého sběrače

Marek naplnil $m$ hrnků. Kryštof naplnil třikrát tolik, tedy $3m$ hrnků. Lenka naplnila o 50 % méně než Kryštof, tedy polovinu jeho počtu: $3m : 2 = 1{,}5m$ hrnků.

Sestavení rovnice

Lenka s Markem naplnili dohromady $1{,}5m + m = 2{,}5m$ hrnků. Kryštof naplnil o 2 hrnky více než oni dohromady, proto k jejich počtu přičteme 2: $3m = 2{,}5m + 2$.

Ověření a výsledek

Z rovnice vyjde $0{,}5m = 2$, tedy $m = 4$. Marek naplnil 4 hrnky, Kryštof 12 a Lenka 6. Kryštofových 12 hrnků je opravdu o 2 více než $6 + 4 = 10$. Správná je možnost A: $3m = 2{,}5m + 2$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.1

V obchodě, v němž byla 20% sleva na veškeré zboží, Kamila zaplatila 400 korun.

Kolik korun by zaplatila, kdyby nedostala žádnou slevu?

  • A) 320 korun
  • D) 540 korun
  • B) 480 korun
  • E) 600 korun
  • C) 500 korun
  • F) jiný počet korun
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cena po slevě

Po slevě 20 % Kamila zaplatila 100 − 20 = 80 % původní ceny. Těchto 80 % odpovídá 400 korunám.

Původní cena

Nejdřív vypočítáme 1 % původní ceny: 400 : 80 = 5 korun. Potom vypočítáme celých 100 %: 5 · 100 = 500 korun.

Výsledek a ověření

Sleva 20 % z 500 korun je 100 korun. Po slevě tedy zaplatí 500 − 100 = 400 korun, což souhlasí se zadáním. Bez slevy by Kamila zaplatila 500 korun, správně je možnost C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.2

Svetr zdražili o 25 % a po čase jej zlevnili na 600 korun, tedy na 80 % ceny svetru po zdražení.

Kolik korun stál svetr ještě před zdražením?

  • A) 320 korun
  • D) 540 korun
  • B) 480 korun
  • E) 600 korun
  • C) 500 korun
  • F) jiný počet korun
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cena po zdražení

Po zlevnění stojí svetr 600 Kč. To je 80 % ceny po zdražení. Nejdřív vypočítáme 1 % a potom 100 %: $600 : 80 = 7{,}5$ a $7{,}5 \cdot 100 = 750$. Po zdražení tedy svetr stál 750 Kč.

Cena před zdražením

Zdražení o 25 % znamená, že 750 Kč je 125 % původní ceny. Jedno procento původní ceny je $750 : 125 = 6$ Kč. Původních 100 % tedy bylo $6 \cdot 100 = 600$ Kč.

Ověření a výsledek

Ověříme: 25 % z 600 Kč je 150 Kč, takže po zdražení dostaneme $600 + 150 = 750$ Kč. Potom 80 % ze 750 Kč je $750 \cdot 0{,}8 = 600$ Kč, jak uvádí zadání. Svetr před zdražením stál 600 korun. Správná možnost je E.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.3

V obou kapsách mám stejné množství peněz.
Nejprve polovinu částky z levé kapsy přendám do pravé kapsy.
Když pak dám 50 % částky z pravé kapsy opět do levé kapsy, v levé kapse budu mít 300 korun.

Kolik korun mám dohromady v obou kapsách?

  • A) 320 korun
  • D) 540 korun
  • B) 480 korun
  • E) 600 korun
  • C) 500 korun
  • F) jiný počet korun
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První přesunutí peněz

Na začátku je v obou kapsách stejně peněz. Částku v každé kapse si rozdělíme na 4 stejné díly, dohromady tedy máme 8 dílů. Polovina částky z levé kapsy jsou 2 díly. Po jejich přesunutí do pravé kapsy zbývají vlevo 2 díly a vpravo je 6 dílů.

Druhé přesunutí peněz

50 % znamená polovinu. Z pravé kapsy tedy vrátíme do levé polovinu ze 6 dílů, což jsou 3 díly. V levé kapse je nyní 2 + 3 = 5 dílů. Těchto 5 dílů má hodnotu 300 korun.

Výsledek a ověření

Jeden díl má hodnotu 300 : 5 = 60 korun. Dohromady máme stále 8 dílů, tedy 8 · 60 = 480 korun. Ověříme: na začátku je v každé kapse 240 korun. Po prvním přesunutí je vlevo 120 a vpravo 360 korun. Polovina z 360 je 180, takže po vrácení je vlevo 120 + 180 = 300 korun. Správná odpověď je B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.1

Při spuštění programu je obrazovka monitoru prázdná. Při každém pípnutí se situace na obrazovce mění:
Při prvním, třetím a každém lichém pípnutí se objeví 2 nové čárky $\displaystyle \vert$ .
Při druhém, čtvrtém a každém sudém pípnutí se objeví 2 nové pomlčky $\displaystyle -$ .
Při každém čtvrtém pípnutí však jedna nová pomlčka překříží jednu čárku na obrazovce a místo nich vidíme plus $\displaystyle +$ .
Na obrazovce tak mohou být tři různé symboly: „čárka“, „pomlčka“ a „plus“.

Určete, jaký je na obrazovce počet symbolů „pomlčka“ – při 10. pípnutí.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet nových pomlček

Pomlčky přibývají při sudých pípnutích: 2., 4., 6., 8. a 10. Celkem tedy pětkrát přibudou dvě nové pomlčky, což je $5 \cdot 2 = 10$ pomlček.

Vznik plusů

Při každém čtvrtém pípnutí se jedna nová pomlčka spojí s čárkou do plusu. Do 10. pípnutí se to stane při 4. a 8. pípnutí, tedy dvakrát. Tyto dvě pomlčky už nepočítáme jako samostatné symboly „pomlčka“.

Výsledek

Od deseti nových pomlček odečteme dvě, které jsou součástí plusů: $10 - 2 = 8$. Při 10. pípnutí je na obrazovce 8 symbolů „pomlčka“.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

8

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.2

Při spuštění programu je obrazovka monitoru prázdná. Při každém pípnutí se situace na obrazovce mění:
Při prvním, třetím a každém lichém pípnutí se objeví 2 nové čárky $\displaystyle \vert$ .
Při druhém, čtvrtém a každém sudém pípnutí se objeví 2 nové pomlčky $\displaystyle -$ .
Při každém čtvrtém pípnutí však jedna nová pomlčka překříží jednu čárku na obrazovce a místo nich vidíme plus $\displaystyle +$ .
Na obrazovce tak mohou být tři různé symboly: „čárka“, „pomlčka“ a „plus“.

Určete, jaký je na obrazovce počet všech symbolů při 60. pípnutí.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet bez překřížení

Při každém pípnutí přibudou 2 čárky nebo 2 pomlčky. Kdyby se nepřekřižovaly, po 60. pípnutí by bylo na obrazovce $60 \cdot 2 = 120$ symbolů.

Překřížení při každém čtvrtém pípnutí

Při každém čtvrtém pípnutí se z jedné čárky a jedné nové pomlčky stane jeden plus. Místo dvou symbolů tedy vidíme jeden, takže z celkového počtu odečteme 1. Do 60. pípnutí nastane $60 : 4 = 15$ takových překřížení.

Výsledek

Od počtu 120 odečteme 15: $120 - 15 = 105$. Při 60. pípnutí je na obrazovce 105 symbolů.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

105

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.3

Při spuštění programu je obrazovka monitoru prázdná. Při každém pípnutí se situace na obrazovce mění:
Při prvním, třetím a každém lichém pípnutí se objeví 2 nové čárky $\displaystyle \vert$ .
Při druhém, čtvrtém a každém sudém pípnutí se objeví 2 nové pomlčky $\displaystyle -$ .
Při každém čtvrtém pípnutí však jedna nová pomlčka překříží jednu čárku na obrazovce a místo nich vidíme plus $\displaystyle +$ .
Na obrazovce tak mohou být tři různé symboly: „čárka“, „pomlčka“ a „plus“.

Určete, jaký je na obrazovce počet symbolů „čárka“ | právě ve chvíli, kdy se objevil 7. symbol „plus“ +.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vznik sedmého plus

Jeden nový symbol plus vznikne při každém čtvrtém pípnutí. Sedmý plus se tedy objeví při $7 \cdot 4 = 28.$ pípnutí.

Počet vytvořených čárek

Do 28. pípnutí proběhne 14 lichých pípnutí. Při každém vzniknou 2 nové čárky, takže se celkem vytvoří $14 \cdot 2 = 28$ čárek.

Zbývající čárky a výsledek

Každý plus překryje jednu čárku, která už není vidět jako samostatný symbol. Sedm plusů tedy spotřebuje 7 čárek. Na obrazovce zbývá $28 - 7 = 21$ samostatných čárek. Počet symbolů čárka je 21.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

21

Stav úlohy
2 body