Načítání…
Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 9. ročník

Podkategorie: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2019

32 úloh

PDF+Klíč
Úloha 1

Vypočtěte tři pětiny z dvojnásobku čísla 15.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Dvojnásobek

V prvním kroku si musíme určit dvojnásobek čísla 15. To uděláme tak, že 15 vynásobíme dvěma:
$15 \cdot 2 = 30$

Tři pětiny

Teď potřebujeme zjistit tři pětiny z tohoto výsledku (z čísla 30). Nejdříve si vypočítáme, kolik je jedna pětina:
$30 : 5 = 6$
Tři pětiny pak získáme tak, že tuto jednu pětinu vynásobíme třemi:
$3 \cdot 6 = 18$

Výsledek

Tři pětiny z dvojnásobku čísla 15 je 18.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

18

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.1

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

11 hodin 17 minut $\displaystyle -$ 9 hodin 45 minut $\displaystyle = \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ minut

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na minuty

Nejprve si oba časy převedeme na minuty. Víme, že jedna hodina má 60 minut.
11 hodin 17 minut je $(11 \cdot 60) + 17 = 660 + 17 = 677$ minut.
9 hodin 45 minut je $(9 \cdot 60) + 45 = 540 + 45 = 585$ minut.

Výpočet rozdílu

Nyní od sebe oba časy v minutách odečteme:
$677 - 585 = 92$

Výsledek

Do rámečku patří číslo 92, protože rozdíl časů je 92 minut.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

92

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.2

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

28 m² $\displaystyle -$ $\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ dm² $\displaystyle =$ 2 300 dm² $\displaystyle +$ 2 300 cm²

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na stejné jednotky

Vše převedeme na dm². Protože 1 m² = 100 dm², je 28 m² = 2 800 dm². Protože 1 dm² = 100 cm², je 2 300 cm² = 23 dm².

Výpočet chybějícího čísla

Na pravé straně je dohromady 2 300 + 23 = 2 323 dm². Od 2 800 dm² tedy musíme odečíst 2 800 − 2 323 = 477 dm².

Výsledek a ověření

Do rámečku patří číslo 477. Ověříme: 2 800 − 477 = 2 323 a také 2 300 + 23 = 2 323. Obě strany rovnosti jsou stejné.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

477

Stav úlohy
1 bod
Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \left( 6-4 \right) \cdot \frac{11}{8} + \frac{9}{14} \cdot \frac{7}{6} =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet první části

Nejdříve vypočítáme hodnotu v závorce a vynásobíme ji zlomkem:
$(6 - 4) \cdot \frac{11}{8} = 2 \cdot \frac{11}{8} = \frac{11}{4}$

Krok 2: Výpočet druhé části

Poté vypočítáme součin dvou zlomků. Před násobením můžeme krátit (čísla 9 a 6 číslem 3, čísla 7 a 14 číslem 7):
$\frac{9}{14} \cdot \frac{7}{6} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$

Krok 3: Sečtení a základní tvar

Nakonec oba výsledky sečteme a zlomek upravíme do základního tvaru:
$\frac{11}{4} + \frac{3}{4} = \frac{14}{4} = \mathbf{\frac{7}{2}}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

7/2

Stav úlohy
2 body
Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2 \cdot 3}{6} - \frac{4}{2 \cdot 3} }{\displaystyle \frac{2+3}{6} } =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Úprava čitatele

V čitateli složeného zlomku nejdříve vypočítáme jednotlivé zlomky:
$\frac{2 \cdot 3}{6} - \frac{4}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} - \frac{4}{6} = 1 - \frac{2}{3} = \mathbf{\frac{1}{3}}$

Krok 2: Úprava jmenovatele

Ve jmenovateli složeného zlomku sečteme čísla v čitateli:
$\frac{2+3}{6} = \mathbf{\frac{5}{6}}$

Krok 3: Výpočet složeného zlomku

Složený zlomek $\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{6}}$ vypočítáme tak, že horní zlomek vynásobíme převrácenou hodnotou spodního zlomku:
$\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{1 \cdot 6}{3 \cdot 5} = \frac{6}{15}$

Krok 4: Základní tvar

Zlomek $\frac{6}{15}$ vykrátíme číslem 3, abychom dostali výsledek v základním tvaru:
$\frac{6 : 3}{15 : 3} = \mathbf{\frac{2}{5}}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

2/5

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.1

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle \left( 3 {\rm a} - 2 \right) \cdot \left( -2{\rm a} \right) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Roznásobení závorky

Každý člen v závorce vynásobíme výrazem $-2a$: $(3a-2)\cdot(-2a)=3a\cdot(-2a)+(-2)\cdot(-2a)$.

Výpočet součinů

Nejdřív vypočítáme $3a\cdot(-2a)=-6a^2$. Potom $(-2)\cdot(-2a)=4a$, protože součin dvou záporných čísel je kladný.

Výsledek

Členy s $a^2$ a s $a$ nemůžeme sloučit. Výsledný výraz bez závorek je $\boxed{-6a^2+4a}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

−6a²+4a

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.2

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle \left( 3 {\rm x} -4 \right) ^2 =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Druhá mocnina závorky

Druhá mocnina znamená, že výraz násobíme sám sebou: $(3x-4)^2=(3x-4)(3x-4)$.

Roznásobení

Každý člen první závorky vynásobíme každým členem druhé závorky: $3x\cdot3x+3x\cdot(-4)+(-4)\cdot3x+(-4)\cdot(-4)=9x^2-12x-12x+16$. Součin dvou záporných čísel je kladný.

Výsledek bez závorek

Sečteme členy s $x$: $-12x-12x=-24x$. Výsledný výraz je $\boxed{9x^2-24x+16}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

9x²−24x+16

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.3

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle \left( 2+ {\rm n} \right) \cdot \left( 3{\rm n} - 3 \right) + \left( 3{\rm n} - {\rm n} \right) \cdot 2 - {\rm n} \cdot \left( 3-5 \right) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Roznásobení závorek

V prvním součinu vynásobíme každý člen první závorky každým členem druhé závorky: $(2+n)(3n-3)=6n-6+3n^2-3n$.

Úprava zbývajících členů

Nejdřív vypočítáme rozdíly v závorkách: $(3n-n)\cdot 2=2n\cdot 2=4n$. Dále $3-5=-2$, takže $-n\cdot(3-5)=-n\cdot(-2)=2n$. Celý výraz je tedy $6n-6+3n^2-3n+4n+2n$.

Sečtení podobných členů a výsledek

Sečteme členy s $n$: $6n-3n+4n+2n=9n$. Člen $3n^2$ a číslo $-6$ ponecháme. Výsledný výraz bez závorek je $3n^2+9n-6$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

3n²+9n−6

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.1

Řešte rovnici:

$\displaystyle 0,6 {\rm x} - \frac{1}{2} =1,4 {\rm x} +1,5$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Členy s neznámou

Od obou stran rovnice $0{,}6x - 0{,}5 = 1{,}4x + 1{,}5$ odečteme $1{,}4x$. Dostaneme $-0{,}8x - 0{,}5 = 1{,}5$.

Výpočet neznámé

K oběma stranám přičteme $0{,}5$: $-0{,}8x = 2$. Potom obě strany vydělíme číslem $-0{,}8$: $x = 2 : (-0{,}8) = -2{,}5$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme $x = -2{,}5$. Levá strana: $0{,}6 \cdot (-2{,}5) - 0{,}5 = -1{,}5 - 0{,}5 = -2$. Pravá strana: $1{,}4 \cdot (-2{,}5) + 1{,}5 = -3{,}5 + 1{,}5 = -2$. Obě strany jsou stejné, řešením je tedy $x = -2{,}5$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-2,5

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.2

Řešte rovnici:

$\displaystyle \frac{3-2 {\rm y} }{3}= \frac{1 -2{\rm y}}{4} + \frac{{\rm y}+3}{6}$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění zlomků

Společný násobek jmenovatelů 3, 4 a 6 je 12. Celou rovnici vynásobíme číslem 12: $4(3-2y)=3(1-2y)+2(y+3)$.

Úprava rovnice

Roznásobíme závorky: $12-8y=3-6y+2y+6$. Na pravé straně sečteme čísla a členy s neznámou: $12-8y=9-4y$.

Výpočet neznámé

K oběma stranám přičteme $8y$: $12=9+4y$. Odečteme 9: $3=4y$. Vydělíme obě strany čtyřmi a dostaneme $y=\frac{3}{4}$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme $y=\frac{3}{4}$ do původní rovnice. Levá strana je $(3-2\cdot\frac{3}{4}):3=\frac{1}{2}$. Pravá strana je $(1-2\cdot\frac{3}{4}):4+(\frac{3}{4}+3):6=-\frac{1}{8}+\frac{5}{8}=\frac{1}{2}$. Obě strany se rovnají, takže řešením je $y=\frac{3}{4}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

0,75

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.1

Všichni chlapci atletického oddílu se seřadili do zástupu podle velikosti. Před Petrem stála jedna osmina celkového počtu chlapců. Hned za Petrem stál jeho bratr Radek a za Radkem ještě pět šestin celkového počtu chlapců.

Neznámý celkový počet chlapců atletického oddílu označte x.

V závislosti na veličině x vyjádřete počet chlapců, kteří stáli před Petrem.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

x/8

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.2

Všichni chlapci atletického oddílu se seřadili do zástupu podle velikosti. Před Petrem stála jedna osmina celkového počtu chlapců. Hned za Petrem stál jeho bratr Radek a za Radkem ještě pět šestin celkového počtu chlapců.

Neznámý celkový počet chlapců atletického oddílu označte x.

V závislosti na veličině x vyjádřete počet chlapců, kteří stáli za Petrem.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

5x/6+1

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.3

Všichni chlapci atletického oddílu se seřadili do zástupu podle velikosti. Před Petrem stála jedna osmina celkového počtu chlapců. Hned za Petrem stál jeho bratr Radek a za Radkem ještě pět šestin celkového počtu chlapců.

Neznámý celkový počet chlapců atletického oddílu označte x.

Vypočtěte celkový počet chlapců atletického oddílu.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Sestavení rovnice

Celkový počet chlapců označíme $x$. Před Petrem stojí $\frac{x}{8}$ chlapců a za Radkem $\frac{5x}{6}$ chlapců. Ještě započítáme Petra a Radka, tedy další dva chlapce. Dohromady je to celý oddíl: $\frac{x}{8}+2+\frac{5x}{6}=x$.

Výpočet celkového počtu

Rovnici vynásobíme číslem 24, abychom odstranili zlomky: $3x+48+20x=24x$. Sečteme členy s $x$: $23x+48=24x$. Od obou stran odečteme $23x$ a dostaneme $x=48$.

Ověření a výsledek

Před Petrem stojí $48:8=6$ chlapců. Za Radkem stojí $(48:6)\cdot5=40$ chlapců. Celkem tedy $6+1+1+40=48$, což odpovídá zadání. V atletickém oddílu je 48 chlapců.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

48

Stav úlohy
2 body
Úloha 7.1

Na obrázku jsou sestaveny dvě různé dvojice ozubených koleček.
Šedé kolečko má 15 zubů a obě bílá kolečka 24 zubů.
Černé kolečko, které má méně zubů než bílé, se za každých 5 sekund otočí třikrát.

Pro první dvojici koleček určete, kolikrát se musí otočit šedé kolečko, než se poprvé obě kolečka vrátí do výchozí polohy.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Podmínka návratu

V první dvojici má šedé kolečko 15 zubů a bílé 24 zubů. Obě se vrátí do výchozí polohy, když každé dokončí celý počet otáček. Při otáčení projde místem záběru stejný počet zubů obou koleček, takže hledáme nejmenší společný násobek čísel 15 a 24.

Společný počet zubů

Rozložíme počty zubů: $15 = 3 \cdot 5$ a $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$. Nejmenší společný násobek je $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 120$.

Počet otáček a výsledek

Šedé kolečko se otočí $120 : 15 = 8$krát, bílé $120 : 24 = 5$krát. Obě tedy dokončí celé otáčky. Protože jsme použili nejmenší společný násobek, je to jejich první společný návrat. Šedé kolečko se musí otočit 8krát.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

8

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.2

Na obrázku jsou sestaveny dvě různé dvojice ozubených koleček.
Šedé kolečko má 15 zubů a obě bílá kolečka 24 zubů.
Černé kolečko, které má méně zubů než bílé, se za každých 5 sekund otočí třikrát.

Určete, kolikrát se černé kolečko otočí za 5 minut.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod času

Černé kolečko se za každých 5 sekund otočí třikrát. Nejdřív převedeme 5 minut na sekundy: $5 \cdot 60 = 300$ sekund.

Počet otáček

V 300 sekundách je $300 : 5 = 60$ pětisekundových úseků. V každém z nich udělá kolečko 3 otáčky, takže dohromady udělá $60 \cdot 3 = 180$ otáček.

Výsledek

Černé kolečko se za 5 minut otočí 180krát.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

180

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.3

Na obrázku jsou sestaveny dvě různé dvojice ozubených koleček.
Šedé kolečko má 15 zubů a obě bílá kolečka 24 zubů.
Černé kolečko, které má méně zubů než bílé, se za každých 5 sekund otočí třikrát.

Ve druhé dvojici koleček se obě kolečka vrátí do výchozí polohy poprvé po dvou otáčkách bílého kolečka.

Vypočtěte, kolik zubů má černé kolečko.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pohyb koleček

Při otáčení projde místem, kde do sebe kolečka zapadají, stejný počet zubů obou koleček. Za dvě otáčky bílého kolečka je to $2 \cdot 24 = 48$ zubů. Černé kolečko se přitom musí otočit přesně o celý počet otáček, takže jeho počet zubů musí dělit 48 a být menší než 24.

Určení počtu zubů

Dělitelé čísla 48 menší než 24 jsou 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 a 16. Všechna tato čísla kromě 16 dělí také 24. S takovým počtem zubů by se obě kolečka vrátila do výchozí polohy už po jedné otáčce bílého kolečka. To odporuje zadání, proto zbývá pouze 16.

Ověření a výsledek

Po jedné otáčce bílého kolečka vykoná černé $24 : 16 = 1{,}5$ otáčky, takže ještě není ve výchozí poloze. Po dvou otáčkách bílého vykoná černé $48 : 16 = 3$ celé otáčky a obě kolečka se poprvé vrátí do výchozí polohy. Černé kolečko má 16 zubů.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

16

Stav úlohy
2 body
Úloha 8.1

Z místa A do místa B šla Iva přímou cestou dlouhou 2 km. Dan šel z místa A do místa B vycházkovou trasou, která má tvar půlkružnice.

Vypočtěte, kolikrát delší byla cesta Dana než cesta Ivy.

(Výsledek zaokrouhlete na setiny.)

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Poloměr půlkružnice

Ivina přímá cesta z A do B tvoří průměr půlkružnice a měří 2 km. Poloměr je polovina průměru: $r = 2 : 2 = 1$ km.

Délka Danovy cesty

Dan jde po půlkružnici, tedy po polovině obvodu kruhu. Obvod celého kruhu je $2\pi r$, proto Danova cesta měří $2\pi r : 2 = \pi r = \pi$ km.

Porovnání délek a výsledek

Délku Danovy cesty vydělíme délkou Iviny cesty: $\pi : 2 \doteq 1{,}5708$. Po zaokrouhlení na setiny byla Danova cesta 1,57krát delší než Ivina.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1,57

Stav úlohy
1 bod
Úloha 8.2

Z místa A do místa B šla Iva přímou cestou dlouhou 2 km. Dan šel z místa A do místa B vycházkovou trasou, která má tvar půlkružnice.

Vypočtěte, o kolik kilometrů více ušel Dan než Iva.

(Výsledek zaokrouhlete na setiny km.)

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Průměr a poloměr

Přímá cesta Ivy z A do B tvoří průměr půlkružnice a měří 2 km. Poloměr je polovina průměru: $r = 2 : 2 = 1$ km.

Délka Danovy trasy

Dan jde po půlkružnici, takže ujde polovinu obvodu kružnice. Jeho trasa měří $2\pi r : 2 = \pi r = \pi \cdot 1 \approx 3{,}14159$ km.

Rozdíl délek

Od délky Danovy trasy odečteme 2 km, které ušla Iva: $\pi - 2 \approx 1{,}14159$ km. Po zaokrouhlení na setiny Dan ušel o 1,14 km více než Iva.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1,14

Stav úlohy
1 bod
Úloha 9

V rovině leží přímka KL.

Body K, L jsou vrcholy trojúhelníku KLM. Velikost úhlu LKM je 30°. Vzdálenost bodu L od bodu K je stejná jako vzdálenost bodu L od bodu M.

Sestrojte jeden trojúhelník KLM.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Oficiální klíč neobsahuje textová kritéria pro dílčí body. Porovnejte svou konstrukci se vzorovým řešením a body určete sami.

Vzorové řešení výše.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2019, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
2 body
Úloha 10

V rovině leží přímka c a mimo ni dva různé body B, D.

Body B, D jsou vrcholy obdélníku ABCD. Vrchol C obdélníku ABCD leží na přímce c.

1. Sestrojte a označte písmenem chybějící vrchol C obdélníku ABCD.
2. Sestrojte a označte písmenem chybějící vrchol A obdélníku ABCD a obdélník narýsujte.

Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

2 řešení

1 řešení

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2019, úloha 10

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 11.1
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Škola má dvě deváté třídy (9. A a 9. B).
V 9. A je třikrát více chlapců než dívek a celkem je v této třídě 24 žáků.
Počet všech žáků 9. B je o třetinu větší než počet všech žáků 9. A.
V 9. B je poměr počtu dívek a počtu chlapců (v uvedeném pořadí) 3 : 5.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V 9.A je poměr počtu dívek a počtu chlapců (v uvedeném pořadí) 1 : 2.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení žáků na díly

V 9. A je třikrát více chlapců než dívek. Počet dívek tedy představuje 1 díl a počet chlapců 3 stejné díly. Celkem 24 žáků rozdělíme na 4 díly: $24 : 4 = 6$.

Poměr dívek a chlapců

Dívek je 6 a chlapců je $3 \cdot 6 = 18$. Poměr počtu dívek a počtu chlapců je $6 : 18$. Obě čísla vydělíme 6 a dostaneme $1 : 3$.

Posouzení tvrzení

Skutečný poměr je $1 : 3$, ale tvrzení uvádí $1 : 2$. Tvrzení je proto nepravdivé. Odpověď: N.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11.2
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Škola má dvě deváté třídy (9. A a 9. B).
V 9. A je třikrát více chlapců než dívek a celkem je v této třídě 24 žáků.
Počet všech žáků 9. B je o třetinu větší než počet všech žáků 9. A.
V 9. B je poměr počtu dívek a počtu chlapců (v uvedeném pořadí) 3 : 5.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Celkový počet dívek z obou 9. tříd je stejný jako počet chlapců v 9.A.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počty žáků v 9. A

Na jeden díl dívek připadají tři stejné díly chlapců. Celkem tedy rozdělíme 24 žáků na 4 stejné díly: $24 : 4 = 6$. V 9. A je 6 dívek a $3 \cdot 6 = 18$ chlapců.

Počet dívek v 9. B

Třetina z 24 je $24 : 3 = 8$, takže v 9. B je $24 + 8 = 32$ žáků. Poměr dívek a chlapců je $3 : 5$, tedy dohromady 8 dílů. Jeden díl tvoří $32 : 8 = 4$ žáci. Dívek je $3 \cdot 4 = 12$.

Porovnání a výsledek

V obou třídách je dohromady $6 + 12 = 18$ dívek. V 9. A je také 18 chlapců. Počty jsou stejné, proto je tvrzení pravdivé. Odpověď je A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11.3
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Škola má dvě deváté třídy (9. A a 9. B).
V 9. A je třikrát více chlapců než dívek a celkem je v této třídě 24 žáků.
Počet všech žáků 9. B je o třetinu větší než počet všech žáků 9. A.
V 9. B je poměr počtu dívek a počtu chlapců (v uvedeném pořadí) 3 : 5.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V 9.B je počet dívek o 8 menší než počet chlapců.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet žáků v 9. B

V 9. A je 24 žáků. V 9. B je žáků o třetinu více. Třetina z 24 je $24 : 3 = 8$, takže v 9. B je $24 + 8 = 32$ žáků.

Rozdělení podle poměru

Poměr počtu dívek a chlapců je $3 : 5$. Dohromady je to $3 + 5 = 8$ stejných dílů. Jeden díl představuje $32 : 8 = 4$ žáky. Dívek je $3 \cdot 4 = 12$ a chlapců $5 \cdot 4 = 20$.

Ověření tvrzení

Rozdíl mezi počtem chlapců a dívek je $20 - 12 = 8$. Dívek je tedy opravdu o 8 méně než chlapců. Tvrzení je pravdivé, odpověď je A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 12

Jaká je velikost úhlu α?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

  • A) 88°
  • D) 94°
  • B) 90°
  • E) jiná velikost
  • C) 92°
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vedlejší úhly

Pravá strana kosočtverce je prodloužena do spodního vrcholu trojúhelníku. Úhel 68° a vnitřní úhel kosočtverce u pravého dolního vrcholu jsou proto vedlejší úhly. Jejich součet je 180°, takže vnitřní úhel kosočtverce měří 180° − 68° = 112°.

Protilehlé úhly kosočtverce

Značky na stranách ukazují, že všechny čtyři strany mají stejnou délku, tedy jde o kosočtverec. Jeho protilehlé úhly jsou stejně velké. Úhel u levého horního vrcholu označený α + 24° tedy také měří 112°.

Výsledek

Od 112° odečteme přidaných 24°: α = 112° − 24° = 88°. Správná je možnost A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 13

Čtverec se stranou délky 17 cm je rozdělen na šedý šestiúhelník a dva shodné bílé trojúhelníky.
Nejdelší strana bílého trojúhelníku má délku 17 cm.
Nejkratší strana šedého šestiúhelníku měří 2 cm.

Jaký je obsah šedého šestiúhelníku?

  • A) 127 cm²
  • D) 177 cm²
  • B) 144 cm²
  • E) jiný obsah
  • C) 169 cm²
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Bílé trojúhelníky jsou pravoúhlé, protože leží v rozích čtverce. Svislá odvěsna levého dolního trojúhelníku měří $17 - 2 = 15$ cm. Jeho nejdelší strana je přepona a měří 17 cm.

Délka druhé odvěsny

Druhou odvěsnu označíme $b$. Podle Pythagorovy věty platí $b^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$, tedy $b = 8$ cm.

Obsah bílých trojúhelníků

Obsah jednoho bílého trojúhelníku je $15 \cdot 8 : 2 = 60$ cm². Trojúhelníky jsou shodné, takže dohromady mají obsah $2 \cdot 60 = 120$ cm².

Obsah šedého šestiúhelníku

Čtverec má obsah $17 \cdot 17 = 289$ cm². Odečteme obsah obou bílých trojúhelníků: $289 - 120 = 169$ cm². Šedý šestiúhelník má obsah 169 cm², správná je možnost C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 14

Krychle byla slepena z 27 malých bílých krychliček o hraně délky 2 cm. Dvě malé krychličky jsme odstranili, a vzniklo tak nové těleso. Všechny dostupné plochy nového tělesa jsme obarvili na šedo (i zespodu).

Jaký je celkový obsah šedých ploch nového tělesa?

  • A) menší než 236 cm²
  • D) 244 cm²
  • B) 236 cm²
  • E) větší než 244 cm²
  • C) 240 cm²
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Povrch původní krychle

Podél každé hrany jsou 3 krychličky, takže velká krychle má hranu 3 · 2 = 6 cm. Její povrch včetně spodní stěny je 6 · 6 · 6 = 216 cm². Jedna stěna malé krychličky má obsah 2 · 2 = 4 cm².

Výřez uprostřed přední stěny

Krychlička uprostřed přední stěny měla na povrchu jen 1 stěnu. Jejím odstraněním tato stěna zmizí a odkryje se 5 stěn sousedních krychliček. Povrch se tedy zvětší o (5 − 1) · 4 = 16 cm².

Výřez na horní pravé hraně

Druhá krychlička ležela uprostřed horní pravé hrany. Na povrchu měla 2 stěny a po jejím odstranění se odkryjí 4 stěny sousedních krychliček. Povrch se zvětší o (4 − 2) · 4 = 8 cm². Odstraněné krychličky spolu nesousedily celou stěnou, proto můžeme obě změny sečíst.

Celkový obsah šedých ploch

Sečteme původní povrch a obě zvětšení: 216 + 16 + 8 = 240 cm². Celkový obsah šedých ploch je 240 cm², tedy správná možnost je C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.1

Cena jedné židle se snížila o 25 % na 1 800 korun.

Kolik korun stála jedna židle před snížením ceny?

  • A) 2 160 korun
  • D) 2 400 korun
  • B) 2 250 korun
  • E) 2 500 korun
  • C) 2 340 korun
  • F) jiný počet korun
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cena po slevě

Původní cena je 100 %. Po snížení o 25 % zbývá 100 − 25 = 75 %. Částka 1 800 Kč tedy odpovídá 75 % původní ceny.

Výpočet původní ceny

Nejdřív vypočítáme 1 %: 1 800 : 75 = 24 Kč. Potom vypočítáme 100 %: 24 · 100 = 2 400 Kč.

Ověření a výsledek

Čtvrtina z 2 400 Kč je 600 Kč. Po slevě tedy zaplatíme 2 400 − 600 = 1 800 Kč, což souhlasí se zadáním. Židle před snížením ceny stála 2 400 Kč, správná je možnost D.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.2

Výrobek po zdražení o 20 % stojí 2 700 korun.

Kolik korun stál výrobek před zdražením?

  • A) 2 160 korun
  • D) 2 400 korun
  • B) 2 250 korun
  • E) 2 500 korun
  • C) 2 340 korun
  • F) jiný počet korun
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cena po zdražení

Původní cena představuje 100 %. Po zdražení o 20 % představuje nová cena 120 % původní ceny. Těchto 120 % odpovídá 2 700 Kč.

Výpočet původní ceny

Nejdřív vypočítáme 1 % původní ceny: 2 700 : 120 = 22,50 Kč. Potom vypočítáme 100 %: 22,50 · 100 = 2 250 Kč.

Ověření a odpověď

20 % z 2 250 Kč je 450 Kč. Po zdražení tedy výrobek stojí 2 250 + 450 = 2 700 Kč, což souhlasí se zadáním. Před zdražením stál 2 250 Kč. Správná je možnost B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.3

Jana na lyžařské brýle přispěla 40 %, chybějících 900 korun za lyžařské brýle doplatil strýc.
Cena za lyžařské brýle tvořila 60 % celé útraty za nákup lyžařských doplňků.

Kolik korun činila celá útrata za nákup lyžařských doplňků?

  • A) 2 160 korun
  • D) 2 400 korun
  • B) 2 250 korun
  • E) 2 500 korun
  • C) 2 340 korun
  • F) jiný počet korun
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cena lyžařských brýlí

Jana zaplatila 40 % ceny brýlí, takže strýc doplatil zbývajících 100 − 40 = 60 %. Těchto 60 % je 900 Kč. Jedno procento ceny je 900 : 60 = 15 Kč, a celá cena brýlí je tedy 15 · 100 = 1 500 Kč.

Celá útrata

Cena brýlí 1 500 Kč tvořila 60 % celé útraty. Jedno procento útraty je 1 500 : 60 = 25 Kč. Celých 100 % je tedy 25 · 100 = 2 500 Kč.

Ověření a výsledek

Ověříme: 60 % z 2 500 Kč je 1 500 Kč a 60 % z 1 500 Kč je strýcových 900 Kč. Celá útrata činila 2 500 Kč, správná je možnost E.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.1

Na čtvercovou desku s lichým počtem políček rozmístíme žetony obdobným způsobem jako na obrázku a rozmístění a počty žetonů zaznamenáme do tabulky.Následující kroky popisují, jak rozmístíme žetony na čtvercovou desku.
První krok:
Na každé políčko po obvodu desky položíme 1 žeton.
Následující kroky:
Vybereme vždy všechna prázdná políčka, která bezprostředně sousedí s obsazenými políčky, a na každé z nich položíme o 1 žeton více, než jsme pokládali na jednotlivá políčka v předchozím kroku.
Největší počet žetonů tak bude na prostředním políčku desky.

Čtvercová deska má na prostředním políčku 9 žetonů.

Určete, kolik políček je v každé řadě této čtvercové desky.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vrstvy žetonů

Na obvodu leží na každém políčku 1 žeton. V každé další vrstvě směrem ke středu přibude na políčku 1 žeton. Prostřední políčko s 9 žetony proto obsadíme v devátém kroku. Z každé strany mu předchází 8 vrstev.

Počet políček v řadě

V prostřední řadě je vlevo od středu 8 políček, uprostřed 1 políčko a vpravo dalších 8 políček. Dohromady tedy $8 + 1 + 8 = 17$. Ověříme: od okraje ke středu počty žetonů postupně rostou od 1 do 9, což odpovídá 8 políčkům a jednomu prostřednímu. Čtvercová deska má v každé řadě 17 políček.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

17

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.2

Na čtvercovou desku s lichým počtem políček rozmístíme žetony obdobným způsobem jako na obrázku a rozmístění a počty žetonů zaznamenáme do tabulky.Následující kroky popisují, jak rozmístíme žetony na čtvercovou desku.
První krok:
Na každé políčko po obvodu desky položíme 1 žeton.
Následující kroky:
Vybereme vždy všechna prázdná políčka, která bezprostředně sousedí s obsazenými políčky, a na každé z nich položíme o 1 žeton více, než jsme pokládali na jednotlivá políčka v předchozím kroku.
Největší počet žetonů tak bude na prostředním políčku desky.

Žetony rozmístíme na čtvercovou desku, která má 9 × 9 políček.

Určete počet všech políček, na nichž leží právě 2 žetony.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Políčka se dvěma žetony

Na vnějším obvodu desky 9 × 9 leží po jednom žetonu. Uvnitř zbývá čtverec 7 × 7 políček. Právě dva žetony položíme na jeho obvod, stejně jako na obvod vnitřního čtverce v ukázce.

Počet políček na obvodu

Horní a dolní řada vnitřního čtverce mají každá 7 políček. Na levé a pravé straně připočítáme po 5 políčkách, protože rohy už jsme započítali. Dohromady je to 7 + 7 + 5 + 5 = 24 políček.

Výsledek

Právě dva žetony leží na 24 políčkách.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

24

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.3

Na čtvercovou desku s lichým počtem políček rozmístíme žetony obdobným způsobem jako na obrázku a rozmístění a počty žetonů zaznamenáme do tabulky.Následující kroky popisují, jak rozmístíme žetony na čtvercovou desku.
První krok:
Na každé políčko po obvodu desky položíme 1 žeton.
Následující kroky:
Vybereme vždy všechna prázdná políčka, která bezprostředně sousedí s obsazenými políčky, a na každé z nich položíme o 1 žeton více, než jsme pokládali na jednotlivá políčka v předchozím kroku.
Největší počet žetonů tak bude na prostředním políčku desky.

Žetony rozmístíme na dvě čtvercové desky, z nichž jedna má 9 × 9 políček, druhá 11 × 11 políček.

Určete, o kolik více žetonů je na větší desce než na menší desce.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Porovnání vnitřních políček

Když z desky 11 × 11 vynecháme vnější obvod, zbude čtverec 9 × 9, stejně velký jako menší deska. Na jeho obvodu jsou 2 žetony místo 1, v další vrstvě 3 místo 2 a tak dále až ke středu. Na každém z těchto 9 · 9 = 81 políček je tedy o 1 žeton více než na menší desce. Dohromady je zde o 81 žetonů více.

Žetony na vnějším obvodu

Vnější obvod větší desky má 4 · 11 − 4 = 40 políček. Odečítáme 4, protože při počítání čtyř stran jsme každý roh započítali dvakrát. Na každém obvodovém políčku je 1 žeton, takže tento obvod přidává dalších 40 žetonů.

Výsledek

Sečteme oba přírůstky: 81 + 40 = 121. Na větší desce je o 121 žetonů více než na menší desce.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

121

Stav úlohy
2 body