Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 9. ročník

Podkategorie: Matematika 9. ročník — 2. řádný termín 2018

31 úloh

Úloha 1

Vypočtěte tři sedminy ze součinu čísel 21 a 14.

Zobrazit odpověď

126

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Součin čísel

Nejprve vypočítáme součin čísel 21 a 14: $21 \cdot 14 = 294$

Tři sedminy ze součinu

Tři sedminy z vypočítaného čísla 294 získáme tak, že jej vydělíme sedmi (tím získáme jednu sedminu) a poté vynásobíme třemi: $294 : 7 = 42$ $42 \cdot 3 = 126$

Výsledek

Tři sedminy ze součinu čísel 21 a 14 je 126.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 2.1

Vypočtěte:

$\displaystyle 100+1 \div \sqrt{6400+60 ^2 } =$

Zobrazit odpověď

100,01

1 bod
Úloha 2.2

Vypočtěte:

$\displaystyle 0,005 \cdot 10 ^2 - 1,2 \div 0,02 =$

Zobrazit odpověď

-59,5

1 bod
Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \left( 0,5+ \frac{2}{5} \right) \div \left( 2- \frac{7}{8} \right) =$

Zobrazit odpověď

4/5

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet první závorky

Desetinné číslo $0,5$ si převedeme na zlomek $\frac{1}{2}$. Poté oba zlomky v první závorce převedeme na společného jmenovatele $10$ a sečteme je: $0,5 + \frac{2}{5} = \frac{1}{2} + \frac{2}{5} = \frac{5}{10} + \frac{4}{10} = \frac{9}{10}$

Výpočet druhé závorky

Celé číslo $2$ v druhé závorce si vyjádříme jako zlomek se jmenovatelem $8$, abychom od něj mohli odečíst zlomek $\frac{7}{8}$: $2 - \frac{7}{8} = \frac{16}{8} - \frac{7}{8} = \frac{9}{8}$

Dělení zlomků

Dosadíme výsledky obou závorek a zlomky vydělíme. Dělení zlomkem znamená násobení jeho převrácenou hodnotou: $\frac{9}{10} \div \frac{9}{8} = \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{9}$

Krácení a výsledek

Před násobením zlomky vykrátíme (křížem). Devítky v čitateli a jmenovateli se zkrátí na jedničky a zbyde nám: $\frac{8}{10}$ Tento výsledek nakonec ještě zkrátíme do základního tvaru tak, že čitatele i jmenovatele vydělíme číslem $2$: $\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{3 \cdot \displaystyle \frac{2}{9} - \displaystyle \frac{3}{5} \div \displaystyle \frac{6}{15} }{2} =$

Zobrazit odpověď

-5/12

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Násobení a dělení v čitateli

Nejdříve vypočítáme násobení a dělení v čitateli.

Při násobení zlomku celým číslem vynásobíme čitatele: $3 \cdot \frac{2}{9} = \frac{6}{9}$, což po zkrácení třemi dává $\frac{2}{3}$.

Dělení zlomkem převedeme na násobení zlomkem převráceným: $\frac{3}{5} \div \frac{6}{15} = \frac{3}{5} \cdot \frac{15}{6}$

Zlomky před vynásobením zkrátíme do kříže ($3$ a $6$ třemi, $5$ a $15$ pěti): $\frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

Odčítání v čitateli

Vypočítané hodnoty odečteme. Zlomky převedeme na společného jmenovatele $6$: $\frac{2}{3} - \frac{3}{2} = \frac{4}{6} - \frac{9}{6} = -\frac{5}{6}$

Úprava složeného zlomku

Získaný čitatel dosadíme zpět do celého výrazu. Hlavní zlomková čára znamená dělení: $\frac{-\frac{5}{6}}{2} = -\frac{5}{6} \div 2$

Dělení celým číslem $2$ můžeme zapsat jako násobení zlomkem $\frac{1}{2}$: $-\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{5}{12}$
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 4.1

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle \left( 2+3a \right) ^2 - \left( 2-3a \right) ^2 =$

Zobrazit odpověď

24a

2 body
Úloha 4.2

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot n \cdot \left( 2-3n \right) + 3 \cdot \left( n + 2n \right) - n \cdot \left( 3-n \right) =$

Zobrazit odpověď

-(1/2)n²+7n

2 body
Úloha 5.1

Řešte rovnici:

$\displaystyle {\rm x} \cdot \left( {\rm x} +2 \right) +0,6= {\rm x} \cdot {\rm x} + \frac{1}{5}$

Zobrazit odpověď

-1/5

2 body
Úloha 5.2

Řešte rovnici:

$\displaystyle \frac{2y-3}{4} -2 \cdot \frac{y}{5} = \frac{2-y}{2} -1$

Zobrazit odpověď

5/4

2 body
Úloha 6.1

Tři chlapci se přemístili od startu do cíle po třech různých trasách A, B, C vždy za stejný čas. Adam trasu A dlouhou 1 500 m ujel na koloběžce. Bedřich trasu B dlouhou 600 m ušel pěšky. Cyril na trase C nasedl na koloběžku až po 90 m pěší chůze, koloběžku pak zanechal 60 m před cílem a do cíle došel pěšky.
Adam jezdí na koloběžce stejně rychle jako Cyril. Cyril chodí pěšky stejně rychle jako Bedřich. Časové ztráty při nasedání na koloběžku a odkládání koloběžky zanedbáváme.

Vypočtěte, kolikrát je jízda na koloběžce rychlejší než pěší chůze.

Zobrazit odpověď

2,5

1 bod
Úloha 6.2

Tři chlapci se přemístili od startu do cíle po třech různých trasách A, B, C vždy za stejný čas. Adam trasu A dlouhou 1 500 m ujel na koloběžce. Bedřich trasu B dlouhou 600 m ušel pěšky. Cyril na trase C nasedl na koloběžku až po 90 m pěší chůze, koloběžku pak zanechal 60 m před cílem a do cíle došel pěšky.
Adam jezdí na koloběžce stejně rychle jako Cyril. Cyril chodí pěšky stejně rychle jako Bedřich. Časové ztráty při nasedání na koloběžku a odkládání koloběžky zanedbáváme.

Adam s Cyrilem vystartovali současně.

Vyjádřete zlomkem, jakou část trasy měl za sebou Adam v okamžiku, kdy Cyril nasedl na koloběžku.

Zobrazit odpověď

3/20

1 bod
Úloha 6.3

Tři chlapci se přemístili od startu do cíle po třech různých trasách A, B, C vždy za stejný čas. Adam trasu A dlouhou 1 500 m ujel na koloběžce. Bedřich trasu B dlouhou 600 m ušel pěšky. Cyril na trase C nasedl na koloběžku až po 90 m pěší chůze, koloběžku pak zanechal 60 m před cílem a do cíle došel pěšky.
Adam jezdí na koloběžce stejně rychle jako Cyril. Cyril chodí pěšky stejně rychle jako Bedřich. Časové ztráty při nasedání na koloběžku a odkládání koloběžky zanedbáváme.

Vypočtěte, kolik metrů ujel Cyril na koloběžce.

Zobrazit odpověď

1125

2 body
Úloha 7.1

Nad dvěma stranami trojúhelníku ABC jsou sestrojeny čtverce.
Obsah čtverce nad stranou BC je 25 cm².
Velikost výšky $\displaystyle {\rm v}_{\rm c}$ na stranu AB je 3 cm.
Pata P výšky $\displaystyle {\rm v}_{\rm c}$ dělí stranu AB v poměru 2 : 1.
Strana AC je delší než strana BC.

Vypočtěte v cm délku strany AB.

Zobrazit odpověď

12 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Délka strany BC

Obsah čtverce nad stranou BC je $25\text{ cm}^2$. Strana tohoto čtverce je zároveň stranou BC trojúhelníku. Délka strany BC je tedy $5\text{ cm}$, protože $5 \cdot 5 = 25$.

Délka úseku PB

Výška (úsečka CP) je kolmá na stranu AB. V pravoúhlém trojúhelníku PBC známe přeponu $BC = 5\text{ cm}$ a odvěsnu $CP = 3\text{ cm}$. Pomocí Pythagorovy věty vypočítáme odvěsnu PB: $PB^2 + 3^2 = 5^2$ $PB^2 + 9 = 25$ $PB^2 = 16$ $PB = 4\text{ cm}$

Rozdělení strany AB

Pata výšky P dělí stranu AB v poměru $2 : 1$. Znamená to, že jeden úsek je dvakrát delší než druhý. Protože je strana AC delší než BC, musí být i úsek AP delší než PB. Platí tedy poměr $AP : PB = 2 : 1$. Když je $PB = 4\text{ cm}$, tak úsek AP je dvakrát delší: $AP = 2 \cdot 4 = 8\text{ cm}$

Délka strany AB

Strana AB se skládá z úseků AP a PB. Její celková délka je jejich součtem: $AB = 8 + 4 = 12\text{ cm}$
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 7.2

Nad dvěma stranami trojúhelníku ABC jsou sestrojeny čtverce.
Obsah čtverce nad stranou BC je 25 cm².
Velikost výšky $\displaystyle {\rm v}_{\rm c}$ na stranu AB je 3 cm.
Pata P výšky $\displaystyle {\rm v}_{\rm c}$ dělí stranu AB v poměru 2 : 1.
Strana AC je delší než strana BC.

Vypočtěte v cm² obsah čtverce nad stranou AC

Zobrazit odpověď

73 cm²

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet délky úsečky BP

Pata výšky $P$ leží na straně $AB$. Výška $v_c$ (úsečka $CP$) je na stranu $AB$ kolmá, takže trojúhelník $ABC$ je rozdělen na dva pravoúhlé trojúhelníky: $APC$ a $BPC$.

Obsah čtverce nad stranou $BC$ je $25\,{\rm cm}^2$. Obsah čtverce odpovídá druhé mocnině jeho strany ($S = a^2$), proto přímo platí $BC^2 = 25$.

V pravoúhlém trojúhelníku $BPC$ využijeme Pythagorovu větu k výpočtu odvěsny $BP$: $BC^2 = BP^2 + CP^2$

Známe délku výšky $CP = 3\,{\rm cm}$. Dosadíme známé hodnoty: $25 = BP^2 + 3^2$ $25 = BP^2 + 9$ $BP^2 = 16$ $BP = 4\,{\rm cm}$

Určení délky úsečky AP

Ze zadání víme, že pata $P$ dělí stranu $AB$ v poměru $2 : 1$. To znamená, že jeden z úseků ($AP$ nebo $BP$) je dvakrát delší než ten druhý.

Dále víme, že strana $AC$ je delší než strana $BC$. Oba pravoúhlé trojúhelníky ($APC$ a $BPC$) sdílejí společnou odvěsnu $CP$. Aby byla přepona $AC$ delší než přepona $BC$, musí být odvěsna $AP$ delší než odvěsna $BP$.

Délka $AP$ je tedy dvakrát větší než $BP$: $AP = 2 \cdot 4 = 8\,{\rm cm}$

Výpočet obsahu čtverce nad stranou AC

Naším úkolem je vypočítat obsah čtverce nad stranou $AC$, což je z definice druhá mocnina délky strany ($AC^2$).

Použijeme Pythagorovu větu pro pravoúhlý trojúhelník $APC$: $AC^2 = AP^2 + CP^2$ $AC^2 = 8^2 + 3^2$ $AC^2 = 64 + 9$ $AC^2 = 73$

Obsah čtverce nad stranou $AC$ je roven $73\,{\rm cm}^2$.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 8.1

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

80 dm³ $\displaystyle -$ $\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ $\displaystyle \cdot$ 400 cm³ $\displaystyle =$ 20 dm³

Zobrazit odpověď

150

1 bod
Úloha 8.2

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

$\displaystyle \left( 5 + \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}} \right)$ minut $\displaystyle = \frac{2}{5}$ hodiny $\displaystyle - \frac{1}{4}$ hodiny

Zobrazit odpověď

4

1 bod
Úloha 9.1

V pravoúhlém trojúhelníku ABC sestrojte a popište výšky $\displaystyle {\rm v}_{\rm a}$ , $\displaystyle {\rm v}_{\rm b}$ , $\displaystyle {\rm v}_{\rm c}$ .

Zobrazit odpověď
Odpověď
1 bod
Úloha 9.2

V rovině leží přímka AB a mimo ni bod M.

Úsečka AB je přepona c pravoúhlého trojúhelníku ABC. Bod M leží na kterékoli z jeho tří výšek $\displaystyle {\rm v}_{\rm a}$ , $\displaystyle {\rm v}_{\rm b}$ , $\displaystyle {\rm v}_{\rm c}$ .

Sestrojte chybějící vrchol C trojúhelníku ABC a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

(Neuvažujte o řešení, kdy bod M leží vně trojúhelníku.)

Zobrazit odpověď
Odpověď
3 body
Úloha 10

V rovině leží polopřímka AX a přímka o.

Bod A je vrchol rovnoramenného lichoběžníku ABCD s osou souměrnosti o. Vrchol D tohoto lichoběžníku leží na polopřímce AX. Strany AB a AD mají stejnou délku.

Sestrojte a popište chybějící vrcholy lichoběžníku ABCD a lichoběžník narýsujte

Zobrazit odpověď
Odpověď
2 body
Úloha 11.1
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Na kružnici k, jejíž délka je 20 $\displaystyle \pi$ cm, leží vrcholy čtverce ABCD.
Čtverec je rozdělen na dva trojúhelníky a lichoběžník DBEF.
Délka úsečky BD je dvojnásobkem délky úsečky EF.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Výška lichoběžníku DBEF je 10 cm.

Zobrazit odpověď

Ne

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor kružnice a čtverce

Ze zadání víme, že délka kružnice je $20 \pi$ cm. Vzorec pro délku kružnice je $l = \pi \cdot d$, kde $d$ je průměr. Průměr naší kružnice je tedy $20$ cm. Protože vrcholy čtverce leží na kružnici, tvoří jeho úhlopříčka (například úsečka $BD$) průměr této kružnice. Délka úhlopříčky $BD$ je proto $20$ cm.

Výška velkého trojúhelníku

Úhlopříčka $BD$ rozděluje čtverec na dva stejné pravoúhlé trojúhelníky. Zaměříme se na trojúhelník $BCD$. Ve čtverci jsou na sebe úhlopříčky kolmé a navzájem se půlí. Vzdálenost vrcholu $C$ od základny $BD$ (což je výška trojúhelníku $BCD$) je proto přesně polovina druhé úhlopříčky $AC$. Výška velkého trojúhelníku $BCD$ je tedy $20 : 2 = 10$ cm.

Výška lichoběžníku

Lichoběžník $DBEF$ má dvě rovnoběžné základny, $BD$ a $EF$. Trojúhelník $CEF$ je díky tomu zmenšenou kopií velkého trojúhelníku $BCD$. Zadání říká, že úsečka $EF$ je dvakrát menší než $BD$. Všechny rozměry malého trojúhelníku $CEF$ proto musí být poloviční oproti velkému trojúhelníku. Výška malého trojúhelníku $CEF$ je $10 : 2 = 5$ cm.

Závěr

Výšku lichoběžníku $DBEF$ získáme tak, že od výšky velkého trojúhelníku odečteme výšku malého trojúhelníku. Výška lichoběžníku je $10 - 5 = 5$ cm. Tvrzení v zadání říká, že výška lichoběžníku je $10$ cm, což není pravda.
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 11.2
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Na kružnici k, jejíž délka je 20 $\displaystyle \pi$ cm, leží vrcholy čtverce ABCD.
Čtverec je rozdělen na dva trojúhelníky a lichoběžník DBEF.
Délka úsečky BD je dvojnásobkem délky úsečky EF.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Lichoběžník DBEF má obsah 75 cm².

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Délka úhlopříčky čtverce

Kružnice $k$ je čtverci opsaná, její průměr je proto roven délce úhlopříčky čtverce.
Vzorec pro délku kružnice je $o = \pi \cdot d$.
Dosadíme zadanou délku kružnice: $20\pi = \pi \cdot d$, z čehož vyplývá, že průměr kružnice, a tedy i úhlopříčka $BD$, měří 20 cm.

Obsah poloviny čtverce

Úhlopříčka $BD$ rozděluje čtverec $ABCD$ na dva stejné pravoúhlé trojúhelníky ($\Delta ABD$ a $\Delta BCD$).
Obsah čtverce můžeme spočítat z úhlopříčky jako $S = \frac{d^2}{2}$.
$S = \frac{20^2}{2} = \frac{400}{2} = 200\text{ cm}^2$.
Polovina čtverce, tedy trojúhelník $BCD$, ve kterém leží náš lichoběžník, má obsah $200 \div 2 = 100\text{ cm}^2$.

Obsah malého trojúhelníku

Z obrázku a zadání víme, že $DBEF$ je lichoběžník. Jelikož jeho dvě strany leží na stranách čtverce, které na sebe navazují v pravém úhlu u vrcholu $C$, tyto strany nemohou být rovnoběžné. Rovnoběžné musí být základny lichoběžníku $BD$ a $EF$.
Díky tomu je menší trojúhelník $FCE$ zmenšenou podobnou kopií trojúhelníku $BCD$.
Ze zadání víme, že délka $BD$ je dvojnásobkem délky $EF$. To znamená, že základna menšího trojúhelníku je poloviční, a stejně tak i jeho výška. Jeho obsah proto bude čtvrtinový ($S = \frac{1}{4} S_{BCD}$).
Obsah trojúhelníku $FCE$ je tedy $100 \div 4 = 25\text{ cm}^2$.

Obsah lichoběžníku a závěr

Lichoběžník $DBEF$ získáme tak, že z velkého trojúhelníku $BCD$ „odstřihneme“ malý trojúhelník $FCE$.
Jeho obsah spočítáme jako rozdíl obsahů těchto dvou trojúhelníků: $100 - 25 = 75\text{ cm}^2$.
Tvrzení ze zadání je proto pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 11.3
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Na kružnici k, jejíž délka je 20 $\displaystyle \pi$ cm, leží vrcholy čtverce ABCD.
Čtverec je rozdělen na dva trojúhelníky a lichoběžník DBEF.
Délka úsečky BD je dvojnásobkem délky úsečky EF.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah lichoběžníku DBEF tvoří tři osminy obsahu čtverce ABCD.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku a vztahu obrazců

Úhlopříčka $DB$ rozděluje čtverec $ABCD$ na dva stejné pravoúhlé trojúhelníky, $ABD$ a $CDB$. Obsah trojúhelníku $CDB$ tvoří přesně polovinu obsahu čtverce.

Tento trojúhelník $CDB$ se dále skládá z malého trojúhelníku $CFE$ a lichoběžníku $DBEF$.

Obsah malého trojúhelníku

Lichoběžník $DBEF$ má rovnoběžné základny, takže úsečka $EF$ je rovnoběžná s úhlopříčkou $DB$.

Ze zadání víme, že délka $DB$ je dvojnásobkem délky $EF$, což znamená, že úsečka $EF$ je poloviční. Trojúhelník $CFE$ má proto všechny rozměry (délku základny i k ní příslušnou výšku) dvakrát menší než velký trojúhelník $CDB$.

Pokud se rozměry zmenší na polovinu, obsah trojúhelníku se zmenší čtyřikrát. Obsah trojúhelníku $CFE$ je tedy $\frac{1}{4}$ obsahu velkého trojúhelníku $CDB$.

Obsah lichoběžníku

Trojúhelník $CDB$ si můžeme představit rozdělený na 4 stejné dílky. Malý trojúhelník $CFE$ zabírá 1 dílek, takže na lichoběžník $DBEF$ zbydou 3 dílky. Lichoběžník proto zabírá $\frac{3}{4}$ obsahu trojúhelníku $CDB$.

Nyní spočítáme, jakou část celého čtverce to představuje. Trojúhelník $CDB$ tvoří $\frac{1}{2}$ obsahu čtverce a lichoběžník z ní zabírá $\frac{3}{4}$:

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$

Obsah lichoběžníku $DBEF$ skutečně tvoří tři osminy obsahu čtverce $ABCD$. Tvrzení je pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 12

Rovinný obrazec ABCDE je osově souměrný podle osy o procházející bodem B.

Úhly neměřte, ale vypočtěte.

Jaká je velikost úhlu β?

  • A) menší než 100°
  • D) 120°
  • B) 100°
  • E) větší než 120°
  • C) 110°
Zobrazit odpověď

D

2 body
Úloha 13

Kolmý hranol, jehož podstavy tvoří pravoúhlé trojúhelníky, má stejný objem jako kvádr.

Jaký je chybějící rozměr kvádru?

  • A) 8 dm
  • D) 16 dm
  • B) 12 dm
  • E) jiný počet dm
  • C) 15 dm
Zobrazit odpověď

B

2 body
Úloha 14

Jeden kilogram jablek byl zlevněn o třetinu ceny. Za 5 kg zlevněných jablek se tak zaplatí o 18 Kč méně než za 4 kg jablek před slevou.

Která z následujících rovnic odpovídá zadání úlohy, jestliže neznámá $\displaystyle {\rm x}$ představuje cenu za 1 kg jablek před slevou?

  • A) $\displaystyle 5 \cdot \displaystyle \frac{2 {\rm x} }{3} + 18 = 4 {\rm x}$
  • D) $\displaystyle 5 \left( {\rm x} -18 \right) = \frac{2}{3} \cdot 4 {\rm x}$
  • B) $\displaystyle 5 {\rm x} +18=4 \cdot \frac{4 {\rm x} }{3}$
  • E) $\displaystyle 5 {\rm x} +18=4 \cdot \left( {\rm x} + \frac{1}{3} \right)$
  • C) $\displaystyle 5 \left( {\rm x} - \frac{1}{3} \right) = 4 {\rm x} + 18$
Zobrazit odpověď

A

2 body
Úloha 15.1

Číslo 420 je o 20 % větší než neznámé číslo.

Jaké je neznámé číslo?

  • A) menší než 320
  • D) 350
  • B) 320
  • E) 360
  • C) 340
  • F) větší než 360
Zobrazit odpověď

D

2 body
Úloha 15.2

48 % neznámého čísla je o 51 větší než 33 % téhož neznámého čísla.

Jaké je neznámé číslo?

  • A) menší než 320
  • D) 350
  • B) 320
  • E) 360
  • C) 340
  • F) větší než 360
Zobrazit odpověď

C

2 body
Úloha 15.3

Poměr dvou čísel je 1 : 3. Polovina většího z nich je 135.

Jaký je součet obou čísel?

  • A) menší než 320
  • D) 350
  • B) 320
  • E) 360
  • C) 340
  • F) větší než 360
Zobrazit odpověď

E

2 body
Úloha 16.1

Na obrazovce počítače jsou dvě čísla – jedno v modrém a druhé v červeném poli.
Na počátku jsou obě čísla stejná.
Při každém pípnutí se obě čísla současně zvětší. V modrém poli se číslo zvětší vždy o 6.
Přírůstky čísla v červeném poli se pravidelně střídají – jednou se číslo zvětší o 3, při dalším pípnutí o 5, potom znovu o 3, o 5, o 3, o 5, o 3 atd.
V jednu chvíli se na obrazovce objeví v modrém poli číslo 500 a současně v červeném poli číslo 400.

Určete, jaké číslo je v modrém poli na počátku

Zobrazit odpověď

200

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Přírůstky po dvou pípnutích

V modrém poli se číslo při každém pípnutí zvětší o 6. Při dvou pípnutích se tedy zvětší o $6 + 6 = 12$.
V červeném poli se při prvním pípnutí zvětší o 3 a při druhém o 5. Celkem se tedy při dvou pípnutích zvětší o $3 + 5 = 8$.

Zvětšování rozdílu

Na začátku byla obě čísla stejná. Při každých dvou pípnutích se modré pole zvětší o 12 a červené o 8. Rozdíl mezi nimi se tedy každá dvě pípnutí zvětší o $12 - 8 = 4$. To je stejné, jako kdyby se rozdíl zvětšoval o 2 při každém jednom pípnutí ($4 \div 2 = 2$).

Celkový počet pípnutí

Na konci je v modrém poli 500 a v červeném 400. Rozdíl mezi nimi je tedy $500 - 400 = 100$.
Protože se rozdíl zvětšil o 2 při každém pípnutí, muselo proběhnout celkem $100 \div 2 = 50$ pípnutí.

Výpočet počátečního čísla

V modrém poli je na konci číslo 500. Víme, že proběhlo 50 pípnutí a při každém se číslo zvětšilo o 6. Celkový přírůstek v modrém poli byl tedy $50 \cdot 6 = 300$.
Na počátku muselo být v modrém poli číslo: $500 - 300 = \mathbf{200}$.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 16.2

Na obrazovce počítače jsou dvě čísla – jedno v modrém a druhé v červeném poli.
Na počátku jsou obě čísla stejná.
Při každém pípnutí se obě čísla současně zvětší. V modrém poli se číslo zvětší vždy o 6.
Přírůstky čísla v červeném poli se pravidelně střídají – jednou se číslo zvětší o 3, při dalším pípnutí o 5, potom znovu o 3, o 5, o 3, o 5, o 3 atd.
V jednu chvíli se na obrazovce objeví v modrém poli číslo 500 a současně v červeném poli číslo 400.

Určete, o kolik se zvětší číslo v modrém poli, zatímco se číslo v červeném poli zvětší o 123.

Zobrazit odpověď

186

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza nárůstu v červeném poli

V červeném poli se přírůstky střídají: nejdříve +3, pak +5. Jedna dvojice pípnutí tedy znamená celkový nárůst o $3 + 5 = 8$.

Počet pípnutí pro nárůst 123

Potřebujeme zjistit, kolik pípnutí odpovídá celkovému nárůstu 123 v červeném poli. Vydělíme 123 osmi (nárůst za dvojici pípnutí):
123 : 8 = 15 (zbytek 3).
To znamená 15 celých dvojic pípnutí (tj. 30 pípnutí) a jedno další pípnutí, které přidá právě ty zbývající 3. Celkem tedy proběhne 31 pípnutí.

Výpočet v modrém poli

V modrém poli se číslo s každým pípnutím zvětší o 6. Pro 31 pípnutí vypočítáme celkový nárůst jako:
$31 \cdot 6 = 186$.

Závěr

Zatímco se číslo v červeném poli zvětší o 123, číslo v modrém poli se zvětší o 186.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 16.3

Na obrazovce počítače jsou dvě čísla – jedno v modrém a druhé v červeném poli.
Na počátku jsou obě čísla stejná.
Při každém pípnutí se obě čísla současně zvětší. V modrém poli se číslo zvětší vždy o 6.
Přírůstky čísla v červeném poli se pravidelně střídají – jednou se číslo zvětší o 3, při dalším pípnutí o 5, potom znovu o 3, o 5, o 3, o 5, o 3 atd.
V jednu chvíli se na obrazovce objeví v modrém poli číslo 500 a současně v červeném poli číslo 400.

Určete číslo v červeném poli v okamžiku, kdy je o 444 menší než číslo v modrém poli.

Zobrazit odpověď

1088

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Změna rozdílu mezi poli

Modré číslo se při každém pípnutí zvětší o 6. Červené číslo se zvětšuje střídavě o 3 a o 5. Během dvou pípnutí se tedy modré pole zvětší celkem o $12$ ($6 + 6$), zatímco červené pole se zvětší celkem o $8$ ($3 + 5$).
Rozdíl mezi modrým a červeným polem se tak během každých dvou pípnutí zvětší o $4$ ($12 - 8$).

Počet pípnutí do známého stavu

Víme, že v jednu chvíli je v modrém poli 500 a v červeném 400. Rozdíl mezi nimi je $100$ ($500 - 400$).
Protože se rozdíl zvětší o 4 každá dvě pípnutí, zjistíme počet dvojic pípnutí jako $100 \div 4 = 25$. Od začátku tedy proběhlo celkem $50$ pípnutí ($25 \cdot 2$).

Počáteční hodnota

Na začátku byla obě čísla stejná. Modré číslo se po 50 pípnutích zvětšilo o $300$ ($50 \cdot 6$) a dosáhlo hodnoty 500. Počáteční hodnota v obou polích tedy byla $500 - 300 = 200$.

Stav při rozdílu 444

Hledáme okamžik, kdy je rozdíl mezi poli 444. Počet dvojic pípnutí od začátku zjistíme jako $444 \div 4 = 111$. Celkem tedy musí proběhnout $222$ pípnutí ($111 \cdot 2$).

Výpočet čísla v červeném poli

Během 222 pípnutí (neboli 111 dvojic) se červené číslo zvětšilo o $111 \cdot 8 = 888$.
K tomuto přírůstku přičteme počáteční hodnotu 200 a získáme výsledné číslo: $200 + 888 = 1088$.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body