Vypočtěte tři sedminy ze součinu čísel 21 a 14.
Zobrazit odpověď
126
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Součin čísel
$21 \cdot 14 = 294$
Tři sedminy ze součinu
$294 : 7 = 42$
$42 \cdot 3 = 126$
Výsledek
Vypočtěte:
$\displaystyle 100+1 \div \sqrt{6400+60 ^2 } =$
Zobrazit odpověď
100,01
Vypočtěte:
$\displaystyle 0,005 \cdot 10 ^2 - 1,2 \div 0,02 =$
Zobrazit odpověď
-59,5
Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.
$\displaystyle \left( 0,5+ \frac{2}{5} \right) \div \left( 2- \frac{7}{8} \right) =$
Zobrazit odpověď
4/5
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Výpočet první závorky
$0,5 + \frac{2}{5} = \frac{1}{2} + \frac{2}{5} = \frac{5}{10} + \frac{4}{10} = \frac{9}{10}$
Výpočet druhé závorky
$2 - \frac{7}{8} = \frac{16}{8} - \frac{7}{8} = \frac{9}{8}$
Dělení zlomků
$\frac{9}{10} \div \frac{9}{8} = \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{9}$
Krácení a výsledek
$\frac{8}{10}$
Tento výsledek nakonec ještě zkrátíme do základního tvaru tak, že čitatele i jmenovatele vydělíme číslem $2$:
$\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.
$\displaystyle \frac{3 \cdot \displaystyle \frac{2}{9} - \displaystyle \frac{3}{5} \div \displaystyle \frac{6}{15} }{2} =$
Zobrazit odpověď
-5/12
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Násobení a dělení v čitateli
Při násobení zlomku celým číslem vynásobíme čitatele: $3 \cdot \frac{2}{9} = \frac{6}{9}$, což po zkrácení třemi dává $\frac{2}{3}$.
Dělení zlomkem převedeme na násobení zlomkem převráceným:
$\frac{3}{5} \div \frac{6}{15} = \frac{3}{5} \cdot \frac{15}{6}$
Zlomky před vynásobením zkrátíme do kříže ($3$ a $6$ třemi, $5$ a $15$ pěti):
$\frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$
Odčítání v čitateli
$\frac{2}{3} - \frac{3}{2} = \frac{4}{6} - \frac{9}{6} = -\frac{5}{6}$
Úprava složeného zlomku
$\frac{-\frac{5}{6}}{2} = -\frac{5}{6} \div 2$
Dělení celým číslem $2$ můžeme zapsat jako násobení zlomkem $\frac{1}{2}$:
$-\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{5}{12}$
Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):
$\displaystyle \left( 2+3a \right) ^2 - \left( 2-3a \right) ^2 =$
Zobrazit odpověď
24a
Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):
$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot n \cdot \left( 2-3n \right) + 3 \cdot \left( n + 2n \right) - n \cdot \left( 3-n \right) =$
Zobrazit odpověď
-(1/2)n²+7n
Řešte rovnici:
$\displaystyle {\rm x} \cdot \left( {\rm x} +2 \right) +0,6= {\rm x} \cdot {\rm x} + \frac{1}{5}$
Zobrazit odpověď
-1/5
Řešte rovnici:
$\displaystyle \frac{2y-3}{4} -2 \cdot \frac{y}{5} = \frac{2-y}{2} -1$
Zobrazit odpověď
5/4
Tři chlapci se přemístili od startu do cíle po třech různých trasách A, B, C vždy za stejný čas. Adam trasu A dlouhou 1 500 m ujel na koloběžce. Bedřich trasu B dlouhou 600 m ušel pěšky. Cyril na trase C nasedl na koloběžku až po 90 m pěší chůze, koloběžku pak zanechal 60 m před cílem a do cíle došel pěšky.
Adam jezdí na koloběžce stejně rychle jako Cyril. Cyril chodí pěšky stejně rychle jako Bedřich. Časové ztráty při nasedání na koloběžku a odkládání koloběžky zanedbáváme.
Vypočtěte, kolikrát je jízda na koloběžce rychlejší než pěší chůze.
Zobrazit odpověď
2,5
Tři chlapci se přemístili od startu do cíle po třech různých trasách A, B, C vždy za stejný čas. Adam trasu A dlouhou 1 500 m ujel na koloběžce. Bedřich trasu B dlouhou 600 m ušel pěšky. Cyril na trase C nasedl na koloběžku až po 90 m pěší chůze, koloběžku pak zanechal 60 m před cílem a do cíle došel pěšky.
Adam jezdí na koloběžce stejně rychle jako Cyril. Cyril chodí pěšky stejně rychle jako Bedřich. Časové ztráty při nasedání na koloběžku a odkládání koloběžky zanedbáváme.
Adam s Cyrilem vystartovali současně.
Vyjádřete zlomkem, jakou část trasy měl za sebou Adam v okamžiku, kdy Cyril nasedl na koloběžku.
Zobrazit odpověď
3/20
Tři chlapci se přemístili od startu do cíle po třech různých trasách A, B, C vždy za stejný čas. Adam trasu A dlouhou 1 500 m ujel na koloběžce. Bedřich trasu B dlouhou 600 m ušel pěšky. Cyril na trase C nasedl na koloběžku až po 90 m pěší chůze, koloběžku pak zanechal 60 m před cílem a do cíle došel pěšky.
Adam jezdí na koloběžce stejně rychle jako Cyril. Cyril chodí pěšky stejně rychle jako Bedřich. Časové ztráty při nasedání na koloběžku a odkládání koloběžky zanedbáváme.
Vypočtěte, kolik metrů ujel Cyril na koloběžce.
Zobrazit odpověď
1125
Nad dvěma stranami trojúhelníku ABC jsou sestrojeny čtverce.
Obsah čtverce nad stranou BC je 25 cm².
Velikost výšky $\displaystyle {\rm v}_{\rm c}$ na stranu AB je 3 cm.
Pata P výšky $\displaystyle {\rm v}_{\rm c}$ dělí stranu AB v poměru 2 : 1.
Strana AC je delší než strana BC.
Vypočtěte v cm délku strany AB.
Zobrazit odpověď
12 cm
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Délka strany BC
Délka úseku PB
$PB^2 + 3^2 = 5^2$
$PB^2 + 9 = 25$
$PB^2 = 16$
$PB = 4\text{ cm}$
Rozdělení strany AB
$AP = 2 \cdot 4 = 8\text{ cm}$
Délka strany AB
$AB = 8 + 4 = 12\text{ cm}$
Nad dvěma stranami trojúhelníku ABC jsou sestrojeny čtverce.
Obsah čtverce nad stranou BC je 25 cm².
Velikost výšky $\displaystyle {\rm v}_{\rm c}$ na stranu AB je 3 cm.
Pata P výšky $\displaystyle {\rm v}_{\rm c}$ dělí stranu AB v poměru 2 : 1.
Strana AC je delší než strana BC.
Vypočtěte v cm² obsah čtverce nad stranou AC
Zobrazit odpověď
73 cm²
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Výpočet délky úsečky BP
Obsah čtverce nad stranou $BC$ je $25\,{\rm cm}^2$. Obsah čtverce odpovídá druhé mocnině jeho strany ($S = a^2$), proto přímo platí $BC^2 = 25$.
V pravoúhlém trojúhelníku $BPC$ využijeme Pythagorovu větu k výpočtu odvěsny $BP$:
$BC^2 = BP^2 + CP^2$
Známe délku výšky $CP = 3\,{\rm cm}$. Dosadíme známé hodnoty:
$25 = BP^2 + 3^2$
$25 = BP^2 + 9$
$BP^2 = 16$
$BP = 4\,{\rm cm}$
Určení délky úsečky AP
Dále víme, že strana $AC$ je delší než strana $BC$. Oba pravoúhlé trojúhelníky ($APC$ a $BPC$) sdílejí společnou odvěsnu $CP$. Aby byla přepona $AC$ delší než přepona $BC$, musí být odvěsna $AP$ delší než odvěsna $BP$.
Délka $AP$ je tedy dvakrát větší než $BP$:
$AP = 2 \cdot 4 = 8\,{\rm cm}$
Výpočet obsahu čtverce nad stranou AC
Použijeme Pythagorovu větu pro pravoúhlý trojúhelník $APC$:
$AC^2 = AP^2 + CP^2$
$AC^2 = 8^2 + 3^2$
$AC^2 = 64 + 9$
$AC^2 = 73$
Obsah čtverce nad stranou $AC$ je roven $73\,{\rm cm}^2$.
Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:
80 dm³ $\displaystyle -$ $\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ $\displaystyle \cdot$ 400 cm³ $\displaystyle =$ 20 dm³
Zobrazit odpověď
150
Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:
$\displaystyle \left( 5 + \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}} \right)$ minut $\displaystyle = \frac{2}{5}$ hodiny $\displaystyle - \frac{1}{4}$ hodiny
Zobrazit odpověď
4
V pravoúhlém trojúhelníku ABC sestrojte a popište výšky $\displaystyle {\rm v}_{\rm a}$ , $\displaystyle {\rm v}_{\rm b}$ , $\displaystyle {\rm v}_{\rm c}$ .
Zobrazit odpověď
Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT
Oficiální klíč neobsahuje textová kritéria pro dílčí body. Porovnejte svou konstrukci se vzorovým řešením a body určete sami.
Vzorové řešení výše.
Zdroj: Matematika 9. ročník — 2. řádný termín 2018, úloha 9.1
Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.
V rovině leží přímka AB a mimo ni bod M.
Úsečka AB je přepona c pravoúhlého trojúhelníku ABC. Bod M leží na kterékoli z jeho tří výšek $\displaystyle {\rm v}_{\rm a}$ , $\displaystyle {\rm v}_{\rm b}$ , $\displaystyle {\rm v}_{\rm c}$ .
Sestrojte chybějící vrchol C trojúhelníku ABC a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.
(Neuvažujte o řešení, kdy bod M leží vně trojúhelníku.)
Zobrazit odpověď
Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT
Oficiální klíč neobsahuje textová kritéria pro dílčí body. Porovnejte svou konstrukci se vzorovým řešením a body určete sami.
Vzorové řešení výše.
Zdroj: Matematika 9. ročník — 2. řádný termín 2018, úloha 9.2
Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.
V rovině leží polopřímka AX a přímka o.
Bod A je vrchol rovnoramenného lichoběžníku ABCD s osou souměrnosti o. Vrchol D tohoto lichoběžníku leží na polopřímce AX. Strany AB a AD mají stejnou délku.
Sestrojte a popište chybějící vrcholy lichoběžníku ABCD a lichoběžník narýsujte
Zobrazit odpověď
Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT
Oficiální klíč neobsahuje textová kritéria pro dílčí body. Porovnejte svou konstrukci se vzorovým řešením a body určete sami.
Vzorové řešení výše.
Zdroj: Matematika 9. ročník — 2. řádný termín 2018, úloha 10
Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.
Na kružnici k, jejíž délka je 20 $\displaystyle \pi$ cm, leží vrcholy čtverce ABCD.
Čtverec je rozdělen na dva trojúhelníky a lichoběžník DBEF.
Délka úsečky BD je dvojnásobkem délky úsečky EF.
Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
Výška lichoběžníku DBEF je 10 cm.
Zobrazit odpověď
Ne
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Rozbor kružnice a čtverce
Výška velkého trojúhelníku
Výška lichoběžníku
Závěr
Na kružnici k, jejíž délka je 20 $\displaystyle \pi$ cm, leží vrcholy čtverce ABCD.
Čtverec je rozdělen na dva trojúhelníky a lichoběžník DBEF.
Délka úsečky BD je dvojnásobkem délky úsečky EF.
Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
Lichoběžník DBEF má obsah 75 cm².
Zobrazit odpověď
Ano
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Délka úhlopříčky čtverce
Vzorec pro délku kružnice je $o = \pi \cdot d$.
Dosadíme zadanou délku kružnice: $20\pi = \pi \cdot d$, z čehož vyplývá, že průměr kružnice, a tedy i úhlopříčka $BD$, měří 20 cm.
Obsah poloviny čtverce
Obsah čtverce můžeme spočítat z úhlopříčky jako $S = \frac{d^2}{2}$.
$S = \frac{20^2}{2} = \frac{400}{2} = 200\text{ cm}^2$.
Polovina čtverce, tedy trojúhelník $BCD$, ve kterém leží náš lichoběžník, má obsah $200 \div 2 = 100\text{ cm}^2$.
Obsah malého trojúhelníku
Díky tomu je menší trojúhelník $FCE$ zmenšenou podobnou kopií trojúhelníku $BCD$.
Ze zadání víme, že délka $BD$ je dvojnásobkem délky $EF$. To znamená, že základna menšího trojúhelníku je poloviční, a stejně tak i jeho výška. Jeho obsah proto bude čtvrtinový ($S = \frac{1}{4} S_{BCD}$).
Obsah trojúhelníku $FCE$ je tedy $100 \div 4 = 25\text{ cm}^2$.
Obsah lichoběžníku a závěr
Jeho obsah spočítáme jako rozdíl obsahů těchto dvou trojúhelníků: $100 - 25 = 75\text{ cm}^2$.
Tvrzení ze zadání je proto pravdivé.
Na kružnici k, jejíž délka je 20 $\displaystyle \pi$ cm, leží vrcholy čtverce ABCD.
Čtverec je rozdělen na dva trojúhelníky a lichoběžník DBEF.
Délka úsečky BD je dvojnásobkem délky úsečky EF.
Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
Obsah lichoběžníku DBEF tvoří tři osminy obsahu čtverce ABCD.
Zobrazit odpověď
Ano
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Rozbor obrázku a vztahu obrazců
Tento trojúhelník $CDB$ se dále skládá z malého trojúhelníku $CFE$ a lichoběžníku $DBEF$.
Obsah malého trojúhelníku
Ze zadání víme, že délka $DB$ je dvojnásobkem délky $EF$, což znamená, že úsečka $EF$ je poloviční. Trojúhelník $CFE$ má proto všechny rozměry (délku základny i k ní příslušnou výšku) dvakrát menší než velký trojúhelník $CDB$.
Pokud se rozměry zmenší na polovinu, obsah trojúhelníku se zmenší čtyřikrát. Obsah trojúhelníku $CFE$ je tedy $\frac{1}{4}$ obsahu velkého trojúhelníku $CDB$.
Obsah lichoběžníku
Nyní spočítáme, jakou část celého čtverce to představuje. Trojúhelník $CDB$ tvoří $\frac{1}{2}$ obsahu čtverce a lichoběžník z ní zabírá $\frac{3}{4}$:
$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$
Obsah lichoběžníku $DBEF$ skutečně tvoří tři osminy obsahu čtverce $ABCD$. Tvrzení je pravdivé.
Rovinný obrazec ABCDE je osově souměrný podle osy o procházející bodem B.
Úhly neměřte, ale vypočtěte.
Jaká je velikost úhlu β?
- A) menší než 100°
- D) 120°
- B) 100°
- E) větší než 120°
- C) 110°
Zobrazit odpověď
D
Kolmý hranol, jehož podstavy tvoří pravoúhlé trojúhelníky, má stejný objem jako kvádr.
Jaký je chybějící rozměr kvádru?
- A) 8 dm
- D) 16 dm
- B) 12 dm
- E) jiný počet dm
- C) 15 dm
Zobrazit odpověď
B
Jeden kilogram jablek byl zlevněn o třetinu ceny. Za 5 kg zlevněných jablek se tak zaplatí o 18 Kč méně než za 4 kg jablek před slevou.
Která z následujících rovnic odpovídá zadání úlohy, jestliže neznámá $\displaystyle {\rm x}$ představuje cenu za 1 kg jablek před slevou?
- A) $\displaystyle 5 \cdot \displaystyle \frac{2 {\rm x} }{3} + 18 = 4 {\rm x}$
- D) $\displaystyle 5 \left( {\rm x} -18 \right) = \frac{2}{3} \cdot 4 {\rm x}$
- B) $\displaystyle 5 {\rm x} +18=4 \cdot \frac{4 {\rm x} }{3}$
- E) $\displaystyle 5 {\rm x} +18=4 \cdot \left( {\rm x} + \frac{1}{3} \right)$
- C) $\displaystyle 5 \left( {\rm x} - \frac{1}{3} \right) = 4 {\rm x} + 18$
Zobrazit odpověď
A
Číslo 420 je o 20 % větší než neznámé číslo.
Jaké je neznámé číslo?
- A) menší než 320
- D) 350
- B) 320
- E) 360
- C) 340
- F) větší než 360
Zobrazit odpověď
D
48 % neznámého čísla je o 51 větší než 33 % téhož neznámého čísla.
Jaké je neznámé číslo?
- A) menší než 320
- D) 350
- B) 320
- E) 360
- C) 340
- F) větší než 360
Zobrazit odpověď
C
Poměr dvou čísel je 1 : 3. Polovina většího z nich je 135.
Jaký je součet obou čísel?
- A) menší než 320
- D) 350
- B) 320
- E) 360
- C) 340
- F) větší než 360
Zobrazit odpověď
E
Na obrazovce počítače jsou dvě čísla – jedno v modrém a druhé v červeném poli.
Na počátku jsou obě čísla stejná.
Při každém pípnutí se obě čísla současně zvětší. V modrém poli se číslo zvětší vždy o 6.
Přírůstky čísla v červeném poli se pravidelně střídají – jednou se číslo zvětší o 3, při dalším pípnutí o 5, potom znovu o 3, o 5, o 3, o 5, o 3 atd.
V jednu chvíli se na obrazovce objeví v modrém poli číslo 500 a současně v červeném poli číslo 400.
Určete, jaké číslo je v modrém poli na počátku
Zobrazit odpověď
200
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Přírůstky po dvou pípnutích
V červeném poli se při prvním pípnutí zvětší o 3 a při druhém o 5. Celkem se tedy při dvou pípnutích zvětší o $3 + 5 = 8$.
Zvětšování rozdílu
Celkový počet pípnutí
Protože se rozdíl zvětšil o 2 při každém pípnutí, muselo proběhnout celkem $100 \div 2 = 50$ pípnutí.
Výpočet počátečního čísla
Na počátku muselo být v modrém poli číslo: $500 - 300 = \mathbf{200}$.
Na obrazovce počítače jsou dvě čísla – jedno v modrém a druhé v červeném poli.
Na počátku jsou obě čísla stejná.
Při každém pípnutí se obě čísla současně zvětší. V modrém poli se číslo zvětší vždy o 6.
Přírůstky čísla v červeném poli se pravidelně střídají – jednou se číslo zvětší o 3, při dalším pípnutí o 5, potom znovu o 3, o 5, o 3, o 5, o 3 atd.
V jednu chvíli se na obrazovce objeví v modrém poli číslo 500 a současně v červeném poli číslo 400.
Určete, o kolik se zvětší číslo v modrém poli, zatímco se číslo v červeném poli zvětší o 123.
Zobrazit odpověď
186
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Analýza nárůstu v červeném poli
Počet pípnutí pro nárůst 123
123 : 8 = 15 (zbytek 3).
To znamená 15 celých dvojic pípnutí (tj. 30 pípnutí) a jedno další pípnutí, které přidá právě ty zbývající 3. Celkem tedy proběhne 31 pípnutí.
Výpočet v modrém poli
$31 \cdot 6 = 186$.
Závěr
Na obrazovce počítače jsou dvě čísla – jedno v modrém a druhé v červeném poli.
Na počátku jsou obě čísla stejná.
Při každém pípnutí se obě čísla současně zvětší. V modrém poli se číslo zvětší vždy o 6.
Přírůstky čísla v červeném poli se pravidelně střídají – jednou se číslo zvětší o 3, při dalším pípnutí o 5, potom znovu o 3, o 5, o 3, o 5, o 3 atd.
V jednu chvíli se na obrazovce objeví v modrém poli číslo 500 a současně v červeném poli číslo 400.
Určete číslo v červeném poli v okamžiku, kdy je o 444 menší než číslo v modrém poli.
Zobrazit odpověď
1088
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Změna rozdílu mezi poli
Rozdíl mezi modrým a červeným polem se tak během každých dvou pípnutí zvětší o $4$ ($12 - 8$).
Počet pípnutí do známého stavu
Protože se rozdíl zvětší o 4 každá dvě pípnutí, zjistíme počet dvojic pípnutí jako $100 \div 4 = 25$. Od začátku tedy proběhlo celkem $50$ pípnutí ($25 \cdot 2$).
Počáteční hodnota
Stav při rozdílu 444
Výpočet čísla v červeném poli
K tomuto přírůstku přičteme počáteční hodnotu 200 a získáme výsledné číslo: $200 + 888 = 1088$.