Načítání…
Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 9. ročník

Podkategorie: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2018

32 úloh

PDF+Klíč
Úloha 1

Vypočtěte, kolikrát je trojnásobek čísla 9 menší než číslo 324.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Trojnásobek čísla 9

Nejdříve vypočítáme trojnásobek čísla 9:
$3 \cdot 9 = 27$

Výpočet podílu

Nyní zjistíme, kolikrát je vypočítané číslo 27 menší než 324. To zjistíme dělením:
$324 : 27 = 12$

Závěr

Trojnásobek čísla 9 je 12krát menší než číslo 324.
Výsledek je tedy 12.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

12

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.1

Vypočtěte:

$\displaystyle \sqrt{1 ^2 -0,6 ^2 } =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Umocnění a odečtení

Nejdřív vypočítáme mocniny pod odmocninou: $1^2 = 1$ a $0{,}6^2 = 0{,}36$. Potom odečteme: $1 - 0{,}36 = 0{,}64$.

Odmocnění a výsledek

Druhá odmocnina je nezáporné číslo, jehož druhá mocnina je číslo pod odmocninou. Protože $0{,}8 \cdot 0{,}8 = 0{,}64$, vychází $\sqrt{0{,}64} = 0{,}8$. Výsledek je 0,8.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

0,8

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.2

Vypočtěte:

$\displaystyle 100- \frac{1}{0,01 \cdot 0,1} =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet jmenovatele

Nejprve vynásobíme desetinná čísla ve jmenovateli zlomku. Číslo $0{,}01$ má dvě desetinná místa a číslo $0{,}1$ má jedno desetinné místo. Výsledek bude mít dohromady $2 + 1 = 3$ desetinná místa:

$0{,}01 \cdot 0{,}1 = 0{,}001$

Úprava zlomku

Nyní vyčíslíme hodnotu zlomku $\frac{1}{0{,}001}$. Zlomek rozšíříme tak, abychom se ve jmenovateli zbavili desetinného čísla. Čitatele i jmenovatele vynásobíme číslem $1000$:

$\frac{1}{0{,}001} = \frac{1 \cdot 1000}{0{,}001 \cdot 1000} = \frac{1000}{1} = 1000$

Závěrečný výpočet

Nakonec dosadíme vypočtenou hodnotu zlomku zpět do původního výrazu a odečteme:

$100 - 1000 = -900$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-900

Stav úlohy
1 bod
Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{ \displaystyle \frac{4}{1+2} -1 }{1+2} =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet součtů ve jmenovatelích

Nejdříve vypočítáme součty $1+2$ v obou jmenovatelích (ve zlomku v čitateli i v hlavním jmenovateli):
$ \frac{ \frac{4}{1+2} -1 }{1+2} = \frac{ \frac{4}{3} -1 }{3} $

Úprava čitatele

V čitateli hlavního zlomku odečteme jedničku od zlomku $\frac{4}{3}$. Číslo $1$ si převedeme na zlomek se jmenovatelem $3$, tedy $\frac{3}{3}$:
$ \frac{4}{3} - 1 = \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{1}{3} $
Dosadíme zpět do hlavního zlomku:
$ \frac{ \frac{1}{3} }{3} $

Složený zlomek a výsledek

Zlomková čára znamená dělení. Složený zlomek můžeme přepsat jako dělení zlomku $\frac{1}{3}$ celým číslem $3$. Dělit třemi je stejné jako násobit jednou třetinou:
$ \frac{1}{3} : 3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} $
Výsledek je již v základním tvaru.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1/9

Stav úlohy
2 body
Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \left( 2- \displaystyle \frac{7}{8} \right) \cdot \displaystyle \frac{8}{9} \div \left( \displaystyle \frac{5}{8}+ \displaystyle \frac{5}{6} \right) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet první závorky

Číslo 2 převedeme na zlomek se jmenovatelem 8 a odečteme:

$\displaystyle 2 - \frac{7}{8} = \frac{16}{8} - \frac{7}{8} = \frac{9}{8}$

Výpočet druhé závorky

Zlomky převedeme na společného jmenovatele 24 a sečteme:

$\displaystyle \frac{5}{8} + \frac{5}{6} = \frac{15}{24} + \frac{20}{24} = \frac{35}{24}$

Dokončení výpočtu

Dosadíme výsledky závorek do původního výrazu. Nejdříve vynásobíme první dva zlomky:

$\displaystyle \frac{9}{8} \cdot \frac{8}{9} = 1$

Nakonec výsledek vydělíme zlomkem z druhé závorky. Dělení zlomkem převedeme na násobení jeho převrácenou hodnotou:

$\displaystyle 1 : \frac{35}{24} = 1 \cdot \frac{24}{35} = \frac{24}{35}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

24/35

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.1

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle \left( 3+a \right) ^2 - \left( 3 \cdot a \right) ^2 -3 ^2 =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Umocnění závorek

Použijeme vzorec pro druhou mocninu součtu: $(3+a)^2=9+6a+a^2$. U součinu umocníme oba činitele: $(3\cdot a)^2=9a^2$. Také $3^2=9$.

Sečtení podobných členů

Dosadíme a zachováme znaménka: $9+6a+a^2-9a^2-9$. Čísla $9$ a $-9$ se odečtou. Členy s $a^2$ spojíme: $a^2-9a^2=-8a^2$. Člen $6a$ zůstává.

Výsledek

Výsledný výraz bez závorek je $-8a^2+6a$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

6a-8a²

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.2

Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

$\displaystyle 2n \cdot \left( 3-n \right) + 2 \cdot \left( 3n \cdot n \right) - n \cdot \left( 3 \cdot n \right) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění závorek

Roznásobíme první závorku: $2n \cdot (3-n) = 6n - 2n^2$. V dalších součinech platí $n \cdot n = n^2$, takže $2 \cdot (3n \cdot n) = 6n^2$ a $-n \cdot (3 \cdot n) = -3n^2$.

Sečtení stejných členů

Dostaneme $6n - 2n^2 + 6n^2 - 3n^2$. Sečteme členy s $n^2$: $-2n^2 + 6n^2 - 3n^2 = n^2$. Člen $6n$ zůstává.

Výsledek

Zjednodušený výraz bez závorek je $\boxed{n^2 + 6n}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

n²+6n

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.1

Řešte rovnici:

$\displaystyle 2 \cdot \displaystyle \frac{5 {\rm x} }{6} - \displaystyle \frac{1}{3} = {\rm x} - \displaystyle \frac{1}{2}$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění zlomků

Obě strany rovnice vynásobíme číslem 6, které je společným násobkem všech jmenovatelů. Dostaneme $10x - 2 = 6x - 3$.

Výpočet neznámé

Od obou stran odečteme $6x$: $4x - 2 = -3$. Potom k oběma stranám přičteme 2: $4x = -1$. Vydělíme obě strany číslem 4 a vyjde $x = -\frac{1}{4}$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme do původní rovnice. Levá strana je $2 \cdot \frac{5 \cdot (-\frac{1}{4})}{6} - \frac{1}{3} = -\frac{5}{12} - \frac{4}{12} = -\frac{3}{4}$. Pravá strana je $-\frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{3}{4}$. Obě strany jsou stejné, takže řešením je $x = -\frac{1}{4}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-1/4

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.2

Řešte rovnici:

$\displaystyle {\rm y} - \frac{1-3 {\rm y} }{2} = \frac{7}{4} + \frac{5 {\rm y} }{3}$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění zlomků

Nejmenší společný násobek jmenovatelů 2, 4 a 3 je 12. Vynásobíme každý člen rovnice číslem 12 a dostaneme $12y - 6(1 - 3y) = 21 + 20y$.

Roznásobení závorky

Při roznásobení dáme pozor na znaménka: $-6(1 - 3y) = -6 + 18y$. Rovnice tedy je $12y - 6 + 18y = 21 + 20y$. Sečteme členy s neznámou na levé straně: $30y - 6 = 21 + 20y$.

Výpočet neznámé

Od obou stran odečteme $20y$ a potom k oběma stranám přičteme 6. Vyjde $10y = 27$. Vydělíme obě strany číslem 10: $y = \frac{27}{10} = 2{,}7$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme do původní rovnice. Levá strana je $2{,}7 - \frac{1 - 8{,}1}{2} = 2{,}7 + 3{,}55 = 6{,}25$. Pravá strana je $\frac{7}{4} + \frac{13{,}5}{3} = 1{,}75 + 4{,}5 = 6{,}25$. Obě strany se rovnají, takže řešením je $y = 2{,}7$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

2,7

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.1

Čtenáři si v knihovně během prvních tří dnů půjčili celkem 220 knih. Druhý den si čtenáři půjčili o polovinu více knih než první den a zároveň o 20 knih méně než třetí den.

Neznámý počet knih, které si čtenáři půjčili v knihovně první den, označte x.

V závislosti na veličině $\displaystyle {\rm x}$ vyjádřete počet knih, které si čtenáři půjčili druhý den.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

1,5x

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.2

Čtenáři si v knihovně během prvních tří dnů půjčili celkem 220 knih. Druhý den si čtenáři půjčili o polovinu více knih než první den a zároveň o 20 knih méně než třetí den.

Neznámý počet knih, které si čtenáři půjčili v knihovně první den, označte x.

V závislosti na veličině $\displaystyle {\rm x}$ vyjádřete počet knih, které si čtenáři půjčili třetí den.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

1,5x+20

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.3

Čtenáři si v knihovně během prvních tří dnů půjčili celkem 220 knih. Druhý den si čtenáři půjčili o polovinu více knih než první den a zároveň o 20 knih méně než třetí den.

Neznámý počet knih, které si čtenáři půjčili v knihovně první den, označte x.

Vypočtěte, kolik knih si čtenáři půjčili první den.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet knih v jednotlivých dnech

První den si čtenáři půjčili $x$ knih. Druhý den si půjčili o polovinu více, tedy $x + 0{,}5x = 1{,}5x$ knih. Třetí den si půjčili o 20 knih více než druhý den, tedy $1{,}5x + 20$ knih.

Sestavení a řešení rovnice

Za tři dny si půjčili celkem 220 knih, proto platí $x + 1{,}5x + (1{,}5x + 20) = 220$. Sečteme členy s $x$: $4x + 20 = 220$. Odečteme 20 a dostaneme $4x = 200$. Vydělíme čtyřmi: $x = 50$.

Ověření a výsledek

Polovina z 50 je 25, takže druhý den si půjčili $50 + 25 = 75$ knih. Třetí den si půjčili $75 + 20 = 95$ knih. Dohromady je to $50 + 75 + 95 = 220$ knih, což souhlasí se zadáním. První den si čtenáři půjčili 50 knih.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

50

Stav úlohy
2 body
Úloha 7.1

Papírový obdélník s rozměry 18 cm x 5 cm se beze zbytku použije na zhotovení kvádru. Obdélník se rozstříhá na jednotlivé stěny kvádru (tj. podstavy i boční stěny). Stříhat se smí jen v naznačeném směru – rovnoběžném s kratší stranou původního obdélníku. Z nastříhaných stěn se složí kvádr tak, aby se papír nikde nepřekrýval, a po hranách se spojí lepicí páskou.

Vypočtěte v cm² povrch složeného kvádru.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Povrch a použitý papír

Celý papírový obdélník se použije na všechny stěny kvádru. Žádný papír nezbude a stěny se nikde nepřekrývají. Povrch kvádru je proto stejný jako obsah původního obdélníku.

Výpočet a výsledek

Obsah obdélníku vypočítáme vynásobením délek jeho stran: $18 \cdot 5 = 90$ cm². Povrch složeného kvádru je 90 cm².
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

90 cm²

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.2

Papírový obdélník s rozměry 18 cm x 5 cm se beze zbytku použije na zhotovení kvádru. Obdélník se rozstříhá na jednotlivé stěny kvádru (tj. podstavy i boční stěny). Stříhat se smí jen v naznačeném směru – rovnoběžném s kratší stranou původního obdélníku. Z nastříhaných stěn se složí kvádr tak, aby se papír nikde nepřekrýval, a po hranách se spojí lepicí páskou.

Vypočtěte v cm rozměry kvádru (existuje jediné možné řešení).

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry vystřižených stěn

Stříháme pouze rovnoběžně s kratší stranou papíru, takže každá vystřižená stěna má jednu stranu dlouhou 5 cm. Kvádr proto musí mít alespoň dva rozměry rovné 5 cm. Kdyby měl jen jeden, zbývající dva rozměry by tvořily stěnu bez strany délky 5 cm, kterou takto vystřihnout nelze.

Výpočet třetího rozměru

Dvě stěny jsou čtverce 5 cm × 5 cm. Z délky papíru zaberou dohromady 2 · 5 = 10 cm. Zbývá 18 − 10 = 8 cm na čtyři stejné obdélníkové stěny. Šířka každé z nich je 8 : 4 = 2 cm, což je třetí rozměr kvádru.

Ověření a výsledek

Vystřihneme dva čtverce 5 cm × 5 cm a čtyři obdélníky 5 cm × 2 cm. Jejich šířky dohromady dávají 5 + 5 + 2 + 2 + 2 + 2 = 18 cm, takže využijeme celý papír a získáme všech šest stěn. Rozměry kvádru jsou 5 cm × 5 cm × 2 cm.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

5, 5, 2 cm

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.3

Papírový obdélník s rozměry 18 cm x 5 cm se beze zbytku použije na zhotovení kvádru. Obdélník se rozstříhá na jednotlivé stěny kvádru (tj. podstavy i boční stěny). Stříhat se smí jen v naznačeném směru – rovnoběžném s kratší stranou původního obdélníku. Z nastříhaných stěn se složí kvádr tak, aby se papír nikde nepřekrýval, a po hranách se spojí lepicí páskou.

Vypočtěte v cm³ objem složeného kvádru.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry kvádru

Stříháme rovnoběžně s kratší stranou papíru, takže každá vystřižená stěna má jednu stranu dlouhou 5 cm. Kvádr proto musí mít alespoň dva rozměry 5 cm. Kdyby měl jen jeden, dvě stěny tvořené zbývajícími rozměry by žádnou stranu délky 5 cm neměly.

Třetí rozměr kvádru

Dvě stěny jsou čtverce 5 cm × 5 cm. Z délky papíru spotřebují 2 · 5 = 10 cm. Zbývá 18 − 10 = 8 cm na čtyři stejné obdélníkové stěny. Jejich druhá strana, a tedy třetí rozměr kvádru, měří 8 : 4 = 2 cm. Ověříme délku papíru: 2 · 5 + 4 · 2 = 18 cm.

Objem kvádru

Objem kvádru vypočítáme vynásobením jeho tří rozměrů: V = 5 · 5 · 2 = 50 cm³. Objem složeného kvádru je 50 cm³.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

50 cm³

Stav úlohy
1 bod
Úloha 8.1

Vypočtěte v minutách devítinu úhlu o velikosti 7,5 stupně.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na minuty

Jeden stupeň má 60 úhlových minut. Úhel 7,5° tedy měří 7,5 · 60 = 450′.

Výpočet devítiny

Devítinu získáme dělením devíti: 450 : 9 = 50. Devítina daného úhlu měří 50′.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

50 minut

Stav úlohy
1 bod
Úloha 8.2

Vypočtěte v cm² obsah trojúhelníku ABC, je-li obsah rovnoběžníku ABCD 1,5 dm².

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod jednotek

Protože 1 dm = 10 cm, platí 1 dm² = 100 cm². Obsah rovnoběžníku tedy převedeme: 1,5 · 100 = 150 cm².

Obsah trojúhelníku

Úhlopříčka AC rozdělí rovnoběžník ABCD na dva trojúhelníky se stejným obsahem. Trojúhelník ABC má proto polovinu obsahu rovnoběžníku: 150 : 2 = 75 cm².

Výsledek

Obsah trojúhelníku ABC je 75 cm².
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

75 cm²

Stav úlohy
1 bod
Úloha 8.3

Vypočtěte, kolikrát je objem 0,2 litru větší než objem 5 mililitrů.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na stejné jednotky

Nejdřív převedeme litry na mililitry. Protože 1 litr = 1 000 mililitrů, je 0,2 litru = 0,2 · 1 000 = 200 mililitrů.

Porovnání objemů a výsledek

Abychom zjistili, kolikrát je větší objem větší než menší, vydělíme 200 mililitrů 5 mililitry: 200 : 5 = 40. Objem 0,2 litru je tedy 40krát větší než objem 5 mililitrů.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

40

Stav úlohy
1 bod
Úloha 9

V rovině leží přímka AB a mimo ni bod M.

Úsečka AB je strana c trojúhelníku ABC. Bod M leží uvnitr tohoto trojúhelníku na težnici $\displaystyle {\rm t} _ {\rm c}$ (težnice na stranu c). Výška $\displaystyle {\rm v} _ {\rm c}$ (výška na stranu c) měří 6 cm.

1. Sestrojte těžnici $\displaystyle {\rm t} _ {\rm c}$ , chybějící vrchol C trojúhelníku ABC a trojúhelník narýsujte.
2. Sestrojte těžiště trojúhelníku ABC a označte jej písmenem T.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Oficiální klíč neobsahuje textová kritéria pro dílčí body. Porovnejte svou konstrukci se vzorovým řešením a body určete sami.

Vzorové řešení výše.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2018, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 10

V rovině leží trojúhelník KLM.

Kružnice k prochází vrcholy trojúhelníku KLM.

Sestrojte střed S kružnice k.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Oficiální klíč neobsahuje textová kritéria pro dílčí body. Porovnejte svou konstrukci se vzorovým řešením a body určete sami.

Vzorové řešení výše.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2018, úloha 10

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
2 body
Úloha 11.1
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Pro vnitřní úhly trojúhelníku ABC platí: α : β = 5 : 3, α : γ = 1 : 2.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

β : γ = 5 : 6

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Sjednocení poměrů

Z poměru α : β = 5 : 3 připadá na úhel α 5 dílů a na úhel β 3 díly. Poměr α : γ = 1 : 2 rozšíříme pěti na 5 : 10. Na úhel γ tedy připadá 10 stejných dílů.

Poměr úhlů β a γ

Úhel β má 3 díly a úhel γ 10 dílů, proto β : γ = 3 : 10. Tento poměr se nerovná poměru 5 : 6.

Výsledek

Tvrzení β : γ = 5 : 6 je nepravdivé. Odpověď je N.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11.2
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Pro vnitřní úhly trojúhelníku ABC platí: α : β = 5 : 3, α : γ = 1 : 2.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

γ - β = 70°

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Společný poměr úhlů

Z poměru α : β = 5 : 3 připadá na α pět dílků a na β tři dílky. Protože α : γ = 1 : 2, je γ dvakrát větší než α, tedy má deset stejných dílků. Dohromady platí α : β : γ = 5 : 3 : 10.

Výpočet úhlů

Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180°. Celkem máme 5 + 3 + 10 = 18 dílků, takže jeden dílek má 180° : 18 = 10°. Potom β = 3 · 10° = 30° a γ = 10 · 10° = 100°.

Ověření tvrzení

Rozdíl γ − β = 100° − 30° = 70°. Tvrzení je pravdivé, proto volíme A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11.3
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Pro vnitřní úhly trojúhelníku ABC platí: α : β = 5 : 3, α : γ = 1 : 2.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

γ - α = 50°

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Sjednocení poměrů

Z poměru α : β = 5 : 3 připadá na α 5 dílků a na β 3 dílky. Protože α : γ = 1 : 2, úhel γ je dvojnásobkem úhlu α, tedy má 10 stejných dílků. Dohromady platí α : β : γ = 5 : 3 : 10.

Výpočet úhlů

Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180°. Celkem máme 5 + 3 + 10 = 18 dílků, takže jeden dílek je 180° : 18 = 10°. Proto α = 5 · 10° = 50° a γ = 10 · 10° = 100°.

Ověření tvrzení

Vypočítáme rozdíl: γ − α = 100° − 50° = 50°. Tvrzení je pravdivé, odpověď je A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 12

Úhly neměřte, ale vypočtěte

Jaká je velikost úhlu γ?

  • A) 114°
  • D) 126°
  • B) 117°
  • E) jiná velikost
  • C) 120°
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úhel u vrcholu A

Vnitřní úhel u vrcholu A a vnější úhel 112° jsou vedlejší úhly. Dohromady mají 180°, takže vnitřní úhel je $180° - 112° = 68°$.

Trojúhelník ADB

Úhel ADB je pravý, tedy má 90°. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180°, proto $\varphi = 180° - 68° - 90° = 22°$.

Celý úhel u vrcholu B

Úhlopříčka DB rozděluje úhel ABC na úhly $\varphi$ a $2\varphi$. Celý úhel ABC tedy měří $22° + 2 \cdot 22° = 66°$.

Výsledný úhel γ

Strany AB a CD jsou rovnoběžné. Vnitřní úhly u vrcholů B a C při příčce BC mají dohromady 180°. Proto $\gamma = 180° - 66° = 114°$. Správná je možnost A: 114°.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 13

Traktor najel na přímé silnici zadním kolem na tubu s červenou barvou. Tuba se zaklínila do pneumatiky a praskla. Traktor pak na silnici vytvořil každých 252 cm maličkou červenou skvrnu.

V jaké výšce nad zemí je střed zadního kola traktoru?

Výsledek je zaokrouhlen na celé cm.

  • A) menší než 35 cm
  • D) 44 cm
  • B) 35 cm
  • E) větší než 44 cm
  • C) 40 cm
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor situace

Vzdálenost mezi dvěma červenými skvrnami na silnici přesně odpovídá jedné otočce kola. Obvod zadního kola je tedy $252\text{ cm}$.

Výpočet poloměru kola

Výška středu kola nad zemí odpovídá poloměru tohoto kola ($r$). Obvod kruhu se počítá podle vzorce $o = 2 \cdot \pi \cdot r$. Z toho si vyjádříme poloměr: $r = \frac{o}{2 \cdot \pi}$.

Dosazení a výsledek

Dosadíme obvod $252\text{ cm}$ a pro $\pi$ použijeme přibližnou hodnotu $3{,}14$:
$r = \frac{252}{2 \cdot 3{,}14} = \frac{252}{6{,}28} \approx 40{,}1\text{ cm}$.
Po zaokrouhlení na celé centimetry zjistíme, že střed kola je ve výšce $40\text{ cm}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 14

Čtyřúhelník ABCD je osově souměrný podle osy o. Úhlopříčky AC a BD se protínají v bodě P.
Platí: |CP| = 12 cm; |BP| = 16 cm; |AD| = 13 cm.

Jaký je obsah čtyřúhelníku ABCD?

  • A) 244 cm²
  • D) 288 cm²
  • B) 252 cm²
  • E) jiný obsah
  • C) 258 cm²
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor osové souměrnosti

Čtyřúhelník ABCD je osově souměrný podle osy o, na které leží body D, P a B, a tedy i úhlopříčka BD. To znamená, že úhlopříčky AC a BD jsou na sebe kolmé a osa o půlí úhlopříčku AC v bodě P.

Platí tedy:
  • $|AP| = |CP| = 12$ cm
  • Trojúhelník APD je pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu P.

Výpočet úsečky DP

V pravoúhlém trojúhelníku APD známe přeponu $|AD| = 13$ cm a odvěsnu $|AP| = 12$ cm. Pomocí Pythagorovy věty vypočítáme druhou odvěsnu DP:

$|DP|^2 + |AP|^2 = |AD|^2$
$|DP|^2 + 12^2 = 13^2$
$|DP|^2 + 144 = 169$
$|DP|^2 = 25$
$|DP| = \sqrt{25} = 5$ cm

Výpočet obsahu čtyřúhelníku

Obsah čtyřúhelníku, který má na sebe kolmé úhlopříčky, lze spočítat jako polovinu součinu jejich délek: $S = \frac{|AC| \cdot |BD|}{2}$.

Určíme délky obou úhlopříček:
  • $|AC| = |AP| + |CP| = 12 + 12 = 24$ cm
  • $|BD| = |DP| + |BP| = 5 + 16 = 21$ cm
Dosadíme do vzorce: $S = \frac{24 \cdot 21}{2} = 12 \cdot 21 = 252$ cm²
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.1

Obrázek tvaru obdélníku s rozměry 12 cm a 8 cm je nalepen na obdélníkové podložce. Podložka přesahuje obrázek nahoře, dole, vpravo i vlevo o 2 cm.

Kolik procent plochy podložky není zakryto obrázkem?

  • A) méně než 20 %
  • D) 30 %
  • B) 20 %
  • E) 50 %
  • C) 25 %
  • F) více než 50 %
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry a plocha obrázku

Obrázek má tvar obdélníku s rozměry $12\text{ cm}$ a $8\text{ cm}$. Obsah tohoto obrázku vypočítáme jako:
$S_{\text{obrázku}} = 12 \cdot 8 = 96\text{ cm}^2$

Rozměry a plocha podložky

Podložka přesahuje obrázek na všech čtyřech stranách (nahoře, dole, vpravo i vlevo) o $2\text{ cm}$. Rozměry podložky tak získáme, když k rozměrům obrázku přičteme $2\text{ cm}$ z obou stran: Šířka podložky: $12 + 2 + 2 = 16\text{ cm}$ Výška podložky: $8 + 2 + 2 = 12\text{ cm}$ Obsah celé podložky je:
$S_{\text{podložky}} = 16 \cdot 12 = 192\text{ cm}^2$

Nezakrytá plocha a výpočet procent

Celková plocha podložky je $192\text{ cm}^2$. Z toho obrázek zakrývá $96\text{ cm}^2$. Nezakrytá část podložky je tedy:
$192 - 96 = 96\text{ cm}^2$
Vidíme, že nezakrytá část ($96\text{ cm}^2$) tvoří přesně polovinu z celkové plochy podložky ($192\text{ cm}^2$). Polovina celku vždy odpovídá $50\ \%$. Správná odpověď je E.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.2

V lednu se 2 litry limonády prodávaly za 24 Kč, v únoru se za tuto cenu prodávalo 2,5 litru limonády.

O kolik procent byl 1 litr limonády v únoru levnější než v lednu?

  • A) (o) méně než 20 %
  • D) (o) 30 %
  • B) (o) 20 %
  • E) (o) 50 %
  • C) (o) 25 %
  • F) (o) více než 50 %
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cena jednoho litru

Nejdřív vypočítáme cenu 1 litru v obou měsících. V lednu to bylo 24 : 2 = 12 Kč. V únoru to bylo 24 : 2,5 = 9,60 Kč.

Zlevnění v korunách

Jeden litr v únoru zlevnil o 12 − 9,60 = 2,40 Kč.

Zlevnění v procentech

Základem je lednová cena 12 Kč, která představuje 100 %. Pokles o 2,40 Kč tedy představuje 2,40 : 12 · 100 = 20 %. Jeden litr limonády byl v únoru levnější o 20 %. Správná je možnost B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.3

Cyklista ujel za 3 dny trasu dlouhou 240 km. První den ujel polovinu celé trasy, druhý den ujel dvě pětiny zbytku trasy.

Kolik procent celé trasy ujel cyklista třetí den?

  • A) méně než 20 %
  • D) 30 %
  • B) 20 %
  • E) 50 %
  • C) 25 %
  • F) více než 50 %
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První den

První den cyklista ujel polovinu celé trasy: $240 : 2 = 120$ km. Zbývalo mu tedy $240 - 120 = 120$ km.

Druhý den

Druhý den ujel dvě pětiny zbývajících 120 km: $120 : 5 \cdot 2 = 48$ km. Na třetí den zůstalo $120 - 48 = 72$ km.

Podíl celé trasy a výsledek

Celá trasa měří 240 km, takže 1 % trasy je $240 : 100 = 2{,}4$ km. Třetí den ujel 72 km, což je $72 : 2{,}4 = 30$ % celé trasy. Správná odpověď je D: 30 %.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.1

Shodné čtverce jsou podle jednotného pravidla rozděleny vždy na světlou a tmavouplochu.
Obě plochy se liší o 3, 4 nebo více čtverečků, které lze vyznačit po úhlopříčce.Poměr velikostí světlé a tmavé plochy u prvního zobrazeného čtverce je 6 : 3 a v základním tvaru jej zapisujeme 2 : 1.

Zapište v základním tvaru poměr velikostí světlé a tmavé plochy čtverce, jestliže se obě plochy liší o 9 čtverečků vyznačených po úhlopříčce.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet čtverečků

Po úhlopříčce je vyznačeno 9 světlých čtverečků. Strana velkého čtverce tedy odpovídá 9 stranám malého čtverečku. Celý čtverec rozdělíme na 9 řad po 9 čtverečcích, celkem $9 \cdot 9 = 81$.

Světlá a tmavá plocha

Mimo 9 světlých čtverečků na úhlopříčce jsou světlá a tmavá část stejně velké: čtverečky na opačných stranách úhlopříčky si odpovídají. Zbývá $81 - 9 = 72$ čtverečků, z nichž je $72 : 2 = 36$ tmavých a 36 světlých. Světlá plocha má dohromady $36 + 9 = 45$ čtverečků.

Výsledný poměr

Poměr světlé a tmavé plochy je $45 : 36$. Obě čísla vydělíme 9 a dostaneme poměr v základním tvaru $5 : 4$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

5:4

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.2

Shodné čtverce jsou podle jednotného pravidla rozděleny vždy na světlou a tmavouplochu.
Obě plochy se liší o 3, 4 nebo více čtverečků, které lze vyznačit po úhlopříčce.Poměr velikostí světlé a tmavé plochy u prvního zobrazeného čtverce je 6 : 3 a v základním tvaru jej zapisujeme 2 : 1.

Zapište v základním tvaru poměr velikostí světlé a tmavé plochy čtverce, jestliže se obě plochy liší o 100 čtverečků vyznačených po úhlopříčce.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení čtverce

Podle obrázku patří čtverečky na úhlopříčce ke světlé ploše. Ostatní čtverečky tvoří dvě stejně velké části, jednu světlou a druhou tmavou. Jestliže je na úhlopříčce 100 čtverečků, má čtverec 100 řad a 100 sloupců, tedy celkem $100 \cdot 100 = 10\,000$ čtverečků.

Velikosti obou ploch

Nejdřív odečteme 100 světlých čtverečků na úhlopříčce: $10\,000 - 100 = 9\,900$. Zbytek rozdělíme na dvě stejné části. Tmavá plocha má $9\,900 : 2 = 4\,950$ čtverečků. Světlá plocha má navíc čtverečky na úhlopříčce, tedy $4\,950 + 100 = 5\,050$ čtverečků.

Poměr v základním tvaru

Poměr světlé a tmavé plochy je $5\,050 : 4\,950$. Obě čísla vydělíme 50 a dostaneme $101 : 99$. Čísla 101 a 99 už nemají společného dělitele většího než 1. Výsledný poměr v základním tvaru je 101 : 99.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

101:99

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.3

Shodné čtverce jsou podle jednotného pravidla rozděleny vždy na světlou a tmavouplochu.
Obě plochy se liší o 3, 4 nebo více čtverečků, které lze vyznačit po úhlopříčce.Poměr velikostí světlé a tmavé plochy u prvního zobrazeného čtverce je 6 : 3 a v základním tvaru jej zapisujeme 2 : 1

Určete počet čtverečků vyznačených po úhlopříčce, jestliže je poměr velikostí světlé a tmavé plochy 13 : 11.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení čtverce

Čtverec si představíme rozdělený na stejně velké čtverečky. Na úhlopříčce je stejný počet čtverečků jako podél jedné strany. Světlá a tmavá plocha se liší právě o čtverečky na úhlopříčce.

Porovnání celku a rozdílu

Poměr světlé a tmavé plochy je $13 : 11$. Celý čtverec tedy představuje $13 + 11 = 24$ dílů a rozdíl ploch $13 - 11 = 2$ díly. Celkový počet čtverečků je proto $24 : 2 = 12$krát větší než počet čtverečků na úhlopříčce. Celkový počet ale získáme také vynásobením počtu čtverečků na úhlopříčce počtem čtverečků podél strany. Podél strany, a tedy i na úhlopříčce, musí být 12 čtverečků.

Ověření a výsledek

Celkem je $12 \cdot 12 = 144$ čtverečků a rozdíl ploch je 12 čtverečků. Světlá plocha má $(144 + 12) : 2 = 78$ čtverečků, tmavá $(144 - 12) : 2 = 66$. Poměr $78 : 66$ po zkrácení šesti skutečně vyjde $13 : 11$. Po úhlopříčce je vyznačeno 12 čtverečků.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

12

Stav úlohy
2 body