Přijímací testy 9. ročník

Podkategorie: Matematika 9. ročník — 2. řádný termín 2017

31 úloh

PDF+Klíč

Úloha 1

Určete číslo, které musíme odečíst od výrazu $\displaystyle \sqrt{1+ \frac{9}{16} }$ , abychom získali výsledek 0,5.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet pod odmocninou

Nejdřív převedeme jedničku na zlomek se jmenovatelem 16 a sečteme: $1 + \frac{9}{16} = \frac{16}{16} + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$.

Odmocnění

Odmocníme čitatele i jmenovatele: $\sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4} = 1{,}25$.

Výsledek

Aby po odečtení zůstalo 0,5, musíme odečíst $1{,}25 - 0{,}5 = 0{,}75$. Ověříme: $1{,}25 - 0{,}75 = 0{,}5$. Hledané číslo je 0,75.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

3/4

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2.1

Vypočtěte:

$\displaystyle 0,5 \div 0,5 ^2 =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Umocnění

Nejdřív vypočítáme mocninu, protože má přednost před dělením: $0{,}5^2 = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$.

Dělení a výsledek

Potom vydělíme. Obě čísla v dělení vynásobíme stem: $0{,}5 : 0{,}25 = 50 : 25 = 2$. Výsledek je 2.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2.2

Vypočtěte:

$\displaystyle 6 \cdot \frac{-15-6 \cdot \left( -2 \right) }{2} =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele zlomku

Nejdříve vypočítáme hodnotu v čitateli zlomku. Násobení má přednost před odčítáním. Vynásobíme $6 \cdot (-2)$, což je $-12$. V čitateli pak máme $-15 - (-12)$, což se změní na sčítání $-15 + 12$. Výsledek v čitateli je $-3$. Náš výraz je nyní ve tvaru $6 \cdot \frac{-3}{2}$.

Dokončení výpočtu

Nyní vynásobíme číslo $6$ výsledným zlomkem $\frac{-3}{2}$. Můžeme ho zapsat jako $\frac{6 \cdot (-3)}{2} = \frac{-18}{2}$. Zlomková čára představuje dělení, takže dělíme $-18 : 2 = -9$. Případně si můžeme nejprve zkrátit číslo $6$ s dvojkou ve jmenovateli ($6 : 2 = 3$) a pak rovnou vynásobit $3 \cdot (-3) = -9$.

Výsledek

Konečný výsledek výrazu je $-9$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-9

Stav úlohy

1 bod

Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle 2- \frac{1}{3} - \frac{1}{6} \cdot \frac{16}{3} =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Přednost operací

Jako první má přednost násobení. Vynásobíme zlomky $\frac{1}{6}$ a $\frac{16}{3}$. Před samotným násobením můžeme zlomky zkrátit křížem. Čísla $6$ a $16$ vydělíme dvěma:
$\frac{1}{6} \cdot \frac{16}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{3} = \frac{8}{9}$

Odečítání zlomků

Výsledek násobení dosadíme zpět do příkladu:
$2 - \frac{1}{3} - \frac{8}{9}$

Všechna čísla převedeme na společného jmenovatele $9$:
$2 = \frac{18}{9}$
$\frac{1}{3} = \frac{3}{9}$

Nyní zlomky odečteme:
$\frac{18}{9} - \frac{3}{9} - \frac{8}{9} = \frac{18 - 3 - 8}{9} = \frac{7}{9}$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

7/9

Stav úlohy

2 body

Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{ \displaystyle \frac {7}{10}- \frac{2}{5} \div \frac{1}{10} }{\displaystyle 20 \cdot \frac{3}{10} } =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Nejdříve vypočítáme čitatel (horní část) složeného zlomku. Dělení má přednost před odčítáním. Při dělení zlomku násobíme jeho převrácenou hodnotou:

$\frac{2}{5} \div \frac{1}{10} = \frac{2}{5} \cdot \frac{10}{1} = \frac{20}{5} = 4$

Nyní odečteme výsledek od prvního zlomku. Převedeme si číslo 4 na desetiny:

$\frac{7}{10} - 4 = \frac{7}{10} - \frac{40}{10} = \frac{7 - 40}{10} = -\frac{33}{10}$

Výpočet jmenovatele

Dále spočítáme jmenovatel (spodní část) složeného zlomku:

$20 \cdot \frac{3}{10} = \frac{20 \cdot 3}{10} = \frac{60}{10} = 6$

Můžeme také rovnou krátit 20 a 10 a vyjde nám $2 \cdot 3 = 6$.

Úprava složeného zlomku na základní tvar

Dosadíme spočítané části zpět do hlavního zlomku. Zlomková čára znamená dělení:

$\frac{-\frac{33}{10}}{6} = -\frac{33}{10} \div 6 = -\frac{33}{10} \cdot \frac{1}{6} = -\frac{33}{60}$

Zlomek nakonec zkrátíme do základního tvaru. Čitatel i jmenovatel jsou dělitelné třemi:

$-\frac{33 \div 3}{60 \div 3} = -\frac{11}{20}$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-11/20

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.1

Výsledný výraz nesmí obsahovat závorky.

Zjednodušte:

$\displaystyle \left( {\rm x} -4 \right) ^2 + \left( 8-2 {\rm x} \right) \cdot 2 {\rm x} =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Umocnění dvojčlenu

Použijeme vzorec pro druhou mocninu rozdílu: $(x-4)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16$.

Roznásobení závorky

Každý člen druhé závorky vynásobíme výrazem $2x$: $(8-2x) \cdot 2x = 16x - 4x^2$.

Výsledek bez závorek

Sečteme členy se stejnou mocninou $x$: $x^2 - 8x + 16 + 16x - 4x^2 = -3x^2 + 8x + 16$. Výsledný výraz je $-3x^2 + 8x + 16$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-3x²+8x+16

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.2

Výsledný výraz nesmí obsahovat závorky.

Zjednodušte:

$\displaystyle \left( a+2a \right) \cdot \left( a-2a \right) - \left( a - 2a \right) =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjednodušení závorek

Nejdřív sečteme podobné členy v závorkách: $a+2a=3a$ a $a-2a=-a$. Dostaneme $3a \cdot (-a)-(-a)$.

Násobení a odečítání

Součin $3a \cdot (-a)$ je $-3a^2$. Při odečítání výrazu $-a$ změníme jeho znaménko, takže přičítáme $a$. Dostaneme $-3a^2+a$.

Výsledek

Členy $-3a^2$ a $a$ mají různé mocniny proměnné, proto je nemůžeme sloučit. Výsledný výraz bez závorek je $-3a^2+a$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

a-3a²

Stav úlohy

2 body

Úloha 5.1

Řešte rovnici:

$\displaystyle 4 {\rm x} +1=4 \cdot \left( 4 {\rm x} +0,25 \right)$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Roznásobení závorky

Nejdřív vynásobíme oba členy v závorce číslem 4: $4x + 1 = 16x + 1$, protože $4 \cdot 0{,}25 = 1$.

Úprava rovnice

Od obou stran odečteme 1 a dostaneme $4x = 16x$. Potom od obou stran odečteme $4x$: $0 = 12x$. Vydělíme obě strany číslem 12, takže $x = 0$.

Výsledek a zkouška

Dosadíme $x = 0$ do původní rovnice. Levá strana je $4 \cdot 0 + 1 = 1$, pravá strana je $4 \cdot (4 \cdot 0 + 0{,}25) = 1$. Obě strany se rovnají, řešení je tedy $x = 0$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 5.2

Řešte rovnici:

$\displaystyle \frac{ {\rm x} -5}{2}+ {\rm x} = \frac{2 {\rm x} }{3} - \frac{5}{6}$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění zlomků

Obě strany rovnice vynásobíme číslem 6, které je dělitelné všemi jmenovateli. Dostaneme $3(x-5)+6x=4x-5$.

Úprava rovnice

Roznásobíme závorku a sečteme členy s neznámou: $3x-15+6x=4x-5$, tedy $9x-15=4x-5$. Od obou stran odečteme $4x$ a přičteme 15. Vyjde $5x=10$.

Výpočet neznámé

Obě strany vydělíme číslem 5: $x=10:5=2$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme $x=2$. Levá strana je $\frac{2-5}{2}+2=-\frac{3}{2}+2=\frac{1}{2}$. Pravá strana je $\frac{2\cdot2}{3}-\frac{5}{6}=\frac{8}{6}-\frac{5}{6}=\frac{1}{2}$. Obě strany jsou stejné, takže řešením rovnice je $x=2$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 6.1

V promítacím sále bylo přítomno 100 platících osob. Cena vstupenky pro dospělého je 200 Kč, pro dítě 150 Kč. V pokladně vybrali za vstupenky 16 000 Kč.

Vypočtěte, o kolik procent je vstupenka pro dítě levnější než vstupenka pro dospělého.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Základ a rozdíl cen

Porovnáváme s cenou vstupenky pro dospělého, takže základem (100 %) je 200 Kč. Vstupenka pro dítě stojí o 200 − 150 = 50 Kč méně.

Přepočet na procenta

Nejdřív vypočítáme 1 % z ceny pro dospělého: 200 : 100 = 2 Kč. Rozdíl 50 Kč tedy odpovídá 50 : 2 = 25 %.

Výsledek

Vstupenka pro dítě je o 25 % levnější než vstupenka pro dospělého.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 6.2

V promítacím sále bylo přítomno 100 platících osob. Cena vstupenky pro dospělého je 200 Kč, pro dítě 150 Kč. V pokladně vybrali za vstupenky 16 000 Kč.

Vypočtěte, kolik dětí bylo v promítacím sále.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cena vstupenek pro samé dospělé

Kdyby všech 100 osob byli dospělí, vybralo by se 100 · 200 = 20 000 Kč. Ve skutečnosti se vybralo o 20 000 − 16 000 = 4 000 Kč méně.

Počet dětí

Vstupenka pro dítě stojí o 200 − 150 = 50 Kč méně než vstupenka pro dospělého. Každé dítě tedy sníží celkovou částku o 50 Kč. Počet dětí je 4 000 : 50 = 80.

Výsledek a kontrola

V sále bylo 80 dětí a 100 − 80 = 20 dospělých. Ověříme tržbu: 80 · 150 + 20 · 200 = 12 000 + 4 000 = 16 000 Kč. Výsledek odpovídá zadání.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 6.3

V promítacím sále bylo přítomno 100 platících osob. Cena vstupenky pro dospělého je 200 Kč, pro dítě 150 Kč. V pokladně vybrali za vstupenky 16 000 Kč.

Vypočtěte, kolik Kč vybrali v pokladně za vstupné pro dospělé.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vstupné pro 100 dětí

Kdyby všech 100 osob byly děti, vybrali by v pokladně $100 \cdot 150 = 15\,000$ Kč. Ve skutečnosti vybrali o $16\,000 - 15\,000 = 1\,000$ Kč více.

Počet dospělých

Každý dospělý zaplatil oproti dítěti o $200 - 150 = 50$ Kč více. Rozdíl 1 000 Kč tedy připadá na $1\,000 : 50 = 20$ dospělých. Dětí bylo $100 - 20 = 80$.

Výsledek a ověření

Za vstupné pro dospělé vybrali $20 \cdot 200 = 4\,000$ Kč. Ověříme celkovou tržbu: $4\,000 + 80 \cdot 150 = 16\,000$ Kč, což souhlasí se zadáním. Za dospělé tedy vybrali 4 000 Kč.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

4000

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.1

Na kružnici k s poloměrem r = 5 cm (r=|SA|) leží vrcholy obdélníku ABCD.
Delší strana obdélníku měří 8 cm.

Vypočtěte délku kružnice a výsledek v cm zaokrouhlete na desetiny.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

K výpočtu délky kružnice (jejího obvodu) potřebujeme znát pouze její poloměr. Ten je přímo ze zadání známý a měří $r = 5\text{ cm}$. Délka strany obdélníku je pro tento úkol pouze informační navíc a využijeme ji až v případných dalších úlohách.

Výpočet podle vzorce

Vzorec pro délku kružnice je $o = 2 \cdot \pi \cdot r$.
Dosadíme známý poloměr $r = 5\text{ cm}$:
$o = 2 \cdot \pi \cdot 5$
$o = 10 \cdot \pi$

Zaokrouhlení na desetiny

Použijeme přibližnou hodnotu čísla $\pi \doteq 3{,}14$.
$o \doteq 10 \cdot 3{,}14$
$o \doteq 31{,}4\text{ cm}$
V zadání je požadováno zaokrouhlení výsledku na desetiny. I při použití přesnější hodnoty $\pi$ (např. $3{,}14159\dots$) získáme $10 \cdot 3{,}14159\dots = 31{,}4159\dots\text{ cm}$. Na místě desetin je číslice $4$ a za ní následuje $1$, takže zaokrouhlujeme dolů. Výsledek je $31{,}4$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

31,4 cm

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.2

Na kružnici k s poloměrem r = 5 cm (r=|SA|) leží vrcholy obdélníku ABCD.
Delší strana obdélníku měří 8 cm.

Vypočtěte v cm obvod obdélníku ABCD.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku a úhlopříčka obdélníku

Vrcholy obdélníku $ABCD$ leží na kružnici, takže kružnice je obdélníku opsaná. Střed kružnice $S$ je zároveň průsečíkem úhlopříček obdélníku. Poloměr kružnice je $r = 5\text{ cm}$. Úhlopříčka obdélníku (například $AC$) prochází středem $S$ a skládá se ze dvou poloměrů. Délka úhlopříčky je $u = 2 \cdot r = 2 \cdot 5 = 10\text{ cm}$.

Výpočet kratší strany obdélníku

Známe delší stranu obdélníku $a = 8\text{ cm}$ a jeho úhlopříčku $u = 10\text{ cm}$. Kratší stranu si označíme $b$. Strany obdélníku a jeho úhlopříčka tvoří pravoúhlý trojúhelník. Pro výpočet strany $b$ použijeme Pythagorovu větu: $a^2 + b^2 = u^2$. Dosadíme známé hodnoty:
$8^2 + b^2 = 10^2$
$64 + b^2 = 100$
$b^2 = 100 - 64$
$b^2 = 36$
$b = 6\text{ cm}$
Kratší strana obdélníku měří $6\text{ cm}$.

Výpočet obvodu obdélníku

Obvod obdélníku $O$ spočítáme jako součet délek všech jeho stran, tedy $O = 2 \cdot (a + b)$. Dosadíme vypočítané délky stran:
$O = 2 \cdot (8 + 6)$
$O = 2 \cdot 14 = 28\text{ cm}$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

28 cm

Stav úlohy

2 body

Úloha 8.1

Doplňte do rámečku číslo tak, aby platila rovnost:

3 dm² $\displaystyle =$ 1 dm² $\displaystyle +$ $\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ cm²

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Chybějící plocha

Zjistíme, kolik zbývá doplnit k 1 dm² do 3 dm²: 3 − 1 = 2 dm². Tuto plochu vyjádříme v cm².

Převod jednotek

Protože 1 dm = 10 cm, čtverec o straně 1 dm má obsah 10 · 10 = 100 cm². Platí tedy 1 dm² = 100 cm², a proto 2 dm² = 2 · 100 = 200 cm².

Výsledek a ověření

Do rámečku doplníme číslo 200. Ověříme: 1 dm² + 200 cm² = 1 dm² + 2 dm² = 3 dm². Rovnost platí.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

200

Stav úlohy

1 bod

Úloha 8.2

Doplňte do rámečku číslo tak, aby platila rovnost:

1,2 litru $\displaystyle =$ $\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ dm³ $\displaystyle -$ 100 cm³

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod jednotek

Platí 1 litr = 1 dm³ a 1 dm³ = 1 000 cm³. Proto 1,2 litru = 1,2 dm³ a 100 cm³ = 0,1 dm³.

Výpočet čísla v rámečku

Od objemu uvedeného vpravo v dm³ odečítáme 0,1 dm³ a má zbýt 1,2 dm³. Před odečtením tedy musí být objem 1,2 + 0,1 = 1,3 dm³.

Ověření a výsledek

Ověříme: 1,3 dm³ − 100 cm³ = 1,3 dm³ − 0,1 dm³ = 1,2 dm³ = 1,2 litru. Do rámečku doplníme 1,3.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

1,3

Stav úlohy

1 bod

Úloha 8.3

Doplňte do rámečku číslo tak, aby platila rovnost:

$\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ $\displaystyle \cdot$ 1,5 hodiny $\displaystyle +$ 20 minut $\displaystyle =$ 1 hodina 5 minut

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na minuty

Nejdřív převedeme všechny časy na minuty: 1,5 hodiny je 90 minut a 1 hodina 5 minut je 65 minut.

Výpočet čísla v rámečku

Po odečtení přičtených 20 minut zbývá 65 − 20 = 45 minut. Hledané číslo tedy musí splňovat, že po vynásobení 90 dostaneme 45. Vypočítáme 45 : 90 = 0,5.

Ověření a výsledek

Ověříme: 0,5 · 90 + 20 = 45 + 20 = 65 minut, tedy 1 hodina 5 minut. Do rámečku patří 0,5.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

0,5

Stav úlohy

1 bod

Úloha 9

V rovině leží trojúhelník RST.

Sestrojte obraz R₁S₁T₁ trojúhelníku RST ve středové souměrnosti se středem S. Všechny vrcholy trojúhelníku R₁S₁T₁ označte.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Oficiální klíč neobsahuje textová kritéria pro dílčí body. Porovnejte svou konstrukci se vzorovým řešením a body určete sami.

2 body: Vzorové řešení výše.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 2. řádný termín 2017, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

2 body

Úloha 10

Kružnici k se středem S protíná přímka ve dvou bodech C a D.

Body C, D jsou vrcholy rovnoramenného lichoběžníku ABCD. Všechny čtyři vrcholy tohoto lichoběžníku leží na kružnici k. Vzdálenost chybějících vrcholů A, B od přímky CD je rovna poloměru r = |SC| kružnice k.

1. Sestrojte vrcholy A, B lichoběžníku ABCD a lichoběžník narýsujte.
2. Sestrojte osu souměrnosti lichoběžníku ABCD (pokud existuje) a označte ji o.
3. Sestrojte výšku lichoběžníku ABCD z vrcholu D a označte ji v.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Oficiální klíč neobsahuje textová kritéria pro dílčí body. Porovnejte svou konstrukci se vzorovým řešením a body určete sami.

3 body: Vzorové řešení výše.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 2. řádný termín 2017, úloha 10

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 11.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Balení, které obsahuje 15 kg granulí, vystačí čtyřem psům na 15 dnů. Všichni čtyři psi dostávají denně stejné množství granulí.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Jeden pes dostává denně 250 g granulí.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Denní spotřeba čtyř psů

Balení 15 kg vystačí na 15 dnů. Všichni čtyři psi tedy za jeden den dohromady dostanou 15 : 15 = 1 kg granulí, což je 1 000 g.

Denní dávka jednoho psa

Čtyři psi dostávají stejné množství, proto denní spotřebu rozdělíme na čtyři stejné části: 1 000 : 4 = 250 g pro jednoho psa.

Výsledek

Jeden pes dostává denně 250 g granulí. Tvrzení je pravdivé, volíme A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 11.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Balení, které obsahuje 15 kg granulí, vystačí čtyřem psům na 15 dnů. Všichni čtyři psi dostávají denně stejné množství granulí.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Pouze dvěma psům by 15kg balení granulí vystačilo na 30 dnů.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Denní spotřeba čtyř psů

Čtyři psi spotřebují 15 kg granulí za 15 dnů. Za jeden den tedy snědí dohromady 15 : 15 = 1 kg granulí.

Denní spotřeba dvou psů

Všichni psi dostávají stejnou denní dávku. Dva psi proto spotřebují polovinu množství pro čtyři psy: 1 : 2 = 0,5 kg granulí denně.

Výsledek

Balení o hmotnosti 15 kg vystačí dvěma psům na 15 : 0,5 = 30 dnů. Tvrzení je pravdivé, odpověď je A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 11.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Balení, které obsahuje 15 kg granulí, vystačí čtyřem psům na 15 dnů. Všichni čtyři psi dostávají denně stejné množství granulí.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Jednomu psovi vystačí desetina 15kg balení granulí na 10 dnů.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Denní spotřeba jednoho psa

Čtyři psi spotřebují za 15 dnů 15 kg granulí, tedy za jeden den 15 : 15 = 1 kg. Jeden pes dostává denně 1 : 4 = 0,25 kg granulí.

Výdrž desetiny balení

Desetina 15kg balení je 15 : 10 = 1,5 kg. Jednomu psovi toto množství vystačí na 1,5 : 0,25 = 6 dnů.

Rozhodnutí

Desetina balení vystačí jednomu psovi na 6 dnů. Tvrzení o 10 dnech je nepravdivé, proto odpověď je N.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 12

Jaká je velikost úhlu β?

A) 36°
D) 48°
B) 38°
E) jiný výsledek
C) 40°

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 13

Krabici tvaru kvádru lze naplnit až po okraj krychličkami s délkou hrany 2 cm. Na dno krabice se do jedné vrstvy naskládá bez mezer 20 krychliček a takové vrstvy mohou být v krabici nejvýše 4.Ze zcela naplněné krabice vyjmeme všechny krychličky a vytvoříme z nich jedinou řadu.

Jak dlouhá bude řada?

A) 0,8 m
D) 2,4 m
B) 1,6 m
E) delší než 2,4 m
C) 2,0 m

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet krychliček

V jedné vrstvě je 20 krychliček a plná krabice má 4 vrstvy. Dohromady je v ní tedy $20 \cdot 4 = 80$ krychliček.

Délka řady

Krychličky položíme těsně vedle sebe do jedné řady. Každá má hranu 2 cm, takže délka řady bude $80 \cdot 2 = 160$ cm.

Výsledek

Protože 1 m = 100 cm, převedeme $160 : 100 = 1{,}6$ m. Řada bude dlouhá 1,6 m, správná je možnost B.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 14

Jaký je objem krabice?

A) 160 cm³
D) 640 cm³
B) 320 cm³
E) jiný objem
C) 480 cm³

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet krychliček

V jedné vrstvě je 20 krychliček a do krabice se vejdou 4 vrstvy. Zcela naplněná krabice tedy obsahuje $20 \cdot 4 = 80$ krychliček.

Objem jedné krychličky

Každá krychlička má hranu 2 cm. Její objem je $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\ \text{cm}^3$.

Objem krabice

Krychličky vyplňují celou krabici bez mezer, proto se její objem rovná součtu jejich objemů: $80 \cdot 8 = 640\ \text{cm}^3$. Objem krabice je 640 cm³, správná je možnost D.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.1

Dvě plné lahve minerálky tvoří 5 % zásob.

Kolik plných lahví minerálky tvoří čtvrtinu zásob?

A) méně než 9
D) 11
B) 9
E) 12
C) 10
F) více než 12

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení zásob

Dvě plné lahve tvoří 5 % zásob. Celých 100 % rozdělíme na stejně velké části po 5 %: $100 : 5 = 20$. V každé části jsou 2 lahve.

Celkové zásoby

Dohromady je v zásobách $20 \cdot 2 = 40$ plných lahví minerálky.

Čtvrtina zásob

Čtvrtinu získáme rozdělením celkového počtu na čtyři stejné díly: $40 : 4 = 10$. Čtvrtinu zásob tvoří 10 plných lahví minerálky, tedy odpověď C.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.2

V autobusu jede 21 osob. Dětí je mezi nimi o třetinu více než dospělých.

Kolik dospělých jede v autobusu?

A) méně než 9
D) 11
B) 9
E) 12
C) 10
F) více než 12

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Označení počtu dospělých

Počet dospělých označíme $x$. Dětí je o třetinu více než dospělých, takže jejich počet je $x + \frac{x}{3}$.

Sestavení a řešení rovnice

Dohromady jede 21 osob: $x + x + \frac{x}{3} = 21$. Celou rovnici vynásobíme třemi: $3x + 3x + x = 63$, tedy $7x = 63$. Vydělíme sedmi a dostaneme $x = 9$.

Ověření a výsledek

Třetina z 9 jsou 3, takže dětí je $9 + 3 = 12$. Celkem je v autobusu $9 + 12 = 21$ osob. V autobusu jede 9 dospělých, správně je B.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.3

Tabulka udává počet žáků v devátých třídách.Mezi všemi žáky obou devátých tříd je 54 % dívek.

Kolik chlapců je ve třídě 9. B?

A) méně než 9
D) 11
B) 9
E) 12
C) 10
F) více než 12

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Údaje z tabulky

V obou devátých třídách je dohromady 50 žáků. Ve třídě 9. A je 11 chlapců. Zjistíme počet chlapců v obou třídách a potom odečteme chlapce z 9. A.

Počet dívek a chlapců

Dívky tvoří 54 % všech žáků. Jedno procento z 50 je 0,5, takže dívek je $54 \cdot 0{,}5 = 27$. Chlapců je tedy dohromady $50 - 27 = 23$.

Výsledek

Od všech 23 chlapců odečteme 11 chlapců z 9. A: $23 - 11 = 12$. Ve třídě 9. B je 12 chlapců. Správná je možnost E.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 16.1

Dva nebo více shodných obdélníků poskládáme těsně vedle sebe do jedné řady. Pokud se každé dva sousední obdélníky dotýkají kratší stranou, vznikne obrazec typu A, dotýkají-li se delší stranou, vznikne obrazec typu B.
Platí: Obvody obrazců typu A a B složených ze dvou obdélníků se liší o 10 cm.Přidáme-li k oběma obrazcům další obdélníky, rozdíl mezi obvody obou obrazců se změní.

Vypočtěte, o kolik cm se liší obvody obrazců A a B, obsahuje-li každý z nich tři obdélníky.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl délek stran

Označíme delší stranu jednoho obdélníku $a$ a kratší $b$. Ze dvou obdélníků má obrazec A rozměry $2a$ a $b$, takže jeho obvod je $4a+2b$. Obrazec B má rozměry $2b$ a $a$, tedy obvod $4b+2a$. Rozdíl obvodů je $2(a-b)=10$ cm, proto $a-b=5$ cm.

Obvody ze tří obdélníků

Ze tří obdélníků má obrazec A rozměry $3a$ a $b$, tedy obvod $6a+2b$. Obrazec B má rozměry $3b$ a $a$, tedy obvod $6b+2a$. Odečteme obvody: $(6a+2b)-(6b+2a)=4(a-b)=4\cdot5=20$ cm.

Výsledek

Obvod obrazce A je o 20 cm větší než obvod obrazce B. Obvody se tedy liší o 20 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.2

Vypočtěte, o kolik cm se liší obvody obrazců A a B, obsahuje-li každý z nich šest obdélníků.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Spoj dvou obdélníků

Při spojení dvou obdélníků se jejich společné strany nepočítají do obvodu. U obrazce A tedy odečteme od součtu obvodů dvě kratší strany, u obrazce B dvě delší strany. Podle zadání je při jednom spoji obvod A o 10 cm větší než obvod B.

Počet spojů

Šest obdélníků v jedné řadě má $6 - 1 = 5$ spojů. Všechny obdélníky jsou shodné, takže každý spoj zkrátí obvod B o 10 cm více než obvod A.

Výsledek

Celkový rozdíl obvodů je $5 \cdot 10 = 50$ cm. Obvody obrazců A a B se liší o 50 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.3

Obvody obrazců A a B, které obsahují stejný počet obdélníků, se liší o 100 cm. Vypočtěte, z kolika obdélníků je složen jeden z těchto obrazců.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Změna obvodu

Při přidání obdélníku k obrazci A se obvod zvětší o dvě delší strany obdélníku. U obrazce B se zvětší o dvě kratší strany. Jeden obdélník má po otočení stále stejný obvod, ale u dvou obdélníků je rozdíl obvodů 10 cm. Každý další obdélník tedy zvětší rozdíl obvodů opět o 10 cm.

Počet obdélníků

Aby rozdíl obvodů dosáhl 100 cm, musíme k prvnímu obdélníku přidat $100 : 10 = 10$ obdélníků. Celkem tedy jeden obrazec obsahuje $1 + 10 = 11$ obdélníků.

Ověření a výsledek

U 11 obdélníků vznikne rozdíl obvodů $(11 - 1) \cdot 10 = 100$ cm, což souhlasí se zadáním. Jeden obrazec je složen z 11 obdélníků.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body