Přijímací testy 9. ročník

Podkategorie: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2017

32 úloh

PDF+Klíč

Úloha 1

Vypočtěte, kolikrát větší jsou 4 setiny než 8 tisícin.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na tisíciny

Jedna setina má 10 tisícin, takže 4 setiny jsou 40 tisícin.

Porovnání čísel

Kolikrát je jedno číslo větší než druhé, zjistíme dělením. Obě čísla máme v tisícinách, proto vypočítáme $40 : 8 = 5$.

Výsledek

4 setiny jsou 5krát větší než 8 tisícin. Ověření: $5 \cdot 0{,}008 = 0{,}04$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2.1

Vypočtěte:

$\displaystyle \sqrt{4 \cdot 0,25} =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Násobení pod odmocninou

Nejdřív vypočítáme součin pod odmocninou: $4 \cdot 0{,}25 = 1$.

Výpočet odmocniny

Protože $1^2 = 1$, platí $\sqrt{1} = 1$. Výsledkem je 1.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2.2

Vypočtěte:

$\displaystyle 1 \div 0,2^2 =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Nejdřív mocnina

Mocnina má přednost před dělením. Nejprve vypočítáme $0{,}2^2 = 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}04$.

Dělení desetinným číslem

Teď počítáme $1 \div 0{,}04$. Dělenec i dělitel vynásobíme stem, aby byl dělitel celé číslo: $1 \div 0{,}04 = 100 \div 4 = 25$.

Výsledek a kontrola

Ověříme násobením: $25 \cdot 0{,}04 = 1$. Výsledek je tedy 25.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle 0,2 \div \frac{27}{25} - \frac{2}{3} =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod desetinného čísla

Nejprve převedeme desetinné číslo $0{,}2$ na zlomek a zkrátíme ho na základní tvar:
$0{,}2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Dosadíme ho zpět do zadaného výrazu:
$\frac{1}{5} \div \frac{27}{25} - \frac{2}{3} =$

Dělení zlomků

Přednost má dělení. Dělení zlomkem převedeme na násobení převrácenou hodnotou. Před vynásobením zlomků zkrátíme čísla $5$ a $25$ křížem (vydělíme je pěti):
$\frac{1}{5} \div \frac{27}{25} = \frac{1}{5} \cdot \frac{25}{27} = \frac{1}{1} \cdot \frac{5}{27} = \frac{5}{27}$

Odčítání zlomků

Nakonec odečteme zlomek $\frac{2}{3}$. Abychom mohli zlomky odečíst, rozšíříme druhý zlomek na společného jmenovatele $27$:
$\frac{5}{27} - \frac{2}{3} = \frac{5}{27} - \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 9} = \frac{5}{27} - \frac{18}{27}$

Odečteme čitatele:
$\frac{5 - 18}{27} = -\frac{13}{27}$

Závěr

Výsledkem je zlomek $-\frac{13}{27}$, který je v základním tvaru, protože čísla $13$ a $27$ už nelze dále krátit.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-13/27

Stav úlohy

2 body

Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{5} - \frac{3}{10} + \frac{1}{4} \cdot 2 }{4}=$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úprava součinu v čitateli

Při úpravě výrazu v čitateli má přednost násobení před sčítáním a odčítáním. Vypočítáme tedy nejdříve součin:
$\frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Sečtení a odečtení zlomků v čitateli

Nyní můžeme sečíst a odečíst všechny zlomky v čitateli. Převedeme je na společného jmenovatele, což je pro čísla $5$, $10$ a $2$ číslo $10$:
$\frac{1}{5} - \frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{2}{10} - \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{2 - 3 + 5}{10} = \frac{4}{10}$

Výsledek v čitateli ještě zkrátíme dvěma na základní tvar:
$\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Úprava složeného zlomku

Upravený čitatel dosadíme zpět do celého zlomku. Hlavní zlomková čára představuje dělení, budeme tedy dělit čitatel jmenovatelem:
$\frac{\frac{2}{5}}{4} = \frac{2}{5} : 4 = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{20}$

Výsledný zlomek zkrátíme na základní tvar (dělíme čitatele i jmenovatele dvěma):
$\frac{2}{20} = \frac{1}{10}$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

1/10

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.1

Zjednodušte:

Výsledný výraz nesmí obsahovat závorky. $\displaystyle \left( a + a \right) \cdot \left( 1 - a \right) - a \cdot a=$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Sečtení stejných členů

Nejdřív sečteme členy v první závorce: $a+a=2a$. Výraz tedy upravíme na $2a\cdot(1-a)-a\cdot a$.

Roznásobení závorky

Členem $2a$ vynásobíme oba členy v závorce: $2a\cdot(1-a)=2a-2a^2$. Protože $a\cdot a=a^2$, dostaneme $2a-2a^2-a^2$.

Sloučení členů a výsledek

Sečteme členy s $a^2$: $-2a^2-a^2=-3a^2$. Výsledný výraz bez závorek je $\boxed{2a-3a^2}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

2a-3a²

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.2

Zjednodušte:

Výsledný výraz nesmí obsahovat závorky. $\displaystyle \frac{n - 1}{2} - \frac{2n - 3}{4} =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Společný jmenovatel

Zlomky převedeme na společného jmenovatele 4. První zlomek rozšíříme dvěma: $\frac{n-1}{2}=\frac{2n-2}{4}$. Druhý zlomek už má jmenovatele 4.

Odečtení čitatelů

Odečteme čitatele a jmenovatele ponecháme: $\frac{2n-2}{4}-\frac{2n-3}{4}=\frac{2n-2-(2n-3)}{4}$. Při odstranění závorky za znaménkem minus změníme znaménka obou členů: $\frac{2n-2-2n+3}{4}$.

Výsledek

Členy $2n$ a $-2n$ se navzájem vyruší a $-2+3=1$. Výsledný výraz bez závorek je $\boxed{\frac{1}{4}}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

1/4

Stav úlohy

2 body

Úloha 5.1

Řešte rovnici:

$\displaystyle - \frac{2}{3} \cdot \frac{ {\rm x} }{2}= \frac{5}{12}$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úprava levé strany

Nejdřív vynásobíme zlomky na levé straně: $-\frac{2}{3}\cdot\frac{x}{2}=-\frac{2x}{6}=-\frac{x}{3}$. Rovnice tedy má tvar $-\frac{x}{3}=\frac{5}{12}$.

Výpočet neznámé

Obě strany rovnice vynásobíme číslem $-3$, aby na levé straně zůstalo samotné $x$: $x=-3\cdot\frac{5}{12}=-\frac{15}{12}=-\frac{5}{4}$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme do původní rovnice: $-\frac{2}{3}\cdot\frac{-5/4}{2}=-\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{5}{8}\right)=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}$. Levá strana se rovná pravé, takže řešením je $x=-\frac{5}{4}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-5/4

Stav úlohy

2 body

Úloha 5.2

Řešte rovnici:

$\displaystyle \frac{ {\rm x} - 2}{2} - {\rm x} =2 - \frac{2 {\rm x} }{3}$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění zlomků

Obě strany rovnice vynásobíme číslem 6, které je společným násobkem jmenovatelů 2 a 3. Dostaneme $3(x-2)-6x=12-4x$.

Vyřešení rovnice

Roznásobíme závorku a sečteme členy s neznámou: $3x-6-6x=12-4x$, tedy $-3x-6=12-4x$. K oběma stranám přičteme $4x$: $x-6=12$. Potom přičteme 6 a vyjde $x=18$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme 18 do původní rovnice. Levá strana: $\frac{18-2}{2}-18=8-18=-10$. Pravá strana: $2-\frac{2\cdot18}{3}=2-12=-10$. Obě strany jsou stejné, takže řešením je $x=18$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 6.1

Výpočet ceny, kterou domácnosti zaplatí za vodu, se ve městech A a B liší.Celkový počet m³ vody, kterou spotřebuje domácnost za rok, označte x.

V závislosti na veličině x vyjádřete cenu (v Kč), kterou zaplatí za vodu domácnost ve městě A za jeden rok.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit odpověď

72x Kč

Stav úlohy

1 bod

Úloha 6.2

Výpočet ceny, kterou domácnosti zaplatí za vodu, se ve městech A a B liší.Celkový počet m³ vody, kterou spotřebuje domácnost za rok, označte x.

V závislosti na veličině x vyjádřete cenu (v Kč), kterou zaplatí za vodu domácnost ve městě B za jeden rok.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit odpověď

(61x+990) Kč

Stav úlohy

1 bod

Úloha 6.3

Výpočet ceny, kterou domácnosti zaplatí za vodu, se ve městech A a B liší.Celkový počet m³ vody, kterou spotřebuje domácnost za rok, označte x.

Vypočtěte, při jaké roční spotřebě vody (v m³) by zaplatila za vodu domácnost v městech A a B stejně.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Roční platby v obou městech

Roční spotřebu vody v m³ označíme $x$. Ve městě A se platí pouze za spotřebovanou vodu, celkem $72x$ Kč. Ve městě B se k ceně vody přičítá roční platba za přípojku, celkem tedy $61x + 990$ Kč.

Sestavení a řešení rovnice

Aby byly platby stejné, musí platit $72x = 61x + 990$. Od obou stran odečteme $61x$: $11x = 990$. Potom obě strany vydělíme 11 a dostaneme $x = 90$.

Ověření a výsledek

Při spotřebě 90 m³ zaplatí domácnost ve městě A $72 \cdot 90 = 6\,480$ Kč a ve městě B $61 \cdot 90 + 990 = 5\,490 + 990 = 6\,480$ Kč. Platby jsou stejné, hledaná roční spotřeba je tedy 90 m³.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

90 m³

Stav úlohy

2 body

Úloha 7.1

Doplňte do rámečku číslo tak, aby platila rovnost:

0,75 m² $\displaystyle =$ 25 cm² $\displaystyle +$ $\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ cm²

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na centimetry čtvereční

Protože 1 m = 100 cm, platí 1 m² = 100 · 100 = 10 000 cm². Převedeme tedy 0,75 m² = 0,75 · 10 000 = 7 500 cm².

Doplnění chybějícího čísla

Od celkových 7 500 cm² odečteme uvedených 25 cm²: 7 500 − 25 = 7 475 cm². Do rámečku doplníme 7 475.

Ověření výsledku

Ověříme součtem: 25 cm² + 7 475 cm² = 7 500 cm² = 0,75 m². Rovnost platí, výsledné číslo je 7 475.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

7475

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.2

Doplňte do rámečku číslo tak, aby platila rovnost:

0,2 dm³ $\displaystyle +$ $\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ cm³ $\displaystyle =$ 1 litr

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na stejné jednotky

Nejdřív převedeme všechny objemy na cm³. Platí 1 litr = 1 dm³ = 1 000 cm³. Proto 0,2 dm³ = 0,2 · 1 000 = 200 cm³.

Doplnění chybějícího objemu

Do 1 000 cm³ zbývá doplnit 1 000 − 200 = 800 cm³.

Výsledek a ověření

Do rámečku doplníme číslo 800. Ověříme: 200 cm³ + 800 cm³ = 1 000 cm³ = 1 litr.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

800

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.3

Doplňte do rámečku číslo tak, aby platila rovnost:

$\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ $\displaystyle \cdot$ 20 minut $\displaystyle =$ 8 $\displaystyle \cdot$ 0,75 hodiny

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na minuty

Nejdřív převedeme hodiny na minuty: 0,75 hodiny = 0,75 · 60 = 45 minut.

Celkový čas

Na pravé straně je 8 · 45 = 360 minut.

Doplnění čísla

Zjistíme, kolikrát se 20 minut vejde do 360 minut: 360 : 20 = 18. Do rámečku doplníme 18. Ověříme: 18 · 20 minut = 360 minut.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 8.1

Čtyřúhelník ABCD je složen ze dvou pravoúhlých trojúhelníků ABD a BCD.
Pro délky stran platí: |AD|=3 cm,|BC|=12 cm,|BD|=5 cm.

Vypočtěte v cm délku strany AB.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor pravoúhlého trojúhelníku

Z popisu obrázku zjistíme, že trojúhelník $ABD$ je pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu $A$. Strana $BD$ leží naproti pravému úhlu, jedná se tedy o přeponu. Strany $AB$ a $AD$ jsou odvěsny. Známe délku přepony $|BD| = 5\text{ cm}$ a odvěsny $|AD| = 3\text{ cm}$.

Výpočet délky odvěsny AB

Délku zbývající odvěsny $AB$ vypočítáme pomocí Pythagorovy věty:
$|AB|^2 + |AD|^2 = |BD|^2$

Dosadíme známé hodnoty:
$|AB|^2 + 3^2 = 5^2$
$|AB|^2 + 9 = 25$
$|AB|^2 = 25 - 9$
$|AB|^2 = 16$
$|AB| = 4$

Délka strany $AB$ je $4\text{ cm}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

4 cm

Stav úlohy

1 bod

Úloha 8.2

Čtyřúhelník ABCD je složen ze dvou pravoúhlých trojúhelníků ABD a BCD.
Pro délky stran platí: |AD|=3 cm,|BC|=12 cm,|BD|=5 cm.

Vypočtěte v cm délku strany CD.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor trojúhelníku BCD

Podle zadání i obrázku vidíme, že trojúhelník $BCD$ je pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu $B$. Známe délky obou jeho odvěsen: $|BD| = 5\text{ cm}$ a $|BC| = 12\text{ cm}$. Strana $CD$, jejíž délku hledáme, je přeponou tohoto trojúhelníku.

Výpočet délky strany CD

Pro výpočet přepony $CD$ použijeme Pythagorovu větu: $|CD|^2 = |BD|^2 + |BC|^2$.
Dosadíme známé hodnoty:
$|CD|^2 = 5^2 + 12^2$
$|CD|^2 = 25 + 144$
$|CD|^2 = 169$
$|CD| = \sqrt{169}$
$|CD| = 13\text{ cm}$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

13 cm

Stav úlohy

1 bod

Úloha 8.3

Čtyřúhelník ABCD je složen ze dvou pravoúhlých trojúhelníků ABD a BCD.
Pro délky stran platí: |AD|=3 cm,|BC|=12 cm,|BD|=5 cm.

Vypočtěte v cm² obsah čtyřúhelníku ABCD.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor trojúhelníku ABD

Vypočítáme délku neznámé odvěsny $AB$ pravoúhlého trojúhelníku $ABD$ pomocí Pythagorovy věty. Známe délku přepony $|BD| = 5\text{ cm}$ a odvěsny $|AD| = 3\text{ cm}$.

$|AB|^2 = |BD|^2 - |AD|^2$
$|AB|^2 = 5^2 - 3^2$
$|AB|^2 = 25 - 9$
$|AB|^2 = 16$
$|AB| = 4\text{ cm}$

Nyní spočítáme obsah tohoto trojúhelníku:
$S_{ABD} = \frac{|AB| \cdot |AD|}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6\text{ cm}^2$

Rozbor trojúhelníku BCD

Druhý pravoúhlý trojúhelník $BCD$ má pravý úhel u vrcholu $B$. Známe délky obou jeho odvěsen: $|BD| = 5\text{ cm}$ a $|BC| = 12\text{ cm}$.

Vypočítáme jeho obsah:
$S_{BCD} = \frac{|BD| \cdot |BC|}{2} = \frac{5 \cdot 12}{2} = 30\text{ cm}^2$

Výpočet obsahu čtyřúhelníku

Čtyřúhelník $ABCD$ je složen ze dvou trojúhelníků, jejichž obsah jsme právě spočítali. Celkový obsah tedy získáme jejich sečtením.

$S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{BCD}$
$S_{ABCD} = 6 + 30 = 36\text{ cm}^2$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

36 cm²

Stav úlohy

1 bod

Úloha 9

V rovině leží různoběžky o, p a bod L na přímce p.

Bod L je vrchol rovnoramenného trojúhelníku KLM, přímka o je osou souměrnosti tohoto trojúhelníku a strana KL leží na přímce p.

Sestrojte chybějící vrcholy K, M trojúhelníku KLM a trojúhelník narýsujte.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Oficiální klíč neobsahuje textová kritéria pro dílčí body. Porovnejte svou konstrukci se vzorovým řešením a body určete sami.

3 body: Vzorové řešení výše.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2017, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 10

V rovině leží body A, B a D.

Body A, B a D jsou vrcholy pravoúhlého lichoběžníku ABCD.

Sestrojte chybějící vrchol C lichoběžníku ABCD a lichoběžník narýsujte.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Oficiální klíč neobsahuje textová kritéria pro dílčí body. Porovnejte svou konstrukci se vzorovým řešením a body určete sami.

2 body: Vzorové řešení výše.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2017, úloha 10

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

2 body

Úloha 11.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Maminka, tatínek, Ema a Ota váží dohromady 210 kg. Maminka s tatínkem dohromady váží dvakrát více než Ema s Otou dohromady. Ota váží 45 kg a maminka váží o pětinu více než Ota.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Ema s Otou váží dohromady 70 kg.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení celkové hmotnosti

Ema s Otou dohromady představují jeden díl hmotnosti. Maminka s tatínkem váží dohromady dvakrát tolik, tedy dva stejné díly. Celkových 210 kg proto rozdělíme na tři stejné díly.

Výpočet a ověření

Jeden díl je 210 : 3 = 70 kg. Ema s Otou tedy váží dohromady 70 kg a rodiče 2 · 70 = 140 kg. Ověříme součet: 70 + 140 = 210 kg.

Závěr

Tvrzení, že Ema s Otou váží dohromady 70 kg, je pravdivé. Odpověď je A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 11.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Maminka, tatínek, Ema a Ota váží dohromady 210 kg. Maminka s tatínkem dohromady váží dvakrát více než Ema s Otou dohromady. Ota váží 45 kg a maminka váží o pětinu více než Ota.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Maminka váží o 20 kg více než Ema.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hmotnost Emy a Oty

Ema s Otou dohromady představují jeden díl hmotnosti, maminka s tatínkem dva stejné díly. Celkem jsou to tři díly, takže Ema s Otou váží dohromady $210 : 3 = 70$ kg.

Hmotnost maminky a Emy

Ota váží 45 kg, proto Ema váží $70 - 45 = 25$ kg. Pětina Otovy hmotnosti je $45 : 5 = 9$ kg. Maminka tedy váží $45 + 9 = 54$ kg.

Posouzení tvrzení

Maminka váží o $54 - 25 = 29$ kg více než Ema. Tvrzení, že váží o 20 kg více, je nepravdivé (N).

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 11.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Maminka, tatínek, Ema a Ota váží dohromady 210 kg. Maminka s tatínkem dohromady váží dvakrát více než Ema s Otou dohromady. Ota váží 45 kg a maminka váží o pětinu více než Ota.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Tatínek váží 86 kg.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hmotnost rodičů

Ema s Otou tvoří jeden díl celkové hmotnosti a rodiče dva stejně velké díly. Dohromady jsou to tři díly, takže jeden díl váží $210 : 3 = 70$ kg. Maminka s tatínkem tedy váží $2 \cdot 70 = 140$ kg.

Hmotnost maminky

Ota váží 45 kg. Pětina jeho hmotnosti je $45 : 5 = 9$ kg. Maminka váží o tuto pětinu více, tedy $45 + 9 = 54$ kg.

Hmotnost tatínka a výsledek

Od společné hmotnosti rodičů odečteme hmotnost maminky: $140 - 54 = 86$ kg. Tatínek tedy váží 86 kg. A – tvrzení je pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 12

Jaká je velikost úhlu δ?

Úhly neměřte, ale vypočtěte.

A) 192°
D) 248°
B) 214°
E) jiná velikost
C) 236°

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úhly při základně

Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180°. Na dva stejné úhly α zbývá 180° − 112° = 68°. Každý z nich tedy měří α = 68° : 2 = 34°.

Využití rovnoběžnosti

Vodorovná polopřímka z horního vrcholu je rovnoběžná se základnou. Úhel mezi touto polopřímkou a pravou stranou trojúhelníku je střídavý k vnitřnímu úhlu při pravém konci základny, a proto také měří 34°.

Menší úhel u vrcholu

Menší úhel mezi ramenem směřujícím k levému dolnímu vrcholu a vodorovnou polopřímkou se skládá z vrcholového úhlu 112° a právě vypočteného úhlu 34°. Dohromady měří 112° + 34° = 146°.

Výsledek

Vyznačený úhel δ vede vně trojúhelníku a doplňuje menší úhel do plného úhlu 360°. Proto δ = 360° − 146° = 214°. Správná je možnost B.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 13

Nádrž s vodou má tvar kvádru. Rozměry nádrže jsou uvedeny v obrázku. Zahrádkář naplnil vodou z nádrže 15 prázdných dvanáctilitrových konví, a hladina vody v nádrži tak klesla.

O kolik cm klesla hladina vody v nádrži?

A) o méně než 9 cm
D) o 11 cm
B) o 9 cm
E) o více než 11 cm
C) o 10 cm

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Objem odebrané vody

Zahrádkář naplnil 15 konví po 12 litrech. Z nádrže tedy odebral $15 \cdot 12 = 180$ litrů vody. Protože 1 litr je 1 000 cm³, je to $180 \cdot 1\,000 = 180\,000$ cm³.

Obsah dna nádrže

Podle obrázku má dno rozměry 1 m a 2 m, tedy 100 cm a 200 cm. Obsah dna je $100 \cdot 200 = 20\,000$ cm².

Pokles hladiny

Odebraná voda tvoří pomyslný kvádr se stejným dnem jako nádrž. Jeho výška odpovídá poklesu hladiny. Objem vydělíme obsahem dna: $180\,000 : 20\,000 = 9$ cm. Hladina tedy klesla o 9 cm. Správná odpověď je B.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 14

V lahvi je 1,5 litru minerálky. Všechnu minerálku z lahve přelijeme do prázdných skleniček o objemu $\displaystyle \frac{1}{3}$ litru. Kromě poslední skleničky budou všechny ostatní skleničky naplněné po okraj.

Jakou část objemu poslední skleničky vyplní zbytek minerálky?

A) $\displaystyle \frac{1}{2}$
D) $\displaystyle \frac{2}{3}$
B) $\displaystyle \frac{1}{3}$
E) jinou část
C) $\displaystyle \frac{1}{5}$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet plných skleniček

Nejdřív zjistíme, kolika skleničkám odpovídá objem minerálky: $1{,}5 : \frac{1}{3} = \frac{3}{2} \cdot 3 = 4{,}5$. Naplníme tedy čtyři skleničky po okraj a zbytek nalijeme do páté.

Zbytek minerálky

Ve čtyřech plných skleničkách je $4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ litru. Do poslední skleničky zbývá $\frac{3}{2} - \frac{4}{3} = \frac{9}{6} - \frac{8}{6} = \frac{1}{6}$ litru.

Výsledek

Celá sklenička má objem $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ litru. Zbytek $\frac{1}{6}$ litru tedy vyplní polovinu jejího objemu. Správná odpověď je A: $\frac{1}{2}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.1

Celkem 70 % z 520 důchodců používá kartu do bankomatu.

Kolik důchodců nepoužívá kartu do bankomatu?

A) méně než 151
D) 156
B) 151
E) 160
C) 153
F) více než 160

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Podíl důchodců bez karty

Kartu používá 70 % důchodců. Kartu tedy nepoužívá zbývajících 100 − 70 = 30 % důchodců.

Výpočet počtu důchodců

Nejdřív vypočítáme 1 % z 520: 520 : 100 = 5,2. Potom vypočítáme 30 %: 30 · 5,2 = 156.

Výsledek

Kartu do bankomatu nepoužívá 156 důchodců. Správná je možnost D.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.2

Do oddílu přibyli 3 noví členové a počet členů se tak zvýšil o 2 %.

Kolik členů má nyní oddíl?

A) méně než 151
D) 156
B) 151
E) 160
C) 153
F) více než 160

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Význam procent

Tři noví členové představují 2 % původního počtu členů. Původní počet členů je tedy 100 %.

Původní počet členů

100 % je padesátkrát více než 2 %, protože 100 : 2 = 50. Oddíl měl původně 3 · 50 = 150 členů. Ověříme: 2 % ze 150 jsou 150 · 0,02 = 3 členové.

Výsledek

K původním 150 členům přičteme 3 nové členy: 150 + 3 = 153. Oddíl má nyní 153 členů, správná je možnost C.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.3

Ve sportovním gymnáziu hraje 20 % chlapců hokej a zbývajících 192 chlapců florbal. Chlapci tvoří 60 % všech žáků tohoto gymnázia.

Kolik dívek navštěvuje sportovní gymnázium?

A) méně než 151
D) 156
B) 151
E) 160
C) 153
F) více než 160

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet chlapců

Florbal hraje 100 % − 20 % = 80 % chlapců. Jestliže 80 % odpovídá 192 chlapcům, všech chlapců je 192 : 80 · 100 = 240.

Počet všech žáků

240 chlapců tvoří 60 % všech žáků. Gymnázium tedy navštěvuje 240 : 60 · 100 = 400 žáků.

Počet dívek

Dívek je 400 − 240 = 160. Sportovní gymnázium navštěvuje 160 dívek, správná je možnost E.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 16.1

V rovnostranném trojúhelníku se v jednotlivých řadách pravidelně střídají tmavé a bílé shodné trojúhelníčky. Ze dvou shodných trojúhelníků je vytvořen kosočtverec.Obdobným způsobem lze z větších trojúhelníků vytvořit kosočtverec s větším počtem řad.

Kosočtverec má v každé řadě 4 bílé trojúhelníčky.

Určete počet tmavých trojúhelníčků v kosočtverci.

A) méně než 151
D) 156
B) 151
E) 160
C) 153
F) více než 160

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet řad

V trojúhelníku s vrcholem nahoru je v první řadě 0 bílých trojúhelníčků a v každé další řadě o jeden více. V horní řadě kosočtverce se tato první řada spojí s nejširší řadou obráceného trojúhelníku. Ta tedy musí mít 4 bílé trojúhelníčky. Počty bílých trojúhelníčků v řadách jednoho trojúhelníku jsou 0, 1, 2, 3, 4, takže kosočtverec má 5 řad.

Tmavé trojúhelníčky v řadě

V trojúhelníku s vrcholem nahoru jsou shora dolů 1, 2, 3, 4 a 5 tmavých trojúhelníčků. Obrácený trojúhelník do stejných řad přidá 5, 4, 3, 2 a 1 tmavý trojúhelníček. Součty jsou 1 + 5, 2 + 4, 3 + 3, 4 + 2 a 5 + 1. V každé řadě kosočtverce je tedy 6 tmavých trojúhelníčků.

Výsledek

Kosočtverec má 5 řad, v každé 6 tmavých trojúhelníčků. Celkem je v něm $5 \cdot 6 = 30$ tmavých trojúhelníčků.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.2

Kosočtverec má v každé řadě 6 tmavých trojúhelníčků.

Určete počet všech trojúhelníčků (bílých i tmavých) v kosočtverci.

A) méně než 151
D) 156
B) 151
E) 160
C) 153
F) více než 160

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet řad

Horní řadu kosočtverce tvoří nejširší řada obráceného trojúhelníku a špička druhého trojúhelníku. Ve špičce je 1 tmavý trojúhelníček, takže v nejširší řadě musí být zbývajících 6 − 1 = 5 tmavých trojúhelníčků. V trojúhelníku přibývá v každé další řadě jeden tmavý trojúhelníček, proto má trojúhelník i kosočtverec 5 řad.

Počet trojúhelníčků v řadě

V nejširší řadě trojúhelníku se střídá 5 tmavých a 4 bílé trojúhelníčky, celkem tedy 9. Se špičkou druhého trojúhelníku je v horní řadě kosočtverce 9 + 1 = 10 trojúhelníčků. V každé další řadě v jednom trojúhelníku dva trojúhelníčky přibudou a ve druhém dva ubudou. Každá řada kosočtverce má proto také 10 trojúhelníčků.

Výsledek

Kosočtverec má 5 řad po 10 trojúhelníčcích: 5 · 10 = 50. Celkem je v něm 50 trojúhelníčků, tedy méně než 151 (možnost A).

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.3

Kosočtverec má v každé řadě 21 tmavých trojúhelníčků.

Určete počet všech trojúhelníčků (bílých i tmavých) v kosočtverci.

A) méně než 151
D) 156
B) 151
E) 160
C) 153
F) více než 160

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet trojúhelníčků v řadě

V každé řadě každého z obou velkých trojúhelníků je o jeden tmavý trojúhelníček více než bílých. V celé řadě kosočtverce jsou tedy o dva tmavé trojúhelníčky více než bílých. Bílých je $21 - 2 = 19$, takže jedna řada obsahuje $21 + 19 = 40$ trojúhelníčků.

Počet řad

V horní řadě kosočtverce je z trojúhelníku s vrcholem nahoru pouze jeden tmavý trojúhelníček. Zbývajících $21 - 1 = 20$ tmavých trojúhelníčků patří do nejširší řady obráceného trojúhelníku. Řady každého velkého trojúhelníku obsahují od vrcholu postupně 1, 2, 3 a tak dále tmavých trojúhelníčků. V nejširší řadě je proto tolik tmavých trojúhelníčků, kolik má trojúhelník řad. Kosočtverec má tedy 20 řad.

Celkový počet trojúhelníčků

Ve 20 řadách po 40 trojúhelníčcích je dohromady $20 \cdot 40 = 800$ trojúhelníčků. Kosočtverec obsahuje 800 trojúhelníčků.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

800

Stav úlohy

2 body