Přijímací testy 9. ročník

Podkategorie: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2016

32 úloh

PDF+Klíč

Úloha 1

Vypočtěte, kolikrát je rozdíl čísel 1,4 a 0,7 (v tomto pořadí) menší než jejich součet.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl čísel

Nejdřív odečteme čísla v uvedeném pořadí: $1{,}4 - 0{,}7 = 0{,}7$.

Součet čísel

Potom vypočítáme jejich součet: $1{,}4 + 0{,}7 = 2{,}1$.

Porovnání a výsledek

Kolikrát je rozdíl menší než součet, zjistíme vydělením součtu rozdílem: $2{,}1 : 0{,}7 = 3$. Rozdíl je tedy 3krát menší než součet. Ověříme: $3 \cdot 0{,}7 = 2{,}1$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2.1

Vypočtěte:

$\displaystyle 0,5 \cdot 0,06 - 0,09 \div 0,1 =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Násobení a dělení

Podle přednosti matematických operací nejprve vynásobíme a vydělíme, teprve potom odčítáme.

Při násobení $0,5 \cdot 0,06$ si čísla můžeme vynásobit bez ohledu na desetinné čárky: $5 \cdot 6 = 30$. Činitelé mají dohromady tři desetinná místa (jedno u $0,5$ a dvě u $0,06$), takže výsledek musí mít také tři desetinná místa. Dostáváme $0,030$, což zkrátíme na $0,03$.

Při dělení $0,09 \div 0,1$ je lepší nedělit desetinným číslem. Obě čísla (dělenec i dělitel) si proto vynásobíme deseti, abychom z dělitele udělali celé číslo: $0,9 \div 1 = 0,9$.

Odčítání

Mezivýsledky dosadíme do původního zadání:
$0,03 - 0,9$

Protože od menšího čísla odčítáme větší, výsledek bude záporný. Můžeme si odčítání upravit: $-(0,90 - 0,03)$.

Výsledek je $-0,87$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

−0,87

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2.2

Vypočtěte:

$\displaystyle \left( 9- \sqrt{9} \right) ^2 - \left( \sqrt{9} \right)^2 =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odmocnina a závorky

Nejdřív vypočítáme $\sqrt{9}=3$, protože $3\cdot 3=9$. Dosadíme do výrazu: $(9-3)^2-3^2=6^2-3^2$.

Umocnění

Potom vypočítáme druhé mocniny: $6^2=6\cdot 6=36$ a $3^2=3\cdot 3=9$.

Výsledek

Nakonec odečteme: $36-9=27$. Výsledek je 27.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle 2- \frac{3}{5}\cdot \frac{5}{2} } {2}=$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Násobení v čitateli

Při výpočtu čitatele má přednost násobení před odčítáním. Zlomky vynásobíme tak, že čitatele vynásobíme čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. Můžeme si také rovnou zkrátit pětky.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{3}{2}$

Odčítání v čitateli

Nyní výsledek násobení odečteme od čísla $2$. Číslo $2$ si převedeme na zlomek se jmenovatelem $2$, tedy $2 = \frac{4}{2}$.

$2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$

Složený zlomek a výsledek

Dosadíme do původního zlomku. Složený zlomek znamená dělení, takže čitatele (zlomek $\frac{1}{2}$) dělíme jmenovatelem (číslem $2$). Dělit dvěma znamená násobit jednou polovinou.

$\frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{2} : 2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

1/4

Stav úlohy

2 body

Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{3}{4} \div \frac{15}{2} - \left( \frac{3}{5} \right) ^2=$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Dělení zlomků

Nejdřív vydělíme zlomky. Dělení zlomkem nahradíme násobením jeho převrácenou hodnotou: $\frac{3}{4} \div \frac{15}{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{15} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10}$.

Druhá mocnina zlomku

Při umocnění zlomku na druhou umocníme čitatele i jmenovatele: $\left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 5} = \frac{9}{25}$.

Odečtení a výsledek

Zlomky převedeme na společného jmenovatele 50 a odečteme: $\frac{1}{10} - \frac{9}{25} = \frac{5}{50} - \frac{18}{50} = -\frac{13}{50}$. Čísla 13 a 50 nemají společného dělitele většího než 1, takže výsledek $-\frac{13}{50}$ je v základním tvaru.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-13/50

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.1

Výsledný výraz nesmí obsahovat závorky.

Zjednodušte:

$\displaystyle \left( 2 {\rm x} -3 \right) ^2 + \left( 12 {\rm x} -2 {\rm x} ^2 \right) =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozvinutí druhé mocniny

Použijeme vzorec $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$: $(2x-3)^2=4x^2-12x+9$.

Odstranění závorek

Před druhou závorkou je plus, proto se znaménka jejích členů nemění. Po odstranění závorek dostaneme $4x^2-12x+9+12x-2x^2$.

Sečtení členů a výsledek

Sečteme členy se stejnou mocninou: $4x^2-2x^2=2x^2$ a $-12x+12x=0$. Číslo $9$ zůstává. Výsledný výraz bez závorek je $2x^2+9$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

2x²+9

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.2

Výsledný výraz nesmí obsahovat závorky.

Zjednodušte:

$\displaystyle \left( 2+ {\rm y} \right) \left( {\rm y}-2 \right) - 2 \left( {\rm y} ^2 -1 \right) =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Roznásobení prvních dvou závorek

Každý člen první závorky vynásobíme každým členem druhé závorky: $(2+y)(y-2)=2y-4+y^2-2y=y^2-4$. Členy $2y$ a $-2y$ se navzájem zruší.

Odstranění zbývající závorky

Závorku násobíme číslem $-2$: $-2(y^2-1)=-2y^2+2$. Součin dvou záporných čísel je kladný.

Sečtení podobných členů

Dohromady dostaneme $y^2-4-2y^2+2$. Sečteme členy s $y^2$ a potom čísla: $(1-2)y^2=-y^2$ a $-4+2=-2$. Výsledný výraz bez závorek je $\boxed{-y^2-2}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-y²-2

Stav úlohy

2 body

Úloha 5

Řešte rovnici:

$\displaystyle \frac{6+5 {\rm x} }{6} - \frac{1}{3} = \frac{10}{9} {\rm x} + 1$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění zlomků

Celou rovnici vynásobíme číslem 18, které je společným násobkem jmenovatelů 6, 3 a 9. Dostaneme $3(6+5x)-6=20x+18$. Roznásobíme závorku a sečteme čísla: $12+15x=20x+18$.

Úprava rovnice

Od obou stran odečteme $15x$: $12=5x+18$. Potom od obou stran odečteme 18: $-6=5x$.

Výpočet neznámé

Obě strany vydělíme číslem 5. Vyjde $x=-\frac{6}{5}=-1{,}2$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme $x=-\frac{6}{5}$ do původní rovnice. Levá strana je $\frac{6-6}{6}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}$. Pravá strana je $\frac{10}{9}\cdot\left(-\frac{6}{5}\right)+1=-\frac{4}{3}+1=-\frac{1}{3}$. Obě strany se rovnají, proto je řešením $x=-\frac{6}{5}=-1{,}2$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-6/5

Stav úlohy

3 body

Úloha 6.1

Farmář přivezl na trh brambory. Za první hodinu prodal dvě pětiny přivezených brambor, za druhou hodinu prodal pět šestin zbývajících brambor a během třetí hodiny doprodal posledních 40 kg brambor.

Vyjádřete zlomkem, jaká část přivezených brambor zbyla farmářovi po první hodině prodeje.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Přivezené brambory jako celek

Všechny přivezené brambory tvoří celek, tedy $\frac{5}{5}$. Za první hodinu farmář prodal $\frac{2}{5}$ tohoto množství.

Výsledek

Prodanou část odečteme od celku: $\frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$. Po první hodině zbyly farmářovi tři pětiny přivezených brambor.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

3/5

Stav úlohy

1 bod

Úloha 6.2

Vypočtěte, kolik kilogramů brambor prodal farmář za druhou hodinu.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zbytek po druhé hodině

Za druhou hodinu farmář prodal pět šestin brambor, které mu zbyly po první hodině. Zůstala tedy jedna šestina, a to posledních 40 kg. Před druhou hodinou měl proto $6 \cdot 40 = 240$ kg brambor.

Prodej za druhou hodinu

Prodaných pět šestin tvoří pět dílů po 40 kg: $5 \cdot 40 = 200$ kg. Ověříme: $240 - 200 = 40$ kg, které doprodal ve třetí hodině. Farmář za druhou hodinu prodal 200 kg brambor.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

200

Stav úlohy

2 body

Úloha 6.3

Vypočtěte, kolik kilogramů brambor přivezl farmář na trh.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zbytek po druhé hodině

Za druhou hodinu farmář prodal pět šestin zbývajících brambor, takže mu zůstala jedna šestina. Tato jedna šestina vážila 40 kg. Před druhou hodinou tedy měl $6 \cdot 40 = 240$ kg brambor.

Původní množství

Za první hodinu prodal dvě pětiny přivezených brambor, a zůstaly mu tedy tři pětiny. Ty vážily 240 kg. Jedna pětina vážila $240 : 3 = 80$ kg. Všech pět pětin vážilo $5 \cdot 80 = 400$ kg.

Výsledek a ověření

Farmář přivezl na trh 400 kg brambor. Za první hodinu prodal $400 : 5 \cdot 2 = 160$ kg a zůstalo mu 240 kg. Za druhou hodinu prodal $240 : 6 \cdot 5 = 200$ kg. Na třetí hodinu tak zůstalo $240 - 200 = 40$ kg, což odpovídá zadání.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

400

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.1

Vypočtěte, kolikrát je menší 5 dm² než 100 m².

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na stejnou jednotku

Nejdřív převedeme obě plochy na dm². Protože 1 m = 10 dm, platí 1 m² = 10 · 10 = 100 dm². Tedy 100 m² = 100 · 100 = 10 000 dm².

Porovnání ploch

Abychom zjistili, kolikrát je menší plocha menší než větší, vydělíme větší plochu menší: 10 000 : 5 = 2 000.

Výsledek

Plocha 5 dm² je 2 000krát menší než plocha 100 m². Ověříme: 2 000 · 5 dm² = 10 000 dm² = 100 m².

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

2000

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.2

Vypočtěte, kolik cm³ je jedna desetina litru.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod litru na cm³

Jeden litr je 1 dm³. Protože 1 dm = 10 cm, platí 1 dm³ = 10 · 10 · 10 = 1 000 cm³.

Jedna desetina litru

Jednu desetinu získáme dělením deseti: 1 000 : 10 = 100. Jedna desetina litru je tedy 100 cm³.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

100

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.3

Vyjádřete zlomkem, jakou část z 24 hodin tvoří 80 minut.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na minuty

Nejdřív převedeme 24 hodin na minuty: $24 \cdot 60 = 1440$ minut.

Sestavení a zkrácení zlomku

80 minut tvoří z celkových 1440 minut část $\frac{80}{1440}$. Čitatele i jmenovatele vydělíme 80: $\frac{80}{1440} = \frac{1}{18}$.

Výsledek

80 minut tvoří $\frac{1}{18}$ z 24 hodin. Ověříme: $1440 : 18 = 80$ minut.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

1/18

Stav úlohy

1 bod

Úloha 8.1

Domeček na obrázku je složen ze čtverce a pravoúhlého trojúhelníku. Navzájem kolmé strany trojúhelníku měří 6 cm a 8 cm.

Vypočtěte obsah trojúhelníku.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Ze zadání a obrázku víme, že trojúhelník je pravoúhlý. Jeho odvěsny (strany svírající pravý úhel) mají délky $6\text{ cm}$ a $8\text{ cm}$.

Výpočet obsahu trojúhelníku

Obsah pravoúhlého trojúhelníku vypočítáme jako polovinu součinu délek jeho odvěsen.
$S = \frac{a \cdot b}{2}$
Dosadíme zadané délky:
$S = \frac{6 \cdot 8}{2}$
$S = \frac{48}{2}$
$S = 24\text{ cm}^2$

Výsledek

Obsah trojúhelníku je $24\text{ cm}^2$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 8.2

Domeček na obrázku je složen ze čtverce a pravoúhlého trojúhelníku. Navzájem kolmé strany trojúhelníku měří 6 cm a 8 cm.

Vypočtěte šířku domečku (s).

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrazce

Domeček se skládá ze čtverce a pravoúhlého trojúhelníku. Ze zadání a obrázku vyplývá, že horní strana čtverce je zároveň přeponou (nejdelší stranou) pravoúhlého trojúhelníku. Šířka domečku $s$ odpovídá délce této přepony.

Výpočet přepony trojúhelníku

Délky odvěsen trojúhelníku jsou 6 cm a 8 cm. Použijeme Pythagorovu větu ($c^2 = a^2 + b^2$):

$s^2 = 6^2 + 8^2$
$s^2 = 36 + 64$
$s^2 = 100$
$s = \sqrt{100} = 10$

Závěr

Šířka domečku $s$ je rovna 10 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 9

V rovině leží přímka p a mimo ni dva různé body M, L.

Na přímce p sestrojte všechny takové body

1. K, aby velikost úhlu KLM byla 60°.
2. N, aby vzdálenost bodů M, N byla stejná jako vzdálenost bodů M, L.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Oficiální klíč neobsahuje textová kritéria pro dílčí body. Porovnejte svou konstrukci se vzorovým řešením a body určete sami.

Dílčí body se sčítají, nejvýše do 3 bodů.

9.1 · +1 bod: Vzorové řešení výše.
9.2 · +2 body: Vzorové řešení výše.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2016, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 10

V rovině leží přímka BD.

Sestrojte chybějící vrcholy A, C čtverce ABCD. Čtverec narýsujte.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Oficiální klíč neobsahuje textová kritéria pro dílčí body. Porovnejte svou konstrukci se vzorovým řešením a body určete sami.

2 body: Vzorové řešení výše.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2016, úloha 10

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

2 body

Úloha 11.1

Stará fotografie tvaru obdélníku má délka a = 12 cm a šířku b = 9 cm. Při kopírování vznikla nová fotografie, jejíž rozměry jsou 1,5krát větší než u staré fotografie.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Šířka nové fotografie je stejná jako délka staré fotografie.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet nové šířky

Šířka staré fotografie je 9 cm. Rozměry nové fotografie jsou 1,5krát větší, proto její šířku vypočítáme: $9 \cdot 1{,}5 = 13{,}5$ cm.

Posouzení tvrzení

Nová fotografie má šířku 13,5 cm, zatímco stará fotografie má délku 12 cm. Tyto rozměry nejsou stejné. Tvrzení je nepravdivé, odpověď N.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 11.2

Stará fotografie tvaru obdélníku má délka a = 12 cm a šířku b = 9 cm. Při kopírování vznikla nová fotografie, jejíž rozměry jsou 1,5krát větší než u staré fotografie.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Délky nové a staré fotografie jsou v poměru 3 : 2.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Délka nové fotografie

Stará fotografie má délku 12 cm. Nová fotografie má rozměry 1,5krát větší, takže její délka je 12 · 1,5 = 18 cm.

Poměr délek

Délku nové fotografie porovnáme s délkou staré fotografie v tomto pořadí: 18 : 12. Obě čísla vydělíme 6 a dostaneme poměr 3 : 2.

Výsledek

Délky nové a staré fotografie jsou v poměru 3 : 2. Tvrzení je pravdivé, proto volíme A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

1 bod

Úloha 11.3

Stará fotografie tvaru obdélníku má délka a = 12 cm a šířku b = 9 cm. Při kopírování vznikla nová fotografie, jejíž rozměry jsou 1,5krát větší než u staré fotografie.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Délka a šířka nové fotografie jsou v poměru 4 : 3.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry nové fotografie

Oba rozměry vynásobíme číslem 1,5. Nová délka je 12 · 1,5 = 18 cm a nová šířka je 9 · 1,5 = 13,5 cm.

Zkrácení poměru

Poměr délky a šířky je 18 : 13,5. Obě čísla vydělíme číslem 4,5: 18 : 4,5 = 4 a 13,5 : 4,5 = 3. Dostaneme poměr 4 : 3.

Výsledek

Délka a šířka nové fotografie jsou v poměru 4 : 3. Tvrzení je pravdivé, odpověď je A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

1 bod

Úloha 12.1

Ze čtverce se středem S byl vystřižen kruh s největším možným poloměrem.

Obvod kruhu je
$\displaystyle o = \pi \cdot$ 10 cm.

Rozhodněte o následujícím tvrzení , zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah kruhu je $\displaystyle \pi \cdot$ 25cm²

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Z textu i obrázku vyplývá, že do čtverce je vepsán kruh s největším možným poloměrem. Průměr tohoto kruhu ($d$) odpovídá délce strany čtverce a podle obrázku je roven 10 cm.

Určení poloměru

Poloměr kruhu ($r$) je polovina jeho průměru. Vypočítáme ho tedy jako:
$r = 10 : 2 = 5\text{ cm}$

Výpočet obsahu kruhu

Obsah kruhu vypočítáme podle vzorce $S = \pi \cdot r^2$. Dosadíme náš poloměr:
$S = \pi \cdot 5^2 = \pi \cdot 25\text{ cm}^2$

Závěr

Vypočítaný obsah $\pi \cdot 25\text{ cm}^2$ přesně odpovídá tvrzení v zadání. Tvrzení je proto pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

1 bod

Úloha 12.2

Ze čtverce se středem S byl vystřižen kruh s největším možným poloměrem.

Obvod kruhu je
$\displaystyle o = \pi \cdot$ 10 cm.

Rozhodněte o následujícím tvrzení , zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah čtverce je 400 cm².

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění průměru kruhu

Ze zadání známe vzorec pro obvod vystřiženého kruhu: $o = \pi \cdot 10$ cm. Běžný vzorec pro obvod kruhu je $o = \pi \cdot d$, kde $d$ je průměr. Porovnáním obou zápisů zjistíme, že průměr kruhu je $10$ cm. To samé nám ukazuje i obrázek.

Délka strany čtverce

Kruh s největším možným poloměrem, který lze ze čtverce vystřihnout, se dotýká všech jeho stran. Jeho průměr je roven délce strany čtverce. Strana čtverce proto měří $10$ cm.

Ověření tvrzení

Obsah tohoto čtverce vypočítáme podle vzorce $S = a \cdot a$. Dosadíme: $S = 10 \cdot 10 = 100$ cm². Tvrzení říká, že obsah čtverce je $400$ cm². Podle našeho výpočtu je to ale pouze $100$ cm². Tvrzení je proto nepravdivé (N).

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 12.3

Ze čtverce se středem S byl vystřižen kruh s největším možným poloměrem.

Obvod kruhu je
$\displaystyle o = \pi \cdot$ 10 cm.

Rozhodněte o následujícím tvrzení , zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obvod čtverce je 40 cm.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Ze zadaného vzorce pro obvod kruhu $o = \pi \cdot 10$ zjistíme jeho průměr. Protože obecný vzorec pro obvod kruhu je $o = \pi \cdot d$, průměr kruhu $d$ je $10\text{ cm}$. Kruh je podle zadání do čtverce vepsán (má největší možný poloměr). Průměr kruhu je tedy roven délce strany čtverce.

Výpočet obvodu čtverce

Délka strany čtverce je $a = 10\text{ cm}$. Obvod čtverce vypočítáme jako součet délek jeho čtyř stran, tedy podle vzorce $o = 4 \cdot a$.
$o = 4 \cdot 10 = 40\text{ cm}$

Závěr

Vypočítali jsme, že obvod čtverce je $40\text{ cm}$. Tvrzení v zadání je tedy pravdivé (A).

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

1 bod

Úloha 13

Kolik je α + β?

Úhly neměřte.

A) 104°
D) 143°
B) 113°
E) jiný výsledek
C) 142°

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úhel u horního vrcholu

Úhel γ a vyznačený úhel 113° jsou vedlejší úhly: mají společné rameno a jejich druhá ramena tvoří přímku. Dohromady mají 180°, proto γ = 180° − 113° = 67°.

Součet úhlů v trojúhelníku

Vnitřní úhly trojúhelníku mají dohromady 180°. Po odečtení horního úhlu zbývá α + β = 180° − 67° = 113°.

Výsledek

α + β = 113°. Správná je možnost B.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 14

Kvádr má čtvercovou podstavu o obsahu 25 cm². Obsah boční stěny je o 5 cm² větší než obsah podstavy.

Jaký je objem kvádru?

A) 125 cm³
D) 175 cm³
B) 150 cm³
E) jiný objem
C) 170 cm³

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Strana čtvercové podstavy

Podstava je čtverec s obsahem 25 cm². Protože 5 · 5 = 25, má stranu dlouhou 5 cm.

Výška kvádru

Obsah boční stěny je 25 + 5 = 30 cm². Boční stěna je obdélník, jehož jedna strana měří 5 cm a druhá je výškou kvádru. Výška tedy měří 30 : 5 = 6 cm.

Objem kvádru

Objem získáme vynásobením obsahu podstavy výškou: 25 · 6 = 150 cm³. Objem kvádru je 150 cm³, správná je možnost B.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15

Čtyři nepřetržitě pracující stroje uklidí společně halu za 24 hodin. Všechny stroje jsou stejně výkonné.
Když se použije o jeden stroj méně, doba úklidu haly se prodlouží.

O kolik hodin se doba úklidu prodlouží?

A) o 8 hodin
D) o 3 hodiny
B) o 6 hodin
E) o 2 hodiny
C) o 4 hodiny

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celková práce

Čtyři stejně výkonné stroje uklidí halu za 24 hodin. Jeden stroj by na stejný úklid potřeboval čtyřikrát delší dobu: $4 \cdot 24 = 96$ hodin.

Doba úklidu třemi stroji

Po odebrání jednoho stroje zůstanou tři stroje. Celkovou práci si rozdělí rovnoměrně, takže úklid potrvá $96 : 3 = 32$ hodin. Méně strojů potřebuje na stejnou práci více času.

Prodloužení doby úklidu

Od nové doby odečteme původní dobu: $32 - 24 = 8$ hodin. Doba úklidu se prodlouží o 8 hodin, správná je možnost A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 16.1

Kabát, který stál původně 2 100 korun, byl zlevněn o 40 %.

Kolik korun stál po slevě?

A) méně než 1 200 korun
D) 1 260 korun
B) 1 200 korun
E) 1 280 korun
C) 1 240 korun
F) více než 1 280 korun

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet slevy

Původní cena 2 100 Kč představuje 100 %. Jedno procento je 2 100 : 100 = 21 Kč. Sleva 40 % je tedy 40 · 21 = 840 Kč.

Cena po slevě

Slevu odečteme od původní ceny: 2 100 − 840 = 1 260 Kč.

Výsledek

Kabát po slevě stál 1 260 Kč. Správná je možnost D.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 16.2

Bunda stála původně 2 000 korun. Poté byla dvakrát zlevněna, vždy na 80 % předchozí ceny.

Kolik korun stála po druhé slevě?

A) méně než 1 200 korun
D) 1 260 korun
B) 1 200 korun
E) 1 280 korun
C) 1 240 korun
F) více než 1 280 korun

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cena po první slevě

Po první slevě bunda stojí 80 % původních 2 000 korun. Vypočítáme: 2 000 · 0,8 = 1 600 korun.

Cena po druhé slevě

Druhá sleva se počítá z předchozí ceny 1 600 korun. Znovu vezmeme 80 %: 1 600 · 0,8 = 1 280 korun.

Výsledek

Po druhé slevě bunda stála 1 280 korun. Správná je možnost E.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 16.3

Sako bylo zlevněno o 40 % na 1 860 korun.

Kolik korun činí sleva?

A) méně než 1 200 korun
D) 1 260 korun
B) 1 200 korun
E) 1 280 korun
C) 1 240 korun
F) více než 1 280 korun

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cena po slevě

Sako bylo zlevněno o 40 % původní ceny. Cena po slevě tedy představuje 100 − 40 = 60 % původní ceny. Těchto 60 % je 1 860 Kč.

Výpočet slevy

Nejdřív vypočítáme 1 % původní ceny: 1 860 : 60 = 31 Kč. Sleva je 40 %, tedy 40 · 31 = 1 240 Kč.

Ověření a výsledek

Původní cena byla 100 · 31 = 3 100 Kč. Ověříme: 3 100 − 1 240 = 1 860 Kč. Sleva činí 1 240 Kč, správná je možnost C.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 17.1

Anna, Bára a Cilka si v 1. čtvrtletí spořily peníze. Úspory za březen zapomněly zaznamenat do grafu.
Lednové úspory Anny jsou aritmetickým průměrem jejích úspor za únor a březen.
V březnu uspořila Cilka o polovinu více než Bára, ale za celé čtvrtletí uspořily obě dívky stejnou částku.

Vypočtěte, kolik korun uspořila v březnu Anna.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Údaje z grafu

Anna uspořila v lednu 80 Kč a v únoru 60 Kč. Lednová částka je aritmetickým průměrem jejích úspor za únor a březen.

Výpočet březnových úspor

Průměr dvou částek získáme jejich součtem děleným dvěma. Úspory za únor a březen tedy dohromady činí 2 · 80 = 160 Kč. Za únor už známe 60 Kč, takže na březen zbývá 160 − 60 = 100 Kč.

Ověření a výsledek

Ověříme průměr: (60 + 100) : 2 = 80 Kč, což odpovídá lednovým úsporám. Anna v březnu uspořila 100 Kč.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

100

Stav úlohy

1 bod

Úloha 17.2

Anna, Bára a Cilka si v 1. čtvrtletí spořily peníze. Úspory za březen zapomněly zaznamenat do grafu.

Lednové úspory Anny jsou aritmetickým průměrem jejích úspor za únor a březen.

V březnu uspořila Cilka o polovinu více než Bára, ale za celé čtvrtletí uspořily obě dívky stejnou částku.

Vypočtěte, kolik korun uspořila v březnu Bára a kolik Cilka.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úspory podle grafu

Bára za leden a únor uspořila $100 + 40 = 140$ Kč. Cilka za stejné měsíce uspořila $20 + 80 = 100$ Kč. Bára tedy měla před březnem o $140 - 100 = 40$ Kč více.

Březnové úspory

Aby měly za celé čtvrtletí stejnou částku, musela Cilka v březnu uspořit o 40 Kč více než Bára. Podle zadání je tento rozdíl polovinou Bářiných březnových úspor. Bára tedy v březnu uspořila $2 \cdot 40 = 80$ Kč a Cilka $80 + 40 = 120$ Kč.

Ověření a výsledek

Bára za čtvrtletí uspořila $140 + 80 = 220$ Kč a Cilka $100 + 120 = 220$ Kč. Částky jsou stejné a 120 Kč je o polovinu více než 80 Kč. V březnu Bára uspořila 80 Kč a Cilka 120 Kč.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

80, 120

Stav úlohy

2 body