Načítání…
Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 9. ročník

Podkategorie: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2015

30 úloh

PDF+Klíč
Úloha 1

Vypočtěte:

$\displaystyle 20-3 \cdot \left( 30-30 \div 2 \right) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Přednost operací v závorce

Nejdříve řešíme to, co je v závorce. Uvnitř závorky má navíc dělení přednost před odčítáním. Vypočítáme dělení: $30 \div 2 = 15$. Závorka se nám tím zjednoduší na $30 - 15 = 15$.

Dokončení výpočtu

Hodnotu závorky dosadíme zpět do původního výrazu: $20 - 3 \cdot 15$. Násobení má přednost před odčítáním, proto nejdříve vynásobíme $3 \cdot 15 = 45$. Nakonec už jen odečteme: $20 - 45 = -25$.

Výsledek

Výsledek je $-25$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-25

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2

Zapište zlomkem v základním tvaru jednu šestinu rozdílu 2,4 – 1,5.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl čísel

Nejdřív vypočítáme rozdíl: $2{,}4 - 1{,}5 = 0{,}9$.

Jedna šestina rozdílu

Jednu šestinu získáme dělením šesti: $0{,}9 : 6 = 0{,}15$.

Zlomek v základním tvaru

Desetinné číslo zapíšeme zlomkem a zkrátíme pěti: $0{,}15 = \frac{15}{100} = \frac{3}{20}$. Čísla 3 a 20 už nemají společného dělitele většího než 1, takže výsledkem je $\frac{3}{20}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

3/20

Stav úlohy
2 body
Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{1}{6}+ \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8}=$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Přednost operací a krácení

Ve výrazu má násobení přednost před sčítáním. Nejdřív tedy vynásobíme zlomky $\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8}$. Můžeme si pomoci krácením do kříže:
  • čísla 2 a 8 vydělíme číslem 2, získáme 1 a 4
  • čísla 3 a 9 vydělíme číslem 3, získáme 1 a 3
Po vykrácení vynásobíme:
$\frac{1}{1} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$

Sčítání zlomků

Teď přičteme vypočítaný výsledek k prvnímu zlomku ze zadání:
$\frac{1}{6} + \frac{3}{4}$
Abychom mohli zlomky sečíst, musíme je převést na společného jmenovatele. Nejmenší společný násobek čísel 6 a 4 je 12. Zlomky tedy rozšiřujeme:
$\frac{1 \cdot 2}{12} + \frac{3 \cdot 3}{12} = \frac{2}{12} + \frac{9}{12} = \frac{11}{12}$

Závěr

Výsledný zlomek $\frac{11}{12}$ již nelze dále krátit žádným společným dělitelem, je tedy v základním tvaru.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

11/12

Stav úlohy
2 body
Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{2}{3} \div \frac{5}{2} - \frac{2}{3} =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Přednost operací

Ve výrazu má přednost dělení před odčítáním. Dělení zlomkem provedeme tak, že ho vynásobíme jeho převrácenou hodnotou:
$\frac{2}{3} \div \frac{5}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{15}$

Odčítání zlomků

Získaný výsledek dosadíme zpět do původního příkladu a odečteme druhý zlomek:
$\frac{4}{15} - \frac{2}{3}$
Abychom mohli zlomky odečíst, převedeme je na společného jmenovatele. Tím je číslo $15$. Druhý zlomek tedy rozšíříme pěti:
$\frac{4}{15} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{4}{15} - \frac{10}{15} = \frac{4 - 10}{15} = \frac{-6}{15} = -\frac{6}{15}$

Základní tvar

Zlomek $-\frac{6}{15}$ ještě není v základním tvaru. Čitatel i jmenovatel jsou dělitelní číslem 3, proto zlomek zkrátíme:
$-\frac{6 \div 3}{15 \div 3} = -\frac{2}{5}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-2/5

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.1

(Výsledný výraz nesmí obsahovat závorky.)

Zjednodušte:

$\displaystyle 2 {\rm x} \left( {\rm x} -3 \right) - \left( {\rm x} ^2 +3 {\rm x} \right) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Roznásobení závorek

Nejprve odstraníme závorky v zadaném výrazu. První závorku roznásobíme členem $2x$. Před druhou závorkou je znaménko mínus, což znamená, že u všech členů uvnitř závorky změníme znaménko na opačné:
  • $2x(x - 3) = 2x^2 - 6x$
  • $-(x^2 + 3x) = -x^2 - 3x$
Po tomto úpravě dostáváme výraz:
$2x^2 - 6x - x^2 - 3x$

Sloučení stejných členů

Nyní sloučíme členy, které k sobě patří, tedy členy s druhou mocninou ($x^2$) a členy s první mocninou ($x$):
  • Členy s $x^2$: $2x^2 - x^2 = x^2$
  • Členy s $x$: $-6x - 3x = -9x$
Výsledný zjednodušený výraz bez závorek je: $x^2 - 9x$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

x²-9x

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.2

(Výsledný výraz nesmí obsahovat závorky.)

Zjednodušte:

$\displaystyle \left( 2+ {\rm y} \right) \left( {\rm y}+2-2 {\rm y} \right) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úprava druhé závorky

Nejdřív sečteme členy s $y$ ve druhé závorce: $y+2-2y=2-y$. Máme tedy $(2+y)(2-y)$.

Vynásobení závorek

Každý člen první závorky vynásobíme každým členem druhé závorky: $(2+y)(2-y)=4-2y+2y-y^2$.

Výsledek

Členy $-2y$ a $+2y$ se navzájem vyruší. Výsledný výraz bez závorek je $4-y^2$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

4-y²

Stav úlohy
2 body
Úloha 5

Řešte rovnici:

$\displaystyle \frac{2- {\rm x} }{2}-3= \frac{2 {\rm x}+1 }{3}$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění zlomků

Celou rovnici vynásobíme číslem 6, které je společným násobkem jmenovatelů 2 a 3. Vynásobíme každý člen, tedy i číslo −3: $3(2-x)-18=2(2x+1)$.

Rozepsání závorek

Roznásobíme závorky: $6-3x-18=4x+2$. Na levé straně sečteme čísla 6 a −18: $-12-3x=4x+2$.

Výpočet neznámé

K oběma stranám přičteme $3x$: $-12=7x+2$. Potom od obou stran odečteme 2: $-14=7x$. Vydělíme obě strany číslem 7 a dostaneme $x=-2$.

Zkouška a výsledek

Dosadíme $x=-2$ do původní rovnice. Levá strana je $\frac{2-(-2)}{2}-3=2-3=-1$. Pravá strana je $\frac{2\cdot(-2)+1}{3}=\frac{-3}{3}=-1$. Obě strany jsou stejné, takže řešením je $x=-2$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-2

Stav úlohy
3 body
Úloha 6.1

Turistická trasa je na mapě s měřítkem 1 : 50 000 zobrazena čarou dlouhou 30 cm.

Vypočtěte v km skutečnou délku turistické trasy.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Měřítko mapy

Měřítko 1 : 50 000 znamená, že 1 cm na mapě odpovídá 50 000 cm ve skutečnosti. To je 500 m.

Výpočet délky trasy

Trasa na mapě měří 30 cm, proto je její skutečná délka 30 · 500 = 15 000 m.

Výsledek v kilometrech

Protože 1 km = 1 000 m, vypočítáme 15 000 : 1 000 = 15 km. Skutečná délka turistické trasy je 15 km.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

15 km

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.2

Turistická trasa je na mapě s měřítkem 1 : 50 000 zobrazena čarou dlouhou 30 cm.

Vypočtěte v cm délku čáry, která zobrazuje stejnou turistickou trasu na mapě s měřítkem 1: 60 000.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Skutečná délka trasy

Měřítko 1 : 50 000 znamená, že 1 cm na mapě odpovídá 50 000 cm ve skutečnosti, tedy 500 m. Trasa dlouhá na mapě 30 cm proto ve skutečnosti měří $30 \cdot 500 = 15\,000$ m.

Délka na nové mapě

Na mapě s měřítkem 1 : 60 000 odpovídá 1 cm skutečné délce 60 000 cm, tedy 600 m. Stejnou trasu proto zobrazí čára dlouhá $15\,000 : 600 = 25$ cm.

Výsledek a ověření

Ověříme: $25 \cdot 600 = 15\,000$ m, což je původní délka trasy. Čára na nové mapě bude dlouhá 25 cm.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

25 cm

Stav úlohy
2 body
Úloha 7.1

Vypočítejte a výsledek vyjádřete v uvedených jednotkách.

1,5 dm² $\displaystyle +$ 75 mm² $\displaystyle =$ $\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ mm²

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod jednotek plochy

Nejdřív převedeme dm² na mm². Protože 1 dm = 100 mm, platí 1 dm² = 100 · 100 = 10 000 mm². Tedy 1,5 dm² = 1,5 · 10 000 = 15 000 mm².

Sečtení a výsledek

Obě plochy už máme v mm², proto je sečteme: 15 000 + 75 = 15 075. Výsledek je 15 075 mm².
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

15 075

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.2

Vypočítejte a výsledek vyjádřete v uvedených jednotkách.

1 m³ $\displaystyle -$ 50 litrů $\displaystyle =$ $\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ litrů

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na litry

Nejdřív převedeme metr krychlový na litry. Platí 1 m³ = 1 000 litrů.

Výpočet a výsledek

Potom odečteme 50 litrů: 1 000 − 50 = 950. Výsledek je 950 litrů.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

950

Stav úlohy
1 bod
Úloha 8.1

Některé z bodů vyznačených v síti kvádru představují ve složeném kvádru jeden a týž vrchol. Např. dva různé body a E sítě kvádru představují ve složeném kvádru stejný vrchol.

Připište k uvedenému bodu všechny body sítě kvádru, které ve složeném kvádru představují stejný vrchol.

bod

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor sítě

Hledáme všechny body, které se při složení setkají s bodem označeným číslem 1. Druhý obdélník vodorovného pásu si představíme jako přední stěnu kvádru. Obdélník připojený pod ním bude dno a třetí obdélník pásu bude pravá boční stěna.

Složení kvádru

Pravá boční stěna má na dolním okraji hranu od H k bodu 1. Dno má na pravém okraji hranu HL. Po složení obě hrany splynou: bod H je jejich společný začátek a jejich druhé konce, bod 1 a bod L, se setkají v jednom vrcholu. Ostatní označené body leží v jiných vrcholech kvádru.

Výsledek

S bodem označeným číslem 1 představuje stejný vrchol pouze bod L.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

L

Stav úlohy
1 bod
Úloha 8.2

Některé z bodů vyznačených v síti kvádru představují ve složeném kvádru jeden a týž vrchol. Např. dva různé body a E sítě kvádru představují ve složeném kvádru stejný vrchol.

Připište k uvedenému bodu všechny body sítě kvádru, které ve složeném kvádru představují stejný vrchol.

bod

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Složení bočních stěn

Vodorovný pás čtyř obdélníků tvoří boční stěny kvádru. Po složení se levý a pravý krajní okraj pásu spojí. Jejich horní konce, body B a 2, tedy představují stejný vrchol.

Složení horní stěny

Horní obdélník sklopíme podél hrany CD. Jeho pravý vzdálenější roh 0 se spojí s bodem E, jak uvádí zadání. Levý vzdálenější roh A se spojí s bodem B, a tím také s bodem 2.

Výsledek

Stejný vrchol jako bod 2 představují v síti body A a B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A, B

Stav úlohy
1 bod
Úloha 8.3

Některé z bodů vyznačených v síti kvádru představují ve složeném kvádru jeden a týž vrchol. Např. dva různé body a E sítě kvádru představují ve složeném kvádru stejný vrchol.

Připište k uvedenému bodu všechny body sítě kvádru, které ve složeném kvádru představují stejný vrchol.

bod

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Orientace v síti

Za přední stěnu zvolíme druhý obdélník pásu zleva, s vrcholy C, D, H a G. Obdélník připojený pod ním tvoří spodní stěnu. Bod 3 je po složení jejím zadním levým vrcholem.

Přiložení levé stěny

První obdélník pásu zleva tvoří levou stěnu. Při složení se jeho dolní hrana GF přiloží k hraně spojující G s bodem 3 na spodní stěně. Bod F tedy splyne s bodem 3.

Uzavření kvádru a výsledek

Při uzavření pásu čtyř bočních stěn se spojí jeho levý a pravý okraj. Dolní krajní body F a K proto splynou. Stejný vrchol jako bod 3 tedy představují body F a K.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

F, K

Stav úlohy
1 bod
Úloha 9

V rovině leží různoběžky o, p a bod A na přímce p.

1. Sestrojte bod B, který je obrazem bodu A v osové souměrnosti s osou o.
2. Sestrojte přímku q, která je obrazem přímky p v osové souměrnosti s osou o.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Oficiální klíč neobsahuje textová kritéria pro dílčí body. Porovnejte svou konstrukci se vzorovým řešením a body určete sami.

Vzorové řešení výše.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2015, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
2 body
Úloha 10

V rovině leží body A, B a Y.

1. Na polopřímce BY sestrojte bod C tak, aby body A, B, C tvořily vrcholy rovnoramenného trojúhelníku se základnou AB, a trojúhelník ABC narýsujte.
2. Sestrojte osu souměrnosti o trojúhelníku ABC.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Oficiální klíč neobsahuje textová kritéria pro dílčí body. Porovnejte svou konstrukci se vzorovým řešením a body určete sami.

Vzorové řešení výše.

Zdroj: Matematika 9. ročník — 1. řádný termín 2015, úloha 10

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 11.1

Uvnitř čtverce je sestrojen trojúhelník, jehož jedna strana je současně stranou čtverce. Přemístěním trojúhelníku k protější straně čtverce vznikne nový obrazec. Obvod čtverce je 40 cm a obvod trojúhelníku 25 cm.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obvod nového obrazce je 50 cm.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor čtverce

Obvod čtverce je 40 cm. Protože čtverec má 4 stejné strany, délka jedné strany je $40 : 4 = 10$ cm.

Rozbor trojúhelníku

Obvod trojúhelníku je 25 cm. Víme, že jedna jeho strana je zároveň stranou čtverce, měří tedy 10 cm. Součet zbývajících dvou stran trojúhelníku je tedy $25 - 10 = 15$ cm.

Analýza nového obrazce

Nový obrazec vznikne tak, že se trojúhelník uvnitř čtverce vystřihne a přesune k protější straně. Tím se změní hranice obrazce:
1. Na místě původního trojúhelníku vznikne v čtverci „výřez“. Místo původní rovné strany (10 cm) jsou nyní hranicí dvě vnitřní strany trojúhelníku (celkem 15 cm).
2. Na protější straně se k čtverci trojúhelník zvenku přidá. Původní rovná strana čtverce (10 cm) je nyní zakryta a novou hranici tvoří zbývající dvě strany přemístěného trojúhelníku (celkem 15 cm).
3. Boční strany čtverce zůstávají beze změny (každá 10 cm).

Výpočet obvodu a závěr

Obvod nového obrazce vypočítáme jako součet délek všech jeho vnějších hranic: $15 + 15 + 10 + 10 = 50$ cm. Tvrzení v zadání je tedy pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
1 bod
Úloha 11.2

Uvnitř čtverce je sestrojen trojúhelník, jehož jedna strana je současně stranou čtverce. Přemístěním trojúhelníku k protější straně čtverce vznikne nový obrazec. Obvod čtverce je 40 cm a obvod trojúhelníku 25 cm.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah čtverce je 100 cm².

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet strany čtverce

V zadání je uveden obvod čtverce $O = 40$ cm. Čtverec má čtyři stejně dlouhé strany, délku jedné strany ($a$) tedy vypočítáme vydělením obvodu čtyřmi:

$a = 40 \text{ cm} : 4 = 10 \text{ cm}$

Výpočet obsahu čtverce

Obsah čtverce ($S$) vypočítáme jako druhou mocninu délky jeho strany (součin strany se sebou samou):

$S = a \cdot a = 10 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} = 100 \text{ cm}^2$

Závěr

Vypočítaný obsah čtverce je 100 cm². Tvrzení v úloze je tedy pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
1 bod
Úloha 11.3

Uvnitř čtverce je sestrojen trojúhelník, jehož jedna strana je současně stranou čtverce. Přemístěním trojúhelníku k protější straně čtverce vznikne nový obrazec. Obvod čtverce je 40 cm a obvod trojúhelníku 25 cm.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah nového obrazce je větší než obsah čtverce.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza vzniku obrazce

Nový obrazec vznikne tak, že z původního čtverce vyřízneme trojúhelník a tentýž trojúhelník následně připojíme k protější straně čtverce. Tuto transformaci si můžeme představit jako rozstříhání a opětovné složení papíru.

Porovnání obsahu

Při přemístění části obrazce z jednoho místa na druhé se celková plocha (obsah) nemění. To, co jsme ze čtverce na jedné straně ubrali (vyříznutý trojúhelník), jsme na protější straně čtverce zase přidali. Obsah nového obrazce je tedy přesně stejný jako obsah původního čtverce.

Závěr

Protože je obsah nového obrazce stejný jako obsah čtverce, není pravda, že by byl větší. Tvrzení v zadání je tedy nepravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
1 bod
Úloha 12.1

V pravoúhlém trojúhelníku ABC leží proti přeponě c úhel γ a proti odvěsnám a,b úhly α , β.
Platí: a=6 cm, c=10 cm.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

a $\displaystyle +$ b $\displaystyle =$ c

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Délka druhé odvěsny

V pravoúhlém trojúhelníku použijeme Pythagorovu větu: $a^2+b^2=c^2$. Dosadíme známé délky: $b^2=10^2-6^2=100-36=64$. Délka odvěsny je tedy $b=8$ cm.

Porovnání délek

Sečteme délky odvěsen: $a+b=6+8=14$ cm. Přepona má délku $c=10$ cm, takže $a+b\ne c$.

Výsledek

Tvrzení $a+b=c$ je nepravdivé. Odpověď je N.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
1 bod
Úloha 12.2

V pravoúhlém trojúhelníku ABC leží proti přeponě c úhel γ a proti odvěsnám a,b úhly α , β.
Platí: a=6 cm, c=10 cm.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

β $\displaystyle <$ γ

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pravý úhel

Úhel γ leží proti přeponě pravoúhlého trojúhelníku, proto γ = 90°.

Úhel β

Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180°. Na úhly α a β tedy dohromady zbývá 180° − 90° = 90°. Oba jsou větší než 0°, takže každý z nich je menší než 90°.

Výsledek

Platí β < 90° a γ = 90°, tedy β < γ. Tvrzení je pravdivé, odpověď je A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
1 bod
Úloha 12.3

V pravoúhlém trojúhelníku ABC leží proti přeponě c úhel γ a proti odvěsnám a,b úhly α , β.
Platí: a=6 cm, c=10 cm.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

α $\displaystyle +$ β $\displaystyle =$ 90°

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pravý úhel

V pravoúhlém trojúhelníku leží proti přeponě pravý úhel, tedy γ = 90°.

Součet vnitřních úhlů

Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180°. Pro úhly α a β proto zbývá 180° − 90° = 90°, tedy α + β = 90°.

Výsledek

Tvrzení je pravdivé, proto volíme A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
1 bod
Úloha 13

Jaká je velikost úhlu γ?

  • A) 90°
  • D) 105°
  • B) 95°
  • E) jiná velikost
  • C) 100°
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vedlejší úhly

Úhly α a 90° + α u levého dolního vrcholu jsou vedlejší, proto mají dohromady 180°. Platí tedy α + (90° + α) = 180°.

Výpočet úhlu α

Po odečtení 90° zbývá na dva stejné úhly α dohromady 90°. Jeden z nich má velikost α = 90° : 2 = 45°.

Výpočet úhlu γ a výsledek

Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180°. Proto γ = 180° − 45° − 35° = 100°. Správná je možnost C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 14

Kružnice je vytvořena z drátu délky 30 cm. Z tohoto drátu se vytvaruje obdélník, jehož sousední strany mají délky v poměru 3 : 2.

Jaký je obsah obdélníku?

  • A) 24 cm²
  • D) 108 cm²
  • B) 54 cm²
  • E) jiný obsah
  • C) 96 cm²
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obvod obdélníku

Drát má celkovou délku 30 cm. Protože z něj vytvarujeme obdélník, bude jeho obvod $O$ roven právě délce tohoto drátu, tedy $O = 30$ cm.

Délky stran obdélníku

Sousední strany obdélníku jsou v poměru $3 : 2$. Označme si délky stran jako $3x$ a $2x$. Obvod obdélníku vypočítáme jako součet všech jeho čtyř stran:
$O = 2 \cdot (3x + 2x)$
$30 = 2 \cdot 5x$
$30 = 10x$
$x = 3$ cm

Délky stran jsou tedy:
$a = 3 \cdot 3 = 9$ cm
$b = 2 \cdot 3 = 6$ cm

Výpočet obsahu

Obsah $S$ obdélníku vypočítáme vynásobením délek jeho sousedních stran:
$S = a \cdot b$
$S = 9 \cdot 6$
$S = 54$ cm²
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 15

Karel s rodiči odlétal na dovolenou. Při odbavení na letišti měla jejich 3 zavazadla celkovou hmotnost 44 kg. Otcovo zavazadlo mělo třikrát větší hmotnost než Karlovo zavazadlo a matčino zavazadlo mělo polovinu hmotnosti otcova zavazadla.

O kolik kilogramů je matčino zavazadlo těžší než Karlovo zavazadlo?

  • A) o 3,5 kg
  • D) o 6 kg
  • B) o 4 kg
  • E) o 6,5 kg
  • C) o 5 kg
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Sestavení rovnice

Hmotnost Karlova zavazadla označíme $x$ kg. Otcovo zavazadlo má hmotnost $3x$ kg a matčino polovinu otcovy hmotnosti, tedy $1{,}5x$ kg. Dohromady váží 44 kg, proto platí $x + 3x + 1{,}5x = 44$.

Výpočet hmotností

Sečteme členy s neznámou: $5{,}5x = 44$. Vydělíme číslem 5,5 a dostaneme $x = 8$. Karlovo zavazadlo tedy váží 8 kg, otcovo $3 \cdot 8 = 24$ kg a matčino $24 : 2 = 12$ kg.

Výsledek a kontrola

Ověříme celkovou hmotnost: $8 + 24 + 12 = 44$ kg. Matčino zavazadlo je těžší než Karlovo o $12 - 8 = 4$ kg. Správná odpověď je B: o 4 kg.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.1

Výrobek stojí 600 korun.

Kolik korun bude stát výrobek zdražený o 20 %?

  • A) 600
  • D) 700
  • B) 650
  • E) 720
  • C) 672
  • F) jiný výsledek
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet zdražení

Nejdřív vypočítáme 1 % z původní ceny: 600 : 100 = 6 korun. Zdražení o 20 % tedy činí 20 · 6 = 120 korun.

Nová cena

Zdražení přičteme k původní ceně: 600 + 120 = 720 korun. Výrobek bude stát 720 korun, správná je možnost E.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.2

Kalhoty byly zlevněny o 20 % na 560 korun.

Kolik korun stály kalhoty před zlevněním?

  • A) 600
  • D) 700
  • B) 650
  • E) 720
  • C) 672
  • F) jiný výsledek
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cena po slevě

Původní cena představuje 100 %. Po slevě o 20 % zbývá 100 − 20 = 80 % původní ceny. Těchto 80 % odpovídá 560 Kč.

Výpočet původní ceny

Nejdřív vypočítáme 1 % původní ceny: 560 : 80 = 7 Kč. Potom vypočítáme celých 100 %: 7 · 100 = 700 Kč.

Ověření a odpověď

20 % ze 700 Kč je 140 Kč. Po slevě tedy kalhoty stojí 700 − 140 = 560 Kč, což souhlasí se zadáním. Kalhoty před zlevněním stály 700 Kč, správná je možnost D.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.3

Zájezd byl zdražen o pětinu na 3 600 korun.

O kolik korun byl zájezd zdražen?

  • A) 600
  • D) 700
  • B) 650
  • E) 720
  • C) 672
  • F) jiný výsledek
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení ceny na dílky

Původní cenu rozdělíme na pět stejných dílků. Zdražení o pětinu původní ceny přidá jeden dílek. Nová cena 3 600 Kč tedy představuje šest dílků.

Výpočet zdražení

Jeden dílek vypočítáme: 3 600 : 6 = 600 Kč. Zdražení odpovídá právě tomuto jednomu dílku.

Ověření a výsledek

Původní cena byla 5 · 600 = 3 000 Kč. Její pětina je 600 Kč a 3 000 + 600 = 3 600 Kč, takže výpočet souhlasí. Zájezd byl zdražen o 600 Kč, správná je možnost A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 17.1

V motorestu se podávají tři různé večeře A, B, C.
Do motorestu přijely tři 20členné skupiny. V tabulce je uvedeno, které večeře si jednotlivé skupiny objednaly a na kolik korun vyšla průměrná cena večeře v jednotlivých skupinách.

Vypočtěte cenu večeře B.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

280

Stav úlohy
2 body
Úloha 17.2

V motorestu se podávají tři různé večeře A, B, C.
Do motorestu přijely tři 20členné skupiny. V tabulce je uvedeno, které večeře si jednotlivé skupiny objednaly a na kolik korun vyšla průměrná cena večeře v jednotlivých skupinách.

Vypočtěte cenu večeře C.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

300

Stav úlohy
2 body