Matematika 7. ročník — 2. řádný termín 2025

Úloha 1

Když osminu neznámého čísla zvětšíme o 16, výsledek bude o 1 větší než polovina neznámého čísla.

Určete neznámé číslo.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Porovnání osminy a poloviny

Když k osmině čísla přičteme 16, dostaneme o 1 více než polovinu čísla. Abychom dostali přesně polovinu, přičteme jen 16 − 1 = 15. Rozdíl mezi polovinou a osminou čísla je tedy 15.

Výpočet neznámého čísla

Polovina jsou čtyři osminy. Rozdíl mezi polovinou a jednou osminou jsou tedy tři osminy. Tři osminy čísla jsou 15, proto jedna osmina je 15 : 3 = 5. Celé číslo je 8 · 5 = 40.

Ověření a výsledek

Osmina čísla 40 je 5 a po zvětšení o 16 dostaneme 21. Polovina čísla 40 je 20. Výsledek 21 je opravdu o 1 větší než 20. Neznámé číslo je 40.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

40

Stav úlohy

2 body

Úloha 2

Čísla v tabulce se řadí zleva doprava od nejmenšího po největší a každá dvě čísla v sousedních polích tabulky jsou ve stejném poměru jako dvě uvedená čísla.

Určete čísla, která patří do prvního a posledního pole tabulky.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Poměr sousedních čísel

V tabulce je šest polí. Ve třetím je 72 a ve čtvrtém 108. Poměr čísla vlevo k číslu vpravo je 72 : 108 = 2 : 3. Doprava tedy číslo vydělíme 2 a vynásobíme 3. Doleva ho vydělíme 3 a vynásobíme 2.

První pole

Od čísla 72 se posuneme o dvě pole doleva. Ve druhém poli je 72 : 3 · 2 = 48. V prvním poli je 48 : 3 · 2 = 32.

Poslední pole

Od čísla 108 se posuneme o dvě pole doprava. V pátém poli je 108 : 2 · 3 = 162. V šestém, tedy posledním poli je 162 : 2 · 3 = 243.

Ověření a výsledek

Celá řada je 32, 48, 72, 108, 162, 243. Čísla rostou a každé další získáme vydělením předchozího čísla 2 a vynásobením 3. Do prvního pole patří 32 a do posledního 243.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

32; 243

Stav úlohy

2 body

Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{1}{2} \div \frac{3}{4} - \frac{3}{4} \div \frac{1}{2} + (4 - 3 \cdot \frac{4}{3}) \div \frac{1}{2} =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První dvě dělení

Nejdříve vypočítáme obě dělení. Dělit zlomkem znamená násobit jeho převrácenou hodnotou. První dělení: $\frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ Druhé dělení: $\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Výpočet závorky

Ve třetí části si nejprve spočítáme závorku. Násobení má přednost před odčítáním.
$3 \cdot \frac{4}{3} = \frac{3 \cdot 4}{3} = 4$
Hodnota závorky je tedy: $4 - 4 = 0$ Celá třetí část bude mít hodnotu nula, protože nula dělená jakýmkoli nenulovým číslem je nula:
$0 \div \frac{1}{2} = 0$

Závěrečný výpočet

Nyní dosadíme naše mezivýsledky zpět do původního příkladu. Abychom mohli zlomky odečíst, převedeme je na společného jmenovatele, kterým je číslo 6.
$\frac{2}{3} - \frac{3}{2} + 0 = \frac{4}{6} - \frac{9}{6} = -\frac{5}{6}$
Výsledek $-\frac{5}{6}$ nelze dál krátit, je tedy v základním tvaru.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-5/6 a správný postup řešení

Stav úlohy

2 body

Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\frac{0,5}{2} - 2}{0,5 \cdot (2 + 0,5) - 2} =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Převedeme si desetinné číslo na zlomek a vypočítáme hodnotu v čitateli velkého zlomku:
$ \frac{0,5}{2} - 2 = \frac{\frac{1}{2}}{2} - 2 = \frac{1}{4} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{7}{4} $

Výpočet jmenovatele

Nyní vypočítáme hodnotu ve jmenovateli velkého zlomku. Nejdříve spočítáme závorku, pak násobíme a nakonec odčítáme:
$ 0,5 \cdot (2 + 0,5) - 2 = 0,5 \cdot 2,5 - 2 $
Desetinná čísla si opět můžeme převést na zlomky pro snazší počítání:
$ \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2} - 2 = \frac{5}{4} - 2 = \frac{5}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{3}{4} $

Závěrečný výpočet

Dosadíme vypočítané hodnoty zpět do původního velkého zlomku. Hlavní zlomková čára znamená dělení:
$ \frac{-\frac{7}{4}}{-\frac{3}{4}} = \left(-\frac{7}{4}\right) : \left(-\frac{3}{4}\right) $
Při dělení zlomků násobíme převrácenou hodnotou druhého zlomku. Minus děleno minus dává plus:
$ \frac{7}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{7}{3} $
Výsledek $\frac{7}{3}$ je zapsán zlomkem v základním tvaru.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

7/3 a správný postup řešení

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.1

U vodní nádrže jsou 4 stejně výkonná čerpadla, která pracují rovnoměrně. Prázdnou nádrž by všechna 4 čerpadla společně naplnila za 6 hodin.
Ráno nebyla nádrž zcela prázdná, a všechna 4 čerpadla ji tak společně doplnila už za 4 hodiny.

Vyjádřete zlomkem v základním tvaru, jaká část objemu nádrže byla ráno naplněna vodou, než začala pracovat čerpadla.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výkon čerpadel

Všechna 4 čerpadla naplní prázdnou nádrž za 6 hodin. Pracují rovnoměrně, takže za každou hodinu společně naplní $\frac{1}{6}$ objemu nádrže.

Doplněná část nádrže

Ráno čerpadla pracovala 4 hodiny. Doplnila tedy $4 \cdot \frac{1}{6} = \frac{4}{6}$ objemu nádrže.

Počáteční naplnění

Celá nádrž má objem $\frac{6}{6}$. Před spuštěním čerpadel v ní proto bylo $\frac{6}{6} - \frac{4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ jejího objemu. Ráno byla naplněna třetina nádrže; zlomek $\frac{1}{3}$ je v základním tvaru.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

1/3

Stav úlohy

1 bod

Úloha 4.2

U vodní nádrže jsou 4 stejně výkonná čerpadla, která pracují rovnoměrně. Prázdnou nádrž by všechna 4 čerpadla společně naplnila za 6 hodin.
Ráno nebyla nádrž zcela prázdná, a všechna 4 čerpadla ji tak společně doplnila už za 4 hodiny.

Určete, kolik takových čerpadel by společně naplnilo prázdnou nádrž za 8 hodin.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čas jednoho čerpadla

Počítáme s prázdnou nádrží. Čtyři stejně výkonná čerpadla ji naplní za 6 hodin. Jedno čerpadlo by potřebovalo čtyřikrát delší dobu: $4 \cdot 6 = 24$ hodin.

Počet čerpadel

Aby byla nádrž naplněna za 8 hodin, rozdělíme práci mezi $24 : 8 = 3$ čerpadla. Ověříme: tři čerpadla za 8 hodin vykonají stejnou práci jako čtyři čerpadla za 6 hodin, protože $3 \cdot 8 = 4 \cdot 6 = 24$. Prázdnou nádrž tedy za 8 hodin naplní 3 čerpadla.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

3 čerpadla

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.3

U vodní nádrže jsou 4 stejně výkonná čerpadla, která pracují rovnoměrně. Prázdnou nádrž by všechna 4 čerpadla společně naplnila za 6 hodin.
Ráno nebyla nádrž zcela prázdná, a všechna 4 čerpadla ji tak společně doplnila už za 4 hodiny.

Určete, za kolik hodin by jednu polovinu nádrže společně naplnila 2 taková čerpadla.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Doba pro polovinu nádrže

Všechna 4 čerpadla naplní celou prázdnou nádrž za 6 hodin. Polovinu nádrže proto naplní za polovinu času: $6 : 2 = 3$ hodiny.

Doba pro dvě čerpadla

Dvě čerpadla jsou polovinou ze čtyř čerpadel. Stejné množství vody tedy načerpají za dvojnásobný čas: $3 \cdot 2 = 6$ hodin.

Výsledek

Dvě čerpadla společně naplní jednu polovinu nádrže za 6 hodin.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

6 hodin

Stav úlohy

1 bod

Úloha 5.1

2 podúlohy 3 body, 1 podúloha 2 body

Všichni žáci třídy se rozdělili na dvě stejně početné skupiny.
Žáci první skupiny vytvořili dvojice a žáci druhé skupiny trojice.
V každé skupině však jeden žák zbyl. Tito dva žáci spolu nakonec vytvořili ještě jednu dvojici.
Všech dvojic tak bylo o 3 více než trojic.

Určete počet všech vytvořených dvojic.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odložíme poslední dvojici

Bez dvojice vytvořené ze zbylých žáků je dvojic o $3 - 1 = 2$ více než trojic. V původních dvojicích i trojicích je přitom stejný počet žáků, protože z každé stejně velké skupiny odešel jeden.

Seskupení po šesti

Stejný počet žáků lze rozdělit po dvou i po třech, tedy do skupin po šesti. Ze šesti žáků vzniknou buď tři dvojice, nebo dvě trojice: rozdíl je jedna skupinka. Rozdíl dvou skupinek proto odpovídá dvěma šesticím, tedy $2 \times 6 = 12$ žákům na každé straně.

Všechny dvojice

Z dvanácti žáků vznikne $12 : 2 = 6$ dvojic. Přidáme dvojici zbylých žáků: $6 + 1 = 7$ dvojic.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

7 dvojic

Stav úlohy

3 body za skupinu

Úloha 5.2

2 podúlohy 3 body, 1 podúloha 2 body

Všichni žáci třídy se rozdělili na dvě stejně početné skupiny.
Žáci první skupiny vytvořili dvojice a žáci druhé skupiny trojice.
V každé skupině však jeden žák zbyl. Tito dva žáci spolu nakonec vytvořili ještě jednu dvojici.
Všech dvojic tak bylo o 3 více než trojic.

Určete počet všech žáků ve třídě.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odložíme poslední dvojici

Bez dvojice vytvořené ze zbylých žáků je dvojic o $3 - 1 = 2$ více než trojic. V původních dvojicích i trojicích je přitom stejný počet žáků, protože z každé stejně velké skupiny odešel jeden.

Seskupení po šesti

Stejný počet žáků lze rozdělit po dvou i po třech, tedy do skupin po šesti. Ze šesti žáků vzniknou buď tři dvojice, nebo dvě trojice: rozdíl je jedna skupinka. Rozdíl dvou skupinek proto odpovídá dvěma šesticím, tedy $2 \times 6 = 12$ žákům na každé straně.

Počet žáků

Ke dvanácti žákům v každé skupině vrátíme jednoho zbylého žáka. Každá skupina má $12 + 1 = 13$ žáků. Ve třídě je $2 \times 13 = 26$ žáků.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

26 žáků

Stav úlohy

3 body za skupinu

Úloha 6.1

Operace M (zmenšení čísla) se provádí následujícím způsobem: V zápisu čísla se zleva doprava mezi každé dvě sousední číslice zapíšou střídavě znaménka - a +, potom se provede výpočet.
Pro operaci M vybíráme pouze kladná celá čísla sestavená ze vzájemně různých číslic (např. 6 019 nebo 12 345, nikoli 5 020).
Např. pro pěticiferné číslo 29 087 se zmenšení M provede následovně:
$ \displaystyle M(29 087) = 2 - 9 + 0 - 8 + 7 = -8 $

Vypočtěte M(18 059).

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zápis operace M

Mezi číslice 1, 8, 0, 5 a 9 zapíšeme zleva střídavě znaménka − a +. Dostaneme $M(18\,059) = 1 - 8 + 0 - 5 + 9$.

Výpočet a výsledek

Počítáme postupně zleva: $1 - 8 = -7$, přičtením nuly se výsledek nezmění, $-7 - 5 = -12$ a $-12 + 9 = -3$. Výsledek je tedy $M(18\,059) = -3$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-3

Stav úlohy

1 bod

Úloha 6.2

Operace M (zmenšení čísla) se provádí následujícím způsobem: V zápisu čísla se zleva doprava mezi každé dvě sousední číslice zapíšou střídavě znaménka - a +, potom se provede výpočet.
Pro operaci M vybíráme pouze kladná celá čísla sestavená ze vzájemně různých číslic (např. 6 019 nebo 12 345, nikoli 5 020).
Např. pro pěticiferné číslo 29 087 se zmenšení M provede následovně:
$ \displaystyle M(29 087) = 2 - 9 + 0 - 8 + 7 = -8 $

Určete největší pěticiferné číslo, jehož zmenšením M získáme číslo 1.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hledání zleva

Aby bylo číslo co největší, začneme největší číslicí 9 a za ni dáme největší zbývající číslici 8. Zkusíme doplnit další tři různé číslice tak, aby zmenšení M vyšlo 1.

Třetí číslice

Největší zbývající číslice je 7. Začátek výpočtu by byl $9 - 8 + 7 = 8$. Aby nakonec vyšlo 1, čtvrtá číslice by musela být o 7 větší než pátá. Zbývají však jen číslice 0 až 6, takže to nejde.

Doplnění čísla

Zkusíme jako třetí číslici 6. Vyjde $9 - 8 + 6 = 7$, takže čtvrtá číslice musí být o 6 větší než pátá. Největší dostupná čtvrtá číslice je 7 a k ní patří pátá číslice 1. Dostaneme číslo 98 671.

Ověření a výsledek

Všechny číslice jsou různé a $9 - 8 + 6 - 7 + 1 = 1$. Postupně zleva jsme vybrali největší možné číslice, proto je hledané největší pěticiferné číslo 98 671.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

98 671

Stav úlohy

1 bod

Úloha 6.3

Operace M (zmenšení čísla) se provádí následujícím způsobem: V zápisu čísla se zleva doprava mezi každé dvě sousední číslice zapíšou střídavě znaménka - a +, potom se provede výpočet.
Pro operaci M vybíráme pouze kladná celá čísla sestavená ze vzájemně různých číslic (např. 6 019 nebo 12 345, nikoli 5 020).
Např. pro pěticiferné číslo 29 087 se zmenšení M provede následovně:
$ \displaystyle M(29 087) = 2 - 9 + 0 - 8 + 7 = -8 $

Určete nejmenší čtyřciferné číslo, jehož zmenšením M získáme číslo -1.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor operace

U čtyřciferného čísla od první číslice odečteme druhou, přičteme třetí a odečteme čtvrtou. Všechny čtyři číslice musí být různé a výsledek musí být −1.

Hledání nejmenšího čísla

Číslo bude nejmenší, když zleva postupně volíme nejmenší možné číslice. Na místě tisíců zvolíme 1, na místě stovek 0 a na místě desítek 2, protože 0 a 1 už jsou použité. Nejdřív spočítáme 1 − 0 + 2 = 3. Abychom získali −1, musíme odečíst 4. Číslo 1024 tedy vyhovuje.

Ověření a výsledek

Ověříme: M(1024) = 1 − 0 + 2 − 4 = −1. Číslice 1, 0, 2 a 4 jsou různé. První tři číslice jsme zvolili nejmenší možné a poslední číslice musí být 4, proto je hledané nejmenší číslo 1024.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

1024

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.1

Podstavou kolmého čtyřbokého hranolu je rovnoramenný lichoběžník. V tomto lichoběžníku delší základna měří 11 cm a výška 4 cm.
Největší boční stěnou hranolu je obdélník o obsahu 55 cm², zbývající tři boční stěny jsou shodné čtverce.

Vypočtěte v cm výšku hranolu.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Největší boční stěna

Všechny boční stěny mají jednu stranu stejně dlouhou jako výška hranolu. Největší boční stěna proto leží u nejdelší strany podstavy, tedy u základny dlouhé 11 cm. Její obsah je 55 cm².

Výpočet výšky hranolu

Obsah obdélníku vypočítáme vynásobením délek jeho stran. Známe obsah 55 cm² a jednu stranu 11 cm, takže druhou stranu vypočítáme dělením: $55 : 11 = 5$ cm. Tato strana je výškou hranolu.

Výsledek a kontrola

Ověříme obsah největší boční stěny: $11 \cdot 5 = 55$ cm², což souhlasí se zadáním. Výška hranolu je 5 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

5 cm a správný postup řešení

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.2

Podstavou kolmého čtyřbokého hranolu je rovnoramenný lichoběžník. V tomto lichoběžníku delší základna měří 11 cm a výška 4 cm.
Největší boční stěnou hranolu je obdélník o obsahu 55 cm², zbývající tři boční stěny jsou shodné čtverce.

Vypočtěte v cm obvod podstavy hranolu.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výška hranolu

Největší boční stěna má jednu stranu dlouhou 11 cm, stejně jako delší základna lichoběžníku. Druhou stranou je výška hranolu. Z obsahu obdélníku ji vypočítáme: 55 : 11 = 5 cm.

Zbývající strany podstavy

Zbývající tři boční stěny jsou čtverce. Každý má jednu stranu rovnou výšce hranolu, tedy 5 cm, a proto také jeho druhá strana měří 5 cm. Kratší základna i obě ramena lichoběžníku tedy měří 5 cm.

Obvod podstavy

Obvod podstavy získáme sečtením všech čtyř stran lichoběžníku: 11 + 5 + 5 + 5 = 26 cm. Obvod podstavy hranolu je 26 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

26 cm a správný postup řešení

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.3

Podstavou kolmého čtyřbokého hranolu je rovnoramenný lichoběžník. V tomto lichoběžníku delší základna měří 11 cm a výška 4 cm.
Největší boční stěnou hranolu je obdélník o obsahu 55 cm², zbývající tři boční stěny jsou shodné čtverce.

Vypočtěte v cm² obsah podstavy hranolu.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výška hranolu

Největší boční stěna přísluší delší základně lichoběžníku, která měří 11 cm. Její obsah je 55 cm², proto výška hranolu měří 55 : 11 = 5 cm.

Kratší základna lichoběžníku

Zbývající tři boční stěny jsou čtverce. Jedna strana každého čtverce je výškou hranolu, takže všechny jejich strany měří 5 cm. Kratší základna lichoběžníku tedy měří 5 cm.

Obsah podstavy

Obsah lichoběžníku vypočítáme jako součet délek základen krát jeho výška dělený dvěma: (11 + 5) · 4 : 2 = 32 cm². Obsah podstavy hranolu je 32 cm².

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

32 cm² a správný postup řešení

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.4

Podstavou kolmého čtyřbokého hranolu je rovnoramenný lichoběžník. V tomto lichoběžníku delší základna měří 11 cm a výška 4 cm.
Největší boční stěnou hranolu je obdélník o obsahu 55 cm², zbývající tři boční stěny jsou shodné čtverce.

Vypočtěte v cm³ objem hranolu.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výška hranolu

Největší boční stěna je obdélník, jehož jedna strana měří stejně jako delší základna lichoběžníku 11 cm. Druhou stranou je výška hranolu. Z obsahu 55 cm² ji vypočítáme: $55 : 11 = 5$ cm.

Kratší základna lichoběžníku

Zbývající tři boční stěny jsou shodné čtverce. Jedna strana každého z nich je výška hranolu 5 cm, proto i druhá strana měří 5 cm. Kratší základna lichoběžníku tedy měří 5 cm.

Obsah podstavy

Obsah lichoběžníku vypočítáme jako součet délek základen krát výška lichoběžníku, děleno dvěma: $S = (11 + 5) \cdot 4 : 2 = 32$ cm². Výška lichoběžníku je 4 cm.

Objem hranolu

Objem hranolu je obsah podstavy krát výška hranolu: $V = 32 \cdot 5 = 160$ cm³. Objem hranolu je 160 cm³.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

160 cm³ a správný postup řešení

Stav úlohy

1 bod

Úloha 8.1

3 body za skupinu

V rovině leží body B, C a přímka p.

Body B, C jsou vrcholy obdélníku ABCD.
Na přímce p leží střed S tohoto obdélníku.
(Středem S procházejí osy souměrnosti obdélníku.)

Sestrojte střed S obdélníku ABCD a označte ho písmenem.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Úlohy 8.1 a 8.2 se hodnotí společně. Celkové hodnocení se započítá pouze jednou, maximálně 3 body.

3 body: Vzorové řešení výše.
2 body: Konstrukce obsahuje právě jeden z následujících nedostatků:
jeden z vrcholů A, D je sestrojen s mírnou nepřesností,
střed S je vytvořen viditelně chybnou konstrukcí (např. jako osa čáry představující přímku p),
požadovaný obdélník je sestrojen s mírnou nepřesností v delším rozměru, resp. jeho úhlopříčky se neprotínají přesně na přímce p.
1 bod: Nastane právě jedna z následujících situací:
Bod S je sestrojen konstrukčně správně, další konstrukce chybí nebo je chybně.
Bod S je sestrojen přesně, ale není popsán, resp. jako S je označen jiný bod.
Bod S není vyznačen, ale požadovaný obdélník je sestrojen přesně.
0 bodů: Nastanou některé z následujících situací:
Bod S je sestrojen chybně a sestrojený obrazec ABCD není obdélník.
Konstrukce je zcela chybná nebo velmi nepřesná.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 2. řádný termín 2025, úloha 8

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body za skupinu

Úloha 8.2

3 body za skupinu

V rovině leží body B, C a přímka p.

Body B, C jsou vrcholy obdélníku ABCD.
Na přímce p leží střed S tohoto obdélníku.
(Středem S procházejí osy souměrnosti obdélníku.)

Sestrojte vrcholy A, D obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Úlohy 8.1 a 8.2 se hodnotí společně. Celkové hodnocení se započítá pouze jednou, maximálně 3 body.

3 body: Vzorové řešení výše.
2 body: Konstrukce obsahuje právě jeden z následujících nedostatků:
jeden z vrcholů A, D je sestrojen s mírnou nepřesností,
střed S je vytvořen viditelně chybnou konstrukcí (např. jako osa čáry představující přímku p),
požadovaný obdélník je sestrojen s mírnou nepřesností v delším rozměru, resp. jeho úhlopříčky se neprotínají přesně na přímce p.
1 bod: Nastane právě jedna z následujících situací:
Bod S je sestrojen konstrukčně správně, další konstrukce chybí nebo je chybně.
Bod S je sestrojen přesně, ale není popsán, resp. jako S je označen jiný bod.
Bod S není vyznačen, ale požadovaný obdélník je sestrojen přesně.
0 bodů: Nastanou některé z následujících situací:
Bod S je sestrojen chybně a sestrojený obrazec ABCD není obdélník.
Konstrukce je zcela chybná nebo velmi nepřesná.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 2. řádný termín 2025, úloha 8

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body za skupinu

Úloha 9.1

3 body za skupinu

V rovině leží body A, C' a přímka o procházející bodem S'.

Bod A je vrchol trojúhelníku ABC.
Přímka o je osou osové souměrnosti, v níž se trojúhelník ABC zobrazí na trojúhelník A'B'C'. Bod S' je střed strany B'C' trojúhelníku A'B'C'.

Sestrojte a označte bod C, jehož obrazem v osové souměrnosti s osou o je bod C'.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Úlohy 9.1 a 9.2 se hodnotí společně. Celkové hodnocení se započítá pouze jednou, maximálně 3 body.

3 body: Vzorové řešení výše.
2 body: Nastane právě jedna z následujících situací:
Správně jsou sestrojeny body C a B' (případně též A'), bod B chybí.
Jsou sestrojeny body B i C, avšak s mírnou nepřesností.
1 bod: Nastane právě jedna z následujících situací:
Správně je sestrojen pouze A', konstrukce bodu B' je naznačena, bod však není popsán, body B, C chybí.
Správně je sestrojen pouze A', bod C je sestrojen nepřesně, body B i B' chybí.
Úsečky BC a B'C' se neprotínají v bodě S'.
0 bodů: Nastanou některé z následujících situací:
Správně je sestrojen pouze bod B'.
Není sestrojen obraz žádného z bodů v osové souměrnosti s osou o.
Pokud je některý z bodů A', B', C sestrojen, je sestrojen chybně.
Konstrukce je zcela chybná nebo velmi nepřesná.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 2. řádný termín 2025, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body za skupinu

Úloha 9.2

3 body za skupinu

V rovině leží body A, C' a přímka o procházející bodem S'.

Bod A je vrchol trojúhelníku ABC.
Přímka o je osou osové souměrnosti, v níž se trojúhelník ABC zobrazí na trojúhelník A'B'C'. Bod S' je střed strany B'C' trojúhelníku A'B'C'.

Sestrojte vrchol B trojúhelníku ABC, označte ho písmenem a trojúhelník ABC narýsujte.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Úlohy 9.1 a 9.2 se hodnotí společně. Celkové hodnocení se započítá pouze jednou, maximálně 3 body.

3 body: Vzorové řešení výše.
2 body: Nastane právě jedna z následujících situací:
Správně jsou sestrojeny body C a B' (případně též A'), bod B chybí.
Jsou sestrojeny body B i C, avšak s mírnou nepřesností.
1 bod: Nastane právě jedna z následujících situací:
Správně je sestrojen pouze A', konstrukce bodu B' je naznačena, bod však není popsán, body B, C chybí.
Správně je sestrojen pouze A', bod C je sestrojen nepřesně, body B i B' chybí.
Úsečky BC a B'C' se neprotínají v bodě S'.
0 bodů: Nastanou některé z následujících situací:
Správně je sestrojen pouze bod B'.
Není sestrojen obraz žádného z bodů v osové souměrnosti s osou o.
Pokud je některý z bodů A', B', C sestrojen, je sestrojen chybně.
Konstrukce je zcela chybná nebo velmi nepřesná.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 2. řádný termín 2025, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body za skupinu

Úloha 10.1

3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Velký rovnostranný trojúhelník, jehož obvod je 60 cm, byl rozdělen úsečkou na dva nové obrazce – lichoběžník a malý trojúhelník. Oba tyto nové obrazce mají stejný obvod.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obvod malého trojúhelníku je 30 cm.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Strana velkého trojúhelníku

Velký trojúhelník je rovnostranný a má obvod 60 cm. Délka jedné jeho strany je tedy $60 : 3 = 20 \text{ cm}$.

Rozbor obrazců a obvodů

Trojúhelník byl rozdělen úsečkou na lichoběžník a malý trojúhelník. Aby vznikl lichoběžník, musí být tato úsečka rovnoběžná se základnou velkého trojúhelníku. Malý trojúhelník je proto také rovnostranný. Označme délku jeho strany jako $x$.
Obvod malého trojúhelníku je pak $3 \cdot x$.
Lichoběžník má horní základnu $x$, dolní základnu 20 cm a dvě ramena o délce $20 - x$. Jeho obvod je tedy $x + 20 + 2 \cdot (20 - x) = 60 - x$.

Výpočet a závěr

Protože mají oba obrazce stejný obvod, musí platit:
$3x = 60 - x$
$4x = 60$
$x = 15 \text{ cm}$
Obvod malého trojúhelníku je tedy $3 \cdot 15 = 45 \text{ cm}$. Tvrzení v zadání je nepravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 10.2

3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Velký rovnostranný trojúhelník, jehož obvod je 60 cm, byl rozdělen úsečkou na dva nové obrazce – lichoběžník a malý trojúhelník. Oba tyto nové obrazce mají stejný obvod.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V lichoběžníku je délka kratší základny dvojnásobkem délky ramene.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor velkého trojúhelníku

Velký trojúhelník je rovnostranný a jeho obvod je 60 cm. Délku jeho strany vypočítáme tak, že obvod vydělíme třemi:
20 cm (60 : 3 = 20).

Vyjádření obvodů nových obrazců

Trojúhelník byl rozdělen úsečkou rovnoběžnou se základnou. Označme délku této úsečky jako $x$. Tato úsečka tvoří stranu malého trojúhelníku a zároveň kratší základnu lichoběžníku.

Malý trojúhelník: Má všechny tři strany stejné ($x$), jeho obvod je tedy $3x$.
Lichoběžník: Má základny o délkách 20 cm a $x$ cm. Ramena jsou tvořena zbytky stran velkého trojúhelníku, každé má délku $(20 - x)$ cm. Obvod lichoběžníku je součet všech jeho stran: $20 + x + (20 - x) + (20 - x) = 60 - x$.

Výpočet délky úsečky

Víme, že oba obrazce mají stejný obvod. Sestavíme a vyřešíme rovnici:
$3x = 60 - x$
$4x = 60$
$x = 15$ cm.
Délka úsečky (a tedy i kratší základny lichoběžníku) je 15 cm.

Ověření tvrzení

Nyní určíme rozměry lichoběžníku k ověření tvrzení:

Kratší základna: 15 cm
Rameno: $20 - 15 =$ 5 cm

Tvrzení říká, že délka kratší základny (15 cm) je dvojnásobkem délky ramene (5 cm). Protože dvojnásobek ramene je $2 \cdot 5 = 10$ cm a $15 \neq 10$, je tvrzení nepravdivé.

Závěr

Tvrzení je nepravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 10.3

3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Velký rovnostranný trojúhelník, jehož obvod je 60 cm, byl rozdělen úsečkou na dva nové obrazce – lichoběžník a malý trojúhelník. Oba tyto nové obrazce mají stejný obvod.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V lichoběžníku jsou délky kratší a delší základny v poměru 3 : 4.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor velkého trojúhelníku

Velký trojúhelník je rovnostranný a má obvod 60 cm. Délku jeho strany vypočítáme tak, že obvod vydělíme třemi:
20 cm ($60 : 3 = 20$).

Rozbor nových obrazců

Velký trojúhelník byl rozdělen úsečkou rovnoběžnou se základnou na malý rovnostranný trojúhelník a lichoběžník. Označíme si stranu malého trojúhelníku jako $x$.

Obvod malého trojúhelníku: $O_1 = 3 \cdot x$
Lichoběžník má horní základnu $x$, dolní základnu 20 cm a dvě ramena o délce $20 - x$. Jeho obvod je: $O_2 = x + 20 + 2 \cdot (20 - x) = 60 - x$

Výpočet strany malého trojúhelníku

Víme, že oba nové obrazce mají stejný obvod ($O_1 = O_2$). Sestavíme a vyřešíme rovnici:
$3 \cdot x = 60 - x$
$4 \cdot x = 60$
$x = 15 \text{ cm}$

Poměr základen lichoběžníku

Kratší základna lichoběžníku (shodná se stranou malého trojúhelníku) má délku 15 cm, delší základna (shodná se stranou velkého trojúhelníku) má délku 20 cm. Jejich poměr je:
15 : 20
Tento poměr můžeme zkrátit číslem 5 a získáme 3 : 4.

Závěr

Vypočítaný poměr 3 : 4 odpovídá tvrzení v zadání. Tvrzení je tedy pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 11

V rovině leží pravoúhlý trojúhelník ABC.
Na odvěsně AC leží střed S kružnice k o poloměru r.
Kružnice k prochází vrcholy A, C trojúhelníku ABC a protíná přeponu BC v bodě K.
V obrázku jsou vyznačeny velikosti některých úhlů.

Jaká je velikost úhlu ω?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní).

A) 34°
D) 68°
B) 48°
E) více než 68°
C) 56°

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úhel u vrcholu C

Trojúhelník ABC má u vrcholu A pravý úhel a u vrcholu B úhel 56°. Součet jeho vnitřních úhlů je 180°, takže u vrcholu C zbývá $180° - 90° - 56° = 34°$. Protože S leží na AC a K na BC, také úhel SCK má velikost 34°.

Rovnoramenný trojúhelník

Úsečky SC a SK jsou poloměry téže kružnice, tedy $SC = SK = r$. Trojúhelník CSK je proto rovnoramenný a úhly u vrcholů C a K jsou stejné: oba mají 34°. Úhel CSK má velikost $180° - 34° - 34° = 112°$.

Výsledek

Body C, S a A leží na jedné přímce a polopřímky SC a SA míří opačnými směry. Úhly CSK a ASK proto dohromady tvoří přímý úhel. Hledaný úhel je $\omega = 180° - 112° = 68°$. Správná odpověď je D: 68°.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy

2 body

Úloha 12

Ve čtvercové síti, jejíž každé pole má obsah 25 cm², je umístěn osmiúhelník s vrcholy v mřížových bodech.
Středy čtyř jeho stran jsou vrcholy čtverce ABCD (viz obrázek).

O kolik cm² se liší obsah osmiúhelníku a obsah čtverce ABCD?

A) o 50,0 cm²
D) o 87,5 cm²
B) o 62,5 cm²
E) o 100,0 cm²
C) o 75,0 cm²

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah osmiúhelníku

Osmiúhelník vznikne ze čtverce o velikosti 3 × 3 políčka odříznutím čtyř rohů. Každý odříznutý roh tvoří polovinu políčka, dohromady tedy 2 políčka. Osmiúhelník zabírá 9 − 2 = 7 políček, takže jeho obsah je 7 · 25 = 175 cm².

Obsah čtverce ABCD

Strana čtverce ABCD je dlouhá jako dvě strany políčka sítě. Čtverec má tedy obsah 2 · 2 = 4 políčka, což je 4 · 25 = 100 cm².

Rozdíl obsahů

Od obsahu osmiúhelníku odečteme obsah čtverce: 175 − 100 = 75 cm². Obsahy se liší o 75 cm², správná je možnost C.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy

2 body

Úloha 13

Helena a Tereza dostávají vždy na začátku měsíce každá na svůj účet kapesné 400 korun.
Jiné příjmy dívky nemají a z kapesného během měsíce část utratí.
V grafu jsou zaznamenány zůstatky na účtech obou dívek na začátku měsíce po obdržení kapesného. (Helena měla na začátku ledna část peněz našetřených z předchozího roku.)Všechny zaznamenané hodnoty jsou násobkem 50 korun.

Kolik korun utratila Helena za leden a únor?

A) 350 korun
D) 550 korun
B) 400 korun
E) jinou částku
C) 450 korun

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Údaje z grafu

Helena měla na začátku ledna 550 korun, února 750 korun a března 1 000 korun. Každý zůstatek už zahrnuje kapesné 400 korun na daný měsíc.

Útrata za leden

Kdyby Helena v lednu nic neutratila, měla by po únorovém kapesném 550 + 400 = 950 korun. Ve skutečnosti měla 750 korun, takže za leden utratila 950 − 750 = 200 korun.

Útrata za únor

Kdyby v únoru nic neutratila, měla by po březnovém kapesném 750 + 400 = 1 150 korun. V grafu je 1 000 korun, takže za únor utratila 1 150 − 1 000 = 150 korun.

Celková útrata

Za leden a únor Helena utratila dohromady 200 + 150 = 350 korun. Správná je možnost A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy

2 body

Úloha 14

Helena a Tereza dostávají vždy na začátku měsíce každá na svůj účet kapesné 400 korun.
Jiné příjmy dívky nemají a z kapesného během měsíce část utratí.
V grafu jsou zaznamenány zůstatky na účtech obou dívek na začátku měsíce po obdržení kapesného. (Helena měla na začátku ledna část peněz našetřených z předchozího roku.)
Všechny zaznamenané hodnoty jsou násobkem 50 korun.

Jakou část z kapesného na 3 měsíce ušetřila Tereza během ledna, února a března?

A) 34
D) 512
B) 23
E) jinou část
C) 58

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Údaje z grafu

Tereza měla na začátku ledna po obdržení kapesného 400 Kč a na začátku dubna 1 200 Kč. Lednový zůstatek tvoří právě lednové kapesné, takže Tereza neměla žádné úspory z předchozího roku.

Kapesné za tři měsíce

Za leden, únor a březen dostala Tereza dohromady $3 \cdot 400 = 1\,200$ Kč.

Ušetřená částka

Dubnový zůstatek už obsahuje i nové dubnové kapesné. To odečteme, abychom zjistili úspory na konci března: $1\,200 - 400 = 800$ Kč.

Výsledek

Z celkového kapesného 1 200 Kč ušetřila Tereza 800 Kč. Ušetřená část je $\frac{800}{1200} = \frac{2}{3}$. Správná odpověď je B: dvě třetiny.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.1

Zvětšením čísla 56 vzniklo největší dvojciferné číslo dělitelné sedmi.

O kolik procent bylo číslo 56 zvětšeno?

A) 25 %
D) 42 %
B) 35 %
E) 50 %
C) 36 %
F) 75 %

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Největší dvojciferný násobek sedmi

Platí 7 · 14 = 98 a další násobek je 7 · 15 = 105, který už je trojciferný. Největší dvojciferné číslo dělitelné sedmi je tedy 98.

Zvětšení čísla

Zjistíme, o kolik se původní číslo zvětšilo: 98 − 56 = 42. Procenta počítáme z původního čísla 56.

Výpočet procent a výsledek

Čtvrtina z 56 je 56 : 4 = 14, což odpovídá 25 %. Zvětšení 42 tvoří tři takové čtvrtiny, protože 42 : 14 = 3. Proto 3 · 25 % = 75 %. Číslo 56 bylo zvětšeno o 75 %, správná je možnost F.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

F

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.2

V zahradnictví mají k prodeji připraveno celkem 120 sazenic různých květin. Čtvrtina z těchto sazenic jsou kopretiny.
Hvozdíků mají připravené dvě bedny po 24 sazenicích.
Zbývající sazenice jsou astry.

Kolik procent sazenic připravených k prodeji představují astry?

A) 25 %
D) 42 %
B) 35 %
E) 50 %
C) 36 %
F) 75 %

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet kopretin a hvozdíků

Kopretiny tvoří čtvrtinu ze 120 sazenic, tedy 120 : 4 = 30 sazenic. Hvozdíků jsou dvě bedny po 24 sazenicích, tedy 2 · 24 = 48 sazenic.

Počet aster

Z celkového počtu odečteme kopretiny a hvozdíky. Zbývá 120 − 30 − 48 = 42 sazenic aster.

Výpočet procent a výsledek

Všech 120 sazenic představuje 100 %. Jedno procento je 120 : 100 = 1,2 sazenice. Astry tedy představují 42 : 1,2 = 35 %. Správná je možnost B: 35 %.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.3

Na představení přišlo 100 dospělých diváků.
Dětí přišlo o polovinu více než dospělých.
Přitom mezi dětmi bylo 60 % předškoláků.

Kolik procent ze všech diváků tvořili předškoláci?

A) 25 %
D) 42 %
B) 35 %
E) 50 %
C) 36 %
F) 75 %

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet dětí

Dětí přišlo o polovinu více než 100 dospělých. Polovina ze 100 je 50, takže dětí bylo $100 + 50 = 150$.

Počet předškoláků

Předškoláci tvořili 60 % ze 150 dětí. Nejdřív určíme 10 %: $150 : 10 = 15$. Potom 60 %: $6 \cdot 15 = 90$. Předškoláků bylo 90.

Počet všech diváků

Dohromady přišlo $100 + 150 = 250$ diváků. Tento počet představuje 100 %, protože hledáme podíl předškoláků ze všech diváků.

Výsledek

Jedno procento ze všech diváků je $250 : 100 = 2{,}5$ diváka. Počet procent tedy vypočítáme $90 : 2{,}5 = 36$. Předškoláci tvořili 36 % všech diváků, správná je možnost C.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy

2 body

Úloha 16.1

Postupným přilepováním krychliček k první krychli vytváříme další tělesa (viz obrázek).
- Druhá krychle vznikla přilepením několika shodných tmavých krychliček k první krychli.
- Přilepením jiných navzájem shodných krychliček vznikla z druhé krychle třetí krychle.
- Posledním tělesem je čtyřboký hranol, který vznikl přilepením dalších navzájem shodných krychliček pouze k zadní stěně třetí krychle.
Délka hrany třetí krychle je 24 cm.

Určete počet tmavých krychliček ve druhé krychli.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Délky hran v krychličkách

Ve spodní řadě druhé krychle jsou 4 tmavé krychličky, takže její hrana odpovídá 4 malým krychličkám. Tmavá vrstva je vlevo, dole a vzadu. Původní bílá krychle má proto v každém směru délku o jednu krychličku menší, tedy 3 krychličky.

Počet malých krychliček

Kdyby byla celá druhá krychle složena z malých krychliček, bylo by jich $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$. Původní bílá krychle zabírá místo pro $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ takových krychliček.

Výsledek

Tmavé krychličky vyplňují zbývající část druhé krychle. Je jich $64 - 27 = 37$. Ve druhé krychli je 37 tmavých krychliček.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

37 tmavých krychliček

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.2

Postupným přilepováním krychliček k první krychli vytváříme další tělesa (viz obrázek).
- Druhá krychle vznikla přilepením několika shodných tmavých krychliček k první krychli.
- Přilepením jiných navzájem shodných krychliček vznikla z druhé krychle třetí krychle.
- Posledním tělesem je čtyřboký hranol, který vznikl přilepením dalších navzájem shodných krychliček pouze k zadní stěně třetí krychle.
Délka hrany třetí krychle je 24 cm.

Vypočtěte v cm délku hrany první krychle.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Bílé krychličky

Hrana třetí krychle měří 24 cm. Podél její spodní hrany je 6 stejných bílých krychliček, takže hrana jedné měří $24 : 6 = 4$ cm.

Druhá krychle

Na přední stěně tvoří nové bílé krychličky jeden pruh vlevo a jeden dole. Hrana druhé krychle je proto o 4 cm kratší než hrana třetí krychle: $24 - 4 = 20$ cm.

Tmavé krychličky

Podél spodní hrany druhé krychle jsou 4 stejné tmavé krychličky. Hrana jedné měří $20 : 4 = 5$ cm.

Výsledek a ověření

První krychle má hranu o jeden tmavý dílek kratší než druhá krychle: $20 - 5 = 15$ cm. Ověříme: $15 + 5 = 20$ cm a $20 + 4 = 24$ cm. Hrana první krychle měří 15 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

15 cm

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.3

Postupným přilepováním krychliček k první krychli vytváříme další tělesa (viz obrázek).
- Druhá krychle vznikla přilepením několika shodných tmavých krychliček k první krychli.
- Přilepením jiných navzájem shodných krychliček vznikla z druhé krychle třetí krychle.
- Posledním tělesem je čtyřboký hranol, který vznikl přilepením dalších navzájem shodných krychliček pouze k zadní stěně třetí krychle.
Délka hrany třetí krychle je 24 cm.

Na následujícím obrázku je silně vyznačena uzavřená lomená čára, která na povrchu posledního tělesa kopíruje hrany krychliček.

Určete v cm celkovou délku této lomené čáry.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit odpověď

148 cm

Stav úlohy

2 body

Přijímací testy 7. ročník

Porovnání osminy a poloviny

Výpočet neznámého čísla

Ověření a výsledek

Poměr sousedních čísel

První pole

Poslední pole

Ověření a výsledek

První dvě dělení

Výpočet závorky

Závěrečný výpočet

Výpočet čitatele

Výpočet jmenovatele

Závěrečný výpočet

Výkon čerpadel

Doplněná část nádrže

Počáteční naplnění

Čas jednoho čerpadla

Počet čerpadel

Doba pro polovinu nádrže

Doba pro dvě čerpadla

Výsledek

Odložíme poslední dvojici

Seskupení po šesti

Všechny dvojice

Odložíme poslední dvojici

Seskupení po šesti

Počet žáků

Zápis operace M

Výpočet a výsledek

Hledání zleva

Třetí číslice

Doplnění čísla

Ověření a výsledek

Rozbor operace

Hledání nejmenšího čísla

Ověření a výsledek

Největší boční stěna

Výpočet výšky hranolu

Výsledek a kontrola

Výška hranolu

Zbývající strany podstavy

Obvod podstavy

Výška hranolu

Kratší základna lichoběžníku

Obsah podstavy

Výška hranolu

Kratší základna lichoběžníku

Obsah podstavy

Objem hranolu

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Strana velkého trojúhelníku

Rozbor obrazců a obvodů

Výpočet a závěr

Rozbor velkého trojúhelníku

Vyjádření obvodů nových obrazců

Výpočet délky úsečky

Ověření tvrzení

Závěr

Rozbor velkého trojúhelníku

Rozbor nových obrazců

Výpočet strany malého trojúhelníku

Poměr základen lichoběžníku

Závěr

Úhel u vrcholu C

Rovnoramenný trojúhelník

Výsledek

Obsah osmiúhelníku

Obsah čtverce ABCD

Rozdíl obsahů

Údaje z grafu

Útrata za leden

Útrata za únor

Celková útrata

Údaje z grafu

Kapesné za tři měsíce

Ušetřená částka