Přijímací testy 7. ročník

Podkategorie: Matematika 7. ročník — 2. náhradní termín 2025

32 úloh

PDF+Klíč

Úloha 1

Plavec uplave v bazénu rovnoměrným tempem 2 kilometry za 48 minut.

Vypočtěte, za kolik minut uplave plavec tímto tempem celkem 5 padesátimetrových bazénů.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celková délka pěti bazénů

Jeden bazén měří 50 metrů. Pět takových bazénů má tedy celkovou délku:
$5 \cdot 50 = 250$ metrů

Převod vzdálenosti na metry

Plavec uplave 2 kilometry za 48 minut. Abychom mohli vzdálenosti snadno porovnat, převedeme kilometry na metry:
$2$ km $= 2\,000$ metrů

Výpočet času pro 250 metrů

Víme, že 2 000 metrů plavec uplave za 48 minut. Můžeme si to postupně zjednodušit:

1 000 metrů (polovinu) uplave za 24 minut ($48 : 2 = 24$).
500 metrů (další polovinu) uplave za 12 minut ($24 : 2 = 12$).
250 metrů (opět polovinu) uplave za 6 minut ($12 : 2 = 6$).

Závěr

Plavec uplave pět padesátimetrových bazénů za 6 minut.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

6 minut

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2

Poměr dvou neznámých přirozených čísel je 4 : 5
a dvojnásobky těchto dvou čísel se liší o 6.

Určete obě neznámá čísla.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl čísel

Dvojnásobky čísel se liší o 6, takže původní čísla se liší o polovinu: $6 : 2 = 3$.

Rozdělení podle poměru

V poměru $4 : 5$ má menší číslo 4 stejné díly a větší číslo 5 takových dílů. Jejich rozdíl je jeden díl, který tedy má hodnotu 3. Menší číslo je $4 \cdot 3 = 12$ a větší číslo je $5 \cdot 3 = 15$.

Výsledek a ověření

Hledaná čísla jsou 12 a 15. Jejich poměr je $12 : 15 = 4 : 5$. Jejich dvojnásobky jsou 24 a 30 a platí $30 - 24 = 6$, takže obě podmínky jsou splněny.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

12; 15

Stav úlohy

2 body

Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

Uveďte postup řešení.

$\displaystyle (\frac{7}{5} - \frac{7}{4}) \div (2 - \frac{6}{5} \cdot \frac{4}{3}) =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet první závorky

Nejprve vypočítáme hodnotu první závorky. Zlomky převedeme na společného jmenovatele, kterým je číslo $20$:

$\displaystyle \frac{7}{5} - \frac{7}{4} = \frac{7 \cdot 4 - 7 \cdot 5}{20} = \frac{28 - 35}{20} = -\frac{7}{20}$

Výpočet druhé závorky

V druhé závorce má násobení přednost před odčítáním. Zlomky můžeme před vynásobením vykrátit (čísla $6$ a $3$ dělíme třemi):

$\displaystyle 2 - \frac{6}{5} \cdot \frac{4}{3} = 2 - \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{1} = 2 - \frac{8}{5}$

Nyní obě čísla odečteme. Číslo $2$ si zapíšeme jako zlomek s jmenovatelem $5$ (tedy $\frac{10}{5}$):

$\displaystyle \frac{10}{5} - \frac{8}{5} = \frac{2}{5}$

Dokončení výpočtu

Nakonec výsledky z první a druhé závorky mezi sebou vydělíme. Dělení zlomkem nahradíme násobením jeho převrácenou hodnotou:

$\displaystyle \left(-\frac{7}{20}\right) \div \frac{2}{5} = -\frac{7}{20} \cdot \frac{5}{2}$

Před vynásobením křížem vykrátíme čísla $20$ a $5$ (dělíme je pěti):

$\displaystyle -\frac{7}{4} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{7}{8}$

Výsledek je v základním tvaru.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-7/8 a správný postup řešení

Stav úlohy

2 body

Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru. V záznamovém archu uveďte v obou částech úlohy postup řešení.

Uveďte postup řešení.

$\displaystyle \frac{\frac{8}{7} \cdot (1 + \frac{1}{7}) \cdot \frac{7}{4}}{5 - \frac{9}{5}} =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele složeného zlomku

Nejprve vypočítáme hodnotu závorky:
$1 + \frac{1}{7} = \frac{7}{7} + \frac{1}{7} = \frac{8}{7}$

Následně vynásobíme zlomky v čitateli. Výpočet si můžeme ulehčit křížovým krácením (sedmičky vykrátíme sedmi, osmičku a čtyřku vykrátíme čtyřmi):
$\frac{8}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{7}{4} = \frac{8}{7} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{1} = \frac{16}{7}$

Výpočet jmenovatele složeného zlomku

Ve jmenovateli odečteme zlomek od celého čísla. Pětku si převedeme na pětiny:
$5 - \frac{9}{5} = \frac{25}{5} - \frac{9}{5} = \frac{16}{5}$

Dělení zlomků

Složený zlomek přepíšeme jako dělení dvou zlomků. Čitatele (horní část) vydělíme jmenovatelem (spodní částí). Dělení zlomkem převedeme na násobení jeho převrácenou hodnotou:
$\frac{\frac{16}{7}}{\frac{16}{5}} = \frac{16}{7} : \frac{16}{5} = \frac{16}{7} \cdot \frac{5}{16}$

Zlomky před vynásobením opět vykrátíme (šestnáctky):
$\frac{16}{7} \cdot \frac{5}{16} = \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{1} = \frac{5}{7}$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

5/7 a správný postup řešení

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.1

Martin má jednobarevné kuličky.
Jedna třetina všech Martinových kuliček je žlutých, 40 % kuliček je modrých
a zbývajících 12 kuliček je červených.

Určete počet všech Martinových kuliček.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Žluté a modré kuličky

Žluté kuličky tvoří $\frac{1}{3}$ všech kuliček. Modré tvoří $40\,\% = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}$. Převedeme zlomky na patnáctiny: $\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$ a $\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$. Žluté a modré kuličky dohromady tvoří $\frac{11}{15}$ všech kuliček.

Zbývající červené kuličky

Na červené kuličky zbývají $\frac{15}{15} - \frac{11}{15} = \frac{4}{15}$ celku. Tyto čtyři stejné dílky představují 12 kuliček, takže na jeden dílek připadá $12 : 4 = 3$ kuličky.

Počet všech kuliček

Celý počet tvoří 15 stejných dílků, proto má Martin $15 \cdot 3 = 45$ kuliček. Ověříme: třetina ze 45 je 15 žlutých kuliček a 40 % ze 45 je 18 modrých kuliček. Zbývá $45 - 15 - 18 = 12$ červených kuliček, což souhlasí se zadáním. Martin má celkem 45 kuliček.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

45 kuliček

Stav úlohy

1 bod

Úloha 4.2

Martin má jednobarevné kuličky.
Jedna třetina všech Martinových kuliček je žlutých, 40 % kuliček je modrých
a zbývajících 12 kuliček je červených.

Vyjádřete zlomkem v základním tvaru, jakou část všech Martinových kuliček tvoří červené kuličky.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převedení na zlomky

Žluté kuličky tvoří $\frac{1}{3}$ všech kuliček. Modré tvoří $40\,\% = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}$. Pro sčítání převedeme oba zlomky na patnáctiny: $\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$ a $\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$.

Dopočítání zbývající části

Žluté a modré kuličky dohromady tvoří $\frac{5}{15} + \frac{6}{15} = \frac{11}{15}$ všech kuliček. Celý počet kuliček představuje $\frac{15}{15}$, takže na červené zbývá $\frac{15}{15} - \frac{11}{15} = \frac{4}{15}$.

Výsledek

Červené kuličky tvoří $\frac{4}{15}$ všech Martinových kuliček. Čísla 4 a 15 nemají společného dělitele většího než 1, takže zlomek je v základním tvaru.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

4/15

Stav úlohy

1 bod

Úloha 4.3

Martin má jednobarevné kuličky.
Jedna třetina všech Martinových kuliček je žlutých, 40 % kuliček je modrých
a zbývajících 12 kuliček je červených.

Martin dá kamarádce tolik červených kuliček, aby polovinu jeho zbylých kuliček tvořily modré kuličky.

Určete, kolik červených kuliček dá Martin kamarádce.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet všech kuliček

Žluté kuličky tvoří $\frac{1}{3}=\frac{5}{15}$ všech kuliček a modré tvoří $40\,\%=\frac{2}{5}=\frac{6}{15}$. Na červené tedy zbývá $\frac{4}{15}$ všech kuliček. Tyto 4 stejné dílky představují 12 kuliček, takže jeden dílek je $12:4=3$ kuličky. Martin má celkem $15\cdot3=45$ kuliček.

Kolik kuliček má zůstat

Modrých kuliček je $45:5\cdot2=18$. Martin rozdává pouze červené, takže modrých bude stále 18. Aby modré tvořily polovinu zbylých kuliček, musí mu zůstat celkem $18\cdot2=36$ kuliček.

Výsledek a ověření

Martin dá kamarádce $45-36=9$ červených kuliček. Zůstane mu 15 žlutých, 18 modrých a $12-9=3$ červené kuličky, dohromady 36. Modrých je 18, tedy opravdu polovina. Kamarádce dá 9 červených kuliček.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

9 červených kuliček

Stav úlohy

1 bod

Úloha 5.1

Na odvoz beden ze skladu se používají dva různí roboti A, B.
Ve skladu bylo 95 beden.
Bedny nejprve odvážel robot A, a to po 5 kusech. Jezdil v pravidelných intervalech a odvezl ze skladu za 2 hodiny celkem 50 beden.
Pak pokračoval robot B, který vozil bedny jen po 3 kusech, avšak v kratších pravidelných intervalech. Odvezl tak ze skladu za 1,5 hodiny zbývajících 45 beden.

Vyjádřete v základním tvaru poměr počtu beden odvezených ze skladu za 1 hodinu robotem A ku počtu beden odvezených za 1 hodinu robotem B.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Robot A

Robot A odvezl za 2 hodiny 50 beden. Za 1 hodinu tedy odvezl $50 : 2 = 25$ beden.

Robot B

Robot B odvezl za 1,5 hodiny 45 beden. Za 1 hodinu tedy odvezl $45 : 1{,}5 = 30$ beden.

Poměr v základním tvaru

Poměr počtu beden odvezených za hodinu robotem A ku robotu B je $25 : 30$. Obě čísla vydělíme pěti: $25 : 5 = 5$ a $30 : 5 = 6$. Výsledný poměr v základním tvaru je 5 : 6.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

5 : 6

Stav úlohy

1 bod

Úloha 5.2

Vyjádřete v základním tvaru poměr počtu jízd robota A za hodinu ku počtu jízd robota B za hodinu.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Jízdy robota A

Robot A odvezl 50 beden po 5 kusech, takže za 2 hodiny vykonal $50 : 5 = 10$ jízd. Za hodinu tedy vykonal $10 : 2 = 5$ jízd.

Jízdy robota B

Robot B odvezl 45 beden po 3 kusech, takže za 1,5 hodiny vykonal $45 : 3 = 15$ jízd. Za hodinu tedy vykonal $15 : 1{,}5 = 10$ jízd.

Poměr v základním tvaru

Počty jízd za hodinu zapíšeme v pořadí robot A ku robotu B: $5 : 10$. Obě čísla vydělíme 5 a dostaneme poměr v základním tvaru $1 : 2$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

1 : 2

Stav úlohy

1 bod

Úloha 5.3

Vypočtěte, kolik beden by ze skladu odvezli za 36 minut oba roboti dohromady při společném provozu.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Interval jízd robota A

Robot A odvezl 50 beden po 5 kusech, tedy vykonal 50 : 5 = 10 jízd. Dvě hodiny jsou 120 minut, takže na jednu jízdu připadá 120 : 10 = 12 minut. Za 36 minut vykoná 36 : 12 = 3 jízdy a odveze 3 · 5 = 15 beden.

Interval jízd robota B

Robot B odvezl 45 beden po 3 kusech, tedy vykonal 45 : 3 = 15 jízd. Jedna a půl hodiny je 90 minut, takže na jednu jízdu připadá 90 : 15 = 6 minut. Za 36 minut vykoná 36 : 6 = 6 jízd a odveze 6 · 3 = 18 beden.

Celkový počet beden

Počty beden odvezených oběma roboty sečteme: 15 + 18 = 33. Za 36 minut by oba roboti dohromady odvezli 33 beden.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

33 beden

Stav úlohy

2 body

Úloha 6.1

Vědomostní soutěže, která měla dvě kola, se zúčastnil 10členný tým. V každém kole získali jednotliví soutěžící 8, 9, nebo 10 bodů. Některé údaje jsou v tabulce.

V 1. kole bylo soutěžících, kteří získali 8 bodů, o jednoho méně než těch, kteří získali 10 bodů.

Určete součet bodů celého týmu v 1. kole.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet soutěžících v 1. kole

Víme, že celý tým má 10 členů. Z tabulky vyčteme, že v 1. kole získalo 5 soutěžících 9 bodů. Na ostatní bodové zisky (8 a 10 bodů) tedy zbývá 5 soutěžících ($10 - 5 = 5$).

Rozdělení zbývajících soutěžících

Ze zbývajících pěti soutěžících nejprve oddělíme jednoho s 10 body, který je navíc. Zůstanou 5 − 1 = 4 soutěžící rozdělení do dvou stejně početných skupin. V každé je 4 : 2 = 2. Proto 8 bodů získali 2 soutěžící a 10 bodů získali 2 + 1 = 3 soutěžící.

Výpočet celkového součtu

Nyní spočítáme body za všechny skupiny soutěžících v 1. kole:

2 soutěžící po 8 bodech: $2 \cdot 8 = 16$ bodů
5 soutěžících po 9 bodech: $5 \cdot 9 = 45$ bodů
3 soutěžící po 10 bodech: $3 \cdot 10 = 30$ bodů

Celkový součet v 1. kole je: $16 + 45 + 30 = \mathbf{91}$ bodů.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

91 bodů

Stav úlohy

1 bod

Úloha 6.2

Vědomostní soutěže, která měla dvě kola, se zúčastnil 10členný tým. V každém kole získali jednotliví soutěžící 8, 9, nebo 10 bodů. Některé údaje jsou v tabulce.

Určete, kolik soutěžících mohlo ve 2. kole získat 9 bodů.

Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor 2. kola

V týmu je 10 soutěžících a ve 2. kole získali dohromady 95 bodů. Víme, že každý mohl získat jen 8, 9, nebo 10 bodů.

Hledání rozdílu od maxima

Kdyby všech 10 soutěžících získalo maximálních 10 bodů, měl by tým celkem 100 bodů ($10 \times 10 = 100$). Ve skutečnosti mají 95 bodů, což je o 5 bodů méně ($100 - 95 = 5$).

Rozdělení chybějících bodů

Každý soutěžící s 9 body „ubírá“ z maxima 1 bod. Každý soutěžící s 8 body „ubírá“ 2 body. Dohromady musíme těmito úbytky získat přesně chybějících 5 bodů.

Jaké počty devítibodových výsledků jsou možné

Úbytky po dvou bodech mají vždy sudý součet. Celkový úbytek 5 je lichý, takže počet úbytků po jednom bodu, tedy počet soutěžících s 9 body, musí být lichý. Zároveň jich nemůže být více než 5. Hledáme tedy všechny kladné liché počty nejvýše 5: 1, 3 a 5.
Každý takový počet lze uskutečnit: tolik z pěti chybějících bodů přidělíme po jednom soutěžícím s 9 body. Zbytek je sudý, proto ho rozdělíme po dvou mezi soutěžící s 8 body. Ostatní do desetičlenného týmu získají 10 bodů. To je přímá konstrukce všech požadovaných výsledků.

Závěr

Ve 2. kole mohl získat 9 bodů 1, 3 nebo 5 soutěžících.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

1 soutěžící; 3 soutěžící; 5 soutěžících

Stav úlohy

3 body

Úloha 7.1

Povrch malé krychle je o 42 cm² menší než povrch velké krychle.
Součet délek všech hran velké krychle je 48 cm.

Vypočtěte v cm délku hrany velké krychle.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet hran krychle

Krychle má 12 stejně dlouhých hran: 4 dole, 4 nahoře a 4 svislé. Součet délek všech hran velké krychle je 48 cm.

Výpočet a výsledek

Délku jedné hrany zjistíme dělením: $48 : 12 = 4$. Hrana velké krychle tedy měří 4 cm. Ověříme: $12 \cdot 4 = 48$ cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

4 cm a správný postup řešení

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.2

Povrch malé krychle je o 42 cm² menší než povrch velké krychle.
Součet délek všech hran velké krychle je 48 cm.

Vypočtěte v cm² povrch malé krychle.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Délka hrany velké krychle

Krychle má 12 stejně dlouhých hran. Součet jejich délek je 48 cm, takže jedna hrana měří 48 : 12 = 4 cm.

Povrch velké krychle

Každá stěna velké krychle je čtverec o straně 4 cm. Její obsah je 4 · 4 = 16 cm². Krychle má 6 stěn, proto je její povrch 6 · 16 = 96 cm².

Povrch malé krychle

Povrch malé krychle je o 42 cm² menší. Odečteme tedy 96 − 42 = 54 cm². Povrch malé krychle je 54 cm².

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

54 cm² a správný postup řešení

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.3

Povrch malé krychle je o 42 cm² menší než povrch velké krychle.
Součet délek všech hran velké krychle je 48 cm.

Vypočtěte v cm³, o kolik se liší objem malé a velké krychle.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hrana a povrch velké krychle

Krychle má 12 stejně dlouhých hran. Hrana velké krychle tedy měří 48 : 12 = 4 cm. Její povrch tvoří 6 stejných čtverců, takže je 6 · 4 · 4 = 96 cm².

Hrana malé krychle

Povrch malé krychle je o 42 cm² menší: 96 − 42 = 54 cm². Jedna její stěna má obsah 54 : 6 = 9 cm². Protože 3 · 3 = 9, hrana malé krychle měří 3 cm.

Objemy obou krychlí

Objem krychle vypočítáme vynásobením délky hrany třikrát. Velká krychle má objem 4 · 4 · 4 = 64 cm³ a malá krychle 3 · 3 · 3 = 27 cm³.

Rozdíl objemů

Objemy se liší o 64 − 27 = 37 cm³.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

o 37 cm³ a správný postup řešení

Stav úlohy

2 body

Úloha 8.1

3 body za skupinu

V rovině leží body A, A′ a M.

Bod A je vrchol rovnostranného trojúhelníku ABC. Na přímce AM leží vrchol C tohoto trojúhelníku. Bod A′ je vrchol trojúhelníku A′B′C, který je obrazem trojúhelníku ABC v osové souměrnosti s osou o. Oba trojúhelníky mají pouze jeden společný bod, a to vrchol C.

Sestrojte osu o a označte ji písmenem.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Úlohy 8.1 a 8.2 se hodnotí společně. Celkové hodnocení se započítá pouze jednou, maximálně 3 body.

Dílčí body se sčítají, nejvýše do 3 bodů.

8.1 · +1 bod

Správně sestrojená a písmenem označená osa o.

Poznámka: Ručně odvozené rozdělení bodů.

8.2 · +1 bod

Dílčí bod se přidělí za splnění alespoň jedné z následujících podmínek:

Je správně sestrojen alespoň jeden z obou požadovaných rovnostranných trojúhelníků.
Je sestrojen libovolný trojúhelník, který nevyhovuje zadání, protože není rovnostranný, jeho vrchol C však leží v průsečíku přímky AM s přímkou o (i chybnou) a je k němu sestrojen obraz v osové souměrnosti s osou o, jehož konstrukce je přesná.

Poznámka: Ručně odvozené rozdělení bodů.

8.2 · +1 bod

Doplnění částečně správné konstrukce na oba požadované rovnostranné trojúhelníky.

Poznámka: Ručně odvozené rozdělení bodů.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 2. náhradní termín 2025, úloha 8

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

1 bod za skupinu

Úloha 8.2

3 body za skupinu

V rovině leží body A, A′ a M.

Bod A je vrchol rovnostranného trojúhelníku ABC. Na přímce AM leží vrchol C tohoto trojúhelníku. Bod A′ je vrchol trojúhelníku A′B′C, který je obrazem trojúhelníku ABC v osové souměrnosti s osou o. Oba trojúhelníky mají pouze jeden společný bod, a to vrchol C.

Sestrojte všechny chybějící vrcholy trojúhelníků ABC i A′B′C, označte je písmeny a oba trojúhelníky narýsujte.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Úlohy 8.1 a 8.2 se hodnotí společně. Celkové hodnocení se započítá pouze jednou, maximálně 3 body.

Dílčí body se sčítají, nejvýše do 3 bodů.

8.1 · +1 bod

Správně sestrojená a písmenem označená osa o.

Poznámka: Ručně odvozené rozdělení bodů.

8.2 · +1 bod

Dílčí bod se přidělí za splnění alespoň jedné z následujících podmínek:

Je správně sestrojen alespoň jeden z obou požadovaných rovnostranných trojúhelníků.
Je sestrojen libovolný trojúhelník, který nevyhovuje zadání, protože není rovnostranný, jeho vrchol C však leží v průsečíku přímky AM s přímkou o (i chybnou) a je k němu sestrojen obraz v osové souměrnosti s osou o, jehož konstrukce je přesná.

Poznámka: Ručně odvozené rozdělení bodů.

8.2 · +1 bod

Doplnění částečně správné konstrukce na oba požadované rovnostranné trojúhelníky.

Poznámka: Ručně odvozené rozdělení bodů.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 2. náhradní termín 2025, úloha 8

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body za skupinu

Úloha 9

V rovině leží body L, M a přímka p procházející bodem M.

Body L, M jsou vrcholy rovnoběžníku KLMN. Na přímce p leží střed S souměrnosti tohoto rovnoběžníku. Délka strany LM je stejná jako délka úhlopříčky LN.

Sestrojte střed S a vrcholy K, N rovnoběžníku KLMN, označte je písmeny a rovnoběžník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

3 body: Vzorové řešení výše.
2 body: Nastane právě jedna z následujících situací:
Jsou sestrojeny oba požadované rovnoběžníky, ale s mírnou nepřesností.
Z požadovaných rovnoběžníků je sestrojen pouze jeden, a to přesně.
1 bod: Nastane právě jedna z následujících situací:
Z požadovaných rovnoběžníků je sestrojen pouze jeden, a to s mírnou nepřesností.
Správně sestrojeny jsou pouze oba středy S.
0 bodů: Pouze zcela chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 2. náhradní termín 2025, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 10.1

3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Kružnice se středem S prochází body A, B, K, L. Úsečky AB a KL se protínají v bodě S.
V obrázku jsou vyznačeny velikosti některých úhlů.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

α > 64°

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní).

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Stejné poloměry

Úsečky SA a SK jsou poloměry téže kružnice, proto jsou stejně dlouhé. Trojúhelník ASK je tedy rovnoramenný se základnou AK.

Velikost úhlu α

Úhly při základně AK mají stejnou velikost. Úhel AKS je 64°, proto je i úhel KAS roven 64°. Bod S leží na úsečce AB, takže α = 64°.

Posouzení tvrzení

64° není více než 64°. Tvrzení α > 64° je nepravdivé, odpověď je N.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 10.2

3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Kružnice se středem S prochází body A, B, K, L. Úsečky AB a KL se protínají v bodě S.
V obrázku jsou vyznačeny velikosti některých úhlů.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

α + β > 90°

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní).

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úhel α

Úsečky SA a SK jsou poloměry téže kružnice, takže mají stejnou délku. Trojúhelník ASK je rovnoramenný a jeho úhly u A a K jsou shodné. U K je vyznačeno 64°, proto α = 64°.

Úhly u středu kružnice

Součet vnitřních úhlů trojúhelníku ASK je 180°, takže δ = 180° − 64° − 64° = 52°. Body A, S a B leží na jedné přímce, proto δ + γ = 180°. Odtud γ = 180° − 52° = 128°.

Úhel β

Také SK a SB jsou stejně dlouhé poloměry. Trojúhelník KSB je tedy rovnoramenný a jeho úhly u K a B jsou shodné. Dohromady mají 180° − 128° = 52°, takže β = 52° : 2 = 26°.

Posouzení tvrzení

α + β = 64° + 26° = 90°. Součet se rovná 90°, není větší než 90°. Tvrzení je nepravdivé (N).

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 10.3

3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Kružnice se středem S prochází body A, B, K, L. Úsečky AB a KL se protínají v bodě S.
V obrázku jsou vyznačeny velikosti některých úhlů.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

γ - α > δ

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní).

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úhel α v rovnoramenném trojúhelníku

Úsečky SA a SK jsou poloměry stejné kružnice, proto mají stejnou délku. Trojúhelník ASK je rovnoramenný a úhly u A a K jsou stejné. U K je úhel 64°, takže α = 64°.

Výpočet úhlů δ a γ

Součet vnitřních úhlů trojúhelníku ASK je 180°, tedy δ = 180° − 64° − 64° = 52°. Body A, S a B leží na jedné přímce, takže δ + γ = 180°. Proto γ = 180° − 52° = 128°.

Ověření tvrzení

Vypočteme rozdíl: γ − α = 128° − 64° = 64°. Protože 64° > 52°, platí γ − α > δ. Tvrzení je pravdivé, odpověď je A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 11

Ze čtverce o straně délky 14 cm odstřihneme čtyři pravoúhlé trojúhelníky (viz obrázek). Vznikne tak šestiúhelník, který se skládá ze dvou různých rovnoramenných lichoběžníků.
Oba tyto lichoběžníky mají kratší základnu délky 6 cm.

Jaký je obsah šestiúhelníku?

A) 112 cm²
D) 154 cm²
B) 120 cm²
E) více než 154 cm²
C) 140 cm²

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrazce

Šestiúhelník vznikl odstřižením čtyř pravoúhlých trojúhelníků v rozích čtverce o straně 14 cm. Skládá se ze dvou rovnoramenných lichoběžníků, které mají společnou delší základnu. Tato společná základna prochází středem čtverce a spojuje jeho levou a pravou stranu, takže měří 14 cm. Kratší základny lichoběžníků (horní a dolní strana šestiúhelníku) měří podle zadání 6 cm.

Výpočet obsahu lichoběžníků

Obsah lichoběžníku se vypočítá jako průměr délek základen vynásobený výškou: $(a + c) : 2 \cdot v$. V našem případě mají oba lichoběžníky základny 14 cm a 6 cm. I když jsou lichoběžníky různé (mohou mít různé výšky $v_1$ a $v_2$), víme, že součet jejich výšek musí odpovídat straně čtverce, tedy $v_1 + v_2 = 14$ cm.

Celkový obsah šestiúhelníku

Obsah šestiúhelníku získáme sečtením obsahů obou lichoběžníků:
$S = \frac{14 + 6}{2} \cdot v_1 + \frac{14 + 6}{2} \cdot v_2$
$S = 10 \cdot v_1 + 10 \cdot v_2$
$S = 10 \cdot (v_1 + v_2)$
Dosadíme za součet výšek (14 cm):
$S = 10 \cdot 14 = 140$ cm²

Závěr

Obsah šestiúhelníku je 140 cm².

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 12

Podlaha chodby má tvar obdélníku, šířka chodby je 3 m.
Celá podlaha chodby je vydlážděna celkem 216 stejnými čtvercovými dlaždicemi. Délka strany dlaždice v cm je vyjádřena celým číslem.
(Dlaždice jsou položeny těsně vedle sebe, šířku spár zanedbáváme.)

Jaká je nejmenší možná délka chodby?

A) méně než 360 cm
D) 432 cm
B) 360 cm
E) 450 cm
C) 400 cm

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet dlaždic na šířku

Šířka chodby je 300 cm. Počet dlaždic na šířku musí dělit 300, aby jejich strana měla celé centimetry, a také 216, aby vznikly celé řady.

Proč chceme co nejvíce dlaždic na šířku

Více dlaždic na šířku znamená menší stranu jedné dlaždice a zároveň méně dlaždic na délku. Obojí chodbu zkracuje. Potřebujeme tedy největší společný dělitel čísel 300 a 216.

Společné činitele

Rozložíme čísla: $300 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 5$ a $216 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3$. Společné jsou dvě dvojky a jedna trojka. Jejich součin $2 \times 2 \times 3 = 12$ je největší možný počet dlaždic na šířku.

Délka chodby

Strana dlaždice je $300 : 12 = 25$ cm. Na délku připadá $216 : 12 = 18$ dlaždic. Chodba měří nejméně $18 \times 25 = 450$ cm, možnost E.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 13

Ve stanici Lichá Lhota stojí na každé ze tří kolejí jeden vlak.
Vlak na druhé koleji má o 3 vagony více než vlak na první koleji a dvakrát méně vagonů než vlak na třetí koleji.
Všechny tři vlaky dohromady mají 41 vagonů.

O kolik vagonů více má vlak na třetí koleji než vlak na první koleji?

A) o 8 vagonů
D) o 13 vagonů
B) o 10 vagonů
E) o 14 vagonů
C) o 11 vagonů

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vztahy mezi vlaky

Ze zadání víme, že:

Vlak na 2. koleji má o 3 vagony více než vlak na 1. koleji.
Vlak na 3. koleji má dvakrát více vagonů než vlak na 2. koleji (protože vlak na 2. koleji jich má dvakrát méně).

Výpočet počtu vagonů

Zkusíme si představit, kolik vagonů by vlaky měly, kdyby měly všechny stejně jako ten první:

2. vlak má o 3 vagony více než 1. vlak.
3. vlak má dvakrát více než 2. vlak. Tedy má dvakrát (1. vlak + 3 vagony), což je jako dva první vlaky a k tomu ještě 6 vagonů ($2 \cdot 3 = 6$).

Dohromady mají všechny tři vlaky: jeden 1. vlak + (druhý 1. vlak + 3) + (další dva 1. vlaky + 6). Celkem jsou to tedy čtyři stejné díly (odpovídající 1. vlaku) a 9 vagonů navíc ($3 + 6 = 9$).

Víme, že celkem je vagonů 41. Odečteme ty, které jsou navíc: $41 - 9 = 32$. Čtyři stejné díly (čtyřnásobek 1. vlaku) tvoří 32 vagonů. Jeden díl (1. vlak) má tedy: $32 : 4 = 8$ vagonů.

Počty vagonů na kolejích

Nyní můžeme určit počty vagonů pro každý vlak:

1. kolej: 8 vagonů
2. kolej: $8 + 3 = 11$ vagonů
3. kolej: $11 \cdot 2 = 22$ vagonů

Pro kontrolu sečteme: $8 + 11 + 22 = 41$ vagonů, což souhlasí se zadáním.

Závěrečné porovnání

Otázka zní, o kolik vagonů více má vlak na třetí koleji než na první koleji:
$22 - 8 = 14$

Vlak na třetí koleji má o 14 vagonů více.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 14

Jonáš a Beáta se zapojili do programu Ptačí hodinka. Každý v okolí svého krmítka sledoval výskyt ptáků v průběhu jedné vybrané hodiny. U každého ptačího druhu zaznamenali do grafu vždy nejvyšší počet jedinců spatřených najednou.Jonáš spatřil pět druhů ptáků, zatímco Beáta pouze čtyři z nich. Oba dohromady zaznamenali pěnkav o 6 méně než sýkor. Jonáš zaznamenal celkem o pětinu více ptačích jedinců než Beáta.

Kolik jedinců brhlíka lesního zaznamenala Beáta?

A) 2 jedince
D) 5 jedinců
B) 3 jedince
E) více než 5 jedinců
C) 4 jedince

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení měřítka grafu

U sýkor mají sloupce dohromady 4 + 4 = 8 dílků, u pěnkav 2 + 3 = 5 dílků. Rozdíl 8 − 5 = 3 dílky odpovídá 6 jedincům. Jeden dílek tedy znamená 6 : 3 = 2 jedince.

Jonášův celkový počet

Jonášovy sloupce mají dohromady 3 + 2 + 4 + 1 + 2 = 12 dílků. Jonáš tedy zaznamenal 12 · 2 = 24 jedinců.

Beátin celkový počet

Jonáš zaznamenal o pětinu více jedinců než Beáta. Jeho 24 jedinců tedy představuje šest pětin Beátina počtu. Jedna pětina je 24 : 6 = 4 jedinci, takže Beáta zaznamenala 5 · 4 = 20 jedinců.

Počet brhlíků a výsledek

Beáta zaznamenala 2 · 2 = 4 kosy, 4 · 2 = 8 sýkor a 3 · 2 = 6 pěnkav. Červenku neviděla, její sloupec má výšku 0. Bez brhlíků je to 4 + 8 + 6 = 18 jedinců. Na brhlíky zbývá 20 − 18 = 2. Beáta zaznamenala 2 jedince brhlíka lesního, správná je možnost A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.1

Pan Zdeněk bydlí posledních pět osmin svého dosavadního života v Plzni, kam se přestěhoval, když mu bylo 27 let.

Kolik let bydlí pan Zdeněk v Plzni?

A) 22 let
D) 45 let
B) 27 let
E) 48 let
C) 32 let
F) více než 48 let

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení života

Pan Zdeněk bydlí v Plzni posledních $\frac{5}{8}$ svého života. Před přestěhováním tedy uplynuly $\frac{3}{8}$ jeho života. Tyto tři osminy odpovídají 27 letům.

Jedna osmina

Když tři osminy odpovídají 27 letům, jedna osmina odpovídá $27 : 3 = 9$ letům.

Výsledek a ověření

Pět osmin odpovídá $5 \cdot 9 = 45$ letům. Ověříme: panu Zdeňkovi je $27 + 45 = 72$ let a pět osmin ze 72 je $72 : 8 \cdot 5 = 45$. V Plzni tedy bydlí 45 let, správná je možnost D.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.2

Ze tří škol v obci je nejstarší základní škola, která je v provozu již 84 let. Funguje tedy o 75 % delší dobu než gymnázium. Nejmladší školou je lyceum. Poměr doby fungování lycea a gymnázia je 2 : 3.

Kolik let funguje v obci lyceum?

A) 22 let
D) 45 let
B) 27 let
E) 48 let
C) 32 let
F) více než 48 let

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Doba fungování gymnázia

Dobu fungování gymnázia bereme jako 100 %. Základní škola funguje o 75 % déle, takže jejích 84 let odpovídá 175 %. To je 7 stejných dílů po 25 %. Jeden díl představuje 84 : 7 = 12 let. Gymnázium funguje 4 takové díly, tedy 4 · 12 = 48 let.

Použití poměru

Poměr doby fungování lycea a gymnázia je 2 : 3. Gymnáziu tedy patří 3 díly, které dohromady představují 48 let. Jeden díl je 48 : 3 = 16 let. Lyceu patří 2 díly: 2 · 16 = 32 let.

Výsledek

Lyceum funguje v obci 32 let. Správná je možnost C.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.3

Součet věků dvojčat a jejich staršího bratra je 99 let. Každému z dvojčat je o 40 % méně let než jejich bratrovi.

Kolik let je každému z dvojčat?

A) 22 let
D) 45 let
B) 27 let
E) 48 let
C) 32 let
F) více než 48 let

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vyjádření věků v procentech

Věk staršího bratra představuje 100 %. Každému z dvojčat je o 40 % méně, tedy 100 − 40 = 60 % bratrova věku. Dohromady jejich věky představují 100 + 60 + 60 = 220 % bratrova věku.

Výpočet věku dvojčat

Celkem 220 % odpovídá 99 letům. Nejdřív vypočítáme 1 %: 99 : 220 = 0,45 roku. Každé dvojče má 60 % bratrova věku, tedy 60 · 0,45 = 27 let.

Ověření a výsledek

Bratrovi je 100 · 0,45 = 45 let. Součet věků je 45 + 27 + 27 = 99 let. Rozdíl 45 − 27 = 18 let je opravdu 40 % z 45 let, protože 45 · 40 : 100 = 18. Každému z dvojčat je 27 let, správná je možnost B.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 16.1

Hřiště má tvar obdélníku KLMN.
Po jeho obvodu vede soutěžní trasa se stanovišti A, B, C, D (viz obrázek).Úsečky AC a BD jsou rovnoběžné se stranami hřiště a vyznačený šedý obrazec je čtverec. Úsek AKB soutěžní trasy (ze stanoviště A přes vrchol K na stanoviště B) měří 45 m. Úsek BLC měří 39 m a poslední úsek CMD měří 30 m.

Vypočtěte v metrech rozdíl mezi délkami úseček BK a BL.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Úsečka $AC$ je v nákresu svislá a rovnoběžná se stranou $KL$ obdélníkového hřiště. To znamená, že vzdálenost bodu $A$ od vrcholu $K$ (na horní straně) je stejná jako vzdálenost bodu $C$ od vrcholu $L$ (na dolní straně). Můžeme tedy říct, že úsečky $AK$ a $LC$ jsou stejně dlouhé.

Vyjádření délek tras

Z textu známe délky dvou částí soutěžní trasy:

Trasa $AKB$ (z bodu $A$ přes vrchol $K$ do bodu $B$) měří $45\text{ m}$. To znamená, že $AK + BK = 45\text{ m}$.
Trasa $BLC$ (z bodu $B$ přes vrchol $L$ do bodu $C$) měří $39\text{ m}$. To znamená, že $BL + LC = 39\text{ m}$.

Výpočet rozdílu

Víme, že $AK$ je stejně dlouhá jako $LC$. Pokud bychom v druhé trase nahradili úsečku $LC$ úsečkou $AK$, celková délka by se nezměnila. Máme tedy:

$AK + BK = 45\text{ m}$
$AK + BL = 39\text{ m}$

První součet je o $6\text{ m}$ větší než druhý ($45 - 39 = 6$). Protože v obou součtech vystupuje stejná délka $AK$, musí být rozdíl způsoben délkami úseček $BK$ a $BL$. Úsečka $BK$ je tedy o $6\text{ m}$ delší než $BL$.

Závěr

Rozdíl mezi délkami úseček $BK$ a $BL$ je $6\text{ m}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

6 m

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.2

Vypočtěte v metrech délku kratší strany hřiště.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor délek úseků

Soutěžní trasa vede po obvodu obdélníkového hřiště. Ze zadání víme, že úsečky AC a BD jsou rovnoběžné se stranami hřiště. Šedý obrazec je čtverec, což znamená, že jeho strany jsou stejně dlouhé: AN = ND.

Výpočet délky horní strany

Úsek AKB měří 45 m a skládá se z části horní strany (AK) a části levé strany (KB). Protože je úsečka BD rovnoběžná s vodorovnými stranami, je délka KB stejná jako délka ND. Vzhledem k tomu, že AK + AN tvoří celou horní stranu hřiště a AN = ND = KB, platí, že délka horní strany hřiště (KN) je rovna úseku AKB, tedy 45 m.

Výpočet délky svislé strany

Úsek CMD měří 30 m a skládá se z části dolní strany (CM) a části pravé strany (MD). Protože je úsečka AC rovnoběžná se svislými stranami, je délka CM stejná jako délka AN. Protože AN = ND, je délka CM rovna délce ND. Celá pravá strana hřiště (NM) se skládá z úseků ND + MD. Jelikož ND = CM, je délka strany NM rovna úseku CMD, tedy 30 m.

Určení kratší strany

Hřiště má jednu stranu dlouhou 45 m a druhou stranu dlouhou 30 m. Kratší strana hřiště má tedy délku 30 m.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

30 m

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.3

Vypočtěte v metrech obvod hřiště.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Z obrázku a zadání víme, že úsečky $AC$ a $BD$ jsou rovnoběžné se stranami hřiště. To znamená, že protilehlé úseky na stranách jsou stejně dlouhé:

Úsek $AK$ je stejně dlouhý jako $LC$.
Úsek $CM$ je stejně dlouhý jako $AN$.
Úsek $KB$ je stejně dlouhý jako $ND$.
Úsek $BL$ je stejně dlouhý jako $MD$.

Navíc víme, že šedý obrazec u vrcholu $N$ je čtverec, takže jeho strany $AN$ a $ND$ jsou stejně dlouhé. Z toho vyplývá, že všechny čtyři úseky $AN$, $CM$, $ND$ a $KB$ mají stejnou délku.

Porovnání tras

Máme zadané délky tří úseků soutěžní trasy:

Úsek $AKB$: $AK + KB = 45\text{ m}$
Úsek $BLC$: $BL + LC = 39\text{ m}$ (protože $LC = AK$, můžeme psát $BL + AK = 39\text{ m}$)
Úsek $CMD$: $CM + MD = 30\text{ m}$ (protože $CM = KB$ a $MD = BL$, můžeme psát $KB + BL = 30\text{ m}$)

Výpočet délek úseků

Porovnáme první dvě trasy:
$AK + KB = 45\text{ m}$
$AK + BL = 39\text{ m}$

Rozdíl mezi nimi je $6\text{ metrů}$ ($45 - 39 = 6$). Protože v obou trasách je stejný úsek $AK$, musí být úsek $KB$ o $6\text{ metrů}$ delší než úsek $BL$.

Víme také, že $KB + BL = 30\text{ m}$ (ze třetí trasy). Hledáme tedy dvě čísla, jejichž součet je $30$ a rozdíl je $6$. Od součtu odečteme rozdíl: $30 - 6 = 24$. To jsou dvě stejně dlouhé kratší části, takže $BL$ měří $24 : 2 = 12$ m. Delší $KB$ měří $12 + 6 = 18$ m.
Úsek $KB$ měří $18\text{ m}$ a úsek $BL$ měří $12\text{ m}$.
Dále dopočítáme $AK$: $45 - 18 = 27\text{ m}$.

Výpočet obvodu hřiště

Strany obdélníku (hřiště) jsou tvořeny součtem vypočítaných úseků:
Strana $KL$ (šířka) $= KB + BL = 18 + 12 = 30\text{ m}$
Strana $LM$ (délka) $= LC + CM = 27 + 18 = 45\text{ m}$ (protože $LC = AK$ a $CM = KB$)

Obvod hřiště vypočítáme jako součet všech jeho čtyř stran:
$2 \cdot (30 + 45) = 2 \cdot 75 = 150\text{ m}$

Závěr

Obvod hřiště je $150$ metrů.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

150 m

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.4

Vypočtěte v metrech vzdálenost stanoviště D od vrcholu N.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Protože AC a BD jsou rovnoběžné se stranami hřiště, platí AK = LC, KB = ND a BL = MD. Šedý čtverec má stejně dlouhé strany AN a ND; zároveň CM = AN. Proto CM = KB = ND.

Porovnání úseků trasy

Úsek AKB měří 45 m a úsek BLC měří 39 m. Délky AK a LC jsou stejné, takže rozdíl délek těchto úseků způsobují jen KB a BL. Úsečka KB je tedy o 45 − 39 = 6 m delší než BL.

Výpočet délek

Úsek CMD měří 30 m. Protože CM = KB a MD = BL, mají také KB a BL dohromady 30 m. Kdybychom delší úsečku KB zkrátili o 6 m, byly by obě stejně dlouhé. Proto BL = (30 − 6) : 2 = 12 m a KB = 12 + 6 = 18 m.

Výsledek

Platí ND = KB, takže stanoviště D je od vrcholu N vzdáleno 18 m. Ověříme: CM + MD = 18 + 12 = 30 m, jak požaduje zadání.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

18 m

Stav úlohy

1 bod