Přijímací testy 7. ročník

Podkategorie: Matematika 7. ročník — 2. náhradní termín 2025

32 úloh

Úloha 1

Plavec uplave v bazénu rovnoměrným tempem 2 kilometry za 48 minut.

Vypočtěte, za kolik minut uplave plavec tímto tempem celkem 5 padesátimetrových bazénů.

Zobrazit odpověď

6 minut

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celková délka pěti bazénů

Jeden bazén měří 50 metrů. Pět takových bazénů má tedy celkovou délku:
$5 \cdot 50 = 250$ metrů

Převod vzdálenosti na metry

Plavec uplave 2 kilometry za 48 minut. Abychom mohli vzdálenosti snadno porovnat, převedeme kilometry na metry:
$2$ km $= 2\,000$ metrů

Výpočet času pro 250 metrů

Víme, že 2 000 metrů plavec uplave za 48 minut. Můžeme si to postupně zjednodušit:

1 000 metrů (polovinu) uplave za 24 minut ($48 : 2 = 24$).
500 metrů (další polovinu) uplave za 12 minut ($24 : 2 = 12$).
250 metrů (opět polovinu) uplave za 6 minut ($12 : 2 = 6$).

Závěr

Plavec uplave pět padesátimetrových bazénů za 6 minut.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2

Poměr dvou neznámých přirozených čísel je 4 : 5
a dvojnásobky těchto dvou čísel se liší o 6.

Určete obě neznámá čísla.

Zobrazit odpověď

12; 15

2 body

Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

Uveďte postup řešení.

$\displaystyle (\frac{7}{5} - \frac{7}{4}) \div (2 - \frac{6}{5} \cdot \frac{4}{3}) =$

Zobrazit odpověď

-7/8 a správný postup řešení

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet první závorky

Nejprve vypočítáme hodnotu první závorky. Zlomky převedeme na společného jmenovatele, kterým je číslo $20$:

$\displaystyle \frac{7}{5} - \frac{7}{4} = \frac{7 \cdot 4 - 7 \cdot 5}{20} = \frac{28 - 35}{20} = -\frac{7}{20}$

Výpočet druhé závorky

V druhé závorce má násobení přednost před odčítáním. Zlomky můžeme před vynásobením vykrátit (čísla $6$ a $3$ dělíme třemi):

$\displaystyle 2 - \frac{6}{5} \cdot \frac{4}{3} = 2 - \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{1} = 2 - \frac{8}{5}$

Nyní obě čísla odečteme. Číslo $2$ si zapíšeme jako zlomek s jmenovatelem $5$ (tedy $\frac{10}{5}$):

$\displaystyle \frac{10}{5} - \frac{8}{5} = \frac{2}{5}$

Dokončení výpočtu

Nakonec výsledky z první a druhé závorky mezi sebou vydělíme. Dělení zlomkem nahradíme násobením jeho převrácenou hodnotou:

$\displaystyle \left(-\frac{7}{20}\right) \div \frac{2}{5} = -\frac{7}{20} \cdot \frac{5}{2}$

Před vynásobením křížem vykrátíme čísla $20$ a $5$ (dělíme je pěti):

$\displaystyle -\frac{7}{4} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{7}{8}$

Výsledek je v základním tvaru.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru. V záznamovém archu uveďte v obou částech úlohy postup řešení.

Uveďte postup řešení.

$\displaystyle \frac{\frac{8}{7} \cdot (1 + \frac{1}{7}) \cdot \frac{7}{4}}{5 - \frac{9}{5}} =$

Zobrazit odpověď

5/7 a správný postup řešení

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele složeného zlomku

Nejprve vypočítáme hodnotu závorky: $1 + \frac{1}{7} = \frac{7}{7} + \frac{1}{7} = \frac{8}{7}$

Následně vynásobíme zlomky v čitateli. Výpočet si můžeme ulehčit křížovým krácením (sedmičky vykrátíme sedmi, osmičku a čtyřku vykrátíme čtyřmi): $\frac{8}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{7}{4} = \frac{8}{7} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{1} = \frac{16}{7}$

Výpočet jmenovatele složeného zlomku

Ve jmenovateli odečteme zlomek od celého čísla. Pětku si převedeme na pětiny: $5 - \frac{9}{5} = \frac{25}{5} - \frac{9}{5} = \frac{16}{5}$

Dělení zlomků

Složený zlomek přepíšeme jako dělení dvou zlomků. Čitatele (horní část) vydělíme jmenovatelem (spodní částí). Dělení zlomkem převedeme na násobení jeho převrácenou hodnotou: $\frac{\frac{16}{7}}{\frac{16}{5}} = \frac{16}{7} : \frac{16}{5} = \frac{16}{7} \cdot \frac{5}{16}$

Zlomky před vynásobením opět vykrátíme (šestnáctky): $\frac{16}{7} \cdot \frac{5}{16} = \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{1} = \frac{5}{7}$

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.1

Martin má jednobarevné kuličky.
Jedna třetina všech Martinových kuliček je žlutých, 40 % kuliček je modrých
a zbývajících 12 kuliček je červených.

Určete počet všech Martinových kuliček.

Zobrazit odpověď

45 kuliček

1 bod

Úloha 4.2

Martin má jednobarevné kuličky.
Jedna třetina všech Martinových kuliček je žlutých, 40 % kuliček je modrých
a zbývajících 12 kuliček je červených.

Vyjádřete zlomkem v základním tvaru, jakou část všech Martinových kuliček tvoří červené kuličky.

Zobrazit odpověď

4/15

1 bod

Úloha 4.3

Martin má jednobarevné kuličky.
Jedna třetina všech Martinových kuliček je žlutých, 40 % kuliček je modrých
a zbývajících 12 kuliček je červených.

Martin dá kamarádce tolik červených kuliček, aby polovinu jeho zbylých kuliček tvořily modré kuličky.

Určete, kolik červených kuliček dá Martin kamarádce.

Zobrazit odpověď

9 červených kuliček

1 bod

Úloha 5.1

Na odvoz beden ze skladu se používají dva různí roboti A, B.
Ve skladu bylo 95 beden.
Bedny nejprve odvážel robot A, a to po 5 kusech. Jezdil v pravidelných intervalech a odvezl ze skladu za 2 hodiny celkem 50 beden.
Pak pokračoval robot B, který vozil bedny jen po 3 kusech, avšak v kratších pravidelných intervalech. Odvezl tak ze skladu za 1,5 hodiny zbývajících 45 beden.

Vyjádřete v základním tvaru poměr počtu beden odvezených ze skladu za 1 hodinu robotem A ku počtu beden odvezených za 1 hodinu robotem B.

Zobrazit odpověď

5 : 6

1 bod

Úloha 5.2

Vyjádřete v základním tvaru poměr počtu jízd robota A za hodinu ku počtu jízd robota B za hodinu.

Zobrazit odpověď

1 : 2

1 bod

Úloha 5.3

Vypočtěte, kolik beden by ze skladu odvezli za 36 minut oba roboti dohromady při společném provozu.

Zobrazit odpověď

33 beden

2 body

Úloha 6.1

Vědomostní soutěže, která měla dvě kola, se zúčastnil 10členný tým. V každém kole získali jednotliví soutěžící 8, 9, nebo 10 bodů. Některé údaje jsou v tabulce.

V 1. kole bylo soutěžících, kteří získali 8 bodů, o jednoho méně než těch, kteří získali 10 bodů.

Určete součet bodů celého týmu v 1. kole.

Zobrazit odpověď

91 bodů

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet soutěžících v 1. kole

Víme, že celý tým má 10 členů. Z tabulky vyčteme, že v 1. kole získalo 5 soutěžících 9 bodů. Na ostatní bodové zisky (8 a 10 bodů) tedy zbývá 5 soutěžících ($10 - 5 = 5$).

Rozdělení zbývajících soutěžících

Zadání říká, že soutěžících s 8 body bylo o jednoho méně než těch s 10 body. Hledáme tedy dvě čísla, jejichž součet je 5 a jedno je o 1 menší než druhé. Jsou to čísla 2 a 3. Tedy 2 soutěžící získali 8 bodů a 3 soutěžící získali 10 bodů.

Výpočet celkového součtu

Nyní spočítáme body za všechny skupiny soutěžících v 1. kole:

2 soutěžící po 8 bodech: $2 \cdot 8 = 16$ bodů
5 soutěžících po 9 bodech: $5 \cdot 9 = 45$ bodů
3 soutěžící po 10 bodech: $3 \cdot 10 = 30$ bodů

Celkový součet v 1. kole je: $16 + 45 + 30 = \mathbf{91}$ bodů.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6.2

Vědomostní soutěže, která měla dvě kola, se zúčastnil 10členný tým. V každém kole získali jednotliví soutěžící 8, 9, nebo 10 bodů. Některé údaje jsou v tabulce.

Určete, kolik soutěžících mohlo ve 2. kole získat 9 bodů.

Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

1 soutěžící; 3 soutěžící; 5 soutěžících

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor 2. kola

V týmu je 10 soutěžících a ve 2. kole získali dohromady 95 bodů. Víme, že každý mohl získat jen 8, 9, nebo 10 bodů.

Hledání rozdílu od maxima

Kdyby všech 10 soutěžících získalo maximálních 10 bodů, měl by tým celkem 100 bodů ($10 \times 10 = 100$). Ve skutečnosti mají 95 bodů, což je o 5 bodů méně ($100 - 95 = 5$).

Rozdělení chybějících bodů

Každý soutěžící s 9 body „ubírá“ z maxima 1 bod. Každý soutěžící s 8 body „ubírá“ 2 body. Dohromady musíme těmito úbytky získat přesně chybějících 5 bodů.

Možné kombinace

Hledáme, kolikrát se v součtu 5 může vyskytovat „dvojka“ (8 bodů) a zbytek doplníme „jedničkami“ (9 bodů):

0 soutěžících s 8 body: 5 bodů doženeme 5 soutěžícími s 9 body ($5 \times 1 = 5$).
1 soutěžící s 8 body: ubere 2 body, zbývají 3 body, které doženeme 3 soutěžícími s 9 body ($3 \times 1 = 3$).
2 soutěžící s 8 body: uberou 4 body, zbývá 1 bod, který dožene 1 soutěžící s 9 body ($1 \times 1 = 1$).

Více soutěžících s 8 body mít nemůžeme, protože 3 soutěžící by ubrali 6 bodů, což je už víc než chybějících 5 bodů.

Závěr

Ve 2. kole mohl získat 9 bodů 1, 3 nebo 5 soutěžících.

Pomohlo vám toto řešení?

3 body

Úloha 7.1

Povrch malé krychle je o 42 cm² menší než povrch velké krychle.
Součet délek všech hran velké krychle je 48 cm.

Vypočtěte v cm délku hrany velké krychle.

Zobrazit odpověď

4 cm a správný postup řešení

1 bod

Úloha 7.2

Povrch malé krychle je o 42 cm² menší než povrch velké krychle.
Součet délek všech hran velké krychle je 48 cm.

Vypočtěte v cm² povrch malé krychle.

Zobrazit odpověď

54 cm² a správný postup řešení

1 bod

Úloha 7.3

Povrch malé krychle je o 42 cm² menší než povrch velké krychle.
Součet délek všech hran velké krychle je 48 cm.

Vypočtěte v cm³, o kolik se liší objem malé a velké krychle.

Zobrazit odpověď

o 37 cm³ a správný postup řešení

2 body

Úloha 8.1

3 body za skupinu

V rovině leží body A, A′ a M.

Bod A je vrchol rovnostranného trojúhelníku ABC. Na přímce AM leží vrchol C tohoto trojúhelníku. Bod A′ je vrchol trojúhelníku A′B′C, který je obrazem trojúhelníku ABC v osové souměrnosti s osou o. Oba trojúhelníky mají pouze jeden společný bod, a to vrchol C.

Sestrojte osu o a označte ji písmenem.

Zobrazit odpověď

3 body za skupinu

Úloha 8.2

3 body za skupinu

V rovině leží body A, A′ a M.

Bod A je vrchol rovnostranného trojúhelníku ABC. Na přímce AM leží vrchol C tohoto trojúhelníku. Bod A′ je vrchol trojúhelníku A′B′C, který je obrazem trojúhelníku ABC v osové souměrnosti s osou o. Oba trojúhelníky mají pouze jeden společný bod, a to vrchol C.

Sestrojte všechny chybějící vrcholy trojúhelníků ABC i A′B′C, označte je písmeny a oba trojúhelníky narýsujte.

Zobrazit odpověď

3 body za skupinu

Úloha 9

V rovině leží body L, M a přímka p procházející bodem M.

Body L, M jsou vrcholy rovnoběžníku KLMN. Na přímce p leží střed S souměrnosti tohoto rovnoběžníku. Délka strany LM je stejná jako délka úhlopříčky LN.

Sestrojte střed S a vrcholy K, N rovnoběžníku KLMN, označte je písmeny a rovnoběžník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 10.1

3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Kružnice se středem S prochází body A, B, K, L. Úsečky AB a KL se protínají v bodě S.
V obrázku jsou vyznačeny velikosti některých úhlů.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

α > 64°

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní).

Zobrazit odpověď

4 body za skupinu

Úloha 10.2

3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Kružnice se středem S prochází body A, B, K, L. Úsečky AB a KL se protínají v bodě S.
V obrázku jsou vyznačeny velikosti některých úhlů.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

α + β > 90°

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní).

Zobrazit odpověď

4 body za skupinu

Úloha 10.3

3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Kružnice se středem S prochází body A, B, K, L. Úsečky AB a KL se protínají v bodě S.
V obrázku jsou vyznačeny velikosti některých úhlů.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

γ - α > δ

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní).

Zobrazit odpověď

Ano

4 body za skupinu

Úloha 11

Ze čtverce o straně délky 14 cm odstřihneme čtyři pravoúhlé trojúhelníky (viz obrázek). Vznikne tak šestiúhelník, který se skládá ze dvou různých rovnoramenných lichoběžníků.
Oba tyto lichoběžníky mají kratší základnu délky 6 cm.

Jaký je obsah šestiúhelníku?

A) 112 cm²
D) 154 cm²
B) 120 cm²
E) více než 154 cm²
C) 140 cm²

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrazce

Šestiúhelník vznikl odstřižením čtyř pravoúhlých trojúhelníků v rozích čtverce o straně 14 cm. Skládá se ze dvou rovnoramenných lichoběžníků, které mají společnou delší základnu. Tato společná základna prochází středem čtverce a spojuje jeho levou a pravou stranu, takže měří 14 cm. Kratší základny lichoběžníků (horní a dolní strana šestiúhelníku) měří podle zadání 6 cm.

Výpočet obsahu lichoběžníků

Obsah lichoběžníku se vypočítá jako průměr délek základen vynásobený výškou: $(a + c) : 2 \cdot v$. V našem případě mají oba lichoběžníky základny 14 cm a 6 cm. I když jsou lichoběžníky různé (mohou mít různé výšky $v_1$ a $v_2$), víme, že součet jejich výšek musí odpovídat straně čtverce, tedy $v_1 + v_2 = 14$ cm.

Celkový obsah šestiúhelníku

Obsah šestiúhelníku získáme sečtením obsahů obou lichoběžníků:
$S = \frac{14 + 6}{2} \cdot v_1 + \frac{14 + 6}{2} \cdot v_2$
$S = 10 \cdot v_1 + 10 \cdot v_2$
$S = 10 \cdot (v_1 + v_2)$
Dosadíme za součet výšek (14 cm):
$S = 10 \cdot 14 = 140$ cm²

Závěr

Obsah šestiúhelníku je 140 cm².

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 12

Podlaha chodby má tvar obdélníku, šířka chodby je 3 m.
Celá podlaha chodby je vydlážděna celkem 216 stejnými čtvercovými dlaždicemi. Délka strany dlaždice v cm je vyjádřena celým číslem.
(Dlaždice jsou položeny těsně vedle sebe, šířku spár zanedbáváme.)

Jaká je nejmenší možná délka chodby?

A) méně než 360 cm
D) 432 cm
B) 360 cm
E) 450 cm
C) 400 cm

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry chodby a dlaždic

Nejdříve si převedeme šířku chodby na centimetry: $3\text{ m} = 300\text{ cm}$. Víme, že chodbu pokrývá $216$ stejných čtvercových dlaždic se stranou $a$. Aby dlaždice přesně vyplnily šířku $300\text{ cm}$, musí se tam vejít určitý počet celých dlaždic (označme ho $n$). Tedy $n \times a = 300\text{ cm}$. Protože strana $a$ musí být celé číslo, musí být $n$ dělitelem čísla $300$.

Počet dlaždic v řadách

Dlaždice jsou uspořádány v obdélníkové síti. Pokud je $n$ dlaždic na šířku, pak na délku jich musí být $m$. Celkový počet je $n \times m = 216$. To znamená, že $n$ musí být dělitelem čísla $216$. Hledáme tedy takové $n$, které je společným dělitelem čísel $300$ a $216$.

Hledání největšího počtu dlaždic na šířku

Chceme, aby délka chodby byla co nejmenší. Délka chodby je $m \times a$. Protože $m = 216 / n$ a $a = 300 / n$, můžeme délku zapsat jako $L = (216 \times 300) / (n \times n) = 64800 / n^2$. Aby byla délka co nejmenší, musí být číslo $n$ co největší. Hledáme největší číslo, které dělí $300$ i $216$ zároveň.
Dělitelé $300$: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, \dots$
Dělitelé $216$: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, \dots$
Největší společný dělitel je $n = 12$.

Výpočet nejmenší délky

Nyní vypočítáme rozměry pro $n = 12$:
Strana dlaždice: $a = 300 : 12 = 25\text{ cm}$.
Počet dlaždic na délku: $m = 216 : 12 = 18$.
Nejmenší možná délka chodby: $L = 18 \times 25\text{ cm} = 450\text{ cm}$.

Závěr

Nejmenší možná délka chodby je $450\text{ cm}$. Při kontrole nabízených možností vidíme, že tato hodnota odpovídá možnosti E.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 13

Ve stanici Lichá Lhota stojí na každé ze tří kolejí jeden vlak.
Vlak na druhé koleji má o 3 vagony více než vlak na první koleji a dvakrát méně vagonů než vlak na třetí koleji.
Všechny tři vlaky dohromady mají 41 vagonů.

O kolik vagonů více má vlak na třetí koleji než vlak na první koleji?

A) o 8 vagonů
D) o 13 vagonů
B) o 10 vagonů
E) o 14 vagonů
C) o 11 vagonů

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vztahy mezi vlaky

Ze zadání víme, že:

Vlak na 2. koleji má o 3 vagony více než vlak na 1. koleji.
Vlak na 3. koleji má dvakrát více vagonů než vlak na 2. koleji (protože vlak na 2. koleji jich má dvakrát méně).

Výpočet počtu vagonů

Zkusíme si představit, kolik vagonů by vlaky měly, kdyby měly všechny stejně jako ten první:

2. vlak má o 3 vagony více než 1. vlak.
3. vlak má dvakrát více než 2. vlak. Tedy má dvakrát (1. vlak + 3 vagony), což je jako dva první vlaky a k tomu ještě 6 vagonů ($2 \cdot 3 = 6$).

Dohromady mají všechny tři vlaky: jeden 1. vlak + (druhý 1. vlak + 3) + (další dva 1. vlaky + 6). Celkem jsou to tedy čtyři stejné díly (odpovídající 1. vlaku) a 9 vagonů navíc ($3 + 6 = 9$).

Víme, že celkem je vagonů 41. Odečteme ty, které jsou navíc: $41 - 9 = 32$. Čtyři stejné díly (čtyřnásobek 1. vlaku) tvoří 32 vagonů. Jeden díl (1. vlak) má tedy: $32 : 4 = 8$ vagonů.

Počty vagonů na kolejích

Nyní můžeme určit počty vagonů pro každý vlak:

1. kolej: 8 vagonů
2. kolej: $8 + 3 = 11$ vagonů
3. kolej: $11 \cdot 2 = 22$ vagonů

Pro kontrolu sečteme: $8 + 11 + 22 = 41$ vagonů, což souhlasí se zadáním.

Závěrečné porovnání

Otázka zní, o kolik vagonů více má vlak na třetí koleji než na první koleji: $22 - 8 = 14$

Vlak na třetí koleji má o 14 vagonů více.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 14

Jonáš a Beáta se zapojili do programu Ptačí hodinka. Každý v okolí svého krmítka sledoval výskyt ptáků v průběhu jedné vybrané hodiny. U každého ptačího druhu zaznamenali do grafu vždy nejvyšší počet jedinců spatřených najednou.Jonáš spatřil pět druhů ptáků, zatímco Beáta pouze čtyři z nich. Oba dohromady zaznamenali pěnkav o 6 méně než sýkor. Jonáš zaznamenal celkem o pětinu více ptačích jedinců než Beáta.

Kolik jedinců brhlíka lesního zaznamenala Beáta?

A) 2 jedince
D) 5 jedinců
B) 3 jedince
E) více než 5 jedinců
C) 4 jedince

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 15.1

Pan Zdeněk bydlí posledních pět osmin svého dosavadního života v Plzni, kam se přestěhoval, když mu bylo 27 let.

Kolik let bydlí pan Zdeněk v Plzni?

A) 22 let
D) 45 let
B) 27 let
E) 48 let
C) 32 let
F) více než 48 let

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 15.2

Ze tří škol v obci je nejstarší základní škola, která je v provozu již 84 let.
Funguje tedy o 75 % delší dobu než gymnázium. Nejmladší školou je lyceum.
Poměr doby fungování lycea a gymnázia je 2 : 3.

Kolik let funguje v obci lyceum?

A) 22 let
D) 45 let
B) 27 let
E) 48 let
C) 32 let
F) více než 48 let

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 15.3

Součet věků dvojčat a jejich staršího bratra je 99 let.
Každému z dvojčat je o 40 % méně let než jejich bratrovi.

Kolik let je každému z dvojčat?

A) 22 let
D) 45 let
B) 27 let
E) 48 let
C) 32 let
F) více než 48 let

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 16.1

Hřiště má tvar obdélníku KLMN.
Po jeho obvodu vede soutěžní trasa se stanovišti A, B, C, D (viz obrázek).Úsečky AC a BD jsou rovnoběžné se stranami hřiště a vyznačený šedý obrazec je čtverec.
Úsek AKB soutěžní trasy (ze stanoviště A přes vrchol K na stanoviště B) měří 45 m.
Úsek BLC měří 39 m a poslední úsek CMD měří 30 m.

Vypočtěte v metrech rozdíl mezi délkami úseček BK a BL.

Zobrazit odpověď

6 m

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Úsečka $AC$ je v nákresu svislá a rovnoběžná se stranou $KL$ obdélníkového hřiště. To znamená, že vzdálenost bodu $A$ od vrcholu $K$ (na horní straně) je stejná jako vzdálenost bodu $C$ od vrcholu $L$ (na dolní straně). Můžeme tedy říct, že úsečky $AK$ a $LC$ jsou stejně dlouhé.

Vyjádření délek tras

Z textu známe délky dvou částí soutěžní trasy:

Trasa $AKB$ (z bodu $A$ přes vrchol $K$ do bodu $B$) měří $45\text{ m}$. To znamená, že $AK + BK = 45\text{ m}$.
Trasa $BLC$ (z bodu $B$ přes vrchol $L$ do bodu $C$) měří $39\text{ m}$. To znamená, že $BL + LC = 39\text{ m}$.

Výpočet rozdílu

Víme, že $AK$ je stejně dlouhá jako $LC$. Pokud bychom v druhé trase nahradili úsečku $LC$ úsečkou $AK$, celková délka by se nezměnila. Máme tedy:

$AK + BK = 45\text{ m}$
$AK + BL = 39\text{ m}$

První součet je o $6\text{ m}$ větší než druhý ($45 - 39 = 6$). Protože v obou součtech vystupuje stejná délka $AK$, musí být rozdíl způsoben délkami úseček $BK$ a $BL$. Úsečka $BK$ je tedy o $6\text{ m}$ delší než $BL$.

Závěr

Rozdíl mezi délkami úseček $BK$ a $BL$ je $6\text{ m}$.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 16.2

Vypočtěte v metrech délku kratší strany hřiště.

Zobrazit odpověď

30 m

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor délek úseků

Soutěžní trasa vede po obvodu obdélníkového hřiště. Ze zadání víme, že úsečky AC a BD jsou rovnoběžné se stranami hřiště. Šedý obrazec je čtverec, což znamená, že jeho strany jsou stejně dlouhé: AN = ND.

Výpočet délky horní strany

Úsek AKB měří 45 m a skládá se z části horní strany (AK) a části levé strany (KB). Protože je úsečka BD rovnoběžná s vodorovnými stranami, je délka KB stejná jako délka ND. Vzhledem k tomu, že AK + AN tvoří celou horní stranu hřiště a AN = ND = KB, platí, že délka horní strany hřiště (KN) je rovna úseku AKB, tedy 45 m.

Výpočet délky svislé strany

Úsek CMD měří 30 m a skládá se z části dolní strany (CM) a části pravé strany (MD). Protože je úsečka AC rovnoběžná se svislými stranami, je délka CM stejná jako délka AN. Protože AN = ND, je délka CM rovna délce ND. Celá pravá strana hřiště (NM) se skládá z úseků ND + MD. Jelikož ND = CM, je délka strany NM rovna úseku CMD, tedy 30 m.

Určení kratší strany

Hřiště má jednu stranu dlouhou 45 m a druhou stranu dlouhou 30 m. Kratší strana hřiště má tedy délku 30 m.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 16.3

Vypočtěte v metrech obvod hřiště.

Zobrazit odpověď

150 m

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Z obrázku a zadání víme, že úsečky $AC$ a $BD$ jsou rovnoběžné se stranami hřiště. To znamená, že protilehlé úseky na stranách jsou stejně dlouhé:

Úsek $AK$ je stejně dlouhý jako $LC$.
Úsek $CM$ je stejně dlouhý jako $AN$.
Úsek $KB$ je stejně dlouhý jako $ND$.
Úsek $BL$ je stejně dlouhý jako $MD$.

Navíc víme, že šedý obrazec u vrcholu $N$ je čtverec, takže jeho strany $AN$ a $ND$ jsou stejně dlouhé. Z toho vyplývá, že všechny čtyři úseky $AN$, $CM$, $ND$ a $KB$ mají stejnou délku.

Porovnání tras

Máme zadané délky tří úseků soutěžní trasy:

Úsek $AKB$: $AK + KB = 45\text{ m}$
Úsek $BLC$: $BL + LC = 39\text{ m}$ (protože $LC = AK$, můžeme psát $BL + AK = 39\text{ m}$)
Úsek $CMD$: $CM + MD = 30\text{ m}$ (protože $CM = KB$ a $MD = BL$, můžeme psát $KB + BL = 30\text{ m}$)

Výpočet délek úseků

Porovnáme první dvě trasy:
$AK + KB = 45\text{ m}$
$AK + BL = 39\text{ m}$

Rozdíl mezi nimi je $6\text{ metrů}$ ($45 - 39 = 6$). Protože v obou trasách je stejný úsek $AK$, musí být úsek $KB$ o $6\text{ metrů}$ delší než úsek $BL$.

Víme také, že $KB + BL = 30\text{ m}$ (ze třetí trasy). Hledáme tedy dvě čísla, jejichž součet je $30$ a rozdíl je $6$. Jsou to čísla $18$ a $12$.
Úsek $KB$ měří $18\text{ m}$ a úsek $BL$ měří $12\text{ m}$.
Dále dopočítáme $AK$: $45 - 18 = 27\text{ m}$.

Výpočet obvodu hřiště

Strany obdélníku (hřiště) jsou tvořeny součtem vypočítaných úseků:
Strana $KL$ (šířka) $= KB + BL = 18 + 12 = 30\text{ m}$
Strana $LM$ (délka) $= LC + CM = 27 + 18 = 45\text{ m}$ (protože $LC = AK$ a $CM = KB$)

Obvod hřiště vypočítáme jako součet všech jeho čtyř stran:
$2 \cdot (30 + 45) = 2 \cdot 75 = 150\text{ m}$

Závěr

Obvod hřiště je $150$ metrů.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 16.4

Vypočtěte v metrech vzdálenost stanoviště D od vrcholu N.

Zobrazit odpověď

18 m

1 bod