Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2025

Úloha 1.1

Večerní ceremoniál začal ve tři čtvrtě na šest a starosta ho ukončil pět minut po půl osmé. Přesně v polovině ceremoniálu začalo promítání a zabralo pětinu celkové doby ceremoniálu.

Určete v hodinách a minutách přesný čas začátku promítání.

Zobrazit odpověď

18:40

1 bod

Úloha 1.2

Večerní ceremoniál začal ve tři čtvrtě na šest a starosta ho ukončil pět minut po půl osmé. Přesně v polovině ceremoniálu začalo promítání a zabralo pětinu celkové doby ceremoniálu.

Vypočtěte, kolik minut uplynulo od konce promítání do ukončení ceremoniálu.

Zobrazit odpověď

33 minut

1 bod

Úloha 2.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle 1 - 1 \div \frac{3}{5} + \frac{5}{3} \div 10 =$

Zobrazit odpověď

-1/2 a správný postup řešení

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Dělení zlomků

Nejprve musíme vypočítat dělení, protože má přednost před sčítáním a odčítáním. Dělit zlomkem znamená násobit jeho převrácenou hodnotou. $1 : \frac{3}{5} = 1 \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{3}$ $\frac{5}{3} : 10 = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{10} = \frac{5}{30}$ Zlomek $\frac{5}{30}$ můžeme zkrátit pěti, dostaneme $\frac{1}{6}$.

Společný jmenovatel

Vypočítané hodnoty dosadíme zpět do příkladu: $1 - \frac{5}{3} + \frac{1}{6}$ Abychom mohli zlomky a celá čísla sčítat a odčítat, převedeme je na společného jmenovatele. Tím bude číslo 6. Číslo $1$ převedeme na $\frac{6}{6}$. Zlomek $\frac{5}{3}$ rozšíříme dvěma na $\frac{10}{6}$.

Výpočet a úprava na základní tvar

Vše zapíšeme se společným jmenovatelem a vypočítáme: $\frac{6}{6} - \frac{10}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6 - 10 + 1}{6} = \frac{-3}{6} = -\frac{3}{6}$ Zadání vyžaduje výsledek v základním tvaru. Zlomek tedy ještě zkrátíme třemi: $-\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{5 \cdot \frac{7}{100} + 0,01}{\frac{2}{5} + \frac{2}{25}} =$

Zobrazit odpověď

3/4 a správný postup řešení

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Nejdříve vypočítáme čitatel složeného zlomku. Desetinné číslo $0{,}01$ převedeme na zlomek $\frac{1}{100}$:

$5 \cdot \frac{7}{100} + 0{,}01 = \frac{35}{100} + \frac{1}{100} = \frac{36}{100}$

Výsledek můžeme zkrátit číslem $4$:

$\frac{36}{100} = \frac{9}{25}$

Výpočet jmenovatele

Nyní vypočítáme jmenovatel složeného zlomku. Převedeme oba zlomky na společného jmenovatele $25$:

$\frac{2}{5} + \frac{2}{25} = \frac{10}{25} + \frac{2}{25} = \frac{12}{25}$

Úprava složeného zlomku

Vypočítané části dosadíme zpět do zadání. Hlavní zlomková čára znamená dělení. Dělit zlomkem je stejné jako násobit jeho převrácenou hodnotou:

$\frac{\frac{9}{25}}{\frac{12}{25}} = \frac{9}{25} : \frac{12}{25} = \frac{9}{25} \cdot \frac{25}{12}$

Zlomky před vynásobením křížem zkrátíme (obě čísla $25$):

$\frac{9}{25} \cdot \frac{25}{12} = \frac{9}{12}$

Nakonec výsledek zkrátíme číslem $3$ na základní tvar:

$\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3.1

2 podúlohy 3 body, 1 podúloha 2 body

V diagramu se do prázdných kroužků doplní taková čísla, aby byly všechny výpočty provedené ve směru šipek správné.

Určete číslo, které patří do silně ohraničeného kroužku.

Zobrazit odpověď

120

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor schématu

V diagramu máme dva kroužky a dvě operace. Horní šipka nám říká, že když k číslu v levém kroužku přičteme 80, dostaneme číslo v pravém (silně ohraničeném) kroužku. Dolní šipka nám říká, že když číslo v pravém kroužku vydělíme 3, dostaneme se zpět na číslo v levém kroužku.

Logická úvaha

Z dolní šipky vyplývá, že číslo v pravém kroužku je třikrát větší než číslo v levém kroužku. Pokud si číslo v levém kroužku představíme jako jeden „dílek“, pak číslo v pravém kroužku tvoří tři takové „dílky“.

Výpočet rozdílu

Rozdíl mezi číslem v pravém a levém kroužku je dán horní šipkou, tedy +80. Tento rozdíl (80) musí odpovídat dvěma „dílkům“ (protože $3 - 1 = 2$).
Pokud dva dílky jsou 80, pak jeden dílek musí být:
$80 : 2 = 40$

Určení hledaného čísla

Do silně ohraničeného (pravého) kroužku patří tři dílky:
$3 \cdot 40 = 120$

Ověření

V levém kroužku je 40. Pokud k němu přičteme 80, dostaneme 120. Pokud 120 vydělíme 3, dostaneme 40. Výpočty ve směru šipek tedy souhlasí.

Pomohlo vám toto řešení?

3 body za skupinu

Úloha 3.2

2 podúlohy 3 body, 1 podúloha 2 body

V diagramu se do prázdných kroužků doplní taková čísla, aby byly všechny výpočty provedené ve směru šipek správné.

Určete číslo, které patří do silně ohraničeného kroužku.

Zobrazit odpověď

48

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor schématu

V diagramu jsou tři kroužky propojené šipkami, které tvoří uzavřený cyklus. Pokud si číslo v levém dolním kroužku označíme jako neznámou, můžeme vyjádřit ostatní čísla následovně:

V horním kroužku bude číslo o 10 větší než v levém dolním.
V pravém dolním kroužku (silně ohraničeném) bude dvojnásobek čísla z horního kroužku.
Odečtením 34 od čísla v pravém dolním kroužku se musíme dostat zpět na původní číslo v levém dolním kroužku.

Výpočet výchozího čísla

Hledáme takové číslo, které se po přičtení 10, vynásobení dvěma a odečtení 34 nezmění. Můžeme to zapsat pomocí rovnice:

$(x + 10) \cdot 2 - 34 = x$

Roznásobíme závorku: $2x + 20 - 34 = x$ $2x - 14 = x$ $x = 14$ V levém dolním kroužku je tedy číslo 14.

Určení čísla v silně ohraničeném kroužku

Nyní dopočítáme hodnotu v cílovém (silně ohraničeném) kroužku:

Horní kroužek: $14 + 10 = 24$
Pravý dolní kroužek: $24 \cdot 2 = 48$

Pro kontrolu ověříme zbytek cyklu: $48 - 34 = 14$, což sedí.

Závěr

Do silně ohraničeného kroužku patří číslo 48.

Pomohlo vám toto řešení?

3 body za skupinu

Úloha 4.1

Sourozenci Adam, Bára a Cyril přispěli na výcvik asistenčního psa.
Adam přispěl částkou o 300 korun vyšší než Bára.
Přitom třetina Adamova příspěvku je stejná jako polovina Bářina příspěvku a třetina Bářina příspěvku je stejná jako polovina Cyrilova příspěvku.

Vypočtěte kolika korunami přispěla Bára.

Zobrazit odpověď

600 korun

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor vztahu mezi příspěvky

Ze zadání víme, že třetina Adamova příspěvku odpovídá polovině Bářina příspěvku. Pokud si tuto část (třetinu Adamova nebo polovinu Bářina příspěvku) představíme jako jeden „dílek“, pak:

Adamův příspěvek tvoří 3 stejné dílky.
Bářin příspěvek tvoří 2 stejné dílky.

Hledání hodnoty jednoho dílku

Adam přispěl o 300 korun více než Bára. V našich dílcích je rozdíl mezi Adamem (3 dílky) a Bárou (2 dílky) přesně 1 dílek. Tento jeden dílek musí mít tedy hodnotu 300 korun.

Výpočet Bářina příspěvku

Bára přispěla 2 dílky. Jeden dílek je 300 korun, takže Bára přispěla:
$2 \cdot 300 = 600$ Kč.

Ověření

Adam přispěl 3 dílky, tedy $3 \cdot 300 = 900$ Kč. Rozdíl je skutečně 300 Kč ($900 - 600 = 300$). Třetina z 900 je 300 a polovina z 600 je také 300. Vše souhlasí.

Závěr

Bára přispěla 600 korunami.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 4.2

Sourozenci Adam, Bára a Cyril přispěli na výcvik asistenčního psa.
Adam přispěl částkou o 300 korun vyšší než Bára.
Přitom třetina Adamova příspěvku je stejná jako polovina Bářina příspěvku a třetina Bářina příspěvku je stejná jako polovina Cyrilova příspěvku.

Vypočtěte o kolik korun se liší Bářin a Cyrilův příspěvek.

Zobrazit odpověď

o 200 korun

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet příspěvku Báry

Ze zadání víme, že třetina Adamova příspěvku je stejná jako polovina Bářina příspěvku. Pokud si tuto společnou část představíme jako jeden díl, pak Adam přispěl 3 takové díly a Bára 2 takové díly.
Rozdíl mezi nimi je 1 díl ($3 - 2 = 1$). Tento rozdíl je podle zadání 300 Kč. Jeden díl má tedy hodnotu 300 Kč.
Bářin příspěvek spočítáme jako: $2 \times 300 = 600$ Kč.

Krok 2: Výpočet příspěvku Cyrila

Dále víme, že třetina Bářina příspěvku je stejná jako polovina Cyrilova příspěvku. Bára přispěla 600 Kč, takže jedna třetina jejího příspěvku je: $600 : 3 = 200$ Kč.
Tato částka (200 Kč) odpovídá polovině Cyrilova příspěvku. Celý Cyrilův příspěvek je tedy: $2 \times 200 = 400$ Kč.

Krok 3: Rozdíl mezi příspěvky Báry a Cyrila

Bára přispěla 600 Kč a Cyril 400 Kč. Rozdíl mezi jejich příspěvky zjistíme odečtením: $600 - 400 = 200$ Kč.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 4.3

Sourozenci Adam, Bára a Cyril přispěli na výcvik asistenčního psa.
Adam přispěl částkou o 300 korun vyšší než Bára.
Přitom třetina Adamova příspěvku je stejná jako polovina Bářina příspěvku a třetina Bářina příspěvku je stejná jako polovina Cyrilova příspěvku.

Vypočtěte kolika korunami přispěli všichni tři sourozenci dohromady.

Zobrazit odpověď

1900 korun

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet příspěvku Adama a Báry

Ze zadání víme, že Adam přispěl o 300 korun více než Bára a že třetina Adamova příspěvku je stejná jako polovina Bářina. To znamená, že pokud si Adamův příspěvek rozdělíme na 3 stejné díly a Bářin na 2 stejné díly, budou tyto díly všechny stejně velké.

Adamův příspěvek: 3 díly
Bářin příspěvek: 2 díly

Rozdíl mezi nimi je tedy přesně 1 díl ($3 - 2 = 1$). Víme, že Adam přispěl o 300 Kč více, takže tento 1 díl odpovídá 300 korunám.

Adam: $3 \cdot 300 = 900$ Kč
Bára: $2 \cdot 300 = 600$ Kč

Krok 2: Výpočet příspěvku Cyrila

Dále víme, že třetina Bářina příspěvku je stejná jako polovina Cyrilova.

Třetina Bářina příspěvku: $600 \div 3 = 200$ Kč

Tato částka (200 Kč) je polovinou Cyrilova příspěvku. Cyril tedy přispěl dvakrát tolik:

Cyril: $2 \cdot 200 = 400$ Kč

Krok 3: Celkový součet

Nyní už jen sečteme příspěvky všech tří sourozenců dohromady:

$900 + 600 + 400 = 1900$ Kč

Sourozenci přispěli dohromady 1900 korun.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 5.1

2 podúlohy 3 body, 1 podúloha 2 body

V obchodě se za jednotnou cenu prodávají různé figurky.
Lída měla přesný obnos na nákup 7 figurek po 39 korunách. Figurky však byly zdraženy. Lída proto koupila jen 6 figurek a zbylo jí přesně tolik korun, kolik jí chybělo na nákup sedmé figurky.

Vypočtěte kolik korun zbylo Lídě po nákupu 6 figurek.

Zobrazit odpověď

21 korun

3 body za skupinu

Úloha 5.2

2 podúlohy 3 body, 1 podúloha 2 body

V obchodě se za jednotnou cenu prodávají různé figurky.
Lída měla přesný obnos na nákup 7 figurek po 39 korunách. Figurky však byly zdraženy. Lída proto koupila jen 6 figurek a zbylo jí přesně tolik korun, kolik jí chybělo na nákup sedmé figurky.

Vypočtěte kolik korun stála jedna figurka po zdražení.

Zobrazit odpověď

42 korun

3 body za skupinu

Úloha 6.1

Petr, Tonda a Jirka přinesli do klubu své sbírky kartiček s fotbalisty a některé kartičky si vyměnili.
Tonda vyměnil 4 své kartičky za 6 Petrových a několik dalších svých kartiček za 4 Jirkovy.
Petr potom vyměnil 2 své kartičky za 3 Jirkovy.
Před odchodem dostal každý z chlapců ještě 4 kartičky od vedoucího klubu.
Petr tak rozšířil svou sbírku na 80 kartiček
a Jirka měl nakonec o 2 kartičky více než při příchodu do klubu.

Vypočtěte kolik kartiček si do klubu přinesl Petr.

Zobrazit odpověď

77 kartiček

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výměna s Tondou

Tonda vyměnil 4 své kartičky za 6 Petrových. To znamená, že Petr dal Tondovi 6 kartiček, ale 4 jiné od něj získal. Celkově mu tedy v této výměně ubyly 2 kartičky (výpočet: $6 - 4 = 2$).

Výměna s Jirkou

Petr vyměnil 2 své kartičky za 3 Jirkovy. To znamená, že Petr dal Jirkovi 2 kartičky a získal od něj 3 kartičky. Celkově mu tedy v této výměně přibyla 1 kartička (výpočet: $3 - 2 = 1$).

Přídavek od vedoucího

Před odchodem dostal Petr od vedoucího klubu ještě 4 kartičky navíc.

Výpočet původního počtu

Zjistíme celkovou změnu počtu Petrových kartiček: nejprve mu 2 ubyly, pak 1 přibyla a nakonec přibyly další 4. Celkově se tedy jeho sbírka rozrostla o 3 kartičky (výpočet: $-2 + 1 + 4 = 3$).
Na konci měl Petr 80 kartiček. Abychom zjistili, kolik jich měl na začátku, musíme od konečného počtu odečíst celkový přírůstek:
80 - 3 = 77

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6.2

Petr, Tonda a Jirka přinesli do klubu své sbírky kartiček s fotbalisty a některé kartičky si vyměnili.
Tonda vyměnil 4 své kartičky za 6 Petrových a několik dalších svých kartiček za 4 Jirkovy.
Petr potom vyměnil 2 své kartičky za 3 Jirkovy.
Před odchodem dostal každý z chlapců ještě 4 kartičky od vedoucího klubu.
Petr tak rozšířil svou sbírku na 80 kartiček
a Jirka měl nakonec o 2 kartičky více než při příchodu do klubu.

Vypočtěte kolik kartiček získal Jirka od Tondy.

Zobrazit odpověď

3 kartičky

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Změna u Jirky

Jirka měl na konci o 2 kartičky více než při příchodu do klubu. To znamená, že během dne musel získat celkem o 2 kartičky více, než kolik jich rozdal při výměnách.

Rozdané kartičky

Jirka se účastnil dvou výměn, při kterých dával své kartičky ostatním:

Tondovi dal 4 své kartičky (za několik Tondových),
Petrovi dal 3 své kartičky (za 2 Petrovy).

Celkem tedy Jirka rozdal $4 + 3 = 7$ kartiček.

Získané kartičky

Jirka získal kartičky od Petra, od vedoucího a od Tondy:

od Petra získal 2 kartičky,
od vedoucího klubu dostal 4 kartičky,
od Tondy získal neznámý počet kartiček.

Zatím víme o $2 + 4 = 6$ získaných kartičkách (bez započtení těch od Tondy).

Výměna s Tondou

Protože má mít Jirka na konci o 2 kartičky více, než kolik jich rozdal, musel jich celkem získat $7 + 2 = 9$. Protože 6 kartiček už získal (od Petra a vedoucího), zbytek musel dostat od Tondy. Od Tondy tedy získal $9 - 6 = 3$ kartičky.

Výsledek

Jirka získal od Tondy 3 kartičky.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6.3

Petr, Tonda a Jirka přinesli do klubu své sbírky kartiček s fotbalisty a některé kartičky si vyměnili.
Tonda vyměnil 4 své kartičky za 6 Petrových a několik dalších svých kartiček za 4 Jirkovy.
Petr potom vyměnil 2 své kartičky za 3 Jirkovy.
Před odchodem dostal každý z chlapců ještě 4 kartičky od vedoucího klubu.
Petr tak rozšířil svou sbírku na 80 kartiček
a Jirka měl nakonec o 2 kartičky více než při příchodu do klubu.

Vypočtěte o kolik kartiček rozšířil svou sbírku Tonda.

Zobrazit odpověď

o 7 kartiček

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Změna u Petra

Petr nejdříve získal 4 kartičky od Tondy, ale 6 mu jich dal (změna -2). Poté získal 3 kartičky od Jirky a 2 mu dal (změna +1). Od vedoucího navíc dostal 4 kartičky. Celkem se tedy Petrova sbírka rozrostla o 3 kartičky ($-2 + 1 + 4 = 3$).

Změna u Jirky

Ze zadání přímo víme, že Jirka měl na konci o 2 kartičky více než na začátku. Jeho celkový přírůstek je tedy 2.

Celkový přírůstek všech chlapců

Vzájemné výměny mezi chlapci nemění celkový počet kartiček, které mají všichni dohromady. Jediné nové kartičky dostali chlapci od vedoucího klubu. Každý ze tří chlapců dostal 4 kartičky, dohromady se tedy počet všech kartiček zvýšil o 12 ($3 \cdot 4 = 12$).

Výpočet pro Tondu

Víme, že celkem všem dohromady přibylo 12 kartiček. Petrovi přibyly 3 a Jirkovi 2. Na Tondu tedy musí zbývat zbytek z celkového přírůstku:
$12 - 3 - 2 = 7$

Výsledek

Tonda svou sbírku rozšířil o 7 kartiček.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 7.1

Osově souměrný pětiúhelník ve tvaru domečku se skládá ze dvou čtverců a rovnoramenného trojúhelníku.
Obvod pětiúhelníku je 46 cm.
V rovnoramenném trojúhelníku je rameno o 3 cm delší než základna a výška na základnu je o 1 cm kratší než rameno.

Vypočtěte v cm délku strany čtverce.

Zobrazit odpověď

5 cm a správný postup řešení

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrazce

Obrazec se skládá ze dvou čtverců a rovnoramenného trojúhelníku. Pokud si stranu jednoho čtverce označíme jako $a$, pak spodní část domečku tvoří obdélník o stranách $2a$ (šířka) a $a$ (výška). Základna trojúhelníku je shodná s horní stranou tohoto obdélníku, má tedy délku $2a$.

Vyjádření ramen trojúhelníku

V zadání se píše, že rameno trojúhelníku je o 3 cm delší než základna. Základna je $2a$, takže délka jednoho ramene je $(2a + 3)$ cm.

Sestavení rovnice pro obvod

Obvod celého pětiúhelníku tvoří:

spodní strana obdélníku: $2a$
dvě boční strany obdélníku: $a + a = 2a$
dvě ramena trojúhelníku: $2 \cdot (2a + 3)$

Dohromady je obvod: $2a + 2a + 2 \cdot (2a + 3) = 4a + 4a + 6 = 8a + 6$.

Výpočet strany čtverce

Víme, že celkový obvod je 46 cm. Sestavíme a vyřešíme rovnici:
$8a + 6 = 46$
$8a = 40$
$a = 5$
Strana čtverce tedy měří 5 cm.

Ověření

Pro kontrolu dopočítáme rozměry trojúhelníku: základna je $2 \cdot 5 = 10$ cm, rameno je $10 + 3 = 13$ cm a výška je o 1 cm kratší než rameno, tedy $13 - 1 = 12$ cm. Podle Pythagorovy věty v polovině trojúhelníku musí platit: $5^2 + 12^2 = 13^2$, což je $25 + 144 = 169$. Výpočet je správný.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 7.2

Osově souměrný pětiúhelník ve tvaru domečku se skládá ze dvou čtverců a rovnoramenného trojúhelníku.
Obvod pětiúhelníku je 46 cm.
V rovnoramenném trojúhelníku je rameno o 3 cm delší než základna a výška na základnu je o 1 cm kratší než rameno.

Vypočtěte v cm² obsah pětiúhelníku.

Zobrazit odpověď

110 cm² a správný postup řešení

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Rozbor obrazce a označení stran

Pětiúhelník ve tvaru domečku se skládá ze dvou shodných čtverců umístěných vedle sebe a rovnoramenného trojúhelníku nad nimi. Označíme-li stranu čtverce jako $a$, pak základna trojúhelníku má délku $2a$ (odpovídá šířce obou čtverců dohromady). Rameno trojúhelníku označíme jako $b$.

Krok 2: Výpočet rozměrů z obvodu

Z textu víme, že rameno $b$ je o 3 cm delší než základna ($2a$), tedy $b = 2a + 3$. Obvod pětiúhelníku (46 cm) tvoří dvě ramena trojúhelníku ($2b$) a vnější strany čtverců (dvě svislé boční strany $a$ a jedna spodní vodorovná strana délky $2a$).
Sestavíme rovnici pro obvod:
$2b + a + 2a + a = 46$
$2b + 4a = 46$

Dosadíme za $b$ výraz $(2a + 3)$:
$2(2a + 3) + 4a = 46$
$4a + 6 + 4a = 46$
$8a = 40$
$a = 5$ cm.

Strana čtverce je tedy 5 cm. Základna trojúhelníku je $2 \cdot 5 = 10 cm$ a rameno $b = 10 + 3 = 13 cm$.

Krok 3: Výpočet obsahu jednotlivých částí

Výška trojúhelníku ($v$) je o 1 cm kratší než rameno, tedy $v = 13 - 1 = 12$ cm.
Nyní vypočítáme obsahy:
Obsah dvou čtverců: $S_1 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50$ cm².
Obsah trojúhelníku: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot \text{základna} \cdot \text{výška} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ cm².

Krok 4: Celkový obsah

Celkový obsah pětiúhelníku získáme sečtením obou částí:
$S = S_1 + S_2 = 50 + 60 = 110$ cm².

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 8.1

3 body za skupinu

V rovině leží body B, C, O.

Body B, C jsou vrcholy trojúhelníku ABC.
Polopřímka BC tvoří rameno vnitřního úhlu trojúhelníku ABC při vrcholu B a přímka BO je osa tohoto úhlu.
Vrcholy A i B mají stejnou vzdálenost od bodu O.

Sestrojte obě ramena vnitřního úhlu trojúhelníku ABC při vrcholu B.

Zobrazit odpověď

3 body za skupinu

Úloha 8.2

3 body za skupinu

V rovině leží body B, C, O.

Body B, C jsou vrcholy trojúhelníku ABC.
Polopřímka BC tvoří rameno vnitřního úhlu trojúhelníku ABC při vrcholu B a přímka BO je osa tohoto úhlu.
Vrcholy A i B mají stejnou vzdálenost od bodu O.

Sestrojte vrchol A trojúhelníku ABC, označte ho písmenem a trojúhelník narýsujte.

Zobrazit odpověď

3 body za skupinu

Úloha 9

V rovině leží body E, F, G.

Body E, F, G jsou vrcholy rovnoramenného lichoběžníku EFGH.

Sestrojte vrchol H lichoběžníku EFGH, označte ho písmenem a lichoběžník narýsujte.

Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 10.1

3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Standardní hrací kostka tvaru krychle má na svých stěnách 1 až 6 teček. Součet počtu teček na protějších stěnách kostky je vždy 7.

Na obrázku jsou tři takové kostky a každá stojí na začátku cesty složené z několika čtvercových polí. Kostka postupně projde všemi poli cesty tak, že se vždy překlopí kolem své spodní hrany na sousední pole, a skončí na šedém poli cesty.(Například první kostka se překlopí celkem čtyřikrát. Po prvním překlopení bude mít na spodní stěně 5 teček.)

Každá z kostek prošla celou svou cestu a nyní stojí na šedém poli.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

První kostka má na spodní stěně 3 tečky.

Zobrazit odpověď

Ne

4 body za skupinu

Úloha 10.2

3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Standardní hrací kostka tvaru krychle má na svých stěnách 1 až 6 teček. Součet počtu teček na protějších stěnách kostky je vždy 7.

Na obrázku jsou tři takové kostky a každá stojí na začátku cesty složené z několika čtvercových polí. Kostka postupně projde všemi poli cesty tak, že se vždy překlopí kolem své spodní hrany na sousední pole, a skončí na šedém poli cesty.(Například první kostka se překlopí celkem čtyřikrát. Po prvním překlopení bude mít na spodní stěně 5 teček.)

Každá z kostek prošla celou svou cestu a nyní stojí na šedém poli.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Druhá kostka má na spodní stěně nejméně teček ze všech tří kostek.

Zobrazit odpověď

Ano

4 body za skupinu

Úloha 10.3

3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Standardní hrací kostka tvaru krychle má na svých stěnách 1 až 6 teček. Součet počtu teček na protějších stěnách kostky je vždy 7.

Na obrázku jsou tři takové kostky a každá stojí na začátku cesty složené z několika čtvercových polí. Kostka postupně projde všemi poli cesty tak, že se vždy překlopí kolem své spodní hrany na sousední pole, a skončí na šedém poli cesty.(Například první kostka se překlopí celkem čtyřikrát. Po prvním překlopení bude mít na spodní stěně 5 teček.)

Každá z kostek prošla celou svou cestu a nyní stojí na šedém poli.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Třetí kostka má na spodní stěně o 1 tečku méně než první kostka.

Zobrazit odpověď

Ne

4 body za skupinu

Úloha 11

Vesnicí se prohnalo tornádo.
Po události bylo 40 % všech domů ve vesnici poškozených.
Zbylých 270 domů vyvázlo beze škod.
Následně bylo 30 % poškozených domů určeno k demolici.

Kolik poškozených domů bylo určeno k demolici?

A) 36 domů
D) 81 domů
B) 54 domů
E) jiný počet domů
C) 60 domů

Zobrazit odpověď

B

2 body

Úloha 12

Tibor a Matyáš jsou na táboře v rovinaté oblasti a chystají se vydat podle mapy ke studánce. Tibor má mapu s měřítkem 1 : 50 000 a plánovaná trasa má na jeho mapě délku 4,2 cm.
Na Matyášově mapě tato trasa měří 28 mm.

Jaké měřítko má Matyášova mapa?

A) 1 : 28 000
D) 1 : 140 000
B) 1 : 56 000
E) jiné měřítko
C) 1 : 75 000

Zobrazit odpověď

C

2 body

Úloha 13

Tibor a Matyáš jsou na táboře v rovinaté oblasti a chystají se vydat podle mapy ke studánce. Tibor má mapu s měřítkem 1 : 50 000 a plánovaná trasa má na jeho mapě délku 4,2 cm.
Na Matyášově mapě tato trasa měří 28 mm.

Jaká je skutečná délka plánované trasy?

A) 2,1 km
D) 7,5 km
B) 2,8 km
E) jiná délka
C) 5,6 km

Zobrazit odpověď

A

2 body

Úloha 14

Z 12 shodných kvádrů jsou slepena dvě tělesa – krychle s hranou délky 9 cm (obrázek vlevo) a těleso tvaru schodiště (obrázek vpravo).

O kolik cm² se liší povrch tělesa tvaru schodiště a povrch krychle?

A) neliší se
D) o 81,0 cm²
B) o 27,0 cm²
E) o 108,0 cm²
C) o 40,5 cm²

Zobrazit odpověď

D

2 body

Úloha 15.1

Na dvou jazykových školách se každý žák učí dva cizí jazyky. K angličtině, která je povinná pro všechny, volí žáci jako druhý cizí jazyk němčinu, francouzštinu, nebo španělštinu.
Grafy ukazují volbu druhého cizího jazyka na jednotlivých školách.

O kolik se liší celkový počet žáků na první a na druhé škole?

A) 100 žáků
D) 180 žáků
B) 120 žáků
E) 210 žáků
C) 150 žáků
F) jiný počet žáků

Zobrazit odpověď

A

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet žáků na první škole

Na první škole tvoří němčina $62\,\%$ a francouzština $18\,\%$. Španělština tedy tvoří zbytek:

$100\,\% - 62\,\% - 18\,\% = 20\,\%$

Z grafu víme, že těchto $20\,\%$ odpovídá $100$ žákům. Celkový počet žáků na první škole je proto:

$100 : 0{,}20 = 500$

Počet žáků na druhé škole

Na druhé škole tvoří francouzština $20\,\%$ a španělština $35\,\%$. Němčina tedy tvoří:

$100\,\% - 20\,\% - 35\,\% = 45\,\%$

Z grafu víme, že němčinu se učí $270$ žáků. Celkový počet žáků na druhé škole je proto:

$270 : 0{,}45 = 600$

Porovnání obou škol

Rozdíl celkových počtů žáků je:

$600 - 500 = 100$

Celkové počty žáků se liší o 100 žáků, což odpovídá možnosti A.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 15.2

Na dvou jazykových školách se každý žák učí dva cizí jazyky. K angličtině, která je povinná pro všechny, volí žáci jako druhý cizí jazyk němčinu, francouzštinu, nebo španělštinu.
Grafy ukazují volbu druhého cizího jazyka na jednotlivých školách.

Kolik žáků z obou škol dohromady se učí francouzštinu?

A) 100 žáků
D) 180 žáků
B) 120 žáků
E) 210 žáků
C) 150 žáků
F) jiný počet žáků

Zobrazit odpověď

E

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet žáků na první škole

Na první škole tvoří španělština zbytek do $100\,\%$:

$100\,\% - 62\,\% - 18\,\% = 20\,\%$

Těchto $20\,\%$ odpovídá $100$ žákům, takže celkový počet žáků na první škole je:

$100 : 0{,}20 = 500$

Francouzština na první škole

Francouzštinu se na první škole učí $18\,\%$ ze $500$ žáků:

$0{,}18 \cdot 500 = 90$

Na první škole se francouzštinu učí 90 žáků.

Francouzština na druhé škole

Na druhé škole tvoří němčina zbytek do $100\,\%$:

$100\,\% - 20\,\% - 35\,\% = 45\,\%$

Těchto $45\,\%$ odpovídá $270$ žákům, takže celkový počet žáků na druhé škole je:

$270 : 0{,}45 = 600$

Francouzštinu se učí $20\,\%$ z nich:

$0{,}20 \cdot 600 = 120$

Celkem na obou školách

Dohromady se francouzštinu učí:

$90 + 120 = 210$

Francouzštinu se učí 210 žáků, což odpovídá možnosti E.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 15.3

Na dvou jazykových školách se každý žák učí dva cizí jazyky. K angličtině, která je povinná pro všechny, volí žáci jako druhý cizí jazyk němčinu, francouzštinu, nebo španělštinu.
Grafy ukazují volbu druhého cizího jazyka na jednotlivých školách.

O kolik žáků více se na první škole učí němčinu než francouzštinu?

A) 100 žáků
D) 180 žáků
B) 120 žáků
E) 210 žáků
C) 150 žáků
F) jiný počet žáků

Zobrazit odpověď

F

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet žáků na první škole

Na první škole tvoří němčina $62\,\%$ a francouzština $18\,\%$. Španělština tedy tvoří:

$100\,\% - 62\,\% - 18\,\% = 20\,\%$

Z grafu víme, že těchto $20\,\%$ odpovídá $100$ žákům. Celkový počet žáků na první škole je proto:

$100 : 0{,}20 = 500$

Němčina a francouzština na první škole

Němčinu se učí $62\,\%$ z $500$ žáků:

$0{,}62 \cdot 500 = 310$

Francouzštinu se učí $18\,\%$ z $500$ žáků:

$0{,}18 \cdot 500 = 90$

Rozdíl počtů žáků

Rozdíl mezi počtem žáků, kteří se na první škole učí němčinu a francouzštinu, je:

$310 - 90 = 220$

Rozdíl je 220 žáků. Taková možnost v nabídce není, proto odpovídá možnost F.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 16.1

Obrazec na obrázku se postupně vytváří přidáváním dalších řad podle následujících pravidel:
- Liché řady obsahují pouze čtverce o straně délky 1 cm.
- Sudé řady obsahují pouze obdélníky s rozměry 1 cm a 2 cm.
- První řada obsahuje jeden čtverec a každá další řada je vždy o 1 cm delší než předchozí řada.
- Ve třetí a každé další řadě má každý druhý čtyřúhelník šedou barvu. Všechny ostatní čtyřúhelníky v obrazci jsou bílé.

Určete nejvyšší pořadové číslo řady, která obsahuje právě 9 šedých obdélníků.

Zobrazit odpověď

38.

1 bod

Úloha 16.2

Obrazec na obrázku se postupně vytváří přidáváním dalších řad podle následujících pravidel:
- Liché řady obsahují pouze čtverce o straně délky 1 cm.
- Sudé řady obsahují pouze obdélníky s rozměry 1 cm a 2 cm.
- První řada obsahuje jeden čtverec a každá další řada je vždy o 1 cm delší než předchozí řada.
- Ve třetí a každé další řadě má každý druhý čtyřúhelník šedou barvu. Všechny ostatní čtyřúhelníky v obrazci jsou bílé.

Určete celkový počet bílých čtyřúhelníků (čtverců i obdélníků dohromady) v části obrazce obsahující pouze 29. a 30. řadu.

Zobrazit odpověď

23 bílých čtyřúhelníků

1 bod

Úloha 16.3

Obrazec na obrázku se postupně vytváří přidáváním dalších řad podle následujících pravidel:
- Liché řady obsahují pouze čtverce o straně délky 1 cm.
- Sudé řady obsahují pouze obdélníky s rozměry 1 cm a 2 cm.
- První řada obsahuje jeden čtverec a každá další řada je vždy o 1 cm delší než předchozí řada.
- Ve třetí a každé další řadě má každý druhý čtyřúhelník šedou barvu. Všechny ostatní čtyřúhelníky v obrazci jsou bílé.

Vypočtěte poměr obsahu bílé plochy ku obsahu šedé plochy v části obrazce obsahující pouze 50. a 51. řadu.

Zobrazit odpověď

52 : 49

2 body

Přijímací testy 7. ročník

Dělení zlomků

Společný jmenovatel

Výpočet a úprava na základní tvar

Výpočet čitatele

Výpočet jmenovatele

Úprava složeného zlomku

Rozbor schématu

Logická úvaha

Výpočet rozdílu

Určení hledaného čísla

Ověření

Rozbor schématu

Výpočet výchozího čísla

Určení čísla v silně ohraničeném kroužku

Závěr

Rozbor vztahu mezi příspěvky

Hledání hodnoty jednoho dílku

Výpočet Bářina příspěvku

Ověření

Závěr

Krok 1: Výpočet příspěvku Báry

Krok 2: Výpočet příspěvku Cyrila

Krok 3: Rozdíl mezi příspěvky Báry a Cyrila

Krok 1: Výpočet příspěvku Adama a Báry

Krok 2: Výpočet příspěvku Cyrila

Krok 3: Celkový součet

Výměna s Tondou

Výměna s Jirkou

Přídavek od vedoucího

Výpočet původního počtu

Změna u Jirky

Rozdané kartičky

Získané kartičky

Výměna s Tondou

Výsledek

Změna u Petra

Změna u Jirky

Celkový přírůstek všech chlapců

Výpočet pro Tondu

Výsledek

Rozbor obrazce

Vyjádření ramen trojúhelníku

Sestavení rovnice pro obvod

Výpočet strany čtverce

Ověření

Krok 1: Rozbor obrazce a označení stran

Krok 2: Výpočet rozměrů z obvodu

Krok 3: Výpočet obsahu jednotlivých částí

Krok 4: Celkový obsah

Počet žáků na první škole

Počet žáků na druhé škole

Porovnání obou škol

Počet žáků na první škole

Francouzština na první škole

Francouzština na druhé škole

Celkem na obou školách

Počet žáků na první škole

Němčina a francouzština na první škole

Rozdíl počtů žáků