Načítání…
Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 7. ročník

Podkategorie: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2025

32 úloh

PDF+Klíč
Úloha 1.1

Večerní ceremoniál začal ve tři čtvrtě na šest a starosta ho ukončil pět minut po půl osmé. Přesně v polovině ceremoniálu začalo promítání a zabralo pětinu celkové doby ceremoniálu.

Určete v hodinách a minutách přesný čas začátku promítání.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Časy začátku a konce

Nejprve si převedeme slovní údaje na číselné:
• Začátek ceremoniálu: tři čtvrtě na šest je 17:45.
• Konec ceremoniálu: pět minut po půl osmé (19:30 + 5 min) je 19:35.

Celková délka ceremoniálu

Vypočítáme, jak dlouho ceremoniál trval:
• Od 17:45 do 18:45 je to 60 minut.
• Od 18:45 do 19:35 je to dalších 50 minut.
• Celkem: 60 + 50 = 110 minut.

Začátek promítání

Promítání začalo přesně v polovině ceremoniálu. Musíme tedy najít polovinu celkové doby a přičíst ji k času začátku:
• Polovina z 110 minut je 55 minut (110 : 2 = 55).
• K času 17:45 přičteme 55 minut: 17:45 + 15 min = 18:00, zbývá ještě 40 minut, tedy 18:00 + 40 min = 18:40.

Výsledek

Promítání začalo v
18:40
.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

18:40

Stav úlohy
1 bod
Úloha 1.2

Večerní ceremoniál začal ve tři čtvrtě na šest a starosta ho ukončil pět minut po půl osmé. Přesně v polovině ceremoniálu začalo promítání a zabralo pětinu celkové doby ceremoniálu.

Vypočtěte, kolik minut uplynulo od konce promítání do ukončení ceremoniálu.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celková doba ceremoniálu

Ceremoniál začal v 17:45 (tři čtvrtě na šest) a skončil v 19:35 (pět minut po půl osmé).
Od 17:45 do 18:45 uplynulo 60 minut.
Od 18:45 do 19:35 uplynulo dalších 50 minut.
Celkem ceremoniál trval: $60 + 50 = 110$ minut.

Délka a začátek promítání

Promítání začalo přesně v polovině ceremoniálu:
$110 : 2 = 55$ minut od začátku.
Promítání trvalo pětinu celkové doby:
$110 : 5 = 22$ minut.

Konec promítání

Promítání začalo v 55. minutě a trvalo 22 minut, skončilo tedy v čase:
$55 + 22 = 77$ minut od začátku ceremoniálu.

Doba po promítání

Ceremoniál skončil ve 110. minutě a promítání skončilo v 77. minutě.
Od konce promítání do konce ceremoniálu tedy uplynulo:
$110 - 77 = 33$ minut.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

33 minut

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle 1 - 1 \div \frac{3}{5} + \frac{5}{3} \div 10 =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Dělení zlomků

Nejprve musíme vypočítat dělení, protože má přednost před sčítáním a odčítáním. Dělit zlomkem znamená násobit jeho převrácenou hodnotou.
$1 : \frac{3}{5} = 1 \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{3}$
$\frac{5}{3} : 10 = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{10} = \frac{5}{30}$
Zlomek $\frac{5}{30}$ můžeme zkrátit pěti, dostaneme $\frac{1}{6}$.

Společný jmenovatel

Vypočítané hodnoty dosadíme zpět do příkladu:
$1 - \frac{5}{3} + \frac{1}{6}$
Abychom mohli zlomky a celá čísla sčítat a odčítat, převedeme je na společného jmenovatele. Tím bude číslo 6. Číslo $1$ převedeme na $\frac{6}{6}$. Zlomek $\frac{5}{3}$ rozšíříme dvěma na $\frac{10}{6}$.

Výpočet a úprava na základní tvar

Vše zapíšeme se společným jmenovatelem a vypočítáme:
$\frac{6}{6} - \frac{10}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6 - 10 + 1}{6} = \frac{-3}{6} = -\frac{3}{6}$
Zadání vyžaduje výsledek v základním tvaru. Zlomek tedy ještě zkrátíme třemi:
$-\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-1/2 a správný postup řešení

Stav úlohy
2 body
Úloha 2.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{5 \cdot \frac{7}{100} + 0,01}{\frac{2}{5} + \frac{2}{25}} =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Nejdříve vypočítáme čitatel složeného zlomku. Desetinné číslo $0{,}01$ převedeme na zlomek $\frac{1}{100}$:

$5 \cdot \frac{7}{100} + 0{,}01 = \frac{35}{100} + \frac{1}{100} = \frac{36}{100}$

Výsledek můžeme zkrátit číslem $4$:

$\frac{36}{100} = \frac{9}{25}$

Výpočet jmenovatele

Nyní vypočítáme jmenovatel složeného zlomku. Převedeme oba zlomky na společného jmenovatele $25$:

$\frac{2}{5} + \frac{2}{25} = \frac{10}{25} + \frac{2}{25} = \frac{12}{25}$

Úprava složeného zlomku

Vypočítané části dosadíme zpět do zadání. Hlavní zlomková čára znamená dělení. Dělit zlomkem je stejné jako násobit jeho převrácenou hodnotou:

$\frac{\frac{9}{25}}{\frac{12}{25}} = \frac{9}{25} : \frac{12}{25} = \frac{9}{25} \cdot \frac{25}{12}$

Zlomky před vynásobením křížem zkrátíme (obě čísla $25$):

$\frac{9}{25} \cdot \frac{25}{12} = \frac{9}{12}$

Nakonec výsledek zkrátíme číslem $3$ na základní tvar:

$\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

3/4 a správný postup řešení

Stav úlohy
2 body
Úloha 3.1
2 podúlohy 3 body, 1 podúloha 2 body

V diagramu se do prázdných kroužků doplní taková čísla, aby byly všechny výpočty provedené ve směru šipek správné.

Určete číslo, které patří do silně ohraničeného kroužku.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Princip metody

Začneme v pravém, silně ohraničeném kroužku. Po spodní šipce číslo vydělíme třemi a po horní přičteme 80. Musíme dostat stejné číslo jako na začátku. Zvolíme dvě cvičná čísla dělitelná třemi, porovnáme chyby a správné číslo přesně dopočítáme.

Krok 1: První odhad

Vpravo zkusíme 30. Vlevo vyjde $30 : 3 = 10$ a po návratu vpravo $10 + 80 = 90$. Místo počátečních 30 vyšlo 90. Chyba je $90 - 30 = \mathbf{60}$.

Krok 2: Druhý odhad

Zvýšíme počáteční číslo o 30 na 60. Vlevo vyjde $60 : 3 = 20$ a po návratu $20 + 80 = 100$. Chyba je $100 - 60 = \mathbf{40}$. Zvýšení začátku o 30 snížilo chybu o 20.

Krok 3: Finální dopočet

Při každém zvýšení počátečního čísla o 30 vzroste výsledek po dělení třemi jen o 10. Přičtení 80 tento přírůstek nezmění. Chyba se proto pokaždé sníží o $30 - 10 = 20$. Zbývající chyba 40 je dvakrát 20, a tak začátek zvýšíme o $2 × 30 = 60$. Dostaneme $60 + 60 = \mathbf{120}$.

Doplnění a kontrola

Vpravo je 120 a vlevo $120 : 3 = 40$. Zkontrolujeme horní šipku: $40 + 80 = 120$. Oba výpočty souhlasí. Do silně ohraničeného kroužku patří 120.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

120

Stav úlohy
3 body za skupinu
Úloha 3.2
2 podúlohy 3 body, 1 podúloha 2 body

V diagramu se do prázdných kroužků doplní taková čísla, aby byly všechny výpočty provedené ve směru šipek správné.

Určete číslo, které patří do silně ohraničeného kroužku.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Princip metody

Začneme vlevo dole. Po šipkách přičteme 10, výsledek vynásobíme dvěma a odečteme 34. Musíme se vrátit ke stejnému číslu, se kterým jsme začali. Použijeme dvě cvičná čísla a z rozdílu chyb přesně dopočítáme správný začátek.

Krok 1: První odhad

Vlevo dole zkusíme 20. Nahoře vyjde $20 + 10 = 30$, vpravo $30 × 2 = 60$ a po návratu vlevo $60 - 34 = 26$. Chyba je $26 - 20 = \mathbf{6}$: výsledek je o 6 větší než začátek.

Krok 2: Druhý odhad

Počáteční číslo snížíme o 2 na 18. Nahoře vyjde $18 + 10 = 28$, vpravo $28 × 2 = 56$ a po návratu $56 - 34 = 22$. Chyba je $22 - 18 = \mathbf{4}$. Snížení začátku o 2 snížilo chybu o 2.

Krok 3: Finální dopočet

Když začátek snížíme o 2, po přičtení 10 zůstane změna stejná. Násobení dvěma ji zdvojnásobí, takže konečný výsledek klesne o 4; odečtení 34 tuto změnu neovlivní. Začátek klesl jen o 2, a tak chyba klesne pokaždé o $4 - 2 = 2$. Zbývající chybu 4 odstraníme dvěma takovými sníženími: $18 - 2 × 2 = \mathbf{14}$.

Doplnění a kontrola

Vlevo dole je 14, nahoře $14 + 10 = 24$ a vpravo $24 × 2 = 48$. Poslední šipka vrací $48 - 34 = 14$, takže všechny výpočty souhlasí. Do silně ohraničeného kroužku patří 48.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

48

Stav úlohy
3 body za skupinu
Úloha 4.1

Sourozenci Adam, Bára a Cyril přispěli na výcvik asistenčního psa.
Adam přispěl částkou o 300 korun vyšší než Bára.
Přitom třetina Adamova příspěvku je stejná jako polovina Bářina příspěvku a třetina Bářina příspěvku je stejná jako polovina Cyrilova příspěvku.

Vypočtěte kolika korunami přispěla Bára.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor vztahu mezi příspěvky

Ze zadání víme, že třetina Adamova příspěvku odpovídá polovině Bářina příspěvku. Pokud si tuto část (třetinu Adamova nebo polovinu Bářina příspěvku) představíme jako jeden „dílek“, pak:
  • Adamův příspěvek tvoří 3 stejné dílky.
  • Bářin příspěvek tvoří 2 stejné dílky.

Hledání hodnoty jednoho dílku

Adam přispěl o 300 korun více než Bára. V našich dílcích je rozdíl mezi Adamem (3 dílky) a Bárou (2 dílky) přesně 1 dílek. Tento jeden dílek musí mít tedy hodnotu 300 korun.

Výpočet Bářina příspěvku

Bára přispěla 2 dílky. Jeden dílek je 300 korun, takže Bára přispěla:
$2 \cdot 300 = 600$ Kč.

Ověření

Adam přispěl 3 dílky, tedy $3 \cdot 300 = 900$ Kč. Rozdíl je skutečně 300 Kč ($900 - 600 = 300$). Třetina z 900 je 300 a polovina z 600 je také 300. Vše souhlasí.

Závěr

Bára přispěla 600 korunami.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

600 korun

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.2

Sourozenci Adam, Bára a Cyril přispěli na výcvik asistenčního psa.
Adam přispěl částkou o 300 korun vyšší než Bára.
Přitom třetina Adamova příspěvku je stejná jako polovina Bářina příspěvku a třetina Bářina příspěvku je stejná jako polovina Cyrilova příspěvku.

Vypočtěte o kolik korun se liší Bářin a Cyrilův příspěvek.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet příspěvku Báry

Ze zadání víme, že třetina Adamova příspěvku je stejná jako polovina Bářina příspěvku. Pokud si tuto společnou část představíme jako jeden díl, pak Adam přispěl 3 takové díly a Bára 2 takové díly.
Rozdíl mezi nimi je 1 díl ($3 - 2 = 1$). Tento rozdíl je podle zadání 300 Kč. Jeden díl má tedy hodnotu 300 Kč.
Bářin příspěvek spočítáme jako: $2 \times 300 = 600$ Kč.

Krok 2: Výpočet příspěvku Cyrila

Dále víme, že třetina Bářina příspěvku je stejná jako polovina Cyrilova příspěvku. Bára přispěla 600 Kč, takže jedna třetina jejího příspěvku je: $600 : 3 = 200$ Kč.
Tato částka (200 Kč) odpovídá polovině Cyrilova příspěvku. Celý Cyrilův příspěvek je tedy: $2 \times 200 = 400$ Kč.

Krok 3: Rozdíl mezi příspěvky Báry a Cyrila

Bára přispěla 600 Kč a Cyril 400 Kč. Rozdíl mezi jejich příspěvky zjistíme odečtením: $600 - 400 = 200$ Kč.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

o 200 korun

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.3

Sourozenci Adam, Bára a Cyril přispěli na výcvik asistenčního psa.
Adam přispěl částkou o 300 korun vyšší než Bára.
Přitom třetina Adamova příspěvku je stejná jako polovina Bářina příspěvku a třetina Bářina příspěvku je stejná jako polovina Cyrilova příspěvku.

Vypočtěte kolika korunami přispěli všichni tři sourozenci dohromady.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet příspěvku Adama a Báry

Ze zadání víme, že Adam přispěl o 300 korun více než Bára a že třetina Adamova příspěvku je stejná jako polovina Bářina. To znamená, že pokud si Adamův příspěvek rozdělíme na 3 stejné díly a Bářin na 2 stejné díly, budou tyto díly všechny stejně velké.
  • Adamův příspěvek: 3 díly
  • Bářin příspěvek: 2 díly
Rozdíl mezi nimi je tedy přesně 1 díl ($3 - 2 = 1$). Víme, že Adam přispěl o 300 Kč více, takže tento 1 díl odpovídá 300 korunám.
  • Adam: $3 \cdot 300 = 900$ Kč
  • Bára: $2 \cdot 300 = 600$ Kč

Krok 2: Výpočet příspěvku Cyrila

Dále víme, že třetina Bářina příspěvku je stejná jako polovina Cyrilova.
  • Třetina Bářina příspěvku: $600 \div 3 = 200$ Kč
Tato částka (200 Kč) je polovinou Cyrilova příspěvku. Cyril tedy přispěl dvakrát tolik:
  • Cyril: $2 \cdot 200 = 400$ Kč

Krok 3: Celkový součet

Nyní už jen sečteme příspěvky všech tří sourozenců dohromady:
$900 + 600 + 400 = 1900$ Kč
Sourozenci přispěli dohromady 1900 korun.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1900 korun

Stav úlohy
1 bod
Úloha 5.1
2 podúlohy 3 body, 1 podúloha 2 body

V obchodě se za jednotnou cenu prodávají různé figurky.
Lída měla přesný obnos na nákup 7 figurek po 39 korunách. Figurky však byly zdraženy. Lída proto koupila jen 6 figurek a zbylo jí přesně tolik korun, kolik jí chybělo na nákup sedmé figurky.

Vypočtěte kolik korun zbylo Lídě po nákupu 6 figurek.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Původní obnos

Lída měla peníze na 7 figurek po 39 korunách, tedy celkem $7 \cdot 39 = 273$ korun.

Kolik stojí sedmá figurka

Na sedmou figurku by Lída použila zbylé peníze a ještě by musela přidat stejný obnos. Zbytek je tedy polovina nové ceny jedné figurky. Celých 273 korun odpovídá ceně 6 figurek a poloviny další figurky, dohromady tedy 13 polovinám ceny figurky.

Výpočet a ověření

Jedna polovina ceny figurky je $273 : 13 = 21$ korun. Celá figurka tedy nově stojí $2 \cdot 21 = 42$ korun. Za 6 figurek Lída zaplatila $6 \cdot 42 = 252$ korun a zbylo jí $273 - 252 = 21$ korun. Na další figurku jí chybí $42 - 21 = 21$ korun, takže podmínka platí. Lídě zbylo 21 korun.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

21 korun

Stav úlohy
3 body za skupinu
Úloha 5.2
2 podúlohy 3 body, 1 podúloha 2 body

V obchodě se za jednotnou cenu prodávají různé figurky.
Lída měla přesný obnos na nákup 7 figurek po 39 korunách. Figurky však byly zdraženy. Lída proto koupila jen 6 figurek a zbylo jí přesně tolik korun, kolik jí chybělo na nákup sedmé figurky.

Vypočtěte kolik korun stála jedna figurka po zdražení.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Původní obnos

Lída měla přesně na 7 figurek po 39 korunách, tedy 7 · 39 = 273 Kč.

Zbytek peněz

Po nákupu 6 figurek jí zbylo stejně peněz, kolik jí chybělo na sedmou figurku. Zbytek a chybějící částka dohromady tvoří cenu jedné figurky, takže zbytek je polovina její nové ceny. Celých 273 Kč tedy odpovídá ceně 6 a půl figurky.

Cena po zdražení

Dvojnásobek Lídina obnosu odpovídá ceně 13 figurek: 2 · 273 = 546 Kč. Jedna figurka po zdražení proto stála 546 : 13 = 42 Kč.

Ověření a výsledek

Za 6 figurek Lída zaplatila 6 · 42 = 252 Kč a zbylo jí 273 − 252 = 21 Kč. Na sedmou figurku jí chybělo 42 − 21 = 21 Kč, což souhlasí se zadáním. Jedna figurka po zdražení stála 42 Kč.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

42 korun

Stav úlohy
3 body za skupinu
Úloha 6.1

Petr, Tonda a Jirka přinesli do klubu své sbírky kartiček s fotbalisty a některé kartičky si vyměnili.
Tonda vyměnil 4 své kartičky za 6 Petrových a několik dalších svých kartiček za 4 Jirkovy.
Petr potom vyměnil 2 své kartičky za 3 Jirkovy.
Před odchodem dostal každý z chlapců ještě 4 kartičky od vedoucího klubu.
Petr tak rozšířil svou sbírku na 80 kartiček
a Jirka měl nakonec o 2 kartičky více než při příchodu do klubu.

Vypočtěte kolik kartiček si do klubu přinesl Petr.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výměna s Tondou

Tonda vyměnil 4 své kartičky za 6 Petrových. To znamená, že Petr dal Tondovi 6 kartiček, ale 4 jiné od něj získal. Celkově mu tedy v této výměně ubyly 2 kartičky (výpočet: $6 - 4 = 2$).

Výměna s Jirkou

Petr vyměnil 2 své kartičky za 3 Jirkovy. To znamená, že Petr dal Jirkovi 2 kartičky a získal od něj 3 kartičky. Celkově mu tedy v této výměně přibyla 1 kartička (výpočet: $3 - 2 = 1$).

Přídavek od vedoucího

Před odchodem dostal Petr od vedoucího klubu ještě 4 kartičky navíc.

Výpočet původního počtu

Zjistíme celkovou změnu počtu Petrových kartiček: nejprve mu 2 ubyly, pak 1 přibyla a nakonec přibyly další 4. Celkově se tedy jeho sbírka rozrostla o 3 kartičky (výpočet: $-2 + 1 + 4 = 3$).
Na konci měl Petr 80 kartiček. Abychom zjistili, kolik jich měl na začátku, musíme od konečného počtu odečíst celkový přírůstek:
80 - 3 = 77
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

77 kartiček

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.2

Petr, Tonda a Jirka přinesli do klubu své sbírky kartiček s fotbalisty a některé kartičky si vyměnili.
Tonda vyměnil 4 své kartičky za 6 Petrových a několik dalších svých kartiček za 4 Jirkovy.
Petr potom vyměnil 2 své kartičky za 3 Jirkovy.
Před odchodem dostal každý z chlapců ještě 4 kartičky od vedoucího klubu.
Petr tak rozšířil svou sbírku na 80 kartiček
a Jirka měl nakonec o 2 kartičky více než při příchodu do klubu.

Vypočtěte kolik kartiček získal Jirka od Tondy.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Změna u Jirky

Jirka měl na konci o 2 kartičky více než při příchodu do klubu. To znamená, že během dne musel získat celkem o 2 kartičky více, než kolik jich rozdal při výměnách.

Rozdané kartičky

Jirka se účastnil dvou výměn, při kterých dával své kartičky ostatním:
  • Tondovi dal 4 své kartičky (za několik Tondových),
  • Petrovi dal 3 své kartičky (za 2 Petrovy).
Celkem tedy Jirka rozdal $4 + 3 = 7$ kartiček.

Získané kartičky

Jirka získal kartičky od Petra, od vedoucího a od Tondy:
  • od Petra získal 2 kartičky,
  • od vedoucího klubu dostal 4 kartičky,
  • od Tondy získal neznámý počet kartiček.
Zatím víme o $2 + 4 = 6$ získaných kartičkách (bez započtení těch od Tondy).

Výměna s Tondou

Protože má mít Jirka na konci o 2 kartičky více, než kolik jich rozdal, musel jich celkem získat $7 + 2 = 9$. Protože 6 kartiček už získal (od Petra a vedoucího), zbytek musel dostat od Tondy. Od Tondy tedy získal $9 - 6 = 3$ kartičky.

Výsledek

Jirka získal od Tondy 3 kartičky.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

3 kartičky

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.3

Petr, Tonda a Jirka přinesli do klubu své sbírky kartiček s fotbalisty a některé kartičky si vyměnili.
Tonda vyměnil 4 své kartičky za 6 Petrových a několik dalších svých kartiček za 4 Jirkovy.
Petr potom vyměnil 2 své kartičky za 3 Jirkovy.
Před odchodem dostal každý z chlapců ještě 4 kartičky od vedoucího klubu.
Petr tak rozšířil svou sbírku na 80 kartiček
a Jirka měl nakonec o 2 kartičky více než při příchodu do klubu.

Vypočtěte o kolik kartiček rozšířil svou sbírku Tonda.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Změna u Petra

Petr nejdříve získal 4 kartičky od Tondy, ale 6 mu jich dal (změna -2). Poté získal 3 kartičky od Jirky a 2 mu dal (změna +1). Od vedoucího navíc dostal 4 kartičky. Celkem se tedy Petrova sbírka rozrostla o 3 kartičky ($-2 + 1 + 4 = 3$).

Změna u Jirky

Ze zadání přímo víme, že Jirka měl na konci o 2 kartičky více než na začátku. Jeho celkový přírůstek je tedy 2.

Celkový přírůstek všech chlapců

Vzájemné výměny mezi chlapci nemění celkový počet kartiček, které mají všichni dohromady. Jediné nové kartičky dostali chlapci od vedoucího klubu. Každý ze tří chlapců dostal 4 kartičky, dohromady se tedy počet všech kartiček zvýšil o 12 ($3 \cdot 4 = 12$).

Výpočet pro Tondu

Víme, že celkem všem dohromady přibylo 12 kartiček. Petrovi přibyly 3 a Jirkovi 2. Na Tondu tedy musí zbývat zbytek z celkového přírůstku:
$12 - 3 - 2 = 7$

Výsledek

Tonda svou sbírku rozšířil o 7 kartiček.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

o 7 kartiček

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.1

Osově souměrný pětiúhelník ve tvaru domečku se skládá ze dvou čtverců a rovnoramenného trojúhelníku.
Obvod pětiúhelníku je 46 cm.
V rovnoramenném trojúhelníku je rameno o 3 cm delší než základna a výška na základnu je o 1 cm kratší než rameno.

Vypočtěte v cm délku strany čtverce.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrazce

Obrazec se skládá ze dvou čtverců a rovnoramenného trojúhelníku. Pokud si stranu jednoho čtverce označíme jako $a$, pak spodní část domečku tvoří obdélník o stranách $2a$ (šířka) a $a$ (výška). Základna trojúhelníku je shodná s horní stranou tohoto obdélníku, má tedy délku $2a$.

Vyjádření ramen trojúhelníku

V zadání se píše, že rameno trojúhelníku je o 3 cm delší než základna. Základna je $2a$, takže délka jednoho ramene je $(2a + 3)$ cm.

Sestavení rovnice pro obvod

Obvod celého pětiúhelníku tvoří:
  • spodní strana obdélníku: $2a$
  • dvě boční strany obdélníku: $a + a = 2a$
  • dvě ramena trojúhelníku: $2 \cdot (2a + 3)$
Dohromady je obvod: $2a + 2a + 2 \cdot (2a + 3) = 4a + 4a + 6 = 8a + 6$.

Výpočet strany čtverce

Víme, že celkový obvod je 46 cm. Sestavíme a vyřešíme rovnici:
$8a + 6 = 46$
$8a = 40$
$a = 5$
Strana čtverce tedy měří 5 cm.

Ověření

Pro kontrolu dopočítáme rozměry trojúhelníku: základna je $2 \cdot 5 = 10$ cm, rameno je $10 + 3 = 13$ cm a výška je o 1 cm kratší než rameno, tedy $13 - 1 = 12$ cm. Podle Pythagorovy věty v polovině trojúhelníku musí platit: $5^2 + 12^2 = 13^2$, což je $25 + 144 = 169$. Výpočet je správný.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

5 cm a správný postup řešení

Stav úlohy
2 body
Úloha 7.2

Osově souměrný pětiúhelník ve tvaru domečku se skládá ze dvou čtverců a rovnoramenného trojúhelníku.
Obvod pětiúhelníku je 46 cm.
V rovnoramenném trojúhelníku je rameno o 3 cm delší než základna a výška na základnu je o 1 cm kratší než rameno.

Vypočtěte v cm² obsah pětiúhelníku.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Rozbor obrazce a označení stran

Pětiúhelník ve tvaru domečku se skládá ze dvou shodných čtverců umístěných vedle sebe a rovnoramenného trojúhelníku nad nimi. Označíme-li stranu čtverce jako $a$, pak základna trojúhelníku má délku $2a$ (odpovídá šířce obou čtverců dohromady). Rameno trojúhelníku označíme jako $b$.

Krok 2: Výpočet rozměrů z obvodu

Z textu víme, že rameno $b$ je o 3 cm delší než základna ($2a$), tedy $b = 2a + 3$. Obvod pětiúhelníku (46 cm) tvoří dvě ramena trojúhelníku ($2b$) a vnější strany čtverců (dvě svislé boční strany $a$ a jedna spodní vodorovná strana délky $2a$).
Sestavíme rovnici pro obvod:
$2b + a + 2a + a = 46$
$2b + 4a = 46$

Dosadíme za $b$ výraz $(2a + 3)$:
$2(2a + 3) + 4a = 46$
$4a + 6 + 4a = 46$
$8a = 40$
$a = 5$ cm.

Strana čtverce je tedy 5 cm. Základna trojúhelníku je $2 \cdot 5 = 10 cm$ a rameno $b = 10 + 3 = 13 cm$.

Krok 3: Výpočet obsahu jednotlivých částí

Výška trojúhelníku ($v$) je o 1 cm kratší než rameno, tedy $v = 13 - 1 = 12$ cm.
Nyní vypočítáme obsahy:
Obsah dvou čtverců: $S_1 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50$ cm².
Obsah trojúhelníku: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot \text{základna} \cdot \text{výška} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ cm².

Krok 4: Celkový obsah

Celkový obsah pětiúhelníku získáme sečtením obou částí:
$S = S_1 + S_2 = 50 + 60 = 110$ cm².
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

110 cm² a správný postup řešení

Stav úlohy
2 body
Úloha 8.1
3 body za skupinu

V rovině leží body B, C, O.

Body B, C jsou vrcholy trojúhelníku ABC.
Polopřímka BC tvoří rameno vnitřního úhlu trojúhelníku ABC při vrcholu B a přímka BO je osa tohoto úhlu.
Vrcholy A i B mají stejnou vzdálenost od bodu O.

Sestrojte obě ramena vnitřního úhlu trojúhelníku ABC při vrcholu B.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Úlohy 8.1 a 8.2 se hodnotí společně. Celkové hodnocení se započítá pouze jednou, maximálně 3 body.

Vzorové řešení výše.

Konstrukce obsahuje právě jeden z následujících nedostatků:

  • vnitřní úhel CBA je sestrojen s mírnou nepřesností,
  • vzdálenost bodu A od bodu O se mírně liší od vzdálenosti bodů O, B.

Nastane právě jedna z následujících situací:

  • V požadovaném trojúhelníku je chybně sestrojeno rameno BC' vnitřního úhlu CBA.
  • V požadovaném trojúhelníku je na polopřímce BC' chybně sestrojen vrchol A.
  • Správně je sestrojena pouze kružnice se středem v bodě O a poloměrem OB.

Pouze chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2025, úloha 8

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body za skupinu
Úloha 8.2
3 body za skupinu

V rovině leží body B, C, O.

Body B, C jsou vrcholy trojúhelníku ABC.
Polopřímka BC tvoří rameno vnitřního úhlu trojúhelníku ABC při vrcholu B a přímka BO je osa tohoto úhlu.
Vrcholy A i B mají stejnou vzdálenost od bodu O.

Sestrojte vrchol A trojúhelníku ABC, označte ho písmenem a trojúhelník narýsujte.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Úlohy 8.1 a 8.2 se hodnotí společně. Celkové hodnocení se započítá pouze jednou, maximálně 3 body.

Vzorové řešení výše.

Konstrukce obsahuje právě jeden z následujících nedostatků:

  • vnitřní úhel CBA je sestrojen s mírnou nepřesností,
  • vzdálenost bodu A od bodu O se mírně liší od vzdálenosti bodů O, B.

Nastane právě jedna z následujících situací:

  • V požadovaném trojúhelníku je chybně sestrojeno rameno BC' vnitřního úhlu CBA.
  • V požadovaném trojúhelníku je na polopřímce BC' chybně sestrojen vrchol A.
  • Správně je sestrojena pouze kružnice se středem v bodě O a poloměrem OB.

Pouze chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2025, úloha 8

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body za skupinu
Úloha 9

V rovině leží body E, F, G.

Body E, F, G jsou vrcholy rovnoramenného lichoběžníku EFGH.

Sestrojte vrchol H lichoběžníku EFGH, označte ho písmenem a lichoběžník narýsujte.

Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Nastane právě jedna z následujících situací:

  • Jsou sestrojeny oba požadované lichoběžníky, ale s mírnou nepřesností.
  • Z požadovaných lichoběžníků je sestrojen pouze jeden, a to přesně.

Z požadovaných lichoběžníků je sestrojen pouze jeden, a to s mírnou nepřesností.

Pouze zcela chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2025, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 10.1
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Standardní hrací kostka tvaru krychle má na svých stěnách 1 až 6 teček. Součet počtu teček na protějších stěnách kostky je vždy 7.

Na obrázku jsou tři takové kostky a každá stojí na začátku cesty složené z několika čtvercových polí. Kostka postupně projde všemi poli cesty tak, že se vždy překlopí kolem své spodní hrany na sousední pole, a skončí na šedém poli cesty.(Například první kostka se překlopí celkem čtyřikrát. Po prvním překlopení bude mít na spodní stěně 5 teček.)

Každá z kostek prošla celou svou cestu a nyní stojí na šedém poli.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

První kostka má na spodní stěně 3 tečky.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počáteční poloha a cesta

První kostka má nahoře 1 tečku, vpředu 3 a vpravo 5. Dole je tedy 6 teček, protože protější stěny mají dohromady 7 teček. Cesta vede dvě pole doprava a potom dvě pole směrem k pozorovateli.

Dvě překlopení doprava

Po prvním překlopení doprava je dole původní pravá stěna s 5 tečkami. Po druhém je dole původní horní stěna s 1 tečkou a nahoře je 6 teček. Vpředu zůstávají 3 tečky.

Dvě překlopení po ohybu

Po prvním překlopení směrem k pozorovateli je dole čelní stěna se 3 tečkami. Při druhém se dolů dostane stěna, která byla před ohybem nahoře, tedy stěna se 6 tečkami.

Výsledek

Na šedém poli má první kostka na spodní stěně 6 teček. Tvrzení, že má dole 3 tečky, je nepravdivé. Odpověď je N.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 10.2
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Standardní hrací kostka tvaru krychle má na svých stěnách 1 až 6 teček. Součet počtu teček na protějších stěnách kostky je vždy 7.

Na obrázku jsou tři takové kostky a každá stojí na začátku cesty složené z několika čtvercových polí. Kostka postupně projde všemi poli cesty tak, že se vždy překlopí kolem své spodní hrany na sousední pole, a skončí na šedém poli cesty.(Například první kostka se překlopí celkem čtyřikrát. Po prvním překlopení bude mít na spodní stěně 5 teček.)

Každá z kostek prošla celou svou cestu a nyní stojí na šedém poli.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Druhá kostka má na spodní stěně nejméně teček ze všech tří kostek.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pravidlo překlopení

Při překlopení se spodní stěnou stane boční stěna mířící ve směru pohybu. Počty teček na protějších stěnách dávají dohromady 7. Směr šikmo dolů doleva v nákresu označíme jako dopředu.

První kostka

První kostka se překlopí dvakrát doprava a potom dvakrát dopředu. Po jednotlivých překlopeních má na spodní stěně postupně 5, 1, 3 a 6 teček. Na šedém poli má tedy dole 6 teček.

Druhá kostka

Druhá kostka se překlopí třikrát dopředu a potom dvakrát doprava. Po jednotlivých překlopeních má dole postupně 1, 4, 6, 5 a 1 tečku. Na šedém poli má tedy dole 1 tečku.

Třetí kostka

Třetí kostka se překlopí třikrát doprava, dvakrát dopředu, jednou doleva a jednou dopředu. Po jednotlivých překlopeních má dole postupně 2, 1, 5, 4, 2, 1 a 3 tečky. Na šedém poli má tedy dole 3 tečky.

Porovnání a výsledek

Na spodních stěnách jsou postupně 6, 1 a 3 tečky. Nejmenší počet je 1 a ten má druhá kostka. Tvrzení je pravdivé, odpověď A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 10.3
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Standardní hrací kostka tvaru krychle má na svých stěnách 1 až 6 teček. Součet počtu teček na protějších stěnách kostky je vždy 7.

Na obrázku jsou tři takové kostky a každá stojí na začátku cesty složené z několika čtvercových polí. Kostka postupně projde všemi poli cesty tak, že se vždy překlopí kolem své spodní hrany na sousední pole, a skončí na šedém poli cesty.(Například první kostka se překlopí celkem čtyřikrát. Po prvním překlopení bude mít na spodní stěně 5 teček.)

Každá z kostek prošla celou svou cestu a nyní stojí na šedém poli.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Třetí kostka má na spodní stěně o 1 tečku méně než první kostka.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První kostka

Při překlopení se dolů dostane stěna obrácená ve směru pohybu. První kostka má na začátku nahoře 1 tečku, dole 6, vpravo 5 a vpředu 3. Překlopí se dvakrát doprava a potom dvakrát směrem k pozorovateli. Na spodní stěně má postupně 5, 1, 3, 6 teček. Na šedém poli má tedy dole 6 teček.

Třetí kostka

Třetí kostka má na začátku nahoře 1 tečku, vpředu 4 a vpravo 2. Protější stěny mají dohromady 7 teček, takže dole je 6, vzadu 3 a vlevo 5. Cesta vede třikrát doprava, dvakrát k pozorovateli, jednou doleva a ještě jednou k pozorovateli. Při těchto sedmi překlopeních má kostka na spodní stěně postupně 2, 1, 5, 4, 2, 1, 3 tečky. Na šedém poli má tedy dole 3 tečky.

Porovnání a výsledek

První kostka má dole 6 teček a třetí 3 tečky. Rozdíl je $6 - 3 = 3$. Třetí kostka má o 3 tečky méně než první, takže tvrzení o rozdílu 1 tečky je nepravdivé (N).
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11

Vesnicí se prohnalo tornádo.
Po události bylo 40 % všech domů ve vesnici poškozených.
Zbylých 270 domů vyvázlo beze škod.
Následně bylo 30 % poškozených domů určeno k demolici.

Kolik poškozených domů bylo určeno k demolici?

  • A) 36 domů
  • D) 81 domů
  • B) 54 domů
  • E) jiný počet domů
  • C) 60 domů
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet domů

Beze škod zůstalo 100 − 40 = 60 % všech domů. Těchto 60 % odpovídá 270 domům, takže 1 % je 270 : 60 = 4,5. Ve vesnici bylo celkem 4,5 · 100 = 450 domů.

Počet poškozených domů

Poškozených bylo 40 % všech domů. Z předchozího kroku víme, že 1 % odpovídá 4,5 domu, proto bylo poškozeno 4,5 · 40 = 180 domů.

Počet domů k demolici

K demolici bylo určeno 30 % ze 180 poškozených domů. Nejdřív vypočítáme 1 %: 180 : 100 = 1,8. Potom 30 %: 1,8 · 30 = 54. K demolici bylo určeno 54 domů, tedy odpověď B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 12

Tibor a Matyáš jsou na táboře v rovinaté oblasti a chystají se vydat podle mapy ke studánce. Tibor má mapu s měřítkem 1 : 50 000 a plánovaná trasa má na jeho mapě délku 4,2 cm.
Na Matyášově mapě tato trasa měří 28 mm.

Jaké měřítko má Matyášova mapa?

  • A) 1 : 28 000
  • D) 1 : 140 000
  • B) 1 : 56 000
  • E) jiné měřítko
  • C) 1 : 75 000
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Skutečná délka trasy

Na Tiborově mapě odpovídá 1 cm skutečné délce 50 000 cm. Trasa dlouhá na mapě 4,2 cm tedy ve skutečnosti měří 4,2 · 50 000 = 210 000 cm.

Výpočet měřítka

Na Matyášově mapě měří stejná trasa 28 mm = 2,8 cm. Zjistíme, kolika centimetrům ve skutečnosti odpovídá 1 cm na této mapě: 210 000 : 2,8 = 75 000 cm.

Výsledek a ověření

Matyášova mapa má měřítko 1 : 75 000, tedy odpověď C. Ověříme: 2,8 · 75 000 = 210 000 cm, což je stejná skutečná délka jako podle Tiborovy mapy.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 13

Tibor a Matyáš jsou na táboře v rovinaté oblasti a chystají se vydat podle mapy ke studánce. Tibor má mapu s měřítkem 1 : 50 000 a plánovaná trasa má na jeho mapě délku 4,2 cm.
Na Matyášově mapě tato trasa měří 28 mm.

Jaká je skutečná délka plánované trasy?

  • A) 2,1 km
  • D) 7,5 km
  • B) 2,8 km
  • E) jiná délka
  • C) 5,6 km
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Měřítko mapy

Měřítko Tiborovy mapy 1 : 50 000 znamená, že 1 cm na mapě odpovídá 50 000 cm ve skutečnosti. To je 500 m.

Výpočet délky

Trasa na Tiborově mapě měří 4,2 cm. Její skutečná délka je tedy $4{,}2 \cdot 500 = 2\,100$ m. Protože 1 km = 1 000 m, je to 2,1 km.

Výsledek

Skutečná délka plánované trasy je 2,1 km. Správná je možnost A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 14

Z 12 shodných kvádrů jsou slepena dvě tělesa – krychle s hranou délky 9 cm (obrázek vlevo) a těleso tvaru schodiště (obrázek vpravo).

O kolik cm2 se liší povrch tělesa tvaru schodiště a povrch krychle?

  • A) neliší se
  • D) o 81,0 cm2
  • B) o 27,0 cm2
  • E) o 108,0 cm2
  • C) o 40,5 cm2
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry jednoho kvádru

Krychle je rozdělena na 2 stejně široké sloupce a 3 stejně vysoké řady. Tvoří ji tedy 6 kvádrů, které sahají přes celou hloubku krychle. Jeden kvádr má šířku 9 : 2 = 4,5 cm, výšku 9 : 3 = 3 cm a hloubku 9 cm.

Povrch krychle

Krychle má 6 čtvercových stěn o straně 9 cm. Její povrch je 6 · 9 · 9 = 486 cm².

Povrch schodiště

Schodiště má tři sloupce vysoké 9 cm, 6 cm a 3 cm. Přední i zadní plocha se skládá ze 6 obdélníků o rozměrech 4,5 cm a 3 cm, takže každá má obsah 6 · 4,5 · 3 = 81 cm². Spodní plocha má obsah (3 · 4,5) · 9 = 121,5 cm². Stejný obsah mají dohromady i tři horní plochy schodů. Levá svislá plocha má obsah 9 · 9 = 81 cm². Zbývající tři svislé plochy mají dohromady obsah 3 · 3 · 9 = 81 cm². Celý povrch schodiště je 2 · 81 + 2 · 121,5 + 2 · 81 = 567 cm².

Rozdíl povrchů

Povrch schodiště je větší o 567 − 486 = 81 cm². Správná je možnost D.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.1

Na dvou jazykových školách se každý žák učí dva cizí jazyky. K angličtině, která je povinná pro všechny, volí žáci jako druhý cizí jazyk němčinu, francouzštinu, nebo španělštinu.
Grafy ukazují volbu druhého cizího jazyka na jednotlivých školách.

O kolik se liší celkový počet žáků na první a na druhé škole?

  • A) 100 žáků
  • D) 180 žáků
  • B) 120 žáků
  • E) 210 žáků
  • C) 150 žáků
  • F) jiný počet žáků
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet žáků na první škole

Na první škole tvoří němčina $62\,\%$ a francouzština $18\,\%$. Španělština tedy tvoří zbytek:
$100\,\% - 62\,\% - 18\,\% = 20\,\%$
Z grafu víme, že těchto $20\,\%$ odpovídá $100$ žákům. Celkový počet žáků na první škole je proto:
$100 : 0{,}20 = 500$

Počet žáků na druhé škole

Na druhé škole tvoří francouzština $20\,\%$ a španělština $35\,\%$. Němčina tedy tvoří:
$100\,\% - 20\,\% - 35\,\% = 45\,\%$
Z grafu víme, že němčinu se učí $270$ žáků. Celkový počet žáků na druhé škole je proto:
$270 : 0{,}45 = 600$

Porovnání obou škol

Rozdíl celkových počtů žáků je:
$600 - 500 = 100$
Celkové počty žáků se liší o 100 žáků, což odpovídá možnosti A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.2

Na dvou jazykových školách se každý žák učí dva cizí jazyky. K angličtině, která je povinná pro všechny, volí žáci jako druhý cizí jazyk němčinu, francouzštinu, nebo španělštinu.
Grafy ukazují volbu druhého cizího jazyka na jednotlivých školách.

Kolik žáků z obou škol dohromady se učí francouzštinu?

  • A) 100 žáků
  • D) 180 žáků
  • B) 120 žáků
  • E) 210 žáků
  • C) 150 žáků
  • F) jiný počet žáků
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet žáků na první škole

Na první škole tvoří španělština zbytek do $100\,\%$:
$100\,\% - 62\,\% - 18\,\% = 20\,\%$
Těchto $20\,\%$ odpovídá $100$ žákům, takže celkový počet žáků na první škole je:
$100 : 0{,}20 = 500$

Francouzština na první škole

Francouzštinu se na první škole učí $18\,\%$ ze $500$ žáků:
$0{,}18 \cdot 500 = 90$
Na první škole se francouzštinu učí 90 žáků.

Francouzština na druhé škole

Na druhé škole tvoří němčina zbytek do $100\,\%$:
$100\,\% - 20\,\% - 35\,\% = 45\,\%$
Těchto $45\,\%$ odpovídá $270$ žákům, takže celkový počet žáků na druhé škole je:
$270 : 0{,}45 = 600$
Francouzštinu se učí $20\,\%$ z nich:
$0{,}20 \cdot 600 = 120$

Celkem na obou školách

Dohromady se francouzštinu učí:
$90 + 120 = 210$
Francouzštinu se učí 210 žáků, což odpovídá možnosti E.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.3

Na dvou jazykových školách se každý žák učí dva cizí jazyky. K angličtině, která je povinná pro všechny, volí žáci jako druhý cizí jazyk němčinu, francouzštinu, nebo španělštinu.
Grafy ukazují volbu druhého cizího jazyka na jednotlivých školách.

O kolik žáků více se na první škole učí němčinu než francouzštinu?

  • A) 100 žáků
  • D) 180 žáků
  • B) 120 žáků
  • E) 210 žáků
  • C) 150 žáků
  • F) jiný počet žáků
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet žáků na první škole

Na první škole tvoří němčina $62\,\%$ a francouzština $18\,\%$. Španělština tedy tvoří:
$100\,\% - 62\,\% - 18\,\% = 20\,\%$
Z grafu víme, že těchto $20\,\%$ odpovídá $100$ žákům. Celkový počet žáků na první škole je proto:
$100 : 0{,}20 = 500$

Němčina a francouzština na první škole

Němčinu se učí $62\,\%$ z $500$ žáků:
$0{,}62 \cdot 500 = 310$
Francouzštinu se učí $18\,\%$ z $500$ žáků:
$0{,}18 \cdot 500 = 90$

Rozdíl počtů žáků

Rozdíl mezi počtem žáků, kteří se na první škole učí němčinu a francouzštinu, je:
$310 - 90 = 220$
Rozdíl je 220 žáků. Taková možnost v nabídce není, proto odpovídá možnost F.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

F

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.1

Obrazec na obrázku se postupně vytváří přidáváním dalších řad podle následujících pravidel:
- Liché řady obsahují pouze čtverce o straně délky 1 cm.
- Sudé řady obsahují pouze obdélníky s rozměry 1 cm a 2 cm.
- První řada obsahuje jeden čtverec a každá další řada je vždy o 1 cm delší než předchozí řada.
- Ve třetí a každé další řadě má každý druhý čtyřúhelník šedou barvu. Všechny ostatní čtyřúhelníky v obrazci jsou bílé.

Určete nejvyšší pořadové číslo řady, která obsahuje právě 9 šedých obdélníků.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Délka řady a počet obdélníků

První řada je dlouhá 1 cm a každá další je o 1 cm delší. Délka řady v centimetrech se tedy rovná jejímu pořadovému číslu. Obdélníky jsou pouze v sudých řadách a každý je široký 2 cm, jak ukazuje obrázek. Počet obdélníků proto zjistíme vydělením délky řady dvěma.

Devět šedých obdélníků

Obdélníky se střídají: bílý, šedý, bílý, šedý. Devátý šedý obdélník je tedy 18. obdélníkem v řadě. Řada může obsahovat 18 obdélníků nebo ještě jeden bílý navíc, tedy 19 obdélníků. Už 20. obdélník by byl desátý šedý.

Nejvyšší pořadové číslo řady

Nejdelší vyhovující řada má 19 obdélníků, a je proto dlouhá 19 · 2 = 38 cm. Je to 38. řada. Ověříme: obsahuje 9 dvojic bílého a šedého obdélníku a na konci jeden bílý, tedy právě 9 šedých obdélníků. Další sudá řada, 40., už obsahuje 10 šedých obdélníků.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

38.

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.2

Obrazec na obrázku se postupně vytváří přidáváním dalších řad podle následujících pravidel:
- Liché řady obsahují pouze čtverce o straně délky 1 cm.
- Sudé řady obsahují pouze obdélníky s rozměry 1 cm a 2 cm.
- První řada obsahuje jeden čtverec a každá další řada je vždy o 1 cm delší než předchozí řada.
- Ve třetí a každé další řadě má každý druhý čtyřúhelník šedou barvu. Všechny ostatní čtyřúhelníky v obrazci jsou bílé.

Určete celkový počet bílých čtyřúhelníků (čtverců i obdélníků dohromady) v části obrazce obsahující pouze 29. a 30. řadu.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Bílé čtverce ve 29. řadě

První řada má délku 1 cm a každá další je o 1 cm delší. Ve 29. řadě je tedy 29 čtverců. Zleva se střídají bílé a šedé čtverce, první je bílý. Prvních 28 čtverců tvoří 14 dvojic, v každé je jeden bílý. Poslední čtverec je také bílý, takže bílých čtverců je $14 + 1 = 15$.

Bílé obdélníky ve 30. řadě

30. řada má délku 30 cm. Každý obdélník má vodorovnou stranu dlouhou 2 cm, takže v řadě je $30 : 2 = 15$ obdélníků. Prvních 14 tvoří 7 dvojic bílého a šedého obdélníku. Poslední obdélník je bílý, proto je bílých obdélníků $7 + 1 = 8$.

Celkový počet

Počty bílých čtverců a obdélníků sečteme: $15 + 8 = 23$. Ve 29. a 30. řadě je dohromady 23 bílých čtyřúhelníků.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

23 bílých čtyřúhelníků

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.3

Obrazec na obrázku se postupně vytváří přidáváním dalších řad podle následujících pravidel:
- Liché řady obsahují pouze čtverce o straně délky 1 cm.
- Sudé řady obsahují pouze obdélníky s rozměry 1 cm a 2 cm.
- První řada obsahuje jeden čtverec a každá další řada je vždy o 1 cm delší než předchozí řada.
- Ve třetí a každé další řadě má každý druhý čtyřúhelník šedou barvu. Všechny ostatní čtyřúhelníky v obrazci jsou bílé.

Vypočtěte poměr obsahu bílé plochy ku obsahu šedé plochy v části obrazce obsahující pouze 50. a 51. řadu.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Délka řad a střídání barev

První řada má délku 1 cm a každá další je o 1 cm delší. Proto má 50. řada délku 50 cm a 51. řada délku 51 cm. Podle obrázku je první díl v každé řadě bílý a dále se střídají šedé a bílé díly.

Obsahy v 50. řadě

Sudá 50. řada obsahuje obdélníky o rozměrech 1 cm a 2 cm. Je jich 50 : 2 = 25. Prvních 24 obdélníků tvoří 12 dvojic bílý–šedý, poslední obdélník je bílý. Bílých je tedy 13 a šedých 12. Každý má obsah 2 cm², takže bílá plocha má obsah 13 · 2 = 26 cm² a šedá 12 · 2 = 24 cm².

Obsahy v 51. řadě

Lichá 51. řada obsahuje 51 čtverců o obsahu 1 cm². Prvních 50 čtverců tvoří 25 dvojic bílý–šedý a poslední čtverec je bílý. Bílých čtverců je tedy 26 a šedých 25. Bílá plocha má obsah 26 cm² a šedá 25 cm².

Výsledný poměr

V obou řadách dohromady má bílá plocha obsah 26 + 26 = 52 cm² a šedá plocha 24 + 25 = 49 cm². Poměr obsahu bílé plochy ku obsahu šedé plochy je 52 : 49. Tento poměr již nelze zkrátit.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

52 : 49

Stav úlohy
2 body