Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 7. ročník

Podkategorie: Matematika 7. ročník — 1. náhradní termín 2025

31 úloh

Úloha 1

Vlak vyjel v poledne ze stanice a za každých 8 minut ujel 7 km.
Ve 12:20 vlak minul lom a ve 12:36 dojel na most přes řeku.

Určete v km vzdálenost, kterou ujel vlak od lomu k mostu.

Zobrazit odpověď

14 km

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čas jízdy

Nejdříve zjistíme, kolik minut jel vlak od lomu k mostu. Od 12:20 do 12:36 uplynulo 16 minut (protože 36 − 20 = 16).

Vzdálenost a čas

Víme, že za každých 8 minut vlak ujede 7 km. My hledáme vzdálenost, kterou ujede za 16 minut.

Výpočet vzdálenosti

Všimneme si, že 16 minut je přesně dvakrát více než 8 minut ($16 = 2 \cdot 8$).
Proto i ujetá vzdálenost bude dvakrát větší než 7 km:
$2 \cdot 7 = \mathbf{14}$ km

Výsledek

Vzdálenost od lomu k mostu je 14 km.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 2.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{1}{4} + (\frac{9}{10} - \frac{3}{5}) - (1 - \frac{1}{6}) : \frac{5}{3} =$

Zobrazit odpověď

1/20 a správný postup řešení

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet závorek

Nejdříve vypočítáme hodnoty v obou závorkách. V první závorce převedeme zlomky na společného jmenovatele (10).
První závorka: $\frac{9}{10} - \frac{3}{5} = \frac{9}{10} - \frac{6}{10} = \frac{3}{10}$
Druhá závorka: $1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Dělení zlomků

Nyní vypočítáme podíl za druhou závorkou. Dělit zlomkem znamená násobit jeho převrácenou hodnotou. Před násobením můžeme krátit.
$\frac{5}{6} : \frac{5}{3} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$

Celkový výpočet

Dosadíme výsledky zpět do původního výrazu a sečteme/odečteme zlomky. Společným jmenovatelem pro čísla 4, 10 a 2 je číslo 20.
$\frac{1}{4} + \frac{3}{10} - \frac{1}{2} = \frac{5}{20} + \frac{6}{20} - \frac{10}{20} = \frac{5 + 6 - 10}{20} = \frac{1}{20}$

Závěr

Výsledný zlomek v základním tvaru je $\frac{1}{20}$.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 2.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}}{\frac{27}{34} \cdot \left(\frac{2}{3} - \frac{9}{5}\right)} =$

Zobrazit odpověď

-2/5 a správný postup řešení

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Vynásobíme zlomky v čitateli složeného zlomku: $\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$

Závorka ve jmenovateli

Ve jmenovateli má přednost závorka. Zlomky v závorce převedeme na společného jmenovatele $15$ a odečteme: $\frac{2}{3} - \frac{9}{5} = \frac{10}{15} - \frac{27}{15} = -\frac{17}{15}$

Výpočet jmenovatele

Výsledek závorky vynásobíme zlomkem $\frac{27}{34}$. Před násobením zlomky křížem zkrátíme – čísla $27$ a $15$ zkrátíme třemi, čísla $34$ a $17$ zkrátíme sedmnácti: $\frac{27}{34} \cdot \left(-\frac{17}{15}\right) = \frac{9}{2} \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = -\frac{9}{10}$

Dokončení výpočtu

Složený zlomek upravíme tak, že čitatel vydělíme jmenovatelem. Dělení zlomkem převedeme na násobení převráceným zlomkem: $\frac{\frac{9}{25}}{-\frac{9}{10}} = \frac{9}{25} : \left(-\frac{9}{10}\right) = \frac{9}{25} \cdot \left(-\frac{10}{9}\right)$

Zlomky opět křížem zkrátíme. Devítky se zkrátí navzájem, čísla $25$ a $10$ zkrátíme pěti: $\frac{1}{5} \cdot \left(-\frac{2}{1}\right) = -\frac{2}{5}$
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 3.1

Stuhu jsme beze zbytku rozstříhali na 20 dílů dvou různých délek – kratší díly po 20 cm a delší po 30 cm. Kratších dílů bylo o třetinu méně než delších dílů.

Vypočtěte kolik delších dílů jsme ze stuhy nastříhali.

Zobrazit odpověď

12 delších dílů

1 bod
Úloha 3.2

Stuhu jsme beze zbytku rozstříhali na 20 dílů dvou různých délek – kratší díly po 20 cm a delší po 30 cm. Kratších dílů bylo o třetinu méně než delších dílů.

Vypočtěte kolik cm měřila celá stuha, než jsme ji začali stříhat.

Zobrazit odpověď

520 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet dílů

Víme, že celkem máme 20 dílů. Kratších dílů bylo o třetinu méně než delších dílů. Pokud si počet delších dílů představíme jako celek rozdělený na 3 stejné části (třetiny), tak kratších dílů byly 2 tyto části. Dohromady tedy máme $3 + 2 = 5$ stejných částí.

Výpočet počtu kusů

Celkový počet 20 dílů rozdělíme na těchto 5 stejných částí: $20 \div 5 = 4$. Jedna část tedy odpovídá 4 kusům.
  • Delších dílů bylo $3 \cdot 4 = 12$ kusů.
  • Kratších dílů bylo $2 \cdot 4 = 8$ kusů.
(Kontrola: $12 + 8 = 20$, což souhlasí.)

Délka všech dílů

Nyní vypočítáme délku jednotlivých skupin dílů:
  • 12 delších dílů po 30 cm: $12 \cdot 30 = 360\text{ cm}$
  • 8 kratších dílů po 20 cm: $8 \cdot 20 = 160\text{ cm}$

Celková délka

Celkovou délku stuhy zjistíme sečtením délek všech dílů: $360 + 160 = 520\text{ cm}$.

Celá stuha měřila 520 cm.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 4.1

Adam pravidelně kupuje pro psy mražené mleté maso v baleních po 1,5 kg.
Dnes měl v peněžence o 14 korun víc, než potřeboval minule na nákup 9 kg masa.
Maso však bylo zdraženo, a tak mu dnes na nákup stejného množství masa 40 korun chybělo.
Koupil proto o 1 balení masa méně a v peněžence mu zbylo 50 korun.

Vypočtěte kolik balení masa Adam dnes koupil.

Zobrazit odpověď

5 balení masa

1 bod
Úloha 4.2

Adam pravidelně kupuje pro psy mražené mleté maso v baleních po 1,5 kg.
Dnes měl v peněžence o 14 korun víc, než potřeboval minule na nákup 9 kg masa.
Maso však bylo zdraženo, a tak mu dnes na nákup stejného množství masa 40 korun chybělo.
Koupil proto o 1 balení masa méně a v peněžence mu zbylo 50 korun.

Vypočtěte kolik korun dnes stálo jedno balení masa.

Zobrazit odpověď

90 korun

1 bod
Úloha 4.3

Adam pravidelně kupuje pro psy mražené mleté maso v baleních po 1,5 kg.
Dnes měl v peněžence o 14 korun víc, než potřeboval minule na nákup 9 kg masa.
Maso však bylo zdraženo, a tak mu dnes na nákup stejného množství masa 40 korun chybělo.
Koupil proto o 1 balení masa méně a v peněžence mu zbylo 50 korun.

Vypočtěte kolik korun si dnes Adam vzal na nákup masa.

Zobrazit odpověď

500 korun

1 bod
Úloha 4.4

Adam pravidelně kupuje pro psy mražené mleté maso v baleních po 1,5 kg.
Dnes měl v peněžence o 14 korun víc, než potřeboval minule na nákup 9 kg masa.
Maso však bylo zdraženo, a tak mu dnes na nákup stejného množství masa 40 korun chybělo.
Koupil proto o 1 balení masa méně a v peněžence mu zbylo 50 korun.

Vypočtěte o kolik korun bylo dnes jedno balení masa dražší než minule.

Zobrazit odpověď

o 9 korun

1 bod
Úloha 5.1

Cyklista jel část své trasy po rovině, část klesal a zbytek trasy stoupal.
Po rovině ujel třetinu délky celé trasy, klesání bylo pětkrát kratší než celá trasa.
Stoupání bylo na 14 km trasy a cyklista v něm za každou minutu ujel 280 m.

Vypočtěte v km délku celé cyklistovy trasy.

Zobrazit odpověď

30 km

2 body
Úloha 5.2

Cyklista jel část své trasy po rovině, část klesal a zbytek trasy stoupal.
Po rovině ujel třetinu délky celé trasy, klesání bylo pětkrát kratší než celá trasa.
Stoupání bylo na 14 km trasy a cyklista v něm za každou minutu ujel 280 m.

Vypočtěte, kolik minut cyklista na své trase stoupal.

Zobrazit odpověď

50 minut

1 bod
Úloha 6.1

Písmena K, L představují dvě různé číslice.
V zápise součtu dvou trojciferných čísel se písmena nahradí číslicemi a místo hvězdiček se zapíšou chybějící číslice součtu tak, aby byl výpočet správný.
$ \displaystyle \begin{array}{rrrr} & K & L & L \\ & K & L & K \\ \hline \ast & \ast & 1 & 1 \end{array} $

Určete číslice, kterými se nahradí písmena K, L, a zapište je v tomto pořadí.

Zobrazit odpověď

6, 5

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Sloupeček úplně vpravo

Začneme sčítat zprava jako při běžném sčítání pod sebou. V prvním sloupečku sčítáme písmena $L$ a $K$. Výsledek pod čarou má na konci číslici $1$.

Součet dvou jednociferných čísel může končit jedničkou jen tehdy, když je výsledek buď $1$, nebo $11$.
  • Pokud by byl součet $1$, pak by číslice $K$ a $L$ musely být $0$ a $1$. Zkusíme to v dalším sloupečku: pokud by $L = 0$, pak $0 + 0 = 0$, ale pod čarou má být $1$. Pokud by $L = 1$, pak $1 + 1 = 2$, ale pod čarou má být zase $1$. Součet tedy nemůže být $1$.
  • Jediná možnost je, že součet $L + K = 11$. Dále si tedy pamatujeme $1$ do dalšího sloupečku.

Prostřední sloupeček

Přesuneme se k prostřednímu sloupečku. Zde sčítáme dvě stejná písmena $L + L$ a navíc musíme přičíst jedničku, kterou si pamatujeme z předchozího kroku.

Součet $L + L + 1$ má pod čarou také končit jedničkou. To znamená, že $L + L$ samotné musí končit nulou. Součet dvou stejných číslic končí nulou tehdy, když obě číslice jsou buď $0$, nebo $5$.
  • Kdyby bylo $L = 0$, pak by v prvním sloupečku muselo platit $0 + K = 11$. Číslice ale může být nejvýše $9$, proto $L$ nesmí být nula.
  • Musí tedy platit, že $L = 5$. V prostředním sloupečku tak sečteme $5 + 5 + 1 = 11$. Jedničku napíšeme pod čáru a jedničku si opět pamatujeme. Tím jsme si potvrdili, že vše sedí.

Určení číslice K a kontrola

Z prvního kroku víme, že $L + K = 11$. Nyní už víme, že $L = 5$.

Dosadíme a spočítáme: $5 + K = 11$. Z toho snadno určíme, že $K = 6$.

Pro kontrolu spočítáme celý příklad: $\displaystyle \begin{array}{rrrr} & 6 & 5 & 5 \\ & 6 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 3 & 1 & 1 \end{array}$

Výsledek $1311$ má na konci dvě jedničky, což přesně odpovídá zadání $**11$. Měli jsme zapsat číslice pro $K$ a $L$ v tomto pořadí, takže náš výsledek je $6, 5$.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 6.2

Písmena S, T, U představují tři navzájem různé číslice.
V zápise součtu tří dvouciferných čísel se písmena nahradí číslicemi tak, aby byl výpočet správný.
$ \displaystyle \begin{array}{rrr} & S & T \\ & S & T \\ & T & U \\ \hline 2 & 1 & 1 \end{array} $

Určete číslice, kterými se nahradí písmena S, T, U, a zapište je v tomto pořadí.

Najděte všechna tři řešení.

Zobrazit odpověď

9, 2, 7; 8, 4, 3; 5, 9, 3

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor sloupečků

Sčítáme tři dvouciferná čísla pod sebou. Začneme levým sloupečkem (desítkami), abychom omezili možnosti. V levém sloupečku sčítáme dvě číslice $S$ a jednu číslici $T$. Nesmíme ale zapomenout na to, že z pravého sloupečku (z jednotek) se nám může převést nějaké číslo – takzvaný přenos. V pravém sloupečku sčítáme $T+T+U$, a protože největší jednociferné číslo je 9, maximální součet je $9+9+9=27$. Přenos do desítek tedy může být 0, 1 nebo 2. Součet v desítkách dává dohromady $21$. Tedy $S + S + T + \text{přenos} = 21$. Z toho poznáme, že číslice $S$ musí být dostatečně velká. Kdyby bylo např. $S=4$, tak $4+4 = 8$ a i s největším možným $T=9$ a přenosem $2$ bychom se dostali nejvýše na $19$. Číslice $S$ tedy musí být 5, 6, 7, 8 nebo 9.

Zkoušení možností pro S = 5 a S = 6

Budeme postupně zkoušet možnosti pro písmeno $S$.
  • Pokud $S = 5$: Součet desítek je $5 + 5 + T + \text{přenos} = 21$. Abychom se dostali na 21, musí chybět 11. To znamená, že musí být $T = 9$ a přenos přesně 2. V pravém sloupečku (jednotky) pak počítáme $T+T+U$, tedy $9+9+U = 18+U$. Výsledek má končit na jedničku a jít přes 20 (kvůli přenosu 2), musí to být tedy 21. Z rovnice $18+U = 21$ nám vychází $U = 3$. Zkontrolujeme číslice $5, 9, 3$ – jsou různé a výpočet $59 + 59 + 93 = 211$ platí. Máme první řešení.
  • Pokud $S = 6$: V desítkách máme $6+6+T+\text{přenos} = 21$, takže $12+T+\text{přenos} = 21$, chybí 9. Pokud by byl přenos $2$, muselo by být $T=7$. V jednotkách by pak bylo $7+7+U = 14+U$, což by se muselo rovnat 21 (protože přenos je 2). Pak by $U=7$, ale my hledáme různé číslice, $T$ a $U$ nesmí být stejné. Pokud by byl přenos $1$, tak $T=8$. V jednotkách $8+8+U = 16+U$. Aby výsledek končil na jedničku a přenos byl jen 1, musel by součet být 11, což nepůjde (protože $16+U$ je více než 11). Pro $S=6$ tedy řešení nenajdeme.

Zkoušení možností pro S = 7, 8 a 9

  • Pokud $S = 7$: V desítkách $7+7+T+\text{přenos} = 21$, z čehož $14+T+\text{přenos}=21$, takže $T+\text{přenos} = 7$. Pokud by byl přenos $1$, bylo by $T=6$. V jednotkách $6+6+U=12+U$, chtěli bychom součet 11, což nejde. Pokud by byl přenos 2, tak $T=5$. V jednotkách $5+5+U=10+U$, chtěli bychom součet 21. Pak by $U=11$, ale to není jednociferné číslo.
  • Pokud $S = 8$: V desítkách $8+8+T+\text{přenos} = 21$, z čehož $16+T+\text{přenos} = 21$, takže $T+\text{přenos} = 5$. Zkusme přenos $1$. Pak $T=4$. V jednotkách budeme počítat $4+4+U = 8+U$. Součet má končit na 1 s přenosem 1, má tedy být 11. $8+U = 11$, z toho plyne $U = 3$. Číslice $8, 4, 3$ jsou různé a zkouška $84+84+43 = 211$ vychází. Máme druhé řešení.
  • Pokud $S = 9$: V desítkách $9+9+T+\text{přenos} = 21$, z čehož $18+T+\text{přenos} = 21$, takže $T+\text{přenos} = 3$. Zkusíme opět přenos $1$. Pak by $T=2$. V jednotkách budeme počítat $2+2+U = 4+U$, součet má být 11 (aby končil na 1 s přenosem 1). Pak $U = 7$. Číslice $9, 2, 7$ jsou různé a zkouška $92+92+27 = 211$ vychází. Máme třetí řešení.

Závěr

Podařilo se nám najít všechny tři hledané trojice číslic. Písmena $S, T, U$ nahradíme číslicemi takto:
  • první možnost: $5, 9, 3$
  • druhá možnost: $8, 4, 3$
  • třetí možnost: $9, 2, 7$
Pomohlo vám toto řešení?
3 body
Úloha 7.1

Šestiúhelník na obrázku je rozdělen dvěma úhlopříčkami na dva bílé čtverce a dva shodné tmavé trojúhelníky.
Poměr délek stran velkého a malého čtverce je 4 : 3 a obvody obou čtverců se liší o 12 cm.
Obvod jednoho tmavého trojúhelníku je stejný jako obvod malého čtverce.

Vypočtěte v cm délku strany malého čtverce.

Zobrazit odpověď

9 cm a správný postup řešení

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza poměru a obvodů

Víme, že poměr délek stran velkého a malého čtverce je $4 : 3$. Protože obvod čtverce je čtyřnásobkem jeho strany, bude i poměr jejich obvodů stejný, tedy $4 : 3$. Rozdíl v poměru je $4 - 3 = 1$ dílek.

Výpočet hodnoty jednoho dílku

Zadání říká, že obvody obou čtverců se liší o $12$ cm. Protože tento rozdíl odpovídá $1$ dílku v našem poměru, víme, že $1$ dílek $= 12$ cm (rozdíl obvodů).

Určení obvodu malého čtverce

Malý čtverec má obvod odpovídající $3$ dílkům. Výpočet je tedy:
$3 \cdot 12 \text{ cm} = 36 \text{ cm}$.

Výpočet délky strany malého čtverce

Čtverec má čtyři stejně dlouhé strany. Délku jedné strany malého čtverce zjistíme tak, že jeho obvod vydělíme čtyřmi:
$36 \text{ cm} : 4 = 9 \text{ cm}$.

Závěr

Délka strany malého čtverce je $9$ cm.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 7.2

Šestiúhelník na obrázku je rozdělen dvěma úhlopříčkami na dva bílé čtverce a dva shodné tmavé trojúhelníky.
Poměr délek stran velkého a malého čtverce je 4 : 3 a obvody obou čtverců se liší o 12 cm.
Obvod jednoho tmavého trojúhelníku je stejný jako obvod malého čtverce.

Vypočtěte v cm2 obsah šestiúhelníku.

Zobrazit odpověď

333 cm² a správný postup řešení

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet stran čtverců

Poměr délek stran velkého a malého čtverce je $4 : 3$. Označme si délku strany velkého čtverce jako $4x$ a malého jako $3x$. Jejich obvody jsou potom $16x$ a $12x$. Rozdíl obvodů je 12 cm, tedy:
$16x - 12x = 12$
$4x = 12$
$x = 3$
Strana velkého čtverce je $4 \cdot 3 = 12$ cm, strana malého čtverce je $3 \cdot 3 = 9$ cm.

Krok 2: Rozměry tmavých trojúhelníků

Tmavé trojúhelníky jsou shodné a pravoúhlé. Jejich odvěsny odpovídají stranám čtverců, tedy 12 cm a 9 cm. Přeponu $c$ vypočítáme pomocí Pythagorovy věty:
$c = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ cm.
Obvod jednoho tmavého trojúhelníku je $12 + 9 + 15 = 36$ cm. To souhlasí se zadáním, protože obvod malého čtverce je také $4 \cdot 9 = 36$ cm.

Krok 3: Výpočet obsahu šestiúhelníku

Šestiúhelník se skládá ze dvou bílých čtverců a dvou tmavých trojúhelníků. Vypočítáme obsahy jednotlivých částí:
Obsah velkého čtverce: $12 \cdot 12 = 144$ cm2
Obsah malého čtverce: $9 \cdot 9 = 81$ cm2
Obsah jednoho tmavého trojúhelníku: $\frac{12 \cdot 9}{2} = 54$ cm2

Krok 4: Celkový obsah

Celkový obsah šestiúhelníku získáme součtem všech částí:
$S = 144 + 81 + 2 \cdot 54 = 225 + 108 = 333$ cm2
Výsledný obsah šestiúhelníku je 333 cm2.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 7.3

Šestiúhelník na obrázku je rozdělen dvěma úhlopříčkami na dva bílé čtverce a dva shodné tmavé trojúhelníky.
Poměr délek stran velkého a malého čtverce je 4 : 3 a obvody obou čtverců se liší o 12 cm.
Obvod jednoho tmavého trojúhelníku je stejný jako obvod malého čtverce.

Určete, kolikrát větší je obvod šestiúhelníku než obvod malého čtverce.

Zobrazit odpověď

2 krát a správný postup řešení

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet délek stran čtverců

Ze zadání víme, že poměr délek stran velkého a malého čtverce je $4 : 3$. Označíme-li stranu velkého čtverce jako $a$ a stranu malého čtverce jako $b$, můžeme psát $a = 4x$ a $b = 3x$. Obvody čtverců se liší o 12 cm, tedy: $4a - 4b = 12$ $4 \cdot 4x - 4 \cdot 3x = 12$ $16x - 12x = 12$ $4x = 12$ $x = 3\text{ cm}$ Strana velkého čtverce má délku $a = 4 \cdot 3 = 12\text{ cm}$ a strana malého čtverce $b = 3 \cdot 3 = 9\text{ cm}$. Obvod malého čtverce je $O_b = 4 \cdot 9 = 36\text{ cm}$.

Krok 2: Výpočet délek stran trojúhelníků

Šestiúhelník je rozdělen na dva čtverce a dva shodné trojúhelníky. Každý trojúhelník má dvě strany společné se stranami čtverců (jednu délky $a = 12\text{ cm}$ a druhou délky $b = 9\text{ cm}$). Třetí strana $c$ je vnější stranou šestiúhelníku. Víme, že obvod trojúhelníku je stejný jako obvod malého čtverce (36 cm): $a + b + c = 36$ $12 + 9 + c = 36$ $21 + c = 36$ $c = 15\text{ cm}$

Krok 3: Výpočet obvodu šestiúhelníku

Obvod šestiúhelníku se skládá ze dvou vnějších stran velkého čtverce, dvou vnějších stran malého čtverce a dvou vnějších stran $c$, které patří trojúhelníkům: $O_{š} = 2 \cdot a + 2 \cdot b + 2 \cdot c$ $O_{š} = 2 \cdot 12 + 2 \cdot 9 + 2 \cdot 15 = 24 + 18 + 30 = 72\text{ cm}$

Krok 4: Porovnání obvodů

Nyní určíme, kolikrát větší je obvod šestiúhelníku ($O_{š} = 72\text{ cm}$) než obvod malého čtverce ($O_b = 36\text{ cm}$): $72 : 36 = 2$ Obvod šestiúhelníku je 2krát větší než obvod malého čtverce.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 8

V rovině leží body B, M a přímka q.

Bod B je vrchol rovnoramenného trojúhelníku ABC se základnou AB.
Úsečka BM je jednou z výšek tohoto trojúhelníku a bod M leží na straně AC.
Na přímce q leží vrchol A trojúhelníku ABC.

Sestrojte vrcholy A, C trojúhelníku ABC, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte.

Zobrazit odpověď
Odpověď
3 body
Úloha 9

V rovině leží body A, D, M.

Body A, D jsou vrcholy pravoúhlého lichoběžníku ABCD.
Na polopřímce DM leží vrchol B tohoto lichoběžníku.
Přitom délka strany AB je stejná jako délka úsečky DM.

Sestrojte vrcholy B, C lichoběžníku ABCD, označte je písmeny a lichoběžník narýsujte.

Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď
Odpověď
3 body
Úloha 10.1
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Rodný dům slavného spisovatele je otevřen pouze v letní sezoně od května do září.
V pokladně zaznamenávají počet prodaných vstupenek dětským a dospělým návštěvníkům.
V grafu je uvedena návštěvnost v jedné sezoně.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V prvních třech měsících sezony bylo mezi návštěvníky rodného domu třikrát více dospělých než dětí.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení hodnot z grafu

První tři měsíce sezony jsou květen, červen a červenec. Z grafu vyčteme počty prodaných vstupenek pro děti (tmavě šedý sloupec) a dospělé (světle šedý sloupec) v těchto měsících:
  • Květen: 30 dětí a 80 dospělých
  • Červen: 10 dětí a 60 dospělých
  • Červenec: 30 dětí a 70 dospělých

Výpočet celkového počtu návštěvníků

Sečteme počty dětí a dospělých za toto období zvlášť:
  • Děti celkem: $30 + 10 + 30 = 70$
  • Dospělí celkem: $80 + 60 + 70 = 210$

Porovnání počtů

Nyní ověříme, zda je dospělých třikrát více než dětí. Vynásobíme počet dětí třemi:
$70 \cdot 3 = 210$
Počet dospělých (210) přesně odpovídá trojnásobku počtu dětí. Tvrzení je pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 10.2
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Rodný dům slavného spisovatele je otevřen pouze v letní sezoně od května do září.
V pokladně zaznamenávají počet prodaných vstupenek dětským a dospělým návštěvníkům.
V grafu je uvedena návštěvnost v jedné sezoně.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Za celou sezonu bylo dospělých návštěvníků rodného domu průměrně 80 za měsíc.

Zobrazit odpověď

Ano

4 body za skupinu
Úloha 10.3
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Rodný dům slavného spisovatele je otevřen pouze v letní sezoně od května do září.
V pokladně zaznamenávají počet prodaných vstupenek dětským a dospělým návštěvníkům.
V grafu je uvedena návštěvnost v jedné sezoně.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Za celou sezonu tvořily děti 40 % všech návštěvníků rodného domu.

Zobrazit odpověď

Ne

4 body za skupinu
Úloha 11

Počet všech žáků učiliště je větší než 150 a menší než 290.
Když jsme rozdělili všechny žáky učiliště do skupin po 24 žácích, zbylo 5 žáků.
Při rozdělení všech žáků do skupin po 36 opět zbylo 5 žáků.

Kolik žáků je na učilišti?

  • A) méně než 170 žáků
  • D) alespoň 220, ale méně než 250 žáků
  • B) alespoň 170, ale méně než 190 žáků
  • E) více než 250 žáků
  • C) alespoň 190, ale méně než 220 žáků
Zobrazit odpověď

D

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hledání společného násobku

Ze zadání víme, že když počet žáků rozdělíme po 24 nebo po 36, vždy zbude 5 žáků. To znamená, že pokud bychom od celkového počtu žáků odečetli 5, dostaneme číslo, které je beze zbytku dělitelné oběma čísly (24 i 36). Hledáme tedy společný násobek čísel 24 a 36.

Nejmenší společný násobek

Vypíšeme si násobky většího čísla 36 a budeme hledat první, který je dělitelný i číslem 24:
• 36 (není dělitelné 24)
• 72 (je dělitelné 24, protože $72 = 3 \cdot 24$)
Nejmenší společný násobek čísel 24 a 36 je 72.

Hledání v rozmezí

Všechny společné násobky jsou násobky čísla 72. Jsou to: 72, 144, 216, 288, 360 atd. Skutečný počet žáků je o 5 větší. Možné počty žáků jsou:
• $72 + 5 = 77$
• $144 + 5 = 149$
• $216 + 5 = 221$
• $288 + 5 = 293$

Určení výsledku

V zadání je uvedeno, že počet žáků je větší než 150 a menší než 290. Této podmínce vyhovuje pouze číslo 221. Číslo 221 leží v rozmezí 220 až 249, což odpovídá možnosti D.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 12

Ve městě bylo třeba vydláždit náměstí.
Radní města chtěli původně najmout 6 dlaždičů, kteří by společně vydláždili celé náměstí za 30 dní. Náměstí však bylo třeba otevřít dříve, proto radní najali raději o 9 dlaždičů více.
Celé náměstí pak vydláždili všichni najatí dlaždiči společně.
Každý dlaždič vydláždí za den stejně velkou plochu.

Za kolik dní bylo náměstí vydlážděno?

  • A) za 2 dny
  • D) za 18 dní
  • B) za 10 dní
  • E) za 20 dní
  • C) za 12 dní
Zobrazit odpověď

C

2 body
Úloha 13

Na každé stěně krychle je vždy jedna úhlopříčka celá přelepena pěti shodnými šedými čtverci tak, že sousední čtverce mají právě jeden společný vrchol (viz obrázek).
Nepolepená část každé stěny je bílá.
Součet obsahů všech bílých nepolepených ploch na povrchu krychle je 480 cm².

Jakou délku má hrana krychle?

  • A) méně než 10 cm
  • D) 15 cm
  • B) 10 cm
  • E) 20 cm
  • C) 12 cm
Zobrazit odpověď

B

2 body
Úloha 14

V obdélníku ABCD leží na straně CD bod X.
Přímka o1 je osa úhlu BAX a přímka o2 je osa úhlu AXB.
Velikosti některých úhlů jsou vyznačeny v obrázku.

Jaká je velikost úhlu 𝛼?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní).

  • A) 22°
  • D) 40°
  • B) 28°
  • E) jiná velikost
  • C) 34°
Zobrazit odpověď

C

2 body
Úloha 15.1

Prázdný kbelík se zcela naplní přesně 50 hrnky borůvek.
Z plného kbelíku jsme odsypali 46 % borůvek.

Kolik hrnků borůvek zbývá v kbelíku?

  • A) 18 hrnků
  • D) 23 hrnků
  • B) 20 hrnků
  • E) 25 hrnků
  • C) 21 hrnků
  • F) více než 25 hrnků
Zobrazit odpověď

F

2 body
Úloha 15.2

Hrnčíři Petr, Radim, Slávek a Tomáš vyrobili dohromady 240 hrnků.
Petr vyrobil o polovinu méně hrnků než Radim.
Slávek i Tomáš vyrobili každý o 25 % hrnků méně než Radim.

O kolik hrnků více vyrobil Tomáš než Petr?

  • A) 18 hrnků
  • D) 23 hrnků
  • B) 20 hrnků
  • E) 25 hrnků
  • C) 21 hrnků
  • F) více než 25 hrnků
Zobrazit odpověď

B

2 body
Úloha 15.3

Jitka s maminkou a babičkou trhaly na zahradě rybíz do stejně velkých hrnků.
Maminka natrhala dvakrát více rybízu než Jitka.
Babička natrhala o polovinu více rybízu než Jitka.
Přitom babička natrhala o 2 hrnky rybízu méně než maminka.

Kolik hrnků rybízu natrhaly všechny tři dohromady?

  • A) 18 hrnků
  • D) 23 hrnků
  • B) 20 hrnků
  • E) 25 hrnků
  • C) 21 hrnků
  • F) více než 25 hrnků
Zobrazit odpověď

A

2 body
Úloha 16.1

Vytváříme obrazce tvaru pravidelného šestiúhelníku složené z bílých a šedých shodných rovnostranných trojúhelníků.
První obrazec se skládá ze 3 bílých a 3 šedých trojúhelníků a každý další obrazec vznikne přidáním jednoho pásu trojúhelníků okolo předchozího obrazce (viz obrázek).

Vypočtěte, kolik trojúhelníků (bílých i šedých dohromady) obsahuje poslední přidaný pás 4. obrazce.

Zobrazit odpověď

42 trojúhelníků

1 bod
Úloha 16.2

Vytváříme obrazce tvaru pravidelného šestiúhelníku složené z bílých a šedých shodných rovnostranných trojúhelníků.
První obrazec se skládá ze 3 bílých a 3 šedých trojúhelníků a každý další obrazec vznikne přidáním jednoho pásu trojúhelníků okolo předchozího obrazce (viz obrázek).

Vypočtěte, kolik šedých trojúhelníků obsahuje celý 6. obrazec.

Zobrazit odpověď

108 šedých trojúhelníků

1 bod
Úloha 16.3

Vytváříme obrazce tvaru pravidelného šestiúhelníku složené z bílých a šedých shodných rovnostranných trojúhelníků.
První obrazec se skládá ze 3 bílých a 3 šedých trojúhelníků a každý další obrazec vznikne přidáním jednoho pásu trojúhelníků okolo předchozího obrazce (viz obrázek).

Určete, kolikátý obrazec má v posledním přidaném pásu 225 šedých trojúhelníků.

Zobrazit odpověď

ve 38. obrazci

2 body