Načítání…
Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 7. ročník

Podkategorie: Matematika 7. ročník — 1. náhradní termín 2025

31 úloh

PDF+Klíč
Úloha 1

Vlak vyjel v poledne ze stanice a za každých 8 minut ujel 7 km.
Ve 12:20 vlak minul lom a ve 12:36 dojel na most přes řeku.

Určete v km vzdálenost, kterou ujel vlak od lomu k mostu.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čas jízdy

Nejdříve zjistíme, kolik minut jel vlak od lomu k mostu. Od 12:20 do 12:36 uplynulo 16 minut (protože 36 − 20 = 16).

Vzdálenost a čas

Víme, že za každých 8 minut vlak ujede 7 km. My hledáme vzdálenost, kterou ujede za 16 minut.

Výpočet vzdálenosti

Všimneme si, že 16 minut je přesně dvakrát více než 8 minut ($16 = 2 \cdot 8$).
Proto i ujetá vzdálenost bude dvakrát větší než 7 km:
$2 \cdot 7 = \mathbf{14}$ km

Výsledek

Vzdálenost od lomu k mostu je 14 km.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

14 km

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{1}{4} + (\frac{9}{10} - \frac{3}{5}) - (1 - \frac{1}{6}) : \frac{5}{3} =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet závorek

Nejdříve vypočítáme hodnoty v obou závorkách. V první závorce převedeme zlomky na společného jmenovatele (10).
První závorka: $\frac{9}{10} - \frac{3}{5} = \frac{9}{10} - \frac{6}{10} = \frac{3}{10}$
Druhá závorka: $1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Dělení zlomků

Nyní vypočítáme podíl za druhou závorkou. Dělit zlomkem znamená násobit jeho převrácenou hodnotou. Před násobením můžeme krátit.
$\frac{5}{6} : \frac{5}{3} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$

Celkový výpočet

Dosadíme výsledky zpět do původního výrazu a sečteme/odečteme zlomky. Společným jmenovatelem pro čísla 4, 10 a 2 je číslo 20.
$\frac{1}{4} + \frac{3}{10} - \frac{1}{2} = \frac{5}{20} + \frac{6}{20} - \frac{10}{20} = \frac{5 + 6 - 10}{20} = \frac{1}{20}$

Závěr

Výsledný zlomek v základním tvaru je $\frac{1}{20}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1/20 a správný postup řešení

Stav úlohy
2 body
Úloha 2.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}}{\frac{27}{34} \cdot \left(\frac{2}{3} - \frac{9}{5}\right)} =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Vynásobíme zlomky v čitateli složeného zlomku:
$\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$

Závorka ve jmenovateli

Ve jmenovateli má přednost závorka. Zlomky v závorce převedeme na společného jmenovatele $15$ a odečteme:
$\frac{2}{3} - \frac{9}{5} = \frac{10}{15} - \frac{27}{15} = -\frac{17}{15}$

Výpočet jmenovatele

Výsledek závorky vynásobíme zlomkem $\frac{27}{34}$. Před násobením zlomky křížem zkrátíme – čísla $27$ a $15$ zkrátíme třemi, čísla $34$ a $17$ zkrátíme sedmnácti:
$\frac{27}{34} \cdot \left(-\frac{17}{15}\right) = \frac{9}{2} \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = -\frac{9}{10}$

Dokončení výpočtu

Složený zlomek upravíme tak, že čitatel vydělíme jmenovatelem. Dělení zlomkem převedeme na násobení převráceným zlomkem:
$\frac{\frac{9}{25}}{-\frac{9}{10}} = \frac{9}{25} : \left(-\frac{9}{10}\right) = \frac{9}{25} \cdot \left(-\frac{10}{9}\right)$

Zlomky opět křížem zkrátíme. Devítky se zkrátí navzájem, čísla $25$ a $10$ zkrátíme pěti:
$\frac{1}{5} \cdot \left(-\frac{2}{1}\right) = -\frac{2}{5}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-2/5 a správný postup řešení

Stav úlohy
2 body
Úloha 3.1

Stuhu jsme beze zbytku rozstříhali na 20 dílů dvou různých délek – kratší díly po 20 cm a delší po 30 cm. Kratších dílů bylo o třetinu méně než delších dílů.

Vypočtěte kolik delších dílů jsme ze stuhy nastříhali.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Porovnání počtu dílů

Kratších dílů bylo o třetinu méně než delších. Když počet delších dílů rozdělíme na 3 stejné skupiny, počet kratších dílů odpovídá 2 takovým skupinám. Dohromady tedy máme 3 + 2 = 5 stejně početných skupin.

Rozdělení celkového počtu

Celkem jsme nastříhali 20 dílů. Na jednu skupinu připadá 20 : 5 = 4 díly. Delší díly tvoří 3 skupiny, takže jich je 3 · 4 = 12.

Výsledek a kontrola

Nastříhali jsme 12 delších dílů. Kratších dílů bylo 20 − 12 = 8. Třetina z 12 je 4 a 12 − 4 = 8, takže kratších dílů je opravdu o třetinu méně.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

12 delších dílů

Stav úlohy
1 bod
Úloha 3.2

Stuhu jsme beze zbytku rozstříhali na 20 dílů dvou různých délek – kratší díly po 20 cm a delší po 30 cm. Kratších dílů bylo o třetinu méně než delších dílů.

Vypočtěte kolik cm měřila celá stuha, než jsme ji začali stříhat.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet dílů

Víme, že celkem máme 20 dílů. Kratších dílů bylo o třetinu méně než delších dílů. Pokud si počet delších dílů představíme jako celek rozdělený na 3 stejné části (třetiny), tak kratších dílů byly 2 tyto části. Dohromady tedy máme $3 + 2 = 5$ stejných částí.

Výpočet počtu kusů

Celkový počet 20 dílů rozdělíme na těchto 5 stejných částí: $20 \div 5 = 4$. Jedna část tedy odpovídá 4 kusům.
  • Delších dílů bylo $3 \cdot 4 = 12$ kusů.
  • Kratších dílů bylo $2 \cdot 4 = 8$ kusů.
(Kontrola: $12 + 8 = 20$, což souhlasí.)

Délka všech dílů

Nyní vypočítáme délku jednotlivých skupin dílů:
  • 12 delších dílů po 30 cm: $12 \cdot 30 = 360\text{ cm}$
  • 8 kratších dílů po 20 cm: $8 \cdot 20 = 160\text{ cm}$

Celková délka

Celkovou délku stuhy zjistíme sečtením délek všech dílů: $360 + 160 = 520\text{ cm}$.

Celá stuha měřila 520 cm.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

520 cm

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.1

Adam pravidelně kupuje pro psy mražené mleté maso v baleních po 1,5 kg.
Dnes měl v peněžence o 14 korun víc, než potřeboval minule na nákup 9 kg masa.
Maso však bylo zdraženo, a tak mu dnes na nákup stejného množství masa 40 korun chybělo.
Koupil proto o 1 balení masa méně a v peněžence mu zbylo 50 korun.

Vypočtěte kolik balení masa Adam dnes koupil.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet balení pro 9 kg masa

Jedno balení obsahuje 1,5 kg masa. Na nákup 9 kg je tedy potřeba 9 : 1,5 = 6 balení. Ověříme: 6 · 1,5 = 9 kg.

Dnešní nákup

Adam dnes koupil o 1 balení méně, tedy 6 − 1 = 5 balení. Adam dnes koupil 5 balení masa.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

5 balení masa

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.2

Adam pravidelně kupuje pro psy mražené mleté maso v baleních po 1,5 kg.
Dnes měl v peněžence o 14 korun víc, než potřeboval minule na nákup 9 kg masa.
Maso však bylo zdraženo, a tak mu dnes na nákup stejného množství masa 40 korun chybělo.
Koupil proto o 1 balení masa méně a v peněžence mu zbylo 50 korun.

Vypočtěte kolik korun dnes stálo jedno balení masa.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet balení

Jedno balení má 1,5 kg. Na nákup 9 kg masa by Adam potřeboval 9 : 1,5 = 6 balení. Nakonec koupil jen 5 balení.

Co se změnilo?

Na 6 balení mu chybělo 40 Kč, ale po nákupu 5 balení mu zbylo 50 Kč. Kdyby chtěl dokoupit šesté balení, použil by zbývajících 50 Kč a ještě by potřeboval 40 Kč. Jedno balení tedy dnes stálo 50 + 40 = 90 Kč.

Ověření a výsledek

Pět balení stálo 5 · 90 = 450 Kč. Se zbylými 50 Kč měl Adam původně 500 Kč. Šest balení by stálo 6 · 90 = 540 Kč, takže mu opravdu chybělo 40 Kč. Jedno balení masa dnes stálo 90 Kč.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

90 korun

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.3

Adam pravidelně kupuje pro psy mražené mleté maso v baleních po 1,5 kg.
Dnes měl v peněžence o 14 korun víc, než potřeboval minule na nákup 9 kg masa.
Maso však bylo zdraženo, a tak mu dnes na nákup stejného množství masa 40 korun chybělo.
Koupil proto o 1 balení masa méně a v peněžence mu zbylo 50 korun.

Vypočtěte kolik korun si dnes Adam vzal na nákup masa.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet balení

Jedno balení má 1,5 kg. Na nákup 9 kg masa je potřeba 9 : 1,5 = 6 balení. Adam dnes koupil o jedno balení méně, tedy 5 balení.

Cena jednoho balení

Na 6 balení Adamovi chybělo 40 Kč, ale po nákupu 5 balení mu zbylo 50 Kč. Jedno balení tedy stojí tolik, kolik mu zbylo, a ještě tolik, kolik mu chybělo: 50 + 40 = 90 Kč.

Kolik peněz si Adam vzal

Za 5 balení zaplatil 5 · 90 = 450 Kč a zbylo mu 50 Kč. Vzal si tedy 450 + 50 = 500 Kč. Ověříme: 6 balení stojí 6 · 90 = 540 Kč, takže mu na ně opravdu chybělo 40 Kč.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

500 korun

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.4

Adam pravidelně kupuje pro psy mražené mleté maso v baleních po 1,5 kg.
Dnes měl v peněžence o 14 korun víc, než potřeboval minule na nákup 9 kg masa.
Maso však bylo zdraženo, a tak mu dnes na nákup stejného množství masa 40 korun chybělo.
Koupil proto o 1 balení masa méně a v peněžence mu zbylo 50 korun.

Vypočtěte o kolik korun bylo dnes jedno balení masa dražší než minule.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet balení

Jedno balení obsahuje 1,5 kg masa. Na nákup 9 kg je potřeba 9 : 1,5 = 6 balení.

Změna ceny celého nákupu

Adam měl o 14 Kč více, než stál minulý nákup. Dnes mu přesto na stejných 6 balení chybělo 40 Kč. Celý nákup tedy zdražil o 14 + 40 = 54 Kč.

Zdražení jednoho balení

Zdražení 54 Kč rozdělíme mezi 6 stejných balení: 54 : 6 = 9 Kč. Jedno balení bylo dnes o 9 Kč dražší než minule.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

o 9 korun

Stav úlohy
1 bod
Úloha 5.1

Cyklista jel část své trasy po rovině, část klesal a zbytek trasy stoupal.
Po rovině ujel třetinu délky celé trasy, klesání bylo pětkrát kratší než celá trasa.
Stoupání bylo na 14 km trasy a cyklista v něm za každou minutu ujel 280 m.

Vypočtěte v km délku celé cyklistovy trasy.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Části celé trasy

Po rovině cyklista ujel $\frac{1}{3}$ celé trasy. Klesání bylo pětkrát kratší než celá trasa, takže tvořilo $\frac{1}{5}$ trasy. Dohromady je to $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{5}{15}+\frac{3}{15}=\frac{8}{15}$ celé trasy.

Zbytek trasy ve stoupání

Na stoupání zbývá $\frac{15}{15}-\frac{8}{15}=\frac{7}{15}$ celé trasy. Těchto 7 stejných dílků měří dohromady 14 km, takže jeden dílek měří $14:7=2$ km.

Délka celé trasy a ověření

Celá trasa má 15 dílků, proto měří $15\cdot2=30$ km. Ověříme: po rovině cyklista ujel $30:3=10$ km a při klesání $30:5=6$ km. Na stoupání zbývá $30-10-6=14$ km, což souhlasí se zadáním. Celá cyklistova trasa měří 30 km.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

30 km

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.2

Cyklista jel část své trasy po rovině, část klesal a zbytek trasy stoupal.
Po rovině ujel třetinu délky celé trasy, klesání bylo pětkrát kratší než celá trasa.
Stoupání bylo na 14 km trasy a cyklista v něm za každou minutu ujel 280 m.

Vypočtěte, kolik minut cyklista na své trase stoupal.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod jednotek

Stoupání měřilo 14 km. Protože cyklista za každou minutu ujel 280 m, převedeme délku stoupání na metry: 14 km = 14 000 m.

Výpočet času

Počet minut zjistíme dělením délky stoupání vzdáleností ujetou za jednu minutu: 14 000 : 280 = 50. Ověříme: 50 · 280 = 14 000 m.

Odpověď

Cyklista na své trase stoupal 50 minut.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

50 minut

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.1

Písmena K, L představují dvě různé číslice.
V zápise součtu dvou trojciferných čísel se písmena nahradí číslicemi a místo hvězdiček se zapíšou chybějící číslice součtu tak, aby byl výpočet správný.
$ \displaystyle \begin{array}{rrrr} & K & L & L \\ & K & L & K \\ \hline \ast & \ast & 1 & 1 \end{array} $

Určete číslice, kterými se nahradí písmena K, L, a zapište je v tomto pořadí.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Sloupeček úplně vpravo

Začneme sčítat zprava jako při běžném sčítání pod sebou. V prvním sloupečku sčítáme písmena $L$ a $K$. Výsledek pod čarou má na konci číslici $1$.

Součet dvou jednociferných čísel může končit jedničkou jen tehdy, když je výsledek buď $1$, nebo $11$.
  • Pokud by byl součet $1$, pak by číslice $K$ a $L$ musely být $0$ a $1$. Zkusíme to v dalším sloupečku: pokud by $L = 0$, pak $0 + 0 = 0$, ale pod čarou má být $1$. Pokud by $L = 1$, pak $1 + 1 = 2$, ale pod čarou má být zase $1$. Součet tedy nemůže být $1$.
  • Jediná možnost je, že součet $L + K = 11$. Dále si tedy pamatujeme $1$ do dalšího sloupečku.

Prostřední sloupeček

Přesuneme se k prostřednímu sloupečku. Zde sčítáme dvě stejná písmena $L + L$ a navíc musíme přičíst jedničku, kterou si pamatujeme z předchozího kroku.

Součet $L + L + 1$ má pod čarou také končit jedničkou. To znamená, že $L + L$ samotné musí končit nulou. Součet dvou stejných číslic končí nulou tehdy, když obě číslice jsou buď $0$, nebo $5$.
  • Kdyby bylo $L = 0$, pak by v prvním sloupečku muselo platit $0 + K = 11$. Číslice ale může být nejvýše $9$, proto $L$ nesmí být nula.
  • Musí tedy platit, že $L = 5$. V prostředním sloupečku tak sečteme $5 + 5 + 1 = 11$. Jedničku napíšeme pod čáru a jedničku si opět pamatujeme. Tím jsme si potvrdili, že vše sedí.

Určení číslice K a kontrola

Z prvního kroku víme, že $L + K = 11$. Nyní už víme, že $L = 5$.

Dosadíme a spočítáme: $5 + K = 11$. Z toho snadno určíme, že $K = 6$.

Pro kontrolu spočítáme celý příklad:
$\displaystyle \begin{array}{rrrr} & 6 & 5 & 5 \\ & 6 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 3 & 1 & 1 \end{array}$

Výsledek $1311$ má na konci dvě jedničky, což přesně odpovídá zadání $**11$. Měli jsme zapsat číslice pro $K$ a $L$ v tomto pořadí, takže náš výsledek je $6, 5$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

6, 5

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.2

Písmena S, T, U představují tři navzájem různé číslice.
V zápise součtu tří dvouciferných čísel se písmena nahradí číslicemi tak, aby byl výpočet správný.
$ \displaystyle \begin{array}{rrr} & S & T \\ & S & T \\ & T & U \\ \hline 2 & 1 & 1 \end{array} $

Určete číslice, kterými se nahradí písmena S, T, U, a zapište je v tomto pořadí.

Najděte všechna tři řešení.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Přenos z jednotek

Postupujeme po sloupcích. V jednotkách sčítáme dvě T a jedno U. T je nenulové, protože stojí i na začátku dvouciferného čísla. Součet jednotek je tedy alespoň 2 a nejvýše 27. Končí jedničkou, takže činí 11 nebo 21: do desítek přeneseme 1 nebo 2.

Součet jednotek 11

Při přenosu 1 musí dvě S a jedno T dát 20 desítek. Dvě S dávají sudé číslo, proto je T sudé. Součet dvou T nesmí překročit 11, takže T je nejvýše 5. Nenulové sudé číslice v tomto rozmezí jsou přesně 2 a 4. Pro T = 2 chybí do 11 číslice $11 - 2 - 2 = 7$, tedy U = 7, a S je $(20 - 2) : 2 = 9$. Pro T = 4 je U = $11 - 4 - 4 = 3$ a S = $(20 - 4) : 2 = 8$.

Součet jednotek 21

Při přenosu 2 musí dvě S a jedno T dát 19, proto je T liché. Protože U je nejvýše 9, dvě T musí dát alespoň $21 - 9 = 12$, tedy T je alespoň 6. Zároveň T nesmí být třetinou 21: tehdy by U bylo stejné jako T. V rozmezí lichých číslic od 6 do 9 tím vyloučíme 7 a zbývá jedině T = 9. Pak U = $21 - 9 - 9 = 3$ a S = $(19 - 9) : 2 = 5$.

Všechna řešení a kontrola

Trojice S, T, U jsou 9, 2, 7; 8, 4, 3; 5, 9, 3. Ve všech jsou číslice různé. Kontrola: $92 + 92 + 27 = 211$, $84 + 84 + 43 = 211$ a $59 + 59 + 93 = 211$. Oba možné přenosy jsme odvodili, takže žádné další řešení nezbývá.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

9, 2, 7; 8, 4, 3; 5, 9, 3

Stav úlohy
3 body
Úloha 7.1

Šestiúhelník na obrázku je rozdělen dvěma úhlopříčkami na dva bílé čtverce a dva shodné tmavé trojúhelníky.
Poměr délek stran velkého a malého čtverce je 4 : 3 a obvody obou čtverců se liší o 12 cm.
Obvod jednoho tmavého trojúhelníku je stejný jako obvod malého čtverce.

Vypočtěte v cm délku strany malého čtverce.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza poměru a obvodů

Víme, že poměr délek stran velkého a malého čtverce je $4 : 3$. Protože obvod čtverce je čtyřnásobkem jeho strany, bude i poměr jejich obvodů stejný, tedy $4 : 3$. Rozdíl v poměru je $4 - 3 = 1$ dílek.

Výpočet hodnoty jednoho dílku

Zadání říká, že obvody obou čtverců se liší o $12$ cm. Protože tento rozdíl odpovídá $1$ dílku v našem poměru, víme, že $1$ dílek $= 12$ cm (rozdíl obvodů).

Určení obvodu malého čtverce

Malý čtverec má obvod odpovídající $3$ dílkům. Výpočet je tedy:
$3 \cdot 12 \text{ cm} = 36 \text{ cm}$.

Výpočet délky strany malého čtverce

Čtverec má čtyři stejně dlouhé strany. Délku jedné strany malého čtverce zjistíme tak, že jeho obvod vydělíme čtyřmi:
$36 \text{ cm} : 4 = 9 \text{ cm}$.

Závěr

Délka strany malého čtverce je $9$ cm.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

9 cm a správný postup řešení

Stav úlohy
2 body
Úloha 7.2

Šestiúhelník na obrázku je rozdělen dvěma úhlopříčkami na dva bílé čtverce a dva shodné tmavé trojúhelníky.
Poměr délek stran velkého a malého čtverce je 4 : 3 a obvody obou čtverců se liší o 12 cm.
Obvod jednoho tmavého trojúhelníku je stejný jako obvod malého čtverce.

Vypočtěte v cm2 obsah šestiúhelníku.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet stran čtverců

Poměr délek stran velkého a malého čtverce je $4 : 3$. Označme si délku strany velkého čtverce jako $4x$ a malého jako $3x$. Jejich obvody jsou potom $16x$ a $12x$. Rozdíl obvodů je 12 cm, tedy:
$16x - 12x = 12$
$4x = 12$
$x = 3$
Strana velkého čtverce je $4 \cdot 3 = 12$ cm, strana malého čtverce je $3 \cdot 3 = 9$ cm.

Krok 2: Rozměry tmavých trojúhelníků

Tmavé trojúhelníky jsou shodné a pravoúhlé. Jejich odvěsny odpovídají stranám čtverců, tedy 12 cm a 9 cm. Přeponu $c$ vypočítáme pomocí Pythagorovy věty:
$c = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ cm.
Obvod jednoho tmavého trojúhelníku je $12 + 9 + 15 = 36$ cm. To souhlasí se zadáním, protože obvod malého čtverce je také $4 \cdot 9 = 36$ cm.

Krok 3: Výpočet obsahu šestiúhelníku

Šestiúhelník se skládá ze dvou bílých čtverců a dvou tmavých trojúhelníků. Vypočítáme obsahy jednotlivých částí:
Obsah velkého čtverce: $12 \cdot 12 = 144$ cm2
Obsah malého čtverce: $9 \cdot 9 = 81$ cm2
Obsah jednoho tmavého trojúhelníku: $\frac{12 \cdot 9}{2} = 54$ cm2

Krok 4: Celkový obsah

Celkový obsah šestiúhelníku získáme součtem všech částí:
$S = 144 + 81 + 2 \cdot 54 = 225 + 108 = 333$ cm2
Výsledný obsah šestiúhelníku je 333 cm2.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

333 cm² a správný postup řešení

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.3

Šestiúhelník na obrázku je rozdělen dvěma úhlopříčkami na dva bílé čtverce a dva shodné tmavé trojúhelníky.
Poměr délek stran velkého a malého čtverce je 4 : 3 a obvody obou čtverců se liší o 12 cm.
Obvod jednoho tmavého trojúhelníku je stejný jako obvod malého čtverce.

Určete, kolikrát větší je obvod šestiúhelníku než obvod malého čtverce.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet délek stran čtverců

Ze zadání víme, že poměr délek stran velkého a malého čtverce je $4 : 3$. Označíme-li stranu velkého čtverce jako $a$ a stranu malého čtverce jako $b$, můžeme psát $a = 4x$ a $b = 3x$. Obvody čtverců se liší o 12 cm, tedy:
$4a - 4b = 12$
$4 \cdot 4x - 4 \cdot 3x = 12$
$16x - 12x = 12$
$4x = 12$
$x = 3\text{ cm}$
Strana velkého čtverce má délku $a = 4 \cdot 3 = 12\text{ cm}$ a strana malého čtverce $b = 3 \cdot 3 = 9\text{ cm}$. Obvod malého čtverce je $O_b = 4 \cdot 9 = 36\text{ cm}$.

Krok 2: Výpočet délek stran trojúhelníků

Šestiúhelník je rozdělen na dva čtverce a dva shodné trojúhelníky. Každý trojúhelník má dvě strany společné se stranami čtverců (jednu délky $a = 12\text{ cm}$ a druhou délky $b = 9\text{ cm}$). Třetí strana $c$ je vnější stranou šestiúhelníku. Víme, že obvod trojúhelníku je stejný jako obvod malého čtverce (36 cm):
$a + b + c = 36$
$12 + 9 + c = 36$
$21 + c = 36$
$c = 15\text{ cm}$

Krok 3: Výpočet obvodu šestiúhelníku

Obvod šestiúhelníku se skládá ze dvou vnějších stran velkého čtverce, dvou vnějších stran malého čtverce a dvou vnějších stran $c$, které patří trojúhelníkům:
$O_{š} = 2 \cdot a + 2 \cdot b + 2 \cdot c$
$O_{š} = 2 \cdot 12 + 2 \cdot 9 + 2 \cdot 15 = 24 + 18 + 30 = 72\text{ cm}$

Krok 4: Porovnání obvodů

Nyní určíme, kolikrát větší je obvod šestiúhelníku ($O_{š} = 72\text{ cm}$) než obvod malého čtverce ($O_b = 36\text{ cm}$):
$72 : 36 = 2$
Obvod šestiúhelníku je 2krát větší než obvod malého čtverce.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

2 krát a správný postup řešení

Stav úlohy
1 bod
Úloha 8

V rovině leží body B, M a přímka q.

Bod B je vrchol rovnoramenného trojúhelníku ABC se základnou AB.
Úsečka BM je jednou z výšek tohoto trojúhelníku a bod M leží na straně AC.
Na přímce q leží vrchol A trojúhelníku ABC.

Sestrojte vrcholy A, C trojúhelníku ABC, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Požadovaný trojúhelník je sestrojen s mírnou nepřesností v konstrukci vrcholu C.

Nastane prvé jedna z následujících situací:

  • Je sestrojen rovnoramenný trojúhelník, který nevyhovuje zadání, protože strana AB není jeho základnou, nýbrž ramenem, ostatní podmínky zadání jsou však splněny a konstrukce je přesná.
  • Je sestrojen rovnoramenný trojúhelník, který nevyhovuje zadání, protože jeho výška na stranu AC neleží na přímce BM, ostatní podmínky zadání jsou však splněny a konstrukce je přesná.

Pouze zcela chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 1. náhradní termín 2025, úloha 8

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 9

V rovině leží body A, D, M.

Body A, D jsou vrcholy pravoúhlého lichoběžníku ABCD.
Na polopřímce DM leží vrchol B tohoto lichoběžníku.
Přitom délka strany AB je stejná jako délka úsečky DM.

Sestrojte vrcholy B, C lichoběžníku ABCD, označte je písmeny a lichoběžník narýsujte.

Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Nastane jedna z následujících situací:

  • Jsou sestrojeny oba požadované lichoběžníky, ale s mírnou nepřesností.
  • Z požadovaných lichoběžníků je sestrojen pouze jeden, a to přesně.

Z požadovaných lichoběžníků je sestrojen pouze jeden, a to s mírnou nepřesností.

Pouze zcela chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 1. náhradní termín 2025, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 10.1
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Rodný dům slavného spisovatele je otevřen pouze v letní sezoně od května do září.
V pokladně zaznamenávají počet prodaných vstupenek dětským a dospělým návštěvníkům.
V grafu je uvedena návštěvnost v jedné sezoně.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V prvních třech měsících sezony bylo mezi návštěvníky rodného domu třikrát více dospělých než dětí.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení hodnot z grafu

První tři měsíce sezony jsou květen, červen a červenec. Z grafu vyčteme počty prodaných vstupenek pro děti (tmavě šedý sloupec) a dospělé (světle šedý sloupec) v těchto měsících:
  • Květen: 30 dětí a 80 dospělých
  • Červen: 10 dětí a 60 dospělých
  • Červenec: 30 dětí a 70 dospělých

Výpočet celkového počtu návštěvníků

Sečteme počty dětí a dospělých za toto období zvlášť:
  • Děti celkem: $30 + 10 + 30 = 70$
  • Dospělí celkem: $80 + 60 + 70 = 210$

Porovnání počtů

Nyní ověříme, zda je dospělých třikrát více než dětí. Vynásobíme počet dětí třemi:
$70 \cdot 3 = 210$
Počet dospělých (210) přesně odpovídá trojnásobku počtu dětí. Tvrzení je pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
Úloha 10.2
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Rodný dům slavného spisovatele je otevřen pouze v letní sezoně od května do září.
V pokladně zaznamenávají počet prodaných vstupenek dětským a dospělým návštěvníkům.
V grafu je uvedena návštěvnost v jedné sezoně.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Za celou sezonu bylo dospělých návštěvníků rodného domu průměrně 80 za měsíc.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Údaje z grafu

Světle šedé sloupce ukazují počty dospělých návštěvníků: v květnu 80, v červnu 60, v červenci 70, v srpnu 90 a v září 100. Sezona tedy trvala 5 měsíců.

Výpočet průměru

Nejdřív sečteme dospělé návštěvníky za celou sezonu: $80 + 60 + 70 + 90 + 100 = 400$. Potom součet vydělíme počtem měsíců: $400 : 5 = 80$.

Výsledek

Za celou sezonu bylo průměrně 80 dospělých návštěvníků za měsíc. Tvrzení je pravdivé (A).
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
Úloha 10.3
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Rodný dům slavného spisovatele je otevřen pouze v letní sezoně od května do září.
V pokladně zaznamenávají počet prodaných vstupenek dětským a dospělým návštěvníkům.
V grafu je uvedena návštěvnost v jedné sezoně.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Za celou sezonu tvořily děti 40 % všech návštěvníků rodného domu.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počty návštěvníků za sezonu

Sečteme počty z grafu za květen až září. Dětí bylo 30 + 10 + 30 + 50 + 40 = 160. Dospělých bylo 80 + 60 + 70 + 90 + 100 = 400. Dohromady tedy přišlo 160 + 400 = 560 návštěvníků.

Ověření 40 %

Nejdřív vypočítáme 10 % ze všech 560 návštěvníků: 560 : 10 = 56. Potom 40 % tvoří 4 · 56 = 224 návštěvníků. Aby tvrzení platilo, muselo by přijít 224 dětí.

Výsledek

Ve skutečnosti přišlo jen 160 dětí, což je méně než 224. Děti tedy netvořily 40 % všech návštěvníků. Tvrzení je nepravdivé, odpověď je N.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
Úloha 11

Počet všech žáků učiliště je větší než 150 a menší než 290.
Když jsme rozdělili všechny žáky učiliště do skupin po 24 žácích, zbylo 5 žáků.
Při rozdělení všech žáků do skupin po 36 opět zbylo 5 žáků.

Kolik žáků je na učilišti?

  • A) méně než 170 žáků
  • D) alespoň 220, ale méně než 250 žáků
  • B) alespoň 170, ale méně než 190 žáků
  • E) více než 250 žáků
  • C) alespoň 190, ale méně než 220 žáků
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hledání společného násobku

Ze zadání víme, že když počet žáků rozdělíme po 24 nebo po 36, vždy zbude 5 žáků. To znamená, že pokud bychom od celkového počtu žáků odečetli 5, dostaneme číslo, které je beze zbytku dělitelné oběma čísly (24 i 36). Hledáme tedy společný násobek čísel 24 a 36.

Skupinky po dvanácti

Po odebrání pěti žáků rozdělíme ostatní na skupinky po 12. Skupina 24 žáků obsahuje dvě takové skupinky, skupina 36 tři. Počet skupinek tedy musí být dělitelný dvěma i třemi. Trojice skupinek musí být v párech, aby byl jejich celkový počet sudý. Žáci se proto dají rozdělit na celky po 6 · 12 = 72.

Počet celků

Po odebrání pěti žáků je počet zbývajících větší než 145 a menší než 285. Dělení 145 : 72 = 2 se zbytkem 1 ukazuje, že potřebujeme nejméně 3 celé celky. Dělení 285 : 72 = 3 se zbytkem 69 ukazuje, že se vejdou nejvýše 3 celé celky. Jsou tedy právě tři: 3 · 72 = 216 žáků. S pěti zbývajícími je to 216 + 5 = 221.

Určení výsledku

V zadání je uvedeno, že počet žáků je větší než 150 a menší než 290. Této podmínce vyhovuje pouze číslo 221. Číslo 221 leží v rozmezí 220 až 249, což odpovídá možnosti D.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 12

Ve městě bylo třeba vydláždit náměstí.
Radní města chtěli původně najmout 6 dlaždičů, kteří by společně vydláždili celé náměstí za 30 dní. Náměstí však bylo třeba otevřít dříve, proto radní najali raději o 9 dlaždičů více.
Celé náměstí pak vydláždili všichni najatí dlaždiči společně.
Každý dlaždič vydláždí za den stejně velkou plochu.

Za kolik dní bylo náměstí vydlážděno?

  • A) za 2 dny
  • D) za 18 dní
  • B) za 10 dní
  • E) za 20 dní
  • C) za 12 dní
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Množství práce

Šest dlaždičů by celé náměstí vydláždilo za 30 dní. Jeden dlaždič by na stejnou práci potřeboval $6 \cdot 30 = 180$ dní, protože každý pracuje stejně rychle.

Počet najatých dlaždičů

Radní najali o 9 dlaždičů více než původně plánovali. Dohromady tedy pracovalo $6 + 9 = 15$ dlaždičů.

Výpočet a odpověď

Patnáct dlaždičů si práci rozdělí rovnoměrně, proto potřebují $180 : 15 = 12$ dní. Ověříme: $15 \cdot 12 = 180$. Náměstí bylo vydlážděno za 12 dní, správná je možnost C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 13

Na každé stěně krychle je vždy jedna úhlopříčka celá přelepena pěti shodnými šedými čtverci tak, že sousední čtverce mají právě jeden společný vrchol (viz obrázek).
Nepolepená část každé stěny je bílá.
Součet obsahů všech bílých nepolepených ploch na povrchu krychle je 480 cm².

Jakou délku má hrana krychle?

  • A) méně než 10 cm
  • D) 15 cm
  • B) 10 cm
  • E) 20 cm
  • C) 12 cm
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení stěny

Z popisu obrázku víme, že strana šedého čtverce je pětinou hrany krychle. Každou stěnu si proto rozdělíme na síť 5 × 5, tedy na 25 stejných malých čtverců. Pět z nich je šedých, takže bílá část odpovídá 25 − 5 = 20 malým čtvercům.

Obsah malého čtverce

Krychle má 6 stěn. Bílá plocha na celém povrchu tedy odpovídá 6 × 20 = 120 malým čtvercům. Dohromady mají obsah 480 cm², takže jeden malý čtverec má obsah 480 : 120 = 4 cm².

Délka hrany krychle

Malý čtverec má stranu 2 cm, protože 2 × 2 = 4. Podél hrany krychle se vejde pět těchto stran, takže hrana měří 5 × 2 = 10 cm. Ověříme: jedna stěna má obsah 100 cm², šedá část 5 × 4 = 20 cm² a bílá část 80 cm². Na šesti stěnách je 6 × 80 = 480 cm² bílé plochy. Správná je možnost B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 14

V obdélníku ABCD leží na straně CD bod X.
Přímka o1 je osa úhlu BAX a přímka o2 je osa úhlu AXB.
Velikosti některých úhlů jsou vyznačeny v obrázku.

Jaká je velikost úhlu 𝛼?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní).

  • A) 22°
  • D) 40°
  • B) 28°
  • E) jiná velikost
  • C) 34°
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úhel u vrcholu A

Osa úhlu o₁ dělí úhel BAX na dvě stejné části. Jedna má 22°, proto celý úhel BAX měří 2 · 22° = 44°.

Úhel u vrcholu X

Průsečík os o₁ a o₂ označíme P. Vyznačený úhel 62° a úhel APX jsou vedlejší, takže úhel APX měří 180° − 62° = 118°. V trojúhelníku APX zbývá u X úhel 180° − 22° − 118° = 40°. Protože o₂ je osa úhlu AXB, celý úhel AXB měří 2 · 40° = 80°.

Úhel u vrcholu B

Součet vnitřních úhlů trojúhelníku ABX je 180°. Úhel ABX tedy měří 180° − 44° − 80° = 56°.

Výsledek

V obdélníku je úhel ABC pravý. Úhel ABX a hledaný úhel α ho dohromady vyplňují, proto α = 90° − 56° = 34°. Správná odpověď je C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.1

Prázdný kbelík se zcela naplní přesně 50 hrnky borůvek.
Z plného kbelíku jsme odsypali 46 % borůvek.

Kolik hrnků borůvek zbývá v kbelíku?

  • A) 18 hrnků
  • D) 23 hrnků
  • B) 20 hrnků
  • E) 25 hrnků
  • C) 21 hrnků
  • F) více než 25 hrnků
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zbývající procenta

Plný kbelík představuje 100 % borůvek. Odsypali jsme 46 %, takže v kbelíku zbývá 100 − 46 = 54 % borůvek.

Počet hrnků

Celých 100 % je 50 hrnků. Jedno procento je tedy 50 : 100 = 0,5 hrnku. Zbývajících 54 % je 54 · 0,5 = 27 hrnků.

Výsledek

V kbelíku zbývá 27 hrnků borůvek, tedy více než 25 hrnků. Správná je možnost F.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

F

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.2

Hrnčíři Petr, Radim, Slávek a Tomáš vyrobili dohromady 240 hrnků.
Petr vyrobil o polovinu méně hrnků než Radim.
Slávek i Tomáš vyrobili každý o 25 % hrnků méně než Radim.

O kolik hrnků více vyrobil Tomáš než Petr?

  • A) 18 hrnků
  • D) 23 hrnků
  • B) 20 hrnků
  • E) 25 hrnků
  • C) 21 hrnků
  • F) více než 25 hrnků
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení na stejné díly

Radimův počet hrnků si rozdělíme na 4 stejné díly. Petr vyrobil polovinu Radimova počtu, tedy 2 díly. Slávek i Tomáš vyrobili každý o 25 % méně než Radim, tedy každý 3 díly. Dohromady vyrobili 4 + 2 + 3 + 3 = 12 dílů.

Počet hrnků v jednom dílu

Všech 12 dílů představuje 240 hrnků, takže jeden díl je 240 : 12 = 20 hrnků. Petr vyrobil 2 · 20 = 40 hrnků a Tomáš 3 · 20 = 60 hrnků. Pro kontrolu: Radim vyrobil 80 hrnků a Slávek 60 hrnků; 80 + 40 + 60 + 60 = 240.

Výsledek

Tomáš vyrobil o 60 − 40 = 20 hrnků více než Petr. Správná je možnost B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.3

Jitka s maminkou a babičkou trhaly na zahradě rybíz do stejně velkých hrnků.
Maminka natrhala dvakrát více rybízu než Jitka.
Babička natrhala o polovinu více rybízu než Jitka.
Přitom babička natrhala o 2 hrnky rybízu méně než maminka.

Kolik hrnků rybízu natrhaly všechny tři dohromady?

  • A) 18 hrnků
  • D) 23 hrnků
  • B) 20 hrnků
  • E) 25 hrnků
  • C) 21 hrnků
  • F) více než 25 hrnků
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl mezi maminkou a babičkou

Maminka natrhala dvakrát tolik co Jitka. Babička natrhala tolik co Jitka a ještě polovinu navíc. Rozdíl mezi maminkou a babičkou tedy odpovídá polovině Jitčina množství. Tato polovina jsou 2 hrnky.

Počet hrnků každé z nich

Jitka natrhala 2 · 2 = 4 hrnky. Maminka natrhala 2 · 4 = 8 hrnků a babička 4 + 2 = 6 hrnků. Ověříme: babička má opravdu o 2 hrnky méně než maminka, protože 8 − 6 = 2.

Celkový počet hrnků

Dohromady natrhaly 4 + 8 + 6 = 18 hrnků rybízu. Správná je možnost A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.1

Vytváříme obrazce tvaru pravidelného šestiúhelníku složené z bílých a šedých shodných rovnostranných trojúhelníků.
První obrazec se skládá ze 3 bílých a 3 šedých trojúhelníků a každý další obrazec vznikne přidáním jednoho pásu trojúhelníků okolo předchozího obrazce (viz obrázek).

Vypočtěte, kolik trojúhelníků (bílých i šedých dohromady) obsahuje poslední přidaný pás 4. obrazce.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení obrazce

Spojením středu šestiúhelníku s jeho vrcholy rozdělíme obrazec na 6 shodných velkých trojúhelníků. Každý přidaný pás prodlouží jejich strany o jednu stranu malého trojúhelníku. Ve 3. obrazci tedy má každý velký trojúhelník stranu dlouhou 3 malé strany, ve 4. obrazci 4 malé strany.

Počet přidaných trojúhelníků v jedné části

Malé trojúhelníky počítáme po řadách od vrcholu velkého trojúhelníku. Ve 3. obrazci jsou v jedné části 1 + 3 + 5 = 9 malých trojúhelníků, ve 4. obrazci 1 + 3 + 5 + 7 = 16. V jedné části tedy přibylo 16 − 9 = 7 trojúhelníků. Počítáme bílé i šedé dohromady.

Výsledek

Stejný přírůstek je ve všech 6 částech šestiúhelníku: 6 · 7 = 42. Poslední přidaný pás 4. obrazce obsahuje 42 trojúhelníků.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

42 trojúhelníků

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.2

Vytváříme obrazce tvaru pravidelného šestiúhelníku složené z bílých a šedých shodných rovnostranných trojúhelníků.
První obrazec se skládá ze 3 bílých a 3 šedých trojúhelníků a každý další obrazec vznikne přidáním jednoho pásu trojúhelníků okolo předchozího obrazce (viz obrázek).

Vypočtěte, kolik šedých trojúhelníků obsahuje celý 6. obrazec.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení obrazce

Každý další pás prodlouží stranu šestiúhelníku o jednu stranu malého trojúhelníku. Strana 6. obrazce tedy měří 6 těchto délek. Spojením středu se všemi vrcholy rozdělíme obrazec na 6 shodných velkých rovnostranných trojúhelníků.

Počet všech trojúhelníků

V jednom velkém trojúhelníku počítáme malé trojúhelníky po řadách od vrcholu: 1, 3, 5, 7, 9 a 11. Dohromady je to 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36. Celý šestiúhelník proto obsahuje 6 · 36 = 216 malých trojúhelníků.

Počet šedých trojúhelníků

Šedé trojúhelníky mají vrchol nahoru a bílé dolů. Ke každému šedému trojúhelníku patří stejně velký bílý na protější straně středu: otočení o půl otáčky převede jeho polohu na polohu bílého trojúhelníku. Obou barev je tedy stejně a šedé tvoří polovinu celku. Vypočítáme 216 : 2 = 108. Celý 6. obrazec obsahuje 108 šedých trojúhelníků.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

108 šedých trojúhelníků

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.3

Vytváříme obrazce tvaru pravidelného šestiúhelníku složené z bílých a šedých shodných rovnostranných trojúhelníků.
První obrazec se skládá ze 3 bílých a 3 šedých trojúhelníků a každý další obrazec vznikne přidáním jednoho pásu trojúhelníků okolo předchozího obrazce (viz obrázek).

Určete, kolikátý obrazec má v posledním přidaném pásu 225 šedých trojúhelníků.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet šedých trojúhelníků v pásu

Pás přidaný ve druhém obrazci obsahuje 9 šedých trojúhelníků, pás ve třetím obrazci 15. Každý další pás má o 6 šedých trojúhelníků více, protože na každé ze šesti stran přibude oproti předchozímu pásu jeden šedý trojúhelník.

Určení pořadí obrazce

Od 9 do 225 zbývá 225 − 9 = 216 šedých trojúhelníků. Počet se pokaždé zvětší o 6, takže potřebujeme 216 : 6 = 36 dalších pásů. Začínáme u druhého obrazce, proto hledané pořadí je 2 + 36 = 38.

Ověření a výsledek

Ověříme počet v posledním pásu: 9 + 36 · 6 = 225. Poslední přidaný pás s 225 šedými trojúhelníky má 38. obrazec.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

ve 38. obrazci

Stav úlohy
2 body