Načítání…
Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 7. ročník

Podkategorie: Matematika 7. ročník — 2. náhradní termín 2024

29 úloh

PDF+Klíč
Úloha 1

Zapište zlomkem v základním tvaru, jakou část metru tvoří 40 % z poloviny metru.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Polovina metru

Jeden metr má 100 cm. Polovina metru je tedy 100 : 2 = 50 cm.

Výpočet 40 %

Nejdřív vypočítáme 10 % z 50 cm: 50 : 10 = 5 cm. Potom vypočítáme 40 %: 4 · 5 = 20 cm.

Výsledek v základním tvaru

Z celého metru, tedy ze 100 cm, tvoří 20 cm část $\frac{20}{100}$. Čitatele i jmenovatele vydělíme 20: $\frac{20}{100} = \frac{1}{5}$. Výsledkem je jedna pětina metru.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1/5

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.1

Vypočítejte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{5} \right) \cdot \left( - \frac{7}{8} - 1 \right) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet první závorky

Nejdříve vypočítáme výraz v první závorce. Najdeme společného jmenovatele pro zlomky $\frac{2}{3}$ a $\frac{2}{5}$, což je číslo $15$.
$\frac{2}{3} - \frac{2}{5} = \frac{10}{15} - \frac{6}{15} = \frac{4}{15}$

Krok 2: Výpočet druhé závorky

Poté vypočítáme výraz ve druhé závorce. Číslo $1$ si vyjádříme jako zlomek se jmenovatelem $8$.
$- \frac{7}{8} - 1 = - \frac{7}{8} - \frac{8}{8} = - \frac{15}{8}$

Krok 3: Vynásobení výsledků

Nyní oba výsledky vynásobíme. Před násobením můžeme krátit jmenovatele $15$ s čitatelem $15$ a čitatele $4$ se jmenovatelem $8$.
$\frac{4}{15} \cdot \left( - \frac{15}{8} \right) = - \frac{4 \cdot 15}{15 \cdot 8} = - \frac{4}{8} = - \frac{1}{2}$

Závěr

Výsledný zlomek v základním tvaru je $-\frac{1}{2}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-1/2

Stav úlohy
2 body
Úloha 2.2

Vypočítejte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{4} \cdot 5 - \frac{5}{6} \cdot 3 }{\displaystyle 5 } =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Nejdříve vypočítáme hodnotu v čitateli složeného zlomku. Provedeme násobení:
$\frac{3}{4} \cdot 5 = \frac{15}{4}$
$\frac{5}{6} \cdot 3 = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}$

Nyní odečteme získané zlomky (převedeme je na společného jmenovatele $4$):
$\frac{15}{4} - \frac{5}{2} = \frac{15}{4} - \frac{10}{4} = \frac{5}{4}$

Celkový výpočet

Získanou hodnotu z čitatele ($ rac{5}{4}$) nyní vydělíme jmenovatelem celého výrazu, tedy číslem $5$:
$\frac{\frac{5}{4}}{5} = \frac{5}{4 \cdot 5} = \frac{1}{4}$

Závěr

Výsledný zlomek $\frac{1}{4}$ je již v základním tvaru, což odpovídá zadání.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1/4

Stav úlohy
2 body
Úloha 3.1

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost.

$\displaystyle 6 \cdot 1,2 +1,8 \div 3= \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pořadí operací

Při výpočtu musíme dodržet správné pořadí operací. Násobení a dělení mají přednost před sčítáním. Výraz si tedy můžeme rozdělit na dvě části oddělené znaménkem plus: $(6 \cdot 1,2)$ a $(1,8 \div 3)$.

Výpočet jednotlivých částí

Nejdříve vypočítáme násobení:
$6 \cdot 1,2 = 7,2$

Potom vypočítáme dělení:
$1,8 \div 3 = 0,6$

Sečtení výsledků

Nakonec oba výsledky sečteme:
$7,2 + 0,6 = 7,8$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

7,8

Stav úlohy
1 bod
Úloha 3.2

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost.

$\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}} \cdot 4=0,6 \cdot 50+28 \cdot 0,8$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet pravé strany

Nejdřív vypočítáme obě násobení: $0{,}6 \cdot 50 = 30$ a $28 \cdot 0{,}8 = 22{,}4$. Potom výsledky sečteme: $30 + 22{,}4 = 52{,}4$.

Číslo v rámečku

Číslo v rámečku násobíme čtyřmi a musí vyjít $52{,}4$. Proto vydělíme: $52{,}4 : 4 = 13{,}1$.

Ověření a výsledek

Ověříme: $13{,}1 \cdot 4 = 52{,}4$, což se rovná pravé straně. Do rámečku doplníme 13,1.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

13,1

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.1

V září přivezli do skladu brambory. V říjnu je skladníci třídili. Jednu osminu z přivezených brambor vyhodili, jednu čtvrtinu z přivezených brambor vybrali na sadbu, což bylo 400 kg, a zbytek brambor byl určen k prodeji.

Kolik kilogramů brambor přivezli v září do skladu?

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Známá část brambor

Na sadbu vybrali jednu čtvrtinu všech přivezených brambor. Tato čtvrtina vážila 400 kg.

Výpočet celku

Celé množství tvoří čtyři stejné čtvrtiny. Proto vypočítáme 400 · 4 = 1 600 kg.

Ověření a výsledek

Ověříme: 1 600 : 4 = 400 kg, což odpovídá množství na sadbu. V září přivezli do skladu 1 600 kg brambor.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1 600

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.2

V září přivezli do skladu brambory. V říjnu je skladníci třídili. Jednu osminu z přivezených brambor vyhodili, jednu čtvrtinu z přivezených brambor vybrali na sadbu, což bylo 400 kg, a zbytek brambor byl určen k prodeji.

Kolik kilogramů brambor skladníci vyhodili?

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Porovnání částí

Na sadbu vybrali jednu čtvrtinu přivezených brambor, tedy 400 kg. Jedna čtvrtina jsou dvě osminy, takže vyhozená jedna osmina je polovinou množství vybraného na sadbu.

Výpočet a výsledek

Polovinu ze 400 kg vypočítáme dělením: $400 : 2 = 200$. Skladníci vyhodili 200 kg brambor.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

200

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.3

V září přivezli do skladu brambory. V říjnu je skladníci třídili. Jednu osminu z přivezených brambor vyhodili, jednu čtvrtinu z přivezených brambor vybrali na sadbu, což bylo 400 kg, a zbytek brambor byl určen k prodeji.

Kolik kilogramů brambor bylo určeno k prodeji?

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkové množství brambor

Na sadbu vybrali jednu čtvrtinu přivezených brambor, tedy 400 kg. Celé množství tvoří čtyři takové čtvrtiny: 400 · 4 = 1 600 kg.

Vyhozené brambory

Vyhodili jednu osminu z přivezených brambor. Toto množství vypočítáme dělením: 1 600 : 8 = 200 kg.

Výsledek

Od celkového množství odečteme brambory na sadbu a vyhozené brambory: 1 600 − 400 − 200 = 1 000 kg. K prodeji bylo určeno 1 000 kg brambor.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1 000

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.1

Sadař měl v chladírně 1 tunu jablek určených k moštování a k prodeji do obchodů. Jablek určených k prodeji bylo třikrát více než jablek určených k moštování. Jablka určená k prodeji sadař prodával za cenu 14 Kč za jeden kilogram a prodalo se jich 70 %. Jablka určená k moštování sadař prodával za cenu 8 Kč za jeden kilogram a prodalo se jich 80 %. Neprodaná jablka se odvezla s dopravou zdarma ke zkrmení.

Kolik korun utržil sadař za svá prodaná jablka?

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení jablek

1 tuna je 1 000 kg. Na moštování připadá jeden díl jablek a na prodej do obchodů tři stejné díly. Dohromady jsou to čtyři díly. Jeden díl váží 1 000 : 4 = 250 kg. K moštování tedy bylo určeno 250 kg a do obchodů 3 · 250 = 750 kg.

Prodané množství

Do obchodů se prodalo 70 % ze 750 kg, tedy 750 : 100 · 70 = 525 kg. K moštování se prodalo 80 % z 250 kg, tedy 250 : 100 · 80 = 200 kg.

Tržba za prodaná jablka

Za jablka prodaná do obchodů sadař utržil 525 · 14 = 7 350 Kč. Za jablka prodaná k moštování utržil 200 · 8 = 1 600 Kč.

Celková tržba

Obě částky sečteme: 7 350 + 1 600 = 8 950 Kč. Za neprodaná jablka sadař nic neutržil a doprava ke zkrmení byla zdarma. Sadař celkem utržil
8 950 Kč
.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

8950

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.2

Sadař měl v chladírně 1 tunu jablek určených k moštování a k prodeji do obchodů. Jablek určených k prodeji bylo třikrát více než jablek určených k moštování. Jablka určená k prodeji sadař prodával za cenu 14 Kč za jeden kilogram a prodalo se jich 70 %. Jablka určená k moštování sadař prodával za cenu 8 Kč za jeden kilogram a prodalo se jich 80 %. Neprodaná jablka se odvezla s dopravou zdarma ke zkrmení.

Kolik korun by sadař utržil za jablka odvezená ke zkrmení, kdyby je prodal?

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení jablek

1 tuna je 1 000 kg. Jablek k prodeji do obchodů bylo třikrát více než jablek k moštování, proto celkové množství rozdělíme na 4 stejné díly. Jeden díl má 1 000 : 4 = 250 kg. K moštování bylo 250 kg, do obchodů 3 · 250 = 750 kg.

Neprodaná jablka

Z jablek do obchodů se neprodalo 100 − 70 = 30 %. To je 750 : 100 · 30 = 225 kg. Z jablek k moštování se neprodalo 100 − 80 = 20 %, tedy 250 : 100 · 20 = 50 kg. Tato jablka byla odvezena ke zkrmení.

Výsledek

Za neprodaná jablka do obchodů by sadař utržil 225 · 14 = 3 150 Kč a za neprodaná jablka k moštování 50 · 8 = 400 Kč. Dohromady by tedy utržil 3 150 + 400 = 3 550 Kč.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

3550

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.1

V kině je celkem 280 dospělých diváků, žen je o 120 více než mužů.

Kolik je v kině žen?

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odečteme ženy navíc

Žen je o 120 více než mužů. Když od celkového počtu odečteme těchto 120 žen, zbude stejně žen jako mužů: 280 − 120 = 160 diváků.

Rozdělíme na dvě stejné části

Zbývajících 160 diváků rozdělíme na dvě stejné části: 160 : 2 = 80. V kině je tedy 80 mužů.

Počet žen a ověření

Žen je 80 + 120 = 200. Ověříme: 200 + 80 = 280 diváků a 200 − 80 = 120. V kině je 200 žen.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

200

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.2

V kině je celkem 280 dospělých diváků, žen je o 120 více než mužů.

Jaký je poměr počtu žen k počtu mužů?

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet mužů

Nejdřív odečteme 120 žen navíc: $280 - 120 = 160$. Zbývající počet tvoří dvě stejně velké skupiny žen a mužů. Mužů je tedy $160 : 2 = 80$.

Počet žen

Žen je o 120 více než mužů, tedy $80 + 120 = 200$. Ověříme celkový počet: $200 + 80 = 280$.

Poměr a výsledek

Poměr počtu žen k počtu mužů je $200 : 80$. Obě čísla vydělíme 40: $200 : 40 = 5$ a $80 : 40 = 2$. Výsledný poměr je 5 : 2.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

5:2

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.1

Kadeřnice a pedikérka si pronajaly společně provozovnu a dohodly se, že veškeré náklady na provoz si rozdělí podle času, po který provozovnu využívají. V grafu je zobrazen počet hodin, které kadeřnice a pedikérka odpracují za týden (v neděli nepracují). Počet odpracovaných hodin kadeřnice za čtvrtek v grafu není uveden.

Kolik hodin pracuje ve čtvrtek kadeřnice, když průměrně od pondělí do soboty pracuje 6 hodin denně?

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet hodin

Od pondělí do soboty je 6 dnů. Když kadeřnice pracuje průměrně 6 hodin denně, musí za těchto šest dnů odpracovat celkem $6 \cdot 6 = 36$ hodin.

Údaje z grafu

Kadeřnice pracuje v pondělí 6 hodin, v úterý 8 hodin, ve středu 6 hodin, v pátek 7 hodin a v sobotu 4 hodiny. Dohromady je to $6 + 8 + 6 + 7 + 4 = 31$ hodin.

Výsledek

Na čtvrtek zbývá $36 - 31 = 5$ hodin. Kadeřnice ve čtvrtek pracuje 5 hodin.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

5

Stav úlohy
2 body
Úloha 7.2

Kadeřnice a pedikérka si pronajaly společně provozovnu a dohodly se, že veškeré náklady na provoz si rozdělí podle času, po který provozovnu využívají. V grafu je zobrazen počet hodin, které kadeřnice a pedikérka odpracují za týden (v neděli nepracují). Počet odpracovaných hodin kadeřnice za čtvrtek v grafu není uveden.

Jestliže dohromady za týden za náklady na provoz zaplatí pedikérka s kadeřnicí 17 400 Kč, kolik korun z této částky zaplatí pedikérka?

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

6600

Stav úlohy
2 body
Úloha 8

Je dána přímka p a bod A ležící mimo přímku p.

Sestrojte rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou BC, pokud platí:

Bod C leží na přímce r rovnoběžné s přímkou p a procházející bodem A.
Výška k základně měří 4 cm.
Průsečík výšky se stranou BC leží na přímce p.
Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Úloha 8 — postup konstrukce:

  • 1. r; r ∥ p ∧ A ∈ r
  • 2. k; k (A; |va| = 4 cm)
  • 3. X; k ∩ p = {X}
  • 4. va; va = AX
  • 5. q; q ⊥ AX ∧ X ∈ q
  • 6. C; q ∩ r = {C}
  • 7. m; m (X; |CX|)
  • 8. B; m ∩ ↦ CX = {B}
  • 9. trojúhelník ABC
  • 10. X'; k ∩ p = {X'}
  • 11. va'; va' = AX'
  • 12. q'; q' ⊥ AX' ∧ X' ∈ q'
  • 13. C'; q' ∩ r = {C'}
  • 14. m'; m' (X'; |C'X'|)
  • 15. B'; m' ∩ ↦ C'X' = {B'}
  • 16. trojúhelník AB'C'

Zdroj: Matematika 7. ročník — 2. náhradní termín 2024, úloha 8

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
4 body
Úloha 9

Jsou dány body A a D.

Sestrojte lichoběžník ABCD se základnami AB a CD, pokud platí:

Délka strany AB je stejná jako délka strany AD.
Velikost vnitřního úhlu DAB je 130°.
Poměr velikostí stran AB : CD je 2 : 3.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Úloha 9 — postup konstrukce:

  • 1. ∢ DAX; |∢ DAX| = 130°
  • 2. k₁; k₁ (A; |AD|)
  • 3. B; k₁ ∩ ↦ AX = {B}
  • 4. p; p ∥ ↦ AX ∧ D ∈ p
  • 5. k₂; k₂ (D; 32 |AB|)
  • 6. C; k₂ ∩ p = {C}
  • 7. lichoběžník ABCD
  • Úloha má druhé možné řešení. To odpovídá opačně orientovanému úhlu DAX (vznikne osově symetrický obrazec k ABCD vůči ose DA). Toto řešení nebylo předmětem hodnocení.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 2. náhradní termín 2024, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 10.1

Hotel zpoplatňuje ubytování stálou sazbou za osobu a noc. Ubytování pro 4 lidi na 10 nocí stojí 56 000 Kč.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Jeden člověk zaplatí za ubytování na 5 nocí 7 000 Kč.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cena za osobu a noc

Za 10 nocí zaplatí jeden člověk 56 000 : 4 = 14 000 Kč. Za jednu noc tedy zaplatí 14 000 : 10 = 1 400 Kč.

Cena za pět nocí

Sazba za osobu a noc je stálá. Jeden člověk proto za 5 nocí zaplatí 5 · 1 400 = 7 000 Kč.

Výsledek

Vypočítaná cena souhlasí s tvrzením. Tvrzení je pravdivé, odpověď je A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
1 bod
Úloha 10.2

Hotel zpoplatňuje ubytování stálou sazbou za osobu a noc. Ubytování pro 4 lidi na 10 nocí stojí 56 000 Kč.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Tři lidé zaplatí za ubytování na 8 nocí 33 600 Kč.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cena za osobu a noc

Jeden člověk na 10 nocí zaplatí 56 000 : 4 = 14 000 Kč. Za jednu noc tedy zaplatí 14 000 : 10 = 1 400 Kč.

Cena pro tři lidi na osm nocí

Tři lidé zaplatí za jednu noc 3 · 1 400 = 4 200 Kč. Za 8 nocí zaplatí 8 · 4 200 = 33 600 Kč.

Rozhodnutí

Vypočtená cena souhlasí s uvedenou částkou 33 600 Kč. Tvrzení je pravdivé, proto volíme A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
1 bod
Úloha 10.3

Hotel zpoplatňuje ubytování stálou sazbou za osobu a noc. Ubytování pro 4 lidi na 10 nocí stojí 56 000 Kč.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Dva lidé zaplatí za ubytování na 20 nocí 54 000 Kč.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cena za osobu a noc

Čtyři lidé na 10 nocí zaplatí za $4 \cdot 10 = 40$ nocí pro jednu osobu. Cena za jednu osobu a jednu noc je $56\,000 : 40 = 1\,400$ Kč.

Cena pro dva lidi na 20 nocí

Dva lidé na 20 nocí zaplatí za $2 \cdot 20 = 40$ nocí pro jednu osobu. Ubytování tedy stojí $40 \cdot 1\,400 = 56\,000$ Kč.

Rozhodnutí o tvrzení

Vypočítaná cena je 56 000 Kč, ale tvrzení uvádí 54 000 Kč. Tvrzení je nepravdivé, odpověď je N.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
1 bod
Úloha 11.1

Klára vystřihla z papíru 3 shodné obdélníky, 4 shodné čtverce a 5 shodných rovnoramenných trojúhelníků. Sestavila z nich tři obrazce. Obvod 1. obrazce je 40 cm. (V žádném obrazci se útvary nepřekrývají.)

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obvod 2. obrazce je větší než obvod 1. obrazce.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry obdélníku a čtverce

Za jeden dílek vezmeme délku strany čtverce. Ve 3. obrazci pokrývají šířku obdélníku dva čtverce, takže obdélník je široký 2 dílky. V 1. obrazci má obdélník stejnou výšku jako čtverec, tedy 1 dílek. Spodní část 1. obrazce je proto široká 3 dílky.

Strany trojúhelníků

Ve 2. obrazci leží základna trojúhelníku na celé straně čtverce, takže měří 1 dílek. V 1. obrazci jsou trojúhelníky otočené a přiléhají ke spodní části svými rameny. Dvě stejně dlouhá ramena dohromady zakrývají hranu dlouhou 3 dílky. Každé rameno tedy měří $3 : 2 = 1{,}5$ dílku.

Porovnání obvodů

Počítáme pouze vnější okraj obrazců. U 1. obrazce má spodní hrana 3 dílky, dvě svislé strany dohromady 2 dílky a odkryté strany trojúhelníků dohromady $2 \cdot (1 + 1{,}5) = 5$ dílků. Obvod je $3 + 2 + 5 = 10$ dílků. U 2. obrazce má spodní hrana 2 dílky, svislé strany obdélníku dohromady 2 dílky, odkryté části jeho horní hrany dohromady 1 dílek, svislé strany čtverce dohromady 2 dílky a ramena trojúhelníku dohromady 3 dílky. Obvod je také $2 + 2 + 1 + 2 + 3 = 10$ dílků.

Výsledek

Oba obrazce mají stejný obvod. Proto má i 2. obrazec obvod 40 cm. Tvrzení, že je jeho obvod větší než obvod 1. obrazce, je nepravdivé (N).
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
1 bod
Úloha 11.2

Klára vystřihla z papíru 3 shodné obdélníky, 4 shodné čtverce a 5 shodných rovnoramenných trojúhelníků. Sestavila z nich tři obrazce. Obvod 1. obrazce je 40 cm. (V žádném obrazci se útvary nepřekrývají.)

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah každého z obdélníků je roven 32 cm² .

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry obdélníku

Označíme stranu čtverce $a$. V 1. obrazci mají obdélník a čtverec stejnou výšku, takže kratší strana obdélníku měří $a$. Ve 3. obrazci pokrývají delší stranu obdélníku dva čtverce vedle sebe, proto měří $2a$. Spodní část 1. obrazce má tedy šířku $2a+a=3a$.

Strany trojúhelníků

Ve 3. obrazci má každý trojúhelník základnu dlouhou $a$. V 1. obrazci jsou stejné trojúhelníky otočené a na horní hraně spodní části leží jejich ramena. Každé zabírá polovinu šířky $3a$, takže rameno měří $1{,}5a$. Na obvodu je z každého trojúhelníku vidět základna $a$ a druhé rameno $1{,}5a$.

Obvod prvního obrazce

Sečteme jen vnější hrany: dolní hranu $3a$, dvě svislé strany dohromady $2a$ a volné strany trojúhelníků dohromady $2\cdot(a+1{,}5a)=5a$. Obvod je tedy $3a+2a+5a=10a$. Protože měří 40 cm, strana čtverce je $40:10=4$ cm.

Obsah a rozhodnutí

Obdélník má kratší stranu 4 cm a delší stranu $2\cdot4=8$ cm. Jeho obsah je $8\cdot4=32$ cm². Všechny obdélníky jsou shodné, proto má každý obsah 32 cm². Tvrzení je pravdivé (A).
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
1 bod
Úloha 11.3

Klára vystřihla z papíru 3 shodné obdélníky, 4 shodné čtverce a 5 shodných rovnoramenných trojúhelníků. Sestavila z nich tři obrazce. Obvod 1. obrazce je 40 cm. (V žádném obrazci se útvary nepřekrývají.)

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obvod 3. obrazce je 48 cm.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Délky stran v obrazcích

Za jeden dílek vezmeme stranu čtverce. Ve 3. obrazci dva čtverce vyplňují celou šířku obdélníku, takže obdélník je široký dva dílky. Z 1. obrazce vidíme, že jeho výška je jeden dílek. Základna trojúhelníku má také jeden dílek, protože ve 3. obrazci leží na celé horní straně čtverce.

Délka ramene trojúhelníku

Spodní část 1. obrazce tvoří obdélník a čtverec vedle sebe, dohromady tedy měří na šířku tři dílky. Její horní hranu zakrývají dvě stejně dlouhá ramena otočených trojúhelníků. Jedno rameno proto měří $3 : 2 = 1{,}5$ dílku.

Výpočet skutečných délek

Po vnějším obvodu 1. obrazce počítáme spodní hranu o délce tři dílky, dvě svislé strany po jednom dílku, dvě základny trojúhelníků po jednom dílku a dvě ramena po 1,5 dílku. Dohromady je to $3 + 2 + 2 + 3 = 10$ dílků. Obvod je 40 cm, takže jeden dílek měří $40 : 10 = 4$ cm. Rameno trojúhelníku měří $1{,}5 \cdot 4 = 6$ cm.

Obvod třetího obrazce a rozhodnutí

Spodní hrana 3. obrazce měří $2 \cdot 4 = 8$ cm. Každá ze dvou svislých vnějších stran měří $4 + 4 = 8$ cm. Nahoře jsou čtyři ramena trojúhelníků po 6 cm. Obvod je tedy $8 + 2 \cdot 8 + 4 \cdot 6 = 48$ cm. Tvrzení je pravdivé (A).
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
1 bod
Úloha 12

Petr a Pavel četli stejnou knihu. Petr přečetl za každý den kromě posledního 28 stránek. Pavel přečetl za každý den kromě posledního 35 stránek. Na poslední den oběma zbylo 5 stránek.

Kolik stránek nejméně musí kniha mít?

  • A) 70
  • D) 145
  • B) 75
  • E) 155
  • C) 140
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza zadání

Petr čte 28 stránek denně a Pavel 35 stránek denně. Oběma na poslední den zbylo přesně 5 stránek. To znamená, že počet stránek, které přečetli v předchozích dnech, musí být společným násobkem čísel 28 a 35.

Hledání nejmenšího společného násobku

Počítejme stránky ve skupinách po sedmi. Petr přečte denně $28 : 7 = 4$ skupiny a Pavel $35 : 7 = 5$ skupin. Celkový počet těchto skupin před posledním dnem musí jít rozdělit beze zbytku jak do čtveřic, tak do pětic. Z každé pětice oddělíme jednu čtveřici a zbude jedna skupina. Aby šel celý počet rozdělit do čtveřic, musí i tyto zbylé skupiny tvořit úplné čtveřice. Nejmenší kladný počet zbylých skupin je proto 4. Z každé pětice zbývá právě jedna skupina, takže potřebujeme nejméně čtyři pětice. Ty už lze rozdělit do čtveřic: čtyři čtveřice jsme oddělili a další čtveřici vytvoří zbylé skupiny. Celkem je to $4 \times 5 = 20$ skupin po sedmi stránkách, tedy $20 \times 7 = 140$ stránek přečtených před posledním dnem.

Celkový počet stránek

K nalezenému počtu 140 stránek musíme přičíst 5 stránek, které oběma chlapcům zbyly na poslední den:
$140 + 5 = 145$
Kniha má tedy nejméně 145 stránek. To odpovídá možnosti D.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 13

Jsou dány rovnoběžky a a b a přímky c, d a e, které se protínají s přímkou b v bodě B.

Jaký je součet velikostí úhlů α a β?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočítejte (obrázek je ilustrační).

  • A) 74°
  • D) 71°
  • B) 73°
  • E) 70°
  • C) 72°
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet úhlu α

Přímky a a b jsou rovnoběžné, takže souhlasné úhly jsou stejně velké. Nad přímkou b vpravo od bodu B svírá přímka c s přímkou b úhel 38° a přímka d úhel 75°. Úhel α je mezi nimi, proto α = 75° − 38° = 37°.

Výpočet úhlu β

U průsečíku přímek a a e je vedle úhlu 110° úhel 180° − 110° = 70°. Stejně velký úhel je díky rovnoběžnosti i pod přímkou b vpravo od B. Pod přímkou b vlevo od B svírá přímka d s přímkou b úhel 75°. Tyto dva úhly spolu s úhlem β tvoří přímý úhel, takže β = 180° − 75° − 70° = 35°.

Součet úhlů

Sečteme vypočítané úhly: α + β = 37° + 35° = 72°. Správná odpověď je C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 14

Číselná osa je rozdělena na shodné dílky. Písmena A, B, C a D představují celá čísla. Víme, že A + B = 8 a A + C = 4.

Jaký je součet čísel D a C?

  • A) 24
  • D) –16
  • B) 12
  • E) –24
  • C) –12
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor číselné osy

Vzdálenost mezi sousedními body na číselné ose je všude stejná. Z obrázku vidíme, že bod B leží o 2 dílky vpravo od bodu C a bod A leží o 6 dílků vpravo od bodu C.

Výpočet velikosti dílku

Ze zadání víme, že $A + B = 8$ a $A + C = 4$. Když tyto součty porovnáme, liší se jen čísla $B$ a $C$:
$B - C = 8 - 4 = 4$
Mezi body C a B jsou 2 dílky, takže hodnota jednoho dílku je:
$4 : 2 = 2$

Určení čísel C a D

Bod A leží o 6 dílků vpravo od bodu C, proto:
$A = C + 6 \cdot 2 = C + 12$
Dosadíme do vztahu $A + C = 4$:
$(C + 12) + C = 4$
$2C + 12 = 4$
$C = -4$
Bod D leží o 8 dílků vlevo od bodu C, proto:
$D = -4 - 8 \cdot 2 = -20$

Výpočet součtu D + C

Nyní vypočítáme požadovaný součet:
$D + C = -20 + (-4) = -24$
Součet čísel D a C je -24, což odpovídá možnosti E.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.1

V září byla cena trička 240 Kč.

V říjnu bylo toto tričko zdraženo na 300 Kč. O kolik % bylo v říjnu zdraženo?

  • A) 12,5 %
  • D) 32,5 %
  • B) 25 %
  • E) 37,5 %
  • C) 30 %
  • F) 40 %
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zvýšení ceny

Nejdřív zjistíme, o kolik korun tričko zdražilo: $300 - 240 = 60$ Kč.

Podíl z původní ceny

Zdražení porovnáváme s původní cenou 240 Kč, která představuje 100 %. Protože $240 : 4 = 60$, zvýšení o 60 Kč je čtvrtina původní ceny. Čtvrtina ze 100 % je $100 : 4 = 25$ %.

Výsledek a ověření

Tričko bylo zdraženo o 25 %, správná je možnost B. Ověříme: 25 % z 240 Kč je 60 Kč a $240 + 60 = 300$ Kč.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.2

V září byla cena trička 240 Kč.

V říjnu bylo toto tričko zdraženo na 300 Kč.

V prosinci bylo toto tričko zlevněno o 90 Kč z říjnové ceny 300 Kč. Kolik % činila sleva?

  • A) 12,5 %
  • D) 32,5 %
  • B) 25 %
  • E) 37,5 %
  • C) 30 %
  • F) 40 %
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Základ pro výpočet slevy

Slevu počítáme z říjnové ceny 300 Kč. Tato cena představuje 100 %.

Výpočet procent

Nejdřív zjistíme 1 % z ceny: 300 : 100 = 3 Kč. Potom spočítáme, kolik procent tvoří sleva 90 Kč: 90 : 3 = 30 %.

Výsledek

Sleva činila 30 %. Správná je možnost C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.3

V září byla cena trička 240 Kč.

V říjnu bylo toto tričko zdraženo na 300 Kč.

V prosinci bylo toto tričko zlevněno o 90 Kč z říjnové ceny 300 Kč.

O kolik % bylo tričko po prosincové slevě levnější než v září?

  • A) 12,5 %
  • D) 32,5 %
  • B) 25 %
  • E) 37,5 %
  • C) 30 %
  • F) 40 %
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Prosincová cena

Nejdřív od říjnové ceny odečteme slevu: 300 − 90 = 210 Kč. Po prosincové slevě stálo tričko 210 Kč.

Porovnání se zářím

V září stálo tričko 240 Kč, takže v prosinci bylo levnější o 240 − 210 = 30 Kč. Počet procent počítáme ze zářijové ceny 240 Kč.

Výsledek

Jedno procento ze zářijové ceny je 240 : 100 = 2,4 Kč. Rozdíl 30 Kč tedy představuje 30 : 2,4 = 12,5 %. Tričko bylo po prosincové slevě o 12,5 % levnější než v září. Správná je možnost A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 16

Jsou dány hranoly s podstavou čtverce, trojúhelníku a kosodélníku. Všechny hranoly jsou vysoké 20 cm.

V jakém poměru jsou objemy těchto hranolů?

Poměr udejte v pořadí: 1. hranol : 2. hranol : 3. hranol.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsahy podstav

Nejdřív vypočítáme obsahy podstav. Čtverec má obsah 4 · 4 = 16 cm². Trojúhelník má základnu 6 cm a výšku k ní 4 cm, takže jeho obsah je (6 · 4) : 2 = 12 cm². Kosodélník má základnu 6 cm a výšku k ní 3 cm, proto má obsah 6 · 3 = 18 cm².

Objemy hranolů

Objem hranolu získáme vynásobením obsahu podstavy výškou hranolu. Všechny hranoly jsou vysoké 20 cm. Jejich objemy v daném pořadí jsou 16 · 20 = 320 cm³, 12 · 20 = 240 cm³ a 18 · 20 = 360 cm³.

Výsledný poměr

Objemy jsou v poměru 320 : 240 : 360. Všechny tři členy vydělíme číslem 40 a dostaneme 8 : 6 : 9. To je poměr objemů v pořadí 1. hranol : 2. hranol : 3. hranol.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

8:6:9

Stav úlohy
2 body