Načítání…
Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 7. ročník

Podkategorie: Matematika 7. ročník — 1. náhradní termín 2024

30 úloh

PDF+Klíč
Úloha 1

Sedmina neznámého čísla je 7.

Vypočítejte sedminásobek neznámého čísla.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Neznámé číslo

Sedmina neznámého čísla je 7. Celé číslo má sedm takových dílů, proto vypočítáme 7 × 7 = 49.

Sedminásobek a výsledek

Sedminásobek čísla 49 získáme násobením sedmi: 49 × 7 = 343. Hledaný sedminásobek je 343.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

343

Stav úlohy
2 body
Úloha 2.1

Vypočítejte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{4}{5} - \frac{7}{4} \cdot \left( 2- \frac{4}{7} \right) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet závorky

Nejdříve vypočítáme výraz v závorce. Číslo 2 si převedeme na zlomky se jmenovatelem 7:
$2 - \frac{4}{7} = \frac{14}{7} - \frac{4}{7} = \frac{10}{7}$

Krok 2: Násobení

Nyní vynásobíme zlomek před závorkou výsledkem ze závorky. Při násobení zlomky vykrátíme (číslo 7 v čitateli i jmenovateli):
$\frac{7}{4} \cdot \frac{10}{7} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

Krok 3: Odečítání a výsledek

Nakonec odečteme výsledek násobení od prvního zlomku. Zlomky převedeme na společného jmenovatele 10:
$\frac{4}{5} - \frac{5}{2} = \frac{8}{10} - \frac{25}{10} = -\frac{17}{10}$

Výsledek je $-\frac{17}{10}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-17/10

Stav úlohy
2 body
Úloha 2.2

Vypočítejte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{4}{9} \cdot 2 }{\displaystyle \frac{5}{3} \div 3+3 } =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

V čitateli vynásobíme zlomek celým číslem:
$\frac{4}{9} \cdot 2 = \frac{8}{9}$

Výpočet jmenovatele

Ve jmenovateli nejdříve provedeme dělení a poté sčítání:
$\frac{5}{3} \div 3 + 3 = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{3} + 3 = \frac{5}{9} + \frac{27}{9} = \frac{32}{9}$

Úprava složeného zlomku

Složený zlomek vyjádříme jako násobení převrácenou hodnotou a výsledek zkrátíme na základní tvar:
$\frac{\frac{8}{9}}{\frac{32}{9}} = \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1/4

Stav úlohy
2 body
Úloha 3.1

Vypočítejte.

$\displaystyle 0,7 \cdot 0,8 + 0,8 \cdot 1,3=$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Využití vytýkání

Všimneme si, že v obou částech příkladu násobíme stejným číslem $0,8$. Abychom si výpočet usnadnili, můžeme toto číslo vytknout před závorku:
$0,7 \cdot 0,8 + 0,8 \cdot 1,3 = 0,8 \cdot (0,7 + 1,3)$

Výpočet v závorce

Nejdříve vypočítáme součet v závorce:
$0,7 + 1,3 = 2,0$

Finální výsledek

Nyní vynásobíme vytknuté číslo výsledkem ze závorky:
$0,8 \cdot 2 = 1,6$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1,6

Stav úlohy
2 body
Úloha 3.2

Vypočítejte.

$\displaystyle 1,5+0,5 \cdot \left( 12-8 \right) -2,5 \div 5=$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Přednost operací

Při řešení výrazu musíme dodržet správné pořadí operací. Nejdříve vypočítáme hodnotu v závorce, poté provedeme násobení a dělení a nakonec sčítání a odčítání.

Krok 2: Výpočet závorky

Vypočítáme výraz v závorce:
$(12 - 8) = 4$

Krok 3: Násobení a dělení

Výsledek ze závorky dosadíme zpět do výrazu a vypočítáme násobení a dělení:
$0,5 \cdot 4 = 2$
$2,5 \div 5 = 0,5$

Krok 4: Sčítání a odčítání

Nakonec provedeme zbývající operace sčítání a odčítání:
$1,5 + 2 - 0,5 = 3,5 - 0,5 = 3$

Výsledek

Výsledkem celého výrazu je číslo 3.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

3

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.1

Od rybníka k hradu vedou dvě turistické cesty. Modrá je o třetinu kratší než červená. Obě cesty se liší o 3 km.

Jaká je délka červené trasy?

Výsledek uveďte v kilometrech.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl délek cest

Modrá cesta je o třetinu kratší než červená. Rozdíl 3 km tedy představuje jednu třetinu délky červené cesty.

Délka červené cesty

Celá červená cesta má tři stejné třetiny. Jedna měří 3 km, takže dohromady měří $3 \cdot 3 = 9$ km.

Ověření a výsledek

Třetina z 9 km je 3 km. Modrá cesta měří $9 - 3 = 6$ km a rozdíl délek je skutečně 3 km. Červená trasa měří 9 km.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

9 km

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.2

Na sídlišti se stala porucha vodovodního potrubí, proto byla ráno přistavena cisterna s pitnou vodou o objemu 40 hektolitrů. Podnikatel z ní v průběhu dne odčerpal vodu do dvou barelů po 1 250 litrech. Do večera ještě lidé odebrali 70 dvacetilitrových kanystrů.

Kolik litrů vody zbylo večer v přistavené cisterně?

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod objemu cisterny na litry

Cisterna má objem 40 hektolitrů. Protože jeden hektolitr (hl) má 100 litrů (l), vypočítáme celkový objem v litrech jako:
40 hl = 40 × 100 l = 4 000 l

Výpočet vody v barelech

Podnikatel odčerpal 2 barely po 1 250 litrech:
2 × 1 250 l = 2 500 l

Výpočet vody v kanystrech

Lidé odebrali 70 kanystrů po 20 litrech:
70 × 20 l = 1 400 l

Výpočet zbývající vody

Od počátečního objemu cisterny odečteme vodu v barelech i kanystrech:
4 000 l − 2 500 l − 1 400 l = 100 l
V cisterně večer zbylo 100 litrů vody.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

100

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.1

Ve třídě 9. B se vytvořilo 5 týmů, které se zúčastnily orientačního závodu. Týmy startovaly v 6minutových rozestupech. Údaje o časech naleznete v tabulce ve tvaru h:min:s.

Jaký je výsledný čas vítěze?

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Časy startu

Týmy startovaly po 6 minutách. Tým A vyrazil ve 14:30:00, takže tým B startoval ve 14:36:00. Tým C startoval ve 14:42:00, tým D ve 14:48:00 a tým E ve 14:54:00.

Doba závodu jednotlivých týmů

Výsledný čas je doba od startu do příchodu do cíle. U týmů A a D je už uveden v tabulce. Ostatní časy dopočítáme:
  • A: 0:47:46.
  • B: od 14:36:00 do 15:00:00 uplynulo 24 minut, potom ještě 22 minut a 3 sekundy. Celkem 0:46:03.
  • C: od 14:42:00 do 15:00:00 uplynulo 18 minut, potom ještě 30 minut a 32 sekund. Celkem 0:48:32.
  • D: 0:49:40.
  • E: od 14:54:00 do 15:00:00 uplynulo 6 minut, potom ještě 33 minut a 20 sekund. Celkem 0:39:20.

Výsledný čas vítěze

Porovnáme dobu závodu všech týmů. Nejkratší čas má tým E: 0:39:20, tedy 39 minut a 20 sekund. To je výsledný čas vítěze.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

0:39:20

Stav úlohy
1 bod
Úloha 5.2

Ve třídě 9. B se vytvořilo 5 týmů, které se zúčastnily orientačního závodu. Týmy startovaly v 6minutových rozestupech. Údaje o časech naleznete v tabulce ve tvaru h:min:s.

Na kolikátém místě skončil tým A?

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Časy startu

Týmy startovaly po 6 minutách: A ve 14:30, B ve 14:36, C ve 14:42, D ve 14:48 a E ve 14:54. O umístění rozhoduje doba, za kterou tým uběhl závod.

Výpočet výsledných časů

Od času v cíli odečteme čas startu:
  • B: 15:22:03 − 14:36:00 = 0:46:03.
  • C: 15:30:32 − 14:42:00 = 0:48:32.
  • E: 15:33:20 − 14:54:00 = 0:39:20.
V tabulce už jsou výsledné časy týmu A (0:47:46) a týmu D (0:49:40).

Pořadí a výsledek

Výsledné časy seřadíme od nejkratšího: E (0:39:20), B (0:46:03), A (0:47:46), C (0:48:32), D (0:49:40). Před týmem A jsou dva týmy, takže tým A skončil na 3. místě.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

3

Stav úlohy
1 bod
Úloha 5.3

Ve třídě 9. B se vytvořilo 5 týmů, které se zúčastnily orientačního závodu. Týmy startovaly v 6minutových rozestupech. Údaje o časech naleznete v tabulce ve tvaru h:min:s.

Jaký rozdíl byl v dosažených časech mezi vítězným týmem a týmem, co se umístil na posledním místě?

Výsledek uveďte v minutách a sekundách.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Doplnění časů startu

Týmy startovaly po 6 minutách. Tým A startoval ve 14:30:00, proto tým B startoval ve 14:36:00. Tým C startoval ve 14:42:00, tým D ve 14:48:00 a tým E ve 14:54:00.

Dosažené časy

Od času v cíli odečteme čas startu. Tým A běžel 47 minut 46 sekund. Tým B: 15:22:03 − 14:36:00 = 46 minut 3 sekundy. Tým C: 15:30:32 − 14:42:00 = 48 minut 32 sekund. Tým D má v tabulce uvedeno 49 minut 40 sekund. Tým E: 15:33:20 − 14:54:00 = 39 minut 20 sekund.

Rozdíl a výsledek

Nejkratší čas měl tým E (39 minut 20 sekund), takže zvítězil. Nejdelší čas měl tým D (49 minut 40 sekund), takže skončil poslední. Rozdíl je 49 minut 40 sekund − 39 minut 20 sekund = 10 minut 20 sekund.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

10 min 20 s

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6

Rodina Novotných si koupila pozemek ve tvaru obdélníku na stavbu domu. Plocha pozemku je 988 m² a kratší strana měří 26 m. Pozemek chtějí oplotit tak, aby spotřebovali co nejméně sloupků a mezi dvěma sousedními sloupky po celém obvodu byla vždy stejná mezera, kterou lze změřit v celých metrech.

Kolik sloupků musí rodina Novotných koupit, aby bylo možné za uvedených podmínek pozemek oplotit?

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Délka delší strany

Obsah obdélníku je součin délek jeho stran. Delší strana tedy měří $988 : 26 = 38$ m.

Největší mezera mezi sloupky

Aby bylo sloupků co nejméně, zvolíme co největší mezeru. Sloupky musí být i v rozích, takže mezera musí dělit beze zbytku délky obou stran. Dělitelé čísla 26 jsou 1, 2, 13 a 26; dělitelé čísla 38 jsou 1, 2, 19 a 38. Největší společný dělitel je 2, proto budou sloupky od sebe 2 m.

Počet mezer po obvodu

Obvod pozemku je $2 \cdot (26 + 38) = 128$ m. Počet dvoumetrových mezer je $128 : 2 = 64$.

Výsledek

Plot tvoří uzavřený okruh, proto je sloupků stejně jako mezer. Poslední mezera končí u prvního sloupku, který už znovu nepočítáme. Rodina Novotných musí koupit 64 sloupků.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

64

Stav úlohy
3 body
Úloha 7.1

Z kvádru se čtvercovou podstavou byl vyříznut trojboký hranol. Body S a S´ jsou průsečíky úhlopříček podstav tohoto kvádru.
|AB | = 8 cm, |AE | = 1,3 dm

Vypočítejte povrch kvádru ABCDEFGH.

Výsledek uveďte v dm².

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry kvádru

Počítáme povrch celého původního kvádru ABCDEFGH. Výsledek má být v dm², proto nejdřív převedeme délku hrany podstavy: 8 cm = 0,8 dm. Čtvercová podstava má tedy stranu 0,8 dm a výška kvádru je 1,3 dm.

Obsah obou podstav

Obsah jedné čtvercové podstavy je 0,8 · 0,8 = 0,64 dm². Dolní a horní podstava mají dohromady obsah 2 · 0,64 = 1,28 dm².

Obsah bočních stěn

Každá ze čtyř bočních stěn je obdélník se stranami 0,8 dm a 1,3 dm. Jedna má obsah 0,8 · 1,3 = 1,04 dm². Všechny čtyři mají dohromady obsah 4 · 1,04 = 4,16 dm².

Povrch kvádru

Sečteme obsahy obou podstav a všech bočních stěn: 1,28 + 4,16 = 5,44 dm². Povrch kvádru ABCDEFGH je 5,44 dm².
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

5,44

Stav úlohy
2 body
Úloha 7.2

Z kvádru se čtvercovou podstavou byl vyříznut trojboký hranol. Body S a S´ jsou průsečíky úhlopříček podstav tohoto kvádru.
|AB | = 8 cm, |AE | = 1,3 dm

Vypočítejte objem hranolu s podstavou ABSCD.

Výsledek uveďte v cm³.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry kvádru

Podstava kvádru je čtverec o straně 8 cm. Výšku převedeme na centimetry: $1{,}3\,\mathrm{dm} = 13\,\mathrm{cm}$.

Obsah vyříznutého trojúhelníku

Vyříznutý hranol má podstavu BCS. Bod S je střed čtverce, proto je jeho vzdálenost od strany BC polovinou strany čtverce, tedy $8 : 2 = 4$ cm. Obsah trojúhelníku BCS je $8 \cdot 4 : 2 = 16$ cm².

Obsah podstavy ABSCD

Nejdřív vypočítáme obsah celého čtverce: $8 \cdot 8 = 64$ cm². Potom odečteme obsah vyříznutého trojúhelníku: $64 - 16 = 48$ cm².

Objem hranolu

Objem získáme vynásobením obsahu podstavy výškou: $48 \cdot 13 = 624$ cm³. Objem hranolu s podstavou ABSCD je 624 cm³.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

624 cm³

Stav úlohy
2 body
Úloha 8

Jsou zadány body A a S. Bod A je vrchol kosodélníku ABCD a bod S je průsečík úhlopříček kosodélníku ABCD, které svírají úhel 120°. Délka úhlopříčky BD je stejná jako délka úsečky AS.

Sestrojte kosodélník ABCD.

Nalezněte všechna možná řešení.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

  • 1. ↔ AS
  • 2. k₁; k₁ (S;|AS|)
  • 3. C; k₁ ∩ ↔ AS = {C}
  • 4. p; p svírá s AC 120°
  • 5. k₂; k₂ (S; 12|AS|)
  • 6. D; k₂ ∩ p = {D}
  • 7. B; k₂ ∩ p = {B}
  • 8. kosodélník AB₁CD₁ a AB₂CD₂

Zdroj: Matematika 7. ročník — 1. náhradní termín 2024, úloha 8

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 9.1

Adam se rozhodl, že si vyrobí originální šachový stolek. Koupil si černou a bílou samolepící folii a šedý stůl o rozměrech 80 cm a 56 cm polepil tak, jak je znázorněno na obrázku. Šachovnice je tvořena čtverci o straně 4 cm, pruh je tvořený kosodélníky a trojúhelníky a má šířku 4 cm.

Kolik procent z celé desky stolu překrývá 1 pruh?

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah desky stolu

Deska stolu má tvar obdélníku o rozměrech 80 cm a 56 cm. Její obsah je $80 \cdot 56 = 4\,480\ \text{cm}^2$.

Obsah jednoho pruhu

Podle obrázku vede jeden pruh od horního k dolnímu okraji desky, takže je dlouhý 56 cm. Jeho šířka je 4 cm. Celý pruh má tvar obdélníku a obsah $56 \cdot 4 = 224\ \text{cm}^2$.

Výpočet procent a výsledek

Podíl obsahu pruhu a obsahu celé desky převedeme na procenta: $\frac{224}{4\,480} \cdot 100 = 5$. Jeden pruh tedy překrývá 5 % celé desky stolu.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

5

Stav úlohy
1 bod
Úloha 9.2

Adam se rozhodl, že si vyrobí originální šachový stolek. Koupil si černou a bílou samolepící folii a šedý stůl o rozměrech 80 cm a 56 cm polepil tak, jak je znázorněno na obrázku. Šachovnice je tvořena čtverci o straně 4 cm, pruh je tvořený kosodélníky a trojúhelníky a má šířku 4 cm.

V jakém poměru je nepolepená část desky stolu k celé desce stolu?

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah celé desky

Deska stolu je obdélník o rozměrech 80 cm a 56 cm. Její obsah je 80 · 56 = 4 480 cm².

Obsah šachovnice

Šachovnice má podle obrázku 8 řad a 8 sloupců. Každé políčko má stranu 4 cm, takže strana celé šachovnice měří 8 · 4 = 32 cm. Šachovnice zabírá 32 · 32 = 1 024 cm².

Obsah pruhů

Na obrázku jsou čtyři polepené pruhy, které sahají od horního k dolnímu okraji desky. Každý má šířku 4 cm a délku 56 cm, tedy obsah 4 · 56 = 224 cm². Všechny čtyři pruhy dohromady zabírají 4 · 224 = 896 cm².

Poměr nepolepené části k celé desce

Polepená plocha má obsah 1 024 + 896 = 1 920 cm². Nepolepená část tedy zabírá 4 480 − 1 920 = 2 560 cm². Hledaný poměr je 2 560 : 4 480. Obě čísla vydělíme 640 a dostaneme 4 : 7.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

4:7

Stav úlohy
1 bod
Úloha 9.3

Adam se rozhodl, že si vyrobí originální šachový stolek. Koupil si černou a bílou samolepící folii a šedý stůl o rozměrech 80 cm a 56 cm polepil tak, jak je znázorněno na obrázku. Šachovnice je tvořena čtverci o straně 4 cm, pruh je tvořený kosodélníky a trojúhelníky a má šířku 4 cm.

V jakém poměru jsou černé a bílé plochy na desce stolu?

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

1:1

Stav úlohy
1 bod
Úloha 10

Petr postavil ze sedmi stejných kostek stavbu. Nakreslil si, jak vypadá stavba při pohledu zepředu, zleva a shora.

Kterou z uvedených staveb (A–E) Petr viděl tak, jak je uvedeno ve výchozím textu?

  • A)
  • B)
  • C)
  • D)
  • E)
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pohled shora

Shora vidíme pět obsazených míst: tři kostky vedle sebe v prostřední řadě, jednu před levou krajní kostkou a jednu za pravou krajní kostkou. Na každém z těchto míst musí být alespoň jedna kostka. Z celkových sedmi kostek tedy zbývají dvě na zvýšení stavby.

Pohled zepředu

Zepředu jsou výšky zleva doprava 2, 1 a 2 kostky. Jednu ze zbývajících kostek proto položíme na některou kostku vlevo a druhou na některou kostku vpravo. Prostřední část zůstane vysoká jednu kostku.

Pohled zleva

Při pohledu zleva je zadní část stavby v nákresu vlevo a přední část vpravo. Výšky od zadní části k přední jsou tedy 2, 2 a 1 kostka. V zadní řadě je jen pravá kostka, takže na ní musí stát další kostka. Druhou přidanou kostku položíme na levou kostku prostřední řady. Kostka vpředu zůstane nízká.

Výsledek a kontrola

Takto jsou kostky uspořádány ve stavbě C. Pět kostek tvoří spodní vrstvu a dvě stojí na nich, dohromady je to 5 + 2 = 7 kostek. Stavba C odpovídá všem třem pohledům, proto je správná odpověď C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 11

Přímky m, n jsou rovnoběžné. Přímky k, n a p se protínají v bodě B.

Jaký je součet velikostí úhlů α a β ?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočítejte (obrázek je ilustrační).

  • A) 101°
  • D) 137°
  • B) 121°
  • E) jiná velikost
  • C) 132°
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úhel mezi přímkami m a k

Vedle úhlu 135° je úhel mezi polopřímkami m a k směřujícími vzhůru. Tyto dva vedlejší úhly mají dohromady 180°, proto menší úhel měří 180° − 135° = 45°.

Výpočet úhlu β

Přímky m a n jsou rovnoběžné, takže odpovídající úhel mezi polopřímkami n a k směřujícími vzhůru v bodě B také měří 45°. Úhel β je k němu vrcholový, a proto β = 45°.

Výpočet úhlu α

V bodě B tvoří úhly 31° a 45° dohromady úhel mezi polopřímkou p směřující doprava a polopřímkou n směřující vzhůru: 31° + 45° = 76°. Protože m a n jsou rovnoběžné, souhlasný úhel α má stejnou velikost: α = 76°.

Součet úhlů

Sečteme vypočítané velikosti: α + β = 76° + 45° = 121°. Správná je možnost B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 12

Graf na obrázku znázorňuje výšku hladiny Vltavy v průběhu tří týdnů z července.
Výška hladiny vody se uvádí zaokrouhlená po 5 cm.
Nula znamená normální stav – výšku hladiny 120 cm.
Údaj ze 14. července není uveden.

Jak vysoko dosahovala hladina vody 14. července, jestliže průměrná hodnota výšky hladiny vody za uvedených 21 dní byla 115 cm?

  • A) 120 cm
  • D) 165 cm
  • B) 145 cm
  • E) 225 cm
  • C) 160 cm
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Co ukazuje graf

Nula v grafu znamená výšku hladiny 120 cm. Sloupce tedy ukazují, o kolik centimetrů byla hladina výš nebo níž. Průměrná výška 115 cm je o 5 cm nižší než normální stav, takže součet odchylek za 21 dní musí být $21 \cdot (-5) = -105$ cm.

Součet známých odchylek

Za prvních devět dní sečteme záporné odchylky: $-(30+35+40+30+20+20+15+10+5)=-205$ cm. Kladné odchylky z 10., 11., 12., 13., 15., 16. a 17. července dávají $15+20+20+30+15+10+5=115$ cm. Za poslední čtyři dny je součet $-(5+10+15+30)=-60$ cm. Dohromady tedy za 20 známých dní dostaneme $-205+115-60=-150$ cm.

Doplnění 14. července

Ke známému součtu −150 cm musíme přičíst 45 cm, aby vyšel požadovaný součet −105 cm. Dne 14. července byla hladina o 45 cm výš než normální stav: $120+45=165$ cm.

Výsledek a ověření

Součet skutečných výšek za 21 dní je $21 \cdot 120-150+45=2415$ cm. Průměr je $2415:21=115$ cm, což souhlasí se zadáním. Hladina 14. července dosahovala 165 cm, správná je možnost D.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 13

Graf na obrázku znázorňuje výšku hladiny Vltavy v průběhu tří týdnů z července.
Výška hladiny vody se uvádí zaokrouhlená po 5 cm.
Nula znamená normální stav – výšku hladiny 120 cm.
Údaj ze 14. července není uveden.

Jak se za deset dní od 4. 7. do 13. 7. v průměru lišila hladina vody oproti normálu?

(Pro tento výpočet použijte při poklesu hladiny pod normál číslo záporné, při stoupnutí hladiny vody nad normál číslo kladné dle grafu.)

  • A) Hladina byla o 2,5 cm níže oproti normálu.
  • D) Hladina byla o 1,5 cm výše oproti normálu.
  • B) Hladina byla o 1,5 cm níže oproti normálu.
  • E) Hladina byla o 2,5 cm výše oproti normálu.
  • C) Hladina se oproti normálu nelišila.
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Údaje z grafu

Od 4. do 13. července včetně počítáme 10 dní. Z grafu odečteme odchylky hladiny od normálu v centimetrech: −30, −20, −20, −15, −10, −5, +15, +20, +20, +30.

Průměrná odchylka

Záporné odchylky mají součet −100 cm, kladné +85 cm. Dohromady tedy dostaneme −100 + 85 = −15 cm. Součet vydělíme počtem dní: −15 : 10 = −1,5 cm.

Výsledek

Záporný průměr znamená, že hladina byla v průměru o 1,5 cm níže oproti normálu. Správná je možnost B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 14.1

Graf na obrázku znázorňuje výšku hladiny Vltavy v průběhu tří týdnů z července.
Výška hladiny vody se uvádí zaokrouhlená po 5 cm.
Nula znamená normální stav – výšku hladiny 120 cm.
Údaj ze 14. července není uveden.

Část Vltavy je pro vodáky splavná až od 135 cm a za den na ni může nejvýše 50 kajaků po 3 lidech a 10 raftů po 6 lidech.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Vltava byla splavná méně než 23 % sledovaných dnů.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hranice splavnosti

Nula v grafu odpovídá výšce hladiny 120 cm. Vltava je splavná od 135 cm, tedy při hodnotě v grafu alespoň 135 − 120 = 15 cm.

Počet splavných dnů

Hodnotu alespoň 15 cm mají dny 10., 11., 12., 13. a 15. července. To je 5 dnů. Údaj pro 14. července chybí, takže splavných dnů bylo nejméně 5.

Porovnání a výsledek

Sledované tři týdny mají 21 dnů. Už 5 splavných dnů představuje 5 : 21 · 100 ≈ 23,8 % sledovaných dnů. To je více než 23 %. Chybějící údaj může počet splavných dnů pouze zvýšit. Tvrzení je tedy nepravdivé: N.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
1 bod
Úloha 14.2

Graf na obrázku znázorňuje výšku hladiny Vltavy v průběhu tří týdnů z července.
Výška hladiny vody se uvádí zaokrouhlená po 5 cm.
Nula znamená normální stav – výšku hladiny 120 cm.
Údaj ze 14. července není uveden.

Část Vltavy je pro vodáky splavná až od 135 cm a za den na ni může nejvýše 50 kajaků po 3 lidech a 10 raftů po 6 lidech.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Na Vltavu se za uvedené období mohlo dostat nejvýše 1 260 lidí.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Podmínka splavnosti

Nula v grafu znamená hladinu 120 cm. Vltava je splavná od 135 cm, tedy při hodnotě v grafu alespoň 135 − 120 = 15 cm.

Počet splavných dní

Hodnotu alespoň 15 cm mají 10., 11., 12., 13. a 15. červenec, celkem 5 dní. Údaj ze 14. července chybí. Tento den může přidat nejvýše jeden další splavný den, takže za celé období mohlo být nejvýše 6 splavných dní.

Počet lidí za den

V kajacích může jet nejvýše 50 · 3 = 150 lidí a na raftech 10 · 6 = 60 lidí. Dohromady je to nejvýše 150 + 60 = 210 lidí za jeden splavný den.

Výsledek

Za nejvýše 6 splavných dní se na Vltavu mohlo dostat nejvýše 6 · 210 = 1 260 lidí. Tvrzení je pravdivé (A).
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
1 bod
Úloha 14.3

Graf na obrázku znázorňuje výšku hladiny Vltavy v průběhu tří týdnů z července.
Výška hladiny vody se uvádí zaokrouhlená po 5 cm.
Nula znamená normální stav – výšku hladiny 120 cm.
Údaj ze 14. července není uveden.

Část Vltavy je pro vodáky splavná až od 135 cm a za den na ni může nejvýše 50 kajaků po 3 lidech a 10 raftů po 6 lidech.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

13. 7. mohla nastat situace, že lidé na raftech tvořili alespoň 30 % vodáků.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výška hladiny 13. července

Pro 13. července ukazuje graf zvýšení hladiny o 30 cm oproti normálnímu stavu. Výška hladiny tedy byla 120 + 30 = 150 cm. To je více než potřebných 135 cm, takže část řeky byla splavná.

Možný počet vodáků

Počty 50 kajaků a 10 raftů jsou nejvyšší povolené počty. Nemusely vyplout všechny lodě. Mohlo například vyplout 20 kajaků a 10 raftů. Na kajacích by bylo 20 · 3 = 60 lidí a na raftech 10 · 6 = 60 lidí, dohromady 120 vodáků.

Posouzení tvrzení

Lidé na raftech by tvořili 60 ze 120 vodáků, tedy polovinu neboli 50 %. Protože 50 % je alespoň 30 %, uvedená situace mohla nastat. Tvrzení je pravdivé (A).
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
1 bod
Úloha 15.1

Babička si vzpomíná na výborný čaj proti kašli, ale zapomněla poměry, ve kterých se bylinky míchají. Vzpomíná si, že čaj byl z lipového květu, jitrocele a mateřídoušky. Lipový květ k jitroceli byl v poměru 2 : 3 a jitrocel k mateřídoušce také v poměru 2 : 3.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Babička přidávala ke 100 g lipového květu 150 g jitrocele.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet množství jitrocele

Lipový květ a jitrocel se míchají v poměru 2 : 3. Jestliže 2 díly lipového květu váží 100 g, jeden díl váží 100 : 2 = 50 g. Na jitrocel připadají 3 díly, tedy 3 · 50 = 150 g.

Výsledek

Ke 100 g lipového květu patří 150 g jitrocele. Tvrzení je pravdivé, odpověď je A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
1 bod
Úloha 15.2

Babička si vzpomíná na výborný čaj proti kašli, ale zapomněla poměry, ve kterých se bylinky míchají. Vzpomíná si, že čaj byl z lipového květu, jitrocele a mateřídoušky. Lipový květ k jitroceli byl v poměru 2 : 3 a jitrocel k mateřídoušce také v poměru 2 : 3.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Lipový květ k mateřídoušce bude v poměru 2 : 3.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Sjednocení dílů jitrocele

Poměr lipového květu k jitroceli 2 : 3 rozšíříme dvěma na 4 : 6. Poměr jitrocele k mateřídoušce 2 : 3 rozšíříme třemi na 6 : 9. Jitrocel tak v obou poměrech představuje 6 stejných dílů.

Poměr lipového květu k mateřídoušce

Na 4 díly lipového květu připadá 6 dílů jitrocele a 9 dílů mateřídoušky. Poměr lipového květu k mateřídoušce je tedy 4 : 9.

Rozhodnutí o tvrzení

Poměr 2 : 3 můžeme rozšířit na 4 : 6, což se nerovná 4 : 9. Tvrzení je proto nepravdivé. Odpověď je N.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
1 bod
Úloha 15.3

Babička si vzpomíná na výborný čaj proti kašli, ale zapomněla poměry, ve kterých se bylinky míchají. Vzpomíná si, že čaj byl z lipového květu, jitrocele a mateřídoušky. Lipový květ k jitroceli byl v poměru 2 : 3 a jitrocel k mateřídoušce také v poměru 2 : 3.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Babička přidávala k 200 g lipového květu 450 g mateřídoušky.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Množství jitrocele

Lipový květ a jitrocel jsou v poměru 2 : 3. Dva díly lipového květu váží 200 g, takže jeden díl váží 200 : 2 = 100 g. Jitrocele potřebujeme 3 · 100 = 300 g.

Množství mateřídoušky

Jitrocel a mateřídouška jsou také v poměru 2 : 3. Tentokrát dva díly tvoří 300 g jitrocele, takže jeden díl váží 300 : 2 = 150 g. Mateřídoušky potřebujeme 3 · 150 = 450 g.

Výsledek

K 200 g lipového květu patří 450 g mateřídoušky. Tvrzení je pravdivé, odpověď je A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.1

Jana naplánovala pro sebe a svou kamarádku Olinu výlet. Jedna třetina cesty vedla po rovině, tři čtvrtiny zbytku do kopce a posledních 800 m z kopce.

Jaká byla délka celé cesty?

Výsledek uveďte v kilometrech.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zbytek cesty po rovině

Po rovině vedla třetina celé cesty. Zbytek se dělil na čtyři stejné díly: tři vedly do kopce a jeden z kopce. Úsek z kopce měřil 800 m, takže celý zbytek měřil 4 · 800 = 3 200 m.

Délka celé cesty

Po odečtení jedné třetiny zbývají dvě třetiny celé cesty. Ty měří 3 200 m, takže jedna třetina měří 3 200 : 2 = 1 600 m. Celá cesta měří 3 · 1 600 = 4 800 m.

Výsledek v kilometrech

Převedeme metry na kilometry: 4 800 : 1 000 = 4,8 km. Celá cesta měřila 4,8 km.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

4,8 km

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.2

Jana naplánovala pro sebe a svou kamarádku Olinu výlet. Jedna třetina cesty vedla po rovině, tři čtvrtiny zbytku do kopce a posledních 800 m z kopce.

Cesta byla vyznačena na mapě s měřítkem 1 : 24 000.

Jak dlouhá byla cesta na této mapě?

Výsledek uveďte v centimetrech.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cesta do kopce a z kopce

Po rovině vedla třetina celé cesty. Ze zbytku vedly tři čtvrtiny do kopce, takže posledních 800 m z kopce tvořilo jednu čtvrtinu zbytku. Celý zbytek tedy měřil 4 · 800 = 3 200 m.

Celková délka cesty

Zbytek dlouhý 3 200 m tvořil dvě třetiny celé cesty. Jedna třetina měřila 3 200 : 2 = 1 600 m. Celá cesta proto měřila 3 · 1 600 = 4 800 m.

Délka na mapě

Měřítko 1 : 24 000 znamená, že 1 cm na mapě odpovídá 24 000 cm = 240 m ve skutečnosti. Délku cesty na mapě vypočítáme: 4 800 : 240 = 20 cm. Cesta na mapě byla dlouhá 20 cm.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

20 cm

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.3

Jana naplánovala pro sebe a svou kamarádku Olinu výlet. Jedna třetina cesty vedla po rovině, tři čtvrtiny zbytku do kopce a posledních 800 m z kopce.

40 % cesty nesla batoh Jana.

Kolik kilometrů nesla batoh Jana?

Výsledek zaokrouhlete na desetiny kilometrů.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení cesty

Po rovině vedla třetina celé cesty, takže zbývaly dvě třetiny. Z tohoto zbytku vedly tři čtvrtiny do kopce a jedna čtvrtina z kopce. Posledních 800 m tedy tvořilo jednu čtvrtinu zbytku.

Délka celé cesty

Zbytek po odečtení roviny měřil 800 · 4 = 3 200 m. To jsou dvě třetiny celé cesty. Jedna třetina měřila 3 200 : 2 = 1 600 m, a celá cesta tedy 1 600 · 3 = 4 800 m = 4,8 km.

Janina část cesty

Jana nesla batoh 40 % cesty, tedy čtyři desetiny její délky. Vypočítáme 4,8 : 10 · 4 = 1,92 km.

Zaokrouhlení a výsledek

Číslo 1,92 zaokrouhlíme na desetiny. Na místě setin je 2, takže desetiny nezvyšujeme. Jana nesla batoh 1,9 km.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1,9

Stav úlohy
2 body