Přijímací testy 7. ročník

Podkategorie: Matematika 7. ročník — 2. řádný termín 2023

28 úloh

Úloha 1

Hodiny, které jdou přesně, ukazují čas 21:42.

Vypočtěte, jaký čas budou ukazovat za 212 minut.

Zobrazit odpověď

1:14

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod minut na hodiny a minuty

Nejdříve si 212 minut převedeme na hodiny a zbývající minuty. Víme, že jedna hodina má 60 minut. Třikrát 60 je 180, do 212 nám tedy zbývá 32 minut.
$212 \text{ min} = 3 \text{ h } 32 \text{ min}$

Přičtení celých hodin

K času 21:42 přičteme nejdříve 3 celé hodiny. Tím se dostaneme přes půlnoc na 00:42.

Přičtení zbývajících minut a výsledek

Nakonec k času 00:42 přičteme zbývajících 32 minut. Minuty dohromady dají $42 + 32 = 74$. Protože 60 minut tvoří další hodinu, získáme 1 hodinu a 14 minut. Z času 00:42 se tak posuneme o hodinu a 14 minut na konečných 01:14.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 2.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{10}{13} \cdot \left( \frac{7}{10} - \frac{3}{8} \right) \div 2 =$

Zobrazit odpověď

1/8

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet v závorce

Nejprve vypočítáme rozdíl zlomků v závorce. Společným jmenovatelem pro čísla 10 a 8 je nejmenší společný násobek, tedy číslo 40.
$\frac{7}{10} - \frac{3}{8} = \frac{28 - 15}{40} = \frac{13}{40}$

Krok 2: Násobení zlomků

Získaný výsledek vynásobíme zlomkem před závorkou. V čitateli i jmenovateli máme číslo 13, které můžeme vykrátit. Zároveň vykrátíme čísla 10 a 40 deseti.
$\frac{10}{13} \cdot \frac{13}{40} = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

Krok 3: Dělení a konečný výsledek

Nakonec výsledek vydělíme dvěma. Dělit dvěma je stejné jako násobit jednou polovinou.
$\frac{1}{4} : 2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{27}{28} \cdot \frac{2}{9} }{\displaystyle 1 - \frac{5}{3} + \frac{2}{7} } =$

Zobrazit odpověď

-9/16

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Nejdříve vypočítáme součin v čitateli složeného zlomku. Před násobením můžeme krátit: 27 a 9 číslem 9 (zbyde 3 a 1) a 28 a 2 číslem 2 (zbyde 14 a 1).
$\frac{27}{28} \cdot \frac{2}{9} = \frac{3}{14} \cdot \frac{1}{1} = \frac{3}{14}$

Výpočet jmenovatele

Potom vypočítáme hodnotu ve jmenovateli složeného zlomku. Najdeme společného jmenovatele pro čísla 1, 3 a 7, což je 21.
$1 - \frac{5}{3} + \frac{2}{7} = \frac{21}{21} - \frac{35}{21} + \frac{6}{21} = \frac{21 - 35 + 6}{21} = -\frac{8}{21}$

Výpočet celého výrazu

Nyní vydělíme čitatel jmenovatelem (tedy horní výsledek spodním). Dělení zlomkem nahradíme násobením převrácenou hodnotou. Opět můžeme krátit: 14 a 21 číslem 7 (zbyde 2 a 3).
$\frac{\frac{3}{14}}{-\frac{8}{21}} = \frac{3}{14} \cdot \left( -\frac{21}{8} \right) = \frac{3 \cdot (-3)}{2 \cdot 8} = -\frac{9}{16}$

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3.1

Přečteme-li číslo 2 073 zprava, získáme číslo 3 702. Kladné celé číslo, které čteme zleva i zprava stejně, se nazývá palindromické číslo, např. 73 937.

Určete nejmenší pěticiferné palindromické číslo, ve kterém se vyskytují tři různé číslice.

Zobrazit odpověď

10 201

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Tvar palindromu

Pěticiferné palindromické číslo se čte stejně zleva i zprava. Musí tedy vypadat takto: na prvním a posledním místě je stejná číslice, na druhém a čtvrtém místě je také stejná číslice a uprostřed je třetí číslice. Můžeme si to zapsat jako $abcba$.

Hledání nejmenšího čísla

Aby bylo číslo co nejmenší, musí být na prvním místě co nejmenší možná číslice (kromě nuly, protože číslo nemůže začínat nulou). Vybereme tedy číslici 1. Číslo teď vypadá takto: $1bcb1$.

Druhá číslice

Pro druhou pozici chceme opět co nejmenší číslici, tentokrát už můžeme použít i nulu. Vybereme tedy číslici 0. Číslo má nyní tvar $10c01$.

Tři různé číslice

V zadání je podmínka, že se v čísle musí vyskytovat tři různé číslice. Zatím máme číslice 1 a 0. Jako prostřední číslici $c$ musíme vybrat takovou, která je co nejmenší, ale není to 0 ani 1. Nejmenší taková číslice je 2.

Výsledek

Dosadíme číslici 2 na prostřední místo a získáme číslo 10 201. Toto číslo je pěticiferné, je to palindrom a má tři různé číslice (0, 1, 2).

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 3.2

Přečteme-li číslo 2 073 zprava, získáme číslo 3 702. Kladné celé číslo, které čteme zleva i zprava stejně, se nazývá palindromické číslo, např. 73 937.

Určete nejmenší kladné číslo, jehož přičtením k palindromickému číslu 73 937 získáme opět palindromické číslo.

Zobrazit odpověď

110

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Co je to palindrom

Palindromické číslo se čte stejně zepředu i zezadu. Naše číslo je 73 937. Aby číslo zůstalo palindromem i po zvětšení, musí mít první číslici stejnou jako poslední a druhou stejná jako předposlední.

Hledání dalšího palindromu

U čísla 73 937 máme uprostřed devítku. Pokud chceme získat nejbližší vyšší palindrom, musíme zvětšit číslici na místě tisíců (trojku) na čtyřku. Tím se nám změní začátek čísla na 74. Aby to byl palindrom, musí číslo i končit číslicemi 47.

Sestavení nového čísla

Nové číslo tedy začíná 74 a končí 47. Doprostřed (na místo stovek) dáme nejmenší možnou číslici, aby byl výsledek co nejmenší. Zvolíme tedy nulu. Nové palindromické číslo je 74 047.

Výpočet výsledku

Nyní zjistíme, o kolik je nové číslo větší než to původní. Provedeme odčítání:
74 047 − 73 937 = 110

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.1

Čísla v oválech musí být kladná a všechny výpočty provedené ve směru šipek musí být správné.
VZOR:

Určete, jaké číslo bude v diagramu místo otazníku.

Zobrazit odpověď

120

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet prostředního oválu

Víme, že v posledním (dolním) oválu je číslo 18. K němu jsme se dostali z prostředního oválu vynásobením číslem 0,2. Pro výpočet prostředního oválu tedy musíme provést opačnou operaci – dělení:
$18 : 0,2 = 180 : 2 = 90$

Krok 2: Výpočet čísla místo otazníku

Nyní víme, že v prostředním oválu je číslo 90. K tomuto číslu jsme se dostali z prvního oválu (otazníku) dělením zlomkem $\frac{4}{3}$. Pro získání původního čísla opět provedeme opačnou operaci – násobení:
$90 \cdot \frac{4}{3} = \frac{90 \cdot 4}{3} = 30 \cdot 4 = 120$

Závěr

Místo otazníku v diagramu patří číslo 120. Správnost si můžeme ověřit: $120 : \frac{4}{3} = 120 \cdot \frac{3}{4} = 90$ a následně $90 \cdot 0,2 = 18$.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 4.2

Čísla v oválech musí být kladná a všechny výpočty provedené ve směru šipek musí být správné.
VZOR:

Určete, jaké číslo bude v diagramu místo otazníku.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza schématu

Diagram představuje uzavřený cyklus operací se třemi ovály. Označme si číslo v prvním (levém horním) oválu jako $x$. Podle šipek a operací v diagramu platí:

Z prvního oválu do druhého: číslo $x$ vynásobíme $\frac{3}{4}$, tedy v druhém oválu bude $x \cdot \frac{3}{4}$.
Z druhého oválu do třetího: výsledek vynásobíme $8$, tedy ve třetím oválu bude $(x \cdot \frac{3}{4}) \cdot 8$.
Ze třetího oválu zpět do prvního: výsledek vydělíme neznámým číslem „?“, čímž se musíme vrátit k původnímu číslu $x$.

Výpočet hodnoty v cyklu

Nejprve vypočítáme, jaké číslo dostaneme po prvních dvou operacích: $ (x \cdot \frac{3}{4}) \cdot 8 = x \cdot (\frac{3}{4} \cdot 8) = x \cdot (3 \cdot 2) = x \cdot 6 $ Po dvou krocích jsme tedy na šestinásobku původního čísla.

Určení neznámého dělitele

V posledním kroku se musíme z hodnoty $x \cdot 6$ vrátit zpět k číslu $x$ pomocí dělení: $ (x \cdot 6) : ? = x $ Aby rovnost platila pro libovolné kladné číslo $x$, musí být dělitel roven $6$.

Závěr

Místo otazníku v diagramu bude číslo 6.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.1

V aquaparku je zapůjčení županu o 30 korun dražší než zapůjčení osušky. Zapůjčení 5 osušek stojí stejně jako zapůjčení 3 županů.

Vypočtěte, kolik korun stojí v aquaparku zapůjčení jednoho županu.

Zobrazit odpověď

75 korun

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl v ceně

Jeden župan stojí o 30 korun více než jedna osuška. Kdybychom si tedy půjčili 3 župany místo 3 osušek, zaplatili bychom o 90 korun více ($3 \cdot 30 = 90$).

Porovnání

Víme, že 3 župany stojí stejně jako 5 osušek. To znamená, že 5 osušek stojí o 90 korun více než 3 osušky.

Cena osušky

Rozdíl mezi 5 osuškami a 3 osuškami jsou 2 osušky. Jestliže tyto 2 osušky navíc stojí 90 korun, pak jedna osuška musí stát 45 korun ($90 : 2 = 45$).

Cena županu

Župan je o 30 korun dražší než osuška. K ceně osušky (45 korun) přičteme 30 korun a získáme cenu županu: $45 + 30 = 75$ korun.

Výsledek

Zapůjčení jednoho županu stojí 75 korun.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.2

Na plaveckém tréninku uplavali Jirka, Míša a Pavla dohromady 126 bazénů. Míša uplavala o třetinu více bazénů než Jirka a dvakrát více bazénů než Pavla.

Vypočtěte, kolik bazénů uplavala na tréninku Míša.

Zobrazit odpověď

56 bazénů

2 body

Úloha 6.1

Šest kamarádů si v mobilní aplikaci posílalo různé vzkazy. Vytvořili si mezi sebou jednak všechny možné pětičlenné skupiny, jednak všechny možné dvoučlenné skupiny.

Určete, kolik vytvořili pětičlenných skupin.

Zobrazit odpověď

6 pětičlenných skupin

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet kamarádů

Víme, že v mobilní aplikaci je celkem 6 kamarádů, ze kterých se tvoří skupiny.

Tvoření pětičlenných skupin

Pětičlennou skupinu vytvoříme tak, že z 6 kamarádů vybereme 5 a jeden kamarád vždy zůstane mimo skupinu.

Počet možností

Vybrat 5 kamarádů ze 6 je stejné jako vybrat 1 kamaráda, který ve skupině nebude. Protože máme celkem 6 kamarádů, můžeme vynechat postupně každého z nich (zůstane buď 1., 2., 3., 4., 5., nebo 6. kamarád). Existuje tedy právě 6 možností.

Výsledek

Kamarádi vytvořili celkem 6 pětičlenných skupin.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6.2

Šest kamarádů si v mobilní aplikaci posílalo různé vzkazy. Vytvořili si mezi sebou jednak všechny možné pětičlenné skupiny, jednak všechny možné dvoučlenné skupiny.

Určete, kolik vytvořili dvoučlenných skupin.

Zobrazit odpověď

15 dvoučlenných skupin

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Všech 30 dvojic

Každý z 6 kamarádů si může vybrat za partnera kteréhokoli z 5 zbývajících kamarádů. To je celkem $6 \cdot 5 = 30$ možností.

Dvojice započítané dvakrát

V tomto výpočtu jsme ale každou dvojici započítali dvakrát. Například dvojice Petr–Pavel je započítána jednou, když vybírá Petr Pavla, a podruhé, když vybírá Pavel Petra. Je to ale stále ta samá skupina.

Konečný výpočet

Protože jsme každou dvojici započítali dvakrát, musíme celkový počet vydělit dvěma: $30 : 2 = 15$

Výsledek

Kamarádi vytvořili celkem 15 dvoučlenných skupin.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 7.1

Kolmý čtyřboký hranol má výšku 20 cm. Podstavou hranolu je kosodélník s obvodem 30 cm. Délka jedné strany kosodélníku je 7 cm a výška kosodélníku na sousední stranu měří 6 cm.

Vypočtěte v cm součet délek všech hran hranolu.

Zobrazit odpověď

140 cm

2 body

Úloha 7.2

Kolmý čtyřboký hranol má výšku 20 cm. Podstavou hranolu je kosodélník s obvodem 30 cm. Délka jedné strany kosodélníku je 7 cm a výška kosodélníku na sousední stranu měří 6 cm.

Vypočtěte v cm³ objem hranolu.

Zobrazit odpověď

960 cm³

2 body

Úloha 8

V rovině leží bod F a přímka g.

Bod F je vrchol rovnoramenného trojúhelníku EFG.
Strana EF tohoto trojúhelníku měří 5 cm a leží na kolmici k přímce g.
Na přímce g leží vrchol G trojúhelníku EFG.

Sestrojte vrcholy E, G trojúhelníku EFG, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 9

V rovině leží body S, Q a přímka p.

Na přímce p leží vrcholy C, D obdélníku ABCD.
Bod S je střed strany AD tohoto obdélníku.
Bodem Q prochází úhlopříčka obdélníku ABCD.

Sestrojte všechny vrcholy obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 10.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou zakresleny bílé obrazce A, C, E a tmavé obrazce B, D, F. Vrcholy všech obrazců leží v mřížových bodech čtvercové sítě.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah obrazce B je čtvrtinou obsahu obrazce A.

Zobrazit odpověď

Ano

4 body za skupinu

Úloha 10.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou zakresleny bílé obrazce A, C, E a tmavé obrazce B, D, F. Vrcholy všech obrazců leží v mřížových bodech čtvercové sítě.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah obrazce C je třikrát větší než obsah obrazce D.

Zobrazit odpověď

Ano

4 body za skupinu

Úloha 10.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou zakresleny bílé obrazce A, C, E a tmavé obrazce B, D, F. Vrcholy všech obrazců leží v mřížových bodech čtvercové sítě.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah obrazce E je o třetinu větší než obsah obrazce F.

Zobrazit odpověď

Ano

4 body za skupinu

Úloha 11

Pravoúhlý trojúhelník ABC je dvěma úsečkami CD a DE rozdělen na tři trojúhelníky, z nichž dva jsou také pravoúhlé (viz obrázek).

Jaká je velikost úhlu φ?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

A) menší než 55°
D) 75°
B) 55°
E) větší než 75°
C) 65°

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 12

Stavba byla vytvořena ze stejně velkých válců tří různých barev. Stavbu jsme zobrazili při pohledu zepředu a shora.

Který z obrázků může představovat pohled na stavbu zprava?

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor prvků stavby

Ze zadání víme, že stavba je tvořena válci tří barev a je uspořádána do dvou řad (pohled shora). Na pravém konci obou řad stojí vysoké světle šedé válce. Při pohledu zprava tyto dva válce uvidíme jako dva svislé pilíře na levém a pravém okraji. Mezi těmito pilíři pak uvidíme zbytek stavby, který se nachází v mezeře mezi řadami.

Barevné vrstvy

Podle pohledu zepředu jsou prvky v levé části stavby uspořádány do tří pater nad sebou:

Dolní patro: bílá barva (vodorovný obdélník),
Prostřední patro: šedá barva (dvě šedé „koule“),
Horní patro: bílá barva (další vodorovný obdélník).

Toto barevné pořadí (odspodu: bílá – šedá – bílá) musí být zachováno i při pohledu zprava v prostoru mezi pilíři.

Výběr správného pohledu

Při pohledu zprava uvidíme konce válců, které leží kolmo k nám, jako kruhy a boky válců jako obdélníky:

V horní části uvidíme bílý kruh (konec bílého válce ležícího mezi řadami).
Uprostřed uvidíme šedý kruh (konec šedého válce).
Dole uvidíme bílou obdélníkovou plochu, která odpovídá spodnímu bílému prvku.

Tomuto popisu a barevnému schématu odpovídá pouze obrázek D. Ostatní možnosti mají buď špatné barvy (např. C má šedý spodek), nebo jim chybí některá vrstva (např. E).

Závěr

Správnou odpovědí je obrázek D, který jako jediný správně zobrazuje všechny tři barevné vrstvy i oba boční pilíře.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 13

Každá bytost na planetě Zorstar má právě tři nohy a zároveň má buď tři oči, nebo čtyři oči. Na náměstí se sešly bytosti, které měly dohromady 84 nohou. Mezi nimi bylo tříokých bytostí o 8 více než čtyřokých.

Kolik očí měly dohromady všechny bytosti, které se sešly na náměstí?

A) 94 očí
D) 122 očí
B) 96 očí
E) 130 očí
C) 102 očí

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet bytostí

Víme, že každá bytost má právě 3 nohy a dohromady mají všechny bytosti 84 nohou. Počet všech bytostí na náměstí tedy zjistíme tak, že celkový počet nohou vydělíme třemi:
84 : 3 = 28
Na náměstí se tedy sešlo 28 bytostí.

Rozdělení na tříoké a čtyřoké

Bytostí je celkem 28 a tříokých je o 8 více než čtyřokých. Pokud bychom od celkového počtu 28 bytostí odečetli těchto 8, o které je tříokých více, zůstane nám 20 bytostí:
28 − 8 = 20
Těchto 20 bytostí by nyní tvořilo dvě stejně velké skupiny. V každé by jich bylo 10:
20 : 2 = 10

Počty v každé skupině

Čtyřokých bytostí je tedy 10. Tříokých bytostí je o 8 více než čtyřokých, tedy:
10 + 8 = 18
Dohromady je to skutečně $10 + 18 = 28$ bytostí.

Celkový počet očí

Nyní vypočítáme oči pro obě skupiny a pak je sečteme:
Tříoké bytosti: $18 \cdot 3 = 54$ očí
Čtyřoké bytosti: $10 \cdot 4 = 40$ očí
Celkem očí: $54 + 40 = 94$ očí

Výsledek

Všechny bytosti mají dohromady 94 očí. Správná je tedy možnost A.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 14

Sára, Lukáš, Dan a Adéla hráli hru, ve které získávali body.
Sára získala stejný počet bodů jako Lukáš. Dan získal 60 bodů, což je o polovinu bodů více, než získali Sára a Lukáš dohromady, ale o čtvrtinu bodů méně, než získala Adéla.

Který z grafů zobrazuje odpovídající počty bodů získaných ve hře?

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet bodů Sáry a Lukáše

Dan získal 60 bodů. V zadání se uvádí, že Danův počet bodů je o polovinu vyšší, než kolik získali Sára a Lukáš dohromady. Danových 60 bodů tedy představuje 150 % (nebo tři poloviny) jejich společného zisku.

Jedna polovina jejich zisku je $60 : 3 = 20$ bodů.
Sára a Lukáš dohromady získali $20 \cdot 2 = 40$ bodů.

Protože Sára i Lukáš mají stejný počet bodů, každý z nich získal $40 : 2 = 20$ bodů.

Výpočet bodů Adély

Dan získal 60 bodů, což je o čtvrtinu méně, než kolik získala Adéla. Těchto 60 bodů tedy odpovídá třem čtvrtinám Adélina zisku.

Jedna čtvrtina Adéliných bodů je $60 : 3 = 20$ bodů.
Adéla celkem získala $20 \cdot 4 = 80$ bodů.

Výběr správného grafu

Shrneme si vypočítané počty bodů:

Sára: 20
Lukáš: 20
Dan: 60
Adéla: 80

Hledáme graf, kde jsou sloupce Sáry a Lukáše stejně vysoké (20 bodů), Danův sloupec odpovídá hodnotě 60 a Adélin sloupec je nejvyšší (80 bodů). V grafu u možnosti D je svislá osa rozdělena vodorovnými linkami po 20 jednotkách (číslo 60 je u třetí linky nad nulou). Výšky sloupců v tomto grafu přesně odpovídají našim výpočtům.

Závěr

Odpovídající počty bodů zobrazuje graf v možnosti D.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 15.1

Částka 200 tisíc korun vyčleněná na odměny byla rozdělena mezi dvě oddělení. První oddělení dostalo z této částky 130 tisíc korun.

Kolik procent z vyčleněné částky dostalo druhé oddělení?

A) méně než 35 %
D) 55 %
B) 35 %
E) 60 %
C) 45 %
F) více než 60 %

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 15.2

Maminka umyla 40 % oken v domě.
Ze zbývajících 12 oken v domě jich 9 umyl tatínek.

Kolik procent oken v domě umyl tatínek?

A) méně než 35 %
D) 55 %
B) 35 %
E) 60 %
C) 45 %
F) více než 60 %

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 15.3

Jonáš si z kapesného koupil pouze knihu a míč.
Za knihu utratil čtvrtinu kapesného a za míč pak utratil 20 % zbytku kapesného.
Vše, co z kapesného neutratil, uložil do kasičky.

Kolik procent kapesného uložil Jonáš do kasičky?

A) méně než 35 %
D) 55 %
B) 35 %
E) 60 %
C) 45 %
F) více než 60 %

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 16.1

Základním dílkem je 1. obdélník, který je rozdělený na bílý čtvereček a šest stejně velkých trojúhelníků – bílé přiléhají ke kratším stranám obdélníku a šedé k delším stranám.
Spojováním základních dílků vytváříme větší obdélníky podle následujících pravidel:
- Přiléhají k sobě pouze trojúhelníky téže barvy, a jejich spojením tak vznikají další čtverečky.
- Delší strana obdélníku je vždy dvakrát delší než kratší strana obdélníku.
- V prvním obdélníku přiléhá ke kratší straně jeden bílý trojúhelník a v každém dalším obdélníku vždy o jeden bílý trojúhelník více než v předchozím obdélníku.

Určete, kolik čtverečků (bílých i šedých dohromady) obsahuje 4. obdélník.

Zobrazit odpověď

52 čtverečků

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor základního dílku (1. obdélník)

Základní dílek (1. obdélník) obsahuje jeden bílý čtvereček uprostřed a šest trojúhelníků po stranách. Na obou kratších stranách je po jednom bílém trojúhelníku. Na obou delších stranách jsou dva šedé trojúhelníky. Delší strana je dvakrát delší než kratší strana.

Skládání 4. obdélníku

Pravidlo říká, že 4. obdélník má na kratší straně o 3 bílé trojúhelníky více než první, tedy celkem 4 bílé trojúhelníky. To znamená, že výška obdélníku odpovídá 4 základním dílkům. Protože delší strana musí být dvakrát delší než kratší, bude i šířka odpovídat 4 základním dílkům. Celý 4. obdélník je tedy složen ze sítě 4×4 základních dílků (celkem 16 dílků).

Výpočet bílých čtverečků

Bílé čtverečky jsou tvořeny středy dílků a spojením bílých trojúhelníků na krátkých stranách.

Středy dílků: 16 čtverečků.
Spoje mezi dílky: V každé ze 4 vodorovných řad jsou 3 spoje mezi dílky. Každý spoj vytvoří 1 bílý čtvereček. Celkem 4 × 3 = 12 čtverečků.

Celkem máme $16 + 12 = 28$ bílých čtverečků.

Výpočet šedých čtverečků

Šedé čtverečky vznikají pouze spojením šedých trojúhelníků na dlouhých stranách dílků. Máme 4 svislé sloupce dílků a mezi nimi 3 vodorovné linie spojů. V každé linii jsou 4 spoje. Každý spoj dvou dlouhých stran vytvoří 2 šedé čtverečky (protože na každé straně jsou 2 trojúhelníky). Celkem máme $3 × 4 × 2 = 24$ šedých čtverečků.

Celkový počet

Dohromady v 4. obdélníku napočítáme $28 + 24 = 52$ čtverečků.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 16.2

Určete, kolik šedých čtverečků obsahuje obdélník se 45 bílými čtverečky.

Zobrazit odpověď

40 šedých čtverečků

Zobrazit postup řešení (6 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Rozbor základního dílku

Základním stavebním kamenem (1. obdélníkem) je obrazec, který obsahuje 1 bílý čtvereček a šest trojúhelníků. Podle zadání přiléhají ke kratším stranám 2 bílé trojúhelníky a k delším stranám 4 šedé trojúhelníky (dva nahoře a dva dole). Celý obdélník má rozměr $1 \times 2$ jednotky (kde jednotkou je výška trojúhelníku).

Krok 2: Pravidlo pro skládání obdélníků

Větší obdélníky tvoříme skládáním těchto základních dílků do mřížky. Obdélník, který má na kratší straně $n$ bílých trojúhelníků, vznikne složením $n \times n$ základních dílků. Takový obdélník má výšku $n$ a délku $2n$ jednotek, což odpovídá pravidlu, že delší strana je dvakrát delší než kratší.

Krok 3: Výpočet počtu bílých čtverečků

Bílé čtverečky v obdélníku složeném z $n \times n$ dílků vznikají dvojím způsobem:

Z vnitřku dílků: Každý z $n^2$ dílků obsahuje 1 bílý čtvereček. To je $n^2$ čtverečků.
Spojením bílých trojúhelníků: V každé z $n$ řad je vedle sebe $n$ dílků. Mezi nimi vzniká $n-1$ spojů, kde se setkávají dva bílé trojúhelníky a vytvoří jeden bílý čtvereček. Celkem je to $n \times (n-1)$ bílých čtverečků.

Celkový počet bílých čtverečků $W$ je tedy: $W = n^2 + n \times (n-1) = n^2 + n^2 - n = 2n^2 - n$.

Krok 4: Určení typu obdélníku

Hledáme obdélník se 45 bílými čtverečky. Dosadíme do vzorce $2n^2 - n = 45$: - Pro $n = 4$ je $2 \times 16 - 4 = 28$. - Pro $n = 5$ je $2 \times 25 - 5 = 45$. Zjistili jsme, že se jedná o obdélník složený z mřížky $5 \times 5$ základních dílků.

Krok 5: Výpočet šedých čtverečků

Šedé čtverečky vznikají pouze spojením šedých trojúhelníků na delších stranách dílků (ve svislém směru): - Máme $n$ sloupců, v každém sloupci je nad sebou $n$ dílků, což znamená $n-1$ vodorovných spojů mezi nimi. - Každý spoj mezi dvěma dílky probíhá po celé délce jejich delší strany, kde se setkávají dvě dvojice šedých trojúhelníků. Jeden takový spoj tedy vytvoří 2 šedé čtverečky. - Celkový počet šedých čtverečků je tedy $n \times (n-1) \times 2$. Pro $n = 5$ vypočítáme: $5 \times 4 \times 2 = 40$.

Závěr

Obdélník se 45 bílými čtverečky obsahuje 40 šedých čtverečků.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 16.3

Určete, kolik bílých čtverečků obsahuje obdélník, ve kterém je bílých čtverečků o 7 více než šedých.

Zobrazit odpověď

91 bílých čtverečků

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor základního dílku

Základní dílek (1. obdélník) se skládá z jednoho bílého čtverečku uprostřed a šesti trojúhelníků na okrajích (2 bílé na kratších stranách a 4 šedé na delších stranách). Při spojování dílků k sobě vytvoří dva trojúhelníky stejné barvy jeden nový čtvereček. Čtverečky (trojúhelníky) na vnějším okraji celého obrazce do počtu čtverečků nezapočítáváme.

Analýza obrazců

Každý další obdélník v řadě má na kratší straně o jeden bílý trojúhelník více. To znamená, že $n$-tý obdélník je tvořen sítí $n \times n$ základních dílků. Celkový počet dílků v obrazci je tedy $n^2$.

Vyjádření počtu čtverečků

Počet bílých čtverečků ($B$) v $n$-tém obdélníku vypočítáme jako součet vnitřních čtverečků z dílků ($n^2$) a čtverečků vzniklých spojením bílých trojúhelníků v řadách ($n \cdot (n-1)$):
$B = n^2 + n^2 - n = 2n^2 - n$

Počet šedých čtverečků ($Š$) vznikne spojením šedých trojúhelníků ve sloupcích. V každém z $n$ sloupců je $n-1$ spojů a každý spoj vytvoří 2 šedé čtverečky:
$Š = n \cdot (n-1) \cdot 2 = 2n^2 - 2n$

Porovnání počtu čtverečků

Hledáme obdélník, ve kterém je bílých čtverečků o 7 více než šedých. Rozdíl mezi počtem bílých a šedých čtverečků je:
$B - Š = (2n^2 - n) - (2n^2 - 2n) = 2n^2 - n - 2n^2 + 2n = n$
Z rovnice $n = 7$ vidíme, že se jedná o 7. obdélník v pořadí.

Výpočet výsledku

Nyní vypočítáme přesný počet bílých čtverečků v tomto 7. obdélníku:
$B = 2 \cdot 7^2 - 7 = 2 \cdot 49 - 7 = 98 - 7 = 91$

Pomohlo vám toto řešení?

2 body