Načítání…
Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 7. ročník

Podkategorie: Matematika 7. ročník — 2. náhradní termín 2023

29 úloh

PDF+Klíč
Úloha 1

Hmotnosti dvou závaží jsou v poměru 3∶5 a liší se o 600 g.

Vypočtěte v gramech hmotnost lehčího závaží.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl počtu dílů

Lehčí závaží má 3 stejné díly a těžší 5 takových dílů. Rozdíl je 5 − 3 = 2 díly, které dohromady váží 600 g.

Hmotnost jednoho dílu

Hmotnost jednoho dílu vypočítáme: 600 : 2 = 300 g.

Hmotnost lehčího závaží

Lehčí závaží má 3 díly, proto váží 3 · 300 = 900 g. Ověříme: těžší závaží váží 5 · 300 = 1 500 g a rozdíl je 1 500 − 900 = 600 g.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

900 g

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{9}{14} \cdot \left( 2 \cdot \frac{1}{6} - \frac{3}{8} \cdot 4 \right) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet v závorce

Nejprve vypočítáme oba součiny uvnitř závorky. Před násobením si můžeme zlomky zkrátit nebo je vynásobit přímo a zkrátit až poté.
  • $2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
  • $\frac{3}{8} \cdot 4 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Krok 2: Odečtení v závorce

Nyní odečteme výsledky součinů. Pro odečítání zlomků musíme najít společného jmenovatele, kterým je pro čísla 3 a 2 číslo 6.
$\frac{1}{3} - \frac{3}{2} = \frac{2}{6} - \frac{9}{6} = -\frac{7}{6}$

Krok 3: Násobení zlomků a krácení

Výsledek závorky vynásobíme zlomkem před závorkou. Výsledné znaménko bude záporné. Před samotným násobením zkrátíme čitatele proti jmenovatelům (čísla 9 a 6 zkrátíme třemi, čísla 7 a 14 zkrátíme sedmi).
$\frac{9}{14} \cdot \left( -\frac{7}{6} \right) = -\frac{9 \cdot 7}{14 \cdot 6} = -\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 2} = -\frac{3}{4}$

Závěr

Výsledný zlomek v základním tvaru je $-\frac{3}{4}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-3/4

Stav úlohy
2 body
Úloha 2.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{6}{7} - \frac{9}{14} }{\displaystyle \frac{8}{7} + \frac{6}{7} \div \frac{3}{2} } =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Nejdříve vypočítáme hodnotu v čitateli složeného zlomku. Převedeme zlomky na společného jmenovatele $14$ a odečteme je:
$\frac{6}{7} - \frac{9}{14} = \frac{12}{14} - \frac{9}{14} = \frac{3}{14}$

Výpočet jmenovatele

Nyní vypočítáme hodnotu ve jmenovateli. Podle pravidel přednosti operací nejdříve provedeme dělení a poté sčítání:
$\frac{8}{7} + \frac{6}{7} \div \frac{3}{2} = \frac{8}{7} + \frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{7} + \frac{2}{7} \cdot 2 = \frac{8}{7} + \frac{4}{7} = \frac{12}{7}$

Úprava složeného zlomku

Dosadíme vypočítané hodnoty zpět do složeného zlomku a upravíme jej na jeden zlomek v základním tvaru:
$\frac{\frac{3}{14}}{\frac{12}{7}} = \frac{3}{14} \div \frac{12}{7} = \frac{3}{14} \cdot \frac{7}{12}$
Zlomky si můžeme zkrátit ($3$ proti $12$ a $7$ proti $14$):
$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \mathbf{\frac{1}{8}}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1/8

Stav úlohy
2 body
Úloha 3.1
2 podúlohy: 3 b.; 1 podúloha: 1 b.

Na číselné ose je vyznačeno 13 bodů, které oddělují 12 stejných dílků. V jednom z těchto bodů je číslo 20 a body A, B, C představují tři kladná čísla.
Číslo v bodě C je součtem čísla v bodě A a čísla v bodě B.

Vyznačte si (na papíře) na číselné ose bod P, v němž je číslo 0.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor číselné osy

Vzdálenost mezi sousedními body na číselné ose je všude stejná. Označme si tuto vzdálenost (jeden dílek) jako $d$.
Z obrázku vidíme pozice bodů vzhledem k číslu 20:
  • Bod A leží o 2 dílky vlevo od čísla 20: $A = 20 - 2d$
  • Bod B leží o 2 dílky vpravo od čísla 20: $B = 20 + 2d$
  • Bod C leží o 5 dílků vpravo od čísla 20: $C = 20 + 5d$

Sestavení rovnice

Zadání říká, že číslo v bodě C je součtem čísel v bodech A a B:
$C = A + B$
Dosadíme naše vyjádření s neznámou $d$:
$20 + 5d = (20 - 2d) + (20 + 2d)$

Výpočet velikosti dílku

Pravou stranu rovnice zjednodušíme (výrazy $-2d$ a $+2d$ se vyruší):
$20 + 5d = 40$
Nyní vypočítáme $d$:
$5d = 40 - 20$
$5d = 20$
$d = 4$
Jeden dílek na číselné ose má tedy hodnotu 4.

Vyznačení bodu P

V bodě s číslem 20 se musíme k nule posunout o 20 jednotek doleva. Protože jeden dílek má hodnotu 4, je to:
$20 : 4 = 5$
Bod P tedy leží o 5 dílků vlevo od čísla 20. Na vyznačené ose je to třetí bod zleva.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Úlohy 3.1 a 3.2 se hodnotí společně. Celkové hodnocení se započítá pouze jednou, maximálně 3 body.

Body se určují podle počtu správně vyřešených podúloh. Úlohu 3.1 vyhodnotíte porovnáním se vzorovým řešením. Úloha 3.2 se vyhodnotí automaticky.

Vzorové řešení výše.

2 podúlohy

1 podúloha

Zdroj: Matematika 7. ročník — 2. náhradní termín 2023, úloha 3

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body za skupinu
Úloha 3.2
2 podúlohy: 3 b.; 1 podúloha: 1 b.

Na číselné ose je vyznačeno 13 bodů, které oddělují 12 stejných dílků. V jednom z těchto bodů je číslo 20 a body A, B, C představují tři kladná čísla.
Číslo v bodě C je součtem čísla v bodě A a čísla v bodě B.

Určete číslo v bodě B.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor číselné osy

Vzdálenost mezi sousedními body na číselné ose je všude stejná. Označme si tuto vzdálenost (jeden dílek) jako $d$.
Z obrázku vidíme pozice bodů vzhledem k číslu 20:
  • Bod A leží o 2 dílky vlevo od čísla 20: $A = 20 - 2d$
  • Bod B leží o 2 dílky vpravo od čísla 20: $B = 20 + 2d$
  • Bod C leží o 5 dílků vpravo od čísla 20: $C = 20 + 5d$

Sestavení rovnice

Zadání říká, že číslo v bodě C je součtem čísel v bodech A a B:
$C = A + B$
Dosadíme naše vyjádření s neznámou $d$:
$20 + 5d = (20 - 2d) + (20 + 2d)$

Výpočet velikosti dílku

Pravou stranu rovnice zjednodušíme:
$20 + 5d = 40$
Nyní vypočítáme $d$:
$5d = 20$
$d = 4$
Jeden dílek na číselné ose má tedy hodnotu 4.

Určení čísla v bodě B

Bod B leží o 2 dílky vpravo od čísla 20:
$B = 20 + 2 \cdot 4$
$B = 20 + 8$
$B = 28$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

28

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Úlohy 3.1 a 3.2 se hodnotí společně. Celkové hodnocení se započítá pouze jednou, maximálně 3 body.

Body se určují podle počtu správně vyřešených podúloh. Úlohu 3.1 vyhodnotíte porovnáním se vzorovým řešením. Úloha 3.2 se vyhodnotí automaticky.

Vzorové řešení výše.

2 podúlohy

1 podúloha

Zdroj: Matematika 7. ročník — 2. náhradní termín 2023, úloha 3

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body za skupinu
Úloha 4.1

Malé opičky mají pravidelný denní režim (viz diagram). Po každém 4hodinovém úseku (I.–VI.) se u nich střídají ošetřovatelé. V diagramu představují bílé plochy části dne, které tráví opičky venku, a šedé plochy části dne, po které jsou uvnitř svého příbytku. Dva 4hodinové úseky jsou v diagramu rozděleny, neboť jednu pětinu z II. úseku dne jsou opičky uvnitř příbytku, zatímco jednu šestinu ze VI. úseku dne tráví opičky venku.

Určete, v kolik hodin a minut opičky ráno vylézají z příbytku ven.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení dne na úseky

Celý den trvá 24 hodin a je rozdělen na 6 stejných úseků (I.–VI.). Jeden úsek tedy trvá 4 hodiny (24 : 6 = 4).
  • Úsek I: 0:00–4:00
  • Úsek II: 4:00–8:00
  • Úsek III: 8:00–12:00
  • Úsek IV: 12:00–16:00
  • Úsek V: 16:00–20:00
  • Úsek VI: 20:00–24:00

Výpočet času v II. úseku

Zadání uvádí, že v II. úseku (od 4:00 do 8:00) tráví opičky jednu pětinu času uvnitř příbytku. Jeden úsek trvá 4 hodiny, což je 240 minut ($4 \times 60 = 240$). Jedna pětina z 240 minut je: $240 : 5 = 48$ minut.

Určení času vylézání

Opičky jsou uvnitř během celého I. úseku a poté ještě prvních 48 minut II. úseku. II. úsek začíná ve 4:00 ráno. Když k tomuto času přičteme 48 minut, kdy jsou ještě uvnitř, zjistíme, kdy vylézají ven: 4:00 + 48 minut = 4:48.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

4:48

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.2

Malé opičky mají pravidelný denní režim (viz diagram). Po každém 4hodinovém úseku (I.–VI.) se u nich střídají ošetřovatelé. V diagramu představují bílé plochy části dne, které tráví opičky venku, a šedé plochy části dne, po které jsou uvnitř svého příbytku. Dva 4hodinové úseky jsou v diagramu rozděleny, neboť jednu pětinu z II. úseku dne jsou opičky uvnitř příbytku, zatímco jednu šestinu ze VI. úseku dne tráví opičky venku.

Určete, v kolik hodin a minut opičky večer zalézají do příbytku.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza časových úseků

Celý den je rozdělen na 6 stejných úseků, z nichž každý trvá 4 hodiny (24 hodin : 6 = 4 hodiny). Večerní úsek označený jako VI začíná ve 20:00 a končí o půlnoci (24:00).

Výpočet délky pobytu venku v VI. úseku

V zadání je uvedeno, že v VI. úseku tráví opičky venku jednu šestinu času. Nejdříve si převedeme 4 hodiny na minuty:
4 hodiny = $4 \cdot 60$ minut = 240 minut.
Nyní vypočítáme jednu šestinu z 240 minut:
240 : 6 = 40 minut.

Určení času návratu do příbytku

V předchozím úseku V byly opičky venku (bílá plocha). V posledním úseku dne VI jsou venku ještě prvních 40 minut a poté zalézají dovnitř (šedá plocha). K času začátku VI. úseku (20:00) tedy přičteme 40 minut.
Opičky zalézají do příbytku ve 20:40.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

20:40

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.3

Malé opičky mají pravidelný denní režim (viz diagram). Po každém 4hodinovém úseku (I.–VI.) se u nich střídají ošetřovatelé. V diagramu představují bílé plochy části dne, které tráví opičky venku, a šedé plochy části dne, po které jsou uvnitř svého příbytku. Dva 4hodinové úseky jsou v diagramu rozděleny, neboť jednu pětinu z II. úseku dne jsou opičky uvnitř příbytku, zatímco jednu šestinu ze VI. úseku dne tráví opičky venku.

Určete, o kolik minut více stráví každý den opičky uvnitř příbytku než venku.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový čas v jednom úseku

Celý den je rozdělen na 6 úseků (I.–VI.), z nichž každý trvá 4 hodiny. Protože 1 hodina má 60 minut, jeden úsek trvá:
4 * 60 = 240 minut.

Výpočet času v rozdělených úsecích

V II. úseku jsou opičky uvnitř 1/5 času:
240 : 5 = 48 minut (zbývajících 192 minut jsou venku).

Ve VI. úseku jsou opičky venku 1/6 času:
240 : 6 = 40 minut (zbývajících 200 minut jsou uvnitř).

Součet času stráveného uvnitř

Opičky jsou uvnitř v celých úsecích I a IV a v částech úseků II a VI:
I. úsek: 240 minut
II. úsek: 48 minut
IV. úsek: 240 minut
VI. úsek: 200 minut
Celkem uvnitř: 240 + 48 + 240 + 200 = 728 minut.

Součet času stráveného venku

Opičky jsou venku v celých úsecích III a V a v částech úseků II a VI:
II. úsek: 192 minut
III. úsek: 240 minut
V. úsek: 240 minut
VI. úsek: 40 minut
Celkem venku: 192 + 240 + 240 + 40 = 712 minut.

Porovnání a výsledek

Nyní zjistíme rozdíl mezi časem stráveným uvnitř a venku:
728 - 712 = 16 minut.
Opičky stráví uvnitř příbytku o 16 minut více než venku.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

o 16 minut

Stav úlohy
1 bod
Úloha 5.1

Na miskách vah leží jedno velké, jedno střední a tři stejná malá závaží. Hmotnost středního závaží je o třetinu menší než hmotnost velkého závaží. Jedno velké a jedno malé závaží váží dohromady 100 g, stejně jako jedno střední a dvě malá závaží.

Určete, kolikrát větší je hmotnost velkého závaží než hmotnost malého závaží.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Porovnání obou skupin

Zadání nám říká, že jedna skupina (velké + malé závaží) váží 100 g a druhá skupina (střední + 2 malá závaží) váží také 100 g. Obě skupiny mají tedy stejnou hmotnost.
Pokud z obou stran pomyslně odebereme jedno malé závaží, rovnováha zůstane zachována:
Velké závaží = Střední závaží + malé závaží.

Vztah mezi velkým a středním závažím

Víme, že střední závaží je o třetinu menší než velké. To znamená, že velké závaží si můžeme představit jako tři stejné třetiny a střední závaží tvoří dvě tyto třetiny.
Do celého velkého závaží tedy chybí jedna třetina.

Porovnání s malým závažím

V prvním kroku jsme zjistili, že velké závaží váží stejně jako střední a malé závaží dohromady.
Protože střednímu závaží chybí do velkého přesně jedna třetina, musí toto malé závaží vážit právě jako jedna třetina velkého závaží.

Závěr

Pokud je malé závaží jednou třetinou velkého, znamená to, že velké závaží je 3krát těžší než malé závaží.
Hmotnost velkého závaží je tedy 3krát větší.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

3krát

Stav úlohy
1 bod
Úloha 5.2

Na miskách vah leží jedno velké, jedno střední a tři stejná malá závaží. Hmotnost středního závaží je o třetinu menší než hmotnost velkého závaží. Jedno velké a jedno malé závaží váží dohromady 100 g, stejně jako jedno střední a dvě malá závaží.

Určete, kolik gramů váží střední závaží.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Porovnání závaží

Na jedné misce je velké a malé závaží (100 g). Na druhé je střední a dvě malá (také 100 g). Pokud z obou misek pomyslně odebereme jedno malé závaží, zjistíme, že velké závaží váží stejně jako jedno střední a jedno malé závaží dohromady.

Metoda dílků

Víme, že střední závaží je o třetinu lehčí než velké. To znamená, že velké závaží si můžeme představit jako 3 stejné dílky. Střední závaží pak tvoří 2 tyto dílky (je o třetinu lehčí). Protože velké závaží váží jako střední a malé dohromady, musí malé závaží vážit přesně jako 1 tento dílek.

Výpočet hodnoty jednoho dílku

Podle zadání váží velké a malé závaží dohromady 100 g. V dílcích je to dohromady: 3 dílky (velké) + 1 dílek (malé) = 4 dílky. Pokud 4 dílky váží 100 g, pak jeden dílek váží: 100 : 4 = 25 g.

Hmotnost středního závaží

Střední závaží tvoří 2 dílky. Jeho hmotnost tedy vypočítáme jako: 2 · 25 = 50 g.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

50 gramů

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.1

Na parkovišti je přesně 105 parkovacích míst pro osobní auta. Zaparkuje-li na parkovišti autobus, obsadí vždy 4 parkovací místa pro osobní auta. (Parkoviště tedy zcela zaplní např. 101 osobních aut a jeden autobus.)

Na zcela zaplněném parkovišti je osobních aut třikrát více než autobusů.

Vypočtěte, kolik je na parkovišti osobních aut.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Seskupení vozidel

Osobních aut je třikrát více než autobusů, proto ke každému autobusu přiřadíme 3 osobní auta. Jedna taková skupina obsadí 4 + 3 = 7 parkovacích míst.

Počet skupin

Parkoviště je zcela zaplněné, takže všech 105 míst rozdělíme do skupin po 7 místech: 105 : 7 = 15 skupin. V každé skupině je jeden autobus a 3 osobní auta.

Výsledek a ověření

Osobních aut je 15 · 3 = 45. Ověříme: 15 autobusů obsadí 15 · 4 = 60 míst a 45 aut obsadí 45 míst. Dohromady je to 60 + 45 = 105 míst, takže parkoviště je zcela zaplněné.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

45 osobních aut

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.2

Na parkovišti je přesně 105 parkovacích míst pro osobní auta. Zaparkuje-li na parkovišti autobus, obsadí vždy 4 parkovací místa pro osobní auta. (Parkoviště tedy zcela zaplní např. 101 osobních aut a jeden autobus.)

Na zcela zaplněném parkovišti je osobních aut o čtvrtinu více než autobusů.

Vypočtěte, kolik je na parkovišti autobusů.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Skupina autobusů a aut

Osobních aut je o čtvrtinu více než autobusů. Ke každým 4 autobusům tedy patří 5 osobních aut. Taková skupina zabere $4 \cdot 4 + 5 = 21$ parkovacích míst.

Počet skupin

Parkoviště má 105 míst a je zcela zaplněné. Počet těchto skupin je $105 : 21 = 5$. V každé skupině jsou 4 autobusy.

Výsledek a kontrola

Na parkovišti je $5 \cdot 4 = 20$ autobusů a $5 \cdot 5 = 25$ osobních aut. Ověříme: $20 \cdot 4 + 25 = 105$ míst a 25 aut je o 5, tedy o čtvrtinu, více než 20 autobusů. Na parkovišti je 20 autobusů.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

20 autobusů

Stav úlohy
2 body
Úloha 7.1

Ve čtvercové síti jsou z tmavých čtverců složeny tři útvary A, B, C. Z každého útvaru vytvoříme odebráním jediného tmavého čtverce nový útvar, který je osově souměrný podle některé osy (svislé, vodorovné nebo šikmé).V jednotlivých útvarech jsme každý tmavý čtverec označili číslem. Z útvaru A lze vytvořit osově souměrný útvar buď odebráním čtverce 2, nebo odebráním čtverce 8.

Určete číslo čtverce, jehož odebráním vytvoříme osově souměrný útvar z útvaru B.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

6, 10

Stav úlohy
2 body
Úloha 7.2

Ve čtvercové síti jsou z tmavých čtverců složeny tři útvary A, B, C. Z každého útvaru vytvoříme odebráním jediného tmavého čtverce nový útvar, který je osově souměrný podle některé osy (svislé, vodorovné nebo šikmé).V jednotlivých útvarech jsme každý tmavý čtverec označili číslem. Z útvaru A lze vytvořit osově souměrný útvar buď odebráním čtverce 2, nebo odebráním čtverce 8.

Určete číslo čtverce, jehož odebráním vytvoříme osově souměrný útvar z útvaru C.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

1, 9

Stav úlohy
2 body
Úloha 8

V rovině leží body P, Q, R a přímka a.

Na přímce a leží strana AB čtverce ABCD.
Dva ze tří bodů P, Q, R leží uvnitř dvou různých stran tohoto čtverce a třetí bod leží vně čtverce ABCD.

Sestrojte všechny vrcholy čtverce ABCD, označte je písmeny a čtverec narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Z požadovaných čtverců je sestrojen pouze jeden, a to přesně.

Z požadovaných čtverců je sestrojen pouze jeden, a to s mírnou nepřesností.

Pouze chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 2. náhradní termín 2023, úloha 8

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 9

V rovině leží přímky b, c a na přímce b leží bod A.

Bod A je vrchol trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu A.
Na přímce b leží vrchol B a na přímce c leží vrchol C tohoto trojúhelníku. Velikost vnitřního úhlu trojúhelníku ABC při vrcholu C je 40°.

Sestrojte vrcholy B, C trojúhelníku ABC, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Nastane právě jedna z následujících situací:

  • Z požadovaných trojúhelníků je sestrojen pouze jeden, a to přesně.
  • Namísto požadovaných trojúhelníků jsou sestrojeny dva pravoúhlé trojúhelníky, které nevyhovují zadání kvůli záměně velikostí úhlů (|∠ABC| = 40° namísto |∠ACB| = 40°), ostatní podmínky zadání jsou však splněny a konstrukce je přesná.

Namísto požadovaných trojúhelníků je sestrojen pouze jeden pravoúhlý trojúhelník, který nevyhovuje zadání kvůli záměně velikostí úhlů (|∠ABC| = 40° namísto |∠ACB| = 40°), ostatní podmínky zadání jsou však splněny a konstrukce je přesná.

Pouze chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 2. náhradní termín 2023, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 10.1
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Každý rok pracují v parku jednak brigádníci, kteří tam pracovali v předchozím roce, jednak nově přijatí brigádníci. Na konci každého roku někteří ze všech těchto brigádníků z parku odcházejí a další rok v něm nepracují. V grafu jsou znázorněny počty brigádníků v letech 2018 až 2022, tři údaje však chybí.Např. v roce 2022 pracovalo v parku 9 brigádníků, kteří tam pracovali i v roce 2021, a 6 nově přijatých brigádníků. Z těchto 15 brigádníků jich 8 na konci roku 2022 odešlo.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V roce 2019 pracovalo v parku 16 brigádníků, kteří tam pracovali i v roce 2018.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza roku 2018

Z grafu vyčteme údaje pro rok 2018. V parku pracovalo 14 brigádníků z předchozího roku (šedý sloupec) a 10 nově přijatých brigádníků (světle šedý sloupec). Celkem tedy v roce 2018 v parku pracovalo:
14 + 10 = 24 brigádníků.
Na konci roku 2018 jich z parku 8 odešlo (černý sloupec).

Výpočet pro rok 2019

Brigádníci, kteří v roce 2019 v parku pokračují z roku 2018, jsou právě ti, kteří v roce 2018 v parku byli a na jeho konci neodešli. Jejich počet vypočítáme tak, že od celkového počtu brigádníků v roce 2018 odečteme ty, kteří na konci roku odešli:
24 − 8 = 16

Závěr

V roce 2019 tedy v parku skutečně pracovalo 16 brigádníků, kteří tam pracovali i v roce 2018. Tvrzení je pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 10.2
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Každý rok pracují v parku jednak brigádníci, kteří tam pracovali v předchozím roce, jednak nově přijatí brigádníci. Na konci každého roku někteří ze všech těchto brigádníků z parku odcházejí a další rok v něm nepracují. V grafu jsou znázorněny počty brigádníků v letech 2018 až 2022, tři údaje však chybí.Např. v roce 2022 pracovalo v parku 9 brigádníků, kteří tam pracovali i v roce 2021, a 6 nově přijatých brigádníků. Z těchto 15 brigádníků jich 8 na konci roku 2022 odešlo.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V roce 2020 pracovalo v parku méně než 7 nově přijatých brigádníků.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Princip výpočtu

Počet brigádníků, kteří v parku zůstanou do dalšího roku, vypočítáme tak, že od celkového počtu brigádníků v daném roce odečteme ty, kteří na konci roku odešli. Celkový počet brigádníků v daném roce je součtem brigádníků z předchozího roku a nově přijatých brigádníků.

Výpočet pro rok 2019

Nejdříve si ověříme údaje z grafu. V roce 2019 pracovalo 16 brigádníků z předchozího roku (24 z roku 2018 minus 8, kteří odešli) a 4 nově přijatí. Celkem jich tedy bylo 20. Na konci roku 2019 jich 7 odešlo, takže pro rok 2020 jich zbylo $20 - 7 = 13$, což odpovídá šedému sloupci v roce 2020.

Výpočet nově přijatých v roce 2020

Z grafu vidíme, že v roce 2021 pracovalo 16 brigádníků z předchozího roku. Tito lidé museli v parku zůstat na konci roku 2020. Víme, že na konci roku 2020 odešli 3 brigádníci. Celkový počet brigádníků v roce 2020 tedy musel být $16 + 3 = 19$. Víme, že 13 z nich tam pracovalo už v předchozím roce, takže nově přijatých muselo být $19 - 13 = 6$.

Závěr

V roce 2020 pracovalo v parku 6 nově přijatých brigádníků. Protože 6 je méně než 7, je tvrzení v úloze pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 10.3
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Každý rok pracují v parku jednak brigádníci, kteří tam pracovali v předchozím roce, jednak nově přijatí brigádníci. Na konci každého roku někteří ze všech těchto brigádníků z parku odcházejí a další rok v něm nepracují. V grafu jsou znázorněny počty brigádníků v letech 2018 až 2022, tři údaje však chybí.Např. v roce 2022 pracovalo v parku 9 brigádníků, kteří tam pracovali i v roce 2021, a 6 nově přijatých brigádníků. Z těchto 15 brigádníků jich 8 na konci roku 2022 odešlo.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Na konci roku 2021 z parku odešlo více než 12 brigádníků.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pochopení grafu

Z textu a grafu vyplývá, že počet brigádníků, kteří v parku pracují v daném roce, je součtem těch, kteří tam pracovali už loni (tmavě šedý sloupec), a nově přijatých (světle šedý sloupec). Na konci roku někteří odejdou (černý sloupec směrem dolů) a zbytek pokračuje v dalším roce.

Výpočet pro konec roku 2021

V roce 2021 v parku pracovalo celkem $16 + 5 = 21$ brigádníků. Víme, že v následujícím roce (2022) v parku pokračovalo 9 brigádníků (tmavě šedý sloupec v roce 2022).
Počet těch, kteří na konci roku 2021 odešli, tedy vypočítáme jako rozdíl celkového počtu v roce 2021 a počtu těch, kteří pokračovali v roce 2022:
$21 - 9 = 12$

Porovnání s tvrzením

Zjistili jsme, že na konci roku 2021 odešlo přesně 12 brigádníků. Tvrzení v zadání říká, že odešlo více než 12 brigádníků. Protože 12 není více než 12, je toto tvrzení nepravdivé.

Závěr

Tvrzení je nepravdivé (N).
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11

Velký obdélník lze rozdělit na dva shodné menší obdélníky nebo na dva čtverce. Obvod jednoho z menších obdélníků je 30 cm.

Jaký je obvod velkého obdélníku?

  • A) menší než 36 cm
  • D) 60 cm
  • B) 36 cm
  • E) větší než 60 cm
  • C) 40 cm
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Zadání říká, že velký obdélník lze rozdělit na dva čtverce. To nám prozradí důležitý vztah: delší strana velkého obdélníku musí být dvakrát delší než jeho kratší strana.

Metoda dílků

Představme si, že kratší stranu velkého obdélníku tvoří 2 stejné dílky. Potom delší strana musí mít 4 tyto dílky (protože $2 \cdot 2 = 4$).

Obvod menšího obdélníku

Když velký obdélník rozdělíme vodorovně na poloviny, vzniknou dva menší obdélníky. Každý z nich bude mít délku 4 dílky, ale jeho šířka bude tvořena jen 1 dílkem (polovina ze 2).
Obvod tohoto menšího obdélníku se skládá z: $4 + 1 + 4 + 1 = 10$ dílků.
Víme, že obvod je 30 cm, takže jeden dílek měří:
$30 : 10 = 3 \text{ cm}$

Obvod velkého obdélníku

Velký obdélník má strany o délce 4 dílky a 2 dílky.
Jeho obvod se skládá z: $4 + 2 + 4 + 2 = 12$ dílků.
Protože jeden dílek měří 3 cm, celkový obvod je:
$12 \cdot 3 = 36 \text{ cm}$

Závěr

Obvod velkého obdélníku je 36 cm. Správná je tedy možnost B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 12

Přímka p prochází vrcholy A, B trojúhelníku ABC, jehož vnitřní úhly mají velikosti α, β, γ. Bodem B prochází rovnoběžka se stranou AC.

Jaká je velikost úhlu γ?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

  • A) 115°
  • D) 140°
  • B) 120°
  • E) 150°
  • C) 135°
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rovnoběžky

Přímka vedená bodem B je rovnoběžná se stranou AC. Úhel 30° mezi touto přímkou a stranou BA je střídavý s úhlem α. Proto α = 30°.

Součet vnitřních úhlů

Vnitřní úhly trojúhelníku mají dohromady 180°. Po odečtení úhlu α zbývá na úhly β a γ celkem 180° − 30° = 150°.

Úhel β

Úhel β a vyznačený vnější úhel 2β + γ jsou vedlejší, takže dohromady měří 180°. V tomto součtu je úhel β třikrát a úhel γ jednou. Součet β + γ už je 150°, takže na zbývající dva úhly β připadá 180° − 150° = 30°. Jeden úhel β tedy měří 30° : 2 = 15°.

Výsledek

Úhel γ vypočteme ze součtu vnitřních úhlů: γ = 180° − 30° − 15° = 135°. Ověříme vnější úhel: 2 · 15° + 135° = 165° a 165° + 15° = 180°. Úhel γ měří 135°, správná je možnost C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 13

Těleso na obrázku je slepeno ze 6 stejných válců. V učebnici je toto těleso zakresleno při pohledu zprava, zleva, zezadu a shora.

Který z následujících obrázků nemůže představovat žádný ze čtyř pohledů zakreslených v učebnici?

  • A)
  • B)
  • C)
  • D)
  • E)
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Jak se válce zobrazí

Když se díváme přímo na podstavu válce, vidíme kruh. Z boku vidíme obdélník. Válec v popředí může zakrýt část válce za ním.

Pohled shora a zezadu

Shora vidíme kruhovou podstavu svislého válce vlevo a dlouhý obdélník uprostřed. Vpravo je sloupec tří čtvercových částí. To odpovídá obrázku B. Zezadu vidíme tři kruhové podstavy válců směřujících do hloubky, vodorovný obdélník uprostřed a části svislého válce vpravo. To je obrázek A.

Pohled zleva a zprava

Zleva je svislý válec v popředí a tvoří prostřední vysoký obdélník. Po obou jeho stranách vidíme kruhové podstavy dvou válců směřujících zleva doprava. Tomu odpovídá obrázek C. Zprava jsou nahoře a dole dlouhé vodorovné obdélníky a mezi nimi dva kruhy se čtvercovou částí uprostřed. To je obrázek E.

Výsledek

Čtyřem požadovaným pohledům odpovídají obrázky A, B, C a E. V obrázku D oproti pohledu C chybí jeden kruh. Správná odpověď je D.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 14

Květinářka vázala pouze dva druhy kytic – jednak se 3 růžemi, jednak s 5 růžemi. Kytic se 3 růžemi uvázala o 8 méně než kytic s 5 růžemi. Na všechny kytice dohromady použila 128 růží.

Kolik kytic květinářka celkem uvázala?

  • A) 30 kytic
  • D) 36 kytic
  • B) 32 kytic
  • E) jiný počet kytic
  • C) 34 kytic
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Odstranění přebytku

Kytic s 5 růžemi je o 8 více než kytic se 3 růžemi. Abychom měli od obou druhů stejný počet, odložíme si těchto 8 kytic s 5 růžemi „na stranu“.

Tyto odložené kytice obsahují celkem 40 růží (8 $\cdot
nbsp;5 = 40).

Z celkového počtu 128 růží nám po odečtení přebytku zbývá 88 růží (128 - 40 = 88).

Krok 2: Vytvořte stejný pár

Nyní máme od obou druhů kytic stejný počet. Můžeme je tedy spojit do dvojic (jedna kytice se 3 růžemi a jedna kytice s 5 růžemi).

Každá taková dvojice kytic obsahuje dohromady 8 růží (3 + 5 = 8).

Krok 3: Spočítejte páry

Zjistíme, kolik takových dvojic se vejde do zbývajících 88 růží: 88 : 8 = 11 párů.

To znamená, že v této vyrovnané části máme 11 kytic se 3 růžemi a 11 kytic s 5 růžemi.

Krok 4: Vraťte schovaný přebytek (závěrečné počítání)

Ke kyticím s 5 růžemi musíme přičíst těch 8 kytic, které jsme si na začátku odložili stranou: Kytic s 5 růžemi je tedy 11 + 8 = 19. Kytic se 3 růžemi je 11.

Celkem květinářka uvázala 11 + 19 = 30 kytic.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.1

Letos se na gymnázium přihlásilo 420 uchazečů, což je o 40 % více, než se jich přihlásilo loni.

Kolik uchazečů se na gymnázium přihlásilo loni?

  • A) méně než 240
  • D) 280
  • B) 240
  • E) 300
  • C) 260
  • F) více než 300
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení procent

Loňský počet uchazečů představuje 100 %. Letos se přihlásilo o 40 % více, takže letošních 420 uchazečů představuje 100 % + 40 % = 140 % loňského počtu.

Výpočet loňského počtu

Nejdřív vypočítáme 1 %: 420 : 140 = 3 uchazeči. Potom vypočítáme 100 %: 3 · 100 = 300 uchazečů.

Ověření a výsledek

40 % z 300 je 3 · 40 = 120. Po přičtení dostaneme 300 + 120 = 420, což souhlasí se zadáním. Loni se přihlásilo 300 uchazečů, správná je možnost E.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.2

On-line kurzu českého jazyka se zúčastnilo 180 žáků, což je o 25 % méně, než se jich zúčastnilo on-line kurzu matematiky.

Kolik žáků se zúčastnilo on-line kurzu matematiky?

  • A) méně než 240
  • D) 280
  • B) 240
  • E) 300
  • C) 260
  • F) více než 300
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení základu

Počet žáků v kurzu matematiky představuje 100 %. Kurzu českého jazyka se zúčastnilo o 25 % méně žáků, takže 180 žáků odpovídá 100 − 25 = 75 %.

Výpočet počtu žáků

Nejdřív vypočítáme 1 %: 180 : 75 = 2,4. Potom vypočítáme celý počet, tedy 100 %: 2,4 · 100 = 240 žáků.

Výsledek a kontrola

Čtvrtina z 240 je 60, takže o 25 % méně je 240 − 60 = 180. Výpočet souhlasí se zadáním. Kurzu matematiky se zúčastnilo 240 žáků, správně je možnost B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.3

Včera navštívilo plavecký bazén celkem 680 dospělých, mezi nimiž bylo mužů o 30 % méně než žen.

Kolik mužů včera navštívilo plavecký bazén?

  • A) méně než 240
  • D) 280
  • B) 240
  • E) 300
  • C) 260
  • F) více než 300
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Porovnání počtu žen a mužů

Počet žen bereme jako 100 %. Mužů bylo o 30 % méně než žen, tedy 100 − 30 = 70 % počtu žen. Ženy a muži dohromady představují 100 + 70 = 170 % počtu žen.

Výpočet počtu mužů

Celkem 680 dospělých odpovídá 170 %. Jedno procento počtu žen je tedy 680 : 170 = 4 osoby. Mužů bylo 70 %, takže jejich počet je 70 · 4 = 280.

Ověření a výsledek

Žen bylo 680 − 280 = 400. Z počtu 400 je 30 % rovno 120 a 400 − 120 = 280, což souhlasí se zadáním. Bazén navštívilo 280 mužů. Správná je možnost D.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.1

Obrazce tvaru trojúhelníku se sestavují skládáním šedých trojúhelníků do pater (viz obrázek). Šedé trojúhelníky mají ve vrcholech puntíky a na stranách stejně dlouhé úsečky.
V prvním obrazci je pouze jeden šedý trojúhelník a každý další obrazec má o jedno patro šedých trojúhelníků více než předchozí obrazec.

Určete počet úseček v obrazci, který má 5 pater.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza zadání a obrázku

Z obrázku a přiložené tabulky vyčteme počty úseček pro první tři obrazce:
  • 1 patro: 3 úsečky
  • 2 patra: 9 úseček
  • 3 patra: 18 úseček
Naším úkolem je zjistit, kolik úseček bude mít obrazec s 5 patry.

Hledání pravidla pro nárůst počtu úseček

V každém dalším patře je o jeden šedý trojúhelník více: ve čtvrtém jsou 4 a v pátém 5. Každý šedý trojúhelník přidá 3 úsečky. Šedé trojúhelníky se dotýkají pouze vrcholy, takže žádnou úsečku nezapočítáme dvakrát. Čtvrté patro tedy přidá $4 \cdot 3 = 12$ úseček a páté patro $5 \cdot 3 = 15$ úseček.

Výpočet pro 5 pater

Nyní můžeme postupně dopočítat celkový počet úseček až k pátému obrazci:
  • 3 patra: 18 úseček
  • 4 patra: $18 + 12 = 30$ úseček
  • 5 pater: $30 + 15 = 45$ úseček

Závěr

Obrazec, který má 5 pater, obsahuje celkem 45 úseček.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

45 úseček

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.2

Obrazce tvaru trojúhelníku se sestavují skládáním šedých trojúhelníků do pater (viz obrázek). Šedé trojúhelníky mají ve vrcholech puntíky a na stranách stejně dlouhé úsečky.
V prvním obrazci je pouze jeden šedý trojúhelník a každý další obrazec má o jedno patro šedých trojúhelníků více než předchozí obrazec.

Počet úseček v posledním a v předposledním obrazci se liší o 96.
Určete, o kolik se liší počet puntíků v posledním a předposledním obrazci.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrazců

V novém spodním patře je tolik šedých trojúhelníků, kolikáté patro přidáváme. Každý má 3 úsečky a šedé trojúhelníky se dotýkají jen vrcholy. Počet nových úseček je proto trojnásobkem počtu těchto trojúhelníků. Jejich horní vrcholy už patřily předchozímu obrazci. Nové puntíky vzniknou jen dole: podél řady spodních stran je o jeden puntík více než trojúhelníků.

Určení počtu pater

Víme, že v posledním obrazci je o 96 úseček více než v předposledním. To znamená, že v posledním (přidaném) patře je 96 úseček. Počet pater zjistíme tak, že tento rozdíl vydělíme třemi:
$96 : 3 = 32$
Poslední obrazec má tedy 32 pater.

Výpočet rozdílu puntíků

V posledním obrazci přibylo oproti předposlednímu 32. patro. Podle našeho pozorování víme, že počet přidaných puntíků je o 1 vyšší než číslo patra:
$32 + 1 = 33$
Počet puntíků se tedy liší o 33.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

o 33 puntíků

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.3

Obrazce tvaru trojúhelníku se sestavují skládáním šedých trojúhelníků do pater (viz obrázek). Šedé trojúhelníky mají ve vrcholech puntíky a na stranách stejně dlouhé úsečky.
V prvním obrazci je pouze jeden šedý trojúhelník a každý další obrazec má o jedno patro šedých trojúhelníků více než předchozí obrazec.

V jednom obrazci je 300 puntíků.
Určete počet úseček v následujícím obrazci.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Puntíky po řadách

V obrazci tvoří puntíky vodorovné řady: nahoře je 1 puntík, pod ním 2, dále 3 a tak dále až ke spodní řadě. Dohromady je těchto puntíků 300.

Trojúhelníky v následujícím obrazci

Šedé trojúhelníky jsou také uspořádány po patrech: v prvním je 1, v druhém 2, v třetím 3 a tak dále. Obrazec s jedním patrem navíc má právě tolik pater trojúhelníků, kolik měl předchozí obrazec řad puntíků. Počty šedých trojúhelníků v jeho patrech jsou tedy stejné jako počty puntíků v řadách předchozího obrazce. V následujícím obrazci je proto 300 šedých trojúhelníků.

Počet úseček

Každý šedý trojúhelník má 3 strany. Šedé trojúhelníky se dotýkají jen vrcholy, takže žádná úsečka nepatří dvěma z nich. Celkový počet úseček je $300 \cdot 3 = 900$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

900 úseček

Stav úlohy
2 body