Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2023

Úloha 1

Vypočtěte, o kolik litrů se liší tři čtvrtiny z 24 litrů a třetina z 12 litrů.

Zobrazit odpověď

o 14 litrů

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Tři čtvrtiny z 24 litrů

Nejdříve vypočítáme, kolik je jedna čtvrtina z 24 litrů. To zjistíme tak, že 24 vydělíme čtyřmi: $24 \div 4 = 6$ litrů. Tři čtvrtiny pak získáme tak, že tento výsledek vynásobíme třemi: $3 \cdot 6 = 18$ litrů.

Třetina z 12 litrů

Třetinu z 12 litrů vypočítáme tak, že 12 vydělíme třemi: $12 \div 3 = 4$ litry.

Rozdíl obou hodnot

Nyní zjistíme, o kolik litrů se tyto dvě vypočítané hodnoty liší. Od větší hodnoty odečteme tu menší: $18 - 4 = 14$ litrů.

Závěr

Tři čtvrtiny z 24 litrů a třetina z 12 litrů se liší o 14 litrů.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 2.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{42}{5} \cdot \left( \frac{3}{14} - \frac{5}{21} \right) =$

Zobrazit odpověď

-1/5

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet v závorce

Nejdříve vypočítáme rozdíl zlomků v závorce. Abychom mohli zlomky odečíst, musíme je převést na společného jmenovatele. Pro čísla 14 a 21 je nejmenším společným násobkem číslo 42 ($14 \cdot 3 = 42$ a $21 \cdot 2 = 42$):
$\frac{3}{14} - \frac{5}{21} = \frac{3 \cdot 3}{42} - \frac{5 \cdot 2}{42} = \frac{9}{42} - \frac{10}{42} = -\frac{1}{42}$

Násobení a krácení

Nyní výsledek ze závorky vynásobíme zlomkem $\frac{42}{5}$ před závorkou. Při násobení můžeme zkrátit číslo 42 v čitateli prvního zlomku a ve jmenovateli druhého zlomku:
$\frac{42}{5} \cdot \left( -\frac{1}{42} \right) = \frac{1}{5} \cdot \left( -\frac{1}{1} \right) = -\frac{1}{5}$

Závěr

Výsledný zlomek v základním tvaru je $-\frac{1}{5}$.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \right) \div \frac{3}{2} }{\displaystyle 2 \cdot \frac{5}{8} } =$

Zobrazit odpověď

2/15

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Nejdříve vypočítáme výraz v čitateli složeného zlomku. Začneme závorkou, kterou převedeme na společného jmenovatele:
$(\frac{3}{4} - \frac{1}{2}) = (\frac{3}{4} - \frac{2}{4}) = \frac{1}{4}$.
Poté tento výsledek vydělíme zlomkem $\frac{3}{2}$ (tedy vynásobíme jeho převrácenou hodnotou):
$\frac{1}{4} \div \frac{3}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

Výpočet jmenovatele

Dále vypočítáme jmenovatel složeného zlomku:
$2 \cdot \frac{5}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.

Výpočet složeného zlomku

Nyní vydělíme vypočítaný čitatel vypočítaným jmenovatelem:
$\frac{\frac{1}{6}}{\frac{5}{4}} = \frac{1}{6} \div \frac{5}{4} = \frac{1}{6} \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{30}$.

Základní tvar

Získaný zlomek $\frac{4}{30}$ vykrátíme dvěma, abychom dostali základní tvar:
$\frac{4}{30} = \mathbf{\frac{2}{15}}$.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3.1

V rotě je jeden kapitán a má pod sebou 4 poručíky. Každý poručík má pod sebou 3 své četaře a každý četař má pod sebou 10 svých vojínů. (Další osoby v rotě nejsou.)
Kapitán se rozhodl svolat celou rotu k nástupu. Rozkaz k nástupu se předával tak, že kapitán vydal rozkaz všem poručíkům, z nichž každý vydal tento rozkaz svým četařům a každý četař jej vydal svým vojínům. Poté celá rota nastoupila.

Vypočtěte, kolik je v rotě vojínů.

Zobrazit odpověď

120 vojínů

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet četařů

Nejdříve musíme zjistit, kolik je v rotě četařů. Víme, že pod kapitánem jsou 4 poručíci a každý z nich má pod sebou 3 četaře.
Počet četařů tedy vypočítáme jako: $4 \cdot 3 = 12$.

Počet vojínů

Dále víme, že každý četař má pod sebou 10 vojínů. Protože jsme zjistili, že v rotě je celkem 12 četařů, vynásobíme jejich počet deseti.
Výpočet: $12 \cdot 10 = 120$.

Celkový počet

V rotě je celkem 120 vojínů.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 3.2

V rotě je jeden kapitán a má pod sebou 4 poručíky. Každý poručík má pod sebou 3 své četaře a každý četař má pod sebou 10 svých vojínů. (Další osoby v rotě nejsou.)
Kapitán se rozhodl svolat celou rotu k nástupu. Rozkaz k nástupu se předával tak, že kapitán vydal rozkaz všem poručíkům, z nichž každý vydal tento rozkaz svým četařům a každý četař jej vydal svým vojínům. Poté celá rota nastoupila.

Vypočtěte, kolik osob v rotě vydalo rozkaz k nástupu.

Zobrazit odpověď

17 osob

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozkaz od kapitána

Jako první vydal rozkaz kapitán. Předal ho svým 4 poručíkům. To je tedy 1 osoba.

Rozkaz od poručíků

Každý ze 4 poručíků pak vydal rozkaz dál svým četařům. To jsou další 4 osoby, které rozkaz vydaly.

Počet četařů

Každý poručík má pod sebou 3 četaře. Protože máme 4 poručíky, četařů je celkem $4 \cdot 3 = 12$. Každý z těchto 12 četařů předal rozkaz svým vojínům.

Celkový počet

Vojíni už rozkaz nikomu dalšímu nepředávali, ti ho jen přijali. Sečteme všechny osoby, které rozkaz vydaly:
$1 + 4 + 12 = \mathbf{17}$ osob.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 3.3

V rotě je jeden kapitán a má pod sebou 4 poručíky. Každý poručík má pod sebou 3 své četaře a každý četař má pod sebou 10 svých vojínů. (Další osoby v rotě nejsou.)
Kapitán se rozhodl svolat celou rotu k nástupu. Rozkaz k nástupu se předával tak, že kapitán vydal rozkaz všem poručíkům, z nichž každý vydal tento rozkaz svým četařům a každý četař jej vydal svým vojínům. Poté celá rota nastoupila.

Vypočtěte, kolik osob v rotě dostalo rozkaz k nástupu.

Zobrazit odpověď

136 osob

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Poručíci

Kapitán vydal rozkaz všem svým poručíkům. Protože má 4 poručíky, rozkaz od něj přímo dostaly 4 osoby.

Četaři

Každý ze 4 poručíků předal rozkaz svým 3 četařům. Celkový počet četařů, kteří rozkaz dostali, vypočítáme jako:
$4 \cdot 3 = 12$
Rozkaz tedy dostalo dalších 12 osob.

Vojíni

Každý z 12 četařů předal rozkaz svým 10 vojínům. Celkový počet vojínů vypočítáme jako:
$12 \cdot 10 = 120$
Rozkaz tedy dostalo dalších 120 osob.

Celkový počet

Sečteme všechny osoby, které rozkaz postupně přijaly (poručíky, četaře a vojíny). Kapitán rozkaz vydal, takže on sám ho od nikoho nedostal.
$4 + 12 + 120 = 136$
Rozkaz k nástupu dostalo celkem 136 osob.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 4.1

Žáci mohli během sportovního dne buď plavat, nebo hrát jednu ze tří míčových her – volejbal, fotbal či vybíjenou.
Některé údaje jsou uvedeny v tabulce.

Aritmetický průměr počtu žáků, kteří hráli jednotlivé míčové hry, byl 21.

Vypočtěte, kolik žáků hrálo vybíjenou.

Zobrazit odpověď

19 žáků

2 body

Úloha 4.2

Žáci mohli během sportovního dne buď plavat, nebo hrát jednu ze tří míčových her – volejbal, fotbal či vybíjenou.
Některé údaje jsou uvedeny v tabulce.

Na plavání bylo 1,5krát více chlapců než dívek.

Určete, jaký byl na plavání poměr počtu dívek ku počtu chlapců.

Poměr uveďte v základním tvaru.

Zobrazit odpověď

2 : 3

2 body

Úloha 5.1

Jana koupila v papírnictví několik stejných linkovaných sešitů, několik stejných čtverečkovaných sešitů a několik stejných kružítek.

Dva linkované sešity a dva čtverečkované sešity stojí dohromady 180 korun. Dva čtverečkované sešity stojí stejně jako tři linkované.

Vypočtěte, kolik korun stojí jeden čtverečkovaný sešit.

Zobrazit odpověď

54 korun

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Nahrazení sešitů

Ze zadání víme, že 2 čtverečkované sešity stojí stejně jako 3 linkované sešity. V prvním nákupu (2 linkované + 2 čtverečkované = 180 Kč) proto můžeme nahradit 2 čtverečkované sešity právě těmito 3 linkovanými.

Cena linkovaného sešitu

Dostaneme tak nákup 5 linkovaných sešitů (původní 2 + nové 3 za náhradu) za 180 Kč.
Jeden linkovaný sešit stojí: $180 \div 5 = 36$ Kč.

Cena čtverečkovaného sešitu

Víme, že 2 čtverečkované sešity stojí jako 3 linkované. Jejich cena je tedy $3 \cdot 36 = 108$ Kč.
Jeden čtverečkovaný sešit stojí polovinu: $108 \div 2 = 54$ Kč.

Výsledek

Jeden čtverečkovaný sešit stojí 54 Kč.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.2

Jana koupila v papírnictví několik stejných linkovaných sešitů, několik stejných čtverečkovaných sešitů a několik stejných kružítek.

K nákupu šesti kružítek chybělo Janě 160 korun, proto koupila jen čtyři kružítka a zbylo jí 100 korun.

Vypočtěte, kolik korun zaplatila za 4 kružítka.

Zobrazit odpověď

520 korun

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl v počtu kružítek

Jana uvažovala o nákupu 6 kružítek, ale nakonec koupila jen 4 kružítka. Rozdíl v počtu je tedy 2 kružítka (6 − 4 = 2).

Rozdíl v penězích

Kdyby Jana koupila 6 kružítek, musela by mít o 160 korun více. Protože koupila jen 4 kružítka, zbylo jí 100 korun. Rozdíl mezi těmito stavy je 160 + 100 = 260 korun. Tento rozdíl přesně odpovídá ceně 2 kružítek, která si Jana nakonec nekoupila.

Cena jednoho kružítka

Jestliže 2 kružítka stojí 260 korun, jedno kružítko stojí polovinu:
260 : 2 = 130 korun.

Cena za 4 kružítka

Jana koupila 4 kružítka. Celkem za ně zaplatila:
4 ⋅ 130 = 520 korun.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 6.1

Na odměny pro tři nejlepší soutěžící byla připravena finanční částka v korunách.
První soutěžící získal polovinu této částky.
Druhý soutěžící dostal 300 korun.
Třetí soutěžící získal zbytek připravené částky, což bylo třikrát méně korun, než získal první soutěžící.

Vypočtěte, kolikrát více korun dostal druhý soutěžící než třetí soutěžící.

Zobrazit odpověď

2krát více

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení na díly

První soutěžící získal polovinu celé částky. Třetí soutěžící získal třikrát méně než první. Pokud si tedy odměnu prvního představíme jako 3 stejné díly, pak třetí soutěžící dostal právě 1 díl.

Díly pro druhého

První soutěžící má polovinu celku, což jsou 3 díly. Druhý a třetí soutěžící mají dohromady také polovinu celku, tedy rovněž 3 díly. Protože víme, že třetí má 1 díl, na druhého soutěžícího zbývají 2 díly ($3 - 1 = 2$).

Hodnota jednoho dílu

Druhý soutěžící dostal 300 korun a víme, že to odpovídá 2 dílům. Jeden díl má tedy hodnotu 150 korun ($300 : 2 = 150$). Třetí soutěžící dostal právě tento 1 díl, tedy 150 korun.

Porovnání odměn

Druhý soutěžící dostal 300 korun a třetí 150 korun. Abychom zjistili, kolikrát více dostal druhý než třetí, vypočítáme $300 : 150 = 2$. Druhý soutěžící tedy dostal 2krát více korun.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6.2

Na odměny pro tři nejlepší soutěžící byla připravena finanční částka v korunách.
První soutěžící získal polovinu této částky.
Druhý soutěžící dostal 300 korun.
Třetí soutěžící získal zbytek připravené částky, což bylo třikrát méně korun, než získal první soutěžící.

Vypočtěte, kolik korun bylo celkem připraveno na odměny.

Zobrazit odpověď

900 korun

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení na poloviny

První soutěžící získal přesně polovinu celé částky. To znamená, že na druhého a třetího soutěžícího dohromady zbyla druhá polovina připravených peněz.

Vztah mezi odměnami

Víme, že třetí soutěžící získal třikrát méně než první. To si můžeme představit i obráceně: odměna prvního soutěžícího je stejně velká jako tři odměny třetího soutěžícího.

Výpočet dílků

Protože první soutěžící má polovinu všeho, odpovídá tato polovina třem dílkům (třem odměnám třetího). Druhá polovina (druhý + třetí) musí být stejně velká. Skládá se z 300 korun a jednoho dílku (odměny třetího).
Tato druhá polovina jsou tedy také tři dílky. Pokud od nich odebereme ten jeden dílek pro třetího soutěžícího, zbudou nám dva dílky, které musí odpovídat 300 korunám.

Odměna třetího a prvního

Jeden dílek (odměna třetího) je tedy 150 korun ($300 : 2 = 150$).
První soutěžící dostal tři tyto dílky, tedy 450 korun ($3 \cdot 150 = 450$).

Celková částka

Celkovou částku získáme sečtením všech odměn: $450 + 300 + 150 = 900$.
Na odměny bylo celkem připraveno 900 korun.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 7.1

Ze 60 dřevěných krychliček o hraně délky 1 cm jsme slepili kvádr s rozměry 5 cm, 4 cm a 3 cm. Poté jsme celý povrch kvádru obarvili – obě stěny s největším obsahem na bílo a zbývající čtyři stěny na šedo.
Slepené stěny krychliček zůstaly neobarveny.

Určete, kolik ze všech 60 krychliček kvádru má šedě obarvené právě dvě stěny.

Zobrazit odpověď

12 krychliček

1 bod

Úloha 7.2

Ze 60 dřevěných krychliček o hraně délky 1 cm jsme slepili kvádr s rozměry 5 cm, 4 cm a 3 cm. Poté jsme celý povrch kvádru obarvili – obě stěny s největším obsahem na bílo a zbývající čtyři stěny na šedo.
Slepené stěny krychliček zůstaly neobarveny.

Určete, kolik ze všech 60 krychliček kvádru nemá žádnou šedě obarvenou stěnu.

Zobrazit odpověď

18

1 bod

Úloha 7.3

Ze 60 dřevěných krychliček o hraně délky 1 cm jsme slepili kvádr s rozměry 5 cm, 4 cm a 3 cm. Poté jsme celý povrch kvádru obarvili – obě stěny s největším obsahem na bílo a zbývající čtyři stěny na šedo.
Slepené stěny krychliček zůstaly neobarveny.

Určete, kolik ze všech 60 krychliček kvádru má obarvené právě dvě stěny.

Zobrazit odpověď

24 krychliček

1 bod

Úloha 8

V rovině leží bod C a přímky a, b.

Bod C je vrchol trojúhelníku ABC.
Na přímce a leží vrchol A a na přímce b vrchol B tohoto trojúhelníku.
Strana AC trojúhelníku ABC je rovnoběžná s přímkou b.
Strany AB a AC mají stejnou délku.

Sestrojte vrcholy A, B trojúhelníku ABC, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 9

V rovině leží body K, S a přímka p procházející bodem S.

Bod K je vrchol obdélníku KLMN.
Bod S je střed strany KL tohoto obdélníku.
Přímka p prochází středem S strany KL a středem ještě jedné strany obdélníku KLMN.

Sestrojte vrcholy L, M, N obdélníku KLMN, označte je písmeny a obdélník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 10.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Graf udává, kolik kg odpadu vytřídily tři skautské oddíly R, S a T.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Oddíl S vytřídil o čtvrtinu více kg papíru než oddíl R.

Zobrazit odpověď

Ne

4 body za skupinu

Úloha 10.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Graf udává, kolik kg odpadu vytřídily tři skautské oddíly R, S a T.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Oddíly S a T dohromady vytřídily o třetinu více kg plastu než oddíl R.

Zobrazit odpověď

Ano

4 body za skupinu

Úloha 10.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Graf udává, kolik kg odpadu vytřídily tři skautské oddíly R, S a T.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Všechny tři oddíly dohromady vytřídily o polovinu méně kg kovů než papíru.

Zobrazit odpověď

Ne

4 body za skupinu

Úloha 11

V rovině leží rovnoběžník ABCD a polopřímky BA a BD.

Jaká je velikost úhlu φ?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

A) menší než 130°
D) 150°
B) 130°
E) větší než 150°
C) 140°

Zobrazit odpověď

D

2 body

Úloha 12

Sedmiúhelník na obrázku se skládá ze tří shodných čtverců, jednoho obdélníku a tří shodných šedých trojúhelníků.
Délka strany čtverce je 1 cm. Nejdelší strana sedmiúhelníku měří 5 cm.

Jaký je obsah sedmiúhelníku?

A) 28 cm²
D) 39 cm²
B) 31 cm²
E) jiný obsah
C) 37 cm²

Zobrazit odpověď

B

2 body

Úloha 13

V kasičce je celkem 78 mincí – některé jsou dvoukorunové, další pětikorunové a zbývající desetikorunové.
Dvoukorunových mincí je v kasičce pětkrát více než pětikorunových.
Hodnota všech pětikorunových mincí v kasičce je stejná jako hodnota všech desetikorunových mincí v kasičce.

Jaká je hodnota všech mincí v kasičce?

A) 160 korun
D) 220 korun
B) 180 korun
E) 240 korun
C) 200 korun

Zobrazit odpověď

E

2 body

Úloha 14

Maminka koupila v cukrárně tři různé zákusky.
První zákusek stál 72 korun.
Druhý zákusek byl o čtvrtinu levnější než první.
Cena třetího zákusku byla třetinou celkové ceny všech tří zákusků.

O kolik korun byl třetí zákusek dražší než druhý?

A) o méně než 12 korun
D) o 18 korun
B) o 12 korun
E) o více než 18 korun
C) o 15 korun

Zobrazit odpověď

A

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cena druhého zákusku

Druhý zákusek je o čtvrtinu levnější než první, který stál 72 korun. Nejdříve zjistíme, kolik je jedna čtvrtina ze 72 korun:
$72 : 4 = 18$ korun.
Druhý zákusek stál o tuto částku méně než první, tedy:
$72 - 18 = 54$ korun.

Součet cen prvních dvou zákusků

Abychom mohli zjistit cenu třetího zákusku, sečteme ceny prvních dvou, které už známe:
$72 + 54 = 126$ korun.

Cena třetího zákusku

Víme, že třetí zákusek stál jednu třetinu celkové ceny za všechny tři zákusky dohromady. To znamená, že zbývající dvě třetiny celkové ceny tvoří právě první a druhý zákusek. Jejich společná cena je 126 korun.
Jednu třetinu (cenu třetího zákusku) vypočítáme tak, že tyto dvě třetiny (126 korun) rozdělíme na dvě stejné části:
$126 : 2 = 63$ korun.

Porovnání a výsledek

Třetí zákusek stál 63 korun a druhý stál 54 korun. Rozdíl v jejich ceně je:
$63 - 54 = 9$ korun.
Třetí zákusek byl tedy o 9 korun dražší než druhý. To odpovídá možnosti A (o méně než 12 korun).

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 15.1

Kniha má 1 200 stran, z nichž Róza již 60 % přečetla.

Kolik stran Róza dosud nepřečetla?

A) méně než 450
D) 490
B) 450
E) 500
C) 480
F) více než 500

Zobrazit odpověď

C

2 body

Úloha 15.2

Dětské vstupné představuje 70 % vstupného pro dospělé.
Vstupné pro dospělé je o 210 korun vyšší než dětské vstupné.

Kolik korun činí dětské vstupné?

A) méně než 450
D) 490
B) 450
E) 500
C) 480
F) více než 500

Zobrazit odpověď

D

2 body

Úloha 15.3

K dvoudenním volbám mohli přijít všichni dospělí obyvatelé obce.
První den přišlo 25 % z nich, což bylo 500 obyvatel.
Druhý den přišlo ještě 70 % ze zbývajících dospělých obyvatel obce.

Kolik dospělých obyvatel obce k volbám nepřišlo?

A) méně než 450
D) 490
B) 450
E) 500
C) 480
F) více než 500

Zobrazit odpověď

B

2 body

Úloha 16.1

Ze stejně velkých světlých a tmavých čtverečků tvoříme obrazce tvaru čtverce nebo obdélníku. Základní obrazec je tvořen jednou nebo více řadami světlých čtverečků.

Z každého základního obrazce vytvoříme rozšířený obrazec tak, že přidáme nahoru jednu řadu tmavých čtverečků a pak vlevo i vpravo po jednom sloupci tmavých čtverečků.

Ze základního obrazce, který má 5 řad,
vytvoříme rozšířený obrazec přidáním 30 tmavých čtverečků.

Určete počet sloupců v základním obrazci.

Zobrazit odpověď

18 sloupců

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Z ukázky vidíme, že tmavé čtverečky obklopují základní obrazec shora a ze stran. Tvoří jednu dlouhou horní řadu a pod ní dva sloupce po stranách.

Výpočet tmavých čtverečků po stranách

Základní obrazec v naší úloze má 5 řad. To znamená, že podél něj vede vlevo sloupec s 5 tmavými čtverečky a vpravo také sloupec s 5 tmavými čtverečky. Dohromady je to na obou stranách $5 + 5 = 10$ tmavých čtverečků.

Výpočet čtverečků v horní řadě

Všech tmavých čtverečků v rozšířeném obrazci je 30. Když od nich odečteme 10 čtverečků na stranách, zjistíme, kolik jich je v horní řadě: $30 - 10 = 20$ Horní řada se skládá z 20 tmavých čtverečků.

Výpočet sloupců základního obrazce

Horní řada pokrývá sloupce základního obrazce a navíc přesahuje o jeden čtvereček vlevo a o jeden čtvereček vpravo (celkem o $1 + 1 = 2$ čtverečky). Když tyto dva krajní čtverečky odečteme, získáme počet sloupců základního obrazce: $20 - 2 = 18$ Základní obrazec má 18 sloupců.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 16.2

Ze stejně velkých světlých a tmavých čtverečků tvoříme obrazce tvaru čtverce nebo obdélníku. Základní obrazec je tvořen jednou nebo více řadami světlých čtverečků.

Z každého základního obrazce vytvoříme rozšířený obrazec tak, že přidáme nahoru jednu řadu tmavých čtverečků a pak vlevo i vpravo po jednom sloupci tmavých čtverečků.

Rozšířený obrazec má 3 řady a tvoří jej stejný počet tmavých a světlých čtverečků.

Určete počet sloupců v rozšířeném obrazci.

Zobrazit odpověď

8 sloupců

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet řad v základním obrazci

Rozšířený obrazec má podle zadání 3 řady. Víme, že vznikl tak, že jsme k základnímu obrazci (ze světlých čtverečků) přidali jednu horní řadu tmavých čtverečků. Základní obrazec má tedy $3 - 1 = 2$ řady světlých čtverečků.

Rozložení čtverečků

Představme si sloupce rozšířeného obrazce. Po stranách jsme přidali levý a pravý sloupec tvořený jen tmavými čtverečky. Protože má obrazec 3 řady, je v obou těchto sloupcích dohromady $3 + 3 = 6$ tmavých čtverečků. Mezi těmito okraji leží prostřední sloupce (ty tvořily základní obrazec). V každém takovém sloupci jsou dole 2 světlé čtverečky a nad nimi 1 tmavý čtvereček z přidané horní řady.

Počet sloupců v základním obrazci

Podle zadání je v rozšířeném obrazci stejný počet tmavých a světlých čtverečků. Z okrajů obrazce máme „náskok“ 6 tmavých čtverečků. V každém prostředním sloupci máme naopak převahu světlých čtverečků, a to přesně o jeden ($2$ světlé a $1$ tmavý). Abychom dorovnali ztrátu 6 světlých čtverečků z okrajů, musí být těchto prostředních sloupců přesně 6. Základní obrazec měl proto 6 sloupců.

Výpočet počtu sloupců

Rozšířený obrazec tvoří sloupce základního obrazce a dva přidané krajní sloupce. Počet sloupců rozšířeného obrazce je $6 + 2 = 8$.

Můžeme provést zkoušku: obrazec se 3 řadami a 8 sloupci má $3 \cdot 8 = 24$ čtverečků. Světlých je $2 \cdot 6 = 12$, tmavých je také $24 - 12 = 12$. Vše sedí.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 16.3

Ze stejně velkých světlých a tmavých čtverečků tvoříme obrazce tvaru čtverce nebo obdélníku. Základní obrazec je tvořen jednou nebo více řadami světlých čtverečků.

Z každého základního obrazce vytvoříme rozšířený obrazec tak, že přidáme nahoru jednu řadu tmavých čtverečků a pak vlevo i vpravo po jednom sloupci tmavých čtverečků.

Můžeme najít mnoho rozšířených obrazců s 50 tmavými čtverečky.

Určete počet všech těchto rozšířených obrazců.

Zobrazit odpověď

23 rozšířených obrazců

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrazce

Zadání říká, že rozšířený obrazec vznikne ze základního obrazce (který má nějaký počet řad a sloupců) tak, že přidáme:

jednu řadu tmavých čtverečků nahoru,
jeden sloupec tmavých čtverečků vlevo,
jeden sloupec tmavých čtverečků vpravo.

Pokud má základní obrazec R řad a C sloupců, pak horní tmavá řada má C + 2 čtverečků (přesahuje o jeden na každé straně). Na bocích pak přibudou dva sloupce, každý o výšce R tmavých čtverečků. Celkový počet tmavých čtverečků vypočítáme jako: (C + 2) + 2 · R.

Sestavení rovnice

Hledáme obrazce, které mají přesně 50 tmavých čtverečků. Dosadíme číslo 50 do našeho vztahu:

50 = (C + 2) + 2 · R

Z rovnice odečteme 2 a získáme:

48 = C + 2 · R

Z toho vidíme, že počet sloupců C vypočítáme tak, že od čísla 48 odečteme dvojnásobek počtu řad: C = 48 - 2 · R.

Hledání počtu řešení

Základní obrazec musí mít alespoň jednu řadu (R ≥ 1) a alespoň jeden sloupec (C ≥ 1). Zkoušíme postupně dosazovat za R:

Pro R = 1 je C = 48 - 2 = 46.
Pro R = 2 je C = 48 - 4 = 44.
Takto můžeme pokračovat až k nejvyššímu možnému počtu řad.
Pro R = 23 je C = 48 - 46 = 2.
Pro R = 24 by bylo C = 48 - 48 = 0, což už nejde (musí tam být aspoň jeden sloupec).

Závěr

Počet řad R může být libovolné celé číslo od 1 do 23. Pro každou tuto volbu dostaneme právě jeden odpovídající počet sloupců C, a tedy jeden konkrétní obrazec. Celkem tedy existuje 23 různých rozšířených obrazců.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Přijímací testy 7. ročník

Tři čtvrtiny z 24 litrů

Třetina z 12 litrů

Rozdíl obou hodnot

Závěr

Výpočet v závorce

Násobení a krácení

Závěr

Výpočet čitatele

Výpočet jmenovatele

Výpočet složeného zlomku

Základní tvar

Počet četařů

Počet vojínů

Celkový počet

Rozkaz od kapitána

Rozkaz od poručíků

Počet četařů

Celkový počet

Poručíci

Četaři

Vojíni

Celkový počet

Nahrazení sešitů

Cena linkovaného sešitu

Cena čtverečkovaného sešitu

Výsledek

Rozdíl v počtu kružítek

Rozdíl v penězích

Cena jednoho kružítka

Cena za 4 kružítka

Rozdělení na díly

Díly pro druhého

Hodnota jednoho dílu

Porovnání odměn

Rozdělení na poloviny

Vztah mezi odměnami

Výpočet dílků

Odměna třetího a prvního

Celková částka

Cena druhého zákusku

Součet cen prvních dvou zákusků

Cena třetího zákusku

Porovnání a výsledek

Rozbor obrázku

Výpočet tmavých čtverečků po stranách

Výpočet čtverečků v horní řadě

Výpočet sloupců základního obrazce

Počet řad v základním obrazci

Rozložení čtverečků

Počet sloupců v základním obrazci

Výpočet počtu sloupců

Rozbor obrazce

Sestavení rovnice

Hledání počtu řešení

Závěr