Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 7. ročník

Podkategorie: Matematika 7. ročník — 1. náhradní termín 2023

29 úloh

Úloha 1

Vypočtěte, kolikrát je součet čísel 0,2 a 0,5 větší než jejich součin.

Zobrazit odpověď

7krát

1 bod
Úloha 2.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \left( \frac{2}{7} - \frac{4}{7} \cdot 2 \right) \div 2 =$

Zobrazit odpověď

-3/7

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Násobení v závorce

Nejdříve vypočítáme násobení uvnitř závorky. Číslo 2 si můžeme představit jako zlomek $\frac{2}{1}$: $\frac{4}{7} \cdot 2 = \frac{4}{7} \cdot \frac{2}{1} = \frac{8}{7}$

Krok 2: Odečítání v závorce

Nyní odečteme zlomky v závorce. Mají stejného jmenovatele, takže stačí odečíst čitatele: $\frac{2}{7} - \frac{8}{7} = \frac{2 - 8}{7} = -\frac{6}{7}$

Krok 3: Dělení a základní tvar

Nakonec výsledek ze závorky vydělíme dvěma. Dělit dvěma je stejné jako násobit převrácenou hodnotou $\frac{1}{2}$: $-\frac{6}{7} \div 2 = -\frac{6}{7} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{6}{14}$ Zlomek ještě vykrátíme dvěma, abychom dostali základní tvar: $-\frac{6}{14} = -\frac{3}{7}$
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 2.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{4} + \frac{4}{3} }{\displaystyle \frac{5}{7} \cdot \frac{14}{3} } =$

Zobrazit odpověď

5/8

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Nejdříve vypočítáme součet zlomků v čitateli velkého zlomku. Pro sčítání zlomků $\frac{3}{4}$ a $\frac{4}{3}$ musíme najít společného jmenovatele, kterým je číslo $12$: $\frac{3}{4} + \frac{4}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 4 \cdot 4}{12} = \frac{9 + 16}{12} = \frac{25}{12}$

Výpočet jmenovatele

Dále vypočítáme součin zlomků ve jmenovateli. Při násobení zlomků $\frac{5}{7}$ a $\frac{14}{3}$ můžeme krátit číslo $14$ a $7$ sedmičkou: $\frac{5}{7} \cdot \frac{14}{3} = \frac{5 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{10}{3}$

Dělení zlomků a výsledný tvar

Nyní vydělíme výsledek z čitatele výsledkem ze jmenovatele. Dělení zlomkem nahradíme násobením jeho převrácenou hodnotou: $\frac{\frac{25}{12}}{\frac{10}{3}} = \frac{25}{12} : \frac{10}{3} = \frac{25}{12} \cdot \frac{3}{10}$ Zlomky před vynásobením vykrátíme (25 a 10 pětkou, 3 a 12 trojkou): $\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{8}$ Zlomek $\frac{5}{8}$ je již v základním tvaru.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 3.1

Adam, Běta i Cyril sbírají kartičky s pokémony.
Adam jich má o 50 více než Běta a Cyril jich má o 20 méně než Běta.
Adam jich má dvakrát více než Cyril.

Vypočtěte, kolik kartiček s pokémony má Běta.

Zobrazit odpověď

90 kartiček

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl mezi Adamem a Cyrilem

Adam má o 50 kartiček více než Běta a Cyril má o 20 méně než Běta. Celkový rozdíl mezi Adamem a Cyrilem je tedy 70 kartiček ($50 + 20 = 70$).

Počet kartiček Cyrila

Adam má dvakrát více kartiček než Cyril. Pokud má někdo něčeho dvakrát více, pak rozdíl mezi nimi odpovídá právě té menší části. Rozdíl 70 kartiček je tedy roven počtu kartiček Cyrila. Cyril má 70 kartiček.

Počet kartiček Běty

Víme, že Cyril má o 20 kartiček méně než Běta. Běta musí mít tedy o 20 kartiček více než Cyril:
70 + 20 = 90

Závěr

Běta má 90 kartiček s pokémony.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 3.2

V obchodě prodávají sběratelské kartičky v baleních jednak po čtyřech, jednak po sedmi kartičkách. Během týdne prodali celkem 224 kartiček, přičemž balení po čtyřech kartičkách prodali o 10 méně než balení po sedmi kartičkách.

Vypočtěte, kolik balení sběratelských kartiček během týdne celkem prodali.

Zobrazit odpověď

38 balení

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Balení po sedmi navíc

Víme, že balení po sedmi kartičkách se prodalo o 10 více než balení po čtyřech. Vypočítáme, kolik kartiček je v těchto deseti baleních navíc:
$10 \cdot 7 = 70$

Zbývající kartičky

Když těchto 70 kartiček odečteme od celkového počtu, zjistíme, kolik kartiček bylo v baleních, kterých se prodalo stejné množství:
$224 - 70 = 154$

Počet stejných balení

Jedno balení po čtyřech a jedno po sedmi mají dohromady $4 + 7 = 11$ kartiček. Počet těchto „dvojic“ balení zjistíme dělením:
$154 : 11 = 14$
Prodalo se tedy 14 balení po čtyřech a k nim 14 balení po sedmi.

Celkový počet balení

Dohromady se prodalo 14 balení po čtyřech a $14 + 10 = 24$ balení po sedmi.
$14 + 24 = 38$
Celkem se prodalo 38 balení.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 4.1

Vítek, Ondra a Rudolf jeli společně autem k moři. Každý z nich odřídil část trasy. Vítek odřídil třetinu celé trasy, Ondra dvě pětiny celé trasy a zbytek trasy odřídil Rudolf.

Vyjádřete zlomkem, jakou část trasy odřídil Rudolf.

Zobrazit odpověď

4/15

1 bod
Úloha 4.2

Vítek, Ondra a Rudolf jeli společně autem k moři. Každý z nich odřídil část trasy. Vítek odřídil třetinu celé trasy, Ondra dvě pětiny celé trasy a zbytek trasy odřídil Rudolf.

Rudolf odřídil o 60 km méně než Vítek.

Vypočtěte, kolik km měřila celá trasa.

Zobrazit odpověď

900 km

2 body
Úloha 5.1

Závodník uběhl celou trasu za 3 hodiny.
Během první hodiny uběhl třetinu celé trasy.
Během poslední hodiny uběhl jen 9 km, což byla čtvrtina celé trasy.

Vypočtěte, kolik km uběhl závodník během druhé hodiny.

Zobrazit odpověď

15 km

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Délka celé trasy

Víme, že během poslední hodiny závodník uběhl 9 km, což byla čtvrtina celé trasy. Celou trasu (čtyři čtvrtiny) tedy vypočítáme tak, že délku jedné čtvrtiny vynásobíme čtyřmi:
9 · 4 = 36 km

První hodina

Během první hodiny závodník uběhl třetinu celé trasy. Celou trasu jsme si vypočítali (36 km), takže její třetinu zjistíme vydělením třemi:
36 : 3 = 12 km

Druhá hodina

Závodník běžel celkem 3 hodiny. Víme, kolik uběhl v první hodině (12 km) a v poslední hodině (9 km). Dohromady za tyto dvě hodiny uběhl:
12 + 9 = 21 km

Do konce celé trasy (36 km) mu tedy v druhé hodině zbývalo uběhnout:
36 – 21 = 15 km

Závěr

Během druhé hodiny závodník uběhl 15 km.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 5.2

Pavel, Rosťa a Sofie se jako tříčlenná štafeta přihlásili na charitativní běh dlouhý 36 km. Trasu běhu si rozdělili na tři různě dlouhé úseky. Rosťa však onemocněl, proto polovinu jeho úseku uběhl Pavel a druhou polovinu Sofie. Ve skutečnosti tak Pavel uběhl o třetinu delší úsek, než měl původně uběhnout, a Sofie o čtvrtinu delší úsek, než měla původně uběhnout.

Vypočtěte, kolik km měl původně uběhnout Rosťa.

Zobrazit odpověď

8 km

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor situace

Celková trasa štafety je 36 km. Původně si ji Pavel, Rosťa a Sofie rozdělili na tři úseky. Rosťa ale onemocněl a jeho úsek si mezi sebe rovným dílem rozdělili Pavel a Sofie. Každý z nich tedy uběhl svou původní část a k tomu polovinu Rosťova úseku.

Vztah pro Pavlův úsek

Pavel uběhl o třetinu delší úsek, než měl původně. To znamená, že ta třetina jeho původního úseku musí být rovna polovině Rosťova úseku, kterou přebral.
Pokud $\frac{1}{3}$ Pavla = $\frac{1}{2}$ Rosti, pak celý Pavlův úsek je $\frac{3}{2}$ (tedy $1,5\times$) úseku Rosti.

Vztah pro Sofiin úsek

Sofie uběhla o čtvrtinu delší úsek, než měla původně. To znamená, že čtvrtina jejího původního úseku je rovna polovině Rosťova úseku.
Pokud $\frac{1}{4}$ Sofie = $\frac{1}{2}$ Rosti, pak celý Sofiin úsek je $2\times$ delší než úsek Rosti.

Sestavení rovnice

Nyní vyjádříme celkovou trasu (36 km) pomocí úseku Rosti:
Pavel + Rosťa + Sofie = 36 km
$1,5 \cdot \text{Rosťa} + 1 \cdot \text{Rosťa} + 2 \cdot \text{Rosťa} = 36$ km
$4,5 \cdot \text{Rosťa} = 36$ km

Výpočet a výsledek

Rosťův původní úsek vypočítáme vydělením:
$36 : 4,5 = 360 : 45 = 8$ km.
Rosťa měl původně uběhnout 8 km.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 6.1

Šestiúhelník na obrázku se skládá z rovnoramenného trojúhelníku, obdélníku a čtverce.
Základna rovnoramenného trojúhelníku splývá s delší stranou obdélníku a rameno tohoto trojúhelníku je o 1 cm delší než strana čtverce.
Obvod čtverce je stejný jako obvod trojúhelníku, ale o 8 cm menší než obvod obdélníku.

Vypočtěte, o kolik cm se liší délka a šířka obdélníku.

Zobrazit odpověď

o 4 cm

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obvodů čtverce a obdélníku

Z obrázku vidíme, že čtverec a obdélník mají stejnou výšku. Označíme si ji jako šířku obdélníku. Tato šířka je zároveň stranou čtverce.
Obvod čtverce tvoří 4 stejné strany (šířky).
Obvod obdélníku tvoří 2 šířky a 2 délky.
Víme, že obvod obdélníku je o 8 cm větší než obvod čtverce (protože obvod čtverce je o 8 cm menší než obvod obdélníku).

Výpočet rozdílu délky a šířky

Rozdíl v obvodech je způsoben tím, že obdélník má místo dvou stran čtverce dvě své délky:
$(2 \times \text{délka} + 2 \times \text{šířka}) - (4 \times \text{šířka}) = 8 \text{ cm}$
$2 \times \text{délka} - 2 \times \text{šířka} = 8 \text{ cm}$
To znamená, že dvě délky jsou dohromady o 8 cm delší než dvě šířky. Jedna délka je tedy o 4 cm delší než jedna šířka ($8 : 2 = 4$).

Ověření a výsledek

I když jsme rozdíl už zjistili, můžeme pro jistotu ověřit i zbytek zadání. Po výpočtu (pomocí údajů o trojúhelníku) zjistíme, že šířka obdélníku (strana čtverce) je 6 cm a jeho délka je 10 cm. Rozdíl je tedy skutečně $10 - 6 = 4 \text{ cm}$.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 6.2

Šestiúhelník na obrázku se skládá z rovnoramenného trojúhelníku, obdélníku a čtverce.
Základna rovnoramenného trojúhelníku splývá s delší stranou obdélníku a rameno tohoto trojúhelníku je o 1 cm delší než strana čtverce.
Obvod čtverce je stejný jako obvod trojúhelníku, ale o 8 cm menší než obvod obdélníku.

Vypočtěte, kolik cm měří rameno rovnoramenného trojúhelníku.

Zobrazit odpověď

7 cm

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza trojúhelníku a čtverce

Ze zadání víme, že rameno rovnoramenného trojúhelníku je o 1 cm delší než strana čtverce. Pokud si stranu čtverce označíme jako s, měří rameno trojúhelníku s + 1. Obvod čtverce tvoří 4 stejné strany (4 $\times$ s). Obvod trojúhelníku tvoří základna a dvě ramena (základna + 2 $\times$ (s + 1)). Protože jsou oba obvody stejné, musí platit:
4 $\times$ s = základna + 2 $\times$ s + 2
Z toho vyplývá, že základna trojúhelníku = 2 $\times$ s - 2.

Rozměry a obvod obdélníku

Základna trojúhelníku je zároveň delší stranou obdélníku. Z nákresu vidíme, že obdélník i čtverec stojí na stejné základně a jejich horní strany jsou v jedné linii, mají tedy stejnou výšku. Kratší strana obdélníku je proto rovna straně čtverce s.
Obvod obdélníku vypočítáme jako 2 $\times$ (delší strana + kratší strana):
Obvod obdélníku = 2 $\times$ ((2 $\times$ s - 2) + s) = 2 $\times$ (3 $\times$ s - 2) = 6 $\times$ s - 4.

Výpočet strany čtverce a ramene

Víme, že obvod čtverce (4 $\times$ s) je o 8 cm menší než obvod obdélníku (6 $\times$ s - 4). Rozdíl mezi nimi je tedy 8 cm:
(6 $\times$ s - 4) - (4 $\times$ s) = 8
2 $\times$ s - 4 = 8
2 $\times$ s = 12
s = 6 cm
Strana čtverce měří 6 cm. Rameno trojúhelníku je o 1 cm delší, měří tedy 7 cm.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 7.1

Povrch pravidelného čtyřbokého hranolu je 144 cm2. Obsah pláště tohoto hranolu je dvakrát větší než obsah jedné jeho čtvercové podstavy. (Plášť tohoto hranolu tvoří čtyři shodné boční stěny.)

Vypočtěte v cm délku strany čtvercové podstavy.

Zobrazit odpověď

6 cm

1 bod
Úloha 7.2

Povrch pravidelného čtyřbokého hranolu je 144 cm2. Obsah pláště tohoto hranolu je dvakrát větší než obsah jedné jeho čtvercové podstavy. (Plášť tohoto hranolu tvoří čtyři shodné boční stěny.)

Vypočtěte v cm² obsah jedné boční stěny hranolu.

Zobrazit odpověď

18 cm²

1 bod
Úloha 7.3

Povrch pravidelného čtyřbokého hranolu je 144 cm2. Obsah pláště tohoto hranolu je dvakrát větší než obsah jedné jeho čtvercové podstavy. (Plášť tohoto hranolu tvoří čtyři shodné boční stěny.)

Vypočtěte v cm3 objem hranolu.

Zobrazit odpověď

108 cm³

1 bod
Úloha 8

V rovině leží přímka AB a přímka p procházející bodem B.

Úsečka AB je strana pravoúhlého lichoběžníku ABCD.
Vrchol C tohoto lichoběžníku leží na přímce p,
úhlopříčka AC má stejnou délku jako strana AB lichoběžníku ABCD.

Sestrojte vrcholy C, D lichoběžníku ABCD, označte je písmeny a lichoběžník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď
Odpověď
3 body
Úloha 9

V rovině leží body A, C a přímka p procházející bodem C.

Úsečka AC je základna rovnoramenného trojúhelníku ABC.
Na přímce p leží jedna ze tří výšek tohoto trojúhelníku.

1. Sestrojte osu souměrnosti trojúhelníku ABC a označte ji písmenem o.
2. Sestrojte vrchol B trojúhelníku ABC, označte ho písmenem a trojúhelník narýsujte.

Zobrazit odpověď
Odpověď
3 body
Úloha 10.1
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Na táboře je každé dítě zařazeno do jednoho ze tří oddílů A, B a C.
V oddíle A je dvakrát více dětí než v oddíle C. Poměr počtu dětí v oddíle A ku počtu dětí v oddíle B je 4∶3.
Graf udává počty chlapců a dívek v jednotlivých oddílech, dva údaje však chybí.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V oddíle C je 5 dívek.

Zobrazit odpověď

Ano

4 body za skupinu
Úloha 10.2
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Na táboře je každé dítě zařazeno do jednoho ze tří oddílů A, B a C.
V oddíle A je dvakrát více dětí než v oddíle C. Poměr počtu dětí v oddíle A ku počtu dětí v oddíle B je 4∶3.
Graf udává počty chlapců a dívek v jednotlivých oddílech, dva údaje však chybí.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V oddíle B je chlapců o polovinu více než dívek.

Zobrazit odpověď

Ne

4 body za skupinu
Úloha 10.3
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Na táboře je každé dítě zařazeno do jednoho ze tří oddílů A, B a C.
V oddíle A je dvakrát více dětí než v oddíle C. Poměr počtu dětí v oddíle A ku počtu dětí v oddíle B je 4∶3.
Graf udává počty chlapců a dívek v jednotlivých oddílech, dva údaje však chybí.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Na táboře je dívek o pětinu méně než chlapců.

Zobrazit odpověď

Ano

4 body za skupinu
Úloha 11

V obchodě s oříšky míchají směs arašídů a mandlí a prodávají ji v různě velkých baleních. Sto gramů této směsi se prodává za 20 korun, přičemž sto gramů arašídů stojí 10 korun. Tereza si koupila 800gramové balení této směsi. V takovém balení je vždy 300 g arašídů. Cena směsi závisí pouze na hmotnosti a ceně použitých surovin.

Kolik korun stojí sto gramů mandlí?

  • A) 26 korun
  • D) 29 korun
  • B) 27 korun
  • E) jiný počet korun
  • C) 28 korun
Zobrazit odpověď

A

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Složení směsi

V 800gramovém balení je 300 g arašídů. Zbytek balení tvoří mandle. Hmotnost mandlí vypočítáme tak, že od celkové hmotnosti odečteme hmotnost arašídů:
$800 - 300 = 500\text{ g}$
V balení je tedy 500 g mandlí.

Cena celého balení

Víme, že 100 g směsi stojí 20 Kč. Celé balení váží 800 g, což je osmkrát 100 g. Cena celého balení je tedy:
$8 \cdot 20 = 160\text{ Kč}$

Cena arašídů v balení

Víme, že 100 g arašídů stojí 10 Kč. V balení jsou 300 g arašídů, což jsou tři 100gramové porce. Cena arašídů v balení je:
$3 \cdot 10 = 30\text{ Kč}$

Cena mandlí

Cena směsi závisí jen na ceně surovin. Od celkové ceny balení (160 Kč) odečteme cenu arašídů (30 Kč), abychom zjistili, kolik stojí mandle v balení:
$160 - 30 = 130\text{ Kč}$
Těchto 130 Kč zaplatíme za 500 g mandlí.

Cena za 100 g mandlí

Víme, že 500 g mandlí stojí 130 Kč. Chceme zjistit cenu za 100 g. Protože 500 g je pětkrát více než 100 g, vydělíme cenu pěti:
$130 : 5 = 26\text{ Kč}$
Sto gramů mandlí stojí 26 Kč. Správná odpověď je tedy A.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 12

Pětiúhelník ABCDE se skládá z rovnoramenného, rovnostranného a pravoúhlého trojúhelníku. Základnou rovnoramenného trojúhelníku je strana AB. Strany BC a AE pětiúhelníku jsou rovnoběžné.

Jaká je velikost úhlu ω?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

  • A) 65°
  • D) 80°
  • B) 70°
  • E) jiná velikost
  • C) 75°
Zobrazit odpověď

D

2 body
Úloha 13

Stavebnice obsahuje stejně dlouhé dřevěné tyčky a plastové kuličky se šesti dírami, do nichž lze tyčky připevňovat.
Denisa vytvořila z 8 kuliček a 12 tyček model nejmenší možné krychle.
Emil vytvořil model druhé nejmenší krychle. Jeho model obsahuje celkem 27 kuliček a 54 tyček, z nichž pouze tyčky znázorněné černou barvou leží na hranách této krychle.
Filip vytvořil stejným způsobem model třetí nejmenší krychle. Ten obsahuje celkem 144 tyček.

Kolik kuliček celkem obsahuje Filipův model krychle?

  • A) 36 kuliček
  • D) 64 kuliček
  • B) 48 kuliček
  • E) jiný počet kuliček
  • C) 56 kuliček
Zobrazit odpověď

D

Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor prvních dvou modelů

Podíváme se na modely ze zadání a zjistíme, jak se počítají kuličky:
  • 1. model (Denisa): na jedné hraně je 1 tyčka. Kuličky jsou na koncích tyček, takže v jedné řadě na hraně jsou 2 kuličky. Model má celkem $2 \times 2 \times 2 = 8$ kuliček.
  • 2. model (Emil): na jedné hraně jsou 2 tyčky. Kuliček v řadě je vždy o 1 víc než tyček na hraně, takže jich je 3. Celkový počet kuliček je $3 \times 3 \times 3 = 27$.
Počet kuliček v řadě na hraně je tedy vždy o 1 větší, než je pořadí modelu.

Filipův model

Filip vytvořil třetí nejmenší model krychle. Na jedné hraně proto bude mít 3 tyčky, a tím pádem 4 kuličky v řadě. Celkový počet kuliček získáme vynásobením pro všechny tři rozměry (délka, šířka, výška): $4 \times 4 \times 4 = 16 \times 4 = 64$ Ověřili jsme tak, že Filipův model obsahuje 64 kuliček.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 14

Stavebnice obsahuje stejně dlouhé dřevěné tyčky a plastové kuličky se šesti dírami, do nichž lze tyčky připevňovat.
Denisa vytvořila z 8 kuliček a 12 tyček model nejmenší možné krychle.
Emil vytvořil model druhé nejmenší krychle. Jeho model obsahuje celkem 27 kuliček a 54 tyček, z nichž pouze tyčky znázorněné černou barvou leží na hranách této krychle.
Filip vytvořil stejným způsobem model třetí nejmenší krychle. Ten obsahuje celkem 144 tyček.

<img:0/>

Kolik tyček leží na hranách Filipovy krychle?

  • A) méně než 36 tyček
  • D) 48 tyček
  • B) 36 tyček
  • E) více než 48 tyček
  • C) 40 tyček
Zobrazit odpověď

B

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hrany krychle

Každá krychle má celkem 12 hran. U nejmenšího modelu (od Denisy) tvoří každou hranu 1 tyčka. U druhého modelu (od Emila) tvoří každou hranu 2 tyčky.

Filipův model

Filip staví třetí nejmenší krychli. Podle postupu bude mít jeho model na každé hraně 3 tyčky.

Výpočet tyček na hranách

Počet tyček na hranách zjistíme tak, že vynásobíme počet hran počtem tyček na jedné hraně:
$12 \cdot 3 = 36$

Výsledek

Na hranách Filipovy krychle leží 36 tyček.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 15.1

Encyklopedie má o 25 % více stran než atlas, který má 200 stran.

Kolik stran má encyklopedie?

  • A) méně než 210
  • D) 240
  • B) 210
  • E) 250
  • C) 220
  • F) jiný počet
Zobrazit odpověď

E

2 body
Úloha 15.2

Róza čte knihu, která má 500 stran. Počet stran, které Róza již přečetla, je o 50 % větší než počet stran, které dosud nepřečetla.

Kolik stran knihy Róza dosud nepřečetla?

  • A) méně než 210
  • D) 240
  • B) 210
  • E) 250
  • C) 220
  • F) jiný počet
Zobrazit odpověď

A

2 body
Úloha 15.3

V knihovně jsou některé knihy psané německy, jiné anglicky a ostatní česky. Německy psaných je 30 knih, což je 10 % všech knih v knihovně. Anglicky psané knihy tvoří pětinu všech knih v knihovně.

Kolik je v knihovně česky psaných knih?

  • A) méně než 210
  • D) 240
  • B) 210
  • E) 250
  • C) 220
  • F) jiný počet
Zobrazit odpověď

B

2 body
Úloha 16.1

Každý obrazec tvaru obdélníku je složen z malých šedých čtverečků a větších bílých čtverečků. Všechny šedé čtverečky jsou stejné a jsou poskládány do spodní řady a do levého sloupce. Zbytek obrazce tvoří bílé čtverečky. Každý bílý čtvereček má dvakrát delší stranu než šedý. První obrazec má ve spodní řadě 5 šedých čtverečků a v levém sloupci 3 šedé čtverečky. Skládá se celkem z 9 čtverečků (bílých i šedých dohromady). Každý další obrazec má oproti předchozímu vždy o 2 šedé čtverečky více jak ve spodní řadě, tak i v levém sloupci.

Obrazec má ve spodní řadě 41 šedých čtverečků.

Určete počet bílých čtverečků v obrazci.

Zobrazit odpověď

380 bílých čtverečků

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor prvního obrazce

Ze zadání víme, že první obrazec má ve spodní řadě 5 šedých čtverečků a v levém sloupci 3 šedé čtverečky. Jeden šedý čtvereček v levém dolním rohu je společný pro obě tyto strany.

Bílé čtverečky vyplňují zbytek obdélníku. Protože strana bílého čtverečku je dvakrát delší než strana šedého, jeden bílý čtvereček zabere stejné místo jako 2×2 malé šedé čtverečky.

Šířka prostoru pro bílé čtverečky je 4 malé čtverečky (5 ve spodní řadě minus 1 rohový), vejdou se sem tedy vedle sebe $4 : 2 = 2$ bílé čtverečky. Výška prostoru pro bílé čtverečky jsou 2 malé čtverečky (3 v levém sloupci minus 1 rohový), vejde se sem tedy nad sebe $2 : 2 = 1$ bílý čtvereček. První obrazec má celkem $2 \cdot 1 = 2$ bílé čtverečky.

Vztah mezi šedými a bílými čtverečky

Každý další obrazec se zvětší o 2 šedé čtverečky ve spodní řadě i v levém sloupci. Protože se obě strany zvětšují vždy stejně, levý sloupec bude mít pro každý obrazec vždy o 2 šedé čtverečky méně než spodní řada ($5 - 3 = 2$).

Výpočet pro obrazec se 41 šedými čtverečky ve spodní řadě

Máme zadaný obrazec, který má ve spodní řadě 41 šedých čtverečků. Jeho levý sloupec musí mít o 2 šedé čtverečky méně, tedy $41 - 2 = 39$ šedých čtverečků.

Spočítáme rozměry prostoru pro bílé čtverečky: Šířka: odečteme rohový šedý čtvereček a vydělíme dvěma. $(41 - 1) : 2 = 40 : 2 = 20$ bílých čtverečků vedle sebe. Výška: odečteme rohový šedý čtvereček a vydělíme dvěma. $(39 - 1) : 2 = 38 : 2 = 19$ bílých čtverečků nad sebou.

Celkový počet bílých čtverečků zjistíme tak, že tyto rozměry vynásobíme: $20 \cdot 19 = 380$.

Závěr

Hledaný počet bílých čtverečků v tomto obrazci je 380.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 16.2

Každý obrazec tvaru obdélníku je složen z malých šedých čtverečků a větších bílých čtverečků. Všechny šedé čtverečky jsou stejné a jsou poskládány do spodní řady a do levého sloupce. Zbytek obrazce tvoří bílé čtverečky. Každý bílý čtvereček má dvakrát delší stranu než šedý. První obrazec má ve spodní řadě 5 šedých čtverečků a v levém sloupci 3 šedé čtverečky. Skládá se celkem z 9 čtverečků (bílých i šedých dohromady). Každý další obrazec má oproti předchozímu vždy o 2 šedé čtverečky více jak ve spodní řadě, tak i v levém sloupci.

V obrazci je 90 bílých čtverečků.

Určete počet šedých čtverečků v obrazci.

Zobrazit odpověď

39 šedých čtverečků

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor bílé části

Zkusíme si představit, jak vypadá bílá část obrazců. V 1. obrazci tvoří bílé čtverečky obdélník o šířce 2 a výšce 1 čtverečku. (Celkem jsou to $2 \cdot 1 = 2$ bílé čtverečky.) Každý další obrazec se podle zadání prodlouží dole i vlevo o 2 šedé čtverečky. Protože strana bílého čtverečku je dlouhá jako 2 šedé, znamená to, že do bílé části přibyde vždy 1 sloupec a 1 řada. Bílá část tedy vždy tvoří obdélník, ve kterém je počet sloupců o 1 větší než počet řad.

Rozměry hledaného obrazce

Víme, že v hledaném obrazci je 90 bílých čtverečků. Hledáme tedy dvě čísla, která jdou po sobě (počet řad a sloupců) a po vynásobení dají výsledek 90. Můžeme zkoušet: $8 \cdot 9 = 72$ $9 \cdot 10 = 90$ Bílá část v tomto obrazci má 9 řad a 10 sloupců bílých čtverečků.

Výpočet šedých čtverečků

Nyní spočítáme šedé čtverečky, které tvoří levý sloupec a spodní řadu. Pod bílou částí (širokou 10 bílých čtverečků) leží spodní řada šedých čtverečků. Protože na 1 bílý vycházejí 2 šedé, je pod bílou částí $10 \cdot 2 = 20$ šedých čtverečků. Vlevo od bílé části (vysoké 9 bílých čtverečků) leží levý sloupec šedých čtverečků. Tam jich bude $9 \cdot 2 = 18$. Nesmíme zapomenout na 1 šedý čtvereček, který leží v levém dolním rohu (pod levým sloupcem a vlevo od spodní řady). Celkový počet šedých čtverečků je $20 + 18 + 1 = 39$.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 16.3

Každý obrazec tvaru obdélníku je složen z malých šedých čtverečků a větších bílých čtverečků. Všechny šedé čtverečky jsou stejné a jsou poskládány do spodní řady a do levého sloupce. Zbytek obrazce tvoří bílé čtverečky. Každý bílý čtvereček má dvakrát delší stranu než šedý. První obrazec má ve spodní řadě 5 šedých čtverečků a v levém sloupci 3 šedé čtverečky. Skládá se celkem z 9 čtverečků (bílých i šedých dohromady). Každý další obrazec má oproti předchozímu vždy o 2 šedé čtverečky více jak ve spodní řadě, tak i v levém sloupci.

Počet všech čtverečků (bílých i šedých dohromady) v posledním a v předposledním obrazci se liší o 106.

Určete počet šedých čtverečků v posledním obrazci.

Zobrazit odpověď

207 šedých čtverečků

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet čtverečků v 1. obrazci

Ze zadání víme, že v 1. obrazci je ve spodní řadě 5 šedých čtverečků a v levém sloupci 3. Levý dolní čtvereček patří do řady i do sloupce, proto je šedých čtverečků celkem $5 + 3 - 1 = 7$. Celý obrazec se skládá z 9 čtverečků (šedých i bílých dohromady). Bílých čtverečků je tedy $9 - 7 = 2$. Jsou to 2 velké čtverečky uspořádané vedle sebe (tvoří obdélník o šířce 2 a výšce 1).

Jak se obrazce zvětšují

Každý další obrazec má o 2 šedé čtverečky více dole a o 2 více vlevo. Šedých čtverečků tak přibyde vždy 4. Protože každý velký bílý čtvereček zabere prostor 2×2 malých čtverečků, přidáním 2 malých čtverečků do šířky i výšky se prostor pro bílé čtverečky zvětší vždy o 1 bílý čtvereček na šířku a o 1 na výšku. Podívejme se, jak roste počet bílých čtverečků:
  • 2. obrazec: Bílých čtverečků je $3 \times 2 = 6$. Oproti 1. obrazci jich přibyly 4.
  • 3. obrazec: Bílých čtverečků je $4 \times 3 = 12$. Oproti 2. obrazci jich přibylo 6.
  • 4. obrazec: Bílých čtverečků je $5 \times 4 = 20$. Oproti 3. obrazci jich přibylo 8.

Který obrazec je poslední?

Můžeme si všimnout pravidla pro počet nově přidaných bílých čtverečků: pro 2. obrazec to jsou 4 (což je $2 \times 2$), pro 3. obrazec je to 6 (což je $2 \times 3$) atd. Počet nových bílých čtverečků je vždy přesně dvojnásobkem pořadí obrazce. Zadání říká, že celkový počet čtverečků (bílých i šedých) v posledním obrazci je o 106 větší než v předposledním. Tento nárůst 106 se skládá z pevných 4 šedých čtverečků a zbytku bílých. Počet nových bílých čtverečků musí být $106 - 4 = 102$. Protože počet nových bílých čtverečků je dvojnásobkem pořadí obrazce, hledáme číslo obrazce, pro které platí: $2 \times \text{číslo obrazce} = 102$ $\text{číslo obrazce} = 102 : 2 = 51$ Poslední obrazec je tedy v pořadí padesátý první (51.).

Výpočet šedých čtverečků v 51. obrazci

Víme, že v 1. obrazci je 7 šedých čtverečků a v každém dalším jich přibudou 4. Od 1. do 51. obrazce musíme udělat 50 kroků. Během těchto 50 kroků přibude celkem $50 \times 4 = 200$ šedých čtverečků. Dohromady jich v 51. obrazci bude $7 + 200 = 207$.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body