Přijímací testy 7. ročník

Podkategorie: Matematika 7. ročník — 2. řádný termín 2022

30 úloh

PDF+Klíč

Úloha 1

Číslo 6 je dělitelné číslem 3 a při dělení číslem 5 dává zbytek 1.

Najděte všechna čísla větší než 10 a menší než 50, která jsou dělitelná číslem 3 a při dělení číslem 5 dávají zbytek 1.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vycházíme ze známého čísla

Číslo 6 už splňuje obě podmínky. Rozdíl mezi kterýmkoli dalším vyhovujícím číslem a šestkou musí být dělitelný 3 i 5: zachová dělitelnost třemi a stejný zbytek po dělení pěti. Rozdíl proto musí tvořit celé patnáctky.

Určení rozmezí

Hledané číslo je větší než 10 a menší než 50, takže jeho rozdíl od 6 je větší než $10 - 6 = 4$ a menší než $50 - 6 = 44$. To znamená nejméně jednu a nejvýše dvě celé patnáctky, protože $44 : 15 = 2$ se zbytkem 14.

Všechna řešení

K šestce přičteme odvozenou jednu nebo dvě patnáctky: $6 + 15 = 21$ a $6 + 30 = 36$. Všechna hledaná čísla jsou 21 a 36.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

21, 36

Stav úlohy

2 body

Úloha 2.1

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

1 hodina $\displaystyle =$ 20 minut $\displaystyle +$ $\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ sekund

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod hodiny na minuty

Víme, že 1 hodina má 60 minut.

Výpočet chybějících minut

Do celé hodiny (60 minut) nám od 20 minut chybí ještě 40 minut, protože $60 - 20 = 40$.

Převod na sekundy

Těchto 40 minut musíme převést na sekundy. Protože 1 minuta má 60 sekund, vypočítáme $40 \cdot 60 = 2400$.

Výsledek

Do rámečku doplníme číslo 2400.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

2 400

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2.2

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

26m² $\displaystyle + \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ dm² $\displaystyle =$ 36 m² $\displaystyle -$ 18 000 cm²

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na stejné jednotky

Všechny plochy převedeme na dm². Platí 1 m² = 100 dm² a 1 dm² = 100 cm². Proto 26 m² = 2 600 dm², 36 m² = 3 600 dm² a 18 000 cm² = 180 dm².

Doplnění čísla

Nejdřív vypočítáme pravou stranu: 3 600 − 180 = 3 420 dm². K 2 600 dm² tedy musíme přičíst 3 420 − 2 600 = 820 dm².

Ověření a výsledek

Ověříme rovnost v dm²: 2 600 + 820 = 3 420 a také 3 600 − 180 = 3 420. Do rámečku doplníme číslo 820.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

820

Stav úlohy

2 body

Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle 2 \cdot \frac{7}{48} - \frac{7}{8} =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Násobení zlomku

Nejdříve vypočítáme součin celého čísla a zlomku. Číslo 2 můžeme zkrátit se jmenovatelem 48, protože obě čísla jsou dělitelná dvěma:
\displaystyle 2 \cdot \frac{7}{48} = 1 \cdot \frac{7}{24} = \frac{7}{24}

Odčítání zlomků

Nyní musíme odečíst zlomek \frac{7}{8} od výsledku násobení. Abychom mohli zlomky odečíst, převedeme je na společného jmenovatele. Pro čísla 24 a 8 je nejmenším společným jmenovatelem 24. Druhý zlomek tedy rozšíříme třemi:
\displaystyle \frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{21}{24}
Následně odečteme čitatele:
\displaystyle \frac{7}{24} - \frac{21}{24} = \frac{7 - 21}{24} = -\frac{14}{24}

Základní tvar

Získaný zlomek musíme uvést v základním tvaru. Čísla 14 i 24 jsou sudá, můžeme je tedy zkrátit dvěma:
\displaystyle -\frac{14}{24} = -\frac{7}{12}

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-7/12

Stav úlohy

2 body

Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} }{\displaystyle \frac{6}{7} + \frac{2}{3} } =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Nejdříve vypočítáme součin v čitateli složeného zlomku:
$\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 2}{7 \cdot 3} = \frac{12}{21}$

Výpočet jmenovatele

Dále vypočítáme součet ve jmenovateli. Společným jmenovatelem pro čísla 7 a 3 je číslo 21:
$\frac{6}{7} + \frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 3 + 2 \cdot 7}{21} = \frac{18 + 14}{21} = \frac{32}{21}$

Dělení zlomků a základní tvar

Složený zlomek vyjádříme jako dělení čitatele jmenovatelem, což odpovídá násobení čitatele převrácenou hodnotou jmenovatele. Protože oba zlomky mají stejného jmenovatele (21), výsledek je dán podílem jejich čitatelů:
$\frac{\frac{12}{21}}{\frac{32}{21}} = \frac{12}{21} \cdot \frac{21}{32} = \frac{12}{32}$
Zlomek $\frac{12}{32}$ zkrátíme čtyřmi a získáme základní tvar:
$\frac{12}{32} = \mathbf{\frac{3}{8}}$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

3/8

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.1

Od startovní čáry vyběhli současně 4 běžci. Každý doběhl do cíle v jiném čase.
Eda nebyl první ani poslední.
Leoš se umístil těsně před Adamem a Adam doběhl později než Honza.

Zapište běžce ve stejném pořadí, v jakém doběhli do cíle.

Každého běžce označte počátečním písmenem jeho jména.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Dvojice běžců

Leoš doběhl těsně před Adamem, takže jejich místa musí následovat hned po sobě v pořadí L, A. Mohli by obsadit 1. a 2., 2. a 3. nebo 3. a 4. místo.

Vyloučení možností

Pokud by Leoš a Adam byli první a druzí, nezbylo by před Adamem místo pro Honzu. Pokud by byli druzí a třetí, Eda by musel být první nebo poslední. Obě možnosti odporují zadání. Proto Leoš doběhl třetí a Adam čtvrtý.

Výsledek

Zbývá první a druhé místo. Eda nesmí být první, proto je druhý a Honza první. Pořadí je H, E, L, A. Eda není první ani poslední, Leoš je těsně před Adamem a Honza doběhl před Adamem, takže všechny podmínky platí.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

H, E, L, A, resp. A, L, E, H

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.2

Na výletě bylo pětkrát více dětí než dospělých. Dospělých bylo o 60 méně než dětí.

Vypočtěte, kolik dětí bylo na výletě.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení na dílky

Počet dospělých představuje 1 dílek. Dětí je pětkrát tolik, takže jejich počet představuje 5 stejných dílků. Rozdíl mezi počtem dětí a dospělých je tedy 5 − 1 = 4 dílky.

Výpočet počtu dětí

Rozdíl 60 osob odpovídá 4 dílkům. Na 1 dílek připadá 60 : 4 = 15 osob. Děti tvoří 5 dílků, proto jich bylo 5 · 15 = 75.

Ověření a výsledek

Dospělých bylo 15 a dětí 75. Ověříme: 75 : 15 = 5 a 75 − 15 = 60. Obě podmínky platí. Na výletě bylo 75 dětí.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 5.1

V rekreační chatě je několik pokojů. V jednom pokoji jsou 2 lůžka a v každém z ostatních pokojů jsou $\displaystyle \frac{3}{10}$ všech lůžek, která
jsou v rekreační chatě.

Určete počet všech lůžek v rekreační chatě.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Možné počty ostatních pokojů

V každém z ostatních pokojů jsou $\frac{3}{10}$ všech lůžek. Čtyři takové pokoje by dohromady měly $\frac{12}{10}$ všech lůžek, což je více než celek. Kromě pokoje se 2 lůžky tedy může být jeden, dva nebo tři další pokoje.

Ověření možností

Jeden další pokoj: na pokoj se 2 lůžky zbývá $\frac{7}{10}$ všech lůžek. Celkový počet by byl $2 : \frac{7}{10} = \frac{20}{7}$, což není celé číslo.
Dva další pokoje: dohromady mají $\frac{6}{10}$ všech lůžek, takže 2 lůžka tvoří zbývající $\frac{4}{10}$. Celkem by bylo $2 : \frac{4}{10} = 5$ lůžek. Každý další pokoj by ale měl $\frac{3}{10} \cdot 5 = 1{,}5$ lůžka, což není možné.

Výpočet a kontrola

Musí tedy být tři další pokoje. Ty mají dohromady $3 \cdot \frac{3}{10} = \frac{9}{10}$ všech lůžek. Zbývající $\frac{1}{10}$ tvoří 2 lůžka, takže v celé chatě je $10 \cdot 2 = 20$ lůžek. Ověříme: každý z dalších pokojů má $\frac{3}{10} \cdot 20 = 6$ lůžek a $2 + 6 + 6 + 6 = 20$. V rekreační chatě je celkem 20 lůžek.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 5.2

V rekreační chatě je několik pokojů. V jednom pokoji jsou 2 lůžka a v každém z ostatních pokojů jsou $\displaystyle \frac{3}{10}$ všech lůžek, která
jsou v rekreační chatě.

Určete počet pokojů v rekreační chatě.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet ostatních pokojů

Jeden pokoj má 2 lůžka. Každý z ostatních pokojů obsahuje $\frac{3}{10}$ všech lůžek. Čtyři takové pokoje by obsahovaly $\frac{12}{10}$ všech lůžek, což je víc než celek. Ostatní pokoje tedy mohou být jen 1, 2 nebo 3.

Vyloučení možností

Kdyby byl ostatní pokoj jen jeden, na pokoj se 2 lůžky by zbývalo $\frac{7}{10}$ celku. Všech lůžek by bylo $2 : \frac{7}{10} = \frac{20}{7}$, což není celé číslo. Kdyby byly ostatní pokoje dva, na 2 lůžka by zbývalo $\frac{4}{10}$ celku. Celkem by bylo $2 : \frac{4}{10} = 5$ lůžek, ale každý z těchto dvou pokojů by měl $\frac{3}{10} \cdot 5 = 1{,}5$ lůžka. Ani to není možné.

Výsledek a ověření

Zbývají tři ostatní pokoje. Dohromady mají $\frac{9}{10}$ všech lůžek, takže 2 lůžka v prvním pokoji tvoří zbývající $\frac{1}{10}$. V chatě je tedy $2 \cdot 10 = 20$ lůžek. Každý z ostatních pokojů má $\frac{3}{10} \cdot 20 = 6$ lůžek. Ověříme: $2 + 6 + 6 + 6 = 20$. V rekreační chatě jsou 4 pokoje.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 6.1

Tabulka udává některé údaje o loňském a letošním prodeji pšenice a ječmene.

Letos se prodalo o polovinu méně pšenice než loni.

Vypočtěte, kolik tun pšenice se prodalo letos.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Loňský prodej

V tabulce najdeme řádek Pšenice a sloupec Loni – hmotnost v tunách. Loni se prodalo 200 tun pšenice.

Letošní prodej

O polovinu méně znamená, že z loňského množství zbývá polovina. Vypočítáme ji: $200 : 2 = 100$. Letos se tedy prodalo 100 tun pšenice.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

100

Stav úlohy

1 bod

Úloha 6.2

Tabulka udává některé údaje o loňském a letošním prodeji pšenice a ječmene.

Loni se prodalo o polovinu více ječmene než letos.

Vypočtěte, kolik tun ječmene se prodalo letos.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Údaje z tabulky

Loni se prodalo 90 tun ječmene. Bylo to o polovinu více než letos, tedy letošní množství a ještě polovina letošního množství.

Rozdělení na stejné díly

Letošní množství rozdělíme na dvě stejné poloviny. Loňských 90 tun pak odpovídá třem takovým dílům. Jeden díl má 90 : 3 = 30 tun.

Výsledek a ověření

Letos se prodaly dva díly, tedy 2 · 30 = 60 tun ječmene. Ověříme: polovina z 60 je 30 a 60 + 30 = 90 tun, což souhlasí s loňským prodejem.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 6.3

Tabulka udává některé údaje o loňském a letošním prodeji pšenice a ječmene.

Tuna pšenice byla i loni dražší než tuna ječmene.
Jejich loňské ceny byly v poměru 4 ∶ 3.

Vypočtěte, za kolik Kč se loni prodávala tuna pšenice.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Údaje z tabulky a poměr cen

Loni stála tuna ječmene 4 200 Kč. Loňské ceny pšenice a ječmene byly v poměru 4 : 3, takže cena pšenice odpovídá 4 stejným dílkům a cena ječmene 3 dílkům.

Cena jednoho dílku

Tři dílky stojí 4 200 Kč. Jeden dílek proto stojí 4 200 : 3 = 1 400 Kč.

Loňská cena pšenice

Cena pšenice odpovídá 4 dílkům: 4 · 1 400 = 5 600 Kč. Je vyšší než cena ječmene, jak požaduje zadání. Tuna pšenice se loni prodávala za 5 600 Kč.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

5 600

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.1

Dřevěná hlava robota byla slepena z jedné velké a 7 shodných malých krychlí. Po slepení byly části vyčnívající z velké krychle obarveny na šedo, všechny ostatní plochy na bílo. (Bílá je i spodní stěna velké krychle, neobarvené zůstaly jen slepené plochy.) Jedna stěna malé krychle má obsah 9 cm². Velká krychle má hranu délky 10 cm.

Vypočtěte v cm² celkový obsah všech šedých ploch.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Přední krychle

Vpředu jsou tři oddělené malé krychle. Každá má jednu stěnu přilepenou k velké krychli, takže šedých je zbývajících 5 stěn. Dohromady je to 3 × 5 = 15 šedých stěn. Počítáme i stěny, které v nákresu nejsou vidět.

Boční dvojice krychlí

Na každém boku jsou dvě malé krychle spojené do řady. Původně mají dohromady 2 × 6 = 12 stěn. Dvě stěny se slepí mezi sebou a jedna další stěna se přilepí k velké krychli. Na každé boční dvojici tedy zbývá 12 − 2 − 1 = 9 šedých stěn, na obou dohromady 2 × 9 = 18.

Celkový obsah šedých ploch

Celkem je šedých 15 + 18 = 33 stěn. Jedna má obsah 9 cm², takže celkový obsah všech šedých ploch je 33 × 9 = 297 cm².

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

297 cm²

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.2

Vypočtěte v cm² celkový obsah všech bílých ploch.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Povrch velké krychle

Velká krychle má šest čtvercových stěn, včetně spodní. Jedna stěna má obsah 10 · 10 = 100 cm². Celý povrch velké krychle je tedy 6 · 100 = 600 cm².

Zakryté plochy

Vpředu jsou k velké krychli přilepené tři oddělené malé krychle. Na každém boku jsou dvě malé krychle v řadě, ale velké krychle se dotýká jen ta bližší. Na velké krychli je tak zakryto 3 + 1 + 1 = 5 čtverců. Každý má obsah 9 cm², dohromady tedy 5 · 9 = 45 cm². Tyto slepené plochy nejsou obarvené.

Výsledek

Vyčnívající plochy malých krychlí jsou šedé. Bílé jsou zbývající plochy velké krychle, proto od jejího povrchu odečteme zakryté čtverce: 600 − 45 = 555 cm². Celkový obsah všech bílých ploch je 555 cm².

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

555 cm²

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.3

Vypočtěte v cm³ objem celé hlavy robota (tj. objem všech krychlí dohromady).

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hrana a objem malé krychle

Stěna malé krychle je čtverec s obsahem 9 cm². Protože 3 × 3 = 9, hrana malé krychle měří 3 cm. Její objem je 3 × 3 × 3 = 27 cm³.

Objem velké krychle

Velká krychle má hranu 10 cm. Její objem je 10 × 10 × 10 = 1 000 cm³.

Objem celé hlavy

Sedm malých krychlí má dohromady objem 7 × 27 = 189 cm³. Přičteme objem velké krychle: 1 000 + 189 = 1 189 cm³. To je objem celé hlavy robota.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

1 189 cm³

Stav úlohy

2 body

Úloha 8

V rovině leží body P, S a přímka m.

Bod S je střed kružnice k, která má poloměr 5 cm.
Bod P je vrchol rovnostranného trojúhelníku PQR.
Další vrchol tohoto trojúhelníku leží v průsečíku přímky m s kružnicí k
a poslední vrchol trojúhelníku PQR leží uvnitř kružnice k.

Sestrojte vrcholy Q, R trojúhelníku PQR, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

3 body: Vzorové řešení výše.
2 body: Nastane jedna z následujících situací:
Z požadovaných trojúhelníků je pouze jeden sestrojen přesně, druhý je sestrojen nepřesně, nebo chybí.
Kružnice k nemá požadovaný poloměr, ale jsou sestrojeny oba požadované trojúhelníky a konstrukce je přesná.
1 bod: Nastane jedna z následujících situací:
Oba požadované trojúhelníky jsou sestrojeny s mírnou nepřesností.
Z požadovaných trojúhelníků je sestrojen pouze jeden, a to s mírnou nepřesností.
Kružnice k nemá požadovaný poloměr, ale z požadovaných trojúhelníků je pouze jeden sestrojen přesně, druhý je sestrojen nepřesně, nebo chybí.
0 bodů: Pouze chybné nebo velmi nepřesné konstrukce trojúhelníků.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 2. řádný termín 2022, úloha 8

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 9

V rovině leží body A, O a přímka p procházející bodem O.

Bod A je vrchol obdélníku ABCD. Na přímce p leží vrchol C tohoto obdélníku.
Bod O je střed některé strany obdélníku ABCD.

Sestrojte vrcholy B, C, D obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

3 body: Vzorové řešení výše.
2 body: Nastane jedna z následujících situací:
Oba požadované obdélníky jsou sestrojeny s mírnou nepřesností.
Z požadovaných obdélníků je sestrojen pouze jeden, a to přesně.
1 bod: Nastanou pouze některé z následujících situací:
Z požadovaných obdélníků je sestrojen pouze jeden, a to s mírnou nepřesností.
Je sestrojen nevyhovující obdélník, který má na přímce p umístěn vrchol B, resp. D, nikoli však C; ostatní podmínky zadání jsou splněny a konstrukce je přesná.
0 bodů: Pouze zcela chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 2. řádný termín 2022, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 10.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

V prvních dvou lednových týdnech učitel matematiky vyzkoušel všech 30 žáků třídy 7. A, a to každého právě jednou. Graf udává počty žáků vyzkoušených v jednotlivých dnech.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V 1. týdnu učitel vyzkoušel dvě pětiny žáků třídy 7. A

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet žáků v prvním týdnu

Z grafu přečteme počty vyzkoušených žáků od pondělí do pátku v 1. týdnu: 3, 0, 5, 2 a 2. Dohromady učitel vyzkoušel $3 + 0 + 5 + 2 + 2 = 12$ žáků.

Dvě pětiny třídy

Třída má 30 žáků. Jedna pětina je $30 : 5 = 6$ žáků, dvě pětiny jsou $6 \cdot 2 = 12$ žáků.

Posouzení tvrzení

V prvním týdnu učitel vyzkoušel 12 žáků a dvě pětiny třídy jsou také 12 žáků. Tvrzení je tedy pravdivé. Odpověď je A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 10.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

V prvních dvou lednových týdnech učitel matematiky vyzkoušel všech 30 žáků třídy 7. A, a to každého právě jednou. Graf udává počty žáků vyzkoušených v jednotlivých dnech.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Ve 2. týdnu učitel vyzkoušel v pátek sedmkrát více žáků než ve středu.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čtení grafu

Ve 2. týdnu učitel ve středu 12. 1. vyzkoušel 0 žáků a v pátek 14. 1. vyzkoušel 7 žáků.

Porovnání počtů

Sedmkrát více žáků než ve středu by znamenalo $7 \cdot 0 = 0$ žáků. V pátek však učitel vyzkoušel 7 žáků, takže uvedené porovnání neplatí.

Výsledek

Tvrzení je nepravdivé. Označíme N.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 10.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

V prvních dvou lednových týdnech učitel matematiky vyzkoušel všech 30 žáků třídy 7. A, a to každého právě jednou. Graf udává počty žáků vyzkoušených v jednotlivých dnech.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V úterý 11. 1. učitel vyzkoušel čtvrtinu z těch žáků, kteří nebyli vyzkoušeni v žádném z předchozích dnů.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet dříve vyzkoušených žáků

Nejdřív sečteme počty žáků vyzkoušených ve všech dnech před úterým 11. 1.: $3 + 0 + 5 + 2 + 2 + 6 = 18$. Do pondělí 10. 1. včetně tedy učitel vyzkoušel 18 žáků.

Čtvrtina ze zbývajících žáků

Každý žák byl vyzkoušen právě jednou, takže z 30 žáků ještě nebylo vyzkoušeno $30 - 18 = 12$ žáků. Čtvrtinu z tohoto počtu vypočítáme dělením čtyřmi: $12 : 4 = 3$.

Rozhodnutí o tvrzení

Z grafu čteme, že v úterý 11. 1. učitel vyzkoušel 3 žáky. To je přesně čtvrtina ze 12 dosud nevyzkoušených žáků. Tvrzení je pravdivé, odpověď A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 11

Čtyřúhelník se skládá ze 4 trojúhelníků.

Jaká je velikost úhlu φ?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

A) menší než 16°
D) 21°
B) 16°
E) větší než 21°
C) 18°

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Levý trojúhelník

V levém trojúhelníku jsou u obou levých vrcholů úhly 60°. Součet úhlů v trojúhelníku je 180°, takže úhel u vnitřního bodu je také $180° - 60° - 60° = 60°$.

Dolní levý trojúhelník

Dolní levý trojúhelník má u levého dolního vrcholu úhel 28° a u dolního prostředního vrcholu pravý úhel. U vnitřního bodu proto zbývá $180° - 28° - 90° = 62°$.

Úhel v horním trojúhelníku

Úhly kolem vnitřního bodu mají dohromady 360°. Už známe úhly 60°, 62° a vyznačený pravý úhel 90°. Pro horní trojúhelník tedy zbývá $360° - 60° - 62° - 90° = 148°$.

Výsledek

V horním trojúhelníku jsou zbývající dva úhly oba označené φ. Dohromady mají $180° - 148° = 32°$, takže každý má $32° : 2 = 16°$. Úhel φ má velikost 16°, správně je možnost B.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 12

Domeček tvaru pětiúhelníku se skládá z trojúhelníku a čtyř shodných čtverců. Čtyři čtverce mají dohromady stejný obsah jako trojúhelník. Délka strany čtverce je 6 cm.

Jaká je výška domečku h?

A) menší než 14 cm
D) 18 cm
B) 14 cm
E) větší než 18 cm
C) 16 cm

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrazce

Spodní část domečku tvoří čtyři shodné čtverce uspořádané vedle sebe. Protože strana jednoho čtverce měří $6\text{ cm}$, celková délka základny této řady (a tím i délka základny trojúhelníku) je:

$4 \cdot 6\text{ cm} = 24\text{ cm}$

Obsah trojúhelníku

Nejdříve vypočítáme obsah všech čtyř čtverců dohromady. Obsah jednoho čtverce je $6 \cdot 6 = 36\text{ cm}^2$.
Čtyři čtverce mají celkový obsah: $4 \cdot 36 = 144\text{ cm}^2$.
V zadání je uvedeno, že trojúhelník má stejný obsah jako tyto čtyři čtverce dohromady, tedy také $144\text{ cm}^2$.

Výška trojúhelníku

Obsah trojúhelníku vypočítáme pomocí vzorce $S = \frac{c \cdot v}{2}$. My známe obsah ($144\text{ cm}^2$) i délku základny ($24\text{ cm}$):
$144 = \frac{24 \cdot v}{2}$
$144 = 12 \cdot v$

$v = 144 : 12 = 12\text{ cm}$

Celková výška domečku

Celková výška domečku $h$ se skládá z výšky čtvercové části ($6\text{ cm}$) a výšky trojúhelníku ($12\text{ cm}$):

$h = 6 + 12 = 18\text{ cm}$

Závěr

Výška domečku $h$ je $18\text{ cm}$. Správná je tedy možnost D.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 13

Obdélník je rozdělen na 12 čtverců čtyř různých velikostí (S, M, L a XL). Delší strana obdélníku měří 260 cm.

Jaký je obvod čtverce velikosti L?

A) 240 cm
D) 360 cm
B) 280 cm
E) jiný obvod
C) 320 cm

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Horní pás obdélníku

Stranu malého čtverce S si vezmeme jako jeden dílek. Vedle čtverce L jsou nad sebou čtyři malé čtverce, takže strana L měří 4 dílky. Po obou stranách L je sloupec široký jeden dílek. Levá část obdélníku je tedy široká 1 + 4 + 1 = 6 dílků.

Dolní pás a čtverec XL

V dolním pásu vyplňují stejnou šířku dva čtverce M vedle sebe. Strana každého měří 6 : 2 = 3 dílky. Výška celého obdélníku je 4 + 3 = 7 dílků. Čtverec XL sahá přes celou výšku, proto i jeho šířka měří 7 dílků. Celý obdélník je široký 6 + 7 = 13 dílků.

Délka strany čtverce L

Delší strana obdélníku měří 260 cm a odpovídá 13 dílkům. Jeden dílek měří 260 : 13 = 20 cm. Strana čtverce L má 4 dílky, tedy 4 · 20 = 80 cm.

Obvod a odpověď

Čtverec má čtyři stejně dlouhé strany. Obvod čtverce L je 4 · 80 = 320 cm. Správná je možnost C.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 14

V pohádkové říši se setkání draků zúčastnili pouze dvouhlaví a tříhlaví draci.
Draků bylo celkem 52 a dohromady měli 134 hlav.

O kolik se liší součet hlav všech tříhlavých draků od součtu hlav všech dvouhlavých draků?

A) o méně než 22 hlav
D) o 41 hlav
B) o 22 hlav
E) o více než 41 hlav
C) o 30 hlav

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Předpokládáme samé dvouhlavé draky

Nejdřív si představíme, že všech 52 draků je dvouhlavých. Dohromady by měli 52 · 2 = 104 hlav. Ve skutečnosti mají o 134 − 104 = 30 hlav více.

Počet draků obou druhů

Každý tříhlavý drak má oproti dvouhlavému jednu hlavu navíc. Proto je tříhlavých draků 30. Dvouhlavých je 52 − 30 = 22.

Součty hlav

Tříhlaví draci mají celkem 30 · 3 = 90 hlav. Dvouhlaví mají 22 · 2 = 44 hlav. Ověříme: 90 + 44 = 134 hlav, což souhlasí se zadáním.

Výsledek

Součty hlav se liší o 90 − 44 = 46 hlav. Je to více než 41 hlav, takže správná je možnost E.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.1

Ze sklizené mrkve se prodalo 960 kg, a zbývalo tak ještě 40 % sklizené mrkve.

Kolik kg mrkve bylo sklizeno?

A) 1 600 kg
D) 2 250 kg
B) 1 800 kg
E) 2 400 kg
C) 2 000 kg
F) více než 2 400 kg

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Prodaná část sklizně

Celá sklizeň představuje 100 %. Zbývalo 40 %, takže se prodalo 100 − 40 = 60 % sklizně. Těchto 60 % odpovídá 960 kg.

Výpočet celé sklizně

Nejdřív vypočítáme 1 % sklizně: 960 : 60 = 16 kg. Potom vypočítáme celých 100 %: 16 · 100 = 1 600 kg.

Výsledek a kontrola

Bylo sklizeno 1 600 kg mrkve, tedy možnost A. Ověříme: 40 % z 1 600 kg je 640 kg a po prodeji opravdu zbývá 1 600 − 960 = 640 kg.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.2

Během prosince ze skladu odvezli pětinu posypové soli, a ve skladu tak zbylo ještě 9 000 kg posypové soli.

Kolik kg posypové soli odvezli ze skladu během prosince?

A) 1 600 kg
D) 2 250 kg
B) 1 800 kg
E) 2 400 kg
C) 2 000 kg
F) více než 2 400 kg

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení na pětiny

Původní množství soli rozdělíme na pět stejných dílů. Odvezli jeden díl, takže ve skladu zůstaly čtyři díly. Ty dohromady váží 9 000 kg.

Výpočet jedné pětiny

Jeden díl váží $9\,000 : 4 = 2\,250$ kg. Právě tento jeden díl ze skladu odvezli.

Výsledek a kontrola

Původně bylo ve skladu $5 \cdot 2\,250 = 11\,250$ kg soli. Po odvozu zbylo $11\,250 - 2\,250 = 9\,000$ kg, což odpovídá zadání. Odvezli tedy 2 250 kg soli. Správná je možnost D.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.3

Obchodník nakoupil 12 000 kg brambor. V říjnu z nich prodal 40%, v listopadu prodal 75% zbytku a neprodané brambory daroval charitě.

Kolik kg brambor daroval obchodník charitě?

A) 1 600 kg
D) 2 250 kg
B) 1 800 kg
E) 2 400 kg
C) 2 000 kg
F) více než 2 400 kg

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zbytek po říjnovém prodeji

V říjnu obchodník prodal 40 % brambor, takže mu zůstalo 60 % původního množství. To je $12\,000 : 100 \cdot 60 = 7\,200$ kg.

Zbytek po listopadovém prodeji

V listopadu prodal 75 % ze zbylých 7 200 kg. Neprodaných tedy zůstalo 25 % tohoto množství: $7\,200 : 100 \cdot 25 = 1\,800$ kg.

Výsledek

Všechny neprodané brambory daroval charitě. Charitě tedy daroval 1 800 kg brambor. Správná je možnost B.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 16.1

Amélka, Viktorka a Zuzanka vytvářely stavby z kostek podle následujících pravidel: První sloupec stavby tvoří 1 tmavá kostka a dalších 5 sloupců je postaveno postupně ze 2, 3, 4, 3 a 2 bílých kostek. Poté se sloupce opakují ve stejném pořadí, ale po dostavění kteréhokoliv sloupce lze stavbu ukončit.
Např. stavba na obrázku má celkem 23 sloupců, z nichž je 19 sloupců bílých a 4 tmavé.

Amélčina stavba má celkem 42 sloupců.

Vypočtěte, kolik kostek (bílých i tmavých dohromady) obsahuje Amélčina stavba.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza opakující se části (cyklu)

Nejprve si určíme, z kolika sloupců se skládá jedna opakující se část stavby. Podle zadání tvoří začátek 1 tmavá kostka a dalších 5 sloupců jsou bílé kostky v počtech 2, 3, 4, 3 a 2. Jeden cyklus má tedy dohromady 6 sloupců.

Počet kostek v jednom cyklu

Vypočítáme, kolik kostek je v jednom kompletním cyklu o 6 sloupcích (sečteme kostky ve všech šesti sloupcích):
1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 = 15 kostek

Celkový výpočet pro Amélčinu stavbu

Amélčina stavba má celkem 42 sloupců. Zjistíme, kolik celých cyklů stavba obsahuje vydělením počtu sloupců délkou jednoho cyklu:
42 : 6 = 7 cyklů
Protože v každém ze 7 cyklů je 15 kostek, vypočítáme celkový počet kostek vynásobením:
7 * 15 = 105

Závěr

Amélčina stavba obsahuje celkem 105 kostek (bílých i tmavých dohromady).

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

105

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.2

Viktorčina stavba má 58 bílých sloupců.

Vypočtěte, kolik tmavých kostek obsahuje Viktorčina stavba.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor pravidla stavby

Stavba se skládá z opakujících se skupin (cyklů) o 6 sloupcích. Každý cyklus začíná 1 tmavým sloupcem (který tvoří 1 tmavá kostka) a pokračuje 5 bílými sloupci (s počty kostek 2, 3, 4, 3 a 2).
V každém dokončeném i načatém cyklu tedy vždy najdeme jednu tmavou kostku na začátku, za kterou následují bílé sloupce.

Výpočet počtu celých cyklů

Víme, že Viktorčina stavba má celkem 58 bílých sloupců. Zjistíme, kolik celých skupin po pěti bílých sloupcích se do stavby vejde:
58 : 5 = 11 (zbytek 3)
Stavba tedy obsahuje 11 celých cyklů a k tomu ještě 3 bílé sloupce z dalšího cyklu.

Výpočet počtu tmavých kostek

V 11 celých cyklech je celkem 11 tmavých kostek (v každém cyklu jedna).
Protože po 11. cyklu stavba pokračuje dalšími bílými sloupci, musel začít i 12. cyklus. Ten začíná opět 1 tmavou kostkou, za kterou pak následují zbývající 3 bílé sloupce.
Celkový počet tmavých kostek je tedy:
11 + 1 = 12

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.3

Zuzančina stavba obsahuje celkem 156 kostek (bílých i tmavých dohromady).

Vypočtěte, kolik sloupců má Zuzančina stavba.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Analýza jednoho opakujícího se úseku (cyklu)

Podle pravidel tvoří jeden cyklus stavby 6 sloupců. První sloupec tvoří 1 tmavá kostka, dalších pět sloupců tvoří postupně 2, 3, 4, 3 a 2 bílé kostky.
Počet kostek v jednom cyklu je: $1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 = 15$ kostek.
Počet sloupců v jednom cyklu je: 6 sloupců.

Krok 2: Výpočet počtu celých cyklů ve stavbě

Zuzančina stavba má celkem 156 kostek. Zjistíme, kolik celých cyklů o 15 kostkách se do stavby vejde:
$156 : 15 = 10$ (zbytek 6)
Stavba tedy obsahuje 10 celých cyklů. V těchto deseti cyklech je použito $10 \cdot 15 = 150$ kostek a tvoří je $10 \cdot 6 = 60$ sloupců.

Krok 3: Určení počtu zbývajících sloupců

Do celkového počtu 156 kostek nám zbývá doplnit $156 - 150 = 6$ kostek. Tyto kostky tvoří další sloupce v pořadí nového cyklu:

1. sloupec: 1 tmavá kostka (celkem 151 kostek),
2. sloupec: 2 bílé kostky (celkem 153 kostek),
3. sloupec: 3 bílé kostky (celkem 156 kostek).

Tím jsme dosáhli cílového počtu kostek. K dokončení stavby jsme potřebovali další 3 sloupce.

Krok 4: Celkový počet sloupců

K 60 sloupcům z deseti celých cyklů přičteme 3 sloupce z nedokončeného cyklu:
$60 + 3 = 63$
Zuzančina stavba má celkem 63 sloupců.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body