Matematika 7. ročník — 2. náhradní termín 2022

Úloha 1

Vypište všechny dělitele čísla 95, které jsou větší než 1 a menší než 95.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozklad čísla 95

Číslo 95 končí číslicí 5, což znamená, že je dělitelné pěti. Zkusíme tedy číslo 95 vydělit pěti: $95 \div 5 = 19$.

Kontrola dalších dělitelů

Číslo 19 je prvočíslo (má pouze dva dělitele: 1 a 19). To znamená, že dělitele čísla 95 jsou pouze 1, 5, 19 a 95.

Výběr správných dělitelů

Zadání požaduje dělitele, kteří jsou větší než 1 a menší než 95. Z našeho seznamu (1, 5, 19, 95) tedy vybereme pouze čísla 5 a 19.

Závěr

Dělitelé čísla 95, kteří splňují podmínku, jsou 5 a 19.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

5; 19

Stav úlohy

2 body

Úloha 2.1

Vypočtěte:

$\displaystyle \left( -3 \right) \cdot \left( -3 \right) - 5 \cdot 5 - 4 \cdot \left( - 4 \right) =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet součinů

Nejdříve vypočítáme hodnoty jednotlivých součinů v příkladu. Musíme si dát pozor na znaménka:

$\displaystyle (-3) \cdot (-3) = 9$
$\displaystyle 5 \cdot 5 = 25$
$\displaystyle 4 \cdot (-4) = -16$

Sčítání a odčítání

Nyní dosadíme výsledky zpět do původního výrazu a vypočítáme konečný výsledek:
$\displaystyle 9 - 25 - (-16) =$
$\displaystyle = 9 - 25 + 16 =$
$\displaystyle = -16 + 16 = 0$

Výsledek

Výsledkem celého výrazu je číslo 0.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

0

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2.2

Vypočtěte:

$\displaystyle \left( 0,08 - 1 \right) \div 0,2=$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet v závorce

Nejdříve vypočítáme výraz v závorce. Od čísla 0,08 odečteme číslo 1.
$0,08 - 1 = -0,92$

Dělení

Výsledek ze závorky vydělíme číslem 0,2.
$-0,92 \div 0,2 = -4,6$

Pomoci si můžeme posunutím desetinné čárky u obou čísel o jedno místo doprava, což nám dá stejný výsledek jako $-9,2 \div 2 = -4,6$.

Závěr

Výsledkem celého výrazu je tedy $-4,6$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-4,6

Stav úlohy

1 bod

Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \left( \frac{12}{5} \cdot \frac{3}{20} - \frac{3}{20} \right) \div \frac{7}{25} =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Násobení v závorce

Nejdříve vypočítáme součin zlomků v závorce. Zlomky $\frac{12}{5}$ a $\frac{3}{20}$ můžeme před násobením zkrátit (čísla 12 a 20 vydělíme čtyřkou):
$\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{20} = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \mathbf{\frac{9}{25}}$

Odčítání v závorce

Nyní od výsledku odečteme druhý zlomek v závorce. Abychom mohli zlomky odečíst, musíme je převést na společného jmenovatele, kterým je pro čísla 25 a 20 číslo 100:
$\frac{9}{25} - \frac{3}{20} = \frac{36}{100} - \frac{15}{100} = \mathbf{\frac{21}{100}}$

Dělení a výsledek

Výsledek závorky vydělíme zlomkem $\frac{7}{25}$. Dělení zlomkem nahradíme násobením jeho převrácenou hodnotou. Před výpočtem opět výhodně krátíme (21 se 7 a 25 se 100):
$\frac{21}{100} \div \frac{7}{25} = \frac{21}{100} \cdot \frac{25}{7} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{1} = \mathbf{\frac{3}{4}}$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

3/4

Stav úlohy

2 body

Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{12}{\displaystyle2+ \frac{2}{3} } \cdot \frac{\displaystyle 2 \cdot \frac{2}{3} }{18} =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úprava prvního zlomku

Nejdříve vypočítáme jmenovatel prvního zlomku: $2 + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$.
Celý první zlomek pak upravíme odstraněním složeného tvaru: $\frac{12}{\frac{8}{3}} = 12 \cdot \frac{3}{8} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}$.

Úprava druhého zlomku

V čitateli druhého zlomku vypočítáme $2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.
Celý druhý zlomek pak upravíme: $\frac{\frac{4}{3}}{18} = \frac{4}{3 \cdot 18} = \frac{4}{54} = \frac{2}{27}$.

Součin zlomků a výsledek

Nyní vynásobíme oba upravené zlomky: $\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{27} = \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 27}$.
Zkrátíme dvojky a dostaneme $\frac{9}{27}$. Tento zlomek ještě vykrátíme devítkou a získáme výsledný zlomek v základním tvaru: $\mathbf{\frac{1}{3}}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

1/3

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.1

Do prázdných kroužků a čtverečků se v souladu s uvedenými výpočty doplňují pouze celá čísla větší než 0.

Doplňte taková čísla, aby byl součet v silně ohraničeném čtverečku v I. nákresu co nejmenší.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor schématu

Podle vzoru vidíme, že čísla v horních kroužcích po vynásobení čísly u šipek (3 a 4) dávají čísla v dolních kroužcích. Číslo v horním čtverečku je součtem obou horních kroužků. V I. nákresu víme, že součet v dolním čtverečku je 43.

Dolní mez součtu

Každá jednotka horního součtu přispěje do dolního součtu nejvýše čtyřmi. Protože 43 : 4 = 10 a zbytek 3, musí být horní součet alespoň 11.

Doplnění nákresu

Jedenáct čtveřic by dalo 44. Potřebujeme o 1 méně, proto jednu čtveřici nahradíme trojicí. Do horních kroužků patří vlevo 1 a vpravo 10; dolů 3 a 40. Jejich součet je 43. Horní součet 1 + 10 = 11 dosahuje odvozené dolní meze, takže je nejmenší.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

11

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.2

Do prázdných kroužků a čtverečků se v souladu s uvedenými výpočty doplňují pouze celá čísla větší než 0.

Doplňte taková čísla, aby byl součet v silně ohraničeném čtverečku ve II. nákresu co největší.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Co se v nákresu počítá

Levý horní kroužek se násobí 3, pravý 4. Dolní výsledky mají součet 43. Hledáme největší součet horních kroužků, přičemž všechna čísla musí být kladná a celá.

Horní mez součtu

Každá jednotka horního součtu přispívá dole alespoň třemi. Proto horní součet nemůže být větší než 14: 43 : 3 = 14 a zbytek 1.

Doplnění nákresu

Čtrnáct trojic má součet 42. Do 43 zbývá 1, proto jednu trojici nahradíme čtveřicí. Vlevo nahoře bude 13, vpravo 1. Dole dostaneme 13 · 3 = 39 a 1 · 4 = 4, dohromady 43. Horní součet je 14, tedy dosažené maximum.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

14

Stav úlohy

2 body

Úloha 5.1

Z nádvoří se chodí nahoru na ochoz věže po 80 stejných vyšších schodech, zatímco zpět na nádvoří se chodí dolů jiným schodištěm po 96 stejných nižších schodech. Obě schodiště jsou ve dvou místech propojena odpočívadly. Václav šel z nádvoří nahoru a po 60 schodech potkal na 2. odpočívadle Danu, která šla dolů. Když Dana sešla ještě o 30 schodů níže, potkala na 1. odpočívadle Evu, která šla nahoru.

Vypočtěte, kolik schodů sešla Dana dolů z ochozu, než potkala Václava.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Schody od odpočívadla k ochozu

Václav vystoupal na 2. odpočívadlo po 60 z celkem 80 vyšších schodů. Od tohoto odpočívadla k ochozu tedy zbývá 80 − 60 = 20 vyšších schodů.

Část celkové výšky

20 schodů je čtvrtina z 80 schodů. Mezi 2. odpočívadlem a ochozem je tedy čtvrtina celkové výšky mezi nádvořím a ochozem. Právě tuto výšku Dana sestoupila, než potkala Václava.

Výsledek

Na schodišti dolů je celkem 96 stejných nižších schodů. Čtvrtině celkové výšky odpovídá 96 : 4 = 24 schodů. Dana tedy sešla 24 schodů.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

24

Stav úlohy

2 body

Úloha 5.2

Z nádvoří se chodí nahoru na ochoz věže po 80 stejných vyšších schodech, zatímco zpět na nádvoří se chodí dolů jiným schodištěm po 96 stejných nižších schodech. Obě schodiště jsou ve dvou místech propojena odpočívadly. Václav šel z nádvoří nahoru a po 60 schodech potkal na 2. odpočívadle Danu, která šla dolů. Když Dana sešla ještě o 30 schodů níže, potkala na 1. odpočívadle Evu, která šla nahoru.

Vypočtěte, kolik schodů vyšla Eva nahoru z nádvoří, než potkala Danu.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Poměr počtu schodů

Obě schodiště vedou z nádvoří na stejný ochoz. Poměr počtu vyšších a nižších schodů je $80 : 96 = 5 : 6$. Stejnou výšku tedy překonáme po 5 vyšších nebo po 6 nižších schodech.

Schody mezi odpočívadly

Dana mezi 2. a 1. odpočívadlem sešla 30 nižších schodů. Je to $30 : 6 = 5$ skupin po 6 schodech. Na schodišti nahoru tomu odpovídá $5 \cdot 5 = 25$ vyšších schodů.

Výsledek a ověření

Na 2. odpočívadlo vede z nádvoří 60 vyšších schodů. Na 1. odpočívadlo jich proto vede $60 - 25 = 35$. Ověříme: $35 + 25 = 60$. Eva tedy před setkáním s Danou vyšla 35 schodů.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

35

Stav úlohy

2 body

Úloha 6.1

Stejné činky jsou baleny po 6 kusech do stejných krabic.
V obchodě se sportovními potřebami mají čtyři krabice s činkami, dvě z těchto krabic jsou
plné, dvě poloprázdné a vše dohromady váží 47 kg.
V každé poloprázdné krabici zůstaly jen 3 činky.
Obě poloprázdné krabice s činkami váží celkem 16 kg.

Vypočtěte, kolik kilogramů váží jedna plná krabice s činkami.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hmotnost dvou plných krabic

Ze zadání víme, že čtyři krabice (dvě plné a dvě poloprázdné) váží dohromady 47 kg. Také víme, že obě poloprázdné krabice váží celkem 16 kg. Když od celkové hmotnosti všech krabic odečteme hmotnost těch poloprázdných, zbude nám hmotnost dvou plných krabic:

47 - 16 = 31\text{ kg}

Výpočet pro jednu krabici

Pokud dvě stejné plné krabice váží dohromady 31 kg, hmotnost jedné z nich zjistíme tak, že 31 kg rozdělíme na dvě stejné poloviny (vydělíme dvěma):

31 : 2 = 15,5\text{ kg}

Závěr

Jedna plná krabice s činkami váží 15,5 kg.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

15,5

Stav úlohy

1 bod

Úloha 6.2

Stejné činky jsou baleny po 6 kusech do stejných krabic.
V obchodě se sportovními potřebami mají čtyři krabice s činkami, dvě z těchto krabic jsou
plné, dvě poloprázdné a vše dohromady váží 47 kg.
V každé poloprázdné krabici zůstaly jen 3 činky.
Obě poloprázdné krabice s činkami váží celkem 16 kg.

Vypočtěte, kolik kilogramů váží jedna činka.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (6 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Váha jedné poloprázdné krabice

Ze zadání víme, že obě poloprázdné krabice s činkami váží celkem 16 kg. Protože jsou obě krabice stejné, jedna poloprázdná krabice váží přesně polovinu:
$16 \div 2 = 8$ kg.
V této krabici jsou 3 činky.

Váha dvou plných krabic

Máme celkem čtyři krabice (dvě plné a dvě poloprázdné), které dohromady váží 47 kg. Když od této váhy odečteme váhu dvou poloprázdných krabic (16 kg), zbyde nám váha dvou plných krabic:
$47 - 16 = 31$ kg.

Váha jedné plné krabice

Jedna plná krabice váží polovinu z 31 kg:
$31 \div 2 = 15,5$ kg.
V plné krabici je 6 činek.

Rozdíl v počtu činek

Rozdíl mezi plnou krabicí (6 činek) a poloprázdnou krabicí (3 činky) jsou právě 3 činky. Rozdíl v jejich váze je:
$15,5 - 8 = 7,5$ kg.
Tři činky tedy váží 7,5 kg.

Váha jedné činky

Jednu činku vypočítáme tak, že váhu tří činek vydělíme třemi:
$7,5 \div 3 = 2,5$ kg.

Výsledek

Jedna činka váží 2,5 kg.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

2,5

Stav úlohy

1 bod

Úloha 6.3

Stejné činky jsou baleny po 6 kusech do stejných krabic.
V obchodě se sportovními potřebami mají čtyři krabice s činkami, dvě z těchto krabic jsou
plné, dvě poloprázdné a vše dohromady váží 47 kg.
V každé poloprázdné krabici zůstaly jen 3 činky.
Obě poloprázdné krabice s činkami váží celkem 16 kg.

Vypočtěte, kolik kilogramů váží jedna prázdná krabice.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (6 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hmotnost jedné poloprázdné krabice

Ze zadání víme, že dvě poloprázdné krabice váží celkem $16\text{ kg}$. Jedna poloprázdná krabice tedy váží polovinu:
$16 : 2 = 8\text{ kg}$

Hmotnost dvou plných krabic

Všechny čtyři krabice (dvě plné a dvě poloprázdné) váží dohromady $47\text{ kg}$. Od této celkové hmotnosti odečteme hmotnost obou poloprázdných krabic:
$47 - 16 = 31\text{ kg}$
Dvě plné krabice tedy váží dohromady $31\text{ kg}$.

Hmotnost jedné plné krabice

Jedna plná krabice váží polovinu z $31\text{ kg}$:
$31 : 2 = 15,5\text{ kg}$

Hmotnost tří činek

Plná krabice obsahuje $6$ činek, zatímco poloprázdná krabice obsahuje jen $3$ činky. Rozdíl v jejich hmotnosti tvoří právě ty $3$ činky, o které je plná krabice těžší:
$15,5 - 8 = 7,5\text{ kg}$
Zjistili jsme, že $3$ činky váží $7,5\text{ kg}$.

Hmotnost prázdné krabice

Poloprázdná krabice se skládá z prázdné krabice a $3$ činek. Pokud od její celkové hmotnosti ($8\text{ kg}$) odečteme hmotnost těchto $3$ činek ($7,5\text{ kg}$), získáme hmotnost samotné krabice:
$8 - 7,5 = 0,5\text{ kg}$

Závěr

Jedna prázdná krabice váží $0,5\text{ kg}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

0,5

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.1

Obrazec se skládá z tmavého čtverce, dvou shodných bílých rovnoramenných trojúhelníků a dvou shodných bílých lichoběžníků. (S každou stranou čtverce splývá základna jednoho bílého útvaru.)
Tmavý čtverec má stranu délky 12 cm a jeho obsah je polovinou obsahu celého obrazce.
Jeden trojúhelník má obsah 30 cm².
Délka kratší základny lichoběžníku je 9 cm.

Vypočtěte v cm výšku na základnu rovnoramenného trojúhelníku.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Délka základny trojúhelníku

Ze zadání víme, že tmavý čtverec má stranu délky 12 cm. Protože základna rovnoramenného trojúhelníku splývá se stranou tohoto čtverce, má i tato základna délku 12 cm.

Vzorec pro obsah trojúhelníku

Víme, že obsah jednoho trojúhelníku je 30 cm². Pro obsah trojúhelníku platí vzorec:
$S = \frac{z \cdot v}{2}$
Kde $z$ je délka základny a $v$ je výška na tuto základnu.

Výpočet výšky

Do vzorce dosadíme známé hodnoty a vypočítáme výšku:
$30 = \frac{12 \cdot v}{2}$
$30 = 6 \cdot v$
$v = 30 : 6$
$v = \mathbf{5\text{ cm}}$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

5 cm

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.2

Obrazec se skládá z tmavého čtverce, dvou shodných bílých rovnoramenných trojúhelníků a dvou shodných bílých lichoběžníků. (S každou stranou čtverce splývá základna jednoho bílého útvaru.)
Tmavý čtverec má stranu délky 12 cm a jeho obsah je polovinou obsahu celého obrazce.
Jeden trojúhelník má obsah 30 cm².
Délka kratší základny lichoběžníku je 9 cm.

Vypočtěte v cm výšku lichoběžníku.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah čtverce a celého obrazce

Tmavý čtverec má stranu délky 12 cm. Jeho obsah vypočítáme jako:
12 cm · 12 cm = 144 cm²
V zadání je uvedeno, že obsah tohoto čtverce je polovinou obsahu celého obrazce. Celý obrazec má tedy obsah:
144 cm² · 2 = 288 cm²

Obsah bílých částí a jednoho lichoběžníku

Bílé části (dva shodné trojúhelníky a dva shodné lichoběžníky) tvoří druhou polovinu obsahu obrazce, což je 144 cm². Víme, že jeden trojúhelník má obsah 30 cm², oba trojúhelníky dohromady mají tedy 60 cm².
Na oba lichoběžníky zbývá:
144 cm² - 60 cm² = 84 cm²
Obsah jednoho lichoběžníku je tedy:
84 cm² : 2 = 42 cm²

Výpočet výšky lichoběžníku

Lichoběžník má delší základnu (a) společnou se stranou čtverce, takže a = 12 cm. Kratší základna (c) má délku 9 cm. Obsah lichoběžníku (S) je 42 cm². Použijeme vzorec pro obsah lichoběžníku:
S = (a + c) : 2 · v
Dosadíme známé hodnoty:
42 = (12 + 9) : 2 · v
42 = 10,5 · v
v = 42 : 10,5 = 4 cm

Závěr

Výška lichoběžníku je 4 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

4 cm

Stav úlohy

2 body

Úloha 8

V rovině leží body A, S a přímka p procházející bodem A.

Bod A je vrchol rovnoběžníku ABCD. Bod S je střed tohoto rovnoběžníku.
Na přímce p leží vrchol B rovnoběžníku ABCD. Úhel ASB má velikost 120°.

Sestrojte vrcholy B, C, D rovnoběžníku ABCD, označte je písmeny a rovnoběžník narýsujte.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

3 body: Vzorové řešení výše.
2 body: Požadovaný rovnoběžník je sestrojen s mírnou nepřesností.
1 bod: Nastane jedna z následujících situací:
Správně je sestrojen pouze vrchol B.
Je sestrojen nevyhovující rovnoběžník, v němž platí |∢ASD| = 120°, nikoli |∢ASB| = 120°, ale ostatní podmínky zadání jsou splněny a konstrukce je přesná.
0 bodů: Pouze zcela chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 2. náhradní termín 2022, úloha 8

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 9

V rovině leží body C, Q a přímka p.

Bod C je vrchol rovnoramenného trojúhelníku ABC se základnou AB.
Ramena mají délku 5 cm. Na přímce p leží jeden vrchol trojúhelníku ABC.
Bodem Q prochází osa souměrnosti trojúhelníku ABC.

Sestrojte vrcholy A, B trojúhelníku ABC, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

3 body: Vzorové řešení výše.
2 body: Z požadovaných trojúhelníků je pouze jeden sestrojen přesně, druhý je sestrojen nepřesně, nebo chybí.
1 bod: Z požadovaných trojúhelníků je sestrojen pouze jeden, a to s mírnou nepřesností.
0 bodů: Pouze chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 2. náhradní termín 2022, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 10.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou z tmavých čtverců složeny tři útvary A, B, C. Každý z nich má pouze jednu osu souměrnosti.
V každém útvaru přemístíme jediný tmavý čtverec tak, aby měl upravený útvar co nejvíce různých os souměrnosti (sestrojených svisle, vodorovně nebo šikmo).

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Správně upravený útvar A má pouze 2 osy souměrnosti.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 10.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou z tmavých čtverců složeny tři útvary A, B, C. Každý z nich má pouze jednu osu souměrnosti.
V každém útvaru přemístíme jediný tmavý čtverec tak, aby měl upravený útvar co nejvíce různých os souměrnosti (sestrojených svisle, vodorovně nebo šikmo).

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Správně upravený útvar B má pouze 2 osy souměrnosti.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 10.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou z tmavých čtverců složeny tři útvary A, B, C. Každý z nich má pouze jednu osu souměrnosti.
V každém útvaru přemístíme jediný tmavý čtverec tak, aby měl upravený útvar co nejvíce různých os souměrnosti (sestrojených svisle, vodorovně nebo šikmo).

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Správně upravený útvar C má pouze 1 osu souměrnosti.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 11

Čtyřúhelník je rozdělen na dva tmavé rovnostranné trojúhelníky, jeden bílý čtyřúhelník a jeden bílý trojúhelník.

Jaká je velikost úhlu φ?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

A) 105°
D) 120°
B) 110°
E) větší než 120°
C) 115°

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úhel v rovnostranném trojúhelníku

Každý úhel rovnostranného trojúhelníku má 60°. Menší tmavý trojúhelník má tedy u vnitřního bodu dolní strany úhel 60°.

Úhel u dolní strany

Nad přímou dolní stranou tvoří tři sousední úhly dohromady 180°. Úhel bílého trojúhelníku u vnitřního bodu dolní strany je proto 180° − 60° − 36° = 84°.

Třetí úhel bílého trojúhelníku

Bílý trojúhelník vlevo má dva úhly 41° a 84°. Jeho třetí úhel, u levé šikmé strany, je 180° − 41° − 84° = 55°.

Výsledek

Úhel φ a vypočtený úhel 55° jsou vedlejší úhly na levé šikmé straně. Proto φ = 180° − 55° = 125°. Je větší než 120°, takže správně je E.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy

2 body

Úloha 12

Podstavou trojbokého kolmého hranolu je pravoúhlý trojúhelník, jehož dvě delší strany měří 17 cm a 15 cm. Výška hranolu je 5 cm. Obě podstavy hranolu jsou tmavé, ostatní stěny jsou bílé.Ze čtyř těchto trojbokých hranolů je slepeno těleso (viz obrázek), které má dvě shodné stěny tmavé a zbývající čtyři stěny bílé.

Jaký obsah mají dohromady všechny bílé stěny slepeného tělesa?

A) menší než 300 cm²
D) 470 cm²
B) 300 cm²
E) větší než 470 cm²
C) 330 cm²

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy

2 body

Úloha 13

Čtyři chlapci (Petr, Radek, Standa a Tomáš) sbírají kartičky s legendárními hokejisty. V grafu znázorňujícím počty jejich kartiček některé údaje chybí.Standa má o polovinu méně kartiček než Tomáš a oba dohromady mají 24 kartiček. Petr má o 5 kartiček více než Radek.

O kolik se liší počet Petrových a Standových kartiček?

A) o 1 kartičku
D) o 17 kartiček
B) o 8 kartiček
E) o jiný počet kartiček
C) o 10 kartiček

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet počtu kartiček Tomáše a Standy

Ze zadání víme, že Standa má o polovinu méně kartiček než Tomáš, což znamená, že má přesně polovinu Tomášova počtu. Dohromady mají oba chlapci 24 kartiček.
Pokud si Tomášův počet představíme jako 2 stejné díly, Standa má 1 takový díl. Dohromady mají 3 stejné díly:
24 : 3 = 8 kartiček (to je 1 díl).
Standa má tedy 8 kartiček a Tomáš má 16 kartiček (2 × 8).

Krok 2: Určení měřítka grafu

V grafu vidíme, že Tomášův pruh končí na páté svislé čáře (včetně počáteční osy s nulou). To znamená, že jeho pruh odpovídá 4 polím (mezerám) v grafu.
Těmto 4 polím odpovídá 16 kartiček. Jedno pole v grafu tedy představuje:
16 : 4 = 4 kartičky.

Krok 3: Výpočet počtu kartiček Radka a Petra

Radkův pruh končí na šesté svislé čáře (včetně nuly), což odpovídá 5 polím v grafu.
Radek má tedy: 5 × 4 = 20 kartiček.
Petr má o 5 kartiček více než Radek:
Petr má: 20 + 5 = 25 kartiček.

Krok 4: Výpočet rozdílu

Máme zjistit, o kolik se liší počet Petrových (25) a Standových (8) kartiček:
25 − 8 = 17.
Počet Petrových a Standových kartiček se liší o 17.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy

2 body

Úloha 14

Ve stánku mají celkem 140 krabiček s čaji. Všechny jsou naskládány do sloupečků po čtyřech
krabičkách. V 10 sloupečcích jsou pouze krabičky s černými čaji a v každém ze zbývajících
sloupečků je jedna krabička s černým čajem a 3 krabičky s ovocnými čaji.

Kolik krabiček s ovocnými čaji mají ve stánku?

A) 30 krabiček
D) 100 krabiček
B) 40 krabiček
E) jiný počet krabiček
C) 75 krabiček

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet sloupečků

Nejdříve zjistíme, kolik je ve stánku celkem sloupečků. Protože jsou v každém sloupečku 4 krabičky a celkem jich je 140, vydělíme celkový počet počtem krabiček v jednom sloupečku:
$140 \div 4 = 35$
Celkem je tedy ve stánku 35 sloupečků.

Sloupečky s ovocným čajem

Víme, že v 10 sloupečcích jsou jen krabičky s černým čajem. Ovocné čaje se nacházejí ve všech zbývajících sloupečcích. Jejich počet zjistíme odečtením:
$35 - 10 = 25$
Ve stánku je tedy 25 sloupečků, které obsahují ovocné čaje.

Počet krabiček s ovocným čajem

V zadání se píše, že v každém z těchto 25 sloupečků jsou právě 3 krabičky s ovocným čajem. Celkový počet krabiček s ovocným čajem vypočítáme násobením:
$25 \cdot 3 = 75$

Závěr

Ve stánku mají celkem 75 krabiček s ovocnými čaji. To odpovídá možnosti C.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.1

Do prosince roku 2020 prodělal covid-19 každý dvacátý Čech.

Kolik procent Čechů prodělalo covid-19 do prosince roku 2020?

A) 4 %
D) 7 %
B) 5 %
E) 8 %
C) 6 %
F) jiný počet procent

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Každý dvacátý Čech znamená, že z každých 20 Čechů prodělal covid-19 jeden.

Převod na procenta

Procenta udávají počet ze sta. Ve 100 Češích je 100 : 20 = 5 skupin po dvaceti. V každé skupině prodělal nemoc jeden člověk, tedy dohromady 5 ze 100. To je 5 %.

Výsledek

Do prosince roku 2020 prodělalo covid-19 5 % Čechů. Správná je možnost B.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.2

Počet novorozenců tvořil v dubnu $\displaystyle \frac{26}{25}$ počtu novorozenců v březnu.

O kolik procent byl počet novorozenců v dubnu vyšší než v březnu?

A) 4 %
D) 7 %
B) 5 %
E) 8 %
C) 6 %
F) jiný počet procent

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Základ pro porovnání

Počet novorozenců v březnu je základ, tedy 100 %. Dubnový počet tvoří $\frac{26}{25}$ tohoto základu.

Výpočet nárůstu

Březnový počet představuje $\frac{25}{25}$, takže v dubnu přibylo $\frac{26}{25}-\frac{25}{25}=\frac{1}{25}$ březnového počtu. Jeden z 25 stejných dílů základu je $100 : 25 = 4$ %.

Výsledek

Počet novorozenců byl v dubnu vyšší o 4 %. Správná je možnost A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.3

Teplá kapalina v nádobě po vychladnutí zmenšila svůj objem o $\displaystyle \frac{2}{27}$ .

O kolik procent byl objem teplé kapaliny větší než objem vychladlé kapaliny?

A) 4 %
D) 7 %
B) 5 %
E) 8 %
C) 6 %
F) jiný počet procent

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení objemu na dílky

Objem teplé kapaliny si rozdělíme na 27 stejných dílků. Při chladnutí se objem zmenší o 2 dílky, takže vychladlá kapalina má $27 - 2 = 25$ dílků.

Základ pro procenta

Teplá kapalina má o 2 dílky větší objem. Porovnáváme jej s objemem vychladlé kapaliny, proto 100 % představuje 25 dílků.

Výpočet a výsledek

Jeden dílek představuje $100 : 25 = 4$ procenta. Dva dílky tedy představují $2 \cdot 4 = 8$ procent. Objem teplé kapaliny byl větší o 8 % (možnost E).

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy

2 body

Úloha 16.1

Řada je vytvořena z celých čísel. První trojice čísel je 0, 1, 2.
Každou další trojici vytvoříme tak, že jednotlivá čísla z předchozí trojice zvětšíme o 1.

V řadě je na 1. až 18. místě následujících 18 čísel:
0, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 5, 6, 7, …

Určete, na kolikátém místě řady je poprvé číslo 12.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Složení řady

Řada se skládá z trojic čísel. První trojice je 0, 1, 2. Každá další trojice začíná číslem o 1 vyšším než ta předchozí.

Hledání první dvanáctky

V každé trojici jsou čísla uspořádána od nejmenšího po největší. Číslo 12 se tedy poprvé objeví jako největší (poslední) číslo v nějaké trojici.
Pokud má být v trojici největší číslo 12, musí tato trojice vypadat takto: 10, 11, 12.

Pořadí trojice

Musíme zjistit, o kolikátou trojici se jedná:

1. trojice začíná číslem 0.
2. trojice začíná číslem 1.
3. trojice začíná číslem 2.

Vidíme, že pořadí trojice je vždy o 1 větší než číslo, kterým začíná. Trojice začínající číslem 10 je tedy 11. trojice v pořadí.

Výpočet místa

Každá trojice zabírá 3 místa v řadě. Jedenáctá trojice končí na místě:
$11 \cdot 3 = 33$.

Výsledek

Číslo 12 je v jedenácté trojici na posledním místě, nachází se tedy poprvé na 33. místě.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

33

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.2

Řada je vytvořena z celých čísel. První trojice čísel je 0, 1, 2.
Každou další trojici vytvoříme tak, že jednotlivá čísla z předchozí trojice zvětšíme o 1.

V řadě je na 1. až 18. místě následujících 18 čísel:
0, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 5, 6, 7, …

Určete, na kolika místech řady je mezi prvními 125 čísly uvedeno liché číslo.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení na trojice

Celou řadu tvoří trojice čísel. Prvních 125 čísel si můžeme rozdělit na 41 celých trojic a zbylá 2 čísla (protože $125 = 41 \cdot 3 + 2$).

Lichá čísla v trojicích

Podíváme se, kolik lichých čísel je v každé trojici:

1. trojice (0, 1, 2) má 1 liché číslo.
2. trojice (1, 2, 3) má 2 lichá čísla.
3. trojice (2, 3, 4) má opět 1 liché číslo.
4. trojice (3, 4, 5) má opět 2 lichá čísla.

Vzor se pravidelně střídá: liché trojice (1., 3., 5., ...) mají 1 liché číslo, sudé trojice (2., 4., 6., ...) mají 2 lichá čísla.

Počet v 41 trojicích

Mezi prvními 41 trojicemi je:

21 lichých trojic (1., 3., ..., 41.), každá má jedno liché číslo: $21 \cdot 1 = 21$.
20 sudých trojic (2., 4., ..., 40.), každá má dvě lichá čísla: $20 \cdot 2 = 40$.

Dohromady je v celých trojicích $21 + 40 = 61$ lichých čísel.

Poslední dvě čísla

Zbývá určit 124. a 125. číslo. Tato čísla patří do 42. trojice. Ta vznikne zvětšením čísel ze 41. trojice (40, 41, 42) o jedna, tedy je to (41, 42, 43).

124. číslo je 41 (liché).
125. číslo je 42 (sudé).

Tím získáme ještě 1 liché číslo.

Celkový součet

Mezi prvními 125 čísly je celkem $61 + 1 = 62$ lichých čísel.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

62

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.3

Řada je vytvořena z celých čísel. První trojice čísel je 0, 1, 2.
Každou další trojici vytvoříme tak, že jednotlivá čísla z předchozí trojice zvětšíme o 1.

V řadě je na 1. až 18. místě následujících 18 čísel:
0, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 5, 6, 7, …

Určete, které číslo je na 152. místě řady.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení na trojice

Čísla v řadě jsou rozdělena do trojic: (0, 1, 2), (1, 2, 3), (2, 3, 4) a tak dále. Každá další trojice začíná o 1 větším číslem než ta předchozí.

Která trojice to je?

Potřebujeme najít číslo na 152. místě. Protože jsou čísla po trojicích, vydělíme 152 číslem 3:
$152 : 3 = 50$ (zbytek 2)
To znamená, že před námi je 50 celých trojic a hledané číslo je druhé v pořadí v 51. trojici.

Čím začíná 51. trojice?

Podíváme se, jak trojice začínají:
1. trojice začíná 0.
2. trojice začíná 1.
3. trojice začíná 2.
Vidíme, že trojice vždy začíná číslem, které je o 1 menší než její pořadové číslo. 51. trojice tedy musí začínat číslem $51 - 1 = 50$.

Výsledek

51. trojice vypadá takto: (50, 51, 52). Hledané 152. místo je druhé v této trojici, což je číslo 51.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

51

Stav úlohy

2 body

Přijímací testy 7. ročník

Rozklad čísla 95

Kontrola dalších dělitelů

Výběr správných dělitelů

Závěr

Výpočet součinů

Sčítání a odčítání

Výsledek

Výpočet v závorce

Dělení

Závěr

Násobení v závorce

Odčítání v závorce

Dělení a výsledek

Úprava prvního zlomku

Úprava druhého zlomku

Součin zlomků a výsledek

Rozbor schématu

Dolní mez součtu

Doplnění nákresu

Co se v nákresu počítá

Horní mez součtu

Doplnění nákresu

Schody od odpočívadla k ochozu

Část celkové výšky

Výsledek

Poměr počtu schodů

Schody mezi odpočívadly

Výsledek a ověření

Hmotnost dvou plných krabic

Výpočet pro jednu krabici

Závěr

Váha jedné poloprázdné krabice

Váha dvou plných krabic

Váha jedné plné krabice

Rozdíl v počtu činek

Váha jedné činky

Výsledek

Hmotnost jedné poloprázdné krabice

Hmotnost dvou plných krabic

Hmotnost jedné plné krabice

Hmotnost tří činek

Hmotnost prázdné krabice

Závěr

Délka základny trojúhelníku

Vzorec pro obsah trojúhelníku

Výpočet výšky

Obsah čtverce a celého obrazce

Obsah bílých částí a jednoho lichoběžníku

Výpočet výšky lichoběžníku

Závěr

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Úhel v rovnostranném trojúhelníku

Úhel u dolní strany

Třetí úhel bílého trojúhelníku

Výsledek

Krok 1: Výpočet počtu kartiček Tomáše a Standy

Krok 2: Určení měřítka grafu

Krok 3: Výpočet počtu kartiček Radka a Petra

Krok 4: Výpočet rozdílu

Celkový počet sloupečků

Sloupečky s ovocným čajem

Počet krabiček s ovocným čajem

Závěr

Rozbor zadání

Převod na procenta

Výsledek

Základ pro porovnání

Výpočet nárůstu

Výsledek

Rozdělení objemu na dílky

Základ pro procenta

Výpočet a výsledek

Složení řady

Hledání první dvanáctky

Pořadí trojice

Výpočet místa

Výsledek

Rozdělení na trojice