Přijímací testy 7. ročník

Podkategorie: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2022

31 úloh

PDF+Klíč

Úloha 1

Vypočtěte, kolik milimetrů jsou $\displaystyle \frac{3}{20}$ ze tří metrů.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod jednotek

Nejdříve si převedeme tři metry na milimetry, abychom mohli snadno počítat. Víme, že 1 metr má 1000 milimetrů, takže:
3 m = 3 000 mm

Výpočet jedné dvacetiny

Nyní zjistíme, kolik je jedna dvacetina ($\frac{1}{20}$) ze 3 000 mm. To uděláme tak, že 3 000 vydělíme dvaceti:
3 000 : 20 = 150 mm

Výpočet tří dvacetin

Protože máme vypočítat tři dvacetiny ($\frac{3}{20}$), vynásobíme výsledek třemi:
3 · 150 = 450 mm

Závěr

Tři dvacetiny ze tří metrů jsou 450 milimetrů.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

450

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2.1

Na číselné ose je zobrazeno jedenáct bodů oddělujících deset stejných dílků. Body A, B, C, D představují čtyři čísla. V bodě C je číslo 48. Číslo v bodě D je o 24 větší než číslo v bodě B.

Vyznačte na číselné ose bod P, v němž je číslo 0.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení hodnoty jednoho dílku

Z textu víme, že číslo v bodě $D$ je o $24$ větší než číslo v bodě $B$. Na číselné ose si spočítáme, kolik dílků tyto dva body dělí. Mezi body $B$ a $D$ jsou přesně $3$ stejné dílky.
Hodnotu jednoho dílku tedy vypočítáme jako:
$24 : 3 = 8$

Výpočet vzdálenosti k nule

V bodě $C$ je číslo $48$. Abychom našli nulu, musíme se od bodu $C$ posunout o $48$ jednotek doleva. Počet dílků, o které se musíme posunout, zjistíme vydělením této vzdálenosti hodnotou jednoho dílku:
$48 : 8 = 6$

Vyznačení bodu P

Bod $P$ s hodnotou $0$ tedy leží přesně o $6$ dílků vlevo od bodu $C$. Když od bodu $C$ (který je devátým bodem zleva) odpočítáme $6$ dílků doleva, dostaneme se na třetí vyznačený bod zleva na celé ose. Tento bod označíme jako $P$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Oficiální klíč neobsahuje textová kritéria pro dílčí body. Porovnejte svou konstrukci se vzorovým řešením a body určete sami.

1 bod: Vzorové řešení výše.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2022, úloha 2.1

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2.2

Vypočtěte číslo v bodě A.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení hodnoty jednoho dílku

Výpočet vzdálenosti od bodu C k bodu A

V bodě $C$ je číslo $48$. Na číselné ose je bod $A$ přesně o $8$ dílků vlevo od bodu $C$. Tato vzdálenost tedy odpovídá:
$8 \cdot 8 = 64$

Určení čísla v bodě A

Protože bod $A$ leží vlevo od bodu $C$, odečteme od čísla $48$ vzdálenost $64$ jednotek:
$48 - 64 = -16$
V bodě $A$ je tedy číslo $-16$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-16

Stav úlohy

1 bod

Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{2}{5} \div \frac{8}{15} - \frac{7}{8} =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Dělení zlomků

Nejdříve vypočítáme podíl prvních dvou zlomků. Dělení zlomkem nahradíme násobením jeho převrácenou hodnotou:
$\frac{2}{5} \div \frac{8}{15} = \frac{2}{5} \cdot \frac{15}{8}$

Krok 2: Krácení a výpočet součinu

Před samotným násobením si zlomky zkrátíme. Číslo 2 v čitateli zkrátíme s číslem 8 ve jmenovateli a číslo 15 v čitateli s číslem 5 ve jmenovateli:
$\frac{1}{1} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$

Krok 3: Odčítání zlomků

Od výsledku dělení nyní odečteme poslední zlomek. Abychom mohli zlomky odečíst, musíme je převést na společného jmenovatele, kterým je pro čísla 4 a 8 číslo 8:
$\frac{3}{4} - \frac{7}{8} = \frac{6}{8} - \frac{7}{8} = -\frac{1}{8}$

Výsledek

Výsledný zlomek $-\frac{1}{8}$ je již v základním tvaru.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-1/8

Stav úlohy

2 body

Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{9}{7} \cdot \frac{14}{15} }{\displaystyle \left( \frac{4}{3} +2 \right) \cdot 3} =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Nejdříve vypočítáme součin zlomků v čitateli (horní část hlavního zlomku). Před násobením můžeme zlomky vykrátit (9 a 15 číslem 3, 14 a 7 číslem 7):
$\frac{9}{7} \cdot \frac{14}{15} = \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{5}$

Výpočet jmenovatele

Ve jmenovateli (spodní část hlavního zlomku) nejdříve sečteme hodnoty v závorce a poté výsledek vynásobíme třemi:
$(\frac{4}{3} + 2) \cdot 3 = (\frac{4+6}{3}) \cdot 3 = \frac{10}{3} \cdot 3 = 10$

Celkový výsledek

Nyní vydělíme vypočtený čitatel jmenovatelem:
$\frac{6}{5} : 10 = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{10} = \frac{6}{50}$
Zlomek převedeme na základní tvar vykrácením číslem 2:
$\frac{6}{50} = \frac{3}{25}$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

3/25

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.1

Když neznámé kladné číslo vynásobíme samo sebou, dostaneme číslo o 17 menší než devítinásobek čísla 9.

Určete neznámé číslo.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Devítinásobek devítky

Nejdříve vypočítáme devítinásobek čísla 9. To provedeme jednoduše vynásobením:
$9 \cdot 9 = 81$

Číslo o 17 menší

Nyní od výsledku odečteme 17, abychom zjistili hodnotu, kterou dostaneme po vynásobení neznámého čísla samo sebou:
$81 - 17 = 64$

Neznámé číslo

Hledáme kladné číslo, které když vynásobíme samo sebou, vyjde nám 64. Z malé násobilky víme, že:
$8 \cdot 8 = 64$

Neznámé číslo je tedy 8.

Výsledek

Neznámé číslo je 8.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.2

V každé lahvi je dva a čtvrt litru sirupu. Ve všech lahvích je celkem 72 litrů sirupu.

Určete počet lahví se sirupem.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Objem jedné lahve

V zadání je uvedeno, že v každé lahvi je dva a čtvrt litru sirupu.
Zápis dva a čtvrt litru vyjádříme jako číslo:

Pomocí zlomku: $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$ litru
Pomocí desetinného čísla: $2\frac{1}{4} = 2,25$ litru

Výpočet počtu lahví

Celkový objem sirupu je $72$ litrů. Chceme-li zjistit počet lahví, vydělíme celkový objem objemem jedné lahve.

Výpočet pomocí zlomků:
$72 : \frac{9}{4} = 72 \cdot \frac{4}{9}$
Zkrátíme čísla $72$ a $9$ devíti:
$8 \cdot 4 = 32$

Výpočet dělením desetinným číslem:
$72 : 2,25 = 7200 : 225 = 32$

Celkem máme $32$ lahví.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 5.1

Letadlo letělo nad oceánem stálou rychlostí a za každou půlhodinu uletělo vzdálenost 360 km.

Vypočtěte, kolik kilometrů uletělo letadlo nad oceánem za 20 minut.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod času na minuty

Půlhodina má 30 minut. Ze zadání tedy víme, že letadlo uletí vzdálenost 360 km za 30 minut.

Určení vzdálenosti za 10 minut

Čas 30 minut si můžeme rozdělit na 3 stejné části po 10 minutách. Za 10 minut letadlo uletí třetinu celkové vzdálenosti:
360 km : 3 = 120 km

Výpočet vzdálenosti za 20 minut

Doba 20 minut se skládá ze dvou desítiminutových úseků. Za 20 minut tedy letadlo uletí dvakrát delší vzdálenost než za 10 minut:
2 × 120 km = 240 km

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

240

Stav úlohy

2 body

Úloha 5.2

Letadlo letělo nad oceánem stálou rychlostí a za každou půlhodinu uletělo vzdálenost 360 km.

Vypočtěte, za jak dlouho uletělo letadlo nad oceánem vzdálenost 9 000 km.

Výsledek uveďte v hodinách a minutách.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rychlost letadla za hodinu

Víme, že letadlo uletí za každou půlhodinu (30 minut) vzdálenost 360 km.
Za celou hodinu (což jsou dvě půlhodiny) uletí dvakrát delší vzdálenost:
$360 \text{ km} \cdot 2 = 720 \text{ km}$
Rychlost letadla je tedy $720 \text{ km/h}$.

Výpočet celkového času

Chceme zjistit, za jak dlouho letadlo uletí vzdálenost 9 000 km. Celkový čas v hodinách získáme tak, že celkovou dráhu vydělíme rychlostí:
$9\ 000 \text{ km} : 720 \text{ km/h} = 12{,}5 \text{ hodin}$

Převod na hodiny a minuty

Čas $12{,}5$ hodiny vyjádříme v hodinách a minutách.
Číslo před desetinnou čárkou udává celé hodiny (12 hodin) a $0{,}5$ hodiny je polovina hodiny, což odpovídá 30 minutám.
Letadlo uletělo vzdálenost za 12 hodin a 30 minut.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

12:30 hodin

Stav úlohy

2 body

Úloha 6.1

Petr šel stálou rychlostí z domova do sportovní haly. Když byl ve třetině cesty od domova, jeho hodinky ukazovaly čas 15:28. Když mu k hale zbývala ještě čtvrtina cesty, ukazovaly hodinky čas 15:43.

Vypočtěte, kolik minut trvala Petrovi cesta z domova do sportovní haly.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení zlomků cesty

Když byl Petr v jedné třetině cesty od domova, měl za sebou $\frac{1}{3}$ celkové trasy.
Když mu k hale zbývala ještě čtvrtina cesty, určíme, jakou část cesty již ušel:
$1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Výpočet délky úseku

Určíme, jakou část cesty Petr ušel mezi oběma časovými údaji (od 15:28 do 15:43). Pro odečtení zlomků je převedeme na společného jmenovatele, kterým je 12:
$\frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12}$
Tento úsek cesty (tedy $\frac{5}{12}$ cesty) Petrovi trval:
$43\text{ minut} - 28\text{ minut} = 15\text{ minut}$

Výpočet celkové doby cesty

Víme, že $\frac{5}{12}$ cesty trvá $15$ minut. Z toho spočítáme, jak dlouho trvá $\frac{1}{12}$ cesty:
$15 : 5 = 3\text{ minuty}$
Celá cesta trvá $\frac{12}{12}$ cesty, což je:
$12 \cdot 3 = 36\text{ minut}$
Petrovi trvala cesta z domova do sportovní haly 36 minut.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 6.2

Vypočtěte, jaký čas ukazovaly Petrovy hodinky, když došel do sportovní haly.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor cesty a určení zlomků

Petr je v čase 15:28 v jedné třetině cesty ($rac{1}{3}$). V čase 15:43 mu zbývá čtvrtina cesty do cíle, což znamená, že už ušel tři čtvrtiny cesty ($rac{3}{4}$).

Určíme si společného jmenovatele pro oba zlomky, kterým je číslo 12:

Jedna třetina trasy: $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$ cesty.
Tři čtvrtiny trasy: $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ cesty.

Určení doby chůze pro část trasy

Mezi oběma body na trase Petr ušel rozdíl těchto vzdáleností:
$\frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12} \text{ cesty}$

Doba chůze mezi 15:28 a 15:43 činí:
$43 - 28 = 15 \text{ minut}$

Ujít $\frac{5}{12}$ cesty Petrovi trvalo 15 minut. Jednu dvanáctinu cesty ($\frac{1}{12}$) tedy ujde za:
$15 : 5 = 3 \text{ minuty}$

Výpočet času příchodu do haly

V čase 15:43 Petrovi zbývá do haly ještě čtvrtina cesty, což odpovídá $\frac{3}{12}$ cesty.

Chůze mu tedy bude trvat ještě:
$3 \times 3 = 9 \text{ minut}$

K času 15:43 přičteme zbývajících 9 minut:
$15:43 + 9 \text{ minut} = 15:52$

Petrovy hodinky při příchodu do haly ukazovaly čas 15:52.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

15:52

Stav úlohy

1 bod

Úloha 6.3

Vypočtěte, jaký čas ukazovaly Petrovy hodinky, když vycházel z domova.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor úseků cesty

Petr jde stálou rychlostí, takže čas strávený chůzí je přímo úměrný ušlé vzdálenosti.
Trasu z domova do haly si rozdělíme na části:

V čase 15:28 byl v 1/3 cesty od domova.
V čase 15:43 mu do haly zbývala 1/4 cesty. To znamená, že ušel již 1 - 1/4 = 3/4 celé cesty od domova.

Určení doby chůze mezi vyznačenými body

Spočítáme, jak velkou část cesty Petr ušel mezi oběma časy (15:28 a 15:43):
$\frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12}$
Mezi těmito body ušel 5/12 cesty.
Doba chůze mezi 15:28 a 15:43 je:
$43\text{ min} - 28\text{ min} = 15\text{ minut}$
Ujít 5/12 cesty Petrovi trvá 15 minut. Ujít 1/12 cesty mu tedy trvá:
$15\text{ min} : 5 = 3\text{ minuty}$

Výpočet času odchodu

Než Petr došel do 1/3 cesty (což jsou 4/12 cesty), trvalo mu to:
$4 \times 3\text{ min} = 12\text{ minut}$
Z domova musel vyjít o 12 minut dříve než v 15:28:
$15:28 - 12\text{ minut} = 15:16$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

15:16

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.1

Graf udává počet nehod, k nimž došlo v obcích A, B, C v jednotlivých čtvrtletích loňského roku, a celoroční počet nehod v obci D.

Určete celkový počet nehod, k nimž došlo ve 3. čtvrtletí v obcích A, B a C.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu

Z popisu grafu a legendy zjistíme výšky jednotlivých částí skládaných sloupců. Zajímají nás hodnoty pro 3. čtvrtletí (tečkovaná část) v obcích A, B a C. Hodnotu pro každé čtvrtletí určíme jako rozdíl mezi horním a dolním koncem dané části ve sloupci:

Obec A: 3. čtvrtletí začíná na hodnotě 10 a končí na 16. Počet nehod je tedy $16 - 10 = 6$.
Obec B: 3. čtvrtletí začíná na hodnotě 10 a končí na 14. Počet nehod je tedy $14 - 10 = 4$.
Obec C: 3. čtvrtletí začíná na hodnotě 14 a končí na 22. Počet nehod je tedy $22 - 14 = 8$.

Výpočet celkového počtu nehod

Sečteme počty nehod ve 3. čtvrtletí pro všechny tři obce:
$\text{Celkem} = 6 + 4 + 8 = 18$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.2

Graf udává počet nehod, k nimž došlo v obcích A, B, C v jednotlivých čtvrtletích loňského roku, a celoroční počet nehod v obci D.

Vyjádřete zlomkem, jakou část celoročního počtu nehod v obci C tvoří nehody, k nimž v této obci došlo v 1. čtvrtletí.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění počtu nehod v 1. čtvrtletí

Z grafu vyčteme sloupec pro obec C. První čtvrtletí je v legendě označeno šikmým šrafováním a ve sloupci C sahá od hodnoty 0 do hodnoty 10. V 1. čtvrtletí tedy v obci C došlo k 10 nehodám.

Zjištění celoročního počtu nehod

Celý sloupec pro obec C sahá k hodnotě 26 na svislé ose. Celoroční počet nehod v obci C je tedy 26.

Výpočet zlomku

Část, kterou tvoří nehody z 1. čtvrtletí (10) z celoročního počtu (26), vyjádříme zlomkem:
$\frac{10}{26}$

Zlomek zkrátíme číslem 2 a vyjádříme jej v základním tvaru:
$\frac{5}{13}$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

5/13

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.3

Graf udává počet nehod, k nimž došlo v obcích A, B, C v jednotlivých čtvrtletích loňského roku, a celoroční počet nehod v obci D.

Určete, o kolik procent byl celoroční počet nehod v obci A větší než celoroční počet nehod v obci B.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu

Z grafu vyčteme celoroční počet nehod v obcích A a B. Ten odpovídá celkové výšce příslušných sloupců:

Obec A: Celková výška sloupce je 20.
Obec B: Celková výška sloupce je 16.

Výpočet procent

Chceme zjistit, o kolik procent byl celoroční počet nehod v obci A větší než v obci B. Základem (100 %), se kterým porovnáváme, je tedy počet nehod v obci B:

Základ (100 %): $16$
Rozdíl počtu nehod: $20 - 16 = 4$

Nyní určíme, jakou část základu tvoří tento rozdíl:
$\frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0,25$

Jedna čtvrtina ze základu odpovídá 25 %.

Celoroční počet nehod v obci A byl tedy o 25 % větší než v obci B.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.4

Graf udává počet nehod, k nimž došlo v obcích A, B, C v jednotlivých čtvrtletích loňského roku, a celoroční počet nehod v obci D.

V obci D byly počty nehod v 1., 2. a 3. čtvrtletí v poměru 1 ∶ 2 ∶ 1 a ve 4. čtvrtletí již k žádné dopravní nehodě nedošlo.

Určete počet nehod ve 3. čtvrtletí v obci D.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu a zadání

Z grafu vyčteme, že celkový (celoroční) počet nehod v obci D odpovídá výšce sloupce D, což je přesně 24 nehod.

V 1., 2. a 3. čtvrtletí byly počty nehod v poměru $1 : 2 : 1$ a ve 4. čtvrtletí k žádné nehodě nedošlo. Celý roční počet nehod (24) se tedy rozdělí pouze mezi první tři čtvrtletí v tomto poměru.

Výpočet počtu dílů

Celkový počet dílů, na které roční počet nehod rozdělíme, určíme sečtením členů poměru:
$1 + 2 + 1 = 4\text{ díly}$

Určení počtu nehod ve 3. čtvrtletí

Nejprve spočítáme hodnotu jednoho dílu. Celkový počet nehod (24) vydělíme celkovým počtem dílů (4):
$24 : 4 = 6\text{ nehod na jeden díl}$

Ve 3. čtvrtletí odpovídá počet nehod 1 dílu z poměru $1 : 2 : 1$. Počet nehod ve 3. čtvrtletí je tedy:
$1 \cdot 6 = 6\text{ nehod}$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 8

V rovině leží body A, D, R.

Body A, D jsou vrcholy pravoúhlého lichoběžníku ABCD s pravým úhlem při vrcholu D.
Základna AB a rameno AD tohoto lichoběžníku mají stejnou délku.
Bod R leží na rameni BC lichoběžníku ABCD.

Sestrojte vrcholy B, C lichoběžníku ABCD, označte je písmeny a lichoběžník narýsujte.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

3 body: Vzorové řešení výše.
2 body: Konstrukce obsahuje právě jeden z následujících nedostatků:
mírné nepřesnosti v konstrukci (nikoli chybná konstrukce),
v sestrojeném lichoběžníku platí |CD| = |AD| namísto |AB| = |AD|.
1 bod: Konstrukce pravoúhlého lichoběžníku obsahuje právě jeden z následujících nedostatků:
neplatí |AB| = |AD| ani |CD| = |AD|,
větší nepřesnost v konstrukci jedné kolmice na přímku AD,
rameno BC neprochází bodem R.
0 bodů: Nastanou některé z následujících situací:
Sestrojený obrazec je pravoúhelník.
Konstrukce obsahuje větší počet nedostatků.
Konstrukce je zcela chybná nebo velmi nepřesná.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2022, úloha 8

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 9

V rovině leží body P, S a přímka q.

Bod P je vrchol trojúhelníku PQR.
Na přímce q leží vrchol Q tohoto trojúhelníku.
Vrcholy P a Q mají od bodu S stejnou vzdálenost.
Bod S je zároveň středem strany QR.

Sestrojte vrcholy Q, R trojúhelníku PQR, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

3 body: Vzorové řešení výše.
2 body: Nastanou některé z následujících situací:
Z požadovaných trojúhelníků je sestrojen pouze jeden, a to přesně.
Jsou sestrojeny dva nevyhovující trojúhelníky, v nichž je bod S středem strany PR, nikoli QR, ale ostatní podmínky zadání jsou splněny a konstrukce je přesná.
1 bod: Žádný z požadovaných trojúhelníků není sestrojen správně a nastanou některé z následujících situací:
Z nevyhovujících trojúhelníků, v nichž je bod S je středem strany PR, nikoli QR, je sestrojen pouze jeden, a to přesně.
Je sestrojen pouze nevyhovující trojúhelník, v němž platí |PQ| = |PS|, případně |SQ| = |PQ|, nikoli |SQ| = |SP|, ale ostatní podmínky zadání jsou splněny a konstrukce je přesná.
0 bodů: Pouze zcela chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2022, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 10.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

V rovině jsou zakresleny tři útvary.

Rozhodněte o útvaru, zda je osově souměrný (A), či nikoli (N).

1. útvar

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 10.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

V rovině jsou zakresleny tři útvary.

Rozhodněte o útvaru, zda je osově souměrný (A), či nikoli (N).

2. útvar

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 10.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

V rovině jsou zakresleny tři útvary.

Rozhodněte o útvaru, zda je osově souměrný (A), či nikoli (N).

3. útvar

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 11

V rovině leží dva rovnoramenné trojúhelníky, které mají jednu stranu společnou.

Jaká je velikost úhlu β?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

A) menší než 120°
D) 140°
B) 120°
E) větší než 140°
C) 130°

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Podle zadání leží v rovině dva rovnoramenné trojúhelníky se společnou stranou. Označme vrcholy útvaru následovně:

Levý vrchol označíme jako $A$ (vnitřní úhel u něj má velikost $40^\circ$).
Dolní vrchol označíme jako $B$ (jsou u něj dva sousední úhly s velikostmi $40^\circ$ a $\alpha$).
Vnitřní vrchol označíme jako $D$ (jsou u něj úhly s velikostmi $5\alpha$ a $\beta$).
Horní vrchol označíme jako $C$ (úhel u něj má velikost $\alpha$).

Společnou stranou obou trojúhelníků je úsečka $BD$. Tím získáme trojúhelníky $\triangle ABD$ a $\triangle BCD$. Oba jsou rovnoramenné a jejich vlastnosti využijeme k výpočtu.

Výpočet úhlu α

Zaměříme se na trojúhelník $\triangle ABD$. Vnitřní úhly u vrcholů $A$ a $B$ mají shodnou velikost $40^\circ$. To potvrzuje, že trojúhelník je rovnoramenný s rameny $DA = DB$.

Součet vnitřních úhlů v každém trojúhelníku je $180^\circ$. Pro vnitřní úhly v $\triangle ABD$ tedy platí:
$40^\circ + 40^\circ + 5\alpha = 180^\circ$
$80^\circ + 5\alpha = 180^\circ$
$5\alpha = 100^\circ$
$\alpha = 20^\circ$

Výpočet úhlu β

Nyní se přesuneme k trojúhelníku $\triangle BCD$, který má společnou stranu $BD$ s prvním trojúhelníkem. Vnitřní úhly u vrcholů $B$ a $C$ jsou oba rovny úhlu $\alpha$. Jelikož $\alpha = 20^\circ$, jsou oba tyto úhly stejné ($20^\circ$), což znamená, že i $\triangle BCD$ je rovnoramenný (s rameny $DB = DC$).

Opět platí, že součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je $180^\circ$:
$\alpha + \alpha + \beta = 180^\circ$
$20^\circ + 20^\circ + \beta = 180^\circ$
$40^\circ + \beta = 180^\circ$
$\beta = 140^\circ$

Velikost úhlu $\beta$ je $140^\circ$, což odpovídá možnosti D.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 12

Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCDEF s výškou 10 cm je rovnoramenný trojúhelník ABC, jehož obsah je 12 cm², obvod je 16 cm a délka základny AB je 6 cm.

Jaký je objem hranolu ABCDEF?

A) 120 cm³
D) 240 cm³
B) 125 cm³
E) jiný objem
C) 180 cm³

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Ze zadání známe vlastnosti kolmého trojbokého hranolu ABCDEF:

Výška hranolu (vzdálenost mezi podstavami) je $v = 10\text{ cm}$.
Podstavou hranolu je trojúhelník $ABC$, jehož obsah (plocha podstavy $S_p$) je zadán přímo: $S_p = 12\text{ cm}^2$.

Další údaje o podstavě (obvod $16\text{ cm}$ a délka základny $6\text{ cm}$) pro výpočet objemu nepotřebujeme, protože obsah podstavy již známe.

Výpočet objemu hranolu

Objem kolmého hranolu ($V$) vypočítáme jako součin obsahu jeho podstavy ($S_p$) a výšky hranolu ($v$):
$V = S_p \cdot v$

Dosadíme známé hodnoty:
$V = 12\text{ cm}^2 \cdot 10\text{ cm} = 120\text{ cm}^3$

Závěr

Objem hranolu je $120\text{ cm}^3$, což odpovídá možnosti A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 13

Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCDEF s výškou 10 cm je rovnoramenný trojúhelník ABC, jehož obsah je 12 cm², obvod je 16 cm a délka základny AB je 6 cm.

Jaký je povrch hranolu ABCDEF?

A) 160 cm²
D) 204 cm²
B) 184 cm²
E) jiný povrch
C) 190 cm²

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání a podstavy

Podstavou kolmého trojbokého hranolu je rovnoramenný trojúhelník $ABC$. Ze zadání přímo známe vlastnosti podstavy a výšku hranolu:

Obsah podstavy: $S_{pod} = 12 \text{ cm}^2$
Obvod podstavy: $o_{pod} = 16 \text{ cm}$
Výška hranolu: $v = 10 \text{ cm}$

Výpočet obsahu pláště

Plášť kolmého trojbokého hranolu tvoří tři boční stěny (obdélníky) s výškou $10 \text{ cm}$. Obsah pláště ($S_{pl}$) je roven součinu obvodu podstavy a výšky hranolu:
$S_{pl} = o_{pod} \cdot v$
$S_{pl} = 16 \cdot 10 = 160 \text{ cm}^2$

Výpočet celkového povrchu

Povrch hranolu ($S$) tvoří dvě podstavy a plášť:
$S = 2 \cdot S_{pod} + S_{pl}$
Dosadíme zadaný obsah podstavy a vypočítaný obsah pláště:
$S = 2 \cdot 12 + 160 = 24 + 160 = 184 \text{ cm}^2$

Správná možnost je tedy B.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 14

Na Dračí horu přiletěli dvouhlaví a tříhlaví draci. Dohromady měli 115 hlav.
Dvouhlavých draků přiletělo o 35 více než tříhlavých.

Kolik draků přiletělo na Dračí horu?

A) 53 draků
D) 40 draků
B) 50 draků
E) jiný počet draků
C) 45 draků

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Odstranění přebytku = to, co je navíc, si odložíme „na stranu“.

Co udělat: „Na stranu“ si odložíme všechny draky, kteří jsou navíc a zatím si jich nebudeme všímat.
Výpočet: V zadání se píše, že dvouhlavých draků je o 35 více než tříhlavých. Těchto 35 dvouhlavých draků má dohromady 35 $\cdot
nbsp;2 = 70 hlav. Celkem je na hoře 115 hlav, po odečtení přebytku nám tedy zbývá 115 - 70 = 45 hlav.
Proč to děláme? Tím, že schováme přebytek, zbyde nám od obou typů draků přesně stejný počet.

Krok 2: Vytvořte stejný pár

Co udělat: Vezmeme jeden kus od každého typu draků a spojíme je do dvojice (páru). Sečteme jejich hlavy.
Výpočet: Jeden pár tvoří jeden dvouhlavý a jeden tříhlavý drak. Tento pár má dohromady 2 + 3 = 5 hlav.
Proč to děláme: Víme, že po odečtení přebytku je dvouhlavých i tříhlavých draků stejný počet, takže tvoří kompletní páry.

Krok 3: Spočítejte páry

Co udělat: Zbylý počet hlav z prvního kroku vydělíme počtem hlav v jednom páru.
Výpočet: Zůstalo nám 45 hlav, jeden pár má 5 hlav. Počet párů je tedy 45 : 5 = 9 párů.
Závěr kroku: To znamená, že máme 9 tříhlavých draků a 9 dvouhlavých draků (k těm ještě musíme přičíst ty odložené).

Krok 4: Vraťte schovaný přebytek (závěrečné počítání)

Co udělat: Ke skupině, které bylo na začátku více, přičteme odložený přebytek a spočítáme všechny draky dohromady.
Výpočet:
- Tříhlavých draků je 9.
- Dvouhlavých draků je 9 + 35 = 44.
- Celkový počet draků: 9 + 44 = 53.

Na Dračí horu přiletělo celkem 53 draků.

Správná odpověď je A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.1

Kniha se původně prodávala za 300 korun.
Po zlevnění stojí jen 40 % původní ceny.

O kolik korun byla kniha zlevněna?

A) méně než 120 korun
D) 160 korun
B) 120 korun
E) 180 korun
C) 150 korun
F) více než 180 korun

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení jednoho procenta

Původní cena 300 Kč představuje 100 %. Nejdřív vypočítáme 1 % původní ceny: 300 : 100 = 3 Kč.

Cena po zlevnění

Po zlevnění stojí kniha 40 % původní ceny. Její nová cena je tedy 40 · 3 = 120 Kč.

Výše slevy

Od původní ceny odečteme novou cenu: 300 − 120 = 180 Kč. Kniha byla zlevněna o 180 Kč. Správná možnost je E.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.2

Původní cena knihy byla snížena o 120 korun.
Po tomto zlevnění se tak prodávala za 25 % původní ceny.

Jaká byla původní cena knihy?

A) méně než 120 korun
D) 160 korun
B) 120 korun
E) 180 korun
C) 150 korun
F) více než 180 korun

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Sleva v procentech

Původní cena představuje 100 %. Po zlevnění zůstalo 25 % původní ceny, takže sleva byla 100 − 25 = 75 %. Těchto 75 % odpovídá 120 Kč.

Výpočet původní ceny

75 % rozdělíme na tři stejné části po 25 %. Jedna část odpovídá 120 : 3 = 40 Kč. Celá původní cena má čtyři takové části: 4 · 40 = 160 Kč.

Ověření a výsledek

Po slevě by kniha stála 160 − 120 = 40 Kč. To je čtvrtina ze 160 Kč, tedy 25 % původní ceny. Původní cena knihy byla 160 Kč, správná je možnost D.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.3

Kniha byla zlevněna dvakrát.
Na léto byla zlevněna o 50 korun, tj. o 20 % původní ceny.
Na podzim pak byla zlevněna ještě o čtvrtinu letní ceny.

Kolik korun stála kniha po obou slevách?

A) méně než 120 korun
D) 160 korun
B) 120 korun
E) 180 korun
C) 150 korun
F) více než 180 korun

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Původní cena

Sleva 50 Kč představovala 20 % původní ceny. Protože 20 % je jedna pětina celku, původní cena byla 50 · 5 = 250 Kč.

Letní cena

Od původní ceny odečteme první slevu: 250 − 50 = 200 Kč. Tolik stála kniha v létě.

Podzimní sleva

Druhá sleva byla čtvrtina letní ceny. Vypočítáme ji z 200 Kč: 200 : 4 = 50 Kč.

Výsledek

Po obou slevách stála kniha 200 − 50 = 150 Kč. Správná je možnost C.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 16.1

Pyramida se skládá ze shodných čtverců. Horní řadu tvoří vždy jeden tmavý čtverec. V pyramidě, která má více než 1 čtverec, se pravidelně střídají řady s tmavými a řady s bílými čtverci. Každá další řada má vždy o 1 čtverec více než řada nad ní.

Pyramida má 10 řad.

Určete, o kolik se liší počet tmavých a bílých čtverců v pyramidě.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza řad

V pyramidě se pravidelně střídají tmavé a bílé řady. První řada (nahoře) je tmavá, druhá je bílá, třetí je opět tmavá a tak dále až do desáté řady. Počet čtverců v každé řadě odpovídá jejímu pořadí (1. řada má 1 čtverec, 2. řada má 2 čtverce atd.).
Tmavé řady: 1., 3., 5., 7. a 9. řada.
Bílé řady: 2., 4., 6., 8. a 10. řada.

Počet tmavých čtverců

Sečteme počty čtverců v tmavých řadách:
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$
V pyramidě je 25 tmavých čtverců.

Počet bílých čtverců

Sečteme počty čtverců v bílých řadách:
$2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30$
V pyramidě je 30 bílých čtverců.

Výpočet rozdílu

Rozdíl mezi počtem bílých a tmavých čtverců zjistíme odečtením:
$30 - 25 = 5$
Počet tmavých a bílých čtverců se v pyramidě liší o 5.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.2

Pyramida má 73 řad.

Určete, o kolik se liší počet tmavých a bílých čtverců v pyramidě.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor pravidla pyramidy

V pyramidě se střídají tmavé a bílé řady. V každé řadě je o jeden čtverec více než v řadě nad ní:

1. řada: 1 tmavý čtverec
2. řada: 2 bílé čtverce
3. řada: 3 tmavé čtverce
4. řada: 4 bílé čtverce

Vidíme, že liché řady jsou tmavé a sudé řady jsou bílé. Počet čtverců v každé řadě odpovídá jejímu pořadí.

Párování řad

Pyramida má celkem 73 řad. Prvních 72 řad si můžeme rozdělit do dvojic (vždy jedna tmavá řada a bílá řada přímo pod ní): (1. a 2. řada), (3. a 4. řada), ... až (71. a 72. řada). Celkem máme $72 : 2 = 36$ takových dvojic. Poslední 73. řada zůstane samostatná.

Rozdíl v počtu čtverců

V každé dvojici řad je o 1 bílý čtverec více než tmavý (např. ve 2. řadě jsou 2 bílé a v 1. řadě je 1 tmavý, tedy $2 - 1 = 1$). Ve všech 36 dvojicích je tedy celkem o 36 bílých čtverců více než tmavých. Poslední 73. řada je lichá, obsahuje tedy 73 tmavých čtverců.

Celkový výsledek

Teď už jen stačí porovnat 73 tmavých čtverců z poslední řady s náskokem 36 bílých čtverců z předchozích řad:
$73 - 36 = 37$
Počet tmavých a bílých čtverců v pyramidě se liší o 37.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.3

V pyramidě je o 101 bílých čtverců méně než tmavých čtverců.

Určete, kolik řad má pyramida.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor pravidelnosti

V pyramidě se střídají tmavé a bílé řady. V každé řadě je o 1 čtverec více než v řadě nad ní:

1. řada: 1 tmavý čtverec
2. řada: 2 bílé čtverce
3. řada: 3 tmavé čtverce
4. řada: 4 bílé čtverce

A tak dále. Tmavé jsou řady s lichým číslem (1., 3., 5. ...), bílé jsou řady se sudým číslem (2., 4., 6. ...).

Sledování rozdílu

Sledujme, jak se mění rozdíl mezi počtem tmavých a bílých čtverců při přidávání řad:

U 1. řady je o 1 tmavý čtverec více (1 tmavý, 0 bílých).
Když přidáme 2. a 3. řadu, přibudou 2 bílé a 3 tmavé čtverce. Tmavých přibude o 1 více než bílých (3 − 2 = 1). Celkový rozdíl bude 1 + 1 = 2.
Když přidáme 4. a 5. řadu, přibudou 4 bílé a 5 tmavých čtverců. Opět přibude o 1 tmavý čtverec více (5 − 4 = 1). Celkový rozdíl bude 2 + 1 = 3.

Vidíme, že každá další dvojice řad (bílá a pod ní tmavá) zvýší náskok tmavých čtverců o 1.

Výpočet počtu řad

Víme, že v celém obrazci je o 101 bílých čtverců méně než tmavých (tmavé mají náskok 101).

První řada nám dala náskok 1.
Potřebujeme získat ještě náskok 100 (protože 101 − 1 = 100).
Protože každá dvojice řad (bílá + tmavá) přidá náskok 1, musíme přidat přesně 100 takových dvojic.
100 dvojic řad znamená 200 řad (100 × 2 = 200).

K první řadě tedy přidáme 200 dalších řad. Celkový počet řad je $1 + 200 = 201$.

Závěr

Pyramida má celkem 201 řad.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

201

Stav úlohy

2 body