Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 7. ročník

Podkategorie: Matematika 7. ročník — 1. náhradní termín 2022

29 úloh

Úloha 1

Vypočtěte:

$\displaystyle \frac{10 \cdot 10 \cdot \left( 10 \cdot 10 - 1 \right) }{10 \cdot 10 \cdot 10 + 10 \cdot 10} =$

Zobrazit odpověď

9

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Nejdříve vypočítáme hodnotu v čitateli (horní část zlomku). Podle přednosti operací nejdříve vypočítáme závorku:
Závorka: $10 \cdot 10 - 1 = 100 - 1 = 99$
Celý čitatel: $10 \cdot 10 \cdot 99 = 100 \cdot 99 = 9900$

Výpočet jmenovatele

Nyní vypočítáme hodnotu ve jmenovateli (spodní část zlomku):
$10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$
$10 \cdot 10 = 100$
Celý jmenovatel: $1000 + 100 = 1100$

Zjednodušení a výsledek

Dostáváme zlomek $\frac{9900}{1100}$. Ten můžeme zjednodušit tak, že čitatele i jmenovatele vydělíme číslem $100$ (škrtneme dvě nuly na konci obou čísel):
$\frac{9900}{1100} = \frac{99}{11}$
Nakonec vydělíme: $99 : 11 = 9$
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 2.1

Z kabelu dlouhého 5,1 metru jsme uřízli tři půlmetrové kusy
a zbytek jsme rozdělili na 12 stejně dlouhých dílů.

Určete, kolik centimetrů měří jeden díl.

Zobrazit odpověď

30

1 bod
Úloha 2.2

Cesta na kole z Roztok do Neratovic trvá 1 hodinu a 50 minut.
S využitím přívozu se doba cestování zkrátí o 40 %.

Vypočtěte, kolik minut trvá cesta z Roztok do Neratovic s využitím přívozu.

Zobrazit odpověď

66

2 body
Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{1}{3} \cdot \left( 5- \frac{13}{5} \right) \div 20=$

Zobrazit odpověď

1/25

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet závorky

Nejdříve vypočítáme výraz v závorce. Číslo 5 si vyjádříme jako zlomek se jmenovatelem 5 a odečteme:
5 - \frac{13}{5} = \frac{25}{5} - \frac{13}{5} = \frac{12}{5}

Krok 2: Násobení

Výsledek ze závorky vynásobíme zlomkem $\frac{1}{3}$:
\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{5} = \frac{4}{5}

(Čísla 12 a 3 jsme vykrátili třemi.)

Krok 3: Dělení a základní tvar

Nakonec vydělíme číslem 20, což je stejné jako násobení zlomkem $\frac{1}{20}$:
\frac{4}{5} \div 20 = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{20} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{25}

(Čísla 4 a 20 jsme vykrátili čtyřmi.)

Krok 4: Výsledek

Výsledný zlomek v základním tvaru je $\frac{1}{25}$.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3} - \frac{3}{2} }{\displaystyle \frac{2}{3} \div \frac{3}{2} } =$

Zobrazit odpověď

-15/8

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Nejdříve vypočítáme výraz v čitateli hlavního zlomku. Odečteme dva zlomky tak, že je převedeme na společného jmenovatele, kterým je číslo 6:
$\frac{2}{3} - \frac{3}{2} = \frac{4 - 9}{6} = -\frac{5}{6}$

Výpočet jmenovatele

Dále vypočítáme výraz ve jmenovateli hlavního zlomku. Dělení dvou zlomků vypočítáme tak, že první zlomek vynásobíme převrácenou hodnotou druhého zlomku:
$\frac{2}{3} \div \frac{3}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

Celkový výpočet

Nyní vydělíme výsledek z čitatele výsledkem ze jmenovatele. Složený zlomek přepíšeme jako dělení dvou zlomků, které opět nahradíme násobením převráceným zlomkem. Výsledek zkrátíme do základního tvaru:
$\frac{-\frac{5}{6}}{\frac{4}{9}} = -\frac{5}{6} \cdot \frac{9}{4} = -\frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 4} = -\frac{15}{8}$
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 4.1

Po jarních prázdninách postupně onemocnělo mnoho žáků.
V pondělí chyběla $\displaystyle \frac{1}{6}$ všech žáků školy. V úterý byla nemocná již $\displaystyle \frac{1}{4}$ všech žáků školy.
V pátek byla ve škole už jen $\displaystyle \frac{1}{3}$ všech žáků školy, tedy 80 nejodolnějších žáků.
Všichni ostatní žáci školy byli nemocní.

Vypočtěte, kolik žáků měla škola.

Zobrazit odpověď

240

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Páteční docházka

Z textu víme, že v pátek byla ve škole $\frac{1}{3}$ všech žáků a toto množství odpovídalo 80 žákům.

Výpočet celku

Pokud jedna třetina ze všech žáků je 80, pak celou školu (všechny tři třetiny) tvoří třikrát více žáků. Počet žáků v celé škole vypočítáme násobením:
80 ⋅ 3 = 240

Výsledek

Škola měla celkem 240 žáků.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 4.2

Po jarních prázdninách postupně onemocnělo mnoho žáků.
V pondělí chyběla $\displaystyle \frac{1}{6}$ všech žáků školy. V úterý byla nemocná již $\displaystyle \frac{1}{4}$ všech žáků školy.
V pátek byla ve škole už jen $\displaystyle \frac{1}{3}$ všech žáků školy, tedy 80 nejodolnějších žáků.
Všichni ostatní žáci školy byli nemocní.

Vypočtěte, kolik žáků bylo v pondělí ve škole.

Zobrazit odpověď

200

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet žáků

Víme, že v pátek byla ve škole už jen třetina všech žáků, což odpovídalo 80 žákům. Celkový počet žáků školy tedy zjistíme tak, že tento počet vynásobíme třemi:
$\displaystyle 3 \cdot 80 = 240$
Škola má celkem 240 žáků.

Chybějící žáci v pondělí

V pondělí chyběla $\displaystyle \frac{1}{6}$ všech žáků školy. Z celkového počtu 240 žáků tedy v pondělí chybělo:
$\displaystyle 240 \div 6 = 40$ žáků.

Žáci ve škole v pondělí

Počet žáků, kteří byli v pondělí ve škole, zjistíme odečtením chybějících od celkového počtu:
$\displaystyle 240 - 40 = 200$

Výsledek

V pondělí bylo ve škole
200
žáků.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 4.3

Po jarních prázdninách postupně onemocnělo mnoho žáků.
V pondělí chyběla $\displaystyle \frac{1}{6}$ všech žáků školy. V úterý byla nemocná již $\displaystyle \frac{1}{4}$ všech žáků školy.
V pátek byla ve škole už jen $\displaystyle \frac{1}{3}$ všech žáků školy, tedy 80 nejodolnějších žáků.
Všichni ostatní žáci školy byli nemocní.

Vypočtěte, o kolik nemocných žáků bylo v pátek více než v úterý.

Zobrazit odpověď

100

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet žáků

V pátek byla ve škole jen jedna třetina všech žáků a víme, že to bylo 80 dětí. Pokud jedna třetina odpovídá 80 žákům, pak celá škola má třikrát více žáků:
$80 \cdot 3 = 240$ žáků

Nemocní v pátek

Jestliže bylo v pátek ve škole 80 žáků z celkových 240, ostatní byli nemocní. Počet nemocných v pátek vypočítáme odečtením:
$240 - 80 = 160$ nemocných

Nemocní v úterý

V úterý byla nemocná jedna čtvrtina všech žáků. Celkem je ve škole 240 žáků, takže jednu čtvrtinu vypočítáme dělením čtyřmi:
$240 \div 4 = 60$ nemocných

Porovnání pátku a úterý

Ptáme se, o kolik více nemocných bylo v pátek než v úterý. V pátek bylo 160 nemocných a v úterý 60. Rozdíl vypočítáme jako:
$160 - 60 = 100$

Výsledek

V pátek bylo o 100 nemocných žáků více než v úterý.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 5.1

Pro soutěž Malování na chodník bylo připraveno celkem 300 kříd zabalených v krabičkách
dvou velikostí – menších a větších. V krabičkách téže velikosti byl vždy stejný počet kříd.
Menších krabiček bylo pouze 5 a celkem v nich bylo tolik kříd jako ve 3 větších krabičkách.
Každá z větších krabiček obsahovala 10 kříd.

Určete počet kříd v jedné menší krabičce.

Zobrazit odpověď

6

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Křídy ve větších krabičkách

Víme, že jedna větší krabička obsahuje 10 kříd. Tři větší krabičky tedy dohromady obsahují 30 kříd ($3 \cdot 10 = 30$).

Křídy v menších krabičkách

V zadání se píše, že v 5 menších krabičkách je celkem tolik kříd jako ve 3 větších krabičkách. V 5 menších krabičkách je tedy dohromady také 30 kříd.

Jedna menší krabička

Pokud je v 5 stejných krabičkách celkem 30 kříd, v jedné krabičce jich musí být 6, protože $30 : 5 = 6$.

Výsledek

V jedné menší krabičce je 6 kříd.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 5.2

Pro soutěž Malování na chodník bylo připraveno celkem 300 kříd zabalených v krabičkách
dvou velikostí – menších a větších. V krabičkách téže velikosti byl vždy stejný počet kříd.
Menších krabiček bylo pouze 5 a celkem v nich bylo tolik kříd jako ve 3 větších krabičkách.
Každá z větších krabiček obsahovala 10 kříd.

Určete počet všech větších krabiček s křídami.

Zobrazit odpověď

27

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Křídy v menších krabičkách

Víme, že v 5 menších krabičkách je dohromady tolik kříd jako ve 3 větších. Protože jedna větší krabička má 10 kříd, ve třech větších je $3 \cdot 10 = 30$ kříd. V pěti menších krabičkách je tedy celkem 30 kříd.

Křídy ve všech větších krabičkách

Celkem bylo připraveno 300 kříd. Od tohoto počtu odečteme 30 kříd, které jsou v menších krabičkách. Na všechny větší krabičky nám tedy zbývá $300 - 30 = 270$ kříd.

Počet větších krabiček

Každá větší krabička obsahuje 10 kříd. Celkový počet větších krabiček vypočítáme tak, že 270 kříd rozdělíme po deseti (do krabiček po deseti kusech): $270 \div 10 = 27$.

Výsledek

Počet všech větších krabiček s křídami je 27.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 6.1

Poličku na zeď tvoří tmavá obdélníková deska podepřená dvěma stejnými bílými trojúhelníkovými deskami. Tloušťku desek zanedbáváme. Bílý trojúhelník má obsah 50 cm², je pravoúhlý a rovnoramenný. Rameno trojúhelníku má stejnou délku jako kratší strana obdélníku. Delší strana tmavého obdélníku měří 36 cm.

Vypočtěte v cm obvod obdélníku.

Zobrazit odpověď

92 cm

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet délky ramene trojúhelníku

Bílý trojúhelník je pravoúhlý a rovnoramenný, což znamená, že jeho odvěsny (ramena) jsou stejně dlouhé. Označíme-li délku ramene jako $a$, pak obsah trojúhelníku vypočítáme jako polovinu součinu délek ramen:
$S = \frac{a \cdot a}{2} = \frac{a^2}{2}$
Víme, že obsah je $50\text{ cm}^2$, tedy:
$50 = \frac{a^2}{2}$
$100 = a^2$
$a = 10\text{ cm}$

Určení rozměrů obdélníku

V zadání se píše, že rameno trojúhelníku má stejnou délku jako kratší strana obdélníku. Kratší strana obdélníku má tedy délku $10\text{ cm}$. Delší strana obdélníku je zadaná a měří $36\text{ cm}$.

Výpočet obvodu obdélníku

Obvod obdélníku vypočítáme jako součet délek všech jeho čtyř stran:
$O = 2 \cdot (36 + 10)$
$O = 2 \cdot 46$
$O = 92\text{ cm}$
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 6.2

Poličku na zeď tvoří tmavá obdélníková deska podepřená dvěma stejnými bílými trojúhelníkovými deskami. Tloušťku desek zanedbáváme. Bílý trojúhelník má obsah 50 cm², je pravoúhlý a rovnoramenný. Rameno trojúhelníku má stejnou délku jako kratší strana obdélníku. Delší strana tmavého obdélníku měří 36 cm.

Vypočtěte v cm² obsah obdélníku

Zobrazit odpověď

360 cm²

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet délky ramene trojúhelníku

Bílý trojúhelník je pravoúhlý a rovnoramenný s obsahem 50 cm². Obsah takového trojúhelníku vypočítáme jako polovinu součinu jeho ramen (která jsou zároveň jeho základnou a výškou): $S = \frac{a \cdot a}{2}$.
Dosadíme známý obsah:
$50 = \frac{a^2}{2}$
$100 = a^2$
$a = 10$ cm
Rameno trojúhelníku měří 10 cm.

Určení rozměrů obdélníku

Ze zadání víme, že rameno trojúhelníku má stejnou délku jako kratší strana obdélníku. Kratší strana obdélníku tedy měří 10 cm. Delší strana obdélníku je uvedena v nákresu a měří 36 cm.

Výpočet obsahu obdélníku

Obsah obdélníku vypočítáme jako součin délek jeho stran:
$S = 36 \cdot 10$
$S = 360$ cm²

Závěr

Obsah obdélníku je 360 cm².
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 7.1

Kvádr o rozměrech 6 cm, 4 cm a 5 cm jsme dvěma svislými řezy rozdělili na tři kolmé trojboké hranoly.

Vypočtěte v cm² povrch kvádru.

Zobrazit odpověď

148 cm²

2 body
Úloha 7.2

Kvádr o rozměrech 6 cm, 4 cm a 5 cm jsme dvěma svislými řezy rozdělili na tři kolmé trojboké hranoly.

Ze tří trojbokých hranolů vybereme ten, který má největší objem.

Vypočtěte v cm³ objem vybraného trojbokého hranolu.

Zobrazit odpověď

60 cm³

2 body
Úloha 8

V rovině leží body P, Q a přímka o.

Body P, Q jsou vrcholy trojúhelníku PQR.
Přímka o je osou některé strany tohoto trojúhelníku.

Sestrojte vrchol R trojúhelníku PQR, označte ho písmenem a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď
Odpověď
3 body
Úloha 9

V rovině leží body A, X a rovnoběžné přímky c, p.

Bod A je vrchol obdélníku ABCD. Bod X leží uvnitř strany AB obdélníku.
Na přímce c leží vrchol C obdélníku ABCD a na přímce p jeden ze zbývajících dvou vrcholů obdélníku.

Sestrojte vrcholy B, C, D obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď
Odpověď
3 body
Úloha 10.1
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Zahrádkář zakoupil několik kusů rostlin od každého ze čtyř druhů A, B, C a D. Některé zakoupené rostliny uschly, ostatní vzrostly. Většinu vzrostlých rostlin zahrádkář později prodal.
Graf udává počty zakoupených, vzrostlých a prodaných kusů rostlin jednotlivých druhů.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Zahrádkáři zůstalo celkem 9 neprodaných kusů vzrostlých rostlin.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu

Pro zjištění počtu neprodaných vzrostlých rostlin musíme z grafu odečíst počty vzrostlých (šedý sloupec) a prodaných (šrafovaný sloupec) kusů pro každý druh. Počet neprodaných kusů je rozdíl mezi těmito dvěma hodnotami.

Výpočet pro jednotlivé druhy

Z grafu odečteme hodnoty a vypočítáme zbývající kusy:
  • Druh A: $12 - 7 = 5$ kusů
  • Druh B: $9 - 9 = 0$ kusů
  • Druh C: $8 - 4 = 4$ kusy
  • Druh D: $8 - 8 = 0$ kusů

Celkový součet a závěr

Sečteme neprodané kusy všech čtyř druhů:
$5 + 0 + 4 + 0 = 9$

Zahrádkáři zůstalo celkem 9 kusů, tvrzení je tedy pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 10.2
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Zahrádkář zakoupil několik kusů rostlin od každého ze čtyř druhů A, B, C a D. Některé zakoupené rostliny uschly, ostatní vzrostly. Většinu vzrostlých rostlin zahrádkář později prodal.
Graf udává počty zakoupených, vzrostlých a prodaných kusů rostlin jednotlivých druhů.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Zahrádkář zakoupil o polovinu více kusů rostlin, než jich prodal.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění hodnot z grafu

Z grafu vyčteme počty zakoupených (tečkovaný sloupec) a prodaných (šrafovaný sloupec) rostlin pro každý druh:
  • Druh A: 14 zakoupeno, 7 prodáno
  • Druh B: 9 zakoupeno, 9 prodáno
  • Druh C: 8 zakoupeno, 4 prodáno
  • Druh D: 11 zakoupeno, 8 prodáno

Celkové počty

Nyní vypočítáme celkové počty pro všechny druhy rostlin dohromady:
  • Zakoupeno celkem: $14 + 9 + 8 + 11 = 42$
  • Prodáno celkem: $7 + 9 + 4 + 8 = 28$

Ověření tvrzení

Máme zjistit, zda je zakoupených rostlin o polovinu více, než kolik se jich prodalo.
1. Vypočítáme polovinu z prodaných rostlin: $28 : 2 = 14$.
2. Přičteme tuto polovinu k počtu prodaných: $28 + 14 = 42$.

Počet zakoupených rostlin (42) je skutečně o polovinu vyšší než počet prodaných (28). Tvrzení je tedy pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 10.3
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Zahrádkář zakoupil několik kusů rostlin od každého ze čtyř druhů A, B, C a D. Některé zakoupené rostliny uschly, ostatní vzrostly. Většinu vzrostlých rostlin zahrádkář později prodal.
Graf udává počty zakoupených, vzrostlých a prodaných kusů rostlin jednotlivých druhů.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Zahrádkář prodal všechny zakoupené kusy jen u jednoho druhu rostlin.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu a zadání

V grafu máme pro každý druh rostliny (A, B, C, D) tři sloupce. Tečkovaný sloupec představuje počet zakoupených kusů a šrafovaný sloupec počet prodaných kusů. Tvrzení říká, že zahrádkář prodal všechny zakoupené kusy jen u jednoho druhu. Musíme tedy u každého druhu porovnat tyto dvě hodnoty.

Porovnání hodnot z grafu

Z grafu vyčteme počty zakoupených a prodaných kusů pro jednotlivé druhy:
  • Druh A: zakoupeno 14, prodáno 7 (nejsou to všechny).
  • Druh B: zakoupeno 9, prodáno 9 (všechny zakoupené kusy byly prodány).
  • Druh C: zakoupeno 8, prodáno 4 (nejsou to všechny).
  • Druh D: zakoupeno 11, prodáno 8 (nejsou to všechny).

Závěr

Zahrádkář prodal všechny zakoupené kusy pouze u druhu B. To znamená, že tato situace nastala právě u jednoho druhu rostlin ze čtyř. Tvrzení je tedy pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 11

V rovině leží čtyři přímky, z nichž dvě jsou rovnoběžné a zbývající dvě jsou na sebe kolmé.

Jaká je velikost úhlu β?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

  • A) menší než 20°
  • D) 34°
  • B) 20°
  • E) větší než 34°
  • C) 28°
Zobrazit odpověď

A

2 body
Úloha 12

Ve čtvercové síti sestrojíme dva obdélníky s vrcholy v mřížových bodech podle vzoru na obrázku. Kratší strana obdélníku má vždy délku 9 cm a obsahuje 10 mřížových bodů.

První sestrojený obdélník obsahuje celkem 120 mřížových bodů (včetně mřížových bodů po jeho obvodu).

Jaký je obsah tohoto obdélníku?

  • A) 90 cm²
  • D) 120 cm²
  • B) 99 cm²
  • E) jiný obsah
  • C) 108 cm²
Zobrazit odpověď

B

2 body
Úloha 13

Ve čtvercové síti sestrojíme dva obdélníky s vrcholy v mřížových bodech podle vzoru na obrázku. Kratší strana obdélníku má vždy délku 9 cm a obsahuje 10 mřížových bodů.

Obvod druhého sestrojeného obdélníku je 120 cm.

Kolik mřížových bodů celkem obsahuje tento obdélník (včetně mřížových bodů po jeho obvodu)?

  • A) 500
  • D) 530
  • B) 510
  • E) jiný počet
  • C) 520
Zobrazit odpověď

C

2 body
Úloha 14

Hruškový král rozdělil podle zásluh všechny zlaté hrušky mezi tři rytíře.
Jednu sedminu všech hrušek získal první rytíř, druhý získal o 42 hrušek více než první
a třetí získal třikrát více hrušek než první.

Kolik zlatých hrušek dohromady získali první a druhý rytíř?

  • A) 54
  • D) 84
  • B) 56
  • E) jiný počet
  • C) 70
Zobrazit odpověď

D

2 body
Úloha 15.1

Když firma odvezla do spalovny 60 % odpadu, zbylo jí ještě 1200 kg odpadu.

Kolik kg odpadu firma odvezla do spalovny?

  • A) 1 500 kg
  • D) 2 100 kg
  • B) 1 800 kg
  • E) 2 250 kg
  • C) 2 000 kg
  • F) jiný počet kg
Zobrazit odpověď

B

2 body
Úloha 15.2

Stejné dlaždice byly umístěny ve stejném počtu na dvou paletách.
Již se prodaly dvě pětiny dlaždic z první palety a 10 % dlaždic z druhé palety.
Hmotnost všech těchto prodaných dlaždic byla 750 kg.

Kolik kg váží dosud neprodané dlaždice z obou palet?

  • A) 1 500 kg
  • D) 2 100 kg
  • B) 1 800 kg
  • E) 2 250 kg
  • C) 2 000 kg
  • F) jiný počet kg
Zobrazit odpověď

E

2 body
Úloha 15.3

Ve sběrných surovinách vykoupili v létě 1500 kg kovů, což je o 50 % více než na jaře a o 50 % méně než na podzim.

O kolik kg kovů vykoupili na podzim více než na jaře?

  • A) 1 500 kg
  • D) 2 100 kg
  • B) 1 800 kg
  • E) 2 250 kg
  • C) 2 000 kg
  • F) jiný počet kg
Zobrazit odpověď

C l

2 body
Úloha 16.1

Výsledný obrazec vytvoříme následujícím postupem:
1. Na vodorovné přímce sestrojíme několik stejně vzdálených bodů (černých puntíků).
2. Prvním černým puntíkem vedeme dvě různoběžné šikmé přímky. Druhým a každým dalším černým puntíkem vedeme rovnoběžky s oběma těmito přímkami.
3. Všechny nově vzniklé průsečíky označíme černými puntíky a těmi vedeme vodorovné přímky.
4. Na spodní vodorovné přímce označíme všechny nově vzniklé průsečíky bílými puntíky.

Výsledný obrazec obsahuje celkem 36 černých puntíků.

Určete počet všech vodorovných přímek v tomto obrazci.

Zobrazit odpověď

11

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor postupu

Podle popisu postupu vzniká obrazec, ve kterém jsou černé puntíky uspořádány do řad tvořících trojúhelníkovou síť. Každá vodorovná přímka obsahuje určitý počet puntíků. V horní řadě je 1 puntík, ve druhé řadě jsou 2 puntíky, ve třetí 3 puntíky a tak dále.

Určení počtu puntíků v řadách

Celkový počet puntíků v takovém trojúhelníkovém uspořádání vypočítáme jako součet puntíků v jednotlivých řadách: $1 + 2 + 3 + 4 + \dots + H$, kde $H$ je počet vodorovných přímek. Pro malé počty bodů na základně (např. 2 body) vidíme, že celkový počet puntíků odpovídá tzv. trojúhelníkovým číslům.

Výpočet pro 36 puntíků

Hledáme počet vodorovných přímek, pro který je součet puntíků roven 36. Zkusíme sčítat po sobě jdoucí čísla:
  • 1. přímka: 1
  • 2. přímka: 1 + 2 = 3
  • 3. přímka: 3 + 3 = 6
  • 4. přímka: 6 + 4 = 10
  • 5. přímka: 10 + 5 = 15
  • 6. přímka: 15 + 6 = 21
  • 7. přímka: 21 + 7 = 28
  • 8. přímka: 28 + 8 = 36
Součet 36 puntíků odpovídá přesně 8 vodorovným přímkám.

Závěr

V obrazci s 36 černými puntíky je celkem 8 vodorovných přímek. (Poznámka: I když v posledním kroku konstrukce některé krajní body zbělejí, zadání uvádí výsledný počet černých puntíků jako 36, což odpovídá plnému trojúhelníku o 8 řadách.)
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 16.2

Výsledný obrazec vytvoříme následujícím postupem:
1. Na vodorovné přímce sestrojíme několik stejně vzdálených bodů (černých puntíků).
2. Prvním černým puntíkem vedeme dvě různoběžné šikmé přímky. Druhým a každým dalším černým puntíkem vedeme rovnoběžky s oběma těmito přímkami.
3. Všechny nově vzniklé průsečíky označíme černými puntíky a těmi vedeme vodorovné přímky.
4. Na spodní vodorovné přímce označíme všechny nově vzniklé průsečíky bílými puntíky.

Výsledný obrazec obsahuje celkem 49 vodorovných přímek.

Určete počet bílých puntíků na spodní vodorovné přímce tohoto obrazce.

Zobrazit odpověď

48

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Určení počtu počátečních bodů

Z popisu a obrázku můžeme vypozorovat vztah mezi počtem bodů na první vodorovné přímce a celkovým počtem vodorovných přímek v obrazci. Pokud jsou na začátku 2 body, obrazec má 4 přímky. Pokud jsou na začátku 3 body, obrazec má 5 přímek. Celkový počet přímek je tedy vždy o 2 větší než počet počátečních bodů. V našem případě má obrazec 49 přímek, takže počet počátečních bodů musel být:
$49 - 2 = 47$ bodů.

Krok 2: Určení počtu bílých puntíků

Bílé puntíky se nacházejí na nejspodnější vodorovné přímce. Z příkladů vidíme, že pro 2 počáteční body jsou na spodní přímce 2 bílé puntíky (1 vlevo a 1 vpravo). Pro 3 počáteční body jsou na spodní přímce 4 bílé puntíky (2 vlevo a 2 vpravo). Počet bílých puntíků na každé straně je tedy vždy o 1 menší než počet počátečních bodů ($n - 1$).

Krok 3: Výpočet výsledku

Protože náš obrazec vychází ze 47 počátečních bodů, bude na každé straně spodní přímky $47 - 1 = 46$ bílých puntíků. Celkový počet bílých puntíků na spodní přímce tedy bude:
$2 \times 46 = 92$.

Závěr

Počet bílých puntíků na spodní vodorovné přímce je 92.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 16.3

Výsledný obrazec vytvoříme následujícím postupem:
1. Na vodorovné přímce sestrojíme několik stejně vzdálených bodů (černých puntíků).
2. Prvním černým puntíkem vedeme dvě různoběžné šikmé přímky. Druhým a každým dalším černým puntíkem vedeme rovnoběžky s oběma těmito přímkami.
3. Všechny nově vzniklé průsečíky označíme černými puntíky a těmi vedeme vodorovné přímky.
4. Na spodní vodorovné přímce označíme všechny nově vzniklé průsečíky bílými puntíky.

Výsledný obrazec má na spodní vodorovné přímce celkem 64 bílých puntíků.

Určete počet všech černých puntíků v tomto obrazci.

Zobrazit odpověď

1089

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor vzoru

Z popisu postupu a obrázku vidíme, jak se obrazec vyvíjí v závislosti na počtu bodů na základní vodorovné přímce (označme tento počet $n$):
  • Pro $n=2$ má výsledný obrazec 3 vodorovné řady bodů (1, 2 a 3 body). Celkem je v obrazci $1+2+3=6$ bodů.
  • Pro $n=3$ má obrazec 5 vodorovných řad (1, 2, 3, 4 a 5 bodů). Celkem je v obrazci $1+2+3+4+5=15$ bodů.
Z toho vyplývá, že pro $n$ bodů má obrazec $2n-1$ vodorovných řad a celkový počet bodů odpovídá součtu řady $1+2+3+\dots+(2n-1)$.

Určení počtu bílých bodů

Bílé body jsou pouze na spodní vodorovné přímce. Z popisu víme:
  • Pro $n=2$ je na spodní přímce celkem 3 body, z toho 2 jsou bílé (krajní).
  • Pro $n=3$ je na spodní přímce celkem 5 bodů a všech 5 je bílých.
Všimneme si, že počet bodů na spodní přímce je vždy $2n-1$. Pokud je $n$ liché (jako u $n=3$), jsou všechny body na spodní přímce bílé ($W = 2n-1$). Pokud je $n$ sudé (jako u $n=2$), je prostřední bod černý a ostatní jsou bílé ($W = 2n-1 - 1 = 2n-2$).

Výpočet počtu bodů n

V zadání je uvedeno, že na spodní přímce je celkem 64 bílých bodů. Vyzkoušíme obě možnosti pro $n$:
  • Pokud by $n$ bylo liché: $2n-1 = 64 \implies 2n = 65$ (není celé číslo).
  • Pokud by $n$ bylo sudé: $2n-2 = 64 \implies 2n = 66 \implies n = 33$.
Jelikož 33 je liché číslo, musíme se vrátit k pravidlu pro lichá $n$. Pokud $n=33$ (liché), mělo by být na spodní přímce $2 \cdot 33 - 1 = 65$ bílých bodů. Pokud jich je 64, znamená to, že jeden bod (prostřední) zůstal černý i pro toto liché $n$.

Výpočet celkového počtu černých bodů

Pro $n=33$ má obrazec $2 \cdot 33 - 1 = 65$ vodorovných řad. Celkový počet všech bodů v obrazci je:
$\frac{65 \cdot (65 + 1)}{2} = \frac{65 \cdot 66}{2} = 65 \cdot 33 = 2145$.

Víme, že bílých bodů je 64. Počet černých bodů tedy určíme jako rozdíl celkového počtu bodů a počtu bílých bodů:
$2145 - 64 = 2081$.

Závěr

V obrazci je celkem 2081 černých puntíků.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body