Načítání…
Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 7. ročník

Podkategorie: Matematika 7. ročník — 1. náhradní termín 2022

29 úloh

PDF+Klíč
Úloha 1

Vypočtěte:

$\displaystyle \frac{10 \cdot 10 \cdot \left( 10 \cdot 10 - 1 \right) }{10 \cdot 10 \cdot 10 + 10 \cdot 10} =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Nejdříve vypočítáme hodnotu v čitateli (horní část zlomku). Podle přednosti operací nejdříve vypočítáme závorku:
Závorka: $10 \cdot 10 - 1 = 100 - 1 = 99$
Celý čitatel: $10 \cdot 10 \cdot 99 = 100 \cdot 99 = 9900$

Výpočet jmenovatele

Nyní vypočítáme hodnotu ve jmenovateli (spodní část zlomku):
$10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$
$10 \cdot 10 = 100$
Celý jmenovatel: $1000 + 100 = 1100$

Zjednodušení a výsledek

Dostáváme zlomek $\frac{9900}{1100}$. Ten můžeme zjednodušit tak, že čitatele i jmenovatele vydělíme číslem $100$ (škrtneme dvě nuly na konci obou čísel):
$\frac{9900}{1100} = \frac{99}{11}$
Nakonec vydělíme: $99 : 11 = 9$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

9

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.1

Z kabelu dlouhého 5,1 metru jsme uřízli tři půlmetrové kusy
a zbytek jsme rozdělili na 12 stejně dlouhých dílů.

Určete, kolik centimetrů měří jeden díl.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet délky uříznutých kusů

Uřízli jsme tři půlmetrové kusy. Jeden půlmetrový kus má délku $0{,}5\text{ m}$.
Celkem uříznuté kusy měří:
$3 \cdot 0{,}5\text{ m} = 1{,}5\text{ m}$

Určení zbývající délky kabelu

Z původního kabelu o délce $5{,}1\text{ m}$ odečteme uříznutou část:
$5{,}1\text{ m} - 1{,}5\text{ m} = 3{,}6\text{ m}$
Zbývá nám $3{,}6\text{ m}$ kabelu.

Rozdělení zbytku na 12 dílů a převod na centimetry

Zbývajících $3{,}6\text{ m}$ rozdělíme na 12 stejně dlouhých dílů:
$3{,}6\text{ m} : 12 = 0{,}3\text{ m}$
Jeden díl měří $0{,}3\text{ m}$. Protože otázka požaduje výsledek v centimetrech, převedeme metry na centimetry ($1\text{ m} = 100\text{ cm}$):
$0{,}3 \cdot 100\text{ cm} = 30\text{ cm}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

30

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.2

Cesta na kole z Roztok do Neratovic trvá 1 hodinu a 50 minut.
S využitím přívozu se doba cestování zkrátí o 40 %.

Vypočtěte, kolik minut trvá cesta z Roztok do Neratovic s využitím přívozu.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod času na minuty

Cesta bez přívozu trvá 1 hodinu a 50 minut. Nejdříve si tento čas převedeme na minuty. Víme, že jedna hodina má 60 minut:
1 h 50 min = 60 min + 50 min = 110 min

Výpočet doby s přívozem

S využitím přívozu se cesta zkrátí o 40 %. To znamená, že nová doba jízdy bude tvořit 60 % z původního času (protože 100 % - 40 % = 60 %).

Nejprve určíme 10 % z původního času:
110 min : 10 = 11 min

Nyní spočítáme 60 % (šestinásobek 10 %):
6 * 11 min = 66 min

Ověření a závěr

Pro kontrolu můžeme vypočítat ušetřený čas (40 %):
4 * 11 min = 44 min

Odečteme ušetřený čas od původního času:
110 min - 44 min = 66 min

Cesta s využitím přívozu trvá 66 minut.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

66

Stav úlohy
2 body
Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{1}{3} \cdot \left( 5- \frac{13}{5} \right) \div 20=$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet závorky

Nejdříve vypočítáme výraz v závorce. Číslo 5 si vyjádříme jako zlomek se jmenovatelem 5 a odečteme:
5 - \frac{13}{5} = \frac{25}{5} - \frac{13}{5} = \frac{12}{5}

Krok 2: Násobení

Výsledek ze závorky vynásobíme zlomkem $\frac{1}{3}$:
\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{5} = \frac{4}{5}

(Čísla 12 a 3 jsme vykrátili třemi.)

Krok 3: Dělení a základní tvar

Nakonec vydělíme číslem 20, což je stejné jako násobení zlomkem $\frac{1}{20}$:
\frac{4}{5} \div 20 = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{20} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{25}

(Čísla 4 a 20 jsme vykrátili čtyřmi.)

Krok 4: Výsledek

Výsledný zlomek v základním tvaru je $\frac{1}{25}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1/25

Stav úlohy
2 body
Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3} - \frac{3}{2} }{\displaystyle \frac{2}{3} \div \frac{3}{2} } =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Nejdříve vypočítáme výraz v čitateli hlavního zlomku. Odečteme dva zlomky tak, že je převedeme na společného jmenovatele, kterým je číslo 6:
$\frac{2}{3} - \frac{3}{2} = \frac{4 - 9}{6} = -\frac{5}{6}$

Výpočet jmenovatele

Dále vypočítáme výraz ve jmenovateli hlavního zlomku. Dělení dvou zlomků vypočítáme tak, že první zlomek vynásobíme převrácenou hodnotou druhého zlomku:
$\frac{2}{3} \div \frac{3}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

Celkový výpočet

Nyní vydělíme výsledek z čitatele výsledkem ze jmenovatele. Složený zlomek přepíšeme jako dělení dvou zlomků, které opět nahradíme násobením převráceným zlomkem. Výsledek zkrátíme do základního tvaru:
$\frac{-\frac{5}{6}}{\frac{4}{9}} = -\frac{5}{6} \cdot \frac{9}{4} = -\frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 4} = -\frac{15}{8}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-15/8

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.1

Po jarních prázdninách postupně onemocnělo mnoho žáků.
V pondělí chyběla $\displaystyle \frac{1}{6}$ všech žáků školy. V úterý byla nemocná již $\displaystyle \frac{1}{4}$ všech žáků školy.
V pátek byla ve škole už jen $\displaystyle \frac{1}{3}$ všech žáků školy, tedy 80 nejodolnějších žáků.
Všichni ostatní žáci školy byli nemocní.

Vypočtěte, kolik žáků měla škola.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Páteční docházka

Z textu víme, že v pátek byla ve škole $\frac{1}{3}$ všech žáků a toto množství odpovídalo 80 žákům.

Výpočet celku

Pokud jedna třetina ze všech žáků je 80, pak celou školu (všechny tři třetiny) tvoří třikrát více žáků. Počet žáků v celé škole vypočítáme násobením:
80 ⋅ 3 = 240

Výsledek

Škola měla celkem 240 žáků.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

240

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.2

Po jarních prázdninách postupně onemocnělo mnoho žáků.
V pondělí chyběla $\displaystyle \frac{1}{6}$ všech žáků školy. V úterý byla nemocná již $\displaystyle \frac{1}{4}$ všech žáků školy.
V pátek byla ve škole už jen $\displaystyle \frac{1}{3}$ všech žáků školy, tedy 80 nejodolnějších žáků.
Všichni ostatní žáci školy byli nemocní.

Vypočtěte, kolik žáků bylo v pondělí ve škole.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet žáků

Víme, že v pátek byla ve škole už jen třetina všech žáků, což odpovídalo 80 žákům. Celkový počet žáků školy tedy zjistíme tak, že tento počet vynásobíme třemi:
$\displaystyle 3 \cdot 80 = 240$
Škola má celkem 240 žáků.

Chybějící žáci v pondělí

V pondělí chyběla $\displaystyle \frac{1}{6}$ všech žáků školy. Z celkového počtu 240 žáků tedy v pondělí chybělo:
$\displaystyle 240 \div 6 = 40$ žáků.

Žáci ve škole v pondělí

Počet žáků, kteří byli v pondělí ve škole, zjistíme odečtením chybějících od celkového počtu:
$\displaystyle 240 - 40 = 200$

Výsledek

V pondělí bylo ve škole
200
žáků.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

200

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.3

Po jarních prázdninách postupně onemocnělo mnoho žáků.
V pondělí chyběla $\displaystyle \frac{1}{6}$ všech žáků školy. V úterý byla nemocná již $\displaystyle \frac{1}{4}$ všech žáků školy.
V pátek byla ve škole už jen $\displaystyle \frac{1}{3}$ všech žáků školy, tedy 80 nejodolnějších žáků.
Všichni ostatní žáci školy byli nemocní.

Vypočtěte, o kolik nemocných žáků bylo v pátek více než v úterý.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet žáků

V pátek byla ve škole jen jedna třetina všech žáků a víme, že to bylo 80 dětí. Pokud jedna třetina odpovídá 80 žákům, pak celá škola má třikrát více žáků:
$80 \cdot 3 = 240$ žáků

Nemocní v pátek

Jestliže bylo v pátek ve škole 80 žáků z celkových 240, ostatní byli nemocní. Počet nemocných v pátek vypočítáme odečtením:
$240 - 80 = 160$ nemocných

Nemocní v úterý

V úterý byla nemocná jedna čtvrtina všech žáků. Celkem je ve škole 240 žáků, takže jednu čtvrtinu vypočítáme dělením čtyřmi:
$240 \div 4 = 60$ nemocných

Porovnání pátku a úterý

Ptáme se, o kolik více nemocných bylo v pátek než v úterý. V pátek bylo 160 nemocných a v úterý 60. Rozdíl vypočítáme jako:
$160 - 60 = 100$

Výsledek

V pátek bylo o 100 nemocných žáků více než v úterý.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

100

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.1

Pro soutěž Malování na chodník bylo připraveno celkem 300 kříd zabalených v krabičkách
dvou velikostí – menších a větších. V krabičkách téže velikosti byl vždy stejný počet kříd.
Menších krabiček bylo pouze 5 a celkem v nich bylo tolik kříd jako ve 3 větších krabičkách.
Každá z větších krabiček obsahovala 10 kříd.

Určete počet kříd v jedné menší krabičce.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Křídy ve větších krabičkách

Víme, že jedna větší krabička obsahuje 10 kříd. Tři větší krabičky tedy dohromady obsahují 30 kříd ($3 \cdot 10 = 30$).

Křídy v menších krabičkách

V zadání se píše, že v 5 menších krabičkách je celkem tolik kříd jako ve 3 větších krabičkách. V 5 menších krabičkách je tedy dohromady také 30 kříd.

Jedna menší krabička

Pokud je v 5 stejných krabičkách celkem 30 kříd, v jedné krabičce jich musí být 6, protože $30 : 5 = 6$.

Výsledek

V jedné menší krabičce je 6 kříd.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

6

Stav úlohy
1 bod
Úloha 5.2

Pro soutěž Malování na chodník bylo připraveno celkem 300 kříd zabalených v krabičkách
dvou velikostí – menších a větších. V krabičkách téže velikosti byl vždy stejný počet kříd.
Menších krabiček bylo pouze 5 a celkem v nich bylo tolik kříd jako ve 3 větších krabičkách.
Každá z větších krabiček obsahovala 10 kříd.

Určete počet všech větších krabiček s křídami.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Křídy v menších krabičkách

Víme, že v 5 menších krabičkách je dohromady tolik kříd jako ve 3 větších. Protože jedna větší krabička má 10 kříd, ve třech větších je $3 \cdot 10 = 30$ kříd. V pěti menších krabičkách je tedy celkem 30 kříd.

Křídy ve všech větších krabičkách

Celkem bylo připraveno 300 kříd. Od tohoto počtu odečteme 30 kříd, které jsou v menších krabičkách. Na všechny větší krabičky nám tedy zbývá $300 - 30 = 270$ kříd.

Počet větších krabiček

Každá větší krabička obsahuje 10 kříd. Celkový počet větších krabiček vypočítáme tak, že 270 kříd rozdělíme po deseti (do krabiček po deseti kusech): $270 \div 10 = 27$.

Výsledek

Počet všech větších krabiček s křídami je 27.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

27

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.1

Poličku na zeď tvoří tmavá obdélníková deska podepřená dvěma stejnými bílými trojúhelníkovými deskami. Tloušťku desek zanedbáváme. Bílý trojúhelník má obsah 50 cm², je pravoúhlý a rovnoramenný. Rameno trojúhelníku má stejnou délku jako kratší strana obdélníku. Delší strana tmavého obdélníku měří 36 cm.

Vypočtěte v cm obvod obdélníku.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet délky ramene trojúhelníku

Bílý trojúhelník je pravoúhlý a rovnoramenný, což znamená, že jeho odvěsny (ramena) jsou stejně dlouhé. Označíme-li délku ramene jako $a$, pak obsah trojúhelníku vypočítáme jako polovinu součinu délek ramen:
$S = \frac{a \cdot a}{2} = \frac{a^2}{2}$
Víme, že obsah je $50\text{ cm}^2$, tedy:
$50 = \frac{a^2}{2}$
$100 = a^2$
$a = 10\text{ cm}$

Určení rozměrů obdélníku

V zadání se píše, že rameno trojúhelníku má stejnou délku jako kratší strana obdélníku. Kratší strana obdélníku má tedy délku $10\text{ cm}$. Delší strana obdélníku je zadaná a měří $36\text{ cm}$.

Výpočet obvodu obdélníku

Obvod obdélníku vypočítáme jako součet délek všech jeho čtyř stran:
$O = 2 \cdot (36 + 10)$
$O = 2 \cdot 46$
$O = 92\text{ cm}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

92 cm

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.2

Poličku na zeď tvoří tmavá obdélníková deska podepřená dvěma stejnými bílými trojúhelníkovými deskami. Tloušťku desek zanedbáváme. Bílý trojúhelník má obsah 50 cm², je pravoúhlý a rovnoramenný. Rameno trojúhelníku má stejnou délku jako kratší strana obdélníku. Delší strana tmavého obdélníku měří 36 cm.

Vypočtěte v cm² obsah obdélníku

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet délky ramene trojúhelníku

Bílý trojúhelník je pravoúhlý a rovnoramenný s obsahem 50 cm². Obsah takového trojúhelníku vypočítáme jako polovinu součinu jeho ramen (která jsou zároveň jeho základnou a výškou): $S = \frac{a \cdot a}{2}$.
Dosadíme známý obsah:
$50 = \frac{a^2}{2}$
$100 = a^2$
$a = 10$ cm
Rameno trojúhelníku měří 10 cm.

Určení rozměrů obdélníku

Ze zadání víme, že rameno trojúhelníku má stejnou délku jako kratší strana obdélníku. Kratší strana obdélníku tedy měří 10 cm. Delší strana obdélníku je uvedena v nákresu a měří 36 cm.

Výpočet obsahu obdélníku

Obsah obdélníku vypočítáme jako součin délek jeho stran:
$S = 36 \cdot 10$
$S = 360$ cm²

Závěr

Obsah obdélníku je 360 cm².
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

360 cm²

Stav úlohy
2 body
Úloha 7.1

Kvádr o rozměrech 6 cm, 4 cm a 5 cm jsme dvěma svislými řezy rozdělili na tři kolmé trojboké hranoly.

Vypočtěte v cm² povrch kvádru.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Kvádr má tři rozměry: délku $a = 6\text{ cm}$, šířku $b = 4\text{ cm}$ a výšku $c = 5\text{ cm}$. Povrch kvádru se skládá ze šesti stěn, což jsou tři dvojice shodných obdélníků.

Výpočet povrchu

Pro výpočet povrchu použijeme vzorec:
$S = 2 \cdot (a \cdot b + b \cdot c + a \cdot c)$

Dosadíme zadané hodnoty:
$S = 2 \cdot (6 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 6 \cdot 5)\text{ cm}^2$
$S = 2 \cdot (24 + 20 + 30)\text{ cm}^2$
$S = 2 \cdot 74\text{ cm}^2$
$S = 148\text{ cm}^2$

Povrch kvádru je $148\text{ cm}^2$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

148 cm²

Stav úlohy
2 body
Úloha 7.2

Kvádr o rozměrech 6 cm, 4 cm a 5 cm jsme dvěma svislými řezy rozdělili na tři kolmé trojboké hranoly.

Ze tří trojbokých hranolů vybereme ten, který má největší objem.

Vypočtěte v cm³ objem vybraného trojbokého hranolu.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor řezů a tvaru hranolů

Původní kvádr má délku $6\text{ cm}$, šířku $4\text{ cm}$ a výšku $5\text{ cm}$. Kvádr rozdělíme svislými řezy na tři kolmé trojboké hranoly. Výška všech tří hranolů je stejná jako výška kvádru, tedy $v = 5\text{ cm}$. Jejich podstavy vzniknou rozdělením horní (a dolní) podstavy kvádru (obdélníku o rozměrech $6\text{ cm} \times 4\text{ cm}$) dvěma řezy z jednoho bodu na přední hraně k oběma zadním vrcholům podstavy. Tím se podstava kvádru rozdělí na tři trojúhelníky.

Analýza podstav trojbokých hranolů

Obdélníková podstava o rozměrech $6\text{ cm}$ (přední a zadní strana) a $4\text{ cm}$ (boční strany) se dělí z bodu na přední hraně k zadním dvěma vrcholům:
  • Dva krajní trojúhelníky jsou pravoúhlé. Z popisu obrázku víme, že bod na přední hraně leží uprostřed. Odvěsny každého z těchto dvou pravoúhlých trojúhelníků mají délky $3\text{ cm}$ (polovina přední hrany) a $4\text{ cm}$ (boční hrana). Obsah podstavy každého z nich je $S_1 = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6\text{ cm}^2$.
  • Prostřední trojúhelník má základnu na zadní straně o délce $6\text{ cm}$ a výšku k této straně o délce $4\text{ cm}$ (což odpovídá šířce kvádru). Obsah podstavy prostředního trojúhelníku je $S_2 = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12\text{ cm}^2$.
Největší obsah podstavy má tedy prostřední hranol ($12\text{ cm}^2$ oproti $6\text{ cm}^2$ krajních hranolů), a proto bude mít i největší objem.

Výpočet objemu vybraného hranolu

Objem vybraného trojbokého hranolu s největším objemem vypočítáme jako součin obsahu jeho podstavy a výšky:
$V = S_2 \cdot v$

Dosadíme vypočtený obsah podstavy $S_2 = 12\text{ cm}^2$ and výšku $v = 5\text{ cm}$:
$V = 12 \cdot 5 = 60\text{ cm}^3$

Objem vybraného hranolu je $60\text{ cm}^3$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

60 cm³

Stav úlohy
2 body
Úloha 8

V rovině leží body P, Q a přímka o.

Body P, Q jsou vrcholy trojúhelníku PQR.
Přímka o je osou některé strany tohoto trojúhelníku.

Sestrojte vrchol R trojúhelníku PQR, označte ho písmenem a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Nastane jedna z následujících situací:

  • Oba požadované trojúhelníky jsou sestrojeny s mírnou nepřesností.
  • Z požadovaných trojúhelníků je sestrojen pouze jeden, a to přesně.
  • Konstrukce požadovaných trojúhelníků je provedena správně, ale popis vrcholů neodpovídá zadání.

Nastane jedna z následujících situací:

  • Z požadovaných trojúhelníků je sestrojen pouze jeden, a to s mírnou nepřesností.
  • Správně jsou sestrojeny obrazy bodů P, Q v osové souměrnosti s osou o a trojúhelníky PQR jsou sestrojeny chybně.

Pouze chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 1. náhradní termín 2022, úloha 8

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 9

V rovině leží body A, X a rovnoběžné přímky c, p.

Bod A je vrchol obdélníku ABCD. Bod X leží uvnitř strany AB obdélníku.
Na přímce c leží vrchol C obdélníku ABCD a na přímce p jeden ze zbývajících dvou vrcholů obdélníku.

Sestrojte vrcholy B, C, D obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Z požadovaných obdélníků je sestrojen pouze jeden, a to přesně.

Z požadovaných obdélníků je sestrojen pouze jeden, a to s mírnou nepřesností.

Pouze chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 1. náhradní termín 2022, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 10.1
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Zahrádkář zakoupil několik kusů rostlin od každého ze čtyř druhů A, B, C a D. Některé zakoupené rostliny uschly, ostatní vzrostly. Většinu vzrostlých rostlin zahrádkář později prodal.
Graf udává počty zakoupených, vzrostlých a prodaných kusů rostlin jednotlivých druhů.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Zahrádkáři zůstalo celkem 9 neprodaných kusů vzrostlých rostlin.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu

Pro zjištění počtu neprodaných vzrostlých rostlin musíme z grafu odečíst počty vzrostlých (šedý sloupec) a prodaných (šrafovaný sloupec) kusů pro každý druh. Počet neprodaných kusů je rozdíl mezi těmito dvěma hodnotami.

Výpočet pro jednotlivé druhy

Z grafu odečteme hodnoty a vypočítáme zbývající kusy:
  • Druh A: $12 - 7 = 5$ kusů
  • Druh B: $9 - 9 = 0$ kusů
  • Druh C: $8 - 4 = 4$ kusy
  • Druh D: $8 - 8 = 0$ kusů

Celkový součet a závěr

Sečteme neprodané kusy všech čtyř druhů:
$5 + 0 + 4 + 0 = 9$

Zahrádkáři zůstalo celkem 9 kusů, tvrzení je tedy pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 10.2
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Zahrádkář zakoupil několik kusů rostlin od každého ze čtyř druhů A, B, C a D. Některé zakoupené rostliny uschly, ostatní vzrostly. Většinu vzrostlých rostlin zahrádkář později prodal.
Graf udává počty zakoupených, vzrostlých a prodaných kusů rostlin jednotlivých druhů.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Zahrádkář zakoupil o polovinu více kusů rostlin, než jich prodal.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění hodnot z grafu

Z grafu vyčteme počty zakoupených (tečkovaný sloupec) a prodaných (šrafovaný sloupec) rostlin pro každý druh:
  • Druh A: 14 zakoupeno, 7 prodáno
  • Druh B: 9 zakoupeno, 9 prodáno
  • Druh C: 8 zakoupeno, 4 prodáno
  • Druh D: 11 zakoupeno, 8 prodáno

Celkové počty

Nyní vypočítáme celkové počty pro všechny druhy rostlin dohromady:
  • Zakoupeno celkem: $14 + 9 + 8 + 11 = 42$
  • Prodáno celkem: $7 + 9 + 4 + 8 = 28$

Ověření tvrzení

Máme zjistit, zda je zakoupených rostlin o polovinu více, než kolik se jich prodalo.
1. Vypočítáme polovinu z prodaných rostlin: $28 : 2 = 14$.
2. Přičteme tuto polovinu k počtu prodaných: $28 + 14 = 42$.

Počet zakoupených rostlin (42) je skutečně o polovinu vyšší než počet prodaných (28). Tvrzení je tedy pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 10.3
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Zahrádkář zakoupil několik kusů rostlin od každého ze čtyř druhů A, B, C a D. Některé zakoupené rostliny uschly, ostatní vzrostly. Většinu vzrostlých rostlin zahrádkář později prodal.
Graf udává počty zakoupených, vzrostlých a prodaných kusů rostlin jednotlivých druhů.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Zahrádkář prodal všechny zakoupené kusy jen u jednoho druhu rostlin.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu a zadání

V grafu máme pro každý druh rostliny (A, B, C, D) tři sloupce. Tečkovaný sloupec představuje počet zakoupených kusů a šrafovaný sloupec počet prodaných kusů. Tvrzení říká, že zahrádkář prodal všechny zakoupené kusy jen u jednoho druhu. Musíme tedy u každého druhu porovnat tyto dvě hodnoty.

Porovnání hodnot z grafu

Z grafu vyčteme počty zakoupených a prodaných kusů pro jednotlivé druhy:
  • Druh A: zakoupeno 14, prodáno 7 (nejsou to všechny).
  • Druh B: zakoupeno 9, prodáno 9 (všechny zakoupené kusy byly prodány).
  • Druh C: zakoupeno 8, prodáno 4 (nejsou to všechny).
  • Druh D: zakoupeno 11, prodáno 8 (nejsou to všechny).

Závěr

Zahrádkář prodal všechny zakoupené kusy pouze u druhu B. To znamená, že tato situace nastala právě u jednoho druhu rostlin ze čtyř. Tvrzení je tedy pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11

V rovině leží čtyři přímky, z nichž dvě jsou rovnoběžné a zbývající dvě jsou na sebe kolmé.

Jaká je velikost úhlu β?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

  • A) menší než 20°
  • D) 34°
  • B) 20°
  • E) větší než 34°
  • C) 28°
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet úhlu α

Na levé rovnoběžce tvoří úhly $2\alpha$ a $3\alpha$ dohromady přímý úhel ($180^\circ$), protože oba leží nad stejnou přímkou (transverzálou) a jsou vedle sebe. Můžeme tedy zapsat rovnici:
$2\alpha + 3\alpha = 180^\circ$
$5\alpha = 180^\circ$
$\alpha = 180^\circ : 5$
$\alpha = 36^\circ$

Velikost úhlu $2\alpha$ je tedy:
$2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$

Využití pravoúhlého trojúhelníku

Dvě protínající se přímky (transverzály) jsou na sebe kolmé, což znamená, že svírají pravý úhel ($90^\circ$). Společně s levou rovnoběžkou tvoří tyto přímky pravoúhlý trojúhelník. Vnitřní úhly v tomto trojúhelníku jsou:
  • pravý úhel ($90^\circ$) v místě křížení přímek,
  • úhel $2\alpha = 72^\circ$,
  • a třetí vnitřní úhel u levé rovnoběžky.

Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je $180^\circ$. Třetí úhel tedy spočítáme jako:
$180^\circ - 90^\circ - 72^\circ = 18^\circ$

Určení úhlu β

Protože jsou dvě hlavní přímky rovnoběžné, jsou střídavé a souhlasné úhly na těchto rovnoběžkách shodné. Úhel $\beta$ na pravé rovnoběžce je střídavý (nebo souhlasný) k úhlu o velikosti $18^\circ$, který jsme vypočítali v předchozím kroku. Platí tedy:
$\beta = 18^\circ$
Velikost úhlu $\beta$ je $18^\circ$, což je hodnota menší než $20^\circ$. Správná možnost je tedy A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 12

Ve čtvercové síti sestrojíme dva obdélníky s vrcholy v mřížových bodech podle vzoru na obrázku. Kratší strana obdélníku má vždy délku 9 cm a obsahuje 10 mřížových bodů.

První sestrojený obdélník obsahuje celkem 120 mřížových bodů (včetně mřížových bodů po jeho obvodu).

Jaký je obsah tohoto obdélníku?

  • A) 90 cm²
  • D) 120 cm²
  • B) 99 cm²
  • E) jiný obsah
  • C) 108 cm²
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor a určení vzdálenosti mezi body

V zadání se píše, že kratší strana obdélníku má délku 9 cm a obsahuje 10 mřížových bodů.
Mezi 10 body v jedné řadě je přesně 9 mezer (dílů).
Jeden dílek mřížky má tedy délku:
$9 \text{ cm} : 9 = 1 \text{ cm}$

Určení rozměrů obdélníku

Celkový počet mřížových bodů v obdélníku (včetně obvodu) je 120.
Body jsou uspořádány do řad a sloupců. Víme, že na kratší straně je 10 bodů.
Počet bodů na delší straně určíme tak, že celkový počet bodů vydělíme počtem bodů na kratší straně:
$120 : 10 = 12 \text{ bodů}$
Delší strana obdélníku tedy obsahuje 12 mřížových bodů. Mezi 12 body je přesně 11 mezer (dílů).
Protože jeden dílek má délku 1 cm, délka delší strany obdélníku je:
$11 \times 1 \text{ cm} = 11 \text{ cm}$

Výpočet obsahu obdélníku

Obdélník má rozměry 9 cm a 11 cm.
Obsah obdélníku spočítáme jako součin délek jeho stran:
$S = a \cdot b$
$S = 9 \text{ cm} \cdot 11 \text{ cm} = 99 \text{ cm}^2$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 13

Ve čtvercové síti sestrojíme dva obdélníky s vrcholy v mřížových bodech podle vzoru na obrázku. Kratší strana obdélníku má vždy délku 9 cm a obsahuje 10 mřížových bodů.

Obvod druhého sestrojeného obdélníku je 120 cm.

Kolik mřížových bodů celkem obsahuje tento obdélník (včetně mřížových bodů po jeho obvodu)?

  • A) 500
  • D) 530
  • B) 510
  • E) jiný počet
  • C) 520
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení rozměru jednoho mřížového čtverce

Ze zadání víme, že kratší strana obdélníku má délku 9 cm a obsahuje celkem 10 mřížových bodů. Počet dílků (mřížových čtverců) na této straně je o 1 menší než počet bodů, tedy: 10 - 1 = 9 dílků.

Pokud 9 dílků měří dohromady 9 cm, pak šířka jednoho dílku (vzdálenost mezi dvěma sousedními body v mříži) je: 9 cm / 9 = 1 cm.

Výpočet délky delší strany obdélníku

Obvod obdélníku je 120 cm. Vzorec pro obvod obdélníku s kratší stranou $a = 9$ cm a delší stranou $b$ je:
$O = 2 \cdot (a + b)$

Dosadíme známé hodnoty:
$120 = 2 \cdot (9 + b)$
$60 = 9 + b$
$b = 51$ cm.

Delší strana obdélníku má tedy délku 51 cm.

Určení počtu bodů na delší straně

Protože vzdálenost mezi dvěma sousedními body je 1 cm, počet dílků na delší straně je 51. Počet bodů na této straně je o 1 větší než počet dílků: $51 + 1 = 52$ bodů.

Výpočet celkového počtu mřížových bodů v obdélníku

Obdélník je tvořen mříží, která má na šířku 10 bodů a na délku 52 bodů. Celkový počet mřížových bodů, které obdélník obsahuje (včetně těch na obvodu), získáme vynásobením počtu bodů na obou stranách: $10 \cdot 52 = 520$ bodů.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 14

Hruškový král rozdělil podle zásluh všechny zlaté hrušky mezi tři rytíře.
Jednu sedminu všech hrušek získal první rytíř, druhý získal o 42 hrušek více než první
a třetí získal třikrát více hrušek než první.

Kolik zlatých hrušek dohromady získali první a druhý rytíř?

  • A) 54
  • D) 84
  • B) 56
  • E) jiný počet
  • C) 70
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Vyjádříme podíly jednotlivých rytířů pomocí zlomků z celkového počtu hrušek:
  • První rytíř získal 1/7 všech hrušek.
  • Třetí rytíř získal třikrát více než první, což odpovídá 3/7 všech hrušek (3 × 1/7 = 3/7).
  • Druhý rytíř získal o 42 hrušek více než první, což je 1/7 všech hrušek a k tomu navíc 42 hrušek.

Výpočet celkového počtu hrušek

Sečteme zlomkové části všech rytířů z celkového počtu:
  • Bez pevného počtu 42 hrušek získali rytíři dohromady: 1/7 + 1/7 + 3/7 = 5/7 všech hrušek.
  • Všechny hrušky dohromady představují jeden celek, tedy 7/7.
  • Zbývající část celku do 7/7 musí odpovídat právě 42 hruškám, které dostal druhý rytíř navíc: 7/7 - 5/7 = 2/7 všech hrušek.
  • Pokud 2/7 odpovídají 42 hruškám, pak 1/7 všech hrušek je: 42 : 2 = 21 hrušek.

Výpočet pro prvního a druhého rytíře

Nyní dopočítáme počty hrušek pro jednotlivé rytíře a jejich součet:
  • První rytíř získal: 21 hrušek (1/7).
  • Druhý rytíř získal: 21 + 42 = 63 hrušek.
  • Dohromady první a druhý rytíř získali: 21 + 63 = 84 hrušek.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.1

Když firma odvezla do spalovny 60 % odpadu, zbylo jí ještě 1200 kg odpadu.

Kolik kg odpadu firma odvezla do spalovny?

  • A) 1 500 kg
  • D) 2 100 kg
  • B) 1 800 kg
  • E) 2 250 kg
  • C) 2 000 kg
  • F) jiný počet kg
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení procentuální části

Celkové množství odpadu odpovídá 100 %. Víme, že firma odvezla do spalovny 60 % odpadu.
Zbylá část odpadu v procentech je:
$100 \% - 60 \% = 40 \%$
Tato zbylá část (40 %) odpovídá 1200 kg odpadu.

Výpočet odvezeného odpadu

Chceme zjistit, kolik kg odpadu (60 %) firma odvezla do spalovny.
Nejprve určíme, kolik kg odpovídá 10 % celkového množství:
$1200 \text{ kg} : 4 = 300 \text{ kg}$
Nyní spočítáme množství odpovídající 60 %:
$6 \cdot 300 \text{ kg} = 1800 \text{ kg}$
Firma odvezla do spalovny 1800 kg odpadu, což odpovídá možnosti B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.2

Stejné dlaždice byly umístěny ve stejném počtu na dvou paletách.
Již se prodaly dvě pětiny dlaždic z první palety a 10 % dlaždic z druhé palety.
Hmotnost všech těchto prodaných dlaždic byla 750 kg.

Kolik kg váží dosud neprodané dlaždice z obou palet?

  • A) 1 500 kg
  • D) 2 100 kg
  • B) 1 800 kg
  • E) 2 250 kg
  • C) 2 000 kg
  • F) jiný počet kg
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Na obou paletách je stejný počet stejných dlaždic. Hmotnost dlaždic na jedné paletě představuje jeden celek (neboli $100\,\%$).
  • Z první palety se prodaly dvě pětiny ($\frac{2}{5}$) dlaždic.
  • Z druhé palety se prodalo $10\,\%$ dlaždic.

Vyjádření prodaných dlaždic

Převedeme zlomek ze zadání na procenta:
$\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 40\,\%$
Z první palety se tedy prodalo $40\,\%$ dlaždic, z druhé palety $10\,\%$.

Protože jsou obě palety stejné, můžeme celkové množství prodaných dlaždic sečíst jako procenta z jedné palety:
$40\,\% + 10\,\% = 50\,\%$

Prodalo se tedy celkem $50\,\%$ (přesně polovina) dlaždic z jedné palety. Tyto prodané dlaždice váží dohromady $750\text{ kg}$.

Výpočet celkové hmotnosti

Jestliže polovina ($50\,\%$) jedné palety váží $750\text{ kg}$, pak celá jedna paleta váží:
$750\text{ kg} \cdot 2 = 1\ 500\text{ kg}$

Máme dvě palety, jejich celková původní hmotnost tedy byla:
$1\ 500\text{ kg} \cdot 2 = 3\ 000\text{ kg}$

Hmotnost neprodaných dlaždic

Od celkové hmotnosti všech dlaždic odečteme hmotnost prodaných dlaždic:
$3\ 000\text{ kg} - 750\text{ kg} = 2\ 250\text{ kg}$

Dosud neprodané dlaždice z obou palet váží $2\ 250\text{ kg}$, což odpovídá možnosti E.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.3

Ve sběrných surovinách vykoupili v létě 1500 kg kovů, což je o 50 % více než na jaře a o 50 % méně než na podzim.

O kolik kg kovů vykoupili na podzim více než na jaře?

  • A) 1 500 kg
  • D) 2 100 kg
  • B) 1 800 kg
  • E) 2 250 kg
  • C) 2 000 kg
  • F) jiný počet kg
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet jarního množství

V létě se vykoupilo 1500 kg kovů, což je o 50 % více než na jaře. Letní množství (1500 kg) tedy odpovídá 150 % jarního množství.
Jarní množství (100 %) spočítáme jako:
$1500 : 1{,}5 = 1000\text{ kg}$

Výpočet podzimního množství

Letní množství (1500 kg) je zároveň o 50 % méně než na podzim. To znamená, že letní množství představuje přesně polovinu (50 %) podzimního množství.
Podzimní množství (100 %) spočítáme jako:
$1500 : 0{,}5 = 3000\text{ kg}$

Porovnání podzimu a jara

Chceme zjistit, o kolik kg kovů se vykoupilo na podzim více než na jaře. Odečteme jarní množství od podzimního:
$3000 - 1000 = 2000\text{ kg}$
Správná možnost je tedy C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C l

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.1

Výsledný obrazec vytvoříme následujícím postupem:
1. Na vodorovné přímce sestrojíme několik stejně vzdálených bodů (černých puntíků).
2. Prvním černým puntíkem vedeme dvě různoběžné šikmé přímky. Druhým a každým dalším černým puntíkem vedeme rovnoběžky s oběma těmito přímkami.
3. Všechny nově vzniklé průsečíky označíme černými puntíky a těmi vedeme vodorovné přímky.
4. Na spodní vodorovné přímce označíme všechny nově vzniklé průsečíky bílými puntíky.

Výsledný obrazec obsahuje celkem 36 černých puntíků.

Určete počet všech vodorovných přímek v tomto obrazci.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počítání černých průsečíků

Každým počátečním černým bodem vedou dvě šikmé přímky. Vzniknou tak dvě skupiny rovnoběžek se stejným počtem přímek. Každá přímka z jedné skupiny protne každou přímku z druhé skupiny právě v jednom černém puntíku. Černé puntíky tedy můžeme počítat jako stejně dlouhé šikmé řady.

Počet šikmých řad

Celkem je 36 černých puntíků. Z malé násobilky víme, že $36 = 6 \cdot 6$. Máme tedy 6 šikmých řad po 6 puntících, a proto také 6 počátečních bodů na prostřední vodorovné přímce.

Vodorovné přímky

Na prostřední přímce je 6 černých puntíků. Směrem vzhůru ubývá v každé vodorovné řadě jeden puntík: nad prostřední řadou je dalších 5 řad. Stejně je tomu pod ní. Vodorovných přímek je proto $5 + 1 + 5 = 11$. Bílé puntíky na spodní přímce žádnou další vodorovnou přímku nepřidávají.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

11

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.2

Výsledný obrazec vytvoříme následujícím postupem:
1. Na vodorovné přímce sestrojíme několik stejně vzdálených bodů (černých puntíků).
2. Prvním černým puntíkem vedeme dvě různoběžné šikmé přímky. Druhým a každým dalším černým puntíkem vedeme rovnoběžky s oběma těmito přímkami.
3. Všechny nově vzniklé průsečíky označíme černými puntíky a těmi vedeme vodorovné přímky.
4. Na spodní vodorovné přímce označíme všechny nově vzniklé průsečíky bílými puntíky.

Výsledný obrazec obsahuje celkem 49 vodorovných přímek.

Určete počet bílých puntíků na spodní vodorovné přímce tohoto obrazce.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení vodorovných přímek

Černé puntíky tvoří síť, která se nad prostřední vodorovnou přímkou zužuje po jednom puntíku až k jedinému hornímu puntíku. Stejně se zužuje i dolů. Z 49 vodorovných přímek odečteme prostřední a zbytek rozdělíme na horní a dolní polovinu: $(49 - 1) : 2 = 24$. Nad prostřední přímkou je 24 řad.

Počet šikmých přímek

Od horního jediného černého puntíku se počet puntíků v každé další řadě zvětší o jeden. Prostřední řada má tedy $1 + 24 = 25$ černých puntíků. Z nich vzniká 25 šikmých přímek jednoho směru a 25 druhého směru.

Bílé puntíky dole

Na spodní vodorovné přímce se jedna šikmá přímka z každého směru setká ve společném černém puntíku. Z každé skupiny zbývá $25 - 1 = 24$ přímek, jejichž průsečíky se spodní přímkou jsou bílé. Bílých puntíků je tedy $24 + 24 = 48$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

48

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.3

Výsledný obrazec vytvoříme následujícím postupem:
1. Na vodorovné přímce sestrojíme několik stejně vzdálených bodů (černých puntíků).
2. Prvním černým puntíkem vedeme dvě různoběžné šikmé přímky. Druhým a každým dalším černým puntíkem vedeme rovnoběžky s oběma těmito přímkami.
3. Všechny nově vzniklé průsečíky označíme černými puntíky a těmi vedeme vodorovné přímky.
4. Na spodní vodorovné přímce označíme všechny nově vzniklé průsečíky bílými puntíky.

Výsledný obrazec má na spodní vodorovné přímce celkem 64 bílých puntíků.

Určete počet všech černých puntíků v tomto obrazci.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Bílé puntíky na spodní přímce

Na spodní vodorovné přímce zůstává uprostřed jeden černý puntík, kde se setkají dvě šikmé přímky. Ostatní šikmé přímky vytvářejí bílé puntíky: jedna skupina vlevo a druhá vpravo. Obě skupiny jsou stejně početné, takže na každé straně je $64 : 2 = 32$ bílých puntíků.

Počet šikmých přímek

Ke 32 přímkám, které v jednom směru procházejí bílými puntíky, připočteme přímku procházející prostředním černým puntíkem. V každém ze dvou směrů je tedy $32 + 1 = 33$ šikmých přímek.

Počet černých puntíků

Každá z 33 šikmých přímek jednoho směru protíná všech 33 přímek druhého směru. Každý takový průsečík je jeden černý puntík a takto jej započítáme právě jednou. Černých puntíků je $33 \cdot 33 = 33 \cdot 30 + 33 \cdot 3 = 990 + 99 = 1089$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1089

Stav úlohy
2 body