Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 7. ročník

Podkategorie: Matematika 7. ročník — 2. řádný termín 2021

29 úloh

Úloha 1

Vypočtěte:

$\displaystyle 0,012 \div 0,4+0,2 \cdot 0,2 =$

Zobrazit odpověď

0,07

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor výrazu

Ve výrazu máme sčítání, násobení a dělení. Nejdříve musíme provést dělení a násobení (mají přednost), a teprve potom oba výsledky sečteme.

Výpočet dělení a násobení

Nejdříve vypočítáme dělení: $0,012 : 0,4$. Aby se nám lépe dělilo, můžeme obě čísla vynásobit deseti, čímž získáme $0,12 : 4 = 0,03$.
Potom vypočítáme násobení: $0,2 \cdot 0,2 = 0,04$.

Sečtení výsledků

Nakonec oba dílčí výsledky sečteme: $0,03 + 0,04 = 0,07$.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 2.1

Na číselné ose je zobrazeno deset stejných dílků, číslo A = $\displaystyle \frac{1}{4}$ , číslo B = 0,75 a neznámé číslo C.

K odpovídajícímu bodu číselné osy zapište číslo 0 a bod na ose zvýrazněte.

Zobrazit odpověď
Odpověď
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor číselné osy

Na číselné ose máme vyznačena čísla $A = \frac{1}{4}$ (což je $0,25$) a $B = 0,75$. Nejdříve zjistíme, jaký je mezi těmito body rozdíl:
$0,75 - 0,25 = 0,5$

Výpočet velikosti jednoho dílku

Mezi body A a B napočítáme na obrázku přesně $2$ stejné dílky. Pokud tyto dva dílky dohromady odpovídají hodnotě $0,5$, pak jeden dílek musí mít hodnotu:
$0,5 : 2 = 0,25$

Určení polohy čísla 0

Číslo $A$ má hodnotu $0,25$. Protože jeden dílek na ose má také hodnotu $0,25$, bude číslo $0$ ležet přesně o jeden dílek vlevo od bodu $A$.
Číslo $0$ tedy zapíšeme k prvnímu vyznačenému bodu na číselné ose a tento bod zvýrazníme.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 2.2

Na číselné ose je zobrazeno deset stejných dílků, číslo A = $\displaystyle \frac{1}{4}$ , číslo B = 0,75 a neznámé číslo C.

Určete číslo C.

Zobrazit odpověď

-3/8

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor číselné osy

Na číselné ose vidíme celkem 10 stejných dílků. Číslo $A = \frac{1}{4}$ (což je $0,25$) se nachází na sedmé značce (pokud počítáme od začátku osy). Číslo $B = 0,75$ se nachází na poslední, jedenácté značce.

Výpočet velikosti jednoho dílku

Mezi čísly $A$ a $B$ napočítáme přesně 4 stejné dílky. Nejdříve určíme vzdálenost mezi těmito body:
$0,75 - 0,25 = 0,50$
Tuto vzdálenost rozdělíme mezi 4 dílky, abychom zjistili velikost jednoho z nich:
$0,50 : 4 = 0,125$
Jeden dílek na ose má tedy hodnotu $0,125$ (neboli $\frac{1}{8}$).

Určení čísla C

Bod $C$ se nachází na druhé značce od začátku osy. Z obrázku vidíme, že od bodu $A$ k bodu $C$ musíme jít o 5 dílků doleva. Číslo $C$ tedy vypočítáme tak, že od hodnoty bodu $A$ odečteme pět dílků:
$C = 0,25 - 5 \cdot 0,125$
$C = 0,25 - 0,625 = -0,375$

Zápis výsledku

Číslo $-0,375$ můžeme zapsat také pomocí zlomku v základním tvaru:
$-0,375 = -\frac{375}{1000} = -\frac{3}{8}$
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \left( \frac{9}{10} - \frac{5}{4} + \frac{1}{2} \right) \cdot 5=$

Zobrazit odpověď

3/4

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet v závorce

Nejdříve vypočítáme výraz v závorce. Pro zlomky se jmenovateli 10, 4 a 2 najdeme společného jmenovatele, kterým je číslo 20. Zlomky rozšíříme tak, aby měly vespod toto číslo:
$\frac{9}{10} = \frac{18}{20}$
$\frac{5}{4} = \frac{25}{20}$
$\frac{1}{2} = \frac{10}{20}$

Krok 2: Sečtení a odečtení v závorce

Nyní provedeme operace uvnitř závorky:
$\frac{18}{20} - \frac{25}{20} + \frac{10}{20} = \frac{18 - 25 + 10}{20} = \frac{3}{20}$

Krok 3: Násobení

Výsledek ze závorky vynásobíme číslem 5:
$\frac{3}{20} \cdot 5 = \frac{3 \cdot 5}{20} = \frac{15}{20}$

Krok 4: Základní tvar

Výsledný zlomek $\frac{15}{20}$ ještě upravíme na základní tvar tak, že čitatele i jmenovatele vydělíme číslem 5:
$\frac{15}{20} = \mathbf{\frac{3}{4}}$
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \left( \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} - 1 \right) \div \frac{5}{6} =$

Zobrazit odpověď

-2/5

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Násobení v závorce

Nejdříve vypočítáme násobení uvnitř závorky: $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9}$. Zlomky si můžeme zkrátit (3 s 9 a 8 se 4), čímž dostaneme $\frac{1}{1} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$.

Odčítání v závorce

Nyní dokončíme výpočet v závorce odečtením jedničky: $\frac{2}{3} - 1 = \frac{2}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{1}{3}$.

Dělení zlomků

Výsledek závorky vydělíme zlomkem $\frac{5}{6}$. Dělit zlomkem znamená násobit jeho převrácenou hodnotou: $-\frac{1}{3} \div \frac{5}{6} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{5} = -\frac{6}{15}$.

Základní tvar

Zlomek $-\frac{6}{15}$ zkrátíme číslem 3, abychom dostali výsledek v základním tvaru: $-\frac{6}{15} = -\frac{2}{5}$.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 4.1

Obdélník o obsahu 2 m² jsme rozdělili na osm shodných trojúhelníků.

Vypočtěte v cm² obsah jednoho trojúhelníku.

Zobrazit odpověď

2 500 cm²

1 bod
Úloha 4.2

Při příjezdu na letiště bylo ohlášené zpoždění odletu letadla 1 hodina a 50 minut, ale nakonec bylo zpoždění šestkrát delší.

Vypočtěte v hodinách, jaké bylo nakonec zpoždění odletu letadla.

Zobrazit odpověď

11 hodin

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení času

Původní zpoždění bylo 1 hodina a 50 minut. Aby se nám lépe počítalo šestkrát delší zpoždění, můžeme si tyto dvě části vynásobit zvlášť.

Vynásobení hodin a minut

Nejdříve vynásobíme hodiny: $1 \text{ hodina} \cdot 6 = 6 \text{ hodin}$.
Potom vynásobíme minuty: $50 \text{ minut} \cdot 6 = 300 \text{ minut}$.

Převod minut na hodiny

Víme, že 1 hodina má 60 minut. Vypočítáme, kolik hodin je 300 minut: $300 \div 60 = 5$ hodin.

Celkové zpoždění

Sečteme obě části dohromady: $6 \text{ hodin} + 5 \text{ hodin} = 11$ hodin.
Celkové zpoždění je tedy 11 hodin.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 5.1

V zelené krabičce jsou jen zelené kuličky, v bílé krabičce jen bílé kuličky a v modré krabičce jen modré kuličky. V těchto třech krabičkách je dohromady 180 kuliček. Modrých kuliček je o 10 více než bílých. Aby byl ve všech třech krabičkách stejný počet kuliček, ze zelené krabičky vyndáme 40 kuliček a rozdělíme je do zbývajících dvou krabiček.

Určete počet všech zelených kuliček.

Zobrazit odpověď

100

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cílový stav

Víme, že v krabičkách je dohromady 180 kuliček. Pokud v nich má být na konci stejný počet, musí v každé krabičce být:
180 : 3 = 60 kuliček.

Zelená krabička

Zelená krabička měla na konci 60 kuliček. Víme ale, že jsme z ní předtím 40 kuliček vyndali. Před vyndáním v ní tedy muselo být o těchto 40 kuliček více:
60 + 40 = 100 kuliček.

Závěr

Původní počet zelených kuliček byl 100.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 5.2

V zelené krabičce jsou jen zelené kuličky, v bílé krabičce jen bílé kuličky a v modré krabičce jen modré kuličky. V těchto třech krabičkách je dohromady 180 kuliček. Modrých kuliček je o 10 více než bílých. Aby byl ve všech třech krabičkách stejný počet kuliček, ze zelené krabičky vyndáme 40 kuliček a rozdělíme je do zbývajících dvou krabiček.

Určete, kolik zelených kuliček přendáme do bílé krabičky.

Zobrazit odpověď

25

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cílový stav

Víme, že v krabičkách je dohromady 180 kuliček. Aby byl v každé krabičce stejný počet, musíme je rozdělit na tři stejné díly:
180 : 3 = 60 kuliček.
V každé krabičce tedy nakonec bude 60 kuliček.

Původní počty kuliček

V zelené krabičce bylo původně 100 kuliček (60, které v ní zůstaly, plus 40, které jsme vyndali).
V bílé a modré krabičce dohromady tedy muselo být:
180 - 100 = 80 kuliček.

Bílá a modrá krabička

Modrých kuliček je o 10 více než bílých. Pokud bychom od jejich společného počtu (80) odečetli tento rozdíl (10), zbylo by nám 70 kuliček. Tyto kuličky by byly rozděleny spravedlivě napůl:
70 : 2 = 35 kuliček.
V bílé krabičce tedy bylo na začátku 35 kuliček.

Počet přidaných kuliček

V bílé krabičce bylo 35 kuliček a po přidání kuliček ze zelené krabičky jich má být 60. Rozdíl nám řekne, kolik kuliček jsme do ní přisypali:
60 - 35 = 25 kuliček.

Závěr

Do bílé krabičky přendáme 25 kuliček.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 5.3

V zelené krabičce jsou jen zelené kuličky, v bílé krabičce jen bílé kuličky a v modré krabičce jen modré kuličky. V těchto třech krabičkách je dohromady 180 kuliček. Modrých kuliček je o 10 více než bílých. Aby byl ve všech třech krabičkách stejný počet kuliček, ze zelené krabičky vyndáme 40 kuliček a rozdělíme je do zbývajících dvou krabiček.

Určete počet všech modrých kuliček.

Zobrazit odpověď

45

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Stejný počet kuliček v krabičkách

Všech kuliček v krabičkách je dohromady 180. Pokud má být po přesunu v každé ze tří krabiček stejný počet kuliček, musí jich v každé být:
$180 \div 3 = 60$ kuliček.

Počet kuliček v zelené krabičce

V zadání se píše, že ze zelené krabičky vyndáme 40 kuliček, aby v ní zůstal stejný počet jako v ostatních (tedy 60). Původně v ní tedy muselo být:
$60 + 40 = 100$ kuliček.

Bílá a modrá krabička dohromady

Když víme, že v zelené krabičce bylo 100 kuliček z celkových 180, v bílé a modré krabičce dohromady bylo:
$180 - 100 = 80$ kuliček.

Výpočet modrých kuliček

Víme, že modrých kuliček je o 10 více než bílých. Pokud bychom si těch 10 kuliček, které jsou navíc, dali na chvíli stranou, zbylo by nám:
$80 - 10 = 70$ kuliček.
Tento počet (70) by byl u obou krabiček stejný, takže v každé by bylo:
$70 \div 2 = 35$ kuliček.
V bílé krabičce tedy bylo 35 kuliček. V modré bylo o 10 více než v bílé:
$35 + 10 = 45$ kuliček.

Závěr

V modré krabičce je 45 kuliček.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 6.1

Třídy 7. A a 7. B se zúčastnily soutěže, která měla tři kola. V tabulce jsou uvedeny počty bodů, které třídy získaly v jednotlivých kolech soutěže, některé údaje však chybí.

Třída 7.A získala v každém následujícím kole vždy o 25 % bodů více než v kole předchozím.

Vypočtěte, kolik bodů v soutěži získaly dohromady obě třídy.

Zobrazit odpověď

260

2 body
Úloha 6.2

Třídy 7. A a 7. B se zúčastnily soutěže, která měla tři kola. V tabulce jsou uvedeny počty bodů, které třídy získaly v jednotlivých kolech soutěže, některé údaje však chybí.

Třída 7.B získala v 1. kole o 6 bodů více než ve 2. kole a ve 3. kole dvakrát více bodů než ve 2. kole.

Vypočtěte, kolik bodů získaly dohromady obě třídy ve 2. kole soutěže.

Zobrazit odpověď

73

2 body
Úloha 7.1

Dva shodné obdélníky mají rozměry 2 cm a 6 cm. Jeden z obdélníků byl rozstřižen na dva nestejné obdélníkové díly. Poměr obsahů většího a menšího dílu je 3 ∶ 1. K sestavení nového obrazce se použil jeden celý obdélník a větší díl druhého obdélníku.

Vypočtěte v cm² obsah nového obrazce.

Zobrazit odpověď

21 cm²

1 bod
Úloha 7.2

Dva shodné obdélníky mají rozměry 2 cm a 6 cm. Jeden z obdélníků byl rozstřižen na dva nestejné obdélníkové díly. Poměr obsahů většího a menšího dílu je 3 ∶ 1. K sestavení nového obrazce se použil jeden celý obdélník a větší díl druhého obdélníku.

Vypočtěte v cm obvod nového obrazce.

Zobrazit odpověď

25 cm

2 body
Úloha 8

V rovině leží body D, K, L a přímka o.

Bod D je vrchol rovnoběžníku ABCD. V osové souměrnosti s osou o je bod K obrazem vrcholu A rovnoběžníku ABCD a bod L obrazem vrcholu B tohoto rovnoběžníku.

1. Sestrojte vrcholy A, B rovnoběžníku ABCD a označte je písmeny.
2. Sestrojte vrchol C rovnoběžníku ABCD, označte jej písmenem a rovnoběžník narýsujte.

Zobrazit odpověď
Odpověď
3 body
Úloha 9

V rovině leží body C, S₁ a S₂.

Bod C je vrchol trojúhelníku ABC a body S₁, S₂ jsou středy dvou stran tohoto trojúhelníku.

Sestrojte vrcholy A, B trojúhelníku ABC, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna 3 řešení.

Zobrazit odpověď
Odpověď
3 body
Úloha 10.1
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

V grafu jsou znázorněny počty dívek a počty chlapců v jazykových školách A a B.Ve škole A je v každé třídě 10 dětí a ve škole B je v každé třídě 20 dětí.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Ve škole A je o polovinu méně chlapců než ve škole B.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění počtu chlapců z grafu

V grafu se podíváme na skupinu sloupců označenou „Chlapci“. Černý sloupec, který patří škole A, sahá k hodnotě 60. Šedý sloupec, který patří škole B, sahá k hodnotě 120.

Výpočet poloviny

Tvrzení říká, že ve škole A je o polovinu méně chlapců než ve škole B. Vypočítáme tedy, kolik je polovina z počtu chlapců ve škole B:
$120 : 2 = 60$

Závěr

Zjistili jsme, že ve škole A je 60 chlapců, což je přesně o polovinu méně než 120. Tvrzení je pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 10.2
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

V grafu jsou znázorněny počty dívek a počty chlapců v jazykových školách A a B.Ve škole A je v každé třídě 10 dětí a ve škole B je v každé třídě 20 dětí.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Ve škole B je o třetinu více chlapců než dívek.

Zobrazit odpověď

Ne

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění počtů z grafu

Z grafu odečteme počty pro školu B (šedé sloupce):
  • Počet dívek ve škole B: 80
  • Počet chlapců ve škole B: 120

Porovnání počtu chlapců a dívek

Zjistíme, o kolik více je ve škole B chlapců než dívek:
$120 - 80 = 40$
Chlapců je tedy o 40 více.

Ověření tvrzení

Tvrzení říká, že chlapců je „o třetinu více než dívek“. To znamená, že rozdíl by měl odpovídat jedné třetině z počtu dívek.
Vypočítáme jednu třetinu z 80:
$80 : 3 = 26,\overline{6}$ (přibližně 26,7)
Protože rozdíl 40 není roven jedné třetině z 80 (rozdíl 40 je ve skutečnosti přesně polovina z 80), tvrzení je nepravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 10.3
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

V grafu jsou znázorněny počty dívek a počty chlapců v jazykových školách A a B.Ve škole A je v každé třídě 10 dětí a ve škole B je v každé třídě 20 dětí.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Ve škole B je o třetinu méně tříd než ve škole A.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění počtu dětí ve škole A

Z grafu vyčteme počty dětí pro školu A (černé sloupce):
  • Dívky: 90
  • Chlapci: 60
Celkový počet dětí ve škole A je: $90 + 60 = 150$.

Zjištění počtu dětí ve škole B

Z grafu vyčteme počty dětí pro školu B (šedé sloupce):
  • Dívky: 80
  • Chlapci: 120
Celkový počet dětí ve škole B je: $80 + 120 = 200$.

Výpočet počtu tříd

Nyní vypočítáme počet tříd v každé škole podle zadaného počtu dětí na třídu:
  • Škola A (10 dětí na třídu): $150 : 10 = 15$ tříd
  • Škola B (20 dětí na třídu): $200 : 20 = 10$ tříd

Ověření tvrzení

Máme zjistit, zda je ve škole B o třetinu méně tříd než ve škole A.
Třetina z počtu tříd školy A je: $15 : 3 = 5$.
O třetinu méně než 15 je: $15 - 5 = 10$.
Počet tříd ve škole B (10) přesně odpovídá vypočtené hodnotě.

Závěr

Tvrzení je pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 11

V dětské hře se smí provádět pouze následující nákupy:
– za 5 mincí lze koupit 6 panáčků,
– za 20 mincí lze koupit 9 zvířátek.

Pepa si chce koupit stejný počet panáčků jako zvířátek.

Kolik nejméně mincí k takovému nákupu potřebuje?

  • A) méně než 55 mincí
  • D) 110 mincí
  • B) 55 mincí
  • E) více než 110 mincí
  • C) 85 mincí
Zobrazit odpověď

B

2 body
Úloha 12

Celý povrch dřevěného kvádru, jehož síť je na obrázku, jsme obarvili modrou barvou. Obarvený kvádr jsme beze zbytku rozřezali na malé krychličky o hraně délky 1 cm.

Kolik krychliček vzniklo rozřezáním kvádru?

  • A) 10
  • D) 48
  • B) 20
  • E) jiný počet
  • C) 28
Zobrazit odpověď

B

2 body
Úloha 13

Celý povrch dřevěného kvádru, jehož síť je na obrázku, jsme obarvili modrou barvou. Obarvený kvádr jsme beze zbytku rozřezali na malé krychličky o hraně délky 1 cm.

Kolik vzniklých krychliček má právě dvě modré stěny?

  • A) 6
  • D) 20
  • B) 8
  • E) jiný počet
  • C) 12
Zobrazit odpověď

C

2 body
Úloha 14

Lichoběžník ABCD má základny AB, CD, vnitřní úhly při vrcholech A, C mají velikosti α, y . Úhly označené v obrázku stejnými písmeny mají stejnou velikost.

Jaký je součet velikostí úhlů α+γ?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

  • A) 80°
  • D) 100°
  • B) 85°
  • E) větší než 100°
  • C) 90°
Zobrazit odpověď

A

2 body
Úloha 15.1

Škola má celkem 250 žáků, ale dnes je ve škole jen 200 žáků, ostatní chybí.

Kolik procent žáků školy dnes chybí?

  • A) 20 %
  • D) 30 %
  • B) 25 %
  • E) 32 %
  • C) 27 %
  • F) jiný počet procent
Zobrazit odpověď

A

2 body
Úloha 15.2

Ze 132 žáků školy se pět šestin zúčastnilo soutěže. Nejlepších 33 žáků bylo za úspěch v soutěži odměněno.

Kolik procent soutěžících žáků bylo odměněno?

  • A) 20 %
  • D) 30 %
  • B) 25 %
  • E) 32 %
  • C) 27 %
  • F) jiný počet procent
Zobrazit odpověď

D

2 body
Úloha 15.3

Obor A studuje 270 žáků, což je 18 % všech žáků školy. Obor B téže školy studuje 480 žáků.

Kolik procent žáků školy studuje obor B?

  • A) 20 %
  • D) 30 %
  • B) 25 %
  • E) 32 %
  • C) 27 %
  • F) jiný počet procent
Zobrazit odpověď

E

2 body
Úloha 16.1

Ve výloze obchodu jsou dvě reklamní lišty se žárovkami.
Na kratší liště jsou 4 žárovky a na delší liště je 6 žárovek. Na počátku žádná žárovka nesvítí.
Na kratší i delší liště se v 1. sekundě rozsvítí první žárovka zleva, ve 2. sekundě ještě druhá žárovka, ve 3. sekundě ještě třetí žárovka atd.
Jakmile jsou na některé liště rozsvíceny všechny žárovky, od další sekundy začínají žárovky na této liště postupně zhasínat, a to ve stejném pořadí, v němž se rozsvěcovaly.
Jakmile na liště zhasnou všechny žárovky, od další sekundy se začnou žárovky na této liště opět rozsvěcovat. Celý cyklus se u každé lišty opakuje stále dokola.

Určete, v kolikáté sekundě bude poprvé na kratší liště rozsvíceno více žárovek než na delší liště.

Zobrazit odpověď

11

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza kratší lišty (4 žárovky)

Kratší lišta má 4 žárovky. Podle pravidel se žárovky rozsvěcují a zhasínají v tomto cyklu:
  • 1.–4. sekunda: Postupně se rozsvěcují (na konci 4. sekundy svítí všechny 4 žárovky).
  • 5.–8. sekunda: Postupně zhasínají ve stejném pořadí, v jakém se rozsvěcovaly (v 5. sekundě zhasne 1. žárovka, v 6. sekundě 2. žárovka atd.).
Počet svítících žárovek v 1. až 8. sekundě je tedy: 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0. Poté se cyklus opakuje.

Analýza delší lišty (6 žárovek)

Delší lišta má 6 žárovek a její cyklus vypadá následovně:
  • 1.–6. sekunda: Postupně se rozsvěcují (1, 2, 3, 4, 5, 6 svítících žárovek).
  • 7.–12. sekunda: Postupně zhasínají (5, 4, 3, 2, 1, 0 svítících žárovek).
Celý cyklus trvá 12 sekund a pak začíná znovu od začátku.

Porovnání obou lišt

Budeme sledovat počet svítících žárovek v jednotlivých sekundách a hledat moment, kdy je jich na kratší liště více:
  • 1.–4. s: Počty jsou na obou lištách stejné (1, 2, 3, 4).
  • 5.–10. s: Na delší liště svítí buď více žárovek, nebo je jich stejně (např. v 10. sekundě svítí na obou lištách 2 žárovky).
  • 11. s: Na kratší liště svítí 3 žárovky (běží druhý cyklus, po 8. sekundě jsou to hodnoty 1, 2, 3). Na delší liště svítí pouze 1 žárovka (blíží se konec jejího prvního cyklu).

Závěr

V 11. sekundě poprvé nastane situace, kdy na kratší liště svítí více žárovek než na delší (3 > 1).
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 16.2

Ve výloze obchodu jsou dvě reklamní lišty se žárovkami.
Na kratší liště jsou 4 žárovky a na delší liště je 6 žárovek. Na počátku žádná žárovka nesvítí.
Na kratší i delší liště se v 1. sekundě rozsvítí první žárovka zleva, ve 2. sekundě ještě druhá žárovka, ve 3. sekundě ještě třetí žárovka atd.
Jakmile jsou na některé liště rozsvíceny všechny žárovky, od další sekundy začínají žárovky na této liště postupně zhasínat, a to ve stejném pořadí, v němž se rozsvěcovaly.
Jakmile na liště zhasnou všechny žárovky, od další sekundy se začnou žárovky na této liště opět rozsvěcovat. Celý cyklus se u každé lišty opakuje stále dokola.

Určete, kolik žárovek bude rozsvíceno na delší liště v 57. sekundě.

Zobrazit odpověď

3

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor cyklu delší lišty

Na delší liště je celkem 6 žárovek. Podle popisu v zadání se žárovky nejdříve postupně rozsvěcují (1. až 6. sekunda) a od další sekundy začínají postupně zhasínat ve stejném pořadí. Celý průběh vypadá takto:
  • 1. až 6. sekunda: postupně se rozsvítí 1, 2, 3, 4, 5 a nakonec všech 6 žárovek.
  • 7. až 12. sekunda: žárovky postupně zhasínají (v 7. sekundě zhasne první, zůstává 5; v 8. sekundě zhasne druhá, zůstávají 4 atd.).
V 12. sekundě zhasne i poslední žárovka a od 13. sekundy začíná nový cyklus. Jeden úplný cyklus delší lišty tedy trvá 12 sekund.

Výpočet času v cyklu

Potřebujeme zjistit stav v 57. sekundě. Zjistíme, kolikátá sekunda cyklu to je, tím, že 57 vydělíme délkou cyklu (12):
$57 : 12 = 4$ (zbytek $9$)
To znamená, že proběhly 4 celé cykly a v 57. sekundě se nacházíme v 9. sekundě aktuálního cyklu.

Určení počtu rozsvícených žárovek

Nyní určíme, kolik žárovek svítí v 9. sekundě cyklu. Víme, že po 6. sekundě (kdy svítilo všech 6 žárovek) začínají žárovky zhasínat:
  • 7. sekunda: zhasne 1. žárovka $\rightarrow$ svítí 5 žárovek
  • 8. sekunda: zhasne 2. žárovka $\rightarrow$ svítí 4 žárovky
  • 9. sekunda: zhasne 3. žárovka $\rightarrow$ svítí 3 žárovky
V 57. sekundě bude tedy na delší liště rozsvíceno 3 žárovek.

Závěr

Na delší liště budou v 57. sekundě rozsvíceny 3 žárovky.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 16.3

Ve výloze obchodu jsou dvě reklamní lišty se žárovkami.
Na kratší liště jsou 4 žárovky a na delší liště je 6 žárovek. Na počátku žádná žárovka nesvítí.
Na kratší i delší liště se v 1. sekundě rozsvítí první žárovka zleva, ve 2. sekundě ještě druhá žárovka, ve 3. sekundě ještě třetí žárovka atd.
Jakmile jsou na některé liště rozsvíceny všechny žárovky, od další sekundy začínají žárovky na této liště postupně zhasínat, a to ve stejném pořadí, v němž se rozsvěcovaly.
Jakmile na liště zhasnou všechny žárovky, od další sekundy se začnou žárovky na této liště opět rozsvěcovat. Celý cyklus se u každé lišty opakuje stále dokola.

Určete, kolik žárovek bude dohromady rozsvíceno na obou lištách v 91. sekundě.

Zobrazit odpověď

8

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza cyklu kratší lišty

Kratší lišta má 4 žárovky. Žárovky se postupně rozsvěcují (1., 2., 3. a 4. sekunda), čímž se rozsvítí všechny 4. Od další sekundy začínají postupně zhasínat ve stejném pořadí (5., 6., 7. a 8. sekunda). Celý cyklus se tedy opakuje každých 8 sekund (4 sekundy rozsvěcování a 4 sekundy zhasínání). Po 8 sekundách jsou všechny žárovky zhasnuté a od 9. sekundy začíná cyklus znovu.

Stav kratší lišty v 91. sekundě

Zjistíme, ve které fázi cyklu se kratší lišta nachází v 91. sekundě. Vydělíme 91 délkou cyklu:
$91 : 8 = 11$ (zbytek 3).
To znamená, že proběhlo 11 celých cyklů a lišta je právě ve 3. sekundě svého 12. cyklu. Ve 3. sekundě jsou na této liště rozsvíceny 3 žárovky.

Analýza cyklu delší lišty

Delší lišta má 6 žárovek. Rozsvěcování trvá 6 sekund a zhasínání trvá dalších 6 sekund. Celý cyklus má tedy délku $6 + 6 = 12$ sekund. Každých 12 sekund se stav lišty vrátí do výchozího bodu (všechny zhasnuté).

Stav delší lišty v 91. sekundě

Zjistíme fázi cyklu pro delší lištu:
$91 : 12 = 7$ (zbytek 7).
Jsme tedy v 7. sekundě aktuálního cyklu. Protože rozsvěcování trvalo prvních 6 sekund (kdy se rozsvítilo všech 6 žárovek), v 7. sekundě začíná zhasínání. První žárovka zleva zhasne, takže jich zůstane rozsvíceno $6 - 1 = 5$. V 91. sekundě na delší liště svítí 5 žárovek.

Celkový počet žárovek

Nyní sečteme svítící žárovky z obou lišt:
$3 + 5 = 8$
V 91. sekundě bude dohromady rozsvíceno 8 žárovek.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body