Načítání…
Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 7. ročník

Podkategorie: Matematika 7. ročník — 2. řádný termín 2021

29 úloh

PDF+Klíč
Úloha 1

Vypočtěte:

$\displaystyle 0,012 \div 0,4+0,2 \cdot 0,2 =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor výrazu

Ve výrazu máme sčítání, násobení a dělení. Nejdříve musíme provést dělení a násobení (mají přednost), a teprve potom oba výsledky sečteme.

Výpočet dělení a násobení

Nejdříve vypočítáme dělení: $0,012 : 0,4$. Aby se nám lépe dělilo, můžeme obě čísla vynásobit deseti, čímž získáme $0,12 : 4 = 0,03$.
Potom vypočítáme násobení: $0,2 \cdot 0,2 = 0,04$.

Sečtení výsledků

Nakonec oba dílčí výsledky sečteme: $0,03 + 0,04 = 0,07$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

0,07

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.1
2 podúlohy: 3 b.; 1 podúloha: 2 b.; 0 podúloh: 0 b.

Na číselné ose je zobrazeno deset stejných dílků, číslo A = $\displaystyle \frac{1}{4}$ , číslo B = 0,75 a neznámé číslo C.

K odpovídajícímu bodu číselné osy zapište číslo 0 a bod na ose zvýrazněte.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor číselné osy

Na číselné ose máme vyznačena čísla $A = \frac{1}{4}$ (což je $0,25$) a $B = 0,75$. Nejdříve zjistíme, jaký je mezi těmito body rozdíl:
$0,75 - 0,25 = 0,5$

Výpočet velikosti jednoho dílku

Mezi body A a B napočítáme na obrázku přesně $2$ stejné dílky. Pokud tyto dva dílky dohromady odpovídají hodnotě $0,5$, pak jeden dílek musí mít hodnotu:
$0,5 : 2 = 0,25$

Určení polohy čísla 0

Číslo $A$ má hodnotu $0,25$. Protože jeden dílek na ose má také hodnotu $0,25$, bude číslo $0$ ležet přesně o jeden dílek vlevo od bodu $A$.
Číslo $0$ tedy zapíšeme k prvnímu vyznačenému bodu na číselné ose a tento bod zvýrazníme.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Úlohy 2.1 a 2.2 se hodnotí společně. Celkové hodnocení se započítá pouze jednou, maximálně 3 body.

Body se určují podle počtu správně vyřešených podúloh. Úlohu 2.1 vyhodnotíte porovnáním se vzorovým řešením. Úloha 2.2 se vyhodnotí automaticky.

Vzorové řešení výše.

2 podúlohy

1 podúloha

0 podúloh

Zdroj: Matematika 7. ročník — 2. řádný termín 2021, úloha 2

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body za skupinu
Úloha 2.2
2 podúlohy: 3 b.; 1 podúloha: 2 b.; 0 podúloh: 0 b.

Na číselné ose je zobrazeno deset stejných dílků, číslo A = $\displaystyle \frac{1}{4}$ , číslo B = 0,75 a neznámé číslo C.

Určete číslo C.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor číselné osy

Na číselné ose vidíme celkem 10 stejných dílků. Číslo $A = \frac{1}{4}$ (což je $0,25$) se nachází na sedmé značce (pokud počítáme od začátku osy). Číslo $B = 0,75$ se nachází na poslední, jedenácté značce.

Výpočet velikosti jednoho dílku

Mezi čísly $A$ a $B$ napočítáme přesně 4 stejné dílky. Nejdříve určíme vzdálenost mezi těmito body:
$0,75 - 0,25 = 0,50$
Tuto vzdálenost rozdělíme mezi 4 dílky, abychom zjistili velikost jednoho z nich:
$0,50 : 4 = 0,125$
Jeden dílek na ose má tedy hodnotu $0,125$ (neboli $\frac{1}{8}$).

Určení čísla C

Bod $C$ se nachází na druhé značce od začátku osy. Z obrázku vidíme, že od bodu $A$ k bodu $C$ musíme jít o 5 dílků doleva. Číslo $C$ tedy vypočítáme tak, že od hodnoty bodu $A$ odečteme pět dílků:
$C = 0,25 - 5 \cdot 0,125$
$C = 0,25 - 0,625 = -0,375$

Zápis výsledku

Číslo $-0,375$ můžeme zapsat také pomocí zlomku v základním tvaru:
$-0,375 = -\frac{375}{1000} = -\frac{3}{8}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-3/8

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Úlohy 2.1 a 2.2 se hodnotí společně. Celkové hodnocení se započítá pouze jednou, maximálně 3 body.

Body se určují podle počtu správně vyřešených podúloh. Úlohu 2.1 vyhodnotíte porovnáním se vzorovým řešením. Úloha 2.2 se vyhodnotí automaticky.

Vzorové řešení výše.

2 podúlohy

1 podúloha

0 podúloh

Zdroj: Matematika 7. ročník — 2. řádný termín 2021, úloha 2

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body za skupinu
Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \left( \frac{9}{10} - \frac{5}{4} + \frac{1}{2} \right) \cdot 5=$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet v závorce

Nejdříve vypočítáme výraz v závorce. Pro zlomky se jmenovateli 10, 4 a 2 najdeme společného jmenovatele, kterým je číslo 20. Zlomky rozšíříme tak, aby měly vespod toto číslo:
$\frac{9}{10} = \frac{18}{20}$
$\frac{5}{4} = \frac{25}{20}$
$\frac{1}{2} = \frac{10}{20}$

Krok 2: Sečtení a odečtení v závorce

Nyní provedeme operace uvnitř závorky:
$\frac{18}{20} - \frac{25}{20} + \frac{10}{20} = \frac{18 - 25 + 10}{20} = \frac{3}{20}$

Krok 3: Násobení

Výsledek ze závorky vynásobíme číslem 5:
$\frac{3}{20} \cdot 5 = \frac{3 \cdot 5}{20} = \frac{15}{20}$

Krok 4: Základní tvar

Výsledný zlomek $\frac{15}{20}$ ještě upravíme na základní tvar tak, že čitatele i jmenovatele vydělíme číslem 5:
$\frac{15}{20} = \mathbf{\frac{3}{4}}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

3/4

Stav úlohy
2 body
Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \left( \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} - 1 \right) \div \frac{5}{6} =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Násobení v závorce

Nejdříve vypočítáme násobení uvnitř závorky: $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9}$. Zlomky si můžeme zkrátit (3 s 9 a 8 se 4), čímž dostaneme $\frac{1}{1} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$.

Odčítání v závorce

Nyní dokončíme výpočet v závorce odečtením jedničky: $\frac{2}{3} - 1 = \frac{2}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{1}{3}$.

Dělení zlomků

Výsledek závorky vydělíme zlomkem $\frac{5}{6}$. Dělit zlomkem znamená násobit jeho převrácenou hodnotou: $-\frac{1}{3} \div \frac{5}{6} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{5} = -\frac{6}{15}$.

Základní tvar

Zlomek $-\frac{6}{15}$ zkrátíme číslem 3, abychom dostali výsledek v základním tvaru: $-\frac{6}{15} = -\frac{2}{5}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-2/5

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.1

Obdélník o obsahu 2 m² jsme rozdělili na osm shodných trojúhelníků.

Vypočtěte v cm² obsah jednoho trojúhelníku.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod jednotek obsahu

Nejprve si převedeme celkový obsah obdélníku z metrů čtverečních ($m^2$) na centimetry čtvereční ($cm^2$).
Víme, že:
$1\text{ m} = 100\text{ cm}$
Pro jednotky obsahu platí:
$1\text{ m}^2 = 100 \times 100\text{ cm}^2 = 10\,000\text{ cm}^2$
Celkový obsah obdélníku v $cm^2$ je tedy:
$2\text{ m}^2 = 2 \times 10\,000\text{ cm}^2 = 20\,000\text{ cm}^2$

Obsah jednoho trojúhelníku

Obdélník jsme rozdělili na $8$ shodných trojúhelníků. Obsah jednoho trojúhelníku získáme tak, že celkový obsah obdélníku vydělíme osmi:
$20\,000\text{ cm}^2 : 8 = 2\,500\text{ cm}^2$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

2 500 cm²

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.2

Při příjezdu na letiště bylo ohlášené zpoždění odletu letadla 1 hodina a 50 minut, ale nakonec bylo zpoždění šestkrát delší.

Vypočtěte v hodinách, jaké bylo nakonec zpoždění odletu letadla.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení času

Původní zpoždění bylo 1 hodina a 50 minut. Aby se nám lépe počítalo šestkrát delší zpoždění, můžeme si tyto dvě části vynásobit zvlášť.

Vynásobení hodin a minut

Nejdříve vynásobíme hodiny: $1 \text{ hodina} \cdot 6 = 6 \text{ hodin}$.
Potom vynásobíme minuty: $50 \text{ minut} \cdot 6 = 300 \text{ minut}$.

Převod minut na hodiny

Víme, že 1 hodina má 60 minut. Vypočítáme, kolik hodin je 300 minut: $300 \div 60 = 5$ hodin.

Celkové zpoždění

Sečteme obě části dohromady: $6 \text{ hodin} + 5 \text{ hodin} = 11$ hodin.
Celkové zpoždění je tedy 11 hodin.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

11 hodin

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.1

V zelené krabičce jsou jen zelené kuličky, v bílé krabičce jen bílé kuličky a v modré krabičce jen modré kuličky. V těchto třech krabičkách je dohromady 180 kuliček. Modrých kuliček je o 10 více než bílých. Aby byl ve všech třech krabičkách stejný počet kuliček, ze zelené krabičky vyndáme 40 kuliček a rozdělíme je do zbývajících dvou krabiček.

Určete počet všech zelených kuliček.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cílový stav

Víme, že v krabičkách je dohromady 180 kuliček. Pokud v nich má být na konci stejný počet, musí v každé krabičce být:
180 : 3 = 60 kuliček.

Zelená krabička

Zelená krabička měla na konci 60 kuliček. Víme ale, že jsme z ní předtím 40 kuliček vyndali. Před vyndáním v ní tedy muselo být o těchto 40 kuliček více:
60 + 40 = 100 kuliček.

Závěr

Původní počet zelených kuliček byl 100.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

100

Stav úlohy
1 bod
Úloha 5.2

V zelené krabičce jsou jen zelené kuličky, v bílé krabičce jen bílé kuličky a v modré krabičce jen modré kuličky. V těchto třech krabičkách je dohromady 180 kuliček. Modrých kuliček je o 10 více než bílých. Aby byl ve všech třech krabičkách stejný počet kuliček, ze zelené krabičky vyndáme 40 kuliček a rozdělíme je do zbývajících dvou krabiček.

Určete, kolik zelených kuliček přendáme do bílé krabičky.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cílový stav

Víme, že v krabičkách je dohromady 180 kuliček. Aby byl v každé krabičce stejný počet, musíme je rozdělit na tři stejné díly:
180 : 3 = 60 kuliček.
V každé krabičce tedy nakonec bude 60 kuliček.

Původní počty kuliček

V zelené krabičce bylo původně 100 kuliček (60, které v ní zůstaly, plus 40, které jsme vyndali).
V bílé a modré krabičce dohromady tedy muselo být:
180 - 100 = 80 kuliček.

Bílá a modrá krabička

Modrých kuliček je o 10 více než bílých. Pokud bychom od jejich společného počtu (80) odečetli tento rozdíl (10), zbylo by nám 70 kuliček. Tyto kuličky by byly rozděleny spravedlivě napůl:
70 : 2 = 35 kuliček.
V bílé krabičce tedy bylo na začátku 35 kuliček.

Počet přidaných kuliček

V bílé krabičce bylo 35 kuliček a po přidání kuliček ze zelené krabičky jich má být 60. Rozdíl nám řekne, kolik kuliček jsme do ní přisypali:
60 - 35 = 25 kuliček.

Závěr

Do bílé krabičky přendáme 25 kuliček.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

25

Stav úlohy
1 bod
Úloha 5.3

V zelené krabičce jsou jen zelené kuličky, v bílé krabičce jen bílé kuličky a v modré krabičce jen modré kuličky. V těchto třech krabičkách je dohromady 180 kuliček. Modrých kuliček je o 10 více než bílých. Aby byl ve všech třech krabičkách stejný počet kuliček, ze zelené krabičky vyndáme 40 kuliček a rozdělíme je do zbývajících dvou krabiček.

Určete počet všech modrých kuliček.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Stejný počet kuliček v krabičkách

Všech kuliček v krabičkách je dohromady 180. Pokud má být po přesunu v každé ze tří krabiček stejný počet kuliček, musí jich v každé být:
$180 \div 3 = 60$ kuliček.

Počet kuliček v zelené krabičce

V zadání se píše, že ze zelené krabičky vyndáme 40 kuliček, aby v ní zůstal stejný počet jako v ostatních (tedy 60). Původně v ní tedy muselo být:
$60 + 40 = 100$ kuliček.

Bílá a modrá krabička dohromady

Když víme, že v zelené krabičce bylo 100 kuliček z celkových 180, v bílé a modré krabičce dohromady bylo:
$180 - 100 = 80$ kuliček.

Výpočet modrých kuliček

Víme, že modrých kuliček je o 10 více než bílých. Pokud bychom si těch 10 kuliček, které jsou navíc, dali na chvíli stranou, zbylo by nám:
$80 - 10 = 70$ kuliček.
Tento počet (70) by byl u obou krabiček stejný, takže v každé by bylo:
$70 \div 2 = 35$ kuliček.
V bílé krabičce tedy bylo 35 kuliček. V modré bylo o 10 více než v bílé:
$35 + 10 = 45$ kuliček.

Závěr

V modré krabičce je 45 kuliček.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

45

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.1

Třídy 7. A a 7. B se zúčastnily soutěže, která měla tři kola. V tabulce jsou uvedeny počty bodů, které třídy získaly v jednotlivých kolech soutěže, některé údaje však chybí.

Třída 7.A získala v každém následujícím kole vždy o 25 % bodů více než v kole předchozím.

Vypočtěte, kolik bodů v soutěži získaly dohromady obě třídy.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet bodů třídy 7. A

Třída 7. A získala ve 2. kole 40 bodů. Podle zadání získala v každém následujícím kole o 25 % bodů více než v předchozím. To znamená:
  • Počet bodů ve 2. kole (40) je o 25 % větší než v 1. kole. Tedy 40 bodů představuje 125 % bodů z 1. kola. Body v 1. kole spočítáme jako:
    40 : 1,25 = 32 bodů.
  • Ve 3. kole získala o 25 % více než ve 2. kole (40). 25 % ze 40 je jedna čtvrtina, tedy 10 bodů. Ve 3. kole tak získala:
    40 + 10 = 50 bodů.
Nyní sečteme body třídy 7. A ze všech tří kol:
32 + 40 + 50 = 122 bodů.

Celkový součet bodů

Z tabulky víme, že celkový součet bodů za všechna kola pro třídu 7. B je 138 bodů.
Dohromady obě třídy získaly:
122 + 138 = 260 bodů.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

260

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.2

Třídy 7. A a 7. B se zúčastnily soutěže, která měla tři kola. V tabulce jsou uvedeny počty bodů, které třídy získaly v jednotlivých kolech soutěže, některé údaje však chybí.

Třída 7.B získala v 1. kole o 6 bodů více než ve 2. kole a ve 3. kole dvakrát více bodů než ve 2. kole.

Vypočtěte, kolik bodů získaly dohromady obě třídy ve 2. kole soutěže.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor bodů třídy 7. B

Z tabulky víme, že třída 7. B získala celkem 138 bodů. Body v jednotlivých kolech si můžeme vyjádřit pomocí počtu bodů ve 2. kole, které si označíme jako $x$: - 2. kolo: $x$ bodů - 1. kolo: o 6 bodů více než ve 2. kole, tedy $x + 6$ bodů - 3. kolo: dvakrát více bodů než ve 2. kole, tedy $2x$ bodů

Výpočet bodů třídy 7. B ve 2. kole

Součet bodů ze všech tří kol pro třídu 7. B je 138. Sestavíme rovnici:
$(x + 6) + x + 2x = 138$
$4x + 6 = 138$
$4x = 132$
$x = 33$

Třída 7. B získala ve 2. kole 33 bodů.

Celkový počet bodů ve 2. kole

Z tabulky vyčteme, že třída 7. A získala ve 2. kole 40 bodů. Počet bodů obou tříd dohromady ve 2. kole vypočteme jako součet: $40 + 33 = 73$ bodů.

Dohromady obě třídy ve 2. kole získaly 73 bodů.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

73

Stav úlohy
2 body
Úloha 7.1

Dva shodné obdélníky mají rozměry 2 cm a 6 cm. Jeden z obdélníků byl rozstřižen na dva nestejné obdélníkové díly. Poměr obsahů většího a menšího dílu je 3 ∶ 1. K sestavení nového obrazce se použil jeden celý obdélník a větší díl druhého obdélníku.

Vypočtěte v cm² obsah nového obrazce.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah jednoho obdélníku

Každý ze dvou shodných obdélníků má rozměry $2\text{ cm}$ a $6\text{ cm}$. Obsah jednoho celého obdélníku vypočítáme jako součin délek jeho stran:
$S = 2 \cdot 6 = 12\text{ cm}^2$

Rozdělení druhého obdélníku

Druhý obdélník je rozstřižen na dva díly v poměru $3 \colon 1$.
Celý obsah obdélníku ($12\text{ cm}^2$) si představíme rozdělený na $3 + 1 = 4$ stejné části.
Obsah jedné části (menšího dílu) je:
$12 \colon 4 = 3\text{ cm}^2$
Větší díl se skládá ze $3$ těchto částí, jeho obsah je:
$3 \cdot 3 = 9\text{ cm}^2$

Obsah nového obrazce

Nový obrazec vznikne složením jednoho celého obdélníku a většího dílu druhého obdélníku.
Obsah nového obrazce spočítáme sečtením obou částí:
$12 + 9 = 21\text{ cm}^2$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

21 cm²

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.2

Dva shodné obdélníky mají rozměry 2 cm a 6 cm. Jeden z obdélníků byl rozstřižen na dva nestejné obdélníkové díly. Poměr obsahů většího a menšího dílu je 3 ∶ 1. K sestavení nového obrazce se použil jeden celý obdélník a větší díl druhého obdélníku.

Vypočtěte v cm obvod nového obrazce.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry většího dílu

Původní obdélník má rozměry 2 cm a 6 cm, jeho obsah je tedy $2 \cdot 6 = 12\text{ cm}^2$.
Jeden obdélník byl rozstřižen na dvě části v poměru obsahů $3 \colon 1$. Celkový obsah $12\text{ cm}^2$ rozdělíme na $3 + 1 = 4$ stejné díly:
  • Jeden díl (menší část) má obsah: $12 \colon 4 = 3\text{ cm}^2$
  • Větší část má obsah: $3 \cdot 3 = 9\text{ cm}^2$
Jelikož je střih svislý, šířka (výška) obdélníku zůstává 2 cm. Druhý rozměr většího dílu určíme z obsahu:
$S = 2 \cdot d = 9\text{ cm}^2 \implies d = 4{,}5\text{ cm}$.
Větší díl má tedy rozměry 2 cm a 4,5 cm.

Obvod nového obrazce

Nový obrazec se skládá z celého obdélníku (6 cm $\times$ 2 cm) a většího dílu (4,5 cm $\times$ 2 cm), které spolu sousedí podél svislé strany o délce 2 cm.
Sečteme délky všech vnějších stran nového útvaru:
  • spodní vodorovná strana: $6\text{ cm} + 2\text{ cm} = 8\text{ cm}$
  • pravá svislá strana: $4{,}5\text{ cm}$
  • horní vodorovná strana pravého obdélníku: $2\text{ cm}$
  • vnitřní svislý schod: $4{,}5\text{ cm} - 2\text{ cm} = 2{,}5\text{ cm}$
  • horní vodorovná strana levého obdélníku: $6\text{ cm}$
  • levá svislá strana: $2\text{ cm}$
Celkový obvod: $8 + 4{,}5 + 2 + 2{,}5 + 6 + 2 = 25\text{ cm}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

25 cm

Stav úlohy
2 body
Úloha 8

V rovině leží body D, K, L a přímka o.

Bod D je vrchol rovnoběžníku ABCD. V osové souměrnosti s osou o je bod K obrazem vrcholu A rovnoběžníku ABCD a bod L obrazem vrcholu B tohoto rovnoběžníku.

1. Sestrojte vrcholy A, B rovnoběžníku ABCD a označte je písmeny.
2. Sestrojte vrchol C rovnoběžníku ABCD, označte jej písmenem a rovnoběžník narýsujte.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Je-li konstrukce správná, toleruje se nepatrná nepřesnost.

Konstrukce obsahuje právě jeden z následujících nedostatků:

  • mírné nepřesnosti v konstrukci (nikoli chybná konstrukce),
  • jsou správně sestrojeny vrcholy A, B, ale místo rovnoběžníku ABCD je sestrojen rovnoběžník ABDC, resp. obrazec ABCD není rovnoběžník,
  • právě jeden z vrcholů A, B je sestrojen chybně,
  • oba vrcholy A, B jsou sestrojeny nepřesně a přímky AK, LB jsou rovnoběžné (pouze malá odchylka přímky obraz-vzor od správného směru).

Vrcholy A, B jsou sestrojeny chybně (osa nepůlí úsečku obraz-vzor apod.), rovnoběžník ABCD je sestrojen správně.

Vrcholy A, B nejsou sestrojeny, případně je vytvořen rovnoběžník DKLC, resp. jiné chybné konstrukce.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 2. řádný termín 2021, úloha 8

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 9

V rovině leží body C, S₁ a S₂.

Bod C je vrchol trojúhelníku ABC a body S₁, S₂ jsou středy dvou stran tohoto trojúhelníku.

Sestrojte vrcholy A, B trojúhelníku ABC, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna 3 řešení.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Je-li konstrukce všech tří řešení správná, toleruje se nepatrná nepřesnost.

Nastane jedna z následujících situací:

  • Jsou sestrojeny pouze dva z požadovaných trojúhelníků.
  • Kromě všech tří správných trojúhelníků jsou sestrojeny ještě strany nebo vrcholy trojúhelníků nevyhovujících zadání.

Je sestrojen pouze jeden z požadovaných trojúhelníků.

Není sestrojen žádný z požadovaných trojúhelníků.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 2. řádný termín 2021, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 10.1
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

V grafu jsou znázorněny počty dívek a počty chlapců v jazykových školách A a B.Ve škole A je v každé třídě 10 dětí a ve škole B je v každé třídě 20 dětí.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Ve škole A je o polovinu méně chlapců než ve škole B.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění počtu chlapců z grafu

V grafu se podíváme na skupinu sloupců označenou „Chlapci“. Černý sloupec, který patří škole A, sahá k hodnotě 60. Šedý sloupec, který patří škole B, sahá k hodnotě 120.

Výpočet poloviny

Tvrzení říká, že ve škole A je o polovinu méně chlapců než ve škole B. Vypočítáme tedy, kolik je polovina z počtu chlapců ve škole B:
$120 : 2 = 60$

Závěr

Zjistili jsme, že ve škole A je 60 chlapců, což je přesně o polovinu méně než 120. Tvrzení je pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 10.2
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

V grafu jsou znázorněny počty dívek a počty chlapců v jazykových školách A a B.Ve škole A je v každé třídě 10 dětí a ve škole B je v každé třídě 20 dětí.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Ve škole B je o třetinu více chlapců než dívek.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění počtů z grafu

Z grafu odečteme počty pro školu B (šedé sloupce):
  • Počet dívek ve škole B: 80
  • Počet chlapců ve škole B: 120

Porovnání počtu chlapců a dívek

Zjistíme, o kolik více je ve škole B chlapců než dívek:
$120 - 80 = 40$
Chlapců je tedy o 40 více.

Ověření tvrzení

Třetina počtu dívek by po ztrojnásobení dala všech 80 dívek. Rozdíl 40 ale dává 3 · 40 = 120, nikoli 80. Rozdíl tedy není třetinou počtu dívek; je jeho polovinou, protože 2 · 40 = 80. Tvrzení je nepravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 10.3
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

V grafu jsou znázorněny počty dívek a počty chlapců v jazykových školách A a B.Ve škole A je v každé třídě 10 dětí a ve škole B je v každé třídě 20 dětí.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Ve škole B je o třetinu méně tříd než ve škole A.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění počtu dětí ve škole A

Z grafu vyčteme počty dětí pro školu A (černé sloupce):
  • Dívky: 90
  • Chlapci: 60
Celkový počet dětí ve škole A je: $90 + 60 = 150$.

Zjištění počtu dětí ve škole B

Z grafu vyčteme počty dětí pro školu B (šedé sloupce):
  • Dívky: 80
  • Chlapci: 120
Celkový počet dětí ve škole B je: $80 + 120 = 200$.

Výpočet počtu tříd

Nyní vypočítáme počet tříd v každé škole podle zadaného počtu dětí na třídu:
  • Škola A (10 dětí na třídu): $150 : 10 = 15$ tříd
  • Škola B (20 dětí na třídu): $200 : 20 = 10$ tříd

Ověření tvrzení

Máme zjistit, zda je ve škole B o třetinu méně tříd než ve škole A.
Třetina z počtu tříd školy A je: $15 : 3 = 5$.
O třetinu méně než 15 je: $15 - 5 = 10$.
Počet tříd ve škole B (10) přesně odpovídá vypočtené hodnotě.

Závěr

Tvrzení je pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11

V dětské hře se smí provádět pouze následující nákupy:
– za 5 mincí lze koupit 6 panáčků,
– za 20 mincí lze koupit 9 zvířátek.

Pepa si chce koupit stejný počet panáčků jako zvířátek.

Kolik nejméně mincí k takovému nákupu potřebuje?

  • A) méně než 55 mincí
  • D) 110 mincí
  • B) 55 mincí
  • E) více než 110 mincí
  • C) 85 mincí
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Společný počet hraček

Pepa si chce koupit stejný počet panáčků i zvířátek. Panáčky lze kupovat pouze v baleních po 6 kusech, jejich počet tedy musí být násobkem 6. Zvířátka lze kupovat v baleních po 9 kusech, jejich počet tedy musí být násobkem 9. Hledáme nejmenší společný násobek čísel 6 a 9:
  • Násobky 6: 6, 12, 18, 24, ...
  • Násobky 9: 9, 18, 27, ...
Nejmenším společným násobkem je 18. Pepa tedy od každého druhu koupí 18 kusů.

Výpočet mincí za panáčky

Na 18 panáčků Pepa potřebuje:
$18 : 6 = 3\text{ balení}$Za 3 balení panáčků (jedno stojí 5 mincí) zaplatí:
$3 \cdot 5 = 15\text{ mincí}$

Výpočet mincí za zvířátka

Na 18 zvířátek Pepa potřebuje:
$18 : 9 = 2\text{ balení}$Za 2 balení zvířátek (jedno stojí 20 mincí) zaplatí:
$2 \cdot 20 = 40\text{ mincí}$

Celkový počet mincí

Celkem Pepa zaplatí:
$15 + 40 = 55\text{ mincí}$K nákupu potřebuje nejméně 55 mincí, což odpovídá možnosti B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 12

Celý povrch dřevěného kvádru, jehož síť je na obrázku, jsme obarvili modrou barvou. Obarvený kvádr jsme beze zbytku rozřezali na malé krychličky o hraně délky 1 cm.

Kolik krychliček vzniklo rozřezáním kvádru?

  • A) 10
  • D) 48
  • B) 20
  • E) jiný počet
  • C) 28
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor sítě a určení rozměrů kvádru

Ze sítě kvádru na obrázku můžeme vyčíst rozměry jeho tří hran:
  • Jeden čtverec v síti má popsanou hranu délky 2 cm. To znamená, že podstava nebo boční stěna má šířku i výšku 2 cm.
  • U sousedního obdélníku je délka jedné z hran popsaná jako 5 cm.
Složením této sítě vznikne kvádr o rozměrech 2 cm × 2 cm × 5 cm.

Výpočet počtu krychliček

Kvádr rozřežeme na malé krychličky o hraně délky 1 cm.
  • Podél první hrany o délce 2 cm se vejdou 2 krychličky.
  • Podél druhé hrany o délce 2 cm se vejdou 2 krychličky.
  • Podél třetí hrany o délce 5 cm se vejde 5 krychliček.
Celkový počet vzniklých krychliček vypočítáme vynásobením počtu krychliček podél jednotlivých hran:
2 × 2 × 5 = 20

Rozřezáním kvádru tedy vzniklo celkem 20 krychliček.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 13

Celý povrch dřevěného kvádru, jehož síť je na obrázku, jsme obarvili modrou barvou. Obarvený kvádr jsme beze zbytku rozřezali na malé krychličky o hraně délky 1 cm.

Kolik vzniklých krychliček má právě dvě modré stěny?

  • A) 6
  • D) 20
  • B) 8
  • E) jiný počet
  • C) 12
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor sítě a určení rozměrů kvádru

Nejprve určíme rozměry kvádru z jeho sítě. Ze zadání a obrázku vidíme, že sítě se skládají ze stěn s následujícími rozměry:
  • Čtvercové stěny (podstavy) na koncích mají rozměry 2 cm × 2 cm.
  • Boční stěny (plášť) mají šířku odpovídající obvodu podstavy (tedy 2 cm) a délku (výšku) kvádru 5 cm.
Kvádr má tedy rozměry 2 cm × 2 cm × 5 cm.

Rozřezání na krychličky

Kvádr o rozměrech 2 cm × 2 cm × 5 cm rozřežeme na krychličky o hraně 1 cm.
  • Celkový počet krychliček je $2 \cdot 2 \cdot 5 = 20$.
  • Podél hran kvádru se nacházejí krychličky, které budou mít po obarvení povrchu kvádru obarvené 2 nebo 3 stěny.

Určení počtu krychliček s právě dvěma modrými stěnami

Krychličky s právě dvěma modrými stěnami jsou ty, které leží na hranách kvádru, ale ne v jeho rozích (krychličky v rozích mají právě 3 modré stěny).

Kvádr má 12 hran:
  1. 8 hran o délce 2 cm (4 na jedné čtvercové podstavě a 4 na druhé podstavě):
    • Každá tato hrana má délku 2 cm, což odpovídá 2 krychličkám.
    • Obě tyto krychličky jsou však zároveň v rozích kvádru (mají tedy 3 obarvené stěny).
    • Na těchto hranách tedy neleží žádná krychlička s právě 2 obarvenými stěnami ($8 \cdot 0 = 0$).
  2. 4 hrany o délce 5 cm (boční hrany spojující podstavy):
    • Každá tato hrana má délku 5 cm, což odpovídá 5 krychličkám.
    • Krajní 2 krychličky na každé hraně jsou rohové (mají 3 obarvené stěny).
    • Mezi nimi zůstávají $5 - 2 = 3$ vnitřní krychličky, které mají obarvené právě 2 stěny.
    • Pro všechny 4 boční hrany to je dohromady: $4 \cdot 3 = 12$ krychliček.
Celkem má právě dvě modré stěny $0 + 12 = 12$ krychliček.

Závěr

Právě dvě modré stěny má celkem 12 krychliček. Správná možnost je C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 14

Lichoběžník ABCD má základny AB, CD, vnitřní úhly při vrcholech A, C mají velikosti α, y . Úhly označené v obrázku stejnými písmeny mají stejnou velikost.

Jaký je součet velikostí úhlů α+γ?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

  • A) 80°
  • D) 100°
  • B) 85°
  • E) větší než 100°
  • C) 90°
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení úhlu γ z trojúhelníku BCD

Pravá horní část obrázku tvoří trojúhelník BCD. Všechny tři jeho vnitřní úhly (u vrcholů B, C i D) jsou označeny stejným symbolem γ. Protože součet vnitřních úhlů v každém trojúhelníku je $180^\circ$, platí:
$3 \cdot \gamma = 180^\circ$
$\gamma = 60^\circ$

Vyjádření úhlu u vrcholu D

Celý vnitřní úhel lichoběžníku u vrcholu D (označme ho jako $\angle ADC$) se skládá ze tří částí rozdělených úsečkami vycházejícími z bodu D. Jejich velikosti jsou postupně $2\alpha$, $\gamma$ a $\gamma$.
Velikost úhlu $\angle ADC$ je tedy:
$\angle ADC = 2\alpha + \gamma + \gamma = 2\alpha + 2\gamma$

Výpočet úhlu α

V lichoběžníku ABCD jsou základny AB a CD rovnoběžné. Součet vnitřních úhlů přilehlých k rameni AD (tedy úhlu $\alpha$ u vrcholu A a úhlu $\angle ADC$ u vrcholu D) musí být roven $180^\circ$.
Platí:
$\alpha + \angle ADC = 180^\circ$
$\alpha + 2\alpha + 2\gamma = 180^\circ$
$3\alpha + 2\gamma = 180^\circ$

Dosadíme $\gamma = 60^\circ$:
$3\alpha + 2 \cdot 60^\circ = 180^\circ$
$3\alpha + 120^\circ = 180^\circ$
$3\alpha = 60^\circ$
$\alpha = 20^\circ$

Výpočet součtu α + γ

Sečteme velikosti obou úhlů:
$\alpha + \gamma = 20^\circ + 60^\circ = 80^\circ$

Správná odpověď je A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.1

Škola má celkem 250 žáků, ale dnes je ve škole jen 200 žáků, ostatní chybí.

Kolik procent žáků školy dnes chybí?

  • A) 20 %
  • D) 30 %
  • B) 25 %
  • E) 32 %
  • C) 27 %
  • F) jiný počet procent
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení počtu chybějících žáků

Nejprve zjistíme, kolik žáků dnes ve škole chybí. Škola má celkem 250 žáků a přítomno je 200 žáků. Chybí tedy:
250 - 200 = 50 žáků.

Výpočet procent

Nyní určíme, jakou část z celku 250 žáků tvoří 50 chybějících žáků. Postupujeme přes 1 %:
Základ (100 %) je 250 žáků.
1 % ze základu je:
250 : 100 = 2,5 žáka.
Počet chybějících žáků (50) vydělíme hodnotou pro 1 % (2,5):
50 : 2,5 = 20
Chybějící žáci tedy tvoří 20 % z celkového počtu.

Závěr

Vypočítaná hodnota 20 % odpovídá možnosti A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.2

Ze 132 žáků školy se pět šestin zúčastnilo soutěže. Nejlepších 33 žáků bylo za úspěch v soutěži odměněno.

Kolik procent soutěžících žáků bylo odměněno?

  • A) 20 %
  • D) 30 %
  • B) 25 %
  • E) 32 %
  • C) 27 %
  • F) jiný počet procent
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet soutěžících žáků

Nejprve určíme, kolik žáků se soutěže zúčastnilo. Celkový počet žáků školy je 132. Víme, že se soutěže zúčastnilo pět šestin z nich:
$\frac{5}{6} \text{ ze } 132 = (132 : 6) \cdot 5 = 22 \cdot 5 = 110$
Soutěže se tedy zúčastnilo 110 žáků.

Podíl odměněných žáků

Nyní zjistíme, jakou část ze všech soutěžících tvoří 33 odměněných žáků. Tento podíl vyjádříme zlomkem:
$\frac{33}{110}$
Zlomek můžeme zkrátit číslem 11:
$\frac{33 : 11}{110 : 11} = \frac{3}{10}$

Převod na procenta

Zlomek $\frac{3}{10}$ snadno převedeme na procenta (setiny):
$\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 30\ \%$
Odměněno bylo 30 % soutěžících žáků. Správná odpověď je tedy D.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.3

Obor A studuje 270 žáků, což je 18 % všech žáků školy. Obor B téže školy studuje 480 žáků.

Kolik procent žáků školy studuje obor B?

  • A) 20 %
  • D) 30 %
  • B) 25 %
  • E) 32 %
  • C) 27 %
  • F) jiný počet procent
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet celkového počtu žáků školy

Ze zadání víme, že obor A studuje 270 žáků, což představuje 18 % všech žáků školy.
Nejprve spočítáme, kolik žáků představuje 1 %:
270 : 18 = 15 žáků.

Celá škola (100 %) má tedy:
15 * 100 = 1500 žáků.

Výpočet procentuálního zastoupení oboru B

Obor B studuje 480 žáků. Chceme zjistit, jakou část z celkového počtu 1500 žáků tvoří.
Jelikož 1 % je 15 žáků, vydělíme počet žáků oboru B tímto číslem:
480 : 15 = 32 %.

Určení správné možnosti

Obor B studuje 32 % všech žáků školy, což odpovídá možnosti E.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.1

Ve výloze obchodu jsou dvě reklamní lišty se žárovkami.
Na kratší liště jsou 4 žárovky a na delší liště je 6 žárovek. Na počátku žádná žárovka nesvítí.
Na kratší i delší liště se v 1. sekundě rozsvítí první žárovka zleva, ve 2. sekundě ještě druhá žárovka, ve 3. sekundě ještě třetí žárovka atd.
Jakmile jsou na některé liště rozsvíceny všechny žárovky, od další sekundy začínají žárovky na této liště postupně zhasínat, a to ve stejném pořadí, v němž se rozsvěcovaly.
Jakmile na liště zhasnou všechny žárovky, od další sekundy se začnou žárovky na této liště opět rozsvěcovat. Celý cyklus se u každé lišty opakuje stále dokola.

Určete, v kolikáté sekundě bude poprvé na kratší liště rozsvíceno více žárovek než na delší liště.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza kratší lišty (4 žárovky)

Kratší lišta má 4 žárovky. Podle pravidel se žárovky rozsvěcují a zhasínají v tomto cyklu:
  • 1.–4. sekunda: Postupně se rozsvěcují (na konci 4. sekundy svítí všechny 4 žárovky).
  • 5.–8. sekunda: Postupně zhasínají ve stejném pořadí, v jakém se rozsvěcovaly (v 5. sekundě zhasne 1. žárovka, v 6. sekundě 2. žárovka atd.).
Počet svítících žárovek v 1. až 8. sekundě je tedy: 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0. Poté se cyklus opakuje.

Analýza delší lišty (6 žárovek)

Delší lišta má 6 žárovek a její cyklus vypadá následovně:
  • 1.–6. sekunda: Postupně se rozsvěcují (1, 2, 3, 4, 5, 6 svítících žárovek).
  • 7.–12. sekunda: Postupně zhasínají (5, 4, 3, 2, 1, 0 svítících žárovek).
Celý cyklus trvá 12 sekund a pak začíná znovu od začátku.

Porovnání obou lišt

První 4 sekundy jsou počty stejné. Potom kratší lišta zhasíná, zatímco delší ještě dvě sekundy rozsvěcí, a tak delší získá náskok 4 žárovek. V 7. a 8. sekundě obě zhasínají a náskok se nemění. V 8. sekundě tedy na kratší nesvítí nic a na delší svítí 4 žárovky. Od další sekundy kratší přidává jednu svítící žárovku a delší jednu ubírá. Rozdíl se každou sekundu zmenší o 2. Vyrovná se za $4 : 2 = 2$ sekundy, tedy v $8 + 2 = 10$. Kratší lišta bude mít poprvé více svítících žárovek hned v následující, 11. sekundě.

Závěr

V 11. sekundě poprvé nastane situace, kdy na kratší liště svítí více žárovek než na delší (3 > 1).
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

11

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.2

Ve výloze obchodu jsou dvě reklamní lišty se žárovkami.
Na kratší liště jsou 4 žárovky a na delší liště je 6 žárovek. Na počátku žádná žárovka nesvítí.
Na kratší i delší liště se v 1. sekundě rozsvítí první žárovka zleva, ve 2. sekundě ještě druhá žárovka, ve 3. sekundě ještě třetí žárovka atd.
Jakmile jsou na některé liště rozsvíceny všechny žárovky, od další sekundy začínají žárovky na této liště postupně zhasínat, a to ve stejném pořadí, v němž se rozsvěcovaly.
Jakmile na liště zhasnou všechny žárovky, od další sekundy se začnou žárovky na této liště opět rozsvěcovat. Celý cyklus se u každé lišty opakuje stále dokola.

Určete, kolik žárovek bude rozsvíceno na delší liště v 57. sekundě.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor cyklu delší lišty

Na delší liště je celkem 6 žárovek. Podle popisu v zadání se žárovky nejdříve postupně rozsvěcují (1. až 6. sekunda) a od další sekundy začínají postupně zhasínat ve stejném pořadí. Celý průběh vypadá takto:
  • 1. až 6. sekunda: postupně se rozsvítí 1, 2, 3, 4, 5 a nakonec všech 6 žárovek.
  • 7. až 12. sekunda: žárovky postupně zhasínají (v 7. sekundě zhasne první, zůstává 5; v 8. sekundě zhasne druhá, zůstávají 4 atd.).
V 12. sekundě zhasne i poslední žárovka a od 13. sekundy začíná nový cyklus. Jeden úplný cyklus delší lišty tedy trvá 12 sekund.

Výpočet času v cyklu

Potřebujeme zjistit stav v 57. sekundě. Zjistíme, kolikátá sekunda cyklu to je, tím, že 57 vydělíme délkou cyklu (12):
$57 : 12 = 4$ (zbytek $9$)
To znamená, že proběhly 4 celé cykly a v 57. sekundě se nacházíme v 9. sekundě aktuálního cyklu.

Určení počtu rozsvícených žárovek

Nyní určíme, kolik žárovek svítí v 9. sekundě cyklu. Víme, že po 6. sekundě (kdy svítilo všech 6 žárovek) začínají žárovky zhasínat:
  • 7. sekunda: zhasne 1. žárovka $\rightarrow$ svítí 5 žárovek
  • 8. sekunda: zhasne 2. žárovka $\rightarrow$ svítí 4 žárovky
  • 9. sekunda: zhasne 3. žárovka $\rightarrow$ svítí 3 žárovky
V 57. sekundě bude tedy na delší liště rozsvíceno 3 žárovek.

Závěr

Na delší liště budou v 57. sekundě rozsvíceny 3 žárovky.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

3

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.3

Ve výloze obchodu jsou dvě reklamní lišty se žárovkami.
Na kratší liště jsou 4 žárovky a na delší liště je 6 žárovek. Na počátku žádná žárovka nesvítí.
Na kratší i delší liště se v 1. sekundě rozsvítí první žárovka zleva, ve 2. sekundě ještě druhá žárovka, ve 3. sekundě ještě třetí žárovka atd.
Jakmile jsou na některé liště rozsvíceny všechny žárovky, od další sekundy začínají žárovky na této liště postupně zhasínat, a to ve stejném pořadí, v němž se rozsvěcovaly.
Jakmile na liště zhasnou všechny žárovky, od další sekundy se začnou žárovky na této liště opět rozsvěcovat. Celý cyklus se u každé lišty opakuje stále dokola.

Určete, kolik žárovek bude dohromady rozsvíceno na obou lištách v 91. sekundě.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza cyklu kratší lišty

Kratší lišta má 4 žárovky. Žárovky se postupně rozsvěcují (1., 2., 3. a 4. sekunda), čímž se rozsvítí všechny 4. Od další sekundy začínají postupně zhasínat ve stejném pořadí (5., 6., 7. a 8. sekunda). Celý cyklus se tedy opakuje každých 8 sekund (4 sekundy rozsvěcování a 4 sekundy zhasínání). Po 8 sekundách jsou všechny žárovky zhasnuté a od 9. sekundy začíná cyklus znovu.

Stav kratší lišty v 91. sekundě

Zjistíme, ve které fázi cyklu se kratší lišta nachází v 91. sekundě. Vydělíme 91 délkou cyklu:
$91 : 8 = 11$ (zbytek 3).
To znamená, že proběhlo 11 celých cyklů a lišta je právě ve 3. sekundě svého 12. cyklu. Ve 3. sekundě jsou na této liště rozsvíceny 3 žárovky.

Analýza cyklu delší lišty

Delší lišta má 6 žárovek. Rozsvěcování trvá 6 sekund a zhasínání trvá dalších 6 sekund. Celý cyklus má tedy délku $6 + 6 = 12$ sekund. Každých 12 sekund se stav lišty vrátí do výchozího bodu (všechny zhasnuté).

Stav delší lišty v 91. sekundě

Zjistíme fázi cyklu pro delší lištu:
$91 : 12 = 7$ (zbytek 7).
Jsme tedy v 7. sekundě aktuálního cyklu. Protože rozsvěcování trvalo prvních 6 sekund (kdy se rozsvítilo všech 6 žárovek), v 7. sekundě začíná zhasínání. První žárovka zleva zhasne, takže jich zůstane rozsvíceno $6 - 1 = 5$. V 91. sekundě na delší liště svítí 5 žárovek.

Celkový počet žárovek

Nyní sečteme svítící žárovky z obou lišt:
$3 + 5 = 8$
V 91. sekundě bude dohromady rozsvíceno 8 žárovek.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

8

Stav úlohy
2 body