Načítání…
Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 7. ročník

Podkategorie: Matematika 7. ročník — 2. náhradní termín 2021

30 úloh

PDF+Klíč
Úloha 1.1

Vypočtěte:

$\displaystyle -0,5 \cdot 0,2 - 0,1 \cdot \left( 3-8 \right) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet v závorce

Nejdříve vypočítáme hodnotu v závorce:
$3 - 8 = -5$

Krok 2: Násobení

V dalším kroku provedeme obě násobení v příkladu. Musíme dát pozor na znaménka:
$-0,5 \cdot 0,2 = -0,1$
$0,1 \cdot (-5) = -0,5$

Krok 3: Dokončení výpočtu

Nyní oba výsledky spojíme podle zadání. Nezapomeňte, že odečtení záporného čísla je stejné jako přičtení čísla kladného:
$-0,1 - (-0,5) = -0,1 + 0,5 = 0,4$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

0,4

Stav úlohy
1 bod
Úloha 1.2

Vypočtěte:

$\displaystyle \frac{0,25}{0,025} \div 0,2=$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjednodušení zlomku

Nejdříve vypočítáme hodnotu zlomku $\frac{0,25}{0,025}$. Aby se nám lépe počítalo, vynásobíme čitatele i jmenovatele číslem $1000$ (posuneme desetinnou čárku o tři místa doprava). Tím se zbavíme desetinných čísel a získáme celá čísla:
$\frac{0,25}{0,025} = \frac{250}{25} = 10$

Dělení výsledku

Nyní musíme výsledek z prvního kroku ($10$) vydělit číslem $0,2$. Počítáme tedy:
$10 \div 0,2$
To je stejné jako počítat $100 \div 2$, protože si obě čísla můžeme vynásobit deseti:
$100 \div 2 = 50$

Závěr

Výsledkem celého příkladu je číslo $50$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

50

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.1

Řeka Labe protéká pouze dvěma státy a délka celého jejího toku je 1094 km. V Německu je tok Labe o 352 km delší než v České republice.

Vypočtěte délku toku Labe v Německu.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění rozdílu

Celková délka toku je 1094 km. V Německu je řeka o 352 km delší. Pokud tento „přebytek“ od celkové délky odečteme, dostaneme délku, kterou by Labe mělo, kdyby v obou státech teklo stejnou vzdálenost (rovnou délce v ČR).
$1094 - 352 = 742$ km

Výpočet délky v ČR

Těchto 742 km nyní tvoří dvě stejné části. Jedna z nich je délka toku v České republice.
$742 : 2 = 371$ km

Výpočet délky v Německu

Víme, že v Německu je tok o 352 km delší než v ČR. K vypočítané délce v ČR tedy tento rozdíl přičteme.
$371 + 352 = 723$ km

Odpověď

Délka toku Labe v Německu je 723 km.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

723

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.2

Zahrada měla výměru 1799 m². Při stavbě nového plotu se posunutím sloupků výměra zahrady zvětšila o 250 dm².

Vypočtěte v m² novou výměru zahrady.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod jednotek

Pro výpočet nové výměry v metrech čtverečních ($m^2$) musíme nejprve převést zvětšení zahrady z decimetrů čtverečních ($dm^2$) na metry čtvereční.
Víme, že vztah mezi těmito jednotkami je:$1\text{ m}^2 = 100\text{ dm}^2$Zvětšení o $250\text{ dm}^2$ tedy vyjádříme v metrech čtverečních tak, že hodnotu vydělíme $100$:$250 : 100 = 2,5\text{ m}^2$

Výpočet nové výměry

K původní výměře zahrady ($1799\text{ m}^2$) přičteme zvětšení vyjádřené v metrech čtverečních ($2,5\text{ m}^2$):$1799 + 2,5 = 1801,5\text{ m}^2$Nová výměra zahrady je 1801,5 m².
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1801,5 m²

Stav úlohy
1 bod
Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \left( \frac{5}{8} - \frac{5}{12} \right) \cdot 4 - 2 \cdot \left( \frac{3}{4} - \frac{2}{3} \right) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První část výrazu

Nejdříve vypočítáme hodnotu v první závorce. Společným jmenovatelem čísel 8 a 12 je číslo 24.
$\left( \frac{5}{8} - \frac{5}{12} \right) = \frac{15 - 10}{24} = \frac{5}{24}$
Tento výsledek nyní vynásobíme čtyřmi:
$\frac{5}{24} \cdot 4 = \frac{5}{6}$

Druhá část výrazu

Poté vypočítáme hodnotu ve druhé závorce. Společným jmenovatelem čísel 4 a 3 je číslo 12.
$\left( \frac{3}{4} - \frac{2}{3} \right) = \frac{9 - 8}{12} = \frac{1}{12}$
Tento výsledek vynásobíme dvěma:
$2 \cdot \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Odečtení a zjednodušení

Nakonec od prvního výsledku odečteme druhý:
$\frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6}$
Zlomek zkrátíme na základní tvar:
$\frac{4}{6} = \mathbf{\frac{2}{3}}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

2/3

Stav úlohy
2 body
Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{27}{10} \cdot \frac{5}{9} - 4 \right) \div 3}{5} =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Násobení v závorce

Nejdříve vypočítáme součin zlomků v závorce. Zlomky si můžeme před násobením zkrátit (27 s 9 číslem 9 a 5 s 10 číslem 5):
$\frac{27}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{3}{2}$

Odčítání v závorce

Od výsledku násobení odečteme číslo 4. Číslo 4 si převedeme na zlomek se stejným jmenovatelem:
$\frac{3}{2} - 4 = \frac{3}{2} - \frac{8}{2} = -\frac{5}{2}$

Dělení v čitateli

Výsledek v závorce vydělíme číslem 3 (což je stejné jako násobení jednou třetinou):
$-\frac{5}{2} : 3 = -\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{5}{6}$

Celkový výsledek

Nakonec celý výraz v čitateli vydělíme jmenovatelem celého zlomku, tedy číslem 5:
$-\frac{5}{6} : 5 = -\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{5} = -\frac{1}{6}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-1/6

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.1

Na trati závodila 3 autíčka. První autíčko ujelo závod za 1 minutu a 42 sekund. Druhé autíčko ujelo závod za dobu o třetinu kratší než první autíčko. První autíčko ujelo závod za dobu o třetinu kratší než třetí autíčko.

Vypočtěte v minutách a sekundách, za jakou dobu ujelo závod druhé autíčko.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod času prvního autíčka

První autíčko ujelo závod za 1 minutu a 42 sekund. Aby se nám lépe počítalo, převedeme si tento čas na sekundy. Protože 1 minuta má 60 sekund, vypočítáme: $60 + 42 = 102$ sekund.

Výpočet třetiny času

Druhé autíčko ujelo závod za dobu o třetinu kratší než první autíčko. Nejprve tedy zjistíme, kolik sekund je jedna třetina z času prvního autíčka: $102 : 3 = 34$ sekund.

Čas druhého autíčka v sekundách

Čas druhého autíčka byl o tuto třetinu kratší, takže ji od času prvního autíčka odečteme: $102 - 34 = 68$ sekund.

Převod na minuty a sekundy

Nakonec čas 68 sekund převedeme zpět na minuty a sekundy. Víme, že 60 sekund je 1 minuta, takže nám zbude 8 sekund. Druhé autíčko ujelo závod za 1 minutu a 8 sekund.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

01:08 minut a sekund

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.2

Na trati závodila 3 autíčka. První autíčko ujelo závod za 1 minutu a 42 sekund. Druhé autíčko ujelo závod za dobu o třetinu kratší než první autíčko. První autíčko ujelo závod za dobu o třetinu kratší než třetí autíčko.

Vypočtěte v minutách a sekundách, za jakou dobu ujelo závod třetí autíčko.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na sekundy

Nejdříve si čas prvního autíčka převedeme na sekundy, aby se nám lépe počítalo. Jedna minuta má 60 sekund.
1 min 42 s = 60 s + 42 s = 102 s

Porovnání s třetím autíčkem

V zadání se píše, že první autíčko mělo čas o třetinu kratší než třetí autíčko. To znamená, že pokud čas třetího autíčka rozdělíme na 3 stejné díly (třetiny), čas prvního autíčka odpovídá dvěma těmto dílům (protože 3 díly − 1 díl = 2 díly).

Výpočet jednoho dílu

Víme, že 102 sekund jsou dva díly času třetího autíčka. Jeden díl (třetinu) vypočítáme tak, že 102 vydělíme dvěma:
102 s : 2 = 51 s

Čas třetího autíčka

Třetí autíčko mělo čas odpovídající třem těmto dílům:
3 · 51 s = 153 s

Výsledek

Nakonec výsledek převedeme zpět na minuty a sekundy. Víme, že 2 minuty jsou 120 sekund (2 · 60 = 120).
153 s = 120 s + 33 s = 2 min 33 s
Třetí autíčko ujelo závod za 2 minuty a 33 sekund.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

02:33 minut a sekund

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.1

V dětské hře se smí provádět pouze následující nákupy:
– za 5 mincí lze koupit 3 autíčka,
– za 3 mince lze koupit 4 figurky.

Amélie si chce koupit několik autíček a dvakrát tolik figurek.

Určete nejmenší počet mincí, které k takovému nákupu potřebuje.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Požadovaný počet autíček

Čtyři figurky z jednoho balíčku připadají na dvě autíčka. Počet autíček proto musí být sudý. Současně musí být násobkem 3, protože se prodávají po třech.

Nejmenší nákup

Balíček tří autíček má lichý počet kusů. Aby byl celkový počet sudý, potřebujeme sudý počet těchto balíčků, nejméně dva. Koupíme tedy $2 \times 3 = 6$ autíček a $2 \times 6 = 12$ figurek, tedy tři balíčky figurek.

Cena

Autíčka stojí $2 \times 5 = 10$ mincí, figurky $3 \times 3 = 9$ mincí. Nejméně potřebujeme $10 + 9 = 19$ mincí.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

19

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.2

V dětské hře se smí provádět pouze následující nákupy:
– za 5 mincí lze koupit 3 autíčka,
– za 3 mince lze koupit 4 figurky.

Franta si chce koupit přesně o 10 autíček více než figurek.

Určete nejmenší počet mincí, které k takovému nákupu potřebuje.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Balíčky a rozdíl

Autíčka se kupují po třech, figurky po čtyřech. Autíček má být o 10 více než figurek, takže počet figurek zvětšený o 10 musí jít rozdělit na celé trojice.

Zbytky po trojicích

Ze čtyř figurek v každém balíčku vytvoříme jednu trojici a jedna figurka zbude. Z přidané desítky vytvoříme tři trojice a jedna také zbude. Aby zbytky vytvořily celé trojice, potřebujeme k této jedné nejméně dvě další, tedy nejméně dva balíčky figurek.

Nejmenší nákup

Dva balíčky obsahují $2 \times 4 = 8$ figurek. Autíček bude $8 + 10 = 18$, tedy $18 : 3 = 6$ balíčků. Více figurek by znamenalo i více autíček, a tedy vyšší cenu.

Cena

Za autíčka zaplatí $6 \times 5 = 30$ mincí, za figurky $2 \times 3 = 6$ mincí. Celkem potřebuje nejméně $30 + 6 = 36$ mincí.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

36

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.1

V bílé krabičce jsou jen bílé kuličky, v zelené krabičce jsou jen zelené kuličky a v modré krabičce jsou jen modré kuličky. Bílých kuliček je 12 a modrých 60.
Do bílé krabičky přendáme ze zelené a modré krabičky tolik kuliček, aby byl ve všech třech krabičkách stejný počet kuliček. Ze zelené krabičky tak musíme přendat o 9 kuliček více než z modré krabičky.

Určete počet všech zelených kuliček.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Na začátku máme v krabičkách tyto počty kuliček:
  • Bílá krabička: 12 kuliček
  • Modrá krabička: 60 kuliček
  • Zelená krabička: neznámý počet kuliček
Z modré a zelené krabičky přesuneme část kuliček do bílé, aby v každé krabičce zbyl stejný počet. Označme si počet přesunutých kuliček z modré krabičky jako m. Ze zelené krabičky přesuneme o 9 kuliček více, tedy m + 9 kuliček.

Určení počtu přesunutých kuliček

Po odebrání modrých kuliček zůstane v modré krabičce 60 - m kuliček. Do bílé krabičky k původním 12 kuličkám přibylo m modrých a m + 9 zelených kuliček. Celkem je v ní tedy: 12 + m + m + 9 = 21 + 2m kuliček.

Protože na konci je ve všech krabičkách stejný počet kuliček, porovnáme počet v modré a bílé krabičce: 60 - m = 21 + 2m

Řešíme jednoduchou rovnici: 60 - 21 = 2m + m 39 = 3m m = 13

Z modré krabičky jsme přesunuli 13 kuliček, takže na konci v ní zbylo 60 - 13 = 47 kuliček.

Výpočet počtu zelených kuliček

Ze zelené krabičky jsme přesunuli o 9 kuliček více než z modré, tedy: 13 + 9 = 22 kuliček.

Po odebrání těchto 22 kuliček v ní zbylo 47 kuliček. Původní počet zelených kuliček získáme sečtením zbylých a přesunutých kuliček: 47 + 22 = 69

Zelených kuliček bylo na začátku 69.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

69

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.2

V bílé krabičce jsou jen bílé kuličky, v zelené krabičce jsou jen zelené kuličky a v modré krabičce jsou jen modré kuličky. Bílých kuliček je 12 a modrých 60.
Do bílé krabičky přendáme ze zelené a modré krabičky tolik kuliček, aby byl ve všech třech krabičkách stejný počet kuliček. Ze zelené krabičky tak musíme přendat o 9 kuliček více než z modré krabičky.

Vypočtěte, kolik kuliček zůstane v modré krabičce.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Pojďme si přehledně zapsat, co o počtech kuliček víme na začátku:
  • Bílá krabička na začátku: 12 kuliček
  • Modrá krabička na začátku: 60 kuliček


Do bílé krabičky přendáme kuličky z modré a zelené krabičky tak, aby na konci bylo ve všech třech krabičkách stejně kuliček.

Označme si:
  • Počet kuliček přenesených z modré krabičky do bílé: $m$
  • Počet kuliček přenesených ze zelené krabičky do bílé: $m + 9$ (ze zadání víme, že jich musí být o 9 více než z modré)

Vyjádření konečného počtu kuliček

Konečný počet kuliček v bílé krabičce bude původních 12 kuliček plus všechny kuličky přenesené z modré a zelené krabičky:
$\text{Bílá krabička na konci} = 12 + m + (m + 9) = 21 + 2m$


V modré krabičce po odebrání $m$ kuliček zůstane:
$\text{Modrá krabička na konci} = 60 - m$

Sestavení a řešení rovnice

Protože po přesunu musí být ve všech třech krabičkách stejný počet kuliček, konečné počty v bílé a modré krabičce se musí rovnat:
$21 + 2m = 60 - m$

Rovnici vyřešíme:
$2m + m = 60 - 21$
$3m = 39$
$m = 13$

Z modré krabičky se tedy přemístilo 13 kuliček.

Výpočet zbývajících kuliček v modré krabičce

Na začátku bylo v modré krabičce 60 kuliček, z nichž jsme 13 přendali do bílé:
$60 - 13 = 47$

V modré krabičce zůstane 47 kuliček.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

47

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.3

V bílé krabičce jsou jen bílé kuličky, v zelené krabičce jsou jen zelené kuličky a v modré krabičce jsou jen modré kuličky. Bílých kuliček je 12 a modrých 60.
Do bílé krabičky přendáme ze zelené a modré krabičky tolik kuliček, aby byl ve všech třech krabičkách stejný počet kuliček. Ze zelené krabičky tak musíme přendat o 9 kuliček více než z modré krabičky

Vypočtěte, kolik zelených kuliček přendáme do bílé krabičky.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání a zavedení neznámých

Označme počet kuliček, které přemístíme z modré krabičky do bílé, jako $x$.
Ze zelené krabičky přemístíme o 9 kuliček více než z modré, tedy $x + 9$ kuliček.

Vyjádření počtu kuliček po přesunu

Původně bylo v bílé krabičce 12 kuliček a v modré 60 kuliček.
Po přesunu kuliček bude v obou krabičkách stejný počet:
  • V bílé krabičce: $12 + x + (x + 9) = 21 + 2x$ kuliček
  • V modré krabičce: $60 - x$ kuliček

Výpočet počtu přemístěných kuliček

Počty kuliček v krabičkách se po přesunu rovnají. Můžeme tedy sestavit rovnici:
$21 + 2x = 60 - x$
Rovnici vyřešíme:
$3x = 60 - 21$
$3x = 39$
$x = 13$
Z modré krabičky tedy přemístíme 13 kuliček.

Určení počtu přemístěných zelených kuliček

Zadání se ptá na počet zelených kuliček přemístěných do bílé krabičky. Ten je o 9 větší než počet přemístěných modrých kuliček:
$13 + 9 = 22$
Do bílé krabičky tedy přendáme 22 zelených kuliček.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

22

Stav úlohy
2 body
Úloha 7.1

V pravoúhlém lichoběžníku ABCD s pravým úhlem při vrcholu A má základna AB délku 15 cm.
Poměr délky strany AB ku délce strany CD je 3∶2, poměr délky strany AD ku délce strany CD je 6∶5.
V lichoběžníku ABCD tedy platí: |AB|=15 cm, |∢ BAD|=90°, |AB|∶|CD|=3∶2, |AD|∶|CD|=6∶5

Vypočtěte v cm délku strany AD.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet délky strany CD

Víme, že základna $AB$ měří 15 cm. Ze zadání známe poměr délek základny $AB$ ku $CD$, který je $3 : 2$. To znamená, že délka strany $AB$ odpovídá 3 stejným dílkům a délka strany $CD$ 2 stejným dílkům.
Nejdříve vypočítáme délku jednoho dílku:
$15 : 3 = 5$ cm
Základna $CD$ má 2 tyto dílky, její délka je tedy:
$2 \cdot 5 = 10$ cm

Výpočet délky strany AD

Nyní využijeme druhý poměr, a to délku strany $AD$ ku straně $CD$, který je $6 : 5$.
Víme, že strana $CD$ měří 10 cm a v tomto poměru jí odpovídá 5 dílků.
Jeden dílek v tomto poměru měří:
$10 : 5 = 2$ cm
Strana $AD$ se skládá ze 6 těchto dílků, její délka je tedy:
$6 \cdot 2 = 12$ cm

Závěr

Délka strany $AD$ je 12 cm.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

12 cm

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.2

V pravoúhlém lichoběžníku ABCD s pravým úhlem při vrcholu A má základna AB délku 15 cm.
Poměr délky strany AB ku délce strany CD je 3∶2, poměr délky strany AD ku délce strany CD je 6∶5.
V lichoběžníku ABCD tedy platí: |AB|=15 cm, |∢ BAD|=90°, |AB|∶|CD|=3∶2, |AD|∶|CD|=6∶5

Vypočtěte v cm² obsah lichoběžníku ABCD.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet délky horní základny CD

Ze zadání víme, že poměr délek základny AB ku základně CD je 3 : 2. Délka strany AB je 15 cm.
Můžeme tedy určit hodnotu jednoho dílku v tomto poměru:
15 : 3 = 5 cm.
Základna CD má 2 takové dílky, její délka je tedy:
2 ⋅ 5 cm = 10 cm.

Výpočet výšky lichoběžníku (strany AD)

Poměr délky strany AD ku délce strany CD je 6 : 5. Již jsme vypočítali, že strana CD má délku 10 cm.
Určíme hodnotu jednoho dílku pro tento poměr:
10 : 5 = 2 cm.
Strana AD má 6 takových dílků, její délka je tedy:
6 ⋅ 2 cm = 12 cm.
Protože je lichoběžník pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu A, je strana AD zároveň výškou lichoběžníku.

Výpočet obsahu lichoběžníku

Obsah lichoběžníku vypočítáme pomocí vzorce:
S = ​(a + c) ⋅ v / 2
Kde a = 15 cm (základna AB), c = 10 cm (základna CD) a v = 12 cm (výška AD).
Dosadíme do vzorce:
S = (15 + 10) ⋅ 12 / 2
S = 25 ⋅ 6
S = 150 cm²
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

150 cm²

Stav úlohy
2 body
Úloha 8

V rovině leží úsečka LM a bod U.

Úsečka LM je strana rovnoramenného trojúhelníku KLM.
V tomto trojúhelníku je každé z obou ramen dvakrát delší než základna.
Bod U leží uvnitř trojúhelníku KLM.

Sestrojte vrchol K trojúhelníku KLM, označte jej písmenem a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna 3 řešení.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Je-li konstrukce všech tří řešení správná, toleruje se nepatrná nepřesnost.

Nastane jedna z následujících situací:

  • Jsou sestrojeny pouze dva z požadovaných trojúhelníků.
  • Jsou sestrojeny všechny tři požadované trojúhelníky, ale některé nepřesně.

Je sestrojen pouze jeden z požadovaných trojúhelníků.

Není sestrojen žádný z požadovaných trojúhelníků.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 2. náhradní termín 2021, úloha 8

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 9

V rovině leží body A, S.

Bod A je vrchol obdélníku ABCD a bod S je střed tohoto obdélníku. Vrchol C má od vrcholu D i od středu S stejnou vzdálenost, tedy |CD|=|CS|.

Sestrojte vrcholy B, C, D obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Je-li konstrukce obou řešení správná, toleruje se nepatrná nepřesnost.

Nastane jedna z následujících situací:

  • Oba požadované obdélníky jsou sestrojeny s mírnou nepřesností.
  • Je sestrojen pouze jeden požadovaný obdélník.

Správně je sestrojen pouze vrchol C, obdélníky nejsou dokončeny, resp. jsou sestrojeny chybně.

Chybná konstrukce.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 2. náhradní termín 2021, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 10.1
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou z tmavých čtverců složeny tři útvary A, B, C.
Ke každému útvaru doplňte jediný tmavý čtverec tak, aby byl útvar osově souměrný a měl co nejvíce různých os souměrnosti (sestrojených svisle, vodorovně nebo šikmo).

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Útvar A doplněný o požadovaný čtverec má 4 osy souměrnosti.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 10.2
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou z tmavých čtverců složeny tři útvary A, B, C.
Ke každému útvaru doplňte jediný tmavý čtverec tak, aby byl útvar osově souměrný a měl co nejvíce různých os souměrnosti (sestrojených svisle, vodorovně nebo šikmo).

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Útvar B doplněný o požadovaný čtverec má 2 osy souměrnosti.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 10.3
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou z tmavých čtverců složeny tři útvary A, B, C.
Ke každému útvaru doplňte jediný tmavý čtverec tak, aby byl útvar osově souměrný a měl co nejvíce různých os souměrnosti (sestrojených svisle, vodorovně nebo šikmo).

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Útvar C doplněný o požadovaný čtverec má pouze 1 osu souměrnosti.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11

Jaká je velikost úhlu φ?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

  • A) 128°
  • D) 114°
  • B) 126°
  • E) jiná velikost
  • C) 118°
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku a přenos úhlů

V zadání máme dvě dvojice rovnoběžných přímek:
  • Prostřední a spodní vodorovná přímka jsou rovnoběžné (označeno dvěma čárkami).
  • Levá a pravá svislá přímka jsou také rovnoběžné (označeno jednou a dvěma čárkami).
Díky rovnoběžnosti svislých přímek můžeme přenést úhel 62° z levé svislé přímky na pravou svislou přímku jako souhlasný úhel u horního průsečíku.

Určení úhlů v trojúhelníku

Svislé přímky a vodorovné přímky tvoří trojúhelník, ve kterém známe velikosti vnitřních úhlů:
  • Jeden vnitřní úhel má velikost 62° (přenesený z horního průsečíku).
  • Druhý vnitřní úhel u levé svislé přímky a prostřední vodorovné přímky má velikost 66° (je souhlasný k úhlu 66° u spodní vodorovné přímky).

Výpočet úhlu φ

Úhel φ je vnějším úhlem tohoto trojúhelníku u pravé svislé přímky. Velikost vnějšího úhlu se rovná součtu obou vnitřních úhlů u zbývajících vrcholů:
$\phi = 62^\circ + 66^\circ = 128^\circ$


Alternativně můžeme nejprve dopočítat třetí vnitřní úhel trojúhelníku:
$180^\circ - (62^\circ + 66^\circ) = 52^\circ$

Úhel φ je s tímto úhlem vedlejší, takže:
$\phi = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ$

Správná možnost je tedy A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 12

Všechny díly stavebnice jsou pravidelné čtyřboké hranoly s rozměry 1 cm × 1 cm × 2 cm.
Ve stavbě, která má podobu tří spojených kvádrů, jsou jednotlivé díly naskládány bez mezer tak, aby stavba obsahovala co největší počet stojících dílů. Stojící díl má dole čtvercovou stěnu, ležící díl nikoli.

Kolik ležících dílů stavba obsahuje?

  • A) 0
  • D) 18
  • B) 6
  • E) 24
  • C) 12
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor dílků

Dílky stavebnice mají rozměry 1 cm × 1 cm × 2 cm.
  • Stojící dílek má výšku 2 cm a základnu 1 cm × 1 cm.
  • Ležící dílek má výšku 1 cm a základnu 1 cm × 2 cm (nebo 2 cm × 1 cm).
Abychom ve stavbě měli co nejvíce stojících dílků, musíme do každého sloupce o základně 1 cm × 1 cm umístit co nejvíce dílků o výšce 2 cm.

Výšky tří částí stavby

Všechny tři kvádry mají půdorys 3 cm × 4 cm, tedy 12 sloupců o základně 1 cm × 1 cm. Levý je vysoký 6 cm, pravý 5 cm a prostřední 5 + 2 = 7 cm.
Levých 12 sloupců vyplní stojící dílky celé. V každém z 12 prostředních a 12 pravých sloupců musí po umístění co největšího počtu stojících dílků zbýt jedna krychlička výšky 1 cm. Celkem je těchto míst 12 + 12 = 24.

Počet ležících dílů

Ležící díl vyplní dvě sousední místa o objemu jedné krychličky. Je proto potřeba nejméně 24 : 2 = 12 ležících dílů. Tohoto počtu lze dosáhnout: v prostředním kvádru vyplníme stojícími díly výšku 6 cm a v pravém výšku 4 cm. Zbývající horní vrstvu každého z nich pokryjeme 3 · 2 = 6 ležícími díly, položenými ve dvojicích po délce 4 cm.

Závěr

Stavba s co největším počtem stojících dílů obsahuje 12 ležících dílů. Správná odpověď je C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 13

Soutěž měla čtyři kola. V grafu jsou uvedeny výsledky družstva v prvních třech kolech.
Ve 2. kole družstvo získalo o 20 bodů více než ve 3. kole.
Počet bodů získaných v 1. kole je aritmetickým průměrem počtů bodů získaných ve zbývajících třech kolech.

Kolik bodů získalo družstvo ve 4. kole?

  • A) 15 bodů
  • D) 30 bodů
  • B) 20 bodů
  • E) jiný počet bodů
  • C) 25 bodů
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení hodnoty jednoho dílku

Z grafu a popisu zjistíme výšku sloupců ve 2. a 3. kole:
  • 2. kolo: 7 dílků
  • 3. kolo: 3 dílky
Rozdíl mezi 2. a 3. kolem v dílcích je:
$7 - 3 = 4\text{ dílky}$
Podle zadání získalo družstvo ve 2. kole o 20 bodů více než ve 3. kole. Těchto 20 bodů odpovídá rozdílu 4 dílků. Vypočítáme hodnotu jednoho dílku:
$20 : 4 = 5\text{ bodů}$

Výpočet bodů v 1. až 3. kole

Pomocí hodnoty jednoho dílku (5 bodů) určíme počet bodů získaných v jednotlivých kolech:
  • 1. kolo (4 dílky): $4 \times 5 = 20$ bodů
  • 2. kolo (7 dílků): $7 \times 5 = 35$ bodů
  • 3. kolo (3 dílky): $3 \times 5 = 15$ bodů

Výpočet bodů ve 4. kole

Počet bodů v 1. kole (20 bodů) je aritmetickým průměrem počtu bodů ve 2., 3. a 4. kole. Označme počet bodů ve 4. kole jako $x$. Platí vztah:
$\frac{35 + 15 + x}{3} = 20$
Vynásobíme rovnici třemi:
$35 + 15 + x = 60$
$50 + x = 60$
$x = 10$
Ve 4. kole družstvo získalo 10 bodů, což odpovídá možnosti E (jiný počet bodů).
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 14

Ve třídě je o polovinu více chlapců než děvčat.

Které z následujících tvrzení je pravdivé?

  • A) Chlapci tvoří tři pětiny žáků třídy.
  • D) Počet dívek ve třídě je o polovinu menší než počet chlapců.
  • B) Děvčata tvoří 33 % žáků třídy.
  • E) Žádné z výše uvedených tvrzení není pravdivé.
  • C) Počet žáků třídy je trojnásobkem počtu děvčat.
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Ze zadání víme, že ve třídě je o polovinu více chlapců než děvčat. Pokud si počet děvčat označíme jako d, potom je počet chlapců roven:
počet chlapců = d + 0,5d = 1,5d.

Můžeme si představit konkrétní příklad: pokud je děvčat ve třídě 10, pak chlapců je o polovinu více než 10 (polovina z 10 je 5), tedy 15. Celkem je ve třídě 25 žáků. Poměr chlapců a děvčat je 15 : 10, což po zkrácení pěti dává poměr 3 : 2.

Výpočet podílu chlapců a děvčat

Celkový počet žáků si můžeme představit jako 5 stejných dílů (3 díly chlapci a 2 díly děvčata):
  • chlapci tvoří 3/5 celkového počtu žáků
  • děvčata tvoří 2/5 celkového počtu žáků (což je 40 %)

Posouzení jednotlivých tvrzení

Nyní porovnáme naše výsledky s nabízenými možnostmi:
  • Tvrzení A: Chlapci tvoří tři pětiny žáků třídy. To přesně odpovídá našemu výpočtu (3/5). Tvrzení je pravdivé.
  • Tvrzení B: Děvčata tvoří 33 % žáků třídy. Nepravdivé, děvčata tvoří 40 %.
  • Tvrzení C: Počet žáků třídy je trojnásobkem počtu děvčat. Nepravdivé, celkový počet žáků (5 dílů) je 2,5násobkem počtu děvčat (2 díly).
  • Tvrzení D: Počet dívek ve třídě je o polovinu menší než počet chlapců. Nepravdivé, počet dívek je o 1/3 (neboli přibližně o 33,3 %) menší než počet chlapců.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.1

V lednu navštívilo výstavu 350 lidí, v únoru 420 lidí.

O kolik procent byla návštěvnost v únoru vyšší než v lednu?

  • A) o 0 %
  • D) o 30 %
  • B) o 20 %
  • E) o 35 %
  • C) o 25 %
  • F) o jiný počet procent
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení základu (100 %)

Při porovnávání únorové návštěvnosti s lednovou musíme brát lednovou návštěvnost jako základ (tedy 100 %).
Základ (100 %) je 350 lidí.

Výpočet rozdílu v počtu lidí

Spočítáme, o kolik více lidí přišlo v únoru než v lednu:
420 − 350 = 70 lidí.

Výpočet procentuálního nárůstu

Nyní určíme, kolik procent z lednového základu (350 lidí) tvoří tento rozdíl (70 lidí):
10 % ze základu 350 je 35 lidí.
Protože 70 je přesně dvakrát více než 35 (70 = 2 · 35), rozdíl tvoří 20 % ze základu.
Návštěvnost byla v únoru vyšší o 20 %.

Výběr správné možnosti

Správná možnost je tedy B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.2

Obdélník i tmavý obrazec zakreslený v obdélníku mají všechny vrcholy v mřížových bodech čtvercové sítě.

O kolik procent je obsah tmavého obrazce menší než obsah obdélníku?

Obrázek k úloze
  • A) o 0 %
  • D) o 30 %
  • B) o 20 %
  • E) o 35 %
  • C) o 25 %
  • F) o jiný počet procent
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah obdélníku

Nejprve určíme obsah celého obdélníku, ve kterém je obrazec zakreslen. Obdélník má šířku 5 polí a výšku 4 pole.
Obsah obdélníku = $5 \cdot 4 = 20$ čtverečků.

Obsah bílých částí

Obsah tmavého obrazce zjistíme tak, že od obsahu obdélníku odečteme obsah bílých (nevybarvených) trojúhelníků v rozích:
  • Levý dolní roh: trojúhelník o stranách 1 a 1. Obsah = $(1 \cdot 1) : 2 = 0,5$.
  • Dolní část: trojúhelník se základnou 4 (od 1. do 5. bodu) a výškou 1. Obsah = $(4 \cdot 1) : 2 = 2$.
  • Pravý horní roh: trojúhelník o stranách 3 a 1. Obsah = $(3 \cdot 1) : 2 = 1,5$.
  • Levý horní roh: trojúhelník o stranách 2 a 3. Obsah = $(2 \cdot 3) : 2 = 3$.
Celkový obsah bílých částí = $0,5 + 2 + 1,5 + 3 = 7$ čtverečků.

Obsah tmavého obrazce

Nyní odečteme bílé části od celku:
Obsah tmavého obrazce = $20 - 7 = 13$ čtverečků.

Výpočet procent

Otázka zní, o kolik procent je obsah tmavého obrazce (13) menší než obsah obdélníku (20).
Rozdíl v obsahu je $20 - 13 = 7$ čtverečků.
Vyjádříme tento rozdíl v procentech vzhledem k celému obdélníku (20 čtverečků = $100 \%$):
$\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 35 \%$
Obsah tmavého obrazce je o $35 \%$ menší.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

E m

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.3

Věra měla naspořeno 1000 korun. Nejprve si za 20 % úspor koupila tričko a potom 20 % ze zbývajících peněz utratila za knížku.

O kolik procent bylo tričko dražší než knížka?

  • A) o 0 %
  • D) o 30 %
  • B) o 20 %
  • E) o 35 %
  • C) o 25 %
  • F) o jiný počet procent
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet ceny trička

Věra měla naspořeno 1 000 Kč. Za tričko utratila 20 % z této částky.
Utracená částka (cena trička):
20 % z 1 000 Kč = 200 Kč.

Výpočet ceny knížky

Po nákupu trička jí zbylo:
1 000 Kč - 200 Kč = 800 Kč.
Za knížku utratila 20 % z této zbývající částky.
Utracená částka (cena knížky):
20 % z 800 Kč = 160 Kč.

Porovnání cen

Ptáme se, o kolik procent bylo tričko (200 Kč) dražší než knížka (160 Kč).
Základem (100 %) je cena knížky, tedy 160 Kč.
Rozdíl v ceně je:
200 Kč - 160 Kč = 40 Kč.
Vyjádříme rozdíl v procentech vůči ceně knížky:
$\frac{40}{160} = \frac{1}{4} = 0,25 = 25\ %$.
Tričko bylo o 25 % dražší než knížka, což odpovídá možnosti C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.1

Do řady po sobě jdoucích kladných celých čísel přidáme za každé číslo dělitelné třemi toto číslo ještě jednou. Nová řada tak všechna čísla dělitelná třemi obsahuje dvakrát.
V nové řadě je na 1. až 17. místě následujících 17 čísel:
1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 12, 12, 13, …

Určete, na kolikátém místě nové řady je číslo 100.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Původní řada

V řadě po sobě jdoucích čísel (1, 2, 3, 4, 5, ...) odpovídá pořadové místo přímo danému číslu. Číslo 100 by tedy v běžné řadě bylo na 100. místě.

Počet přidaných čísel

V nové řadě ale přidáváme jedno číslo navíc za každé číslo dělitelné třemi. Musíme tedy zjistit, kolik takových čísel je v řadě od 1 do 100. Jsou to násobky tří: 3, 6, 9, 12, ... až 99.

Výpočet násobků tří

Počet těchto čísel zjistíme vydělením: $99 \div 3 = 33$. Mezi čísly 1 až 99 je tedy celkem 33 čísel dělitelných třemi. Každé z nich se v nové řadě objeví jednou navíc.

Určení výsledného místa

K původnímu 100. místu musíme přičíst všech 33 čísel, která byla do řady vložena navíc před číslo 100:
$100 + 33 = 133$
Číslo 100 se samo neopakuje, protože není dělitelné třemi.

Závěr

Číslo 100 se v nové řadě nachází na 133. místě.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

133

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.2

Do řady po sobě jdoucích kladných celých čísel přidáme za každé číslo dělitelné třemi toto číslo ještě jednou. Nová řada tak všechna čísla dělitelná třemi obsahuje dvakrát.
V nové řadě je na 1. až 17. místě následujících 17 čísel:
1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 12, 12, 13, …

Určete, které číslo je na 100. místě nové řady.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vypozorování pravidla

Všimneme si, že čísla v nové řadě tvoří skupiny po čtyřech. Každá trojice původních čísel (například 1, 2, 3) vytvoří v nové řadě čtveřici, protože číslo dělitelné třemi se zopakuje: 1, 2, 3, 3.

Konec čtveřic

Každá tato čtveřice končí opakováním čísla dělitelného třemi. První čtveřice končí číslem 3 (na 4. místě), druhá čtveřice končí číslem 6 (na 8. místě), třetí číslem 9 (na 12. místě) a tak dále.

Výpočet počtu skupin

Hledáme číslo na 100. místě. Protože $100 : 4 = 25$, v nové řadě bude do 100. místa přesně 25 takových čtveřic.

Určení 100. místa

Poslední číslo 25. čtveřice bude právě na 100. místě. Toto číslo zjistíme tak, že vynásobíme $25 \cdot 3 = 75$. Celá 25. čtveřice tedy vypadá takto: 73, 74, 75, 75.

Výsledek

Na 100. místě nové řady je číslo 75.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

75

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.3

Do řady po sobě jdoucích kladných celých čísel přidáme za každé číslo dělitelné třemi toto číslo ještě jednou. Nová řada tak všechna čísla dělitelná třemi obsahuje dvakrát.
V nové řadě je na 1. až 17. místě následujících 17 čísel:
1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 12, 12, 13, …

Určete, na kolika místech nové řady je mezi čísly 1 až 101 uvedeno sudé číslo.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pravidlo řady

V nové řadě se každé číslo dělitelné třemi (tedy 3, 6, 9, 12, ...) vyskytuje dvakrát. Všechna ostatní čísla, která nejsou dělitelná třemi, se v řadě vyskytují pouze jednou.

Sudá čísla do 101

Zajímají nás sudá čísla, která mají hodnotu od 1 do 101. Jsou to čísla 2, 4, 6, 8, ..., 100. Protože je to každé druhé číslo v řadě do 100, je jich celkem 50 (vypočítáme jako $100 : 2 = 50$).

Sudá čísla dělitelná třemi

Některá z těchto 50 sudých čísel jsou zároveň dělitelná třemi. Taková čísla jsou násobky šesti ($2 \cdot 3 = 6$). Jsou to čísla 6, 12, 18, ..., 96. Jejich počet zjistíme dělením: $96 : 6 = 16$. Máme tedy 16 sudých čísel, která se v nové řadě opakují.

Celkový počet výskytů

Každé z 50 sudých čísel se v řadě vyskytuje aspoň jednou. Těch 16 čísel, která jsou násobky šesti, je tam ale uvedeno ještě jednou navíc. Celkový počet míst se sudým číslem tedy vypočítáme jako $50 + 16 = 66$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

66

Stav úlohy
2 body