Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 7. ročník

Podkategorie: Matematika 7. ročník — 2. náhradní termín 2021

30 úloh

Úloha 1.1

Vypočtěte:

$\displaystyle -0,5 \cdot 0,2 - 0,1 \cdot \left( 3-8 \right) =$

Zobrazit odpověď

0,4

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet v závorce

Nejdříve vypočítáme hodnotu v závorce:
$3 - 8 = -5$

Krok 2: Násobení

V dalším kroku provedeme obě násobení v příkladu. Musíme dát pozor na znaménka:
$-0,5 \cdot 0,2 = -0,1$
$0,1 \cdot (-5) = -0,5$

Krok 3: Dokončení výpočtu

Nyní oba výsledky spojíme podle zadání. Nezapomeňte, že odečtení záporného čísla je stejné jako přičtení čísla kladného:
$-0,1 - (-0,5) = -0,1 + 0,5 = 0,4$
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 1.2

Vypočtěte:

$\displaystyle \frac{0,25}{0,025} \div 0,2=$

Zobrazit odpověď

50

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjednodušení zlomku

Nejdříve vypočítáme hodnotu zlomku $\frac{0,25}{0,025}$. Aby se nám lépe počítalo, vynásobíme čitatele i jmenovatele číslem $1000$ (posuneme desetinnou čárku o tři místa doprava). Tím se zbavíme desetinných čísel a získáme celá čísla:
$\frac{0,25}{0,025} = \frac{250}{25} = 10$

Dělení výsledku

Nyní musíme výsledek z prvního kroku ($10$) vydělit číslem $0,2$. Počítáme tedy:
$10 \div 0,2$
To je stejné jako počítat $100 \div 2$, protože si obě čísla můžeme vynásobit deseti:
$100 \div 2 = 50$

Závěr

Výsledkem celého příkladu je číslo $50$.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 2.1

Řeka Labe protéká pouze dvěma státy a délka celého jejího toku je 1094 km. V Německu je tok Labe o 352 km delší než v České republice.

Vypočtěte délku toku Labe v Německu.

Zobrazit odpověď

723

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění rozdílu

Celková délka toku je 1094 km. V Německu je řeka o 352 km delší. Pokud tento „přebytek“ od celkové délky odečteme, dostaneme délku, kterou by Labe mělo, kdyby v obou státech teklo stejnou vzdálenost (rovnou délce v ČR).
$1094 - 352 = 742$ km

Výpočet délky v ČR

Těchto 742 km nyní tvoří dvě stejné části. Jedna z nich je délka toku v České republice.
$742 : 2 = 371$ km

Výpočet délky v Německu

Víme, že v Německu je tok o 352 km delší než v ČR. K vypočítané délce v ČR tedy tento rozdíl přičteme.
$371 + 352 = 723$ km

Odpověď

Délka toku Labe v Německu je 723 km.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 2.2

Zahrada měla výměru 1799 m². Při stavbě nového plotu se posunutím sloupků výměra zahrady zvětšila o 250 dm².

Vypočtěte v m² novou výměru zahrady.

Zobrazit odpověď

1801,5 m²

1 bod
Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \left( \frac{5}{8} - \frac{5}{12} \right) \cdot 4 - 2 \cdot \left( \frac{3}{4} - \frac{2}{3} \right) =$

Zobrazit odpověď

2/3

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První část výrazu

Nejdříve vypočítáme hodnotu v první závorce. Společným jmenovatelem čísel 8 a 12 je číslo 24.
$\left( \frac{5}{8} - \frac{5}{12} \right) = \frac{15 - 10}{24} = \frac{5}{24}$
Tento výsledek nyní vynásobíme čtyřmi:
$\frac{5}{24} \cdot 4 = \frac{5}{6}$

Druhá část výrazu

Poté vypočítáme hodnotu ve druhé závorce. Společným jmenovatelem čísel 4 a 3 je číslo 12.
$\left( \frac{3}{4} - \frac{2}{3} \right) = \frac{9 - 8}{12} = \frac{1}{12}$
Tento výsledek vynásobíme dvěma:
$2 \cdot \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Odečtení a zjednodušení

Nakonec od prvního výsledku odečteme druhý:
$\frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6}$
Zlomek zkrátíme na základní tvar:
$\frac{4}{6} = \mathbf{\frac{2}{3}}$
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{27}{10} \cdot \frac{5}{9} - 4 \right) \div 3}{5} =$

Zobrazit odpověď

-1/6

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Násobení v závorce

Nejdříve vypočítáme součin zlomků v závorce. Zlomky si můžeme před násobením zkrátit (27 s 9 číslem 9 a 5 s 10 číslem 5):
$\frac{27}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{3}{2}$

Odčítání v závorce

Od výsledku násobení odečteme číslo 4. Číslo 4 si převedeme na zlomek se stejným jmenovatelem:
$\frac{3}{2} - 4 = \frac{3}{2} - \frac{8}{2} = -\frac{5}{2}$

Dělení v čitateli

Výsledek v závorce vydělíme číslem 3 (což je stejné jako násobení jednou třetinou):
$-\frac{5}{2} : 3 = -\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{5}{6}$

Celkový výsledek

Nakonec celý výraz v čitateli vydělíme jmenovatelem celého zlomku, tedy číslem 5:
$-\frac{5}{6} : 5 = -\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{5} = -\frac{1}{6}$
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 4.1

Na trati závodila 3 autíčka.
První autíčko ujelo závod za 1 minutu a 42 sekund.
Druhé autíčko ujelo závod za dobu o třetinu kratší než první autíčko.
První autíčko ujelo závod za dobu o třetinu kratší než třetí autíčko.

Vypočtěte v minutách a sekundách, za jakou dobu ujelo závod druhé autíčko.

Zobrazit odpověď

01:08 minut a sekund

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod času prvního autíčka

První autíčko ujelo závod za 1 minutu a 42 sekund. Aby se nám lépe počítalo, převedeme si tento čas na sekundy. Protože 1 minuta má 60 sekund, vypočítáme: $60 + 42 = 102$ sekund.

Výpočet třetiny času

Druhé autíčko ujelo závod za dobu o třetinu kratší než první autíčko. Nejprve tedy zjistíme, kolik sekund je jedna třetina z času prvního autíčka: $102 : 3 = 34$ sekund.

Čas druhého autíčka v sekundách

Čas druhého autíčka byl o tuto třetinu kratší, takže ji od času prvního autíčka odečteme: $102 - 34 = 68$ sekund.

Převod na minuty a sekundy

Nakonec čas 68 sekund převedeme zpět na minuty a sekundy. Víme, že 60 sekund je 1 minuta, takže nám zbude 8 sekund. Druhé autíčko ujelo závod za 1 minutu a 8 sekund.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 4.2

Na trati závodila 3 autíčka.
První autíčko ujelo závod za 1 minutu a 42 sekund.
Druhé autíčko ujelo závod za dobu o třetinu kratší než první autíčko.
První autíčko ujelo závod za dobu o třetinu kratší než třetí autíčko.

Vypočtěte v minutách a sekundách, za jakou dobu ujelo závod třetí autíčko.

Zobrazit odpověď

02:33 minut a sekund

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na sekundy

Nejdříve si čas prvního autíčka převedeme na sekundy, aby se nám lépe počítalo. Jedna minuta má 60 sekund.
1 min 42 s = 60 s + 42 s = 102 s

Porovnání s třetím autíčkem

V zadání se píše, že první autíčko mělo čas o třetinu kratší než třetí autíčko. To znamená, že pokud čas třetího autíčka rozdělíme na 3 stejné díly (třetiny), čas prvního autíčka odpovídá dvěma těmto dílům (protože 3 díly − 1 díl = 2 díly).

Výpočet jednoho dílu

Víme, že 102 sekund jsou dva díly času třetího autíčka. Jeden díl (třetinu) vypočítáme tak, že 102 vydělíme dvěma:
102 s : 2 = 51 s

Čas třetího autíčka

Třetí autíčko mělo čas odpovídající třem těmto dílům:
3 · 51 s = 153 s

Výsledek

Nakonec výsledek převedeme zpět na minuty a sekundy. Víme, že 2 minuty jsou 120 sekund (2 · 60 = 120).
153 s = 120 s + 33 s = 2 min 33 s
Třetí autíčko ujelo závod za 2 minuty a 33 sekund.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 5.1

V dětské hře se smí provádět pouze následující nákupy:
– za 5 mincí lze koupit 3 autíčka,
– za 3 mince lze koupit 4 figurky.

Amélie si chce koupit několik autíček a dvakrát tolik figurek.

Určete nejmenší počet mincí, které k takovému nákupu potřebuje.

Zobrazit odpověď

19

Zobrazit postup řešení (6 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Podmínka nákupu

Amélie si chce koupit několik autíček a dvakrát tolik figurek. To znamená, že na každé 1 autíčko musí připadat 2 figurky.

Možnosti pro autíčka

Autíčka se dají koupit jen v balíčcích po 3 kusech (každý stojí 5 mincí). Celkový počet autíček tedy musí být násobkem čísla 3:
  • 3 autíčka (za 5 mincí)
  • 6 autíček (za 10 mincí)
  • 9 autíček (za 15 mincí)
  • ...

Možnosti pro figurky

Figurky se dají koupit jen v balíčcích po 4 kusech (každý stojí 3 mince). Celkový počet figurek musí být násobkem čísla 4:
  • 4 figurky (za 3 mince)
  • 8 figurek (za 6 mincí)
  • 12 figurek (za 9 mincí)
  • 16 figurek (za 12 mincí)
  • ...

Hledání nejmenšího nákupu

Hledáme nejmenší počet autíček tak, aby Amélie mohla koupit přesně dvojnásobek figurek:
  • Pokud by koupila 3 autíčka, potřebovala by $3 \cdot 2 = 6$ figurek. Číslo 6 ale není násobkem 4, takže by nemohla koupit figurky přesně.
  • Pokud by koupila 6 autíček, potřebovala by $6 \cdot 2 = 12$ figurek. Číslo 12 je násobkem 4 ($12 = 3 \cdot 4$), což už koupit lze.

Výpočet mincí

Nyní spočítáme cenu za tento nákup:
  • Za 6 autíček (2 balíčky po 3 kusech) zaplatí $2 \cdot 5 = 10$ mincí.
  • Za 12 figurek (3 balíčky po 4 kusech) zaplatí $3 \cdot 3 = 9$ mincí.
Dohromady potřebuje $10 + 9 = 19$ mincí.

Výsledek

Nejmenší počet mincí, které Amélie k nákupu potřebuje, je 19.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 5.2

V dětské hře se smí provádět pouze následující nákupy:
– za 5 mincí lze koupit 3 autíčka,
– za 3 mince lze koupit 4 figurky.

Franta si chce koupit přesně o 10 autíček více než figurek.

Určete nejmenší počet mincí, které k takovému nákupu potřebuje.

Zobrazit odpověď

36

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza nákupů

Ze zadání víme, že:
  • 3 autíčka stojí 5 mincí (balíček po 3 kusech),
  • 4 figurky stojí 3 mince (balíček po 4 kusech).
Autíčka tedy můžeme kupovat jen v počtech 3, 6, 9, 12, 15, 18 atd. Figurky můžeme kupovat jen v počtech 4, 8, 12, 16 atd.

Hledání počtu kusů

Franta chce o 10 autíček více než figurek. Budeme postupně zkoušet násobky 4 pro počet figurek a zjistíme, kolik by k nim muselo být autíček (o 10 více). Tento počet autíček musí být dělitelný 3:
  • 0 figurek: $0 + 10 = 10$ autíček (10 není dělitelné 3)
  • 4 figurky: $4 + 10 = 14$ autíček (14 není dělitelné 3)
  • 8 figurek: $8 + 10 = 18$ autíček (18 je dělitelné 3, protože $18 = 6 \times 3$)
Našli jsme první možnou kombinaci: 18 autíček a 8 figurek.

Výpočet ceny

Nyní spočítáme, kolik bude tento nákup stát:
  • 18 autíček: To je 6 nákupů po 3 kusech ($18 \div 3 = 6$). Cena je $6 \times 5 = 30$ mincí.
  • 8 figurek: To jsou 2 nákupy po 4 kusech ($8 \div 4 = 2$). Cena je $2 \times 3 = 6$ mincí.
Celková cena je $30 + 6 = 36$ mincí.

Výsledek

Nejmenší počet mincí, které Franta k nákupu potřebuje, je 36.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 6.1

V bílé krabičce jsou jen bílé kuličky, v zelené krabičce jsou jen zelené kuličky a v modré krabičce jsou jen modré kuličky. Bílých kuliček je 12 a modrých 60.
Do bílé krabičky přendáme ze zelené a modré krabičky tolik kuliček, aby byl ve všech třech krabičkách stejný počet kuliček. Ze zelené krabičky tak musíme přendat o 9 kuliček více než z modré krabičky.

Určete počet všech zelených kuliček.

Zobrazit odpověď

69

1 bod
Úloha 6.2

V bílé krabičce jsou jen bílé kuličky, v zelené krabičce jsou jen zelené kuličky a v modré krabičce jsou jen modré kuličky. Bílých kuliček je 12 a modrých 60.
Do bílé krabičky přendáme ze zelené a modré krabičky tolik kuliček, aby byl ve všech třech krabičkách stejný počet kuliček. Ze zelené krabičky tak musíme přendat o 9 kuliček více než z modré krabičky.

Vypočtěte, kolik kuliček zůstane v modré krabičce.

Zobrazit odpověď

47

1 bod
Úloha 6.3

V bílé krabičce jsou jen bílé kuličky, v zelené krabičce jsou jen zelené kuličky a v modré krabičce jsou jen modré kuličky. Bílých kuliček je 12 a modrých 60.
Do bílé krabičky přendáme ze zelené a modré krabičky tolik kuliček, aby byl ve všech třech krabičkách stejný počet kuliček. Ze zelené krabičky tak musíme přendat o 9 kuliček více než z modré krabičky

Vypočtěte, kolik zelených kuliček přendáme do bílé krabičky.

Zobrazit odpověď

22

1 bod
Úloha 7.1

V pravoúhlém lichoběžníku ABCD s pravým úhlem při vrcholu A má základna AB délku 15 cm.
Poměr délky strany AB ku délce strany CD je 3∶2, poměr délky strany AD ku délce strany CD je 6∶5.
V lichoběžníku ABCD tedy platí: |AB|=15 cm, |∢ BAD|=90°, |AB|∶|CD|=3∶2, |AD|∶|CD|=6∶5

Vypočtěte v cm délku strany AD.

Zobrazit odpověď

12 cm

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet délky strany CD

Víme, že základna $AB$ měří 15 cm. Ze zadání známe poměr délek základny $AB$ ku $CD$, který je $3 : 2$. To znamená, že délka strany $AB$ odpovídá 3 stejným dílkům a délka strany $CD$ 2 stejným dílkům.
Nejdříve vypočítáme délku jednoho dílku:
$15 : 3 = 5$ cm
Základna $CD$ má 2 tyto dílky, její délka je tedy:
$2 \cdot 5 = 10$ cm

Výpočet délky strany AD

Nyní využijeme druhý poměr, a to délku strany $AD$ ku straně $CD$, který je $6 : 5$.
Víme, že strana $CD$ měří 10 cm a v tomto poměru jí odpovídá 5 dílků.
Jeden dílek v tomto poměru měří:
$10 : 5 = 2$ cm
Strana $AD$ se skládá ze 6 těchto dílků, její délka je tedy:
$6 \cdot 2 = 12$ cm

Závěr

Délka strany $AD$ je 12 cm.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 7.2

V pravoúhlém lichoběžníku ABCD s pravým úhlem při vrcholu A má základna AB délku 15 cm.
Poměr délky strany AB ku délce strany CD je 3∶2, poměr délky strany AD ku délce strany CD je 6∶5.
V lichoběžníku ABCD tedy platí: |AB|=15 cm, |∢ BAD|=90°, |AB|∶|CD|=3∶2, |AD|∶|CD|=6∶5

Vypočtěte v cm² obsah lichoběžníku ABCD.

Zobrazit odpověď

150 cm²

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet délky horní základny CD

Ze zadání víme, že poměr délek základny AB ku základně CD je 3 : 2. Délka strany AB je 15 cm.
Můžeme tedy určit hodnotu jednoho dílku v tomto poměru:
15 : 3 = 5 cm.
Základna CD má 2 takové dílky, její délka je tedy:
2 ⋅ 5 cm = 10 cm.

Výpočet výšky lichoběžníku (strany AD)

Poměr délky strany AD ku délce strany CD je 6 : 5. Již jsme vypočítali, že strana CD má délku 10 cm.
Určíme hodnotu jednoho dílku pro tento poměr:
10 : 5 = 2 cm.
Strana AD má 6 takových dílků, její délka je tedy:
6 ⋅ 2 cm = 12 cm.
Protože je lichoběžník pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu A, je strana AD zároveň výškou lichoběžníku.

Výpočet obsahu lichoběžníku

Obsah lichoběžníku vypočítáme pomocí vzorce:
S = ​(a + c) ⋅ v / 2
Kde a = 15 cm (základna AB), c = 10 cm (základna CD) a v = 12 cm (výška AD).
Dosadíme do vzorce:
S = (15 + 10) ⋅ 12 / 2
S = 25 ⋅ 6
S = 150 cm²
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 8

V rovině leží úsečka LM a bod U.

Úsečka LM je strana rovnoramenného trojúhelníku KLM.
V tomto trojúhelníku je každé z obou ramen dvakrát delší než základna.
Bod U leží uvnitř trojúhelníku KLM.

Sestrojte vrchol K trojúhelníku KLM, označte jej písmenem a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna 3 řešení.

Zobrazit odpověď
Odpověď
3 body
Úloha 9

V rovině leží body A, S.

Bod A je vrchol obdélníku ABCD a bod S je střed tohoto obdélníku.
Vrchol C má od vrcholu D i od středu S stejnou vzdálenost, tedy |CD|=|CS|.

Sestrojte vrcholy B, C, D obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď
Odpověď
3 body
Úloha 10.1
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou z tmavých čtverců složeny tři útvary A, B, C.
Ke každému útvaru doplňte jediný tmavý čtverec tak, aby byl útvar osově souměrný a měl co nejvíce různých os souměrnosti (sestrojených svisle, vodorovně nebo šikmo).

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Útvar A doplněný o požadovaný čtverec má 4 osy souměrnosti.

Zobrazit odpověď

Ano

4 body za skupinu
Úloha 10.2
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou z tmavých čtverců složeny tři útvary A, B, C.
Ke každému útvaru doplňte jediný tmavý čtverec tak, aby byl útvar osově souměrný a měl co nejvíce různých os souměrnosti (sestrojených svisle, vodorovně nebo šikmo).

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Útvar B doplněný o požadovaný čtverec má 2 osy souměrnosti.

Zobrazit odpověď

Ne

4 body za skupinu
Úloha 10.3
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou z tmavých čtverců složeny tři útvary A, B, C.
Ke každému útvaru doplňte jediný tmavý čtverec tak, aby byl útvar osově souměrný a měl co nejvíce různých os souměrnosti (sestrojených svisle, vodorovně nebo šikmo).

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Útvar C doplněný o požadovaný čtverec má pouze 1 osu souměrnosti.

Zobrazit odpověď

Ne

4 body za skupinu
Úloha 11

Jaká je velikost úhlu φ?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

  • A) 128°
  • D) 114°
  • B) 126°
  • E) jiná velikost
  • C) 118°
Zobrazit odpověď

D

2 body
Úloha 12

Všechny díly stavebnice jsou pravidelné čtyřboké hranoly s rozměry 1 cm × 1 cm × 2 cm.
Ve stavbě, která má podobu tří spojených kvádrů, jsou jednotlivé díly naskládány bez mezer tak, aby stavba obsahovala co největší počet stojících dílů. Stojící díl má dole čtvercovou stěnu, ležící díl nikoli.

Kolik ležících dílů stavba obsahuje?

  • A) 0
  • D) 18
  • B) 6
  • E) 24
  • C) 12
Zobrazit odpověď

C

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor dílků

Dílky stavebnice mají rozměry 1 cm × 1 cm × 2 cm.
  • Stojící dílek má výšku 2 cm a základnu 1 cm × 1 cm.
  • Ležící dílek má výšku 1 cm a základnu 1 cm × 2 cm (nebo 2 cm × 1 cm).
Abychom ve stavbě měli co nejvíce stojících dílků, musíme do každého sloupce o základně 1 cm × 1 cm umístit co nejvíce dílků o výšce 2 cm.

Analýza sloupců

Stavba se skládá ze tří kvádrů, které můžeme rozdělit na jednotlivé sloupce o základně 1 cm × 1 cm:
  • V každém sloupci s lichou výškou (např. 1 cm nebo 3 cm) zbude po zaplnění stojícími dílky volný prostor o výšce 1 cm (jedna krychlička 1 cm × 1 cm × 1 cm).
  • V každém sloupci se sudou výškou (např. 2 cm) nezbude žádné volné místo, protože ho celý vyplní stojící dílky.
Z obrázku vidíme, že stavba má celkem 12 sloupců s lichou výškou (dva krajní kvádry mají každý 4 sloupce o výšce 3 cm a prostřední kvádr má 4 sloupce o výšce 1 cm, dohromady tedy $4 + 4 + 4 = 12$ sloupců).

Výpočet ležících dílků

Každý ležící dílek má výšku 1 cm a půdorys 1 cm × 2 cm. To znamená, že jeden ležící dílek vyplní volné místo přesně ve dvou sousedních sloupcích s lichou výškou. Máme celkem 12 lichých sloupců, v každém z nich zbyla jedna volná „krychlička“ o výšce 1 cm. Pro jejich zaplnění tedy potřebujeme: $12 : 2 = 6$ Stavba obsahuje 6 ležících dílů.

Závěr

Stavba obsahuje celkem 6 ležících dílů.

Správná odpověď je B.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 13

Soutěž měla čtyři kola. V grafu jsou uvedeny výsledky družstva v prvních třech kolech.
Ve 2. kole družstvo získalo o 20 bodů více než ve 3. kole.
Počet bodů získaných v 1. kole je aritmetickým průměrem počtů bodů získaných ve zbývajících třech kolech.

Kolik bodů získalo družstvo ve 4. kole?

  • A) 15 bodů
  • D) 30 bodů
  • B) 20 bodů
  • E) jiný počet bodů
  • C) 25 bodů
Zobrazit odpověď

A

2 body
Úloha 14

Ve třídě je o polovinu více chlapců než děvčat.

Které z následujících tvrzení je pravdivé?

  • A) Chlapci tvoří tři pětiny žáků třídy.
  • D) Počet dívek ve třídě je o polovinu menší než počet chlapců.
  • B) Děvčata tvoří 33 % žáků třídy.
  • E) Žádné z výše uvedených tvrzení není pravdivé.
  • C) Počet žáků třídy je trojnásobkem počtu děvčat.
Zobrazit odpověď

A

2 body
Úloha 15.1

V lednu navštívilo výstavu 350 lidí, v únoru 420 lidí.

O kolik procent byla návštěvnost v únoru vyšší než v lednu?

  • A) o 0 %
  • D) o 30 %
  • B) o 20 %
  • E) o 35 %
  • C) o 25 %
  • F) o jiný počet procent
Zobrazit odpověď

B

2 body
Úloha 15.2

Obdélník i tmavý obrazec zakreslený v obdélníku mají všechny vrcholy v mřížových bodech čtvercové sítě.

O kolik procent je obsah tmavého obrazce menší než obsah obdélníku?

Obrázek k úloze
  • A) o 0 %
  • D) o 30 %
  • B) o 20 %
  • E) o 35 %
  • C) o 25 %
  • F) o jiný počet procent
Zobrazit odpověď

E m

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah obdélníku

Nejprve určíme obsah celého obdélníku, ve kterém je obrazec zakreslen. Obdélník má šířku 5 polí a výšku 4 pole.
Obsah obdélníku = $5 \cdot 4 = 20$ čtverečků.

Obsah bílých částí

Obsah tmavého obrazce zjistíme tak, že od obsahu obdélníku odečteme obsah bílých (nevybarvených) trojúhelníků v rozích:
  • Levý dolní roh: trojúhelník o stranách 1 a 1. Obsah = $(1 \cdot 1) : 2 = 0,5$.
  • Dolní část: trojúhelník se základnou 4 (od 1. do 5. bodu) a výškou 1. Obsah = $(4 \cdot 1) : 2 = 2$.
  • Pravý horní roh: trojúhelník o stranách 3 a 1. Obsah = $(3 \cdot 1) : 2 = 1,5$.
  • Levý horní roh: trojúhelník o stranách 2 a 3. Obsah = $(2 \cdot 3) : 2 = 3$.
Celkový obsah bílých částí = $0,5 + 2 + 1,5 + 3 = 7$ čtverečků.

Obsah tmavého obrazce

Nyní odečteme bílé části od celku:
Obsah tmavého obrazce = $20 - 7 = 13$ čtverečků.

Výpočet procent

Otázka zní, o kolik procent je obsah tmavého obrazce (13) menší než obsah obdélníku (20).
Rozdíl v obsahu je $20 - 13 = 7$ čtverečků.
Vyjádříme tento rozdíl v procentech vzhledem k celému obdélníku (20 čtverečků = $100 \%$):
$\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 35 \%$
Obsah tmavého obrazce je o $35 \%$ menší.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 15.3

Věra měla naspořeno 1000 korun. Nejprve si za 20 % úspor koupila tričko a potom 20 % ze zbývajících peněz utratila za knížku.

O kolik procent bylo tričko dražší než knížka?

  • A) o 0 %
  • D) o 30 %
  • B) o 20 %
  • E) o 35 %
  • C) o 25 %
  • F) o jiný počet procent
Zobrazit odpověď

C

2 body
Úloha 16.1

Do řady po sobě jdoucích kladných celých čísel přidáme za každé číslo dělitelné třemi toto číslo ještě jednou. Nová řada tak všechna čísla dělitelná třemi obsahuje dvakrát.
V nové řadě je na 1. až 17. místě následujících 17 čísel:
1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 12, 12, 13, …

Určete, na kolikátém místě nové řady je číslo 100.

Zobrazit odpověď

133

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Původní řada

V řadě po sobě jdoucích čísel (1, 2, 3, 4, 5, ...) odpovídá pořadové místo přímo danému číslu. Číslo 100 by tedy v běžné řadě bylo na 100. místě.

Počet přidaných čísel

V nové řadě ale přidáváme jedno číslo navíc za každé číslo dělitelné třemi. Musíme tedy zjistit, kolik takových čísel je v řadě od 1 do 100. Jsou to násobky tří: 3, 6, 9, 12, ... až 99.

Výpočet násobků tří

Počet těchto čísel zjistíme vydělením: $99 \div 3 = 33$. Mezi čísly 1 až 99 je tedy celkem 33 čísel dělitelných třemi. Každé z nich se v nové řadě objeví jednou navíc.

Určení výsledného místa

K původnímu 100. místu musíme přičíst všech 33 čísel, která byla do řady vložena navíc před číslo 100:
$100 + 33 = 133$
Číslo 100 se samo neopakuje, protože není dělitelné třemi.

Závěr

Číslo 100 se v nové řadě nachází na 133. místě.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 16.2

Do řady po sobě jdoucích kladných celých čísel přidáme za každé číslo dělitelné třemi toto číslo ještě jednou. Nová řada tak všechna čísla dělitelná třemi obsahuje dvakrát.
V nové řadě je na 1. až 17. místě následujících 17 čísel:
1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 12, 12, 13, …

Určete, které číslo je na 100. místě nové řady.

Zobrazit odpověď

75

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vypozorování pravidla

Všimneme si, že čísla v nové řadě tvoří skupiny po čtyřech. Každá trojice původních čísel (například 1, 2, 3) vytvoří v nové řadě čtveřici, protože číslo dělitelné třemi se zopakuje: 1, 2, 3, 3.

Konec čtveřic

Každá tato čtveřice končí opakováním čísla dělitelného třemi. První čtveřice končí číslem 3 (na 4. místě), druhá čtveřice končí číslem 6 (na 8. místě), třetí číslem 9 (na 12. místě) a tak dále.

Výpočet počtu skupin

Hledáme číslo na 100. místě. Protože $100 : 4 = 25$, v nové řadě bude do 100. místa přesně 25 takových čtveřic.

Určení 100. místa

Poslední číslo 25. čtveřice bude právě na 100. místě. Toto číslo zjistíme tak, že vynásobíme $25 \cdot 3 = 75$. Celá 25. čtveřice tedy vypadá takto: 73, 74, 75, 75.

Výsledek

Na 100. místě nové řady je číslo 75.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 16.3

Do řady po sobě jdoucích kladných celých čísel přidáme za každé číslo dělitelné třemi toto číslo ještě jednou. Nová řada tak všechna čísla dělitelná třemi obsahuje dvakrát.
V nové řadě je na 1. až 17. místě následujících 17 čísel:
1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 12, 12, 13, …

Určete, na kolika místech nové řady je mezi čísly 1 až 101 uvedeno sudé číslo.

Zobrazit odpověď

66

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pravidlo řady

V nové řadě se každé číslo dělitelné třemi (tedy 3, 6, 9, 12, ...) vyskytuje dvakrát. Všechna ostatní čísla, která nejsou dělitelná třemi, se v řadě vyskytují pouze jednou.

Sudá čísla do 101

Zajímají nás sudá čísla, která mají hodnotu od 1 do 101. Jsou to čísla 2, 4, 6, 8, ..., 100. Protože je to každé druhé číslo v řadě do 100, je jich celkem 50 (vypočítáme jako $100 : 2 = 50$).

Sudá čísla dělitelná třemi

Některá z těchto 50 sudých čísel jsou zároveň dělitelná třemi. Taková čísla jsou násobky šesti ($2 \cdot 3 = 6$). Jsou to čísla 6, 12, 18, ..., 96. Jejich počet zjistíme dělením: $96 : 6 = 16$. Máme tedy 16 sudých čísel, která se v nové řadě opakují.

Celkový počet výskytů

Každé z 50 sudých čísel se v řadě vyskytuje aspoň jednou. Těch 16 čísel, která jsou násobky šesti, je tam ale uvedeno ještě jednou navíc. Celkový počet míst se sudým číslem tedy vypočítáme jako $50 + 16 = 66$.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body