Načítání…
Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 7. ročník

Podkategorie: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2021

30 úloh

PDF+Klíč
Úloha 1

Vypočtěte v dm² tři pětiny ze 4 m².

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod jednotek

Nejdříve si převedeme $4\text{ m}^2$ na decimetry čtvereční. Protože $1\text{ m}^2 = 100\text{ dm}^2$, vynásobíme hodnotu stem:
$4 \cdot 100 = 400\text{ dm}^2$

Výpočet tří pětin

Nyní vypočítáme tři pětiny ze $400\text{ dm}^2$. Jeden dílek (jednu pětinu) získáme vydělením pěti:
$400 : 5 = 80\text{ dm}^2$
Tři dílky (tři pětiny) pak získáme vynásobením třemi:
$3 \cdot 80 = 240\text{ dm}^2$

Závěr

Tři pětiny ze $4\text{ m}^2$ jsou $240\text{ dm}^2$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

240

Stav úlohy
2 body
Úloha 2.1

Vypočtěte:

$\displaystyle 0,5+1,5 \cdot \left( 10-4 \right) - 1,5 \div 5=$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor postupu

Při výpočtu musíme dodržet správné pořadí operací. Nejdříve vypočítáme hodnotu v závorce, poté provedeme násobení a dělení a nakonec budeme sčítat a odčítat.

Výpočet v závorce

V závorce máme $10 - 4$, což se rovná $6$. Celý výraz si můžeme přepsat jako:
$0,5 + 1,5 \cdot 6 - 1,5 : 5$

Násobení a dělení

Nyní vypočítáme násobení a dělení zleva doprava:
$1,5 \cdot 6 = 9$
$1,5 : 5 = 0,3$
Výraz se po těchto operacích zjednoduší na:
$0,5 + 9 - 0,3$

Konečný výsledek

Nakonec sečteme a odečteme zbývající čísla:
$0,5 + 9 = 9,5$
$9,5 - 0,3 = 9,2$
Výsledná hodnota je tedy 9,2.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

9,2

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.2

Vypočtěte:

$\displaystyle 0,4 \cdot 0,3-0,3 \cdot 1,6=$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První část výpočtu

Nejdříve vypočítáme oba součiny v příkladu zvlášť. Přednost má násobení před odčítáním.
První součin: $0,4 \cdot 0,3 = 0,12$
Druhý součin: $0,3 \cdot 1,6 = 0,48$

Odečtení

Nyní od prvního výsledku odečteme druhý:
$0,12 - 0,48 = -0,36$

Závěr

Výsledkem příkladu je číslo $-0,36$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-0,36

Stav úlohy
1 bod
Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{1}{3} - \frac{6}{5} \cdot \left( \frac{5}{4} - \frac{5}{6} \right) =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet závorky

Nejdříve vypočítáme rozdíl zlomků v závorce. Pro zlomky $\frac{5}{4}$ a $\frac{5}{6}$ najdeme společného jmenovatele, což je číslo 12. $\frac{5}{4} - \frac{5}{6} = \frac{15}{12} - \frac{10}{12} = \frac{5}{12}$

Krok 2: Násobení

Výsledek ze závorky vynásobíme zlomkem $\frac{6}{5}$. Můžeme si pomoci krácením: pětky v čitateli i jmenovateli se vykrátí na 1 a čísla 6 a 12 zjednodušíme šesti na 1 a 2. $\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{12} = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Krok 3: Odečítání a výsledek

Získaný zlomek odečteme od zlomku $\frac{1}{3}$. Společným jmenovatelem čísel 3 a 2 je číslo 6. $\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6}$. Výsledek v základním tvaru je tedy $-\frac{1}{6}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-1/6

Stav úlohy
2 body
Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{10} }{\displaystyle \frac{7}{2} \div 2+2 } =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úprava jmenovatele

Nejdříve vypočítáme hodnotu ve jmenovateli hlavního zlomku. Musíme dodržet přednost operací, tedy nejdříve dělení a poté sčítání:
$\frac{7}{2} \div 2 + 2 = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2} + 2 = \frac{7}{4} + 2 = \frac{7}{4} + \frac{8}{4} = \frac{15}{4}$

Výpočet celého výrazu

Nyní vypočítáme celý složený zlomek tak, že čitatele vydělíme vypočítaným jmenovatelem. Dělení zlomkem převedeme na násobení zlomkem převráceným:
$\frac{\frac{3}{10}}{\frac{15}{4}} = \frac{3}{10} \div \frac{15}{4} = \frac{3}{10} \cdot \frac{4}{15}$

Zkrácení a základní tvar

Před vynásobením zlomky zkrátíme (3 a 15 třemi, 4 a 10 dvěma):
$\frac{3}{10} \cdot \frac{4}{15} = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{5} = \mathbf{\frac{2}{25}}$
Výsledek $\frac{2}{25}$ je již v základním tvaru.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

2/25

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.1

Když neznámé číslo vynásobíme třemi, dostaneme stejné číslo, jako když vydělíme třemi číslo 234.

Určete neznámé číslo.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Dělení čísla 234

Nejdříve zjistíme, jaké číslo dostaneme, když vydělíme číslo 234 třemi. Počítáme tedy:
234 : 3 = 78
(Pomůžeme si rozkladem: $210 : 3 = 70$ a $24 : 3 = 8$, dohromady $78$.)

Hledání neznámého čísla

Víme, že když neznámé číslo vynásobíme třemi, dostaneme výsledek 78. Abychom našli původní neznámé číslo, musíme udělat opačnou operaci – tedy výsledek 78 vydělit třemi:
78 : 3 = 26
(Rozkladem: $60 : 3 = 20$ a $18 : 3 = 6$.)

Výsledek

Neznámé číslo je 26.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

26

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.2

Adéla, Zora a Olda postupně zametli 1 km dlouhý chodník.
První část chodníku zametla Adéla, Zora pak zametla o 120 m kratší část než Adéla a Olda zametl dvakrát delší část chodníku než Zora.
(Každou část chodníku zametala pouze jedna osoba.)

Vypočtěte, kolik metrů chodníku zametla Adéla.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převedení jednotek a sestavení částí

Celý chodník měří 1 km, což je 1000 metrů. Chodník si rozdělíme na tři části podle toho, kolik kdo zametl:
  • Adéla: $x$ metrů
  • Zora: o 120 m méně než Adéla, tedy $(x - 120)$ metrů
  • Olda: dvakrát více než Zora, tedy $2 \cdot (x - 120)$ metrů

Sestavení a vyřešení rovnice

Součet všech tří částí musí dát dohromady celkovou délku chodníku (1000 m):
$x + (x - 120) + 2 \cdot (x - 120) = 1000$

Nejprve roznásobíme závorku:
$x + x - 120 + 2x - 240 = 1000$

Sečteme neznámé $x$ a čísla:
$4x - 360 = 1000$

Převedeme 360 na druhou stranu:
$4x = 1360$

Vydělíme čtyřmi:
$x = 1360 : 4 = 340$

Závěr

Neznámá $x$ představuje délku části, kterou zametla Adéla. Adéla tedy zametla 340 metrů chodníku.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

340

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.1

Závod mladších žáků v běhu na lyžích absolvovalo 6 závodníků (A–F). První závodník vyběhl na trať v 9 hodin 20 minut, další vybíhali v půlminutových intervalech. Zvítězil závodník, který strávil na trati nejkratší dobu, tedy má nejlepší výsledný čas.(Všechny časy v tabulce jsou uvedeny ve tvaru h:min:s.)

Vypočtěte výsledný čas vítěze závodu (v minutách a sekundách).

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor tabulky

V tabulce máme uvedeny časy startu a cíle (nebo už přímo výsledné časy) pro 6 závodníků. Abychom určili vítěze, musíme znát výsledný čas každého z nich. Výsledný čas vypočítáme tak, že od času v cíli odečteme čas startu.

Výpočet chybějících výsledných časů

U některých závodníků výsledný čas v tabulce chybí, proto ho musíme dopočítat:
  • Závodník B: Start 9:20:30, cíl 9:43:05.
    9:43:05 − 9:20:30 = 22 min 35 s
  • Závodník D: Start 9:21:30, cíl 9:43:20.
    9:43:20 − 9:21:30 = 21 min 50 s
Ostatní výsledné časy jsou v tabulce již uvedeny nebo je pro porovnání nepotřebujeme dopočítávat (závodníci E a F mají časy přes 22 minut).

Porovnání výsledků a určení vítěze

Nyní porovnáme všechny výsledné časy (v minutách a sekundách):
  • A: 23:15
  • B: 22:35
  • C: 22:25
  • D: 21:50
  • E: 23:05
  • F: 22:30
Nejkratší čas ze všech je 21 minut a 50 sekund.

Závěr

Vítězem závodu je závodník D s výsledným časem 21 minut 50 sekund.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

21:50 minut

Stav úlohy
1 bod
Úloha 5.2

Závod mladších žáků v běhu na lyžích absolvovalo 6 závodníků (A–F). První závodník vyběhl na trať v 9 hodin 20 minut, další vybíhali v půlminutových intervalech. Zvítězil závodník, který strávil na trati nejkratší dobu, tedy má nejlepší výsledný čas.(Všechny časy v tabulce jsou uvedeny ve tvaru h:min:s.)

Určete, na kolikátém místě se umístil závodník, který proběhl cílem jako první.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Kdo doběhl první do cíle?

Podíváme se do tabulky na „Čas v cíli“. Musíme zjistit chybějící časy u závodníků E a F, abychom měli jistotu.
Závodník E: start v 9:22:00 + výsledný čas 0:23:05 = cíl v 9:45:05.
Závodník F: start v 9:22:30 + výsledný čas 0:22:30 = cíl v 9:45:00.
Porovnáme všechny časy v cíli:
  • A: 9:43:15
  • B: 9:43:05
  • C: 9:43:25
  • D: 9:43:20
  • E: 9:45:05
  • F: 9:45:00
Jako první protnul cílovou pásku závodník B (v čase 9:43:05).

Výsledný čas závodníka B

Abychom určili jeho umístění, potřebujeme znát jeho výsledný čas (dobu strávenou na trati). Ten vypočítáme jako rozdíl času v cíli a času startu:
9:43:05 – 9:20:30 = 22 minut 35 sekund.

Pořadí všech závodníků

Nyní porovnáme výsledné časy všech šesti závodníků od nejkratšího po nejdelší (včetně dopočítaného času pro závodníka D: 9:43:20 – 9:21:30 = 21:50):
  1. D (21:50)
  2. C (22:25)
  3. F (22:30)
  4. B (22:35)
  5. E (23:05)
  6. A (23:15)

Závěr

Závodník B, který doběhl do cíle jako první, se podle výsledného času umístil na 4. místě.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

4

Stav úlohy
1 bod
Úloha 5.3

Závod mladších žáků v běhu na lyžích absolvovalo 6 závodníků (A–F). První závodník vyběhl na trať v 9 hodin 20 minut, další vybíhali v půlminutových intervalech. Zvítězil závodník, který strávil na trati nejkratší dobu, tedy má nejlepší výsledný čas.(Všechny časy v tabulce jsou uvedeny ve tvaru h:min:s.)

Uveďte písmena všech závodníků, kteří proběhli cílem později než závodník D.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění času závodníka D

Z tabulky přímo vyčteme, že závodník D doběhl do cíle v čase 9:43:20. S tímto údajem budeme porovnávat časy ostatních závodníků.

Porovnání známých časů v cíli

Podíváme se na ostatní závodníky, kteří mají v tabulce vyplněný čas v cíli:
  • Závodník A: 9:43:15 (dříve než D)
  • Závodník B: 9:43:05 (dříve než D)
  • Závodník C: 9:43:25 (později než D)

Výpočet chybějících časů v cíli

U závodníků E a F musíme čas v cíli dopočítat jako součet času startu a výsledného času:
  • Závodník E: 9:22:00 + 23 min 5 s = 9:45:05
  • Závodník F: 9:22:30 + 22 min 30 s = 9:45:00
Oba tito závodníci doběhli do cíle později než závodník D (v časech 9:45:05 a 9:45:00).

Shrnutí

Později než závodník D proběhli cílem závodníci C, E, F.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C, E, F

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.1

Matěj prošel celou vyhlídkovou trasu, která vede od nádraží k jezeru. Od nádraží k první vyhlídce ušel $\displaystyle \frac{1}{6}$ trasy. Po dalších 5,5 km chůze se dostal k druhé vyhlídce. Od ní mu k jezeru zbývaly už jen $\displaystyle \frac{2}{9}$ trasy. Ještě 1 km před druhou vyhlídkou se Matěj zastavil u studánky.

Vypočtěte, kolik km ušel Matěj od nádraží k první vyhlídce.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza trasy pomocí zlomků

Celou trasu si můžeme představit jako jeden celek. Víme, že:
  • Cesta k první vyhlídce tvoří $\frac{1}{6}$ trasy.
  • Cesta od druhé vyhlídky k jezeru tvoří $\frac{2}{9}$ trasy.
Nejdříve zjistíme, jakou část trasy tvoří tyto dva úseky dohromady. Najdeme společného jmenovatele pro čísla 6 a 9, což je 18:
$\frac{1}{6} + \frac{2}{9} = \frac{3}{18} + \frac{4}{18} = \frac{7}{18}$
Tyto dva úseky tedy tvoří $\frac{7}{18}$ celé trasy.

Určení zbývající části trasy

Mezi první a druhou vyhlídkou Matěj ušel 5,5 km. Tato vzdálenost musí odpovídat zbytku trasy do celku ($\frac{18}{18}$):
$\frac{18}{18} - \frac{7}{18} = \frac{11}{18}$
Víme tedy, že $\frac{11}{18}$ trasy odpovídá vzdálenosti 5,5 km.

Výpočet celkové délky trasy

Pokud $\frac{11}{18}$ trasy je 5,5 km, pak $\frac{1}{18}$ trasy vypočítáme jako:
$5,5 : 11 = 0,5\text{ km}$
Celá trasa ($\frac{18}{18}$) má tedy délku:
$18 \cdot 0,5 = 9\text{ km}$

Výpočet vzdálenosti k první vyhlídce

Otázka zní, kolik kilometrů ušel Matěj k první vyhlídce. To je $\frac{1}{6}$ z celkové trasy:
$\frac{1}{6} \cdot 9 = 1,5\text{ km}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1,5

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.2

Matěj prošel celou vyhlídkovou trasu, která vede od nádraží k jezeru. Od nádraží k první vyhlídce ušel $\displaystyle \frac{1}{6}$ trasy. Po dalších 5,5 km chůze se dostal k druhé vyhlídce. Od ní mu k jezeru zbývaly už jen $\displaystyle \frac{2}{9}$ trasy. Ještě 1 km před druhou vyhlídkou se Matěj zastavil u studánky.

Vyjádřete zlomkem, jakou část trasy Matěj ušel od nádraží ke studánce.

Zlomek uveďte v základním tvaru.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Část trasy mezi vyhlídkami

Nejdříve zjistíme, jakou část trasy tvoří úsek mezi 1. a 2. vyhlídkou. Od nádraží k 1. vyhlídce je to $\frac{1}{6}$ trasy a od 2. vyhlídky k jezeru $\frac{2}{9}$ trasy.
Sečteme tyto známé části: $\frac{1}{6} + \frac{2}{9} = \frac{3}{18} + \frac{4}{18} = \frac{7}{18}$.
Na úsek mezi vyhlídkami (5,5 km) tedy zbývá: $1 - \frac{7}{18} = \frac{11}{18}$ trasy.

Délka celé trasy

Víme, že $\frac{11}{18}$ trasy odpovídá 5,5 km. Vypočítáme, kolik kilometrů měří jeden dílek, tedy $\frac{1}{18}$ trasy:
$5,5 : 11 = 0,5$ km.
Celá trasa má 18 takových dílků, její celková délka je tedy: $18 \cdot 0,5 = 9$ km.

Vzdálenost od nádraží ke studánce

K 1. vyhlídce Matěj ušel $\frac{1}{6}$ trasy, což je $1,5$ km ($9 : 6 = 1,5$).
K 2. vyhlídce ušel dalších 5,5 km, tedy celkem $1,5 + 5,5 = 7$ km od nádraží.
Studánka se nachází 1 km před 2. vyhlídkou, takže ke studánce ušel: $7 - 1 = 6$ km.

Vyjádření zlomkem

Nyní vyjádříme ušlou vzdálenost (6 km) jako zlomek z celkové délky trasy (9 km):
$\frac{6}{9} = \mathbf{\frac{2}{3}}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

2/3

Stav úlohy
2 body
Úloha 7.1

Horní část skleněného kvádru tvoří 6 krychlí z barevného skla umístěných v jedné vrstvě. Každá krychle má hranu délky 2 cm.
Stejná vrstva krychlí tvoří také spodní část kvádru.
Obě vrstvy barevných krychlí dohromady zaujímají 20 % objemu celého kvádru.
Zbytek kvádru je z bílého skla.

Vypočtěte v cm³ objem jedné vrstvy barevných krychlí.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Objem jedné krychle

Každá barevná krychle má hranu délky $2\text{ cm}$. Objem jedné krychle ($V_1$) vypočítáme jako součin jejích tří rozměrů (délka $\cdot$ šířka $\cdot$ výška):
$V_1 = 2\text{ cm} \cdot 2\text{ cm} \cdot 2\text{ cm} = 8\text{ cm}^3$

Objem jedné vrstvy

V zadání je uvedeno, že horní část tvoří jedna vrstva se 6 barevnými krychlemi. Objem celé této vrstvy získáme vynásobením objemu jedné krychle jejich počtem:
$V = 6 \cdot 8\text{ cm}^3 = 48\text{ cm}^3$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

48 cm³

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.2

Horní část skleněného kvádru tvoří 6 krychlí z barevného skla umístěných v jedné vrstvě. Každá krychle má hranu délky 2 cm.
Stejná vrstva krychlí tvoří také spodní část kvádru.
Obě vrstvy barevných krychlí dohromady zaujímají 20 % objemu celého kvádru.
Zbytek kvádru je z bílého skla.

Vypočtěte v cm délku nejdelší hrany celého kvádru.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet barevných krychlí

Horní část kvádru tvoří 6 barevných krychlí. Spodní část tvoří stejná vrstva, tedy rovněž 6 barevných krychlí. Celkem je v kvádru 12 barevných krychlí (6 + 6 = 12).

Celkový objem kvádru

Tyto dvě vrstvy barevných krychlí dohromady (12 kusů) zaujímají 20 % objemu celého kvádru. Celý objem (100 %) vyjádřený v počtu malých krychlí vypočítáme takto:
$12 : 0,2 = 60$
Celý kvádr má tedy objem odpovídající 60 malým krychlím.

Počet vrstev a výška kvádru

Víme, že horní část tvoří jedna vrstva o 6 krychlích. Celý kvádr se tedy skládá z:
$60 : 6 = 10$ vrstev.
Každá krychle má hranu délky 2 cm, takže výška jedné vrstvy je 2 cm. Celková výška kvádru je:
$10 \cdot 2 = 20$ cm.

Délka hran podstavy

Podstava je tvořena 6 krychlemi v jedné vrstvě. Rozměry podstavy v počtu krychlí mohou být například 2 × 3.
Hrany podstavy by v takovém případě byly: $2 \cdot 2 = 4$ cm a $3 \cdot 2 = 6$ cm.
(I kdyby byly krychle v řadě 1 × 6, byly by hrany podstavy 2 cm a 12 cm).

Určení nejdelší hrany

Porovnáme vypočítané rozměry: výška je 20 cm, hrany podstavy jsou buď 4 cm a 6 cm, nebo 2 cm a 12 cm. V obou případech je nejdelší hranou celého kvádru jeho výška 20 cm.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

20 cm

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.3

Horní část skleněného kvádru tvoří 6 krychlí z barevného skla umístěných v jedné vrstvě. Každá krychle má hranu délky 2 cm.
Stejná vrstva krychlí tvoří také spodní část kvádru.
Obě vrstvy barevných krychlí dohromady zaujímají 20 % objemu celého kvádru.
Zbytek kvádru je z bílého skla.

Vypočtěte v cm² povrch celého kvádru.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet vrstev celého kvádru

Horní část skleněného kvádru tvoří 6 barevných krychlí v jedné vrstvě. Spodní část tvoří stejná vrstva (rovněž 6 krychlí). Obě vrstvy barevných krychlí dohromady obsahují 12 krychlí (2 vrstvy) a zaujímají 20 % objemu celého kvádru.
Jelikož je celý kvádr složen ze shodných vrstev krychlí, výška obou barevných vrstev (2 vrstvy) odpovídá 20 % celkové výšky kvádru.
Celkový počet vrstev kvádru vypočítáme trojčlenkou nebo úvahou:
2 vrstvy ... 20 %
1 vrstva ... 10 %
Celý kvádr (100 %) má tedy 10 vrstev krychlí na výšku.

Rozměry kvádru v centimetrech

Každá krychle má délku hrany 2 cm.
Vrstva o 6 krychlích je uspořádána do obdélníku o rozměrech 3 × 2 krychle. Rozměry kvádru v centimetrech jsou:
  • Šířka: $3 \cdot 2\text{ cm} = 6\text{ cm}$
  • Hloubka: $2 \cdot 2\text{ cm} = 4\text{ cm}$
  • Výška: $10 \cdot 2\text{ cm} = 20\text{ cm}$

Výpočet povrchu kvádru

Povrch celého kvádru s rozměry $a = 6\text{ cm}$, $b = 4\text{ cm}$ a $c = 20\text{ cm}$ vypočítáme podle vzorce:
$S = 2 \cdot (a \cdot b + b \cdot c + a \cdot c)$
Dosadíme rozměry:
$S = 2 \cdot (6 \cdot 4 + 4 \cdot 20 + 6 \cdot 20)\text{ cm}^2$
$S = 2 \cdot (24 + 80 + 120)\text{ cm}^2$
$S = 2 \cdot 224\text{ cm}^2$
$S = 448\text{ cm}^2$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

448 cm²

Stav úlohy
2 body
Úloha 8

V rovině leží body B, P a přímka q procházející bodem B.

Bod B je vrchol rovnoběžníku ABCD.
Úhlopříčky AC a BD rovnoběžníku jsou na sebe kolmé a protínají se v bodě P.
Strana BC leží na přímce q.

Sestrojte vrcholy A, C, D rovnoběžníku ABCD, označte je písmeny a rovnoběžník narýsujte.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Je-li konstrukce správná, toleruje se nepatrná nepřesnost.

Sestrojený čtyřúhelník má právě jeden z následujících nedostatků:

  • úhlopříčky procházející bodem P jsou na sebe kolmé, ale právě jeden z vrcholů A, D je na úhlopříčce umístěn v nesprávném bodě (čtyřúhelník je deltoid),
  • konstrukce je nepřesná.

Nastane jedna z následujících situací:

  • Správně je sestrojen pouze vrchol C, ale oba vrcholy A, D jsou na polopřímkách BP a CP umístěny v nesprávných bodech.
  • Sestrojený čtyřúhelník ABCD je rovnoběžník, jehož úhlopříčky se protínají v bodě P, ale nejsou kolmé, tedy vrchol C je na přímce q umístěn chybně.

Konstrukce obsahuje kterékoli z následujících nedostatků:

  • je sestrojen pouze vrchol D a zbytek obrazce chybí, nebo je sestrojen chybně,
  • je sestrojen jiný chybný útvar (nesplňuje podmínky zadání).

Zdroj: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2021, úloha 8

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 9

V rovině leží přímka AC a bod M.

Úsečka AC je strana trojúhelníku ABC a bod M leží uvnitř tohoto trojúhelníku.
Výška $\displaystyle v_b$ na stranu AC měří 5 cm.
Velikost vnitřního úhlu při vrcholu C je 120°.

Sestrojte vrchol B trojúhelníku ABC, označte jej písmenem a trojúhelník narýsujte.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Je-li konstrukce správná, toleruje se nepatrná nepřesnost.

Konstrukce obsahuje právě jeden z následujících nedostatků:

  • mírná nepřesnost velikosti výšky (např. sestrojená rovnoběžka mírně "ujíždí"),
  • v trojúhelníku je rameno úhlu ACB sestrojeno nepřesně (velikost úhlu ACB se mírně liší od zadané hodnoty),
  • je správně sestrojeno rameno úhlu, na kolmici k přímce AC je správně odměřena výška, ale není dokončen trojúhelník.

Nastane jedna z následujících situací:

  • Správně je sestrojena pouze výška (resp. rovnoběžka se stranou AC ve vzdálenosti výšky).
  • Správně je sestrojeno pouze druhé rameno úhlu ACB.

Chybně sestrojený trojúhelník (výška ani úhel neodpovídají zadání).

Zdroj: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2021, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 10.1
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Na vytvoření každého obrazce použijeme beze zbytku dva čtverce o straně délky 6 cm. Čtverce rozstříháme a ze všech získaných dílů sestavíme obrazec, jehož strany (úsečky po obvodu) mají pouze dvě různé délky.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Nejdelší strana obrazce A je o třetinu kratší než nejdelší strana obrazce B.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 10.2
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Na vytvoření každého obrazce použijeme beze zbytku dva čtverce o straně délky 6 cm. Čtverce rozstříháme a ze všech získaných dílů sestavíme obrazec, jehož strany (úsečky po obvodu) mají pouze dvě různé délky.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obvod obrazce A je roven součtu obvodů obou čtverců, z nichž byl vytvořen.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obsahu a rozměrů

Vycházíme ze dvou původních čtverců o straně délky $6\text{ cm}$.
  • Obsah jednoho původního čtverce je $6 \cdot 6 = 36\text{ cm}^2$.
  • Celkový obsah obou původních čtverců (a tedy i celého obrazce A) je $2 \cdot 36 = 72\text{ cm}^2$.
  • Součet obvodů obou původních čtverců je $2 \cdot (4 \cdot 6) = 48\text{ cm}$.
Obrazec A je sestaven ze čtyř shodných čtverců. Obsah jednoho tohoto čtverce je proto:
$72 : 4 = 18\text{ cm}^2$
Stranu $a$ tohoto čtverce určíme pomocí odmocniny z obsahu:
$a = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\text{ cm}$

Výpočet obvodu obrazce A

Obrazec A je tvořen čtyřmi čtverci spojenými pouze svými vrcholy diagonálně. Strany čtverců se nikde nepřekrývají ani nesplývají podél hran, takže se všechny strany všech čtyř čtverců započítávají do obvodu.
  • Obvod jednoho malého čtverce je $4 \cdot 3\sqrt{2} = 12\sqrt{2}\text{ cm}$.
  • Celkový obvod obrazce A je roven součtu obvodů všech 4 čtverců: $O = 4 \cdot 12\sqrt{2} = 48\sqrt{2}\text{ cm}$

Porovnání a závěr

Porovnáme obvod obrazce A se součtem obvodů původních čtverců:
  • Obvod obrazce A: $48\sqrt{2}\text{ cm} \approx 67{,}9\text{ cm}$
  • Součet obvodů původních čtverců: $48\text{ cm}$
Tvrzení, že obvod obrazce A je roven součtu obvodů obou čtverců, z nichž byl vytvořen, je nepravdivé (N).
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 10.3
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Na vytvoření každého obrazce použijeme beze zbytku dva čtverce o straně délky 6 cm. Čtverce rozstříháme a ze všech získaných dílů sestavíme obrazec, jehož strany (úsečky po obvodu) mají pouze dvě různé délky.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obvod obrazce A je větší než obvod obrazce B.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11

V rovině leží rovnoběžník ABCD a rovnoramenný trojúhelník BEC se základnou BE. Body A, B, E leží na jedné přímce.

Jaká je velikost úhlu φ?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

  • A) 66°
  • D) 48°
  • B) 57°
  • E) jiná velikost
  • C) 54°
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vnitřní úhly rovnoběžníku

V rovnoběžníku ABCD mají protější vnitřní úhly stejnou velikost. Úhel při vrcholu D má velikost 114°, proto i protější vnitřní úhel při vrcholu B (úhel ABC) má velikost 114°.

Úhel v trojúhelníku

Body A, B, E leží na jedné přímce, takže úhly ABC a CBE tvoří dohromady přímý úhel (jejich součet je 180°). Úhel CBE tedy vypočítáme jako:
180° - 114° = 66°

Vlastnosti rovnoramenného trojúhelníku

Trojúhelník BEC je rovnoramenný se základnou BE. U rovnoramenného trojúhelníku jsou úhly při základně shodné. Protože úhel CBE má velikost 66°, má i úhel CEB velikost 66°.

Výpočet úhlu φ

Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180°. Pro úhel φ tedy platí:
φ = 180° - (66° + 66°) = 180° - 132° = 48°

Správná možnost je tedy D.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 12

Stejná trička a stejné mikiny se prodávaly ve 3 různých obchodech (A–C) za různé ceny.Tričko se v obchodě C prodávalo o 40 Kč levněji než v obchodě A. V obchodě B utržili za prodaná trička dohromady tolik korun jako za prodané mikiny.

Kolik korun utržili v obchodě C za všechna prodaná trička?

  • A) 960 Kč
  • D) 1740 Kč
  • B) 1050 Kč
  • E) více než 1740 Kč
  • C) 1260 Kč
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Analýza obchodu A

Z grafu vyčteme, že v obchodě A se prodalo celkem 16 kusů oblečení, z čehož bylo 12 mikin (bílý sloupec). Počet prodaných triček v obchodě A je tedy:
16 - 12 = 4 trička
V tabulce vidíme, že celková tržba za trička v obchodě A byla 1000 Kč. Cenu za jedno tričko vypočítáme jako:
1000 : 4 = 250 Kč

Krok 2: Cena trička v obchodě C

V zadání se píše, že v obchodě C se tričko prodávalo o 40 Kč levněji než v obchodě A. Cenu za jedno tričko v obchodě C tedy zjistíme odečtením:
250 - 40 = 210 Kč

Krok 3: Tržba za trička v obchodě C

Z grafu zjistíme počet prodaných triček v obchodě C. Celý sloupec končí na hodnotě 26 (půlka dílku mezi 24 a 28) a mikiny (bílý sloupec) končí na 20. Počet triček je:
26 - 20 = 6 triček
Nyní vypočítáme celkovou tržbu za trička v obchodě C:
6 · 210 = 1260 Kč

Závěr

V obchodě C utržili za všechna prodaná trička 1260 Kč. Správná je tedy možnost C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 13

Stejná trička a stejné mikiny se prodávaly ve 3 různých obchodech (A–C) za různé ceny.Tričko se v obchodě C prodávalo o 40 Kč levněji než v obchodě A. V obchodě B utržili za prodaná trička dohromady tolik korun jako za prodané mikiny.

O kolik korun se lišila cena jedné mikiny v obchodech B a C?

  • A) o 20 Kč
  • D) o 90 Kč
  • B) o 40 Kč
  • E) ceny se nelišily
  • C) o 60 Kč
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počty kusů z grafu

Z grafu zjistíme počty prodaných triček a mikin. Musíme si dát pozor na to, že šedá část (trička) navazuje na bílou část (mikiny).
  • Obchod B: Celý sloupec končí na hodnotě 30, bílá část (mikiny) končí na 10. Triček je tedy $30 - 10 = 20$ kusů a mikin je 10 kusů.
  • Obchod C: Celý sloupec končí na hodnotě 26, bílá část (mikiny) končí na 20. Triček je tedy $26 - 20 = 6$ kusů a mikin je 20 kusů.

Cena mikiny v obchodě B

V tabulce vidíme, že jedno tričko v obchodě B stálo 180 Kč. Prodalo se jich 20, takže celková tržba za trička v tomto obchodě byla: $20 \times 180 = 3\,600$ Kč Podle zadání utržili v obchodě B za trička i za mikiny stejně. Za mikiny tedy také utržili 3 600 Kč. Protože se jich prodalo 10, jedna mikina stála: $3\,600 : 10 = 360$ Kč

Cena mikiny v obchodě C

Z tabulky vyčteme, že v obchodě C utržili za mikiny celkem 7 200 Kč. Z grafu už víme, že v tomto obchodě prodali 20 mikin. Cenu za jednu mikinu vypočítáme vydělením: $7\,200 : 20 = 360$ Kč

Porovnání cen a výsledek

Cena jedné mikiny v obchodě B byla 360 Kč a v obchodě C byla také 360 Kč. Rozdíl v jejich cenách je tedy nulový ($360 - 360 = 0$ Kč).

Ceny se v obchodech B a C nelišily.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy
2 body
Úloha 14

V cukrárně mají zabaleno celkem 80 zákusků buď v malých krabičkách po 2 zákuscích, nebo ve velkých krabičkách po 3 zákuscích. Malých krabiček je o 10 více než velkých.

Kolik krabiček se zákusky (malých i velkých dohromady) mají v cukrárně?

  • A) 24
  • D) 40
  • B) 34
  • E) jiný počet
  • C) 38
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krabičky navíc

Víme, že malých krabiček je o 10 více než velkých. Těchto 10 krabiček navíc jsou malé krabičky, do kterých se vejdou vždy 2 zákusky. V těchto krabičkách je tedy celkem $10 \cdot 2 = 20$ zákusků.

Zbytek zákusků

Když těchto 20 zákusků odečteme od celkového počtu, zbyde nám $80 - 20 = 60$ zákusků. Tyto zákusky jsou nyní rozděleny do stejného počtu malých a velkých krabiček.

Počet krabiček

Jedna malá a jedna velká krabička dohromady obsahují $2 + 3 = 5$ zákusků. Počet těchto dvojic krabiček zjistíme vydělením: $60 \div 5 = 12$. Máme tedy 12 velkých krabiček.

Celkový součet

Malých krabiček je o 10 více než velkých, tedy $12 + 10 = 22$. Celkem je v cukrárně $12 + 22 = 34$ krabiček. Správná odpověď je tedy B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.1

Nemocnice obdržela 50 000 dávek vakcíny a 92 % jich již použila k očkování.

Kolik dávek vakcíny nemocnici zbývá?

  • A) 2 800
  • D) 3 600
  • B) 3 000
  • E) 4 000
  • C) 3 200
  • F) jiný počet
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Nemocnice obdržela celkem 50 000 dávek vakcíny, což představuje celý základ (100 %). Již použila 92 % dávek. Chceme zjistit, kolik dávek nemocnici ještě zbývá.

Výpočet zbývajících procent

Jestliže 92 % dávek již bylo použito, na zbývající dávky připadá:
$100\% - 92\% = 8\%$
Nemocnici tedy zbývá 8 % z původního množství.

Výpočet počtu zbývajících dávek

Nyní vypočítáme 8 % z celkového počtu 50 000 dávek. Nejdříve určíme 1 %:
$1\% \text{ z } 50\ 000 = 50\ 000 : 100 = 500\text{ dávek}$

Následně spočítáme 8 %:
$8\% = 8 \cdot 500 = 4\ 000\text{ dávek}$

Nemocnici zbývá 4 000 dávek vakcíny.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.2

Prováděla se kontrola kvality všech pamětních mincí. Požadovanou kvalitu nemělo 10 % těchto mincí, zbývajících 2 700 mincí bylo v pořádku.

Kolik pamětních mincí bylo celkem zkontrolováno?

  • A) 2 800
  • D) 3 600
  • B) 3 000
  • E) 4 000
  • C) 3 200
  • F) jiný počet
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Celkový počet pamětních mincí představuje celek, tedy 100 %.
Víme, že požadovanou kvalitu nemělo 10 % z celkového počtu mincí. Zbývající mince byly v pořádku.
Procentuální část mincí, které byly v pořádku, vypočítáme jako:
100 % - 10 % = 90 %

Výpočet celkového počtu mincí

Zadání nám říká, že v pořádku bylo 2 700 mincí. Těchto 2 700 mincí tedy odpovídá 90 %.
Nejprve určíme hodnotu 1 % (vydělíme počet mincí devadesáti):
2 700 : 90 = 30 mincí
Celkový počet zkontrolovaných mincí (100 %) získáme tak, že hodnotu odpovídající 1 % vynásobíme stem:
30 * 100 = 3 000 mincí

Závěr

Celkem bylo zkontrolováno 3 000 mincí.
Správná možnost je tedy B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.3

Minulý měsíc se ve firmě vyráběla čokoláda tří druhů – hořká, mléčná a oříšková.
Hořká čokoláda tvořila 24 % celkového množství vyrobené čokolády.
Mléčné čokolády se vyrobilo o polovinu více než hořké.
Oříškové čokolády se vyrobilo 1120 kg.

Kolik kilogramů čokolády se ve firmě minulý měsíc vyrobilo?

  • A) 2 800
  • D) 3 600
  • B) 3 000
  • E) 4 000
  • C) 3 200
  • F) jiný počet
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Podíl mléčné čokolády

Mléčné čokolády se vyrobilo o polovinu více než hořké čokolády, která tvoří $24 \,\%$ celkového množství. Polovina z $24 \,\%$ je $12 \,\%$. Mléčná čokoláda tedy tvoří: $24 \,\% + 12 \,\% = 36 \,\%$ celkového množství.

Podíl oříškové čokolády

Celé vyrobené množství čokolády odpovídá $100 \,\%$. Sečteme podíl hořké a mléčné čokolády: $24 \,\% + 36 \,\% = 60 \,\%$ celkového množství.

Zbytek do $100 \,\%$ tvoří oříšková čokoláda: $100 \,\% - 60 \,\% = 40 \,\%$ celkového množství.

Víme, že oříškové čokolády se vyrobilo $1120 \text{ kg}$. Tedy $40 \,\%$ odpovídá $1120 \text{ kg}$.

Výpočet celkového množství

Pokud $40 \,\%$ celkového množství je $1120 \text{ kg}$, pak $1 \,\%$ celkového množství vypočítáme jako:
$1120 : 40 = 28 \text{ kg}$

Celkové vyrobené množství ($100 \,\%$) je potom:
$100 \cdot 28 = 2800 \text{ kg}$

Minulý měsíc se ve firmě vyrobilo celkem $2800 \text{ kg}$ čokolády. Správná možnost je tedy A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.1

První obrazec tvoří jediný puntík.
V dalších obrazcích jsou puntíky uspořádány ve čtvercích.
Strana hraničního čtverce u druhého obrazce obsahuje 3 puntíky a u každého následujícího obrazce má vždy o 2 puntíky více (např. strana hraničního čtverce 5. obrazce obsahuje 9 puntíků).
Počínaje třetím obrazcem vidíme uvnitř hraničního čtverce vždy celý obrazec, který má pořadové číslo o 2 menší (např. uvnitř hraničního čtverce 5. obrazce vidíme celý 3. obrazec).(Následují další obrazce.)

Určete, kolik puntíků obsahuje jedna strana hraničního čtverce 10. obrazce.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pravidlo pro délku strany

Ze zadání víme, že 2. obrazec má na jedné straně hraničního čtverce 3 puntíky. Každý následující obrazec má stranu o 2 puntíky delší.
Například 3. obrazec má $3 + 2 = 5$ puntíků, 4. obrazec má $5 + 2 = 7$ puntíků atd.

Výpočet pro 10. obrazec

Budeme postupně přičítat 2 puntíky, až se dostaneme k 10. obrazci:
  • 2. obrazec: 3 puntíky
  • 3. obrazec: 5 puntíků
  • 4. obrazec: 7 puntíků
  • 5. obrazec: 9 puntíků
  • 6. obrazec: 11 puntíků
  • 7. obrazec: 13 puntíků
  • 8. obrazec: 15 puntíků
  • 9. obrazec: 17 puntíků
  • 10. obrazec: 19 puntíků

Závěr

Jedna strana hraničního čtverce 10. obrazce obsahuje 19 puntíků.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

19

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.2

První obrazec tvoří jediný puntík.
V dalších obrazcích jsou puntíky uspořádány ve čtvercích.
Strana hraničního čtverce u druhého obrazce obsahuje 3 puntíky a u každého následujícího obrazce má vždy o 2 puntíky více (např. strana hraničního čtverce 5. obrazce obsahuje 9 puntíků).
Počínaje třetím obrazcem vidíme uvnitř hraničního čtverce vždy celý obrazec, který má pořadové číslo o 2 menší (např. uvnitř hraničního čtverce 5. obrazce vidíme celý 3. obrazec).(Následují další obrazce.)

Určete, o kolik se liší počty puntíků v 9. a 11. obrazci.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Strana hraničního čtverce

Nejprve určíme, kolik puntíků tvoří stranu hraničního čtverce u 11. obrazce. Podle pravidla má strana 2. obrazce 3 puntíky a u každého dalšího obrazce má vždy o 2 puntíky více. Můžeme si to vypsat:
  • 2. obrazec: 3 puntíky
  • 3. obrazec: 5 puntíků
  • 4. obrazec: 7 puntíků
  • 5. obrazec: 9 puntíků
  • ...
  • 11. obrazec: 21 puntíků (každý krok přidá 2, od druhého k jedenáctému je to 9 kroků, tedy $3 + 9 \times 2 = 21$)

Počet puntíků na obvodu

Vypočítáme, kolik puntíků tvoří samotný hraniční čtverec 11. obrazce. Čtverec má 4 strany po 21 puntících, ale rohy nesmíme počítat dvakrát (každý roh patří dvěma stranám): $21 + 21 + 19 + 19 = 80$ puntíků.

Rozdíl v počtu puntíků

V zadání je uvedeno, že uvnitř hraničního čtverce každého obrazce (počínaje třetím) vidíme celý obrazec, který má pořadové číslo o 2 menší. To znamená, že 11. obrazec tvoří jeho hraniční čtverec a uvnitř něj je „schovaný“ celý 9. obrazec.

Rozdíl mezi 11. a 9. obrazcem je tedy přesně počet puntíků, které tvoří hraniční čtverec 11. obrazce, což je 80 puntíků.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

80

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.3

První obrazec tvoří jediný puntík.
V dalších obrazcích jsou puntíky uspořádány ve čtvercích.
Strana hraničního čtverce u druhého obrazce obsahuje 3 puntíky a u každého následujícího obrazce má vždy o 2 puntíky více (např. strana hraničního čtverce 5. obrazce obsahuje 9 puntíků).
Počínaje třetím obrazcem vidíme uvnitř hraničního čtverce vždy celý obrazec, který má pořadové číslo o 2 menší (např. uvnitř hraničního čtverce 5. obrazce vidíme celý 3. obrazec).(Následují další obrazce.)

Určete, u kolikátého obrazce se počty puntíků v okolních dvou obrazcích liší o 120.

(okolními rozumíme obrazec těsně před a těsně za hledaným obrazcem)

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Co tvoří rozdíl

Pozdější ze dvou okolních obrazců obsahuje celý dřívější obrazec a navíc vnější čtvercový rám. Tento rám tedy musí mít 120 puntíků.

Puntíky na straně rámu

Při obcházení rámu přidělíme každé straně její počáteční roh, ale koncový roh už patří další straně. Na každou ze čtyř stran tak připadá $120 : 4 = 30$ puntíků. S oběma rohy má strana $30 + 1 = 31$ puntíků.

Pořadí obrazce

Počet puntíků na straně začíná jedním a v každém dalším obrazci přibudou dva. K 31 puntíkům vede $(31 - 1) : 2 = 15$ zvětšení, takže rám patří 16. obrazci. Hledaný obrazec je těsně před ním, tedy 15. obrazec.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

15

Stav úlohy
2 body