Přijímací testy 7. ročník

Podkategorie: Matematika 7. ročník — 1. náhradní termín 2021

28 úloh

PDF+Klíč

Úloha 1

Zapište zlomkem v základním tvaru, jakou část litru tvoří 30 % ze čtvrtlitru.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vyjádření čtvrtlitru

Čtvrtina litru se dá zapsat jako zlomek $\frac{1}{4}$ litru.

Vyjádření procent zlomkem

30 % je totéž jako 30 setin, tedy $\frac{30}{100}$. Po zkrácení číslem 10 dostaneme zlomek $\frac{3}{10}$.

Výpočet části ze základu

Vypočítáme 30 % ze čtvrtlitru vynásobením obou zlomků:
$\frac{3}{10} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 4} = \frac{3}{40}$

Základní tvar

Zlomek $\frac{3}{40}$ je v základním tvaru, protože čísla 3 a 40 nemají žádného společného dělitele většího než 1. Výsledkem je tedy část litru vyjádřená zlomkem $\frac{3}{40}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

3/40

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2.1

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost.

$\displaystyle 6,5 - 1,5 \div 5= \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Přednost operací

V tomto výrazu máme odčítání a dělení. Podle pravidel o přednosti početních operací má dělení vždy přednost před odčítáním.

Výpočet dělení

Nejdříve vypočítáme podíl čísel 1,5 a 5.
$1,5 : 5 = 0,3$

Výpočet celkového výsledku

Nyní od čísla 6,5 odečteme výsledek dělení.
$6,5 - 0,3 = 6,2$

Závěr

Do rámečku doplníme číslo 6,2.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

6,2

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2.2

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost.

$\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}} \cdot 2=30+24 \cdot 0,4$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet pravé strany

Nejprve vypočítáme hodnotu na pravé straně rovnice. Musíme dodržet přednost operací, takže nejdříve násobíme:
24 · 0,4 = 9,6

Potom výsledek přičteme k číslu 30:
30 + 9,6 = 39,6

Určení neznámého čísla

Nyní máme rovnici ve tvaru:
$☐$ · 2 = 39,6

Abychom zjistili, jaké číslo patří do rámečku, musíme výsledek na pravé straně vydělit dvěma:
39,6 : 2 = 19,8

Závěr

Do rámečku musíme doplnit číslo 19,8.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

19,8

Stav úlohy

1 bod

Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \left( \frac{3}{4} + \frac{13}{6} \right) \cdot \left( \frac{2}{5} -1 \right) =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet první závorky

Nejdříve vypočítáme součet zlomků v první závorce. Společným jmenovatelem čísel 4 a 6 je číslo 12:
$\frac{3}{4} + \frac{13}{6} = \frac{9 + 26}{12} = \frac{35}{12}$

Výpočet druhé závorky

Poté vypočítáme rozdíl ve druhé závorce. Jedničku si vyjádříme jako zlomek se jmenovatelem 5:
$\frac{2}{5} - 1 = \frac{2}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{3}{5}$

Součin a základní tvar

Nakonec oba výsledky vynásobíme. Před samotným násobením můžeme krátit (číslo 35 proti 5 a číslo 3 proti 12):
$\frac{35}{12} \cdot \left( -\frac{3}{5} \right) = \frac{7}{4} \cdot \left( -\frac{1}{1} \right) = -\frac{7}{4}$

Závěr

Výsledný zlomek $-\frac{7}{4}$ je již v základním tvaru.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-7/4

Stav úlohy

2 body

Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{5} \cdot 2 - 4 \cdot \frac{2}{7} }{2}$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet součinů v čitateli

Nejdříve vypočítáme oba součiny v horní části (čitateli) složeného zlomku:
$\frac{3}{5} \cdot 2 = \frac{6}{5}$
$4 \cdot \frac{2}{7} = \frac{8}{7}$

Krok 2: Odečtení zlomků v čitateli

Nyní odečteme získané zlomky. Abychom je mohli odečíst, musíme je převést na společného jmenovatele, kterým je číslo 35:
$\frac{6}{5} - \frac{8}{7} = \frac{42}{35} - \frac{40}{35} = \frac{2}{35}$

Krok 3: Výpočet celého výrazu

Nakonec výsledek z čitatele vydělíme číslem 2, které je ve jmenovateli složeného zlomku:
$\frac{\frac{2}{35}}{2} = \frac{2}{35} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{35}$

Závěr

Výsledek zapsaný zlomkem v základním tvaru je $\frac{1}{35}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

1/35

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.1

Myslím si celé číslo, které je větší než 20 a menší než 25. Když k němu přičtu trojnásobek jiného celého čísla, dostanu 90.

Určete, které číslo si mohu myslet.

Uveďte všechna řešení.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Možná čísla

Mezi čísly 20 a 25 leží tato celá čísla: 21, 22, 23 a 24. Jedno z nich (nebo více) musí být hledaným řešením.

Dělení do trojic

Číslo 90 se skládá z celých trojic: 90 : 3 = 30. Přičítané číslo je také tvořeno celými trojicemi. I myšlené číslo tedy musí být násobkem tří.

Násobky v daném rozmezí

Protože 20 : 3 = 6 a zbytek 2, první násobek tří nad 20 je 7 · 3 = 21. Další násobek získáme přičtením 3: 24. Následující už je 27, mimo zadané rozmezí. Myšlená čísla jsou 21 a 24.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

21, 24

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.2

Do prázdné mísy jsme dali máslo o hmotnosti 120 g a přidali mouku a cukr.
Suroviny v míse váží dohromady půl kilogramu.
Cukru je v míse o 80 g méně než mouky.

Vypočtěte, kolik gramů mouky je v míse.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celková hmotnost mouky a cukru

Nejdříve si převedeme půl kilogramu na gramy: 0,5 kg = 500 g. Víme, že máslo váží 120 g. Abychom zjistili, kolik váží mouka a cukr dohromady, odečteme máslo od celkové hmotnosti:
$500 - 120 = 380$
Mouka a cukr tedy váží dohromady 380 g.

Výpočet hmotnosti mouky

Cukru je o 80 g méně než mouky. Pokud bychom od celkové hmotnosti mouky a cukru (380 g) odečetli oněch 80 g, zbylých 300 g by se rozdělilo přesně na polovinu mezi mouku a cukr.
$380 - 80 = 300$
$300 : 2 = 150$
Tím jsme zjistili hmotnost cukru (150 g). Mouka váží o 80 g více:
$150 + 80 = 230$
V míse je tedy 230 g mouky.

Ověření

Pro kontrolu sečteme všechny suroviny:
$230\text{ (mouka)} + 150\text{ (cukr)} + 120\text{ (máslo)} = 500\text{ g}$
Výpočet je správný.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

230 m

Stav úlohy

2 body

Úloha 5.1

Dvě rekreační plavkyně Jana s Květou byly společně plavat. Každá uplavala 25 bazénů.
Obě začaly plavat současně a každá plavala svým stále stejným tempem.
Jana uplavala 5 bazénů za 7 minut.
Květa uplavala 10 bazénů za čtvrt hodiny.

Vypočtěte, o kolik sekund se lišily časy obou plavkyň na první obrátce (tj. po uplavání prvního bazénu).

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čas Jany na jeden bazén

Jana uplavala 5 bazénů za 7 minut. Abychom zjistili čas za jeden bazén v sekundách, nejprve převedeme 7 minut na sekundy:
7 · 60 = 420 sekund.
Nyní celkový čas vydělíme počtem bazénů:
420 : 5 = 84 sekund.
Jana tedy jeden bazén uplavala za 84 sekund.

Čas Květy na jeden bazén

Květa uplavala 10 bazénů za čtvrt hodiny, což je 15 minut. Opět převedeme čas na sekundy:
15 · 60 = 900 sekund.
Nyní vypočítáme čas za jeden bazén:
900 : 10 = 90 sekund.
Květě trval jeden bazén 90 sekund.

Rozdíl v časech

Na první obrátce (po prvním bazénu) se časy obou plavkyň lišily o rozdíl jejich časů na jeden bazén:
90 – 84 = 6 sekund.
Časy obou plavkyň se lišily o 6 sekund.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 5.2

Určete, za jak dlouho uplavala 25 bazénů pomalejší plavkyně.

(Čas uveďte v minutách a sekundách)

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čas Jany

Jana uplave 5 bazénů za 7 minut. Celkem má uplavat 25 bazénů, což je pětkrát více ($25 \div 5 = 5$). Její celkový čas tedy bude $5 \cdot 7 = 35$ minut.

Čas Květy

Květa uplave 10 bazénů za čtvrt hodiny, tedy za 15 minut. Na 20 bazénů potřebuje $2 \cdot 15 = 30$ minut. Zbývajících 5 bazénů (polovina z deseti) jí zabere polovinu času, tedy 7 minut a 30 sekund ($15 \div 2 = 7{,}5$ minuty). Celkem tedy Květa plave $30 + 7{,}5 = 37{,}5$ minuty.

Pomalejší plavkyně

Jana plave 35 minut a Květa 37,5 minuty. Pomalejší je ta, které to trvá déle, tedy Květa.

Převod na sekundy

Čas 37,5 minuty musíme uvést v minutách a sekundách. Celých minut je 37. Zbývající půlminuta ($0{,}5$ minuty) odpovídá 30 sekundám. Pomalejší plavkyně tedy plavala 37 minut a 30 sekund.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

37:30 minut

Stav úlohy

2 body

Úloha 6.1

Od startu S do cíle C vede jedna snadná cyklistická trasa údolími a druhá náročná přes kopce. Obě trasy se kříží v místě K.
Po snadné trase ujedeme v první části od startu S do místa K 45 km, což je o polovinu více, než ujedeme v druhé části od místa K do cíle C.
Náročná trasa je dlouhá 45 km a její první část od startu S do místa K je o pětinu kratší než její druhá část od místa K do cíle C.

Vypočtěte, kolik km měří druhá část (od místa K do cíle C) snadné trasy.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pochopení vztahu mezi částmi trasy

První část snadné trasy (ze startu S do místa K) měří 45 km. Víme, že je to o polovinu více, než kolik ujedeme ve druhé části (z místa K do cíle C).

Výpočet pomocí dílků

Pokud si druhou část trasy představíme jako celek rozdělený na dvě poloviny (2 dílky), pak první část musí mít o jednu polovinu více, tedy 3 dílky (2 + 1).
Už víme, že tyto 3 dílky odpovídají 45 km.

1 dílek = $45 : 3 = 15$ km
2 dílky (druhá část) = $2 \cdot 15 = 30$ km

Závěr

Druhá část snadné trasy měří 30 km.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 6.2

Vypočtěte, kolik km měří druhá část (od místa K do cíle C) náročné trasy.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Známe celkovou délku náročné trasy (45 km). Tato trasa se skládá ze dvou částí: od startu S do místa K a od místa K do cíle C. První část je o pětinu kratší než druhá část.

Poměr částí

Pokud si druhou část (K–C) představíme jako jeden celek (nebo 5 pětin), pak první část (S–K) je o jednu pětinu kratší, měří tedy 4 pětiny druhé části. Celá trasa se tedy skládá z $4 + 5 = 9$ stejných dílků (pětin druhé části).

Výpočet délky jednoho dílku

Celková délka 45 km odpovídá 9 stejným dílkům. Jeden dílek tedy měří: $45 : 9 = 5$ km.

Výpočet druhé části trasy

Druhá část trasy (K–C) odpovídá 5 těmto dílkům. Její délka je tedy: $5 \cdot 5 = 25$ km.

(Pro kontrolu: První část S–K by měřila $4 \cdot 5 = 20$ km. Součet je $20 + 25 = 45$ km, což souhlasí se zadáním.)

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 7.1

Z celých dlaždic tvaru obdélníku o rozměrech 18 cm a 8 cm je sestaven nejmenší možný čtverec. Z každého ze čtyř rohů tohoto čtverce odebereme po jedné dlaždici a dostaneme nový útvar.(Jedna strana čtverce je rovnoběžná s delšími stranami všech dlaždic.)

Vypočtěte v cm délku strany sestaveného čtverce.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor úlohy

Čtverec sestavujeme z dlaždic o rozměrech 18 cm a 8 cm. Všechny dlaždice jsou otočeny stejným směrem (jejich delší strany jsou rovnoběžné se stranou čtverce). To znamená, že délka strany čtverce musí být dělitelná jak číslem 18, tak číslem 8.

Hledání nejmenšího čtverce

Protože hledáme nejmenší možný čtverec, musí být délka jeho strany rovna nejmenšímu společnému násobku čísel 18 a 8.
Rozklad na součin prvočísel:
$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$
Nejmenší společný násobek:
$nsc(18, 8) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 8 \cdot 9 = 72$.

Závěr

Délka strany sestaveného čtverce je 72 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

72 cm

Stav úlohy

2 body

Úloha 7.2

Vypočtěte počet dlaždic v novém útvaru.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení strany čtverce

Nejdříve musíme najít délku strany nejmenšího možného čtverce, který lze sestavit z obdélníkových dlaždic o rozměrech 18 cm a 8 cm. Tato strana musí být společným násobkem obou rozměrů. Nejmenší společný násobek čísel 18 a 8 je 72. Strana čtverce tedy měří 72 cm.

Výpočet počtu dlaždic ve čtverci

Spočítáme, kolik dlaždic tvoří jednu stranu čtverce v obou směrech. V jednom směru (podél strany 18 cm) jsou to $72 : 18 = 4$ dlaždice. Ve druhém směru (podél strany 8 cm) je to $72 : 8 = 9$ dlaždic. Celkový počet dlaždic v celém čtverci je tedy $4 \cdot 9 = 36$.

Odebrání rohových dlaždic

Ze čtverce odebereme čtyři rohové dlaždice (z každého rohu jednu). Z původních 36 dlaždic jich tedy zbude $36 - 4 = 32$.

Závěr

V novém útvaru je celkem 32 dlaždic.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 8

V rovině leží body A, M. Bodem A prochází přímka c.

Bod A je vrchol obdélníku ABCD.
Vrchol C tohoto obdélníku leží na přímce c a jeho vzdálenost od bodu M je polovinou vzdálenosti bodu A od bodu M.
Vrchol D obdélníku ABCD leží na polopřímce AM.

Sestrojte vrcholy B, C, D obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

3 body

Vzorové řešení výše.

Je-li konstrukce správná, toleruje se nepatrná nepřesnost.

2 body

Nastane jedna z následujících situací:

Oba požadované obdélníky jsou sestrojeny s mírnou nepřesností.
Je sestrojen pouze jeden požadovaný obdélník, a to přesně.

1 bod

Nastane některá z následujících situací:

Je sestrojen pouze jeden požadovaný obdélník, a to s mírnou nepřesností.
Správně je sestrojen alespoň jeden z obou bodů C, vrcholy B, D obdélníků nejsou sestrojeny, resp. jsou sestrojeny chybně.

0 bodů

Chybná konstrukce.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 1. náhradní termín 2021, úloha 8

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 9

V rovině leží body A, B, L.

Body A, B jsou vrcholy trojúhelníku ABC. Osy vnitřních úhlů BAC a ABC tohoto trojúhelníku procházejí bodem L.

Sestrojte vrchol C trojúhelníku ABC, označte ho písmenem a trojúhelník narýsujte.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

3 body

Vzorové řešení výše.

Je-li konstrukce správná, toleruje se nepatrná nepřesnost.

2 body

Požadovaný trojúhelník je sestrojen s mírnou nepřesností.

1 bod

Správně je sestrojena pouze jedna z polopřímek AC, BC, druhá není sestrojena, resp. je sestrojena chybně.

0 bodů

Chybná konstrukce.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 1. náhradní termín 2021, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 10.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Na vytvoření obrazce můžeme použít velké a malé čtverce a trojúhelníky.
Malý čtverec má stranu délky 2 cm. Velký čtverec lze složit z 9 malých čtverců.
Malý (velký) trojúhelník získáme rozstřižením malého (velkého) čtverce na dvě poloviny.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obrazec A lze beze zbytku rozstříhat na 41 malých trojúhelníků.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Určení hodnot stavebních prvků

Ze zadání víme, že malý čtverec lze rozstřihnout na dva malé trojúhelníky. Jeden malý čtverec má tedy hodnotu 2 trojúhelníků.
Velký čtverec se skládá z 9 malých čtverců, což odpovídá $9 \times 2 = 18$ malým trojúhelníkům.
Velký trojúhelník vznikne rozstřižením velkého čtverce na polovinu, obsahuje tedy $18 : 2 = 9$ malých trojúhelníků.

Krok 2: Výpočet počtu trojúhelníků v Obrazci A

Obrazec A se skládá z následujících částí:

Základna: 1 velký čtverec = 18 malých trojúhelníků
Střecha: 2 velké trojúhelníky = $2 \times 9 = 18$ malých trojúhelníků
Komín: 3 malé čtverce = $3 \times 2 = 6$ malých trojúhelníků

Celkem v Obrazci A napočítáme: $18 + 18 + 6 = 42$ malých trojúhelníků.

Krok 3: Porovnání s tvrzením

Tvrzení v úloze říká, že Obrazec A lze rozstříhat na 41 malých trojúhelníků. Výpočtem jsme však dospěli k počtu 42. Tvrzení je tedy nepravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 10.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah obrazce B je o 4 cm² větší než obsah obrazce A.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet obsahu základních dílků

Nejdříve si určíme obsah jednotlivých druhů čtverců a trojúhelníků, ze kterých jsou obrazce složeny:

Malý čtverec: Má stranu 2 cm, jeho obsah je tedy $2 \cdot 2 = 4 \text{ cm}^2$.
Velký čtverec: Skládá se z 9 malých čtverců, jeho obsah je $9 \cdot 4 = 36 \text{ cm}^2$.
Malý trojúhelník: Vznikne rozstřižením malého čtverce na polovinu, jeho obsah je $4 : 2 = 2 \text{ cm}^2$.
Velký trojúhelník: Vznikne rozstřižením velkého čtverce na polovinu, jeho obsah je $36 : 2 = 18 \text{ cm}^2$.

Krok 2: Obsah obrazce A

Obrazec A se skládá z těchto částí:

1 velký čtverec (základna): $36 \text{ cm}^2$
2 velké trojúhelníky (střecha): $2 \cdot 18 = 36 \text{ cm}^2$
3 malé čtverce (komín): $3 \cdot 4 = 12 \text{ cm}^2$

Celkový obsah obrazce A je součtem těchto částí: $36 + 36 + 12 = 84 \text{ cm}^2$.

Krok 3: Obsah obrazce B

Obrazec B se skládá z těchto částí:

2 velké čtverce: $2 \cdot 36 = 72 \text{ cm}^2$
1 malý čtverec (v mezeře): $4 \text{ cm}^2$
1 malý trojúhelník (vlevo dole): $2 \text{ cm}^2$
4 malé trojúhelníky (na horních hranách): $4 \cdot 2 = 8 \text{ cm}^2$

Celkový obsah obrazce B je: $72 + 4 + 2 + 8 = 86 \text{ cm}^2$.

Krok 4: Porovnání obsahů a závěr

Nyní porovnáme oba obsahy:

Obsah obrazce B: $86 \text{ cm}^2$
Obsah obrazce A: $84 \text{ cm}^2$
Rozdíl: $86 - 84 = 2 \text{ cm}^2$

Tvrzení v zadání uvádí, že obsah obrazce B je o $4 \text{ cm}^2$ větší než obsah obrazce A. To není pravda, rozdíl je pouze $2 \text{ cm}^2$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 10.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah obrazce B je o 50 cm² větší než obsah velkého čtverce.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet obsahu základních částí

Ze zadání víme, že malý čtverec má stranu délky 2 cm. Jeho obsah je tedy $2 \cdot 2 = 4\text{ cm}^2$. Velký čtverec se skládá z 9 malých čtverců, jeho obsah je tedy $9 \cdot 4 = 36\text{ cm}^2$. Malý trojúhelník vznikne rozstřižením malého čtverce na polovinu, jeho obsah je tedy $4 : 2 = 2\text{ cm}^2$.

Rozbor obrazce B

Podle obrázku a popisu se obrazec B skládá z těchto částí:

2 velké čtverce (základny věží),
1 malý čtverec (spojuje věže dole),
4 malé trojúhelníky nahoře na věžích (vytvářejí cimbuří),
1 malý trojúhelník připojený zvenku k levé věži dole.

Celkem tedy v obrazci B najdeme 2 velké čtverce, 1 malý čtverec a 5 malých trojúhelníků.

Výpočet obsahu obrazce B

Nyní sečteme obsahy všech částí:

2 velké čtverce: $2 \cdot 36 = 72\text{ cm}^2$,
1 malý čtverec: $4\text{ cm}^2$,
5 malých trojúhelníků: $5 \cdot 2 = 10\text{ cm}^2$.

Celkový obsah obrazce B je $72 + 4 + 10 = 86\text{ cm}^2$.

Porovnání s velkým čtvercem

Obsah velkého čtverce je $36\text{ cm}^2$. Tvrzení říká, že obrazec B je o $50\text{ cm}^2$ větší než velký čtverec: $36 + 50 = 86\text{ cm}^2$. To přesně odpovídá vypočítanému obsahu obrazce B.

Závěr

Tvrzení je pravdivé (A).

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 11

V rovině leží čtyři přímky, z nichž dvě jsou rovnoběžné.

Jaká je velikost úhlu α?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

A) 18°
D) 48°
B) 36°
E) jiná velikost
C) 44°

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

V obrázku vidíme dvě rovnoběžné přímky a dvě různoběžky, které se protínají mezi nimi. Společně s horní rovnoběžkou tvoří tyto různoběžky trojúhelník. Abychom vypočítali úhel $\alpha$, určíme nejdříve vnitřní úhly tohoto trojúhelníku pomocí vlastností úhlů u rovnoběžek.

Určení vnitřních úhlů

Vnitřní úhel u levého horního vrcholu trojúhelníku je vrcholový k úhlu $\alpha$. Vrcholové úhly jsou shodné, takže tento úhel má velikost $\alpha$.
Vnitřní úhel u pravého horního vrcholu trojúhelníku je souhlasný k úhlu $36^\circ$ u dolní rovnoběžky. Souhlasné úhly u rovnoběžek jsou shodné, takže tento úhel má velikost $36^\circ$.
Třetí vnitřní úhel (u průsečíku různoběžek) je přímo zadán jako $2\alpha$.

Výpočet úhlu $\alpha$

Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku musí být dohromady $180^\circ$. Sestavíme tedy rovnici:

$\alpha + 36^\circ + 2\alpha = 180^\circ$

Nejdříve sečteme členy s $\alpha$:
$3\alpha + 36^\circ = 180^\circ$

Potom odečteme $36^\circ$ od celkového součtu:
$3\alpha = 144^\circ$

Nakonec zjistíme velikost jednoho $\alpha$ dělením třemi:
$\alpha = 144^\circ : 3 = 48^\circ$

Závěr

Velikost úhlu $\alpha$ je $48^\circ$. Správná je tedy možnost D.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 12

Farma vykupuje tři druhy léčivých bylin A, B, C. Výkupní cenu za 1 kg každé z bylin znázorňuje následující graf, i když skutečná cena v korunách není uvedena.

Chlapci ze skautského oddílu nasbírali 12 kg byliny B, dívky sbíraly bylinu A. Dívky dostaly za nasbírané byliny stejnou částku jako chlapci.

Kolik kg byliny A nasbíraly dívky?

A) 8 kg
D) 14 kg
B) 10 kg
E) 15 kg
C) 11 kg

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza grafu

Z grafu zjistíme výkupní cenu za 1 kg bylin v pomyslných dílcích:

Bylina A stojí 8 dílků za 1 kg.
Bylina B stojí 10 dílků za 1 kg.

Výpočet tržby chlapců

Chlapci nasbírali 12 kg byliny B. Každý kilogram stojí 10 dílků, celkem tedy dostali:
$12 \cdot 10 = 120$ dílků.

Výpočet množství byliny A

Dívky dostaly stejnou částku jako chlapci, tedy také 120 dílků. Protože 1 kg byliny A stojí 8 dílků, vydělíme celkovou částku cenou za 1 kg:
$120 : 8 = 15$ kg.

Závěr

Dívky nasbíraly 15 kg byliny A. Správná odpověď je E.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 13

Farma vykupuje tři druhy léčivých bylin A, B, C. Výkupní cenu za 1 kg každé z bylin znázorňuje následující graf, i když skutečná cena v korunách není uvedena.

Vedoucí skautského oddílu nasbírala 2 kg byliny A a 1 kg byliny C. Za nasbírané byliny A dostala o 30 korun více než za byliny C.

Kolik korun celkem dostala vedoucí za nasbírané byliny?

A) 108 korun
D) 189 korun
B) 135 korun
E) více než 190 korun
C) 162 korun

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu

Z grafu vyčteme poměrné výkupní ceny za 1 kg bylin. Osa je rozdělena na dílky pomocí svislých čar (střídají se černé a šedé). Spočítáme-li dílky od nuly, vidíme, že:

Bylina A má cenu odpovídající 8 dílkům.
Bylina C má cenu odpovídající 11 dílkům.

Určení hodnoty jednoho dílku

Vedoucí nasbírala 2 kg byliny A a 1 kg byliny C. Vyjádříme si jejich ceny v dílcích:

Za 2 kg byliny A dostala $2 \times 8 = 16$ dílků.
Za 1 kg byliny C dostala $1 \times 11 = 11$ dílků.

Rozdíl v ceně je $16 - 11 = 5$ dílků. Víme, že tento rozdíl odpovídá 30 korunám. Jeden dílek má tedy hodnotu $30 : 5 = 6$ korun.

Celkový výpočet

Celkem vedoucí dostala zaplaceno za 16 dílků (za bylinu A) a 11 dílků (za bylinu C), což je dohromady $16 + 11 = 27$ dílků.
Protože jeden dílek odpovídá 6 korunám, celková částka je:
$27 \times 6 = 162$ korun.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 14

Kolmý šestiboký hranol byl vytvořen opracováním krychle o hraně délky 8 cm.
Podstava hranolu vznikne ze čtvercové stěny původní krychle oddělením 4 shodných pravoúhlých trojúhelníků s odvěsnami délek 3 cm a 4 cm.
Výška hranolu je 8 cm.

Jaký je objem šestibokého hranolu?

A) 128 cm³
D) 488 cm³
B) 320 cm³
E) jiný objem
C) 416 cm³

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah odříznutých částí

Podstava hranolu vznikne ze čtverce o straně 8 cm tak, že se v každém rohu odřízne jeden pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami délek 3 cm a 4 cm.
Obsah jednoho takového trojúhelníku vypočítáme jako polovinu součinu jeho odvěsen:
$S = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6 \text{ cm}^2$
Protože se odřezávají 4 shodné trojúhelníky, celkový odříznutý obsah je:
$4 \cdot 6 = 24 \text{ cm}^2$

Obsah podstavy hranolu

Původní čtvercová stěna krychle měla obsah:
$S_{čtverce} = 8 \cdot 8 = 64 \text{ cm}^2$
Obsah podstavy šestibokého hranolu získáme tak, že od obsahu čtverce odečteme celkový obsah odříznutých částí:
$S_p = 64 - 24 = 40 \text{ cm}^2$

Výpočet objemu

Objem kolmého hranolu vypočítáme jako součin obsahu jeho podstavy a výšky ($V = S_p \cdot v$). Výška hranolu je stejná jako hrana původní krychle, tedy 8 cm.
$V = 40 \cdot 8 = 320 \text{ cm}^3$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.1

V domově pro seniory je 120 klientů a 84 z nich bylo očkováno.

Kolik procent klientů domova pro seniory nebylo očkováno?

A) 20 %
D) 33 %
B) 25 %
E) 35 %
C) 30 %
F) jiný počet procent

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet počtu neočkovaných klientů

Víme, že v domově je celkem $120$ klientů a $84$ z nich bylo očkováno. Nejdříve zjistíme, kolik klientů očkováno nebylo:
$120 - 84 = 36$

Výpočet procentuálního podílu

Nyní musíme zjistit, kolik procent tvoří $36$ klientů z celkového počtu $120$. Celý domov ($120$ klientů) představuje $100\,\%$.
Vypočítáme hodnotu jednoho procenta ($1\,\%$):
$120 : 100 = 1,2$
Počet procent pro $36$ klientů pak získáme vydělením:
$36 : 1,2 = 30\,\%$

Závěr

Nebylo očkováno $30\,\%$ klientů, což odpovídá možnosti C.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.2

Vláďa má 40 kartiček. Roman má o čtvrtinu kartiček více než Vláďa.

O kolik procent má Vláďa méně kartiček než Roman?

A) 20 %
D) 33 %
B) 25 %
E) 35 %
C) 30 %
F) jiný počet procent

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet počtu Romanových kartiček

Vláďa má 40 kartiček. Roman má o čtvrtinu více než Vláďa. Nejdříve zjistíme, kolik je jedna čtvrtina ze 40:
$40 : 4 = 10$
Roman má tedy o 10 kartiček více než Vláďa:
$40 + 10 = 50$
Roman má 50 kartiček.

Určení základu pro výpočet procent

Otázka zní: „O kolik procent má Vláďa méně kartiček než Roman?“ To znamená, že počet Romanových kartiček budeme brát jako základ (100 %). Základ (100 %) = 50 kartiček.

Výpočet rozdílu v procentech

Vláďa má o 10 kartiček méně než Roman ($50 - 40 = 10$). Musíme vypočítat, kolik procent z 50 tvoří těchto 10 kartiček. Můžeme použít výpočet přes 1 %: 100 % ... 50 kartiček 1 % ... $50 : 100 = 0,5$ kartičky Počet procent ... $10 : 0,5 = 20$ % Nebo úvahou: 10 kartiček z 50 je jedna pětina. Víme, že jedna pětina ze 100 % je 20 %.

Závěr

Vláďa má o 20 % méně kartiček než Roman. Správná odpověď je A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.3

Cena za víkendový pobyt činila 2 000 korun a zahrnovala pouze dopravu, ubytování a stravování. Cena dopravy tvořila čtvrtinu ceny pobytu, ubytování stálo 800 korun.

Kolik procent ceny pobytu tvořila cena stravování?

A) 20 %
D) 33 %
B) 25 %
E) 35 %
C) 30 %
F) jiný počet procent

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet ceny dopravy

Celková cena pobytu je 2 000 Kč. Doprava tvoří čtvrtinu této částky.
2 000 : 4 = 500 Kč
Cena dopravy je tedy 500 Kč.

Výpočet ceny stravování

Z celkové ceny odečteme náklady na dopravu (500 Kč) a ubytování (800 Kč).
2 000 − 500 − 800 = 700 Kč
Cena stravování činí 700 Kč.

Výpočet procentuálního podílu

Vypočítáme, kolik procent tvoří 700 Kč z celkových 2 000 Kč.
100 % = 2 000 Kč
1 % = 2 000 : 100 = 20 Kč
700 : 20 = 35 %

Správná odpověď je tedy 35 %.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 16.1

Trojúhelníkové obrazce se podle vzoru sestavují z tmavých šestiúhelníků a bílých trojúhelníků. Šestiúhelník se skládá ze 6 shodných tmavých trojúhelníků.
Na obrázku jsou tři nejmenší trojúhelníkové obrazce. Jednotlivé řady obrazce jsou očíslovány vždy od nejkratší po nejdelší.

Obrazec má 19 řad.

Určete počet bílých trojúhelníků v 9. řadě.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor struktury obrazce

Obrazce mají tvar velkého trojúhelníku obráceného špičkou dolů. Řady počítáme od spodní špičky. V první řadě je 1 malý trojúhelník. Každá vyšší řada má o 2 malé trojúhelníky více, po jednom na každém kraji. Od první do deváté řady se počet zvětší osmkrát o 2: $1 + 8 \cdot 2 = 17$ trojúhelníků.

Pravidlo pro tmavé šestiúhelníky

Tmavé šestiúhelníky se skládají ze 6 malých tmavých trojúhelníků, které se stýkají v jednom společném vrcholu. Tento středový vrchol vždy leží na rozhraní dvou sousedních řad. To znamená, že každý šestiúhelník zasahuje do dvou řad: 3 trojúhelníky má v jedné řadě a 3 trojúhelníky v řadě přímo nad ní.

Počet šestiúhelníků v řadách

Z nákresu vidíme, že šestiúhelníky jsou uspořádány do dvojic řad (vrstev), přičemž v každé vyšší vrstvě je o jeden šestiúhelník více:

1. vrstva (2. a 3. řada): 1 šestiúhelník
2. vrstva (4. a 5. řada): 2 šestiúhelníky
3. vrstva (6. a 7. řada): 3 šestiúhelníky
4. vrstva (8. a 9. řada): 4 šestiúhelníky

Výpočet pro 9. řadu

V 9. řadě se nacházejí části 4 šestiúhelníků z jejich příslušné vrstvy. Protože každý šestiúhelník v této řadě zabírá 3 trojúhelníky, je v 9. řadě celkem $4 \times 3 = 12$ tmavých trojúhelníků.
Počet bílých trojúhelníků v 9. řadě získáme odečtením tmavých od celkového počtu:
$17 - 12 = 5$

Závěr

V 9. řadě je 5 bílých trojúhelníků.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.2

Obrazec má 19 řad.

Určete počet tmavých trojúhelníků v 16. řadě.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza obrazce a řad

Z popisu a obrázků vidíme, že obrazce se skládají z tmavých šestiúhelníků a bílých trojúhelníků. Každý šestiúhelník se skládá ze 6 tmavých trojúhelníků. Šestiúhelníky jsou uspořádány do „pater“ (úrovní), přičemž každé patro zabírá dvě sousední řady trojúhelníků:

1. patro: 2. a 3. řada (obsahuje 1 šestiúhelník)
2. patro: 4. a 5. řada (obsahuje 2 šestiúhelníky)
3. patro: 6. a 7. řada (obsahuje 3 šestiúhelníky)

Obecně platí, že v $k$-tém patře, které tvoří řady $2k$ a $2k+1$, se nachází právě $k$ šestiúhelníků.

Počet trojúhelníků v šestiúhelníku

Každý šestiúhelník v tomto uspořádání zasahuje do dvou řad. V každé z těchto dvou řad je tvořen právě 3 tmavými trojúhelníky. To si můžeme ověřit u prvního obrazce v 3. řadě: řada má celkem 5 trojúhelníků, z toho 2 v rozích jsou bílé, takže zbývající $5 - 2 = 3$ jsou tmavé a patří šestiúhelníku.

Určení patra pro 16. řadu

Patra začínají ve 2., 4., 6. a dalších sudých řadách. Číslo první řady každého patra je tedy dvojnásobkem čísla patra. Pro 16. řadu vypočítáme $16 : 2 = 8$. Jde o 8. patro, ve kterém je 8 šestiúhelníků.

Výpočet celkového počtu

V 8. patře se nachází 8 šestiúhelníků. Protože každý z těchto šestiúhelníků má v 16. řadě 3 tmavé trojúhelníky, celkový počet spočítáme jako:

8 \times 3 = 24

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.3

Obrazec má 19 řad.

Určete počet tmavých šestiúhelníků v celém obrazci.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor vzoru

Každý tmavý šestiúhelník zasahuje do dvou sousedních řad malých trojúhelníků. Šestiúhelníky proto počítáme po patrech: v řadách 2 a 3 je první patro s 1 šestiúhelníkem, v řadách 4 a 5 druhé patro se 2 šestiúhelníky a v řadách 6 a 7 třetí patro se 3 šestiúhelníky. Každé další patro má o jeden šestiúhelník více.

Určení řad v obrazci s 19 řadami

První řadu tvoří jediný bílý trojúhelník. Zbývá $19 - 1 = 18$ řad. Každé patro šestiúhelníků zabírá dvě řady, takže pater je $18 : 2 = 9$. Poslední patro leží v řadách 18 a 19.

Počet šestiúhelníků v posledním patře

V prvním patře je 1 šestiúhelník a v každém dalším o jeden více. V devátém patře je tedy 9 šestiúhelníků.

Výpočet celkového počtu

Sečteme počty šestiúhelníků v devíti patrech: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$. Pomůžeme si dvojicemi: $(1 + 9) + (2 + 8) + (3 + 7) + (4 + 6) + 5 = 10 + 10 + 10 + 10 + 5 = 45$. Každý šestiúhelník jsme započítali právě jednou.

Závěr

V celém obrazci, který má 19 řad, je celkem 45 tmavých šestiúhelníků.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body