Přijímací testy 7. ročník

Podkategorie: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2020

28 úloh

PDF+Klíč

Úloha 1

Pětina neznámého čísla je 5.

Vypočtěte pětinásobek neznámého čísla.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení neznámého čísla

Víme, že jedna pětina neznámého čísla je 5. Celé neznámé číslo tedy získáme tak, že tuto pětinu vynásobíme pěti:
$5 \cdot 5 = 25$
Neznámé číslo je 25.

Výpočet pětinásobku

Máme vypočítat pětinásobek neznámého čísla, které jsme právě našli (25). Vynásobíme ho tedy pěti:
$25 \cdot 5 = 125$

Závěr

Pětinásobek neznámého čísla je 125.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

125

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2.1

Vypočtěte:

$\displaystyle 5 \cdot \left( - 3 \cdot 2 \right) - 21 \div \left( 1 - 0,7 \right) =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet v závorkách

Nejdříve vypočítáme výrazy uvnitř obou závorek:

V první závorce je: $-3 \cdot 2 = -6$.
Ve druhé závorce je: $1 - 0,7 = 0,3$.

Po dosazení vypadá příklad takto: $5 \cdot (-6) - 21 \div 0,3$.

Násobení a dělení

Nyní provedeme násobení a dělení:

Vynásobíme: $5 \cdot (-6) = -30$.
Vydělíme: $21 \div 0,3$. Dělení desetinným číslem si můžeme zjednodušit vynásobením obou čísel deseti: $210 \div 3 = 70$.

Dokončení výpočtu

Dosadíme výsledky zpět do příkladu a odečteme:
$-30 - 70 = -100$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-100

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2.2

Vypočtěte:

$\displaystyle \frac{1}{0,01} \div 10 - 0,2 \cdot 50=$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet první části výrazu

Nejdříve vypočítáme hodnotu zlomku $\frac{1}{0,01}$. Protože $0,01$ je jedna setina, výraz $\frac{1}{0,01}$ je roven $100$. Poté tento výsledek vydělíme číslem $10$:
$100 \div 10 = 10$

Výpočet druhé části výrazu

V druhé části výrazu vynásobíme $0,2$ a $50$. Můžeme si to představit jako $\frac{2}{10} \cdot 50 = 2 \cdot 5 = 10$.
Tedy: $0,2 \cdot 50 = 10$

Odečtení a konečný výsledek

Nyní oba získané výsledky odečteme:
$10 - 10 = 0$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \left( \frac{5}{6} - \frac{3}{8} \right) - \left( 2 - \frac{11}{12} \right) =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet první závorky

Nejdříve vypočítáme hodnotu v první závorce. Pro zlomky $\frac{5}{6}$ a $\frac{3}{8}$ nalezneme nejmenšího společného jmenovatele, kterým je číslo 24.
$\frac{5}{6} - \frac{3}{8} = \frac{20 - 9}{24} = \frac{11}{24}$

Výpočet druhé závorky

Poté vypočítáme hodnotu ve druhé závorce. Celé číslo 2 si vyjádříme jako zlomek se jmenovatelem 12.
$2 - \frac{11}{12} = \frac{24}{12} - \frac{11}{12} = \frac{13}{12}$

Odečtení výsledků

Nyní odečteme výsledek druhé závorky od výsledku první závorky. Společným jmenovatelem čísel 24 a 12 je číslo 24.
$\frac{11}{24} - \frac{13}{12} = \frac{11 - 26}{24} = -\frac{15}{24}$

Základní tvar

Výsledek ještě musíme zkrátit do základního tvaru. Čitatele i jmenovatele vydělíme jejich největším společným dělitelem, což je číslo 3.
-\frac{15}{24} = \mathbf{-\frac{5}{8}}$

Závěr

Výsledkem celého výrazu vyjádřeným zlomkem v základním tvaru je $-\frac{5}{8}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-5/8

Stav úlohy

2 body

Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle 2 \cdot \frac{5}{6} - \frac{1}{3} }{10} =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet v čitateli

Nejdříve vypočítáme výraz v čitateli hlavního zlomku:
$2 \cdot \frac{5}{6} - \frac{1}{3}$
Nejdříve provedeme násobení: $2 \cdot \frac{5}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
Nyní odečteme druhý zlomek: $\frac{5}{3} - \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

Dělení jmenovatelem

Nyní výsledek z čitatele ($\frac{4}{3}$) vydělíme číslem $10$, které je ve jmenovateli:
$\frac{4}{3} : 10 = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{10} = \frac{4}{30}$

Základní tvar

Zlomek $\frac{4}{30}$ zkrátíme číslem $2$, abychom získali základní tvar:
$\frac{4}{30} = \frac{2}{15}$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

2/15

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.1

Sjezdovka je o polovinu delší než lanovka. Jejich délky se liší o čtvrt kilometru.

Vypočtěte v metrech délku sjezdovky.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl v délce

Ze zadání víme, že sjezdovka je o polovinu delší než lanovka. To znamená, že rozdíl mezi jejich délkami tvoří přesně polovinu délky lanovky.

Převod na metry

Jejich délky se liší o čtvrt kilometru. Protože máme výsledek uvést v metrech, převedeme si tento rozdíl: 1 km má 1000 metrů, tedy čtvrt kilometru je $1000 : 4 = 250

nbsp;metrů.

Délka lanovky

Jestliže polovina délky lanovky je 250 metrů, pak celá lanovka měří dvakrát tolik: $2 \cdot 250 = 500

nbsp;metrů.

Výpočet délky sjezdovky

Sjezdovka je o 250 metrů delší než lanovka. Její délka je tedy: $500 + 250 = 750

nbsp;metrů.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

750 m

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.2

Objem sudu je 1,1 m³, objem kbelíku je 5 700 cm³.
Ze sudu zcela naplněného vodou jsme odebrali 10 plných kbelíků vody.

Vypočtěte, kolik litrů vody zbylo v sudu.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převedení objemu sudu na litry

Objem sudu je zadán v metrech krychlových. Pro výpočet v litrech musíme vědět, že $1\text{ m}^3 = 1000\text{ litrů}$.

$1,1\text{ m}^3 = 1,1 \cdot 1000 = \mathbf{1100\text{ litrů}}$

Převedení objemu kbelíku na litry

Objem kbelíku je zadán v centimetrech krychlových. Víme, že $1000\text{ cm}^3 = 1\text{ dm}^3$, což je $1\text{ litr}$.

$5700\text{ cm}^3 = 5,7\text{ dm}^3 = \mathbf{5,7\text{ litru}}$

Výpočet odebrané vody

Ze sudu bylo odebráno 10 plných kbelíků. Celkový odebraný objem zjistíme vynásobením objemu jednoho kbelíku deseti.

$10 \cdot 5,7 = \mathbf{57\text{ litrů}}$

Výpočet zbývající vody v sudu

Od původního objemu vody v sudu odečteme vodu, kterou jsme vybrali kbelíky.
$1100 - 57 = \mathbf{1043\text{ litrů}}$
V sudu zbylo 1043 litrů vody.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

1 043

Stav úlohy

2 body

Úloha 5.1

Každý ze tří spolužáků měl zapsat co nejvíce hlavních měst evropských států.
Adam zapsal 12 hlavních měst, stejně jako Bětka, ale Eliška jich zapsala jen 6.
Mezi všemi zapsanými hlavními městy byla 2 města zapsána třikrát, 7 měst dvakrát a ostatní jen jedenkrát.

Vypočtěte, kolik hlavních měst bylo zapsáno jen jedenkrát.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet zápisů

Nejdříve zjistíme, kolik hlavních měst zapsali všichni tři spolužáci dohromady. Adam zapsal 12 měst, Bětka také 12 měst a Eliška 6 měst.
$12 + 12 + 6 = 30$
Dohromady tedy zapsali 30 názvů (i když se některé opakovaly).

Města zapsaná vícekrát

Nyní spočítáme, kolik z těchto 30 zápisů tvoří města, která se v seznamech opakovala:

2 města byla zapsána třikrát: $2 \cdot 3 = 6$ zápisů
7 měst bylo zapsáno dvakrát: $7 \cdot 2 = 14$ zápisů

Dohromady tato opakovaná města tvoří $6 + 14 = 20$ zápisů.

Města zapsaná jednou

Od celkového počtu 30 zápisů odečteme 20 zápisů, která patřila opakujícím se městům. Zbytek jsou města, která se v seznamech objevila jen jedenkrát.
$30 - 20 = 10$
Jen jedenkrát bylo zapsáno 10 hlavních měst.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 5.2

Vypočtěte, kolik různých hlavních měst bylo celkem zapsáno.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet zápisů

Nejdříve zjistíme, kolik hlavních měst zapsali všichni tři spolužáci dohromady. Sečteme jejich výkony:
12 (Adam) + 12 (Bětka) + 6 (Eliška) = 30 zápisů.

Města zapsaná vícekrát

Víme, že některá města se v seznamech opakovala. Vypočítáme, kolik zápisů tato opakující se města spotřebovala:

2 města byla zapsána třikrát: $2 \cdot 3 = 6$ zápisů
7 měst bylo zapsáno dvakrát: $7 \cdot 2 = 14$ zápisů

Dohromady tato města tvoří $6 + 14 = 20$ zápisů.

Města zapsaná jen jednou

Od celkového počtu všech zápisů odečteme ty, které patří městům zapsaným vícekrát:
$30 - 20 = 10$
Zbývá nám 10 zápisů. Protože tato zbývající města byla zapsána každé jen jedenkrát, musí jich být přesně 10.

Celkový počet různých měst

Nyní už jen stačí sečíst počty všech různých měst, o kterých víme:

města zapsaná třikrát: 2
města zapsaná dvakrát: 7
města zapsaná jedenkrát: 10

Celkem bylo zapsáno 2 + 7 + 10 = 19 různých hlavních měst.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 6.1

Děti koupily mamince k narozeninám růže, bonboniéru, ozdobnou záložku a knihu, vše celkem za 340 korun.
Růže s bonboniérou stály celkem 210 korun. Růže byly o třetinu dražší než bonboniéra.
Samotná kniha byla o 100 korun dražší než ozdobná záložka.

Vypočtěte, kolik korun zaplatily děti za růže.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Víme, že růže a bonboniéra stály dohromady 210 Kč. Růže byly o třetinu dražší než bonboniéra. Pokud si cenu bonboniéry představíme jako 3 stejné díly (třetiny), pak růže stály o jeden takový díl více, tedy 4 stejné díly.

Výpočet ceny za jeden díl

Dohromady cena za růže (4 díly) a bonboniéru (3 díly) odpovídá 7 stejným dílům.
Celková cena za tyto dvě položky je 210 Kč. Jeden díl tedy vypočítáme takto:
210 : 7 = 30 Kč

Výpočet ceny růží

Růže odpovídají 4 dílům. Cenu za růže získáme vynásobením ceny jednoho dílu čtyřmi:
4 · 30 = 120 Kč

Odpověď

Děti zaplatily za růže 120 Kč.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

120

Stav úlohy

2 body

Úloha 6.2

Vypočtěte, kolik korun stála ozdobná záložka.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet ceny za knihu a záložku dohromady

Víme, že celková cena za všechny dárky byla 340 korun. Růže a bonboniéra stály dohromady 210 korun. Cenu za zbývající dva dárky (knihu a záložku) vypočítáme tak, že od celkové částky odečteme cenu růží a bonboniéry:
340 − 210 = 130 korun.

Krok 2: Rozbor vztahu mezi knihou a záložkou

Kniha a záložka stály dohromady 130 korun. Ze zadání víme, že kniha byla o 100 korun dražší než záložka. Pokud bychom od jejich společné ceny (130 korun) odečetli tento rozdíl (100 korun), zbyla by nám částka, kterou by oba dárky stály, kdyby měly stejnou cenu:
130 − 100 = 30 korun.

Krok 3: Výpočet ceny záložky

Tuto zbývající částku (30 korun) rozdělíme na dvě stejné části. Jedna část představuje cenu levnějšího dárku (záložky) a druhá základní cenu knihy (ke které pak přičteme oněch 100 korun):
30 : 2 = 15 korun.

Ozdobná záložka tedy stála 15 korun. (Pro kontrolu: Kniha stála 15 + 100 = 115 korun. Dohromady 115 + 15 = 130 korun, což odpovídá našemu výpočtu z prvního kroku.)

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.1

Podstavou kolmého čtyřbokého hranolu je kosočtverec.
Výška hranolu je 10 cm a povrch hranolu je 360 cm².
Obsah pláště hranolu je sedmkrát větší než obsah jedné podstavy.

Vypočtěte v cm² obsah pláště hranolu.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor povrchu hranolu

Povrch hranolu se skládá ze dvou shodných podstav a pláště. Víme, že celkový povrch je 360 cm². Zadání nám také říká, že obsah pláště je sedmkrát větší než obsah jedné podstavy.

Vztah mezi podstavou a pláštěm

Označíme si obsah jedné podstavy jako $S_p$. Potom obsah pláště $S_{pl}$ je $7 \cdot S_p$. Celkový povrch $S$ vypočítáme jako součet obsahů obou podstav a pláště:
$S = 2 \cdot S_p + S_{pl}$
Dosadíme za $S_{pl}$ ze zadání:
$S = 2 \cdot S_p + 7 \cdot S_p = 9 \cdot S_p$

Výpočet obsahu podstavy

Celkový povrch 360 cm² tedy odpovídá 9 stejným dílkům (2 dílky pro podstavy a 7 dílků pro plášť). Obsah jedné podstavy vypočítáme vydělením:
$360 = 9 \cdot S_p$
$S_p = 360 : 9 = 40 \text{ cm}^2$

Výpočet obsahu pláště

Obsah pláště je sedmkrát větší než obsah podstavy:
$S_{pl} = 7 \cdot 40 = 280 \text{ cm}^2$
(Pro kontrolu můžeme od celkového povrchu odečíst dvě podstavy: $360 - 2 \cdot 40 = 360 - 80 = 280 \text{ cm}^2$).

Závěr

Obsah pláště hranolu je 280 cm².

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

280 cm²

Stav úlohy

2 body

Úloha 7.2

Podstavou kolmého čtyřbokého hranolu je kosočtverec.
Výška hranolu je 10 cm a povrch hranolu je 360 cm².
Obsah pláště hranolu je sedmkrát větší než obsah jedné podstavy.

Vypočtěte v cm součet délek všech 12 hran hranolu.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor povrchu hranolu

Povrch hranolu tvoří dvě podstavy a plášť. Víme, že plášť je sedmkrát větší než jedna podstava. Celý povrch tedy odpovídá devítinásobku obsahu jedné podstavy (dvě podstavy + sedmkrát podstava za plášť).
Obsah jedné podstavy vypočítáme jako:
360 : 9 = 40 cm²
Obsah pláště je pak:
7 · 40 = 280 cm²

Výpočet obvodu podstavy

Obsah pláště kolmého hranolu získáme vynásobením obvodu podstavy a výšky hranolu (10 cm).
Obvod podstavy (o) tedy vypočítáme jako:
280 : 10 = 28 cm

Součet délek všech hran

Hranol má 12 hran. Jsou to 4 hrany dolní podstavy, 4 hrany horní podstavy a 4 boční hrany (výšky).
Součet délek hran podstav odpovídá dvěma obvodům:
2 · 28 = 56 cm
Součet délek čtyř bočních hran je:
4 · 10 = 40 cm
Celkový součet všech 12 hran je:
56 + 40 = 96 cm

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

96 cm

Stav úlohy

2 body

Úloha 8

V rovině leží polopřímka XY a bod A.

Bod A je vrchol obdélníku ABCD. Jiné dva vrcholy tohoto obdélníku leží na polopřímce XY a délka strany AB je 7 cm.

Sestrojte vrcholy B, C, D obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

3 body

Vzorové řešení výše.

Je-li konstrukce obou řešení správná, toleruje se nepatrná nepřesnost.

2 body

Pouze jedno správné řešení.

0 bodů

Chybná konstrukce nebo větší než mírná nepřesnost.

Bodové srážky se uplatní po určení základního hodnocení.

−1 bod: Mírná nepřesnost (některá kolmice či rovnoběžka se odchyluje od správného směru méně než o 3°, nebo délka úsečky se liší nejvýše o 3 mm), resp. jsou sestrojeny další útvary, které nepatří do množiny řešení.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2020, úloha 8

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 9

V rovině leží přímka p a polopřímka AX.

Bod A je vrchol rovnostranného trojúhelníku ABC.
Jeden ze zbývajících vrcholů B, C tohoto trojúhelníku leží na polopřímce AX a druhý na přímce p.
Tedy polopřímka AX tvoří jedno rameno vnitřního úhlu α trojúhelníku ABC.

1. Sestrojte druhé rameno úhlu α rovnostranného trojúhelníku ABC.
2. Sestrojte trojúhelník ABC a jeho vrcholy označte písmeny.

Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

3 body

Vzorové řešení výše.

Správná konstrukce dvou trojúhelníků. Je-li viditelná správná konstrukce úhlu o velikosti 60° pomocí kružítka, toleruje se nepatrná nepřesnost.

2 body

Správná konstrukce právě jednoho trojúhelníku, druhý trojúhelník chybí nebo je sestrojen chybně.

1 bod

Správně je vyřešena pouze úloha 9.1 (polopřímka AX) a trojúhelníky ABC nejsou sestrojeny, nebo jsou sestrojeny chybně.

0 bodů

Chybné nebo chybějící řešení celé úlohy.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2020, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 10.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou zakresleny dva tmavé obrazce A, B. Vrcholy obou obrazců leží v mřížových bodech.Každý čtvereček čtvercové sítě má stranu délky 1 cm.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah obrazce A je 7 cm².

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza obrazce

Obrazec A je vykreslen ve čtvercové síti, kde každý čtvereček má stranu délky 1 cm (plocha čtverečku je tedy 1 cm²). Abychom určili obsah obrazce, můžeme jej rozdělit na jednodušší části nebo jej opsat obdélníkem a odečíst prázdná místa.

Výpočet pomocí opsaného obdélníku

Obrazec A můžeme uzavřít do obdélníku o šířce 4 cm a výšce 5 cm. Obsah tohoto celého obdélníku je $4 \cdot 5 = 20$ cm². Od tohoto obsahu odečteme části, které do obrazce A nepatří:

Vpravo dole: pravúhlý trojúhelník s odvěsnami 2 cm a 2 cm. Jeho obsah je $(2 \cdot 2) : 2 = 2$ cm².
Vlevo dole: pravúhlý trojúhelník s odvěsnami 1 cm a 3 cm (zářez zespodu). Jeho obsah je $(1 \cdot 3) : 2 = 1{,}5$ cm².
Vlevo nahoře: pravúhlý trojúhelník s odvěsnami 1 cm a 2 cm (zbytek do šířky obdélníku). Jeho obsah je $(1 \cdot 2) : 2 = 1$ cm².

Výsledný obsah

Obsah obrazce A vypočítáme jako: $20 - 2 - 1{,}5 - 1 = 15{,}5$ cm². Tvrzení, že obsah obrazce A je 7 cm², je tedy nepravdivé.

Závěr

Tvrzení je nepravdivé (N).

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 10.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou zakresleny dva tmavé obrazce A, B. Vrcholy obou obrazců leží v mřížových bodech.Každý čtvereček čtvercové sítě má stranu délky 1 cm.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah obrazce B je o 1 cm² větší než obsah obrazce A.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah obrazce A

Obrazec A je nekonvexní pětiúhelník. Jeho obsah můžeme určit rozdělením na jednodušší části nebo pomocí mřížových bodů (např. Pickův vzorec). Nejjednodušší je rozdělit obrazec na základní obdélník o rozměrech $3 \times 4\text{ cm}$ (obsah $12\text{ cm}^2$), od kterého odečteme nebo ke kterému přičteme trojúhelníkové části mřížky. Po správném sečtení všech čtverečků a jejich částí zjistíme, že obsah obrazce A je $8\text{ cm}^2$.

Obsah obrazce B

Obrazec B je nekonvexní sedmiúhelník. Postupujeme obdobně jako u obrazce A. Obrazec si můžeme rozdělit na horní část (nad základní linkou) a dolní část. Horní část má obsah $5{,}5\text{ cm}^2$ a dolní část tvořená obdélníkem a trojúhelníkem má obsah $1{,}5\text{ cm}^2$. Celkem je tedy obsah obrazce B $7\text{ cm}^2$.

Porovnání obsahů

Tvrzení v zadání říká, že obsah obrazce B je o $1\text{ cm}^2$ větší než obsah obrazce A. Porovnáme naše výsledky:
Obsah A = $8\text{ cm}^2$
Obsah B = $7\text{ cm}^2$

Vidíme, že obsah obrazce B je ve skutečnosti o $1\text{ cm}^2$ menší než obsah obrazce A ($7 < 8$). Tvrzení je tedy nepravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 10.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou zakresleny dva tmavé obrazce A, B. Vrcholy obou obrazců leží v mřížových bodech.Každý čtvereček čtvercové sítě má stranu délky 1 cm.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obvod obrazce B je stejný jako obvod obrazce A.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrazce A

Obvod obrazce A se skládá ze dvou úseček na mřížových čarách a tří šikmých stran. Strany na mřížových čarách mají délky 3 cm a 3 cm, dohromady tedy 6 cm. Šikmé strany jsou úhlopříčkami v obdélnících sítě:

dvě strany jsou úhlopříčkami obdélníků 2×1 (nebo 1×2) čtverečky, jejich délka je $2 \cdot \sqrt{2^2 + 1^2} = 2\sqrt{5}$ cm,
třetí strana je úhlopříčkou čtverce 2×2 čtverečky, její délka je $\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ cm.

Rozbor obrazce B

Obvod obrazce B se skládá ze čtyř úseček na mřížových čarách a tří šikmých stran. Strany na mřížových čarách mají délky 1 cm, 1 cm, 3 cm a 1 cm, dohromady tedy také 6 cm. Šikmé strany jsou:

jedna strana je úhlopříčkou obdélníku 4×2 čtverečky, její délka je $\sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ cm,
dvě strany jsou úhlopříčkami jednoho čtverečku 1×1, jejich délka je $2 \cdot \sqrt{1^2 + 1^2} = 2\sqrt{2}$ cm.

Porovnání obvodů

Oba obrazce mají součet délek stran ležících na mřížových čarách stejný (6 cm). Také součet délek šikmých stran je u obou obrazců stejný ($2\sqrt{5} + 2\sqrt{2}$ cm). Obvody obrazců A a B jsou tedy shodné.

Závěr

Tvrzení v zadání, že obvod obrazce B je stejný jako obvod obrazce A, je pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 11

Jaká je velikost úhlu α?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

A) menší než 80°
D) 100°
B) 80°
E) větší než 100°
C) 90°

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úhel u stoupající přímky

Vodorovné přímky jsou rovnoběžné, takže stoupající přímka s nimi svírá stejné úhly. U dolní přímky vidíme úhel 142° (vlevo nahoře). Stejně velký úhel bude i u horního průsečíku vlevo nahoře.

Nás zajímá úhel pod horní přímkou (vlevo dole). Ten tvoří s úhlem 142° přímku (jsou to úhly vedlejší), takže ho vypočítáme:
$180° - 142° = 38°$

Úhel u klesající přímky

Klesající šikmé přímky jsou také rovnoběžné. Úhel 118° vpravo nahoře u levé přímky se díky rovnoběžnosti přenese i na pravou šikmou přímku.

Pod horní vodorovnou přímkou vpravo dole tak bude úhel vedlejší k 118°:
$180° - 118° = 62°$

Výpočet úhlu α

Všechny tři přímky se protínají v jednom bodě. Pod horní vodorovnou přímkou se v tomto bodě nacházejí tři úhly, které dohromady musí dát 180° (přímý úhel).

Dva z nich už známe (38° a 62°), úhel α je v obrázku přesně mezi nimi:
$α = 180° - (38° + 62°) = 180° - 100° = 80°$

Správná je tedy možnost B.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 12

Všichni žáci tříd 7. A a 7. B se zúčastnili soutěže, v níž mohl každý z nich získat 0 až 3 body.
V následujícím grafu jsou uvedeny počty žáků, kteří získali v soutěži daný počet bodů, jeden údaj však chybí.

Kolik procent žáků 7.A získalo v soutěži méně než 2 body?

A) 13 %
D) 52 %
B) 21 %
E) jiný počet procent
C) 32 %

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza grafu pro třídu 7. A

Z grafu odečteme počty žáků třídy 7. A (tmavě šedé sloupce), kteří získali jednotlivé počty bodů:

0 bodů: 3 žáci
1 bod: 10 žáků
2 body: 8 žáků
3 body: 4 žáci

Celkový počet žáků v 7. A

Nejdříve musíme zjistit, kolik žáků je celkem v 7. A. Sečteme všechny žáky této třídy:
$3 + 10 + 8 + 4 = 25$ žáků

Žáci s méně než 2 body

Méně než 2 body získali ti žáci, kteří mají buď 0 bodů, nebo 1 bod. Jejich počet je:
$3 + 10 = 13$ žáků

Výpočet procentuálního podílu

Nyní vypočítáme, kolik procent tvoří 13 žáků z celkového počtu 25 žáků. Můžeme využít toho, že 25 je čtvrtina ze 100, a zlomek rozšířit čtyřmi:
$\frac{13}{25} = \frac{13 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{52}{100} = 52\ \%$

Závěr

V soutěži získalo méně než 2 body 52 % žáků 7. A. To odpovídá možnosti D.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 13

Žáci 7.A získali v soutěži celkem o 2 body méně než žáci 7.B.

Kolik žáků chodí do třídy 7.B?

A) méně než 24 žáků
D) 26 žáků
B) 24 žáků
E) více než 26 žáků
C) 25 žáků

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet bodů třídy 7. A

Z grafu vyčteme počty žáků třídy 7. A (tmavě šedé sloupce) pro jednotlivé bodové zisky a vypočítáme jejich celkový počet bodů:

0 bodů: $3 \cdot 0 = 0$ bodů
1 bod: $10 \cdot 1 = 10$ bodů
2 body: $8 \cdot 2 = 16$ bodů
3 body: $4 \cdot 3 = 12$ bodů

Celkem žáci 7. A získali: $0 + 10 + 16 + 12 = 38$ bodů.

Celkový počet bodů třídy 7. B

V zadání je uvedeno, že žáci 7. A získali o 2 body méně než žáci 7. B. Třída 7. B tedy získala o 2 body více: $38 + 2 = 40$ bodů.

Doplnění chybějícího údaje v grafu

Nejdříve spočítáme body za známé sloupce u třídy 7. B (světle šedé sloupce):

0 bodů: $5 \cdot 0 = 0$ bodů
1 bod: $4 \cdot 1 = 4$ body
2 body: $9 \cdot 2 = 18$ bodů

Za tyto kategorie mají žáci 7. B celkem $0 + 4 + 18 = 22$ bodů. Do celkového počtu 40 bodů jim chybí $40 - 22 = 18$ bodů. Tyto body získali žáci se 3 body. Jejich počet vypočítáme jako $18 : 3 = 6$ žáků.

Celkový počet žáků v 7. B

Nyní sečteme všechny žáky třídy 7. B ze všech sloupců grafu: $5 + 4 + 9 + 6 = 24$ žáků.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 14

Adéla a Hana dostaly stejnou knihu. Hana přečetla z knihy denně 10 stran. Adéla přečetla celou knihu za 8 dní a každý den z ní přečetla o polovinu více stran než Hana.

Za kolik dní přečetla celou knihu Hana?

A) za méně než 10 dní
D) za 15 dní
B) za 10 dní
E) za více než 15 dní
C) za 12 dní

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Stránky přečtené Adélou za den

Hana přečetla denně 10 stran. Adéla přečetla o polovinu více stran než Hana. Polovina z 10 je 5, takže Adéla přečetla denně $10 + 5 = 15$ stran.

Celkový počet stran v knize

Adéla přečetla celou knihu za 8 dní. Každý den přečetla 15 stran, celkem tedy kniha má $8 \cdot 15 = 120$ stran.

Doba čtení Hany

Hana přečte denně 10 stran. Celou knihu o 120 stranách tedy přečte za $120 \div 10 = 12$ dní.

Výsledek

Hana přečetla celou knihu za 12 dní. Správná je možnost C.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.1

Farmář z loňské úrody obilí 20 % uskladnil a zbývajících 200 tun prodal.

Kolik tun činila loňská úroda obilí?

A) 180 tun
D) 240 tun
B) 200 tun
E) 250 tun
C) 210 tun
F) jiný počet tun

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Určení procentuálního podílu prodaného obilí

Celková loňská úroda obilí představuje 100 %. Víme, že farmář 20 % uskladnil. Zbývající část, kterou prodal, tedy tvoří:
100 % − 20 % = 80 %

Krok 2: Výpočet hodnoty jednoho procenta

Víme, že prodaných 80 % úrody odpovídá 200 tunám obilí. Abychom zjistili hodnotu 1 %, vydělíme hmotnost prodaného obilí příslušným počtem procent:
200 t : 80 = 2,5 t

Krok 3: Výpočet celkové úrody

Celková úroda (100 %) je stonásobkem hodnoty jednoho procenta:
100 · 2,5 t = 250 t

Závěr

Loňská úroda obilí činila 250 tun. Správná je tedy možnost E.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.2

Farmář letos koupil 300 tun krmiva, což je o 25 % více, než koupil loni.

Kolik tun krmiva koupil loni?

A) 180 tun
D) 240 tun
B) 200 tun
E) 250 tun
C) 210 tun
F) jiný počet tun

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Určení procentuálního podílu letošního nákupu

Loňský nákup představuje základ, tedy 100 %. Letošní nákup je o 25 % větší, odpovídá tedy:
100 % + 25 % = 125 %

Krok 2: Výpočet hodnoty jednoho procenta

Víme, že letošní nákup 300 tun krmiva odpovídá 125 %. Abychom zjistili hodnotu 1 %, vydělíme letošní množství příslušným počtem procent:
300 t : 125 = 2,4 t

Krok 3: Výpočet loňského nákupu

Loňský nákup (100 %) vypočítáme jako stonásobek hodnoty jednoho procenta:
100 · 2,4 t = 240 t

Závěr

Farmář loni koupil 240 tun krmiva. Správná je tedy možnost D.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.3

Farmář z loňské úrody kukuřice prodal 10 % velkoodběrateli a třetinu zbytku maloodběratelům. Zbývajících 270 tun kukuřice uskladnil.

Kolik tun z loňské úrody kukuřice prodal?

A) 180 tun
D) 240 tun
B) 200 tun
E) 250 tun
C) 210 tun
F) jiný počet tun

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor situace v procentech

Farmář nejdříve prodal 10 % úrody velkoodběrateli. Zůstalo mu tedy 90 % úrody ($100 \, % - 10 \, % = 90 \, %$).

Výpočet prodeje maloodběratelům

Z tohoto zbytku (90 %) prodal maloodběratelům jednu třetinu. Jedna třetina z 90 % je 30 % celkové úrody ($90 \, % : 3 = 30 \, %$).

Výpočet uskladněné kukuřice

Celkem farmář prodal $10 \, % + 30 \, % = 40 \, %$ úrody. Zbytek uskladnil. Uskladněná kukuřice tedy tvoří $100 \, % - 40 \, % = 60 \, %$ úrody.

Výpočet množství prodané kukuřice

Víme, že uskladněných 60 % odpovídá 270 tunám. Jeden dílek (10 %) vypočítáme jako $270 : 6 = 45$ tun.

Zadání se ptá, kolik tun farmář prodal. Protože prodal celkem 40 % úrody, vypočítáme toto množství jako $4 \cdot 45 = 180$ tun.

Závěr

Farmář prodal celkem 180 tun kukuřice.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 16.1

Všechny obrazce sestavené ze sirek splňují následující pravidla:
– každý obrazec začíná a končí trojúhelníkem,
– v prvním obrazci je jeden čtverec a v každém následujícím obrazci přibude další čtverec,
– uvnitř každého druhého čtverce je jedna sirka.
Tedy 1. obrazec je sestaven z 8 sirek, 2. obrazec je sestaven z 12 sirek atd.

Určete, o kolik sirek má 7. obrazec více než 4. obrazec.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Jak se obrazce mění

Z pravidel a obrázku vidíme, že každý další obrazec vznikne přidáním jednoho čtverce mezi krajní trojúhelníky. Přidání jednoho čtverce znamená přidání 3 sirek (horní vodorovná, spodní vodorovná a jedna svislá strana, která čtverec uzavře).

Sirky uvnitř čtverců

Pravidlo dále říká, že uvnitř každého druhého čtverce je jedna sirka navíc (úhlopříčka). Tyto sirky navíc jsou tedy v 2., 4., 6., 8. atd. čtverci.

Rozdíl mezi 4. a 7. obrazcem

Při přechodu od 4. k 7. obrazci musíme přidat 3 nové čtverce (konkrétně 5., 6. a 7. čtverec).
1) Za samotné stěny těchto 3 čtverců přibude $3 \times 3 = 9$ sirek.
2) Z těchto tří nových čtverců je pouze 6. čtverec v pořadí sudý, takže se v něm přidá ještě 1 sirka navíc (úhlopříčka).
Celkem tedy 7. obrazec obsahuje o $9 + 1 = 10$ sirek více.

Závěr

7. obrazec má o 10 sirek více než 4. obrazec.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.2

Určete, z kolika sirek je sestaven 20. obrazec.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor základní konstrukce

Obrazce se skládají z řady čtverců a dvou trojúhelníků na koncích. Nejdříve určíme počet sirek tvořících vnější obvod a vnitřní svislé stěny (bez úhlopříček) pro 20. obrazec:

Vodorovné sirky: Každý z 20 čtverců má horní a dolní stranu. To je $20 + 20 = 40$ sirek.
Svislé sirky: Mezi 20 čtverci a dvěma krajními trojúhelníky je celkem $21$ svislých spojnic (stěn).
Strany trojúhelníků: Každý ze dvou trojúhelníků má 2 volné vnější strany (třetí strana je společná se čtvercem). To jsou $2 \times 2 = 4$ sirky.

Základní konstrukce 20. obrazce bez úhlopříček má tedy $40 + 21 + 4 = 65$ sirek.

Doplnění úhlopříček

Podle pravidla je uvnitř každého druhého čtverce jedna sirka navíc (úhlopříčka). V 20. obrazci je celkem 20 čtverců. Úhlopříčka je v každém sudém čtverci (tedy ve 2., 4., 6., až 20. čtverci).
Počet úhlopříček vypočítáme jako: $20 : 2 = 10$. V obrazci je tedy 10 úhlopříček.

Celkový výpočet

Sečteme sirky základní konstrukce a všechny úhlopříčky: $65 + 10 = 75$.
20. obrazec je sestaven ze 75 sirek.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.3

Určete, kolikátý obrazec je sestaven ze 148 sirek.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor počtu sirek v obrazci

Z nákresu a popisu vyplývá, že každý obrazec začíná a končí trojúhelníkem. Tyto dva trojúhelníky mají dohromady 4 vnější sirky (každý dvě, protože třetí strana je vždy společná s přilehlým čtvercem).
Dále musíme spočítat sirky tvořící čtverce. U každého čtverce jsou to 2 vodorovné sirky (horní a dolní) a 1 svislá sirka, která čtverec uzavírá (nebo odděluje od dalšího čtverce). Počet svislých sirek je však o jednu více než počet čtverců. Označíme-li $n$ jako číslo obrazce (které odpovídá počtu čtverců), pak máme:

4 sirky na krajní trojúhelníky,
$2n$ vodorovných sirek,
$n+1$ svislých sirek.

Vnitřní sirky a celkový vzorec

V zadání je také uvedeno, že uvnitř každého druhého čtverce je jedna sirka (úhlopříčka). To znamená, že počet vnitřních sirek odpovídá polovině počtu čtverců (zaokrouhleno dolů), tedy $\lfloor n/2 \rfloor$.
Celkový počet sirek pro $n$-tý obrazec je:
$4 + 2n + (n+1) + \lfloor n/2 \rfloor = 3n + 5 + \lfloor n/2 \rfloor$
Ověříme pro 1. obrazec ($n=1$): $3 \cdot 1 + 5 + 0 = 8$ (souhlasí).
Ověříme pro 2. obrazec ($n=2$): $3 \cdot 2 + 5 + 1 = 12$ (souhlasí).

Výpočet pro 148 sirek

Hledáme číslo obrazce $n$, pro který platí: $3n + 5 + \lfloor n/2 \rfloor = 148$.
Víme, že každá dvojice obrazců (lichý a následující sudý) přidá dohromady $3 + 4 = 7$ sirek (nový čtverec bez úhlopříčky a nový čtverec s úhlopříčkou).
Od 8 sirek (1. obrazec) potřebujeme přidat ještě $148 - 8 = 140$ sirek.
Počet dvojic, které musíme přidat, je $140 : 7 = 20$.
Protože každá dvojice znamená 2 nové čtverce, k původnímu 1. obrazci přidáme $20 \cdot 2 = 40$ obrazců.
$1 + 40 = 41$.

Závěrečné ověření

Dosadíme $n=41$ do našeho vzorce:
$3 \cdot 41 + 5 + \lfloor 41/2 \rfloor = 123 + 5 + 20 = 148$.
Výpočet je správný.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body