Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 7. ročník

Podkategorie: Matematika 7. ročník — 2. řádný termín 2019

29 úloh

Úloha 1

Vypočtěte v minutách jednu dvacetinu z 12 hodin.

Zobrazit odpověď

36 minut

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod hodin na minuty

Nejdříve si převedeme 12 hodin na minuty. Víme, že jedna hodina má 60 minut. Vynásobíme tedy počet hodin šedesáti:
$12 \cdot 60 = 720$ minut.

Výpočet jedné dvacetiny

Nyní vypočítáme jednu dvacetinu z celkového počtu minut. To znamená, že 720 minut vydělíme dvaceti:
$720 \div 20 = 36$ minut.

Závěr

Jedna dvacetina z 12 hodin je 36 minut.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 2.1

Vypočtěte:

$\displaystyle 0,5 \cdot 1,2+0,02=$

Zobrazit odpověď

0,62

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Násobení desetinných čísel

Nejdříve provedeme násobení: $0,5 \cdot 1,2$. Pokud si odmyslíme desetinné čárky, násobíme $5 \cdot 12 = 60$. V obou číslech máme dohromady dvě desetinná místa, proto ve výsledku oddělíme dvě místa zprava: $0,60$, což je totéž jako $0,6$.

Sčítání

K výsledku násobení přičteme poslední číslo v příkladu: $0,6 + 0,02$. Musíme dávat pozor na správné zarovnání desetinných míst (desetiny k desetinám, setiny k setinám):
0,60 + 0,02 = 0,62

Výsledek

Konečný výsledek celého příkladu je $0,62$.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 2.2

Vypočtěte:

$\displaystyle \frac{10}{0,5}- \frac{0,5}{10}=$

Zobrazit odpověď

19,95

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet prvního zlomku

Nejdříve vypočítáme hodnotu prvního zlomku $\frac{10}{0,5}$. Zlomek si můžeme upravit tak, že ho rozšíříme deseti, abychom se zbavili desetinného čísla ve jmenovateli: $\frac{10}{0,5} = \frac{100}{5} = 20$

Výpočet druhého zlomku

Potom vypočítáme hodnotu druhého zlomku $\frac{0,5}{10}$. Při dělení deseti posouváme desetinnou čárku o jedno místo doleva: $\frac{0,5}{10} = 0,05$

Odečtení a výsledek

Nakonec od výsledku prvního zlomku odečteme výsledek druhého zlomku: $20 - 0,05 = 19,95$

Výsledná hodnota výrazu je 19,95.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle 2- \frac{6}{5} \cdot \left( \frac{11}{6}- \frac{4}{9} \right) =$

Zobrazit odpověď

1/3

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet závorky

Nejdříve vypočítáme rozdíl zlomků v závorce. Společným jmenovatelem čísel 6 a 9 je číslo 18:
$\frac{11}{6} - \frac{4}{9} = \frac{33 - 8}{18} = \frac{25}{18}$

Násobení zlomků

Výsledek ze závorky vynásobíme zlomkem $\frac{6}{5}$. Před samotným násobením zlomky zkrátíme (číslo 25 a 5 pěti, číslo 6 a 18 šesti):
$\frac{6}{5} \cdot \frac{25}{18} = \frac{1}{1} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{3}$

Odčítání a výsledek

Nakonec odečteme získaný zlomek od čísla 2. Číslo 2 si vyjádříme jako zlomek se jmenovatelem 3:
$2 - \frac{5}{3} = \frac{6}{3} - \frac{5}{3} = \frac{1}{3}$
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{ \displaystyle \frac{1}{4} \cdot \displaystyle \frac{3}{2} +\displaystyle \frac{5}{2} }{ \displaystyle \frac{1}{4}+ \displaystyle \frac{3}{2} \cdot \displaystyle \frac{5}{2} } =$

Zobrazit odpověď

23/32

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Nejdříve vypočítáme hodnotu v horní části zlomku (čitateli). Přednost má násobení:
$\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{8}$
Poté přičteme druhý zlomek, který si převedeme na společného jmenovatele (osminy):
$\frac{3}{8} + \frac{5}{2} = \frac{3}{8} + \frac{20}{8} = \mathbf{\frac{23}{8}}$

Výpočet jmenovatele

Nyní vypočítáme spodní část zlomku (jmenovatele). Opět začneme násobením:
$\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{4}$
K výsledku přičteme $\frac{1}{4}$:
$\frac{1}{4} + \frac{15}{4} = \frac{16}{4} = \mathbf{4}$

Celkový výsledek

Nakonec vydělíme čitatele jmenovatelem (dělení číslem 4 je stejné jako násobení zlomkem $\frac{1}{4}$):
$\frac{23}{8} : 4 = \frac{23}{8} \cdot \frac{1}{4} = \mathbf{\frac{23}{32}}$
Výsledný zlomek je již v základním tvaru.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 4.1

Aleš má v pravé kapse o polovinu méně korun než v levé kapse. Kdyby přendal 40 korun z levé kapsy do pravé, měl by v obou kapsách stejně.

Vypočtěte, o kolik korun má Aleš v levé kapse více než v pravé.

Zobrazit odpověď

80

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl mezi kapsami

Představme si, co se stane, když Aleš přendá 40 korun z levé kapsy do pravé. Levá kapsa o 40 korun přijde a pravá o 40 korun získá. Protože po tomto přesunu mají v obou kapsách stejně, musel být původní rozdíl mezi kapsami roven těmto dvěma částkám dohromady: $40 + 40 = 80$ korun.

Ověření

V zadání se píše, že v pravé kapse je o polovinu méně korun než v levé (v levé je tedy dvakrát více než v pravé). Pokud je rozdíl mezi kapsami 80 korun, musí být v pravé kapse právě 80 korun a v levé 160 korun ($160 - 80 = 80$ a zároveň $160$ je dvojnásobkem $80$). To přesně odpovídá zadání.

Výsledek

V levé kapse má Aleš o 80 korun více než v pravé.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 4.2

Aleš má v pravé kapse o polovinu méně korun než v levé kapse. Kdyby přendal 40 korun z levé kapsy do pravé, měl by v obou kapsách stejně.

Vypočtěte, kolik korun má Aleš celkem v obou kapsách.

Zobrazit odpověď

240

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Poměr peněz v kapsách

V pravé kapse má Aleš o polovinu méně korun než v levé kapse. To znamená, že v levé kapse má dvakrát tolik peněz co v pravé. Pokud si množství peněz v pravé kapse představíme jako 1 dílek, v levé kapse má 2 stejné dílky. Dohromady mají obě kapsy 3 stejné dílky.

Vyrovnání částek

Z levé kapsy (kde jsou 2 dílky) přendáme 40 korun do pravé (kde je 1 dílek). Tím se částky v obou kapsách vyrovnají. Aby se kapsy vyrovnaly, musíme z té bohatší kapsy vzít přesně polovinu jejich rozdílu a dát ji do té chudší. Ten jeden dílek, o který se kapsy lišily, se tak rozdělil na dvě stejné části.

Hodnota jednoho dílku

Těch 40 korun, které jsme přendali, odpovídá právě polovině toho jednoho dílku, o který měla levá kapsa více. Celý jeden dílek má tedy hodnotu 80 korun ($40 + 40 = 80$).

Celkový výpočet

Protože v obou kapsách jsou dohromady 3 dílky a jeden dílek je 80 korun, celkovou částku vypočítáme jako:
$3 \cdot 80 = 240$ korun.

Výsledek

Aleš má celkem v obou kapsách 240 Kč.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 5.1

Chovatel chová dospělé kočky a koťata. Kupuje jim univerzální granule balené vždy ve stejných pytlích.
Za jeden den sežerou 3 koťata stejné množství granulí jako 2 dospělé kočky.
Dospělá kočka má jeden pytel granulí přesně na 12 dní.
(Každá dospělá kočka sežere denně stejné množství granulí. Totéž platí o koťatech.)

Vypočtěte, na kolik dní mají jeden pytel granulí 3 koťata.

Zobrazit odpověď

6

1 bod
Úloha 5.2

Chovatel chová dospělé kočky a koťata. Kupuje jim univerzální granule balené vždy ve stejných pytlích.
Za jeden den sežerou 3 koťata stejné množství granulí jako 2 dospělé kočky.
Dospělá kočka má jeden pytel granulí přesně na 12 dní.
(Každá dospělá kočka sežere denně stejné množství granulí. Totéž platí o koťatech.)

Vypočtěte, na kolik dní mají jeden pytel granulí 3 koťata společně s 1 dospělou kočkou.

Zobrazit odpověď

4

2 body
Úloha 5.3

Chovatel chová dospělé kočky a koťata. Kupuje jim univerzální granule balené vždy ve stejných pytlích.
Za jeden den sežerou 3 koťata stejné množství granulí jako 2 dospělé kočky.
Dospělá kočka má jeden pytel granulí přesně na 12 dní.
(Každá dospělá kočka sežere denně stejné množství granulí. Totéž platí o koťatech.)

Vypočtěte, kolik koťat sežere jeden pytel granulí přesně za 1 den.

Zobrazit odpověď

18

2 body
Úloha 6.1

Sestry Soňa a Táňa s kamarádkou Radkou pracovaly v létě na brigádě. Výplatu si rozdělily podle odpracované doby.
Radka si vydělala 3 000 korun.
Výplata obou sester dohromady a výplata Radky byly (v tomto pořadí) v poměru 5:2.
Výplata Soni byla o jednu osminu menší než výplata její sestry Táni.

Vypočtěte, kolik korun si vydělala všechna tři děvčata dohromady.

Zobrazit odpověď

10 500

2 body
Úloha 6.2

Sestry Soňa a Táňa s kamarádkou Radkou pracovaly v létě na brigádě. Výplatu si rozdělily podle odpracované doby.
Radka si vydělala 3 000 korun.
Výplata obou sester dohromady a výplata Radky byly (v tomto pořadí) v poměru 5:2.
Výplata Soni byla o jednu osminu menší než výplata její sestry Táni.

Vyjádřete v základním tvaru poměr výplat Soni a Táni (v tomto pořadí).

Zobrazit odpověď

7:8

1 bod
Úloha 6.3

Sestry Soňa a Táňa s kamarádkou Radkou pracovaly v létě na brigádě. Výplatu si rozdělily podle odpracované doby.
Radka si vydělala 3 000 korun.
Výplata obou sester dohromady a výplata Radky byly (v tomto pořadí) v poměru 5:2.
Výplata Soni byla o jednu osminu menší než výplata její sestry Táni.

Vypočtěte, kolik korun si vydělala Soňa.

Zobrazit odpověď

3 500

1 bod
Úloha 7

Na dně skleněné nádoby tvaru čtyřbokého hranolu je položena ocelová krychle. Krychle zakrývá čtvrtinu čtvercového dna nádoby.
Nádoba s krychlí je po okraj naplněna vodou.
Rozměry nádoby jsou uvedeny v obrázku.
(Tloušťku stěn nádoby zanedbáváme.)

Vypočtěte v cm³ objem vody v nádobě s krychlí.

Zobrazit odpověď

333 cm³

3 body
Úloha 8

V rovině leží přímka BC a mimo ni bod M.

Úsečka BC je rameno rovnoramenného trojúhelníku ABC.
Bod M leží na ose souměrnosti tohoto trojúhelníku.

1. Sestrojte a označte písmenem osu souměrnosti o trojúhelníku ABC.
2. Sestrojte a označte písmenem chybějící vrchol A trojúhelníku ABC a trojúhelník narýsujte.

Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď
Odpověď
3 body
Úloha 9

V rovině leží přímka p a kružnice k se středem S. Bod A je jedním ze dvou průsečíků přímky p a kružnice k.

Bod A je vrchol obdélníku ABCD.
Strana AB tohoto obdélníku leží na přímce p, bod S leží uvnitř některé ze tří zbývajících stran obdélníku ABCD.
Jeden krajní bod strany, která obsahuje bod S, leží na kružnici k.

Sestrojte a označte písmeny chybějící vrcholy B, C, D obdélníku ABCD a obdélník narýsujte.

Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď
Odpověď
2 body
Úloha 10.1
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Čtvercová síť je tvořena čtverečky s délkou strany 1 cm. Ve čtvercové síti je zakreslen obdélník, který je rozdělen na 5 trojúhelníků a tmavý obrazec. Trojúhelníky jsou označeny písmeny A až E.Vrcholy všech útvarů leží v mřížových bodech.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsahy trojúhelníků A, C jsou stejné.

Zobrazit odpověď

Ano

4 body za skupinu
Úloha 10.2
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Čtvercová síť je tvořena čtverečky s délkou strany 1 cm. Ve čtvercové síti je zakreslen obdélník, který je rozdělen na 5 trojúhelníků a tmavý obrazec. Trojúhelníky jsou označeny písmeny A až E.Vrcholy všech útvarů leží v mřížových bodech.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah celého obdélníku je 12krát větší než obsah trojúhelníku D.

Zobrazit odpověď

Ano

4 body za skupinu
Úloha 10.3
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Čtvercová síť je tvořena čtverečky s délkou strany 1 cm. Ve čtvercové síti je zakreslen obdélník, který je rozdělen na 5 trojúhelníků a tmavý obrazec. Trojúhelníky jsou označeny písmeny A až E.Vrcholy všech útvarů leží v mřížových bodech.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah tmavého obrazce je větší než 24 cm².

Zobrazit odpověď

Ne

4 body za skupinu
Úloha 11

Jaká je velikost úhlu α ?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

  • A) menší než 53°
  • D) 67°
  • B) 53°
  • E) větší než 67°
  • C) 63°
Zobrazit odpověď

D

2 body
Úloha 12

Do prázdného klobouku jsme vysypali červené a zelené kuličky, zelených bylo o 6 více než červených. Pak jsme z klobouku vytáhli třetinu všech červených a třetinu všech zelených kuliček. V klobouku tak ubylo 12 kuliček.

Kolik červených kuliček v klobouku zbylo?

  • A) 5
  • D) 15
  • B) 10
  • E) jiný počet
  • C) 12
Zobrazit odpověď

B

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet kuliček

Víme, že když jsme vytáhli třetinu červených a třetinu zelených kuliček, ubylo celkem 12 kuliček. To znamená, že jedna třetina všech kuliček v klobouku je 12. Všechny kuličky v klobouku (tři třetiny) tedy byly $12 \cdot 3 = 36$.

Počet červených kuliček na začátku

Všech kuliček bylo 36 a zelených bylo o 6 více než červených. Kdybychom od celkového počtu 36 odečetli těch 6 „přebývajících“ zelených kuliček, zbude nám $36 - 6 = 30$ kuliček. Tento zbytek si červené a zelené kuličky rozdělí rovným dílem: $30 \div 2 = 15$. Na začátku tedy bylo v klobouku 15 červených kuliček.

Počet zbývajících červených kuliček

Z klobouku jsme vytáhli třetinu červených kuliček. Třetina z 15 je $15 \div 3 = 5$. V klobouku tedy zbylo $15 - 5 = 10$ červených kuliček.

Závěr

V klobouku zbylo 10 červených kuliček.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 13

V grafu jsou všichni žáci třídy rozděleni podle počtu svých sourozenců do čtyř skupin.Ve třídě je celkem 30 žáků a s nimi do třídy nechodí žádný z jejich sourozenců.
Pouze jeden žák má 3 sourozence.
Skupina žáků se 2 sourozenci tvoří šestinu žáků třídy.
Žáků, kteří mají nějakého sourozence (jednoho, dva, nebo tři), je dvakrát více než těch, kteří žádného sourozence nemají.

Kolik žáků třídy nemá žádného sourozence?

  • A) 8
  • D) 12
  • B) 10
  • E) 15
  • C) 11
Zobrazit odpověď

B

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Ve třídě je celkem 30 žáků. Podle zadání jsou rozděleni do dvou hlavních skupin:
  • žáci, kteří nemají žádného sourozence,
  • žáci, kteří mají sourozence (jednoho, dva nebo tři).

Výpočet počtu žáků bez sourozenců

Ze zadání víme, že žáků se sourozenci je dvakrát více než těch bez sourozenců. Můžeme si to představit jako rozdělení na díly:
  • Žáci bez sourozenců = 1 díl
  • Žáci se sourozenci = 2 díly
Celkem tedy třídu tvoří 3 díly (1 + 2 = 3).

Výpočet velikosti jednoho dílu

Celkový počet žáků (30) rozdělíme na 3 stejné části:
30 : 3 = 10
Jeden díl představuje 10 žáků. Protože žáci bez sourozenců tvoří právě jeden díl, je jich 10.

Kontrola a závěr

Pokud je 10 žáků bez sourozenců, pak žáků se sourozenci musí být 20 (dvakrát více). Dohromady je to $10 + 20 = 30$ žáků, což odpovídá zadání.

Žádného sourozence nemá 10 žáků.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 14

V grafu jsou všichni žáci třídy rozděleni podle počtu svých sourozenců do čtyř skupin.Ve třídě je celkem 30 žáků a s nimi do třídy nechodí žádný z jejich sourozenců.
Pouze jeden žák má 3 sourozence.
Skupina žáků se 2 sourozenci tvoří šestinu žáků třídy.
Žáků, kteří mají nějakého sourozence (jednoho, dva, nebo tři), je dvakrát více než těch, kteří žádného sourozence nemají.

Kolik sourozenců mají dohromady všichni žáci třídy?

  • A) 27
  • D) 30
  • B) 28
  • E) jiný počet
  • C) 29
Zobrazit odpověď

A

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení žáků na skupiny

Víme, že žáků se sourozenci je dvakrát více než těch, kteří žádného sourozence nemají. Celou třídu (30 žáků) si tedy můžeme představit jako 3 stejné díly:
  • 1 díl jsou žáci bez sourozenců,
  • 2 díly jsou žáci, kteří mají aspoň jednoho sourozence.
Jeden díl vypočítáme jako $30 : 3 = 10$.
Bez sourozenců je tedy 10 žáků a nějakého sourozence má $2 \times 10 = 20 žáků$.

Počty žáků v jednotlivých skupinách

Nyní zjistíme, kolik žáků má konkrétní počty sourozenců:
  • 3 sourozence: Ze zadání víme, že je to pouze 1 žák.
  • 2 sourozence: Tvoří šestinu třídy, tedy $30 : 6 = 5 žáků$.
  • 1 sourozence: Jsou to všichni ostatní žáci ze skupiny se sourozenci. Od celkového počtu 20 žáků se sourozenci odečteme ty se dvěma a třemi: $20 - 5 - 1 = 14 žáků$.

Celkový počet sourozenců

Vynásobíme počet žáků v každé skupině počtem jejich sourozenců a vše sečteme:
  • 14 žáků po 1 sourozenci: $14 \times 1 = 14$
  • 5 žáků po 2 sourozencích: $5 \times 2 = 10$
  • 1 žák po 3 sourozencích: $1 \times 3 = 3$
Dohromady mají všichni žáci $14 + 10 + 3 = 27$ sourozenců.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 15.1

Z přednášky na dvě a půl hodiny zbývá ještě 60 minut do konce.

Kolik procent přednášky již uběhlo?

  • A) 50%
  • D) 65%
  • B) 55%
  • E) 70%
  • C) 60%
  • F) jiný počet procent
Zobrazit odpověď

C

2 body
Úloha 15.2

Z času na test uběhlo teprve 27 minut a zbývá ještě 63 minut.

Kolik procent času na test ještě zbývá?

  • A) 50%
  • D) 65%
  • B) 55%
  • E) 70%
  • C) 60%
  • F) jiný počet procent
Zobrazit odpověď

E

2 body
Úloha 15.3

Všichni tři členové družstva se bez prodlev vystřídali při plnění soutěžního úkolu.
První člen vyčerpal 30 % celkového soutěžního času, druhý potřeboval ještě o 10 minut více než první a na třetího zbylo už jen 10 minut.

Kolik procent celkového soutěžního času potřeboval druhý člen?

  • A) 50%
  • D) 65%
  • B) 55%
  • E) 70%
  • C) 60%
  • F) jiný počet procent
Zobrazit odpověď

A

2 body
Úloha 16.1

Obkladač vytváří obdélníkovou mozaiku z šedých a bílých čtvercových dlaždic stejné velikosti.V 1. kroku položil vedle sebe dvě šedé dlaždice.
Ve 2. kroku dlaždice obklopil zleva a shora jednou vrstvou bílých dlaždic.
Ve 3. kroku sestavenou část obklopil zleva a shora jednou vrstvou šedých dlaždic a ve 4. kroku zleva a shora jednou vrstvou bílých dlaždic.
(Každá přidaná vrstva má tvar L a poslední z nich je vždy vyznačena čárkovaně.)
V následujících krocích se stejným způsobem přidává střídavě vrstva šedých a vrstva bílých dlaždic. V dokončené mozaice bude 20 řad dlaždic.

Určete, v kolikátém kroku přidá obkladač k mozaice 18 dlaždic.

Zobrazit odpověď

9

1 bod
Úloha 16.2

Obkladač vytváří obdélníkovou mozaiku z šedých a bílých čtvercových dlaždic stejné velikosti.V 1. kroku položil vedle sebe dvě šedé dlaždice.
Ve 2. kroku dlaždice obklopil zleva a shora jednou vrstvou bílých dlaždic.
Ve 3. kroku sestavenou část obklopil zleva a shora jednou vrstvou šedých dlaždic a ve 4. kroku zleva a shora jednou vrstvou bílých dlaždic.
(Každá přidaná vrstva má tvar L a poslední z nich je vždy vyznačena čárkovaně.)
V následujících krocích se stejným způsobem přidává střídavě vrstva šedých a vrstva bílých dlaždic. V dokončené mozaice bude 20 řad dlaždic.

Určete, kolik dlaždic dohromady bude obsahovat dokončená mozaika (s 20 řadami).

Zobrazit odpověď

420

1 bod
Úloha 16.3

Obkladač vytváří obdélníkovou mozaiku z šedých a bílých čtvercových dlaždic stejné velikosti.V 1. kroku položil vedle sebe dvě šedé dlaždice.
Ve 2. kroku dlaždice obklopil zleva a shora jednou vrstvou bílých dlaždic.
Ve 3. kroku sestavenou část obklopil zleva a shora jednou vrstvou šedých dlaždic a ve 4. kroku zleva a shora jednou vrstvou bílých dlaždic.
(Každá přidaná vrstva má tvar L a poslední z nich je vždy vyznačena čárkovaně.)
V následujících krocích se stejným způsobem přidává střídavě vrstva šedých a vrstva bílých dlaždic. V dokončené mozaice bude 20 řad dlaždic.

Určete, kolik šedých dlaždic bude v dokončené mozaice (s 20 řadami) v 11. řadě zdola.

Zobrazit odpověď

16

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza vzoru

Mozaika se rozrůstá v krocích. V 1. kroku máme 2 šedé dlaždice. V každém dalším kroku $n$ se přidá nová vrstva dlaždic (ve tvaru L) shora a zleva. Barvy se střídají: v lichých krocích (1., 3., 5., ...) přidáváme šedé dlaždice, v sudých krocích (2., 4., 6., ...) přidáváme bílé dlaždice.

Vznik 11. řady

11. řada zdola vznikne v 11. kroku jako horní vodorovná část nové vrstvy. Protože 11 je liché číslo, je celá tato nová vrstva šedá. Podle zadání má mozaika v $n$-tém kroku $n+1$ sloupců. V 11. kroku má tedy 11. řada přesně 12 dlaždic a všechny jsou šedé.

Rozšíření mozaiky do 20. řady

Mozaika pokračuje až do 20. řady. To znamená, že po 11. kroku proběhne ještě dalších 9 kroků (12. až 20. krok). V každém z těchto kroků se k 11. řadě přidá jedna nová dlaždice zleva. Musíme zjistit, kolik z nich bude šedých.

Barvy dlaždic přidaných zleva

Zleva se k 11. řadě přidají dlaždice z následujících kroků:
  • 12. krok: bílá
  • 13. krok: šedá
  • 14. krok: bílá
  • 15. krok: šedá
  • 16. krok: bílá
  • 17. krok: šedá
  • 18. krok: bílá
  • 19. krok: šedá
  • 20. krok: bílá
Celkem tedy v těchto krocích přibudou 4 šedé dlaždice.

Celkový počet šedých dlaždic

V 11. řadě máme 12 původních šedých dlaždic z 11. kroku a 4 přidané šedé dlaždice z pozdějších kroků.
Celkem: $12 + 4 = 16$.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body